УДК 624.042.7 : 004.4
НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ РАСЧЕТА НА СЕЙСМИЧЕСКИЕ
ВОЗДЕЙСТВИЯ В ПРОГРАММНОМ КОМПЛЕКСЕ
ЛИРА-САПР
Городецкий А.С.
Научно-исследовательский институт строительного производства
Гензерский Ю.В.
ООО ЛИРА-САПР
г. Киев, Украина
АНОТАЦІЯ: розглядаються можливості програмного комплексу ЛІРАСАПР при розрахунку будівель та споруд на сейсмічні впливи: модулі
розрахунку на сейсмічні впливи, пряме інтегрування рівнянь руху,
діагональна та узгоджена матриці мас, автоматизоване формування
матриці мас, врахування пружної основи, врахування обертального моменту, діючого на конструкцію будівлі або споруди при сейсмічному впливі.
АННОТАЦИЯ: рассматриваются возможности программного комплекса
ЛИРА-САПР при расчете зданий и сооружений на сейсмические
воздействия: модули расчета на сейсмические воздействия, прямое
интегрирование уравнений движения, диагональная и согласованная
матрицы масс, автоматизированное формирование матрицы масс, учет
упругого основания, учет крутящего момента, действующего на
конструкцию здания или сооружения при сейсмическом воздействии.
ABSTRACT: In the article capabilities of program complex LIRA-SAPR at
calculation of buildings and installations on seismic influence: calculations`
moduli on seismic influence, direct integration of motion`s equation, diagonal
and consistent mass matrices, automated formation of mass matrix, taking into
account elastic foundation, taking into account torsion moment acting on
structure of building or installation at seismic influence are considered.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА:
конструкция, основание
сейсмика,
ЛИРА-САПР,
акселерограмма,
МОДУЛИ РАСЧЕТА НА СЕЙСМИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
Программный комплекс ЛИРА-САПР предоставляет широкие
возможности для выполнения расчетов на сейсмические воздействия по
строительным нормам многих стран. В ЛИРА-САПР включены
следующие модули расчета на сейсмические воздействия:
• Модуль 27 – расчет по однокомпонентной акселерограмме
землетрясения;
• Модуль 29 – расчет по трехкомпонентной акселерограмме
землетрясения;
• Модуль 30 – СНиП II-7- 81* с изменениями на 01.01.1996г.;
• Модуль 36 – строительные нормы Украины ДБН В.1.1-12:2006;
• Модуль 37 – строительные нормы Украины ДБН В.1.1-12:2006
(приложение В);
• Модуль 46 – строительные нормы Украины ДБН В.1.1-12:2006
(приложение Г);
• Модуль прямого интегрирования уравнений движения.
Практические способы расчета базируются на динамическом
анализе сооружений, как упругих систем. Значительная часть методов
расчета (в том числе и регламентированных строительными нормами)
основана на проекционном методе разложения решения по формам
собственных колебаний. Для определения форм собственных колебаний
решается частичная проблема собственных значений
(1)
KФ = ΩMФ,
{ }
где Ω = diag ωi2 – диагональная матрица квадратов собственных частот,
соответствующих собственным формам колебаний
r r
r
ϕ i , i = 1,2,..., m ; Ф = [ϕ1 , ϕ 2 ,...,ϕ m ] ;
M , K – соответственно матрицы масс, жесткости системы.
На этом этапе используется метод итерации подпространства.
Собственные вектора удовлетворяют граничные условия и обладают
свойствами ортогональности
r
r
r
r
ϕ iT M ϕ j = 0, ϕ iT K ϕ j = 0, i ≠ j .
(2)
После определения частот
собственные
нормируются по отношению к матрице масс, то есть
ФT М Ф = E.
формы
колебаний
(3)
Если предположить, что соответствующие условия ортогональности
применимы к силам затухания, представленным матрицей демпфирования
C , то система уравнений (1) относительно обобщенных координат
распадается на отдельные уравнения
∑(Ф Mvr u
2
&y&i + 2ξωi y&i + ωi yi = −
3
T
j =1
j
j g lin (t )
)− ∑(Ф Mvr u
6
j
j g rot (t )
T
j =4
), i = 1,...,m,
где исходные перемещения аппроксимируются этой формулой
r
r
u (t ) = Фy (t ).
(4)
(5)
ПРЯМОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Для решения проблемы динамического расчета конструкций
используют два основных метода: прямое интегрирование и разложение по
собственным формам. Метод разложения по собственным формам можно
применять только в рамках линейного расчета, так как принцип
суперпозиций недействителен в рамках нелинейной теории. Методы же
прямого интегрирования носят общий характер и могут применяться для
решения всех задач динамического расчета конструкций.
