Реферат на тему "Моделирование систем массового обслуживания с одним устройством обслуживания"
advertisement
МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный технологический университет «СТАНКИН» (ФГБОУ ВО «МГТУ «СТАНКИН») Институт информационных систем и технологий Кафедра инженерной графики РЕФЕРАТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «УПРАВЛЕНИЕ ЖИЗНЕННЫМ ЦИКЛОМ ИЗДЕЛИЙ» СТУДЕНТА I КУРСА магистратуры ГРУППЫ ИДМ-19-03 КАЛИНИНА АНДРЕЯ АЛЕКСАНДРОВИЧА НА ТЕМУ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОДНИМ УСТРОЙСТВОМ ОБСЛУЖИВАНИЯ Направление: Профиль подготовки: 09.04.01 Информатика и вычислительная техника Компьютерное моделирование сложных технических систем Реферат сдан «______» ________________20___г. Оценка ____________________________ Преподаватель Феофанов Александр Николаевич, д.т.н., профессор (подпись) МОСКВА 2020 СОДЕРЖАНИЕ Введение………………………………………………………………………3 1.Системы массового обслуживания………………………………………..4 1.1.Системы массового обслуживания……………………………………...4 1.2.Классификация СМО с одним устройством обслуживания…………...6 1.3.Параметры функционирования СМО…………………………………...7 2.Методы моделирования СМО……………………………………………...8 2.1.Простейшие потоки заявок……………………………………………….8 2.2.Марковские случайные процессы……………………………………….11 2.3.Графы состояний системы обслуживания……………………………....11 2.4.Уравнения Колмогорова………………………………………………….13 2.5.Стационарное состояние СМО…………………………………………..14 3.Аналитические модели СМО с одним устройством обслуживания…….15 3.1.СМО с отказами…………………………………………………………..15 3.2.СМО с ограниченной очередью…………………………………………17 3.3.СМО с неограниченной очередью……………………………………....20 Список литературы…………………………………………………………....23 2 ВВЕДЕНИЕ Задачи массового обслуживания очень часто встречаются во многих сферах человеческой деятельности. Очередь людей к кассе в большом супермаркете, такая же очередь к кабинету врача с целью получения медицинского обслуживания, обслуживание очереди клиентов с целью предоставления им определенной услуги – подобных житейских примеров можно привести еще в большом количестве. Не меньше таких задач возникает и на производстве – например, поступление потока деталей на выполнение определенной технологической операции. Данные задачи(совершенно разные) имеют определенные общие черты. Они все, так или иначе, заключаются в обслуживании большого числа потребителей или же в обработке большого количества деталей. При этом можно сказать, что мы имеем дело с системой массового обслуживания(СМО). На ее входе возникает заявка(например, покупатель), поступающая на канал(устройство) обслуживания(кассир). Данное устройство выполняет над заявкой определенные действия, то есть обслуживает ее(пробивает товар). Все это время другие поступившие заявки ожидают завершение процесса обслуживания. Обслуженная заявка продвигается на выход системы, а на устройство поступает последующая заявка. Усложняет ситуацию то обстоятельство, что обычно подобных заявок не несколько, а большое количество, причем поступают они в случайные моменты времени. Кроме того, случайный характер носит и распределение длительности выполнения операций обслуживания. При этих условиях существующая система обработки заявок может обладать серьезными недостатками, и возникает необходимость улучшить ее, оптимизировать параметры системы обслуживания. Для этих целей и необходима теория массового обслуживания. Теория массового обслуживания изучает процессы, протекающие в системах обслуживания и предоставляет математический аппарат для анализа таких систем. Это позволяет в дальнейшем строить их наиболее рациональным и оптимальным образом, а также совершенствовать их. Так как все процессы внутри СМО имеют вероятностный характер, то и сама теория массового обслуживания опирается преимущественно на методы теории вероятностей и математической статистики. В данном реферате будут рассмотрены системы массового обслуживания одноканального типа (с одним устройством обслуживания). 