Многофотонные надпороговые порцессы в атомах

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
УДФ. 1111
Свиридов Сергей Анатольевич
Многофотонные надпороговые порцессы в атомах
537.228.5 — Эффект Штарка
539.184.2 — Энергетические уровни и их структура
537.226.1 — Диэлектрическая проницаемость в целом
Диссертация на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук
Научный руководитель
доктор физико-математических наук
Манаков Н.Л.
Воронеж 2008
1
Оглавление
Введение
4
1 Надпороговые процессы в сложных атомах
8
1.1 Метод модельного потенциала Фьюса . . . . . . . . . . . . .
8
1.2 Поляризуемость сложных атомов . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2.1
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2.2
Поляризуемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.2.3
Обобщённые штурмовские разложения функции Грина для потенциала Фьюса и радиальных матричных
элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Численные результаты и обсуждение . . . . . . . . .
22
1.3 Двух-фотонная ионизация сложных атомов . . . . . . . . . .
31
1.2.4
1.3.1
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.3.2
Основные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.3.3
Расчет сечения надпороговой ДФИ . . . . . . . . . . .
34
1.3.4
Численные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2 Релятивистская поляризуемость водорода
2.1 Релятивистская поляризуемость водорода . . . . . . . . . . .
42
42
2.1.1
Поляризуемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.1.2
Основное состояния водорода . . . . . . . . . . . . . .
44
2
2.1.3
Радиальные интегралы первого порядка для основного состояния релятивистского водорода . . . . . . . .
45
2.1.4
Нерелятивистский переход . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.1.5
Штурмовское разложение gk и gk
(1)
. . . . . . . . . . .
48
2.2 Рекуррентные соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3 Заключение
52
A Приложение к нерелятивистской поляризуемости
53
B Прилжение к двухфотонной ионизации
56
C Приложения к проблеме релятивистской поляризуемости
58
D Черновики
59
D.1 Уравнение Дирака для кулоновского потенциала . . . . . . .
59
D.2 Четность состояний в релятивистском подходе . . . . . . . .
63
D.3 Лазерное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
D.4 Размерности величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
D.5 Рекурентные соотношения для вычисления ядра функции
Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
D.6 Обобщенное разложение кулоновской функции Грина линейного уравнения Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
D.7 Матричные элементы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
D.8 Матричные элементы. Часть 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
E Таблицы и графики
73
3
Литература
81
4
Введение
В последние годы наблюдается интерес к анализу многофотонного
взаимодействия лазерных полей с вществом. В таких процессах в едининичном акте взаимдействия участвуют сразу несколько фотонов. В некоторых
экспериментах количство фотонов достигало нескольких сотен []. Исследования в этой области позволили обнаружить ряд интересных закономерностей, таких как, например, эффект плато, когда амплитуда процесса слабо меняется в широком диапазоне количества поглащаемых и испускаемых
фотонов. Актуальной становится задача теоретического анализа подобных
процессов. Рассчет амплитуд многофотонных переходов, не простой сам
по себе, значильно усложняется, когда энергия поглащенных фотонов превышает порог ионизации атома. Такие переходы называются надпороговыми. Энергия промежуточных (виртуальных) состояний может выходить в
непрерывный спектр как за счет большого количества поглащенных фотонов, так и за счет использования высокочастотных источников лазерного
поля — в соврмененых экспериментах для получения когерентого излучения ультрафилетового и рентгеновского диапазонов применяют генерацию
гармоник [] и лазеры на свободных электронах [].
В случае многозарядных атомов и ионов проблема становится значительно сложнее. Разработано немало методик для решения подобных задач. Эти методики можно разделить на многочастичные и одночастичные.
В многочастичных расчетах, проводимых ab initio, в большинстве
5
случаев используют хартри-фоковский подход и его модификации, позволяющие более точно учесть межэлектронное (корреляционное) взаимодействие при вычислении волновых функций и дипольных матричных элементов. Следует иметь в виду, что несмотря на достаточно детальное развитие, многочастичные методы не позволяют с высокой точностью вычислять
волновые функции высоковозбужденных уровней. Поэтому при расчете амплитуд приходится вычислять линейный отклик атома на внешнее возмущение путём прямого численного интегрирования уравнения Шредингера,
добавляя оператор возмущения к гамильтониану атома, или ограничиваться учетом конечного числа членов в сумме по промежуточным состояниям,
пренебрегая вкладом непрерывного спектра. Последний вариант технически проще первого, но он не может корректно учесть специфику надпороговых переходов.
