об усовершенствовании mva-метода для открытых сетей мо и

ОБ УСОВЕРШЕНСТВОВАНИИ MVA-МЕТОДА ДЛЯ ОТКРЫТЫХ
СЕТЕЙ МО И ЕГО ПРИМЕНЕНИИ
Е.В. Колузаева
В статье проводится усовершенствование разработанного ранее
рекуррентного по моментам времени метода нахождения средних
характеристик открытых произвольных сетей массового обслуживания (МО)
с однотипными заявками и многолинейными системами обслуживания (СМО).
Известно, что они являются стохастическими моделями информационнокомпьютерных систем и сетей. Времена обслуживания в линиях СМО могут
быть распределены по законам, отличным от экспоненциального.
Интенсивное развитие информационно-компьютерных сетей (ИКС) в
последние два десятилетия выдвинуло новую проблему проектирования и
анализа ИКС. В общем виде задача анализа ИКС состоит в том, чтобы
оценить показатели производительности при заданных параметрах
технического, программного обеспечения ИКС и внешней среды. При
решении такой задачи, как правило, необходимо учитывать случайную
природу многих факторов, от которых зависит производительность ИКС,
поэтому все более широкое распространение для анализа ИКС получают
методы математического моделирования, а именно методы теории МО.
Анализ немарковских моделей сетевых систем с помощью
аналитических методов наталкивается на значительные трудности, которые
обусловлены отсутствием независимости длительностей пребывания заявок в
различных узлах сетевых моделей с нестандартными дисциплинами, а их
программная реализация отличается большой трудоемкостью, либо
значительными погрешностями в оценке показателей производительности
ИКС в области средней и большой нагрузки. Поэтому для анализа сетей МО,
не относящихся к классу мультипликативных, используют приближенные
методы. В данной статье рассмотрен рекуррентный по моментам времени
MVA – метод анализа средних значений для произвольной открытой сети
МО, который применяется для анализа сетевой модели ИКС с центральным
обслуживающим устройством.
Рассмотрим открытую сеть МО, состоящую из n СМО S1 , S 2 , . . .S,n .
Дисциплины обслуживания в каждой из них – FIFO. Система обслуживания
S i состоит из m i идентичных линий обслуживания, время обслуживания
заявок в которых распределено по произвольному закону с интенсивностью
i , i  1, n . Пусть  – интенсивность поступления заявок в сеть, pij –
вероятность того, что заявка после обслуживания в системе S i поступит на
обслуживание в систему S j ,
n
 pij
 1 , i, j  1, n .
j 1
Ранее для анализа средних значений открытой сети МО,
функционирующей на большом промежутке времени, был предложен
рекуррентный по моментам времени метод [1]:
i (t )  min N i (t ), mi , i  1, n ,
 i (t ) 
(1)
N i (t )
, i  1, n ,
i  i (t )
(2)
N i (t  t )  i i (t ), i  1, n ,
(3)
где N i (t ) ,  i (t ) ,  i (t ) – соответственно среднее число заявок, среднее время
пребывания заявок (в очереди и на обслуживании) и среднее число занятых
линий обслуживания в i -ой СМО на интервале времени [t 0 , t 0  T ] , t  T , а
n
i  ei , где ei удовлетворяют системе уравнений ei  p0i   e j p ji , p0 i –
j 1
вероятность поступления заявки из внешней среды в систему S i , i  1, n .
Экспериментальным путем было установлено, что соотношения (1) – (3)
дают хорошее приближение для вышеуказанных средних характеристик в
ei
случаях, когда коэффициенты загрузки системы ui 
невелики, а
mi  i
именно не превышают значения 0,5. Для систем с большим коэффициентом
загрузки более подробно рассмотрим среднее время пребывания заявки в
системе. Пусть заявка, поступившая в i -ю СМО в момент времени t , видит
перед собой N i (t ) заявок. Тогда среднее время, которое проведет вновь
пришедшая заявка в этой системе, состоит из:
1) среднего времени обслуживания этой заявки в ней 1  i ;
2) среднего времени Ti (t ) , через которое вновь пришедшая заявка из
очереди поступит на обслуживание в СМО. Здесь возможно три случая:
а) в очереди нет заявок, т.е. N i (t )   i (t )  0 , и есть свободные линии,
тогда это время будет равно нулю Ti (t )  0 ;
б) среднее число заявок в СМО больше числа обслуживающих линий, а
среднее число заявок в очереди меньше числа линий обслуживания
0  N i (t )   i (t )  mi . В этом случае из (1) следует, что среднее число занятых
линий равно mi . Для нахождения среднего остаточного времени
обслуживания заявки в однолинейной СМО часто используется известная в
 1
 i i2 
 , где i 1 – среднее время