Расчет на сейсмические воздействия основан, как известно, на решении
системы дифференциальных уравнений
r
r
r
r
Mu&&(t ) + Cu& (t ) + Ku (t ) = q (t ) ,
(6)
где M , C , K – соответственно матрицы масс, демпфирования и жесткости
r
r
r
системы, u (t ), u& (t ), u&&(t ) – векторы узловых перемещений, скоростей и
r
ускорений в момент времени t , q (t ) – нагрузка, соответствующая моменту
времени t . При сейсмическом воздействии, если принята интегральная
модель воздействия, правая часть имеет вид
r
q (t ) = −
∑ (M vr u
3
i
i =1
i
g lin
) ∑ (M vr u
(t ) −
6
i
i =4
i
g rot
)
(t ) .
(7)
Под интегральной моделью воздействия подразумевается, что в
пределах массива грунтового основания выполнено усреднение и
движение грунтового массива в пространстве как единого целого,
определено вектором ускорений поступательных перемещений u gi lin (t ) и
вектором ускорений угловых перемещений u gi rot (t ) .
Из рассмотрения (7) как системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами следует, что аппроксимировать скорости, ускорения и перемещения можно любыми конечноразностными выражениями в перемещениях. Для ускорений в момент
времени t , используя метод центральных разностей, можно записать
r
r
r
u (t + Δt ) − 2u (t ) + u (t − Δt )
r
u&&(t ) =
.
(8)
Δt 2
Ошибка вычислений по этой формуле имеет порядок Δt 2 , и для
вычисления скоростей и перемещений с ошибками того же порядка
необходимо использовать выражения
r
r
u (t + Δt ) − u (t − Δt )
r
;
(9)
u& (t ) =
2Δt
r
r
u (t + Δt ) + u (t − Δt )
r
.
(10)
u (t ) =
2
Подставляя выражения (8), (9) и (10) в выражение (6) и определяя
r
вектор перемещений в следующий момент времени u (t + Δt ) , получаем
следующую систему уравнений
C K⎤r
2M r
C K ⎤r
⎡M
⎡M
⎢⎣ Δt 2 + 2Δt + 2 ⎥⎦u (t + Δt ) = q(t ) + Δt 2 u (t ) − ⎢⎣ Δt 2 − 2Δt + 2 ⎥⎦u (t − Δt ).
(11)
r
“Новые” перемещения u (t + Δt ) определяются по ранее найденным
r
r
перемещениям u (t ) и u (t − Δt ) путем решения системы уравнений (11).
Подобные схемы интегрирования называются схемами неявного
интегрирования. Данная схема интегрирования получила название
модифицированного метода центральных разностей. Выражение (11)
является исходным при решении как линейных, так и нелинейных задач
прямым динамическим расчетом.
ДИАГОНАЛЬНАЯ И СОГЛАСОВАННАЯ МАТРИЦЫ МАСС
В предыдущих версиях ПК ЛИРА при определении собственных пар
применялась только сосредоточенная по линейным степеням свободы
диагональная матрица масс, что существенно снижало точность
определения форм и частот собственных колебаний. В программном
комплексе ЛИРА-САПР используется (по выбору пользователя) и
согласованная матрица масс, построенная по тем же аппроксимирующим
функциям, что и строилась матрица жесткости. При таком подходе
учитывается и инерция вращения – появляются “крутильные” элементы
матрицы масс.
На примере плоского стержневого элемента показано отличия
диагональной и согласованной матриц масс. Выражение (*) впервые было
получено Зенкевичем и Ченгом. Для матрицы распределенных масс
элемента был введен термин “согласованная матрица масс” – эта матрица
является единственно допустимой матрицей, используемой при расчете.
При замене согласованной на диагональную матрицу масс, вычисление
собственных частот становится намного проще, но при этом значения
полученных частот приблизительны особенно для высших собственных
пар.
АВТОМАТИЗИРОВАННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕСОВ МАСС
При расчете на динамические воздействия предоставляется возможность производить автоматизированное формирование матрицы масс,
составляемой из заданных на конечные элементы местных распределенных
нагрузок или распределенных весов масс или удельных весов материала
элементов схемы.
Допускается формирование матрицы масс двух видов:
- согласованная (другие названия: полная матрица масс, матрица
распределенных масс);
- диагональная (матрица сосредоточенных масс).
Согласованная (полная) матрица масс. Коэффициенты матрицы масс
определяются при помощи аппроксимирующих полиномов, используемых
при составлении матрицы жесткости. В этом случае автоматически
формируется матрица масс, учитывающая взаимовлияние поступательных
и вращательных степеней свободы и содержащая ненулевые
недиагональные элементы. При составлении этой матрицы шарнирное
соединение элемента с узлом схемы не учитывается.