В одночастичных методах расчета поляризуемостей, которые развиваются с середины 1950-х г.г. (см. обзор [1]), принимаются во внимание
только переходы оптического электрона в поле атомного остова с кулоновской асимптотикой на далеких расстояниях. Учет многоэлектронных
эффектов в этих методах осуществляется косвенно, например, через эмпирические значения энергии атомных уровней. Конкретные расчеты в одночастичном приближении основаны или на неявном суммировании по промежуточным состояниям путём решения неоднородного уравнения Шредингера для поправки к волновой функции в 1-ом порядке теории возмущений [2–4], или на использовании явных полуэмпирических выражений
для функции Грина оптического электрона атома. Второй подход реализуется в методе квантового дефекта [5] и методе модельного потенциала
6
(ММП) Фьюса [6], причем в последнем случае удается существенно продвинуться в аналитических вычислениях и представить асплитуду процесса в виде однократного ряда гипергеометрических функций. Одночастичные методы не только технически значительно проще многочастичных, но
и позволяют последовательно провести суммирование по промежуточным
состояниям дискретного и непрерывного спектра. Не претендуя на прецизионную точность, одночастичные методы позволяют сравнительно просто
выполнить расчёты в широком интервале параметров задачи, а полученные результаты имеют приемлемую точность для использования в различных приложениях, не требующих прецизионных данных. Использование и
развитие одночастичных методов продолжается и в настоящее время. В
частности, в работе [7] в рамках теории квантового дефекта предложена
уточняющая процедура, основанная на замене волновых функций основного и нескольких возбужденных состояний в функции Грина на более
точные волновые функции из ab initio расчетов. Использование указанной
процедуры для расчёта поляризуемостей ряда атомов на частотах до первого резонанса [7,8] показывает хорошее согласие как с результатами более
точных расчетов, так и с экспериментальными данными.
В данной работе многофотонные надпороговые процессы исследуются на примерах динамической поляризуемсоти и сечения двухфотонной
ионизации атомов щелочных металлов и благородных газов. Также рассмотрена задача расчета динамической поляризуемости водорода в релятивистском формализме.
Здесь представлены следующие результаты:
• разработана технически простая методика расчета амплитуд надпо-
7
роговых многофотонных переходов многозарядных атомов;
• расчитана надпороговая динамическая поляризуемость атомов щелочных металлов и благородных газов;
• исследована двухфотонноая НПИ атомов щелочных металлов и благородных газов с помощью разарботанной методики;
• получено выражение обобщенного штурмовского разложения релятивистской кулонвской функции Грина (РКФГ) со свободными параметрами;
• произведен расчет надпороговой динамической поляризуемости атомов водорода в релятивисском подходе.
8
1. Надпороговые процессы в сложных атомах
1.1.
Метод модельного потенциала Фьюса
Основное достоинство ММП состоит в возможности получить про-
стые аналитические выражения для волновой функции |nli = Rnl (r) и
функции Грина gL (E; r, r0 ) валентного электрона [17–19]. Потенциал (точнее, псевдопотенциал, ввиду его нелокальности) Фьюса VF для валентного
электрона атома получается добавлением к экранированному кулоновскому потенциалу ядра −Z/r (Z = 1 для валентного электрона в нейтральном
атоме) операторного слагаемого,
∞
Z X Bl
VF = − +
P̂l ,
r
r2
(1.1)
l=0
где P̂l — оператор проектирования на подпространство сферических функций с данным l ( P̂l Yl0 m = δll0 Ylm ), а Bl – эмпирические параметры, снимающие “случайное” вырождение энергетических уровней по орбитальному моменту в кулоновской задаче. Радиальное уравнение Шредингера с
потенциалом Фьюса получается из кулоновского заменой центробежного
потенциала:
l(l + 1)
l(l + 1) + 2Bl
λl (λl + 1)
→
≡
,
2r2
2r2
2r2
или, что то же самое, заменой орбитального квантового числа l на нецелый “орбитальный параметр” λl = [(l + 1/2)2 + 2Bl ]1/2 − 1/2. Аналогично,
заменой l → λl получаются радиальные волновые функции состояний |nli
9
из кулоновских функций:
¸1/2
·
2Z 3/2
nr !
l +1
(1.2)
Rnl (r) = 2
ρλl e−ρ/2 L2λ
(ρ) ,
nr
νnl Γ(nr + 2λl + 2)
√
где ρ = 2r/νnl , νnl = 1/ −2Enl , nr = n − l − 1 = 0, 1, . . . — радиальное квантовое число, Γ(x) – гамма-функция, Lαk – обобщенный полином
Лагерра [20].
Использование ММП Фьюса в практических задачах требует знания
энергий Enl связанных состояний валентного электрона (напр., из экспериментального оптического спектра одноэлектронных возбуждений атома).
В свою очередь, выражение для энергии связанных состояний (1.2) в потенциале Фьюса
Z2
Enl = −
2(nr + λl + 1)2
(1.3)
используется для задания эмпирических параметров λl = λl (Enl ) для каждой серии уровней с заданным l через соответствующие экспериментальные
энергии:
λl (Enl ) = Z/
p
−2Enl − nr − 1.
(1.4)
Эта процедура полностью аналогична ситуации в методе квантового дефекта [5], в котором экспериментальный спектр также параметризуется
формулой типа (1.16) путём введения квантового дефекта µl (Enl ), который связан с параметром λl (Enl ) соотношением µl (Enl ) = l − λl (Enl ).