3 1.СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 1.1 Системы массового обслуживания Во введении на конкретных примерах системы массового обслуживания были представлены. Рассмотрим их теперь с общей точки зрения. Системы массового обслуживания – это системы, задачей которых является обслуживание случайного потока заявок. Их принцип работы можно показать на следующей схеме. Рис.1. Обобщенная схема СМО. Самое основное – это заявки, представляющие собой запросы на обслуживание. Они порождаются источником заявок в случайные моменты времени, поступают на вход СМО, обслуживаются (проходят через элементы СМО), затем покидают ее. Причем могут покидать систему как обслуженные, так и необслуженные заявки. Из рис.1 видно, что любая СМО состоит из следующих элементов: 4 1)Входящий поток заявок. Все заявки образуют потоки – последовательности заявок, поступающих друг за другом через случайные промежутки времени. С входного потока начинается движение заявок по СМО. Изначально это просто набор всех сгенерированных заявок. В дальнейшем они распределяются в соответствии с необходимостью по различным устройствам(каналам) обслуживания в соответствии со своим типом. Порождение заявок происходит в случайные моменты времени, может не быть равномерным. При этом в какие-то моменты некоторые из них не дожидаются начала обслуживания и могут покидать СМО необслуженными. Любой поток характеризуется интенсивностью – количеством заявок определенного типа, наблюдаемым в некотором месте СМО за единицу времени. На рисунке оно обозначено как λ. Соответственно имеем интенсивности входных потоков на каждом из каналов обслуживания. 2) Каналы обслуживания. Каналом(устройством) обслуживания называют то, что непосредственно занимается обслуживанием заявок. Может быть один канал, и тогда говорят об одноканальной системе обслуживания. Если каналов несколько, то речь идет о многоканальных СМО. Бывают горячие каналы– те, которые начинают обслуживать заявку в момент ее поступления в канал, и холодные – каналу для начала обслуживания требуется время на подготовку. Внутри канала обслуживания формируется поток обслуживания со своей интенсивностью. 3) Очередь на обслуживание. Ее образуют поступившие заявки, ожидающие обслуживания. Очереди характеризуются: - правилами пребывания в очереди (дисциплиной постановки в очередь и выбора из нее); 5 - количеством мест (максимальное количество одновременно находящихся в ней заявок); - структурой (связь между местами в очереди). Бывают ограниченные и неограниченные очереди. Кроме того, очередей в ряде случаев может не быть совсем. 4) Выходные потоки заявок (обслуженных или получивших отказ). Имеют интенсивности 𝜆∗ . Правила пребывания в очереди определяют дисциплину обслуживания. К важнейшим дисциплинам обслуживания относятся: 1) FIFO: первая пришедшая в очередь заявка первой уходит на обслуживание; 2) LIFO: последняя пришедшая заявка обслуживается первой; 3) SF: в первую очередь обслуживаются те заявки из очереди, которые имеют меньшее время обслуживания; 4) случайный выбор из очереди; 5) выбор из очереди по параметрам: сначала получают помощь больные с температурой, а потом «здоровые» больные. 