теории восстановлении [2] формула 
2 
 2i
обслуживания заявок в каждой линии, а  i2 – дисперсия этого времени.
Аналогичным образом можно получить формулу для среднего остаточного
времени, через которое наступит освобождение первой по времени линии
СМО с mi линиями обслуживания. Так как заявки покидают СМО с mi
линиями обслуживания в среднем в mi раз чаще, чем в однолинейной СМО,
1
1
то справедливы следующие соотношения: M  M  i1 , а
mi
mi
D 
1
D 
1
 i2 , где 
– случайная величина, означающая длины
mi
mi
интервалов между моментами освобождения линий в многолинейной СМО, а
 – случайная величина, соответствующая длинам интервалов между
2
2
освобождениями линии в однолинейной СМО. Подставляя полученные
выражения в формулу для среднего остаточного времени, получаем формулу
 i i2 
1  1

 для среднего остаточного времени, через которое

mi  2 i
2 
освободится первая линия mi -линейной СМО. Поэтому последняя заявка из
очереди поступит на обслуживание в среднем через время
N i (t )   i (t )  1
 i i2 


 2  2  , а время Ti (t ) равно
mi
 i

N i (t )  i (t )  1  1
i i2 

;
Ti (t ) 

mi
2 
 2 i
(4)
в) среднее число заявок в очереди больше или равно числа линий
обслуживания N i (t )   i (t )  mi . Рассуждая аналогично как в случае б)
получаем, что заявка, стоящая в очереди на m i -ой позиции, поступит на
 1
 i i2 

 , а заявка, стоящая

обслуживание в СМО в среднем через время 

2

2
 i

 1
 i i2  1
 ,

в очереди на (mi  1) -ой позиции – в среднем через время 
 
2

2
i
i


т.е. через время, за которое обслужиться первая заявка из очереди. Если
N (t )   i (t )
обозначить через  i целую часть от i
, то последняя заявка из
mi
очереди уйдет через время
N i (t )   i (t )  i mi  1
i i2 
1


(  1) 
 2  2 
i i
mi
 i

и
Ti (t ) 
1
i
(i  1) 
N i (t )   i (t )  i mi  1  1
i i2 

.