Аналогично радиальным волновым функциям (1.2), из известного
штурмовского разложения кулоновской функции Грина (см., напр., [18])
заменой l на λl можно получить функцию Грина валентного электрона в
10
модельном потенциале Фьюса [17]:
∞
X
k! Skl (2r/ν) Skl (2r0 /ν)
0
gl (E; r, r ) = ν
,
Γ(k + 2λl + 2)(k + λl + 1 − Zν)
(1.5)
k=0
где
2
l +1
(2r/ν)λl exp(−r/ν) L2λ
(2r/ν)
(1.6)
k
ν
p
– штурмовские функции, ν = 1/ −2(E + i0). Как видно из (1.13), функSkl (2r/ν) =
ция Грина имеет полюсы при значениях энергии E, для которых выполняется равенство
√
k + λl + 1 − Z/ −2E = 0.
Эти полюсы соответствуют резонансам на уровнях энергии дискретного
спектра, возникающим при совпадении энергетического параметра E функции Грина с энергией атомных уровней. Поскольку согласно общей теории
полюсное (при E → Enl ) слагаемое функции Грина имеет вид
Rnl (r)Rnl (r0 )
,
E − Enl
(1.7)
то параметр λl в (1.13) должен рассматриваться как (вообще говоря, комплексная) функция энергии (λl = λl (E)), удовлетворяющая соотношению
(1.17) при E = Enl . (Фактически, соотношение (1.17), определяющее значения λl (Enl ) на бесконечной последовательности точек Enl вещественной оси
E с точкой сгущения E = 0 (n → ∞), и задаёт аналитическую функцию
λl (E) на плоскости комплексной энергии (с точностью до целой функции)).
Для значений энергии между полюсами функция λl (E) определяется путем интерполяции по экспериментальному спектру атома (см. (1.17)), причём, согласно (1.7), интерполированная функция λl (E) при значениях E
близких к Enl должна быть такой, чтобы выполнялось соотношение
¡
¢
λl (E) − λl (Enl ) ∼ O (E − Enl )2 .
(1.8)
11
В остальном, как показывают расчеты, конкретный способ интерполяции
не играет существенной роли. Описанные свойства функции λl (E) аналогичны свойствам функции µl (E), входящей в функцию Грина валентного
электрона в теории квантового дефекта [?, 7].
В рамках ММП состояние валентных электронов атомов описывается
одночастичным уравнением Шредингера с потенциалом Фьюса, в котором
к экранированному кулоновскому потенциалу ядра добавляется (операторный) член, учитывающий воздействие кора на валентный электрон (в настоящем разделе используются атомные единицы):
∞
Z X Bl
VF = − +
P̂l .
r
r2
(1.9)
l=0
Здесь Bl — эмпирические параметры, P̂l — оператор проектирования на
подпространство сферических функций с данным l: P̂l Yl0 m = δll0 Ylm . В
результате радиальное уравнение Шредингера с потенциалом Фьюса получается из кулоновского следующей заменой центробежного потенциала:
l(l + 1)
l(l + 1) + 2Bl
λl (λl + 1)
→
≡
.
2r2
2r2
2r2
Очевидно, что и волновые функции состояний дискретного, |nli, и непрерывного, |Eli, спектра следуют из кулоновских при замене орбитального
квантового числа l на нецелую величину λ (мы рассматриваем нейтральные атомы, поэтому полагаем Z = 1):
µ ¶ λi
Cνi λi
2r
Rni li (r) =
exp(−r/νi )Φ(−νi + λi + 1, 2λi + 2; 2r/νi ) ,
Γ(2λi + 2) νi
(1.10)
REf lf (r) =
CEf λf
(2pr)λf exp(−ipr)Φ(λf + 1 + ia, 2λf + 2; 2ipr) ,
Γ(2λf + 2)
(1.11)
12
где
Cνi λi
p
p
νi = 1/ −2Enl ,
p = 2Ef ,
a = Z/p,
r
·
¸1/2
2Z 3/2 Γ(νi + λi + 1)
2p πa/2
=
,
C
=
e
mod Γ(λf + 1 − ia) ,
E
λ
f f
νi2
Γ(νi − λi )
π
(1.12)
Φ(a, c; x) — вырожденная гипергеометрическая функция.
Точно так же заменой
l → λl = [(l + 1/2)2 + 2Bl ]1/2 − 1/2
в штурмовском разложении радиальной кулоновской функции Грина [18]
получаем функцию Грина валентного электрона для модельного потенциала Фьюса:
0
gl (E; r, r ) = ν
∞
X
k=0
k! Skl (2r/ν) Skl (2r0 /ν)
,
Γ(k + 2λl + 2)(k + λl + 1 − ν)
(1.13)
где
Skl (2r/ν) =
2 Γ(k + 2λ + 2)
(2r/ν)λ exp(−r/ν) Φ(−k, 2λ + 2; 2r/ν) (1.14)
ν k!Γ(2λ + 2)
– штурмовские функции,
p
ν = 1/ −2(E + i0) .
(1.15)
Использование ММП Фьюса в практических задачах требует знания
энергий Enl связанных состояний валентного электрона (напр., из экспериментального оптического спектра одноэлектронных возбуждений атома).