1.2 Классификация СМО с одним устройством обслуживания В дальнейшем в данном реферате будут рассматриваться системы массового обслуживания с одним каналом (устройством обслуживания). Данные системы являются простейшими и состоят из совокупности четырех компонентов, описанных в предыдущем разделе. Схема СМО с одним устройством обслуживания показана ниже. 6 Рис 2. Схема одноканальной СМО. Одноканальные системы массового обслуживания можно разделить на два типа: 1) Системы с отказами. Очередь в таких СМО отсутствует. Заявка, приходящая на единственный канал, обслуживается в случае свободности канала. Если канал занят, заявка получает отказ в обслуживании; 2) Системы с ожиданием. В данных системах присутствует очередь. В случае наличия в ней мест, вновь прибывшая заявка становится в очередь и ожидает обслуживания. Если же очередь занята, заявка получает отказ в обслуживании. Существует их разделение на 2 вида: - с ограниченной очередью. Количество мест в очереди ограничено некоторым числом; - c неограниченной очередью. Количество мест в очереди может быть бесконечным. Это означает, что любая поступающая на вход СМО заявка принимается к обслуживанию. 1.3 Параметры функционирования СМО Для моделирования системы массового обслуживания сначала необходимо задать входные параметры ее функционирования. К ним можно относить: 1) Тип входного потока заявок, его интенсивность; 2) Количество каналов и интенсивность обслуживания в них; 3) Количество мест в очереди; 4) Дисциплина обслуживания. 7 2. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ В настоящее время для моделирования систем массового обслуживания применяются две основных группы методов: аналитические и имитационные. В данном реферате рассматриваются аналитические методы моделирования. Они позволяют получить основные характеристики СМО как некоторые функции параметров ее функционирования. Так как процессы внутри СМО носят вероятностный характер, то и методы моделирования используют разделы теории вероятностей. Наиболее разработаны такие методы для случаев, когда каждый из потоков заявок в СМО является пуассоновским. Поэтому обсуждение методов моделирования стоит начать именно с данного вопроса. 2.1 Простейшие потоки заявок Простейшие потоки событий очень удобны для моделирования различных потоков заявок, встречающиеся в СМО. Потоком событий будем называть последовательность однотипных событий, поступающих одно за другим в случайные промежутки времени. Примером потока событий может служить поток вызовов на телефонной станции, так как они следуют друг за другом в случайные моменты времени. Как уже было сказано выше, любой поток характеризуется интенсивностью λ – средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени. Но стоит обратить внимание на тот факт, что данное значение всего лишь среднее, то есть выполняет роль математического ожидания количества событий в единицу времени. Вполне может быть так, что, например, в один час возникло 6 событий, а в другой час – 8 событий. Но в среднем получается 7 событий в час. Это и есть интенсивность данного потока. Таким образом, 𝜆= 𝑁 𝑇н ,где 𝑁 – число событий за время наблюдения, 𝑇н – время наблюдения. 8 Рис.3. Пример простейшего потока событий Особенно интересны следующие три возможных свойства потоков событий. 1)Стационарность. Это означает, что вероятностные характеристики потока не зависят от времени. В частности, интенсивность потока постоянна(𝜆(𝑡) = 𝜆). Чаще всего стационарность потока имеет место лишь на некотором относительно небольшом временном интервале. На большом промежутке может изменяться интенсивность потока событий; 2)Отсутствие последействия. Это означает, для любых двух непересекающихся участков на временной оси τ1 и τ2 число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попавших на другой, т.