Вид согласованной матрицы масс плоского стержня:
u1
v1
ϕ1
u2
v2
0
70 0
⎡140 0
⎢ 0 156 − 22L 0
54
⎢
2
⎢
0
22
L
4
L
0
13L
−
−
ρFL
⎢
0
0 140 0
420 ⎢ 70
⎢0
54 −13L 0 156
⎢
2
⎢⎣ 0 13L −3L 0 22L
ϕ 2
0 ⎤
13L ⎥⎥
−3L2⎥
⎥.
0 ⎥
22L ⎥
⎥
4L2 ⎥⎦
Коэффициенты матрицы масс всей схемы (как и коэффициенты
матрицы жесткости) определяются суммированием коэффициентов масс
конечных элементов, связанных с соответствующими степенями свободы
расчетной схемы. Ниже для сравнения показан вид матрицы жесткости
плоского стержня:
u1
⎡ EF
⎢
⎢ L
⎢
⎢ 0
⎢
⎢
⎢ 0
⎢
⎢ EF
⎢−
l
⎢
⎢
⎢ 0
⎢
⎢
⎢ 0
⎣⎢
где
v1
0
12EJ
L3
6EJ
L2
0
− 12EJ
L3
6EJ
L2
ϕ1
u2
0
6EJ
L2
4EJ
L
− EF
l
0
0
− 6EJ
L2
2EJ
L
EF
l
0
0
0
ϕ2
v2
0
12
− EJ
L3
− 6EJ
L2
0
12EJ
L3
6
− EJ
L2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
− 6EJ ⎥⎥
L2 ⎥
4EJ ⎥
L ⎥⎦⎥
0
6EJ
L2
2EJ
L
,
ρ – плотность стержня;
L – длина стержня;
F – площадь сечения стержня;
u1, u2 – продольные перемещения концов;
v1, v2 – поперечные перемещения концов;
φ1, φ2 – повороты концов стержня;
EF – осевая жесткость;
EJ – изгибная жесткость.
ДИАГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА МАСС
Если
в
задаче
предполагается
наличие
независимых
поступательных степеней свободы, то имеет место диагональная матрица.
Недиагональные члены матрицы масс равны нулю, так как по
определению сосредоточенные массы не влияют друг на друга и не имеют
моментов инерции поворота. В диагональной матрице масс присутствуют
только поступательные степени свободы, и автоматизированное
распределение весов масс выполняется только для них.
Вид диагональной матрицы масс плоского стержня:
u1 v1 ϕ1 u 2 v 2 ϕ 2
⎡1 0 0 0 0 0⎤
⎢ 1 0 0 0 0⎥
⎥
⎢
0 0 0 0⎥
ρFL ⎢
⎥.
⎢
1 0 0⎥
2 ⎢
⎢
1 0⎥
⎥
⎢
0⎥⎦
⎢⎣
В таблице результатов расчета Распределение весов масс всегда
выдаются суммарные веса масс только по поступательным степеням
свободы, то есть величины, соответствующие коэффициентам диагональной матрицы масс.
УЧЕТ УПРУГОГО ОСНОВАНИЯ ПРИ РАСЧЕТЕ
НА СЕЙСМИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
Учет упругого основания при расчете на сейсмические воздействия.
Н.А. Цытович [4] рекомендует определять С1 по эмпирической формуле
О.А. Савинова, подтвержденной опытами. Правда, Цытович рекомендует
применять ее при динамических воздействиях, а прочие авторы это
упускают из вида.
⎛
2(l + b ) ⎞ p
⎟
(12)
C1 = С 0 ⎜⎜1 +
Δ l b ⎟⎠ p0
⎝
для прямоугольника с размерами l*b и
⎛
2 ⎞ p
⎟⎟
C1 = С0 ⎜⎜1 +
⎝ Δ R ⎠ p0
для круга радиусом R,
где С0 – коэффициент жесткости, принимаемый по табл. 1;
Наименование грунта
Пески:
- пылеватые, очень влажные и насыщенные водой;
- мелкие, независимо от плотности и влажности;
- средней крупности, крупные и гравелистые,
независимо от плотности и влажности.
Глины, суглинки и супеси:
- находящиеся в пластическом состоянии, близком к
границе текучести;
- пластичные;
- твердые.
p0 – давление под опытным штампом, равное 2 т/м2;
p – среднее давление под подошвой в т/м2;
Δ – константа упругости основания, равная 1м –1 .