В свою очередь, выражение для энергии связанных состояний (1.10) в потенциале Фьюса
Z2
Enl = −
2(nr + λl + 1)2
(1.16)
13
(nr = n − l − 1 = 0, 1, . . . — радиальное квантовое число) используется для
задания эмпирических параметров λl = λl (Enl ) для каждой серии уровней
с заданным l через соответствующие экспериментальные энергии:
λl (Enl ) = Z/
p
−2Enl − nr − 1,
(1.17)
что позволяет согласовать расчетные и экспериментальные положения резонансов. В межрезонансных промежутках параметры λl = λl (E) определяются интерполяцией. Значения λl (Enl ) высоковозбужденных состояний,
рассчитанные по данным таблиц [?], незначительно отличаются друг от
друга, поэтому значения λl (E) при надпороговых энергиях E > 0 выбирались равными λl (Enl ) одного из известных верхних возбужденных состояний.
14
1.2.
Поляризуемость сложных атомов
1.2.1.
Введение
Динамическая поляризуемость α(ω) определяет линейный отклик квантовой системы на монохроматическое возмущение частоты ω. Она является одной из основных оптических характеристик атома и определяет
наведенный внешним полем дипольный момент атома, сечение упругого
(без изменения частоты) рассеяния света атомом, а также линейные по интенсивности световой волны сдвиг, расщепление и ионизационное уширение атомных уровней световым полем. Для газовой среды поляризуемость
α(ω) определяет диэлектрическую проницаемость и коэффициент преломления среды, а ее значения при мнимых частотах (α(iω)) входят в выражения для постоянных межатомного (ван-дер-ваальсова) взаимодействия.
В настоящее время задача расчета тензора динамической поляризуемости
полностью решена лишь для атома водорода. Компактное аналитическое
выражение для поляризуемости основного состояния было получено в [9]
(см. также [10]), а его обобщение на случай произвольных состояний в [11]
(только для скалярной части α(ω)) и в [12].
В одночастичных методах расчета поляризуемостей, которые развиваются с середины 1950-х г.г. (см. обзор [1]), принимаются во внимание
только переходы оптического электрона в поле атомного остова с кулоновской асимптотикой на далеких расстояниях. Учет многоэлектронных эффектов в этих методах осуществляется косвенно, например, через эмпирические значения энергии атомных уровней. Конкретные расчеты в одночастичном приближении основаны или на неявном суммировании по проме-
15
жуточным состояниям путём решения неоднородного уравнения Шредингера для поправки к волновой функции в 1-ом порядке теории возмущений [2–4], или на использовании явных полуэмпирических выражений для
функции Грина оптического электрона атома. Второй подход реализуется
в методе квантового дефекта [5] и методе модельного потенциала (ММП)
Фьюса [6], причем в последнем случае удается существенно продвинуться
в аналитических вычислениях и представить поляризуемость в виде однократного ряда гипергеометрических функций. Одночастичные методы не
только технически значительно проще многочастичных, но и позволяют
последовательно провести суммирование по промежуточным состояниям
дискретного и непрерывного спектра при вычислении линейных и нелинейных восприимчивостей. Не претендуя на прецизионную точность, одночастичные методы позволяют сравнительно просто выполнить расчёты в
широком интервале параметров задачи, а полученные результаты имеют
приемлемую точность для использования в различных приложениях, не
требующих прецизионных данных. Использование и развитие одночастичных методов продолжается и в настоящее время. В частности, в работе [7]
в рамках теории квантового дефекта предложена уточняющая процедура,
основанная на замене волновых функций основного и нескольких возбужденных состояний в функции Грина на более точные волновые функции из
ab initio расчетов. Использование указанной процедуры для расчёта поляризуемостей ряда атомов на частотах до первого резонанса [7,8] показывает
хорошее согласие как с результатами более точных расчетов, так и с экспериментальными данными.
Здесь предложена модификация удобного в техническом отношении
16
ММП Фьюса, позволяющая распространить область его применения на
расчеты надпороговых процессов. Как известно, использование ММП позволяет аналитически выполнить наиболее трудоёмкую часть расчетов амплитуд многофотонных переходов — интегрирование по радиальным переменным и выразить радиальные матричные элементы через ряды гипергеометрических функций. Однако, эти ряды сходятся только при подпороговых (отрицательных) энергиях функций Грина, а при надпороговых (положительных) энергиях оказываются расходящимися. Между тем, атомные
параметры, описывающие многофотонные процессы в надпороговой области частот, представляют интерес в связи с использованием в современных
экспериментах с атомарными газами излучения высоких (вплоть до 27-й)
гармоник лазеров оптического диапазона (см., напр., [13, 14]) и ультрафиолетового излучения лазеров на свободных электронах [15], а также развитием методов нелинейной лазерной спектроскопии высоковозбужденных
атомных уровней (для которых уже частоты оптических лазеров соответствуют надпороговой области).
1.2.2.
Поляризуемость
Если поместить атом во внешнее электро-магнитное поле, то его уровни энергии изменяются. У атома появляется собственное наведенное поле,
которое взаимодействует с внешнем полем. Это взаимодействие деформирует энергитический спектр атома. В достаточно слабом поле (относительно внутриатомного ????) энергию такого взаимодействия можно учитывать
по теории возмущений — атомные уровни будут незначительно смещены
относительно невозмущенных значений.