е. вероятность появления случайного события не зависит от момента совершения предыдущих событий; 3)Ординарность. Это означает, что появление двух и более событий за очень малый промежуток времени практически невозможно. Поток заявок, обладающий одновременно свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности, называется простейшим. Такой поток представляется идеализированной моделью многих реально встречающихся потоков, часто вполне достаточной для практических нужд. Данная модель обладает большим достоинством: простотой получения аналитических зависимостей для процессов, протекающих под воздействием простейшего потоков заявок в СМО, так как работа СМО будет описываться системой линейных дифференциальных уравнений. Простейший поток заявок является частным случаем так называемого пуассоновского потока. Для него достаточно выполнения лишь двух свойств: отсутствия последействия и ординарности. Таким образом, простейший поток является стационарным пуассоновским(𝜆(𝑡) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡). Одной из случайных величин, связанных с простейшим потоком, является количество заявок, поступающих на СМО за время 𝜏. Она определяется интенсивностью входного потока λ для пуассоновского потока заявок и равна 𝑃 (𝜏) = 9 𝑎 𝑒 𝑚! , где m – число заявок, 𝑎 = 𝜏𝜆 – параметр Пуассона(в стационарном случае). Параметр Пуассона имеет смысл среднего числа заявок на временном интервале [𝑡 , 𝑡 + 𝜏]. Данная формула носит название формулы Пуассона, а соответствующее распределение случайной величины – распределения Пуассона. В случае произвольного пуассоновского потока параметр 𝑎 вычисляется по формуле 𝑎= 𝜆(𝑡)𝑑𝑡 Распределение Пуассона является дискретным распределением, а основные параметры случайной величины для него: 𝑀(𝑋) = 𝜆, 𝐷(𝑋) = 𝜆 В этом состоит большое преимущество пуассоновских потоков событий, так как, что среднее число заявок, что дисперсия, вычисляются максимально просто и равны интенсивности потока. Другой важной случайной величиной является интервал времени между событиями в пуассоновском потоке. Она распределена по экспоненциальному закону , описываемому функцией плотности 𝑓(𝑡) = Данное распределение характеристики: 0, 𝑡 < 0 𝜆𝑒 , 𝑡 ≥ 0 является непрерывным. Его основные 1 1 𝑀(𝑋) = , 𝐷(𝑋) = 𝜆 𝜆 Исходя из свойств математического ожидания, можно заключить, что среднее время между событиями в пуассоновском потоке составляет . Оба распределения, если они описывают один и тот же пуассоновский поток событий, содержат один и тот же параметр λ, имеющий прежний смысл – интенсивность. 10 2.2 Марковские случайные процессы Переход СМО из одного состояния в другое происходит в случайные моменты времени, а потому можно сказать, что в системе протекает случайный процесс. Замечаем, что набор состояний СМО дискретен, так как всех их можно заранее перечислить. Каждое такое состояние наступает в случайный момент времени скачкообразно, поэтому необходимо учитывать непрерывность по времени. Таким образом, функционирование СМО можно описать случайным процессом с дискретными состояниями и непрерывным временем. Весьма удобно задавать случайный процесс в виде вероятностей переходов из одного состояния в другое. Здесь учитывается, что после перехода в некоторое состояние система не учитывает обстоятельства в прошлом того, как она перешла в данное состояние. Можно сказать иначе: вероятность перехода в любое состояние в будущем зависит только от текущего фиксированного состояния и не зависит от прошлых состояний системы для любого момента времени t. Подобные случайные процессы, не учитывающие прошлое, называются процессами без последействия или марковскими случайными процессами. Доказано, что процесс внутри СМО можно считать марковским тогда и только тогда, когда все потоки заявок в ней являются пуассоновскими. Для марковских случайных процессов в большей степени, чем для других разновидностей, разработаны методы их описания, которые в настоящее время общеизвестны и широко применяются, особенно в технике и экономике. Один из таких способов для моделирования марковских процессов с дискретным набором состояний и непрерывным временем– использование графа состояний. 