 2

mi
2
 i

(5)
Таким образом, для систем с большим коэффициентом загрузки для
нахождения средних характеристик открытых сетей МО можно
воспользоваться следующими соотношениями:
 i (t ) вычисляется по формуле (1);
1
(6)
 i (t )   Ti (t ) ,
i
где Ti (t ) равно нулю, если N i (t )   i (t )  0 ; и Ti (t ) находиться по формуле
(4), если 0  N i (t )   i (t )  mi или по формуле (5), если N i (t )   i (t )  mi ;
N i (t ) при этом вычисляется по формуле (3).
Пример 1. Рассмотрим сеть МО с параметрами
  15 ;
m1  m2  m4  m5  2 ,
m3  3 ;
N1 (0)  5, N 2 (0)  3 ,
N 3 (0)  N 4 (0)  4 ,
N 5 (0)  6 , p01  p24  p45  p35  p50  1 , p12  p13  0.5 , остальные pij  0 ,
i, j  1, 5 . В этом случае e1  e5  1 , e 2  e3  e 4  0.5 .
Времена обслуживания заявок в каждой линии системы S1 распределены
по закону Эрланга с параметрами   1, 1  9 ; в каждой линии систем S 2 и
S 4 – по нормальному закону с параметрами
a1  0.1,  1  0.05 и
a2  0.08,  2  0.05 соответственно; в каждой линии систем S 3 и S 5 – по
показательному закону соответственно с параметрами  3  6 ,  5  9 .
Результаты расчетов, полученные с помощью имитационного моделирования
и используя соотношения (1) – (3) для систем S 2 , S 3 , S 4 , а соотношения (1),
(6), (3) для систем S1 и S 5 приведены в таблице 1.
Таблица 1.
S1
S2
S3
S4
S5
N iм
5,205
0,854
1,361
0,672
5,455
N ip
5
0,833
3,938
0,75
0,375
12,178
1,25
0,417
8,159
0,6
0,300
10,754
5
0,833
8,331
ui
i
В последней строке таблицы значения  i 
N iм  N ip
 100 %, i  1, 5 , означают
N iм
относительные погрешности вычисления величины N ip .
Пример 2. Рассмотрим сеть МО, изображенную на рис. 1, которая
является моделью локальной компьютерной сети; при этом системы
S1 , S 2 , ..., S n 1 соответствуют периферийным компьютерам, а система S n –
центральному компьютеру (серверу).
p 0i  0.2, i  1,2,5 ,
p 03  0.3 ,
p 04  0.1 ,
n  5,   15 ,
Пусть
p10  p50  0.5, p20  0.7, p30  0.3, p40  0.4 , p51  0.25, p52  0.05 , p 25  0.3 ,
p53  0.08, p54  0.12, p15  0.5 , p35  0.7 , p45  0.6 , m1  2 , m 2  m3  3 ,
m 4  2, m5  4 ; времена обслуживания заявок в линиях СМО распределены
по экспоненциальному закону соответственно с параметрами 1  7.2 ,
 2   5  6 ,  3  3.5,  4  7 . В данном случае e1  0.415, e 2  0.243 ,
e3  0.369 , e 4  0.203 , e5  0.861 . Результаты расчетов точным [3] и
рекуррентным методом (4) – (6) при N1 (0)  N 3 (0)  1 , N 2 (0)  N 4 (0)  8 ,
N 5 (0)  6 приведены в таблице 2.
1  p01
p10
1
S1
2
p1n
pn1
n
Рис. 1. Архитектура сети для примера 2.
Таблица 2.
S1
S2
S3
S4
S5
N iт
1,064
0,614
1,878
0,457
2,400
N ip
0,865
0,432
18,702
0,608
0,203
1,054
2,108
0,527
12,253
0,436
0,218
4,744
2,690
0,538
12,066
ui
i
Из таблиц 1, 2 видно, что рекуррентный метод (1) – (3) дает приемлемые
результаты для систем сети с небольшими коэффициентами загрузки, а метод
(1), (4), (3) – для систем с коэффициентом загрузки превышающим значение
0,5.
Литература:
1. Маталыцкий М.А., Колузаева Е.В. Об одном рекуррентном по моментам
времени методе анализа средних значений для открытых сетей с
однотипными заявками// Вестник ГрГУ. Сер.2. – 2008.– № 2.
2. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания: учебное
пособие.– Томск:Изд-во НТЛ. 2004. – 228 с.
3. Маталыцкий М.А., Русилко Т.В. Математический анализ стохастических
моделей в страховых компаниях: монография. – Гродно: ГрГУ, 2007. – 335
с.
Екатерина
Владимировна
Колузаева,
аспирантка
кафедры
стохастического анализа и эконометрии факультета математики и
информатики Гродненского государственного университета им. Янки
Купалы, [email protected].