17
В переменном электическом поле E(t) у атома появляется наведенный
дипольный момент d = er (e — заряд). Оператором возмущения для такого
взаимодействия будет эенргия диполя во внешнем поле
V̂ (t) = −E(t)d̂.
(1.18)
Мы рассматриваем монохроамтическое электрическое поле с частотой ω,
и амплитудой E в дипольном приближении:
E(t) = ERe{e e−iωt }.
(1.19)
Вектор поляризации волны e удобно параметризовать следующим образом:
e=
² + iγ[n × ²]
p
,
1 + γ2
(1.20)
где γ — параметр эллиптичноти а единичный вектор ² направлен вдоль
главной оси эллипса поляризации. Вектор поляризации обладает следующими свойствами:
(e∗ · e) = 1,
(e · e) ≡ l =
2γ
i(n · [e × e ]) ≡ ξ =
,
1 + γ2
1 − γ2
,
1 + γ2
(1.21)
∗
где ξ — степень циркулярной поляризаци (параметр Стокса ξ2 ), а l =
p
1 − ξ 2 — степень линейной поляризации.
Под действием нестационарного возмущения энергия атома, строго
говоря, не сохраняется, но в случае периодического поля (1.19) можно
расчитать поправки теории возмущений в формализме квазиэнергитических состояний. В состояниях, не вырожденных (как у водорода) по орбитальному или полному моменту, поправки нечетного порядка равны нулю.
18
Поправка второго порядка к энергии En состояния n выгядит так:
∆En(2)
E2 2
= − e hn| (e∗ · r)(e · r0 )GEn +~ω+i0 (r, r0 )+
4
+ (e · r)(e∗ · r0 )GEn −~ω (r, r0 ) |ni . (1.22)
Это выражение можно записать подругому:
∆En(2) = −
E2 X ∗
(e )i ej αij (ω),
4 ij
(1.23)
где αij (ω) — компонеты тензора динамической поляризуемости, а ei — компонеты вектора поляризации. Методами алгебры углового момента в этом
выражении можно выделить три величины αJ=0,1,2 (ω), характеризующие
динамику процесса и независящие от выбора системы координат:
2
∆En(2)
E2 X
mn
=
αJ (ω)Cjjnnm
{e∗ ⊗ e}J0 ,
n J0
4
(1.24)
J=0
где jn и mn — полный момент и его проекция рассматриваемого состояния.
Эти три величины можно записать в таком виде:
s
2J + 1 X (+)
(−)
2
αJ (ω) = e
[Fj + (−1)J Fj ]×
2jn + 1 j
× (−1)jn −j+1 |hjn kC1 k ji|2 W (jn 1jn 1; jJ). (1.25)
В настоящей работе мы принебрегаем тонкой структурой уровней, когда используем нерелятивисткое приближение. Состоние атома характеризуется тремя квантовыми числами, относящимися к валентному электрону:
n — главное квантовое число, l — орбитальное квантовое число и m — проекция орбитального момента на выбранное направление. Следовательно, в
(±)
нерелятивистской задче радиальные матричные элементы Fl
выглядят
так:
(±)
Fl
¯ ®
­ ¯
= nln ¯rgεl n ±~ω+i0 (r, r0 )r0 ¯ nln ,
(1.26)
19
где gεl (r, r0 ) ≡ hYl0 |Gε (r, r0 )| Yl0 i — радиальная часть функции Грина. Подоробнее о релятивистской поляризуемости смотрите в разделе 2.1.1.
Через величины (1.25) можно выразить компонеты тензора динамической поляризуемости. В частности, в циклических координатах этот тензор
имеет простой вид:
αµ1 µ2 (ω) =
2
X
mn
J0
αJ (ω)Cllnnm
C1µ
.
1 1µ2
n J0
(1.27)
J=0
В области оптических частот недиагональный матричный элемент
WM 0 M для переходов между сосотояниями с различными M удовлетворяет
неравенству
|WM 0 M | ¿ ω.
В этом случае уровень |nLM i можно считать изолированным, а поправку
вотрого порядка к энергии принято записывать так:
·
¸
E2 s
ξM v
3M 2 − L(L + 1) t
(2)
∆EnLM = −
α (ω) −
α (ω) −
α (ω) .
4
2L
2L(2L − 1)
(1.28)
Величины αs , αv и αt называются соответственно скалярной, векторной
(антисимметричной) и тензорной (симметричной) поляризуемостями. Вводя обозначение
(±)
(+)
ρl (ω) = Fl
(−)
± Fl
(1.29)
можно записать поляризуемости из (1.28) в виде
h
i
1
e2
(+)
(+)
s
α (ω) = √ α0 (ω) =
l0 ρl0 −1 + (l0 + 1)ρl0 +1 ,
(1.30)
3(2l0 + 1)
3
r
i
2l0
l0 e2 h (−)
(−)
v
α1 (ω) = −
ρ
α (ω) = −
− ρl0 −1 ,
(1.31)
l0 + 1
2l0 + 1 l0 +1
s
2l0 (2l0 − 1)
α2 (ω) =
αt (ω) = −
3(l0 + 1)(2l0 + 3)
(1.32)
h
i
2
e
(+)
(+)
=−
(2l0 − 1)ρl0 −1 + (2l0 + 3)ρl0 +1 .