2.3 Графы состояний системы обслуживания С помощью графа состояний хорошо описывается протекание процессов внутри СМО. В узлах такого графа стоят названия каждого из фиксированных состояний системы. Сами узлы изображаются обычно в виде прямоугольников или кружочков. Между узлами стрелки обозначают направления переходов из одного состояния в другое. Кроме того, возле 11 направлений могут указываться интенсивности потоков, под влиянием которых система перешла из состояния 1 в состояние 2. Такой граф называют размеченным графом состояний СМО. Пример размеченного графа для случайного процесса обслуживания в газетном киоске одноканальной СМО показан ниже: Рис.4. Процесс обслуживания в киоске. Состояния имеют следующий смысл: 𝑆 – канал свободен и простаивает; 𝑆 – канал занят обслуживанием; 𝑆 − канал занят обслуживанием и одна заявка в очереди. Из графа видно, что данная система может переходить из состояния 𝑆 в 𝑆 , из 𝑆 в 𝑆 . Кроме того, возможны и обратные переходы: 𝑆 → 𝑆 , 𝑆 → 𝑆 . Единственный момент: невозможны “перескоки” через состояния, то есть такой, например, переход невозможен: 𝑆 → 𝑆 . Каждый из переходов происходит под действием пуассоновских потоков с интенсивностями, указанными возле соответствующих стрелок. Случайный процесс, происходящий в системе, состоит в том, что в случайные моменты времени система оказывается в том или ином заранее известном дискретном состоянии последовательно. Если обозначить за 𝑝 (𝑡) вероятность того, что система в момент времени t окажется в состоянии 𝑆 , то договариваются называть 𝑝 (𝑡) вероятностью состояния 𝑆 . 12 2.4 Уравнения Колмогорова По размеченному графу случайного процесса можно построить математическую модель процесса. Для этого необходимо найти вероятности всех возможных состояний системы 𝑝 (𝑡). Это возможно сделать, если составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова, что легко сделать по уже известному графу состояний. Рассмотрим этот процесс на примере графа на рис.4. Количество уравнений системы совпадает с числом состояний. В данном случае, их три. В левой части i-го уравнения стоит производная по времени вероятности i-го по счету состояния. В правой части стоит сумма произведений всех состояний, из которых возможен переход в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного состояния. Следуя данным правилам, составляем систему для графа: 𝑑𝑝 (𝑡) ⎧ = 𝜆 𝑝 (𝑡) − 𝜆 𝑝 (𝑡) 𝑑𝑡 ⎪ 𝑑𝑝 (𝑡) = 𝜆 𝑝 (𝑡) + 𝜆 𝑝 (𝑡) − (𝜆 + 𝜆 )𝑝 (𝑡) ⎨ 𝑑𝑡 𝑑𝑝 (𝑡) ⎪ = 𝜆 𝑝 (𝑡) − 𝜆 𝑝 (𝑡) ⎩ 𝑑𝑡 Отсюда уже можно найти вероятности состояний 𝑝 (𝑡), 𝑝 (𝑡), 𝑝 (𝑡) как функции от времени. При сложении всех уравнений системы Колмогорова, получаем 𝑑𝑝 (𝑡) 𝑑𝑝 (𝑡) 𝑑𝑝 (𝑡) + + ⋯+ =0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑 𝑝 (𝑡) + 𝑝 (𝑡) + ⋯ + 𝑝 (𝑡) = 0 𝑑𝑡 𝑝 (𝑡) + 𝑝 (𝑡) + ⋯ + 𝑝 (𝑡) = 1 13 Так как последнее уравнение было получено лишь сложением уравнений системы, то одно из уравнений системы можно заменить на данное(называется условием нормировки). Сама же система Колмогорова представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений. Ее можно решить сведением к одному ДУ относительно одной вероятности. Однако полученное решение будет обязательно содержать неизвестные константы. Чтобы их найти, используют два начальных условия, которые имеют вид 𝑝 (0) = 𝑝 , 𝑝 (0) = 𝑝 , … , 𝑝 (0) = 𝑝 2.5 Стационарное состояние СМО Если система обслуживания функционирует достаточно долго(при 𝑡 → ∞), то устанавливаются вероятности состояний, не зависящие от времени, то есть устанавливается стационарный режим. Такие вероятности называются предельными(или финальными). Если число состояний системы конечно, и из каждого из них за конечное число шагов можно перейти в любое другое состояние, то финальные вероятности существуют, т.е. lim 𝑃 (𝑡) = 𝑃 → Смысл финальных вероятностей состоит в том, что они равны среднему относительному времени нахождения системы в данном состоянии. Так как в стационарном состоянии вероятности не зависят от времени, то их производные по времени равны 0. Следовательно, для получения из системы Колмогорова финальных вероятностей состояний, достаточно приравнять к 0 правые части и решить полученную систему линейных алгебраических уравнений. 14 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СМО С ОДНИМ УСТРОЙСТВОМ ОБСЛУЖИВАНИЯ 3.1 СМО с отказами Пусть на вход СМО поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью 𝜆. Система может находиться в двух состояниях: 0 – если канал свободен, и 1 – если канал занят. Если канал занят, заявка получает отказ в обслуживании. Если он свободен – заявка обслуживается. Считаем, что появление заявки на выходе СМО совпадает с окончанием ее обслуживания. Длительность обслуживания одной заявки 𝜏 – случайная величина, распределенная по показательному закону с параметром 𝜇. Значит, поток обслуженных заявок образует пуассоновский поток с интенсивностью 𝜇. Предполагаем, что в начальный момент времени в системе заявок не было. Такую СМО описывает марковский случайный процесс 𝜉(𝑡) – число заявок, находящихся в системе. Возможные состояния СМО: 𝐸 = (0,1). Последнее выполняется в силу предположения: число заявок в системе совпадает с числом каналов, занятых обслуживанием. Необходимо найти вероятности данных двух состояний в произвольный момент времени, а также основные характеристики СМО при 𝑡 → ∞. Размеченный граф для данного процесса: Рис.5. Размеченный граф для СМО с отказами Система дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний с условием нормировки имеет вид: 15 Начальные условия к ней: 𝑝 (0) = 1, 𝑝 (0) = 0. Это следует из того, что в начальный момент времени все каналы свободны. Система сводится к дифференциальному уравнению относительно функции 𝑝 (𝑡): Его решение при начальных условиях: Функцию 𝑝 (𝑡) можно найти как 1 − 𝑝 (𝑡), так как состояния 𝑆 , 𝑆 образуют полную группу(СМО не может находиться в двух состояниях одновременно): Получены зависимости вероятностей для двух состояний от времени. Стационарное распределение вероятностей достигается при 𝑡 → ∞. Тогда 𝑒 ( ) → 0 и имеем Вообще тот же результат для стационарного режима можно получить из уравнений Колмогорова при условиях , которые превращают ее в систему линейных алгебраических уравнений относительно 𝑝 , 𝑝 16 На основании полученного можно вычислить характеристики эффективности СМО в стационарном режиме. Для СМО с отказами основными из них будут: 1) Вероятность обслуживания (вероятность того, что канал свободен): 𝑝обсл. = 𝑝 = 𝑄= ( ) = 𝑝 (𝑡) – 𝜇 𝜆+𝜇 относительная пропускная способность канала(отношение доли обслуживаемых заявок к общему числу поступающих заявок в единицу времени). В стационарном режиме: 𝑄 = ; 𝐴 = 𝜆𝑝 (𝑡) – абсолютная пропускная способность канала(число заявок, обслуживаемых в единицу времени). В стационарном режиме 𝐴 = Число необслуженных заявок составит 𝜆 − = . . 2) Вероятность отказа в обслуживании(канал занят): 𝑝отк. = 1 − 𝑝обсл. = 𝑝 = 𝜆 𝜆+𝜇 3) Среднее время обслуживания заявки. Вычисляется по формуле вычисления математического ожидания с плотностью 𝑓(𝜏) = 𝑒 : 3.2 СМО с ограниченной очередью В модели одноканальной СМО с ограниченной очередью имеется некоторое количество мест в очереди на обслуживание. Пусть их не более m. Если заявка поступает на СМО и все места в очереди заняты, она покидает систему, иначе встает в очередь. На вход системы поступает пуассоновский поток заявок. Параметры потоков те же, что и для СМО с отказами. Размеченный граф для данной системы имеет следующий вид: 17 Рис. 6. Размеченный граф для СМО с ограниченной очередью. У СМО имеется m+1 состояний, которые имеют следующий смысл: 𝑆 – канал обслуживания свободен; 𝑆 – канал обслуживания занят, но очереди нет; 𝑆 – канал обслуживания занят, в очереди одна заявка; 𝑆 – канал обслуживания занят, в очереди две заявки; 𝑆 – канал обслуживания занят, очередь занята. Запишем сразу выражения для предельных вероятностей состояний(в стационарном режиме): , где 𝜌 = . В правой части последнего равенства стоит сумма m+2 членов геометрической прогрессии с первым членом 𝑏 = 1 и знаменателем 𝑞 = 𝜌. Ее сумма равна 𝑆= 𝑏 (𝑞 − 1) 𝜌 −1 = 𝑞−1 𝜌−1 Тогда правая часть перепишется так: 𝑝 = 𝜌−1 𝜌 −1 18 Если 𝜌 = 1(то есть 𝜆 = 𝜇), то указанное выражение не определено. Тогда 𝑝 = 1 1 = 1+𝑚+1 𝑚+2 𝑝 =𝑝 =⋯=𝑝 =𝑝 = 1 𝑚+2 Если дополнительно потребовать, чтобы m=0, то 𝑝 = . Таким образом, можно перейти от рассмотрения СМО с ограниченной очередью к СМО с отказами в обслуживании. При этом 𝑝 = . Далее можно определить основные характеристики эффективности, которые для СМО с ограниченной очередью следующие: 1) Вероятность отказа: 𝑝отк = 𝑝 =𝜌 𝑝 2) Относительная пропускная способность канала: 𝑄 = 1 − 𝑝отк. = 1 − 𝜌 𝑝 3) Абсолютная пропускная способность канала: 𝑝 ) 𝐴 = 𝜆𝑄 = 𝜆(1 − 𝜌 4) Среднее число заявок, находящихся в очереди: 𝐿оч. = ( ( 𝐿оч. = ( )) )( ( ) ( ) ) , 𝜌 ≠ 1; ,𝜌 = 1 5) Среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди: 𝑇оч. = оч. 𝑇оч. = оч. = = ( ( ( )) )( ( ( )( ) )( ) ) ,𝜌 ≠ 1 ,𝜌 = 1 19 3.3 СМО с неограниченной очередью Рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания, на которую поступает пуассоновский поток заявок интенсивностью λ, и интенсивность потока обслуживания 𝜇. Количество мест в очереди уже не ограничивается, то есть в случае занятости канала обслуживания только что пришедшая заявка становится в очередь на обслуживание. Размеченный граф такой системы имеет вид: Рис. 7. Размеченный граф для СМО с неограниченной очередью. Количество состояний в данном случае бесконечно. 𝑆 - канал свободен, очереди нет; 𝑆 – канал занят обслуживанием, очереди нет; 𝑆 – канал занят, одна заявка в очереди; 𝑆 – канал занят, k-1 заявка в очереди. Аналитическую модель для одноканальной СМО с неограниченной очередью можно получить, если в системе для случая ограниченной очереди перейти к пределу при m, стремящемся к бесконечности. 20 Параметр 𝜌 является константой как отношение двух констант, поэтому он просто выносится за знак предела. Чтобы понять, куда стремится 𝑝 , нужно учесть, что данная формула представляет собой формулу суммы геометрической прогрессии. Бесконечная геометрическая прогрессия сходится лишь при |𝜌| < 1(что доказывается) и ее суммой является величина 𝑆= 𝑏 1−𝑞 Поэтому, так как 𝑏 = 1, 𝑞 = 𝜌, то 𝑝 → ( ) = 1 − 𝜌 при 𝑚 → ∞. Если 𝜌 < 1, то СМО находится в стационарном режиме, при 𝜌 > 1 очередь с течением времени растет до бесконечности. Характеристики эффективности СМО с неограниченной очередью: 1) Относительная пропускная способность: 2) Абсолютная пропускная способность: 3) Вероятность пребывания в очереди k заявок: p k k (1 ) 4) Среднее число заявок в очереди: Lоч 2 1 21 5) Среднее число заявок в системе: Lсмо Lоч Lоб 2 1 1 6) Среднее время пребывания заявки в системе: Tоч (1 ) 2 (1 ) 22 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1) Т.А. Радченко, А.В.Дылевский. Методы анализа систем массового обслуживания, учебное пособие для вузов. Воронеж, 2007. 2) В.Ф. Матвеев, В.Г. Ушаков. Системы массового обслуживания. Издательство Московского Университета, 1984. 3) Компьютерное моделирование. СМО. Лекции. 4) Г.И. Ивченко, В.А. Каштанов, И.Н. Коваленко. Теория массового обслуживания. Москва “Высшая школа”, 1982. 23