(13)
Таблица 1
С0
800…1000
1000…1200
1200…1600
500…1000
1000…2000
2000…3000
УЧЕТ КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА ПРИ СЕЙСМИЧЕСКОМ
ВОЗДЕЙСТВИИ
В соответствии с [1] (пункт 2.3.12) крутильная сейсмическая
нагрузка принимается по формуле
i = P * (e + e ) ,
M kp
i
i
(14)
Рi – горизонтальные сейсмические силы в уровне i-го этажа;
ei ≥ 0,1*B –эксцентриситет между центром масс и центром
жесткости i-го этажа;
e – дополнительный эксцентриситет от вращательного движения
грунта (принимается равным 0,02*В, 0,05*В, 0,06*В для грунтов I, II III
категории);
В – размер здания в направлении, перпендикулярном действию
сейсмических сил.
В соответствии с [2] (пункт 2.15) крутящий момент относительно
вертикальной оси здания, проходящей через его центр жесткости
i
(15)
M kp
= Pi * (0,1* B ).
где
В соответствии с актуализированными СП 14.13330.2011 [3] (пункт
5.15) крутящий момент относительно вертикальной оси здания,
проходящей через его центр жесткости
(16)
M i = Pi * (0,1 * B ).
kp
Положения сейсмических норм, касающиеся учета крутящего
момента относительно вертикальной оси здания, относятся к объектам, у
которых положение в плане центра жесткости и центра масс совпадает
вдоль всей высоты сооружения.
Для таких случаев приведенный в нормах метод расчета не
позволяет получить инерционные сейсмические силы от крутильных
(вокруг вертикальной оси здания) форм собственных колебаний, так как:
- метод ориентирован на расчет сооружений по консольной схеме;
- определение периодов и форм собственных колебаний
производится для масс, действующих поступательно, то есть моменты
инерции масс в расчете не участвуют;
- числитель формулы для определения коэффициента участия
(распределения) обращается в ноль.
По указанной причине расчет таких объектов по пространственной
расчетной схеме также не приводит к получению инерционных сил от
крутильных форм собственных колебаний.
Для сооружений с любыми размерами в плане, у которых центры
жесткости и масс не совпадают, данный метод расчета автоматически
приводит к получению ненулевых инерционных сил от крутильных форм
собственных колебаний, даже если при определении периодов и форм не
учитывались моменты инерции масс. Поэтому упомянутые положения
сейсмических норм в такой ситуации оказываются излишними.
Что касается программного комплекса ЛИРА-САПР 2011, то он
ориентирован на расчет сооружений по пространственной расчетной схеме
на основании рассматриваемого здесь метода со всеми особенностями,
которые описаны выше.
Получение ненулевых инерционных сил от крутильных форм
колебаний для всех сооружений без исключения обеспечивают расчетные
модули ПК ЛИРА-САПР 2011, в которых реализованы модели
Ю.П. Назарова (модули 38 и 46) и В.К. Егупова (модуль 37). Расчет по
этим моделям может дать представление о степени влияния кручения
сооружения на общий результат расчета.
При необходимости, положения норм относительно кручения могут
быть учтены в ПК ЛИРА-САПР 2011 при помощи задания отдельного
статического загружения, моделирующего требуемый момент вокруг
вертикальной оси.
Учет крутящих моментов в этом случае рекомендуется производить
следующим образом:
- определить сейсмические инерционные силы в уровне этажей;
- просуммировать их и определить крутящие моменты в уровнях
этажей;
- приложить сейсмические моменты как отдельное статическое
загружение;
- при расчете РСУ обозначить это загружение как сопутствующее
сейсмическому и объявить его знакопеременным.
Методы расчета конструкций на сейсмические воздействия,
реализованные в ПК ЛИРА-САПР 2011 непрерывно совершенствуются:
- увеличивается быстродействие расчета на динамические
воздействия;
- реализуются новые методы, в частности, в ближайших планах
предполагается реализация метода PUSHOVER, метода учета нелинейных
деформаций, предлагаемого специалистами НИИСК.
ЛИТЕРАТУРА
1. Будівництво у сейсмічних районах України: ДБН В.1.1 – 12:2006. – К.:
Мінбуд України, 2006. – 84 с.
2. Строительство в сейсмических районах: СНиП II-7-81*. – М.: Минстрой
России, 1995. – 129 с.
3. Строительство в сейсмических районах: СП 14.13330.2011. – М.: Минрегион
России, 2011. – 73 с.
4. Цытович Н.А. Механика грунтов / Цытович Н.А. - [4-е изд.]. - М., 1963. С. 354-358.
Статья поступила в редакцию 10.04.2012 г.