3(2l0 + 1)(2l0 + 3)
20
Штарковский сдвиг в основном состоянии атома определяет только
скалярная поляризкемость (это утверждение справедливо и в релятивистской задаче, если внешнее поле линейно поляризовано). В этом случае декартов тензор поляризуемости диагонален:
αik (ω) = αs (ω) δik .
Далее в этом разделе рассматривается только эта величина, и для нее используется такое выражение:
i
e2 h (+)
(−)
αs (ω) =
Fl=1 + Fl=1
3
1.2.3.
(1.33)
Обобщённые штурмовские разложения функции Грина
для потенциала Фьюса и радиальных матричных элементов
Наличие явных выражений (1.2) и (1.13) для волновых функций и
функции Грина позволяет аналитически выполнить радиальные интегрирования в матричных элементах высших проядков теории возмущений типа (1.26) и представить Fl±1 в виде ряда гипергеометрических полиномов
(подробнее см. [17–19]). Однако, как показано в Приложении, область сходимости получаемых рядов ограничена неравенством (En + ω) < 0, так
что при частотах, превышающих порог ионизации, эти ряды и, соответственно, атомные поляризуемости с помощью штурмовского разложения
(1.13) рассчитать не удается. Аналогичная проблема при расчете амплитуд
многофотонных переходов в атоме водорода была решена в работе [12] путём специального преобразования штурмовского разложения кулоновской
функции Грина, позволяющего обеспечить сходимость штурмовских ря-
21
дов для матричных элементов при положительной энергии функции Грина. Аналогичным образом можно трансформировать представление (1.13)
функции Грина для модельного потенциала.
Идея соответствующего преобразования состоит в использовании полноты системы штурмовских функций (1.14). Разлагая Skl (2r/ν) в (1.13) в
ряд по функциям Штурма с аргументом 2r/α, где α – произвольный (масштабирующий) параметр,
µ ¶ X
µ ¶
∞
2r
2r
Skl
=
cnk (α) Snl
ν
α
n=0
и аналогично для Skl (2r0 /ν), получим для функции Грина представление
в виде двойного ряда
gl (E; r, r0 ) =
∞
X
µ
glkk0 (ν; α, α0 ) Skl
k,k 0 =0
2r
α
¶
µ
Sk0 l
2r0
α0
¶
.
(1.34)
Свободные (комплексные) параметры α, α0 в этом разложении можно выбирать в зависимости от условий конкретной задачи. Для коэффициентов
glkk0 разложения (1.34) в [12] найдены замкнутые аналитические выражения
через комбинации гипергеометрических функций. При одинаковых параметрах α0 = α (а именно этот случай в силу симметрии матричного элемента (1.26) интересен в нашей задаче) выражение для “ядра” glkk0 функции
Грина gl (E; r, r0 ) имеет достаточно простой вид:
µ
¶k<
ν
α
−
ν
glkk0 (ν; α, α) =
2 F1 (−k< , λl + 1 − η; 2λl + 2; z)×
Γ(2λl + 2) α + ν
µ 2
¶k
α − ν 2 > k> ! 2 F1 (k> + 1, k> + 2λl + 2; k> + λl + 2 − η; z −1 )
,
×
4αν
(λl + 1 − η)k> +1
(1.35)
где k< = min{k, k 0 },
k> = max{k, k 0 },
η = Zν,
z = −4αν/(α − ν)2 ,
(a)n = Γ(n + a)/Γ(a). Укажем, что гипергеометрическая функция 2 F1 в
22
(D.63), содержащая k< , есть полином степени k< , в то время как вторая
функция 2 F1 представляет собой полный гипергеометрический ряд Гаусса [21]. Нетрудно проверить, что при α = ν разложение (1.34) с ядром
(D.63) переходит в стандартный штурмовский ряд (1.13).
Хотя расчет матричных элементов (1.26) при (En +ω) > 0 с функцией
Грина (1.34) приводит к двойному ряду для MLnl (ω) (см. Приложение, ф-ла
(A.1)), наличие в нем свободного параметра α открывает новые возможности для вычислений. В частности, в кулоновской задаче, благодаря целочисленности λl (λl = l) выбором α удается оборвать оба ряда в выражении
(A.1) для MLnl (ω) используя свойство ортогональности полиномов Лагерра и получить для поляризуемости замкнутое аналитическое выражение
для произвольного состояния |nlmi [12]. При нецелых λl условием ортогональности воспользоваться нельзя, поэтому столь радикальных упрощений
при использовании (1.34) не происходит. Однако, как показано в Приложении, существует область значений α при которых двойной ряд для MLnl (ω)
быстро сходится (даже быстрее, чем обычный штурмовский ряд для поляризуемости при подпороговых частотах (En + ω) < 0)) и может быть легко
вычислен компьютерными средствами.
1.2.4.
Численные результаты и обсуждение
С использованием обобщенного штурмовского разложения функции
Грина (1.34) были проведены расчеты динамических поляризуемостей основных состояний атомов щелочных металлов и благородных газов. Для
рассматриваемых состояний лишь скалярная часть тензора поляризуемости отлична от нуля и определяется скалярной поляризуемостью αs (ω).
