Системы массового обслуживания Лямин Андрей Владимирович

Системы массового
обслуживания
Лямин Андрей Владимирович
Определение
Под системой массового обслуживания
(СМО) понимают динамическую систему,
предназначенную для эффективного
обслуживания случайного потока заявок
при ограниченных ресурсах системы.
Структура СМО
Заявки на
обслуживание
Очередь
Отказы
Устройства
Обработанные
заявки
Поток событий
Потоком событий (ПС) называется
последовательность событий, происходящих
последовательно в случайные моменты времени.
x(t)
5
3
2
1
0
t
t1
t2
t3
t4
t5
Простейший поток событий
Простейшим ПС называется поток,
обладающий одновременно свойствами
стационарности, ординарности и
отсутствия последствий.
Теорема 1. Для простейшего ПС
выполняется условие
(t ) t
Vk (t )  P( X (t )  k ) 
e
k!
k
Простейший поток событий
V1 (t )  P( X (t )  1)  t e
t0
P (T  t 0 )   e

0
t0
 e
0

d   t e
t
d
t
Классификация СМО
• СМО с отказами и с ожиданием
• СМО с ограниченным и неограниченным
числом устройств
• Однофазные и многофазные СМО
• Упорядоченные и неупорядоченные
СМО
• СМО с приоритетами
Обозначение СМО
•
•
•
•
•
A/B/m[/K[/L]]
A – описывает закон распределения интервалов
времени между последовательно
поступающими заявками
B – описывает закон распределения времени
обслуживания заявок
m – число обслуживающих устройств
K – емкость накопителя системы
L – число источников нагрузки
Обозначение СМО
•
•
•
•
M – экспоненциальное распределение
Er – распределение Эрланга порядка r
D – детерминированное распределение
G – распределение произвольного типа
Компоненты СМО
  1/ M[ A]
A1
A2
A3
A4
  1/ M[ S ]
S1
S2
S3
S4
Характеристики СМО
• Коэффициент загрузки устройства –
=/(m)
• Среднее время ожидания заявки в
очереди – d
• Среднее время пребывания заявки в
системе – w
• Средняя длина очереди – q
• Среднее число заявок в системе – l
Основные соотношения
n
d  lim
n 
d
i 1
n
i
n
w  lim
n 
T
q  lim
T 
 q(t )dt
0
w
i 1
n
T
l  lim
i
 l (t )dt
0
T 
T
T
q  d
l  w
w  d  M[ S ]
СМО M/M/1
• t – системное время
• tA – время поступления следующей заявки
• tS – время окончания обслуживания текущей
заявки
• b – очередь
• x – состояние устройства
• P – время обработки
• Q – количество задержек
• {Ai}={0.4, 1.2, 0.5, 1.7, 0.2}
• {Si}={2.0, 0.7, 0.2, 1.1, 3.7}
•
•
•
•
t = 0;
b = {};
Q = 0;
tA = 0.4;
x = 0;
P = 0;
tS = Null.
•
•
•
•
t = 0.4;
b = {};
Q = 0;
tA = 1.6;
x = 1;
P = 0;
tS = 2.4.
• {Ai}={0.4, 1.2, 0.5, 1.7, 0.2}
• {Si}={2.0, 0.7, 0.2, 1.1, 3.7}
•
•
•
•
t = 0.4;
b = {};
Q = 0;
tA = 1.6;
x = 1;
P = 0;
tS = 2.4.
•
•
•
•
t = 1.6;
b = {1};
Q = 0;
tA =2.1;
x = 1;
P = 1.2;
tS = 2.4.
• {Ai}={0.4, 1.2, 0.5, 1.7, 0.2}
• {Si}={2.0, 0.7, 0.2, 1.1, 3.7}
•
•
•
•
t = 1.6;
b = {1};
Q = 0;
tA =2.1;
x = 1;
P = 1.2;
tS = 2.4.
•
•
•
•
t = 2.1;
b = {1,1};
Q = 0.5;
tA =3.8;
x = 1;
P = 1.7;
tS = 2.4.
• {Ai}={0.4, 1.2, 0.5, 1.7, 0.2}
• {Si}={2.0, 0.7, 0.2, 1.1, 3.7}
•
•
•
•
t = 2.1;
b = {1,1};
Q = 0.5;
tA =3.8;
x = 1;
P = 1.7;
tS = 2.4.
•
•
•
•
t = 2.4;
b = {1};
Q = 1.1;
tA =3.8;
x = 1;
P = 2.0;
tS = 3.1.
• {Ai}={0.4, 1.2, 0.5, 1.7, 0.2}
• {Si}={2.0, 0.7, 0.2, 1.1, 3.7}
•
•
•
•
t = 2.4;
b = {1};
Q = 1.1;
tA =3.8;
x = 1;
P = 2.0;
tS = 3.1.
•
•
•
•
t = 3.1;
b = {};
Q = 1.8;
tA =3.8;
x = 1;
P = 2.7;
tS = 3.3.
• {Ai}={0.4, 1.2, 0.5, 1.7, 0.2}
• {Si}={2.0, 0.7, 0.2, 1.1, 3.7}
•
•
•
•
t = 3.1;
b = {};
Q = 1.8;
tA =3.8;
x = 1;
P = 2.7;
tS = 3.3.
•
•
•
•
t = 3.3;
b = {};
Q = 1.8;
tA =3.8;
x = 0;
P = 2.9;
tS = Null.
• {Ai}={0.4, 1.2, 0.5, 1.7, 0.2}
• {Si}={2.0, 0.7, 0.2, 1.1, 3.7}
•
•
•
•
t = 3.3;
b = {};
Q = 1.8;
tA =3.8;
x = 0;
P = 2.9;
tS = Null.
•
•
•
•
t = 3.8;
b = {};
Q = 1.8;
tA =4.0;
x = 1;
P = 2.9;
tS = 4.9.
• {Ai}={0.4, 1.2, 0.5, 1.7, 0.2}
• {Si}={2.0, 0.7, 0.2, 1.1, 3.7}
•
•
•
•
t = 3.8;
b = {};
Q = 1.8;
tA =4.0;
x = 1;
P = 2.9;
tS = 4.9.
•
•
•
•
t = 4.0;
b = {1};
Q = 1.8;
tA =Null;
x = 1;
P = 3.1;
tS = 4.9.
Обработка результатов
• Общее время моделирования
– T = 4.0
• Среднее число требований в очереди
– q = Q/T = 1.8/4.0 = 0.45
• Коэффициент использования устройства
–  = P/T = 3.1/4.0 = 0.775