23
Валентный электрон щелочных атомов в основном состоянии имеет нулевой орбитальный момент l = 0, так что в пренебрежении тонкой структурой αs (ω) вычисляется непосредственно по формуле (??). (Учёт тонкой
структуры в ММП не приводит к усложнениям и сводится к замене в
матричных элементах (1.26) функции Грина gl (E) на (1/3)gl,j=l−1/2 (E) +
(2/3)gl,j=l+1/2 (E) и выбору параметров λlj (E) с учётом тонкого расщепления уровней.) Как известно, в атомах благородных газов (кроме гелия)
для основного и возбужденных состояний реализуются разные схемы связи угловых моментов, что делает расчёты более громоздкими. Как и в
работе [22], мы представляем волновую функцию основного состояния валентных электронов атомов Ne, Ar, Kr, Xe с орбитальным моментом l = 1
в виде суперпозиции функций с полными моментами j = 1/2 и j = 3/2
и в конечном счете выражение для скалярной поляризуемости αs сводит(+)
ся к комбинации радиальных матричных элементов типа ρL (ω) в (??).
Кроме того, рассчитанные указанным образом одноэлектронные поляризуемости умножаются на число N эквивалентных электронов в полностью
заполненной валентной оболочке атомов благородных газов (N = 2 для
гелия и N = 6 для остальных атомов). Для всех атомов используются известные справочные данные [23] для одноэлектронных энергий основных и
возбуждённых состояний. Параметр λL (E) в функциях Грина (1.34, D.63)
в области энергий En0 L ≤ E < 0 (где En0 L – энергия низшего возбуждённого состояния с орбитальным моментом L) определяется интерполяцией
по известным данным [23] для энергий ближайших связанных состояний
|n0 Li с En0 L < E и En0 L < E в соответствии с (1.8). (Как показывают расчёты, численные результаты слабо зависят от числа учитываемых состоя-
24
ний |n0 Li и конкретного способа интерполяции.) Для E < En0 L параметр
λL (E) полагается равным λL (En0 L ) , а при E > 0 – его значению, усредненному по величине λL (En0 L ) для высоковозбуждённых состояний |n0 Li с
известными энергиями En0 L . Как указано в работах [17, 22], поляризуемости основных состояний атомов щелочных металлов оказываются наиболее
точными, если состояние валентного s-электрона описывается волновыми
функциями в методе квантового дефекта [24], однако наш анализ показал,
что это справедливо лишь при ω = 0 и в области подпороговых частот,
а в надпороговой области необходим самосогласованный подход с использованием как функции Грина, так и волновых функций для модельного
потенциала Фьюса.
Рассчитанные описанным выше способом поляризуемости основных
состояний благородных газов и атомов щелочных металлов при подпороговых частотах (ω < |Enl |) и статические поляризуемости α(0) совпадают с
данными работ [17,22], тоже рассчитанными с функцией Грина модельного
потенциала Фьюса, но с использованием стандартного штурмовского разложения (1.13). В работах [17,22] также показано, что статические поляризуемости в приближении потенциала Фьюса достаточно хорошо описывают
экспериментальные данные и приводится сравнение с результатами других
авторов. В работах [25] на основе потенциала Фьюса рассчитаны статические поляризуемости и гиперполяризуемости возбуждённых состояний атома гелия, хорошо согласующиеся с результатами более точных расчётов.
Отметим, что при использовании обобщённого штурмовского разложения
функции Грина (1.34, D.63) для подпороговых частот относительная точность расчёта рядов (A.1) порядка 10−3 достигается при k ≈ 10, k 0 ≈ k + 5.
25
Детальное сравнение частотной зависимости надпороговых поляризуемостей различных атомов, рассчитанных методом модельного потенциала, с
данными, полученными из более точных расчётов не представляется возможным, поскольку, как отмечалось во Введении, многоэлектронные расчёты поляризуемостей в области надпороговых частот затруднительны и
известные нам данные весьма ограничены. По-видимому, наиболее точные
расчёты надпороговой поляризуемости в достаточно широком интервале
частот выполнены в работе [26] для атома гелия путём численного решения неоднородного двухэлектронного уравнения Шредингера для поправочной функции первого порядка теории возмущений с использованием
метода комплексного вращения координат для учёта эффектов непрерывного спектра. В табл. E.1 даётся сравнение с нашими результатами. Как
уже отмечалось, при надпороговых частотах поляризуемость имеет мнимую часть, которая определяется вкладом непрерывного спектра в α(ω) и
теряется при учёте лишь суммы по дискретному спектру в расчётах надпороговых поляризуемостей (см., напр., [27]). Мнимая часть скалярной поляризуемости связана с сечением фотоионизации σn (ω) состояния |ni согласно оптической теореме:
σn (ω) =
4πω
Im αns (ω) .
c
(1.36)
Обратим внимание, что Im α(ω) может быть вычислена и независимо от
расчёта самой поляризуемости α(ω) с использованием известного соотношения
Im hnl| rgl±1 (En + ω; r, r0 )r0 |nli = π |hEn + ω, l ± 1| r |nli|2 ,
которое использовалось для дополнительного контроля точности в наших
26
численных расчётах α(ω) путём суммирования рядов (A.1). Для оценки
вклада состояний дискретного и непрерывного спектра в Re α(ω) в табл. E.1
приведён вклад αds (ω) состояний дискретного спектра в αM P F (ω) (полученный прямым суммированием вклада np 1 P -состояний гелия с n = 2 − 19)
и αcont (ω) = αM P F (ω) − αds (ω). Как видно, для атома гелия вклад дискретного спектра является определяющим лишь вблизи порога (при малых
энергиях фотоэлектрона E = ω − |E1s |, E1s = 24.58 эВ), a затем монотонно
убывает и составляет менее 30% при E ≈ |E1s |. (Отметим, что в атомах
щелочных металлов вклад непрерывного спектра в Re α(ω) оказывается
незначительным во всей области частот [27].)
Поскольку в наших расчётах Re α(ω) и Im α(ω) вычисляются единообразно, как вещественная и мнимая части аналитической функции α(ω), в
качестве критерия, который позволяет судить о применимости метода модельного потенциала для количественных оценок амплитуд надпороговых
процессов, может служить сравнение мнимых частей поляризуемостей с сечениями фотоионизации, которые изучены значительно более полно, чем
поляризуемости. В табл. E.1 для такого сравнения используются экспериментальные значения сечения фотоионизации гелия [28]. Приведём также
сравнение наших результатов для сечения фотоионизации гелия (в ат. ед.)
на частотах 27, 29, 31 и 33 гармоник излучения титан-сапфирового лазера
с энергией фотона ~ω = 1.55 эВ (σ27 = 0.107, σ29 = 0.092, σ31 = 0.079,
σ33 = 0.069) с данными, полученными из достаточно точных многочастичных расчётов [29]: σ27 = 0.102, σ29 = 0.089, σ31 = 0.077, σ33 = 0.070.
Как известно [30], в щелочных атомах сечение фотоионизации c увеличением частоты вначале убывает от конечного значения на пороге до
27
некоторого минимального значения (известный куперовский минимум в
сечении фотоионизации, связанный с изменением знака радиальных матричных элементов перехода из основного s-состояния в p-состояния континуума с полными угловыми моментами j = 1/2 и 3/2), затем возрастает
и далее монотонно спадает с ростом ω. Именно такое поведение демонстрируют мнимые части надпороговых поляризуемостей всех щелочных
атомов (кроме лития, для которого куперовский минимум отсутствует) в
методе модельного потенциала. Для примера на рис. 1 приведена частотная зависимость поляризуемости атома Rb как в области частот до первого резонанса (где наши результаты хорошо согласуются с результатами
более точных расчётов [4]), так и за порогом однофотонной ионизации.
Как видно, вещественная часть поляризуемости при ω > |E5s | отрицательна и монотонно убывает по абсолютной величине с ростом ω (аналогично
случаю атома гелия, см. табл. E.1). При достаточном удалении от порога она хорошо аппроксимируется известной высокочастотной асимптотикой: Re αns (ω À |En |) ≈ −ω −2 . (Укажем, что этот закон является общим
лишь для скалярной поляризуемости атомов (см., напр., [16,18]) и неприменим к случаю векторной и тензорной поляризуемостей, которые в области
больших частот значительно быстрее убывают с ростом ω [31].) Напротив, частотная зависимость Im α(ω) на рис. 2(c) немонотонна (в отличие
от атома гелия) и согласуется с описанным выше поведением сечения фотоионизации, причём в пренебрежении эффектами тонкой структуры значение Im α(ω) обращается в ноль вблизи точки куперовского минимума. В
табл. E.2 приведено сравнение положения куперовских минимумов (ωc ) в
сечениях фотоионизации, рассчитанных в ММП с учётом тонкой структу-
28
ры, с результатами ab initio расчётов (по данным работы [32]), а также с
экспериментом [33]. Учитывая, что даже весьма трудоёмкие многочастичные методы расчёта волновых функций начального и конечного состояния
атома при фотоионизации дают существенно различающиеся значения для
положения куперовского минимума (см. табл. E.2), результаты ММП можно считать вполне удовлетворительными. Как видно из табл. E.2, они дают
завышенные значения ωc по сравнению с экспериментальными данными и
наиболее близки к результатам последовательных теоретических расчётов
в приближении Дирака-Хартри-Фока в калибровке длины, т. е. используя
запись оператора V̂ дипольного взаимодействия электрона с излучением в
виде V̂ = e/c (∂A/∂t·r), где A(t) – векторный потенциал излучения. Отметим, что в настоящей работе также используются исходные выражения для
поляризуемостей (см. (1–3)) в калибровке длины, поскольку для уравнения
Шредингера с потенциалом (1.1) калибровки длины и скорости (т. е. при
выборе V̂ в виде V̂ = −e/c (A · v̂)) являются неэквивалентными из-за наличия в (1.1) проекционных операторов P̂l . Указанный выбор калибровки
в ММП обусловлен тем, что именно в калибровке длины основной вклад
в радиальные матричные элементы типа (1) даёт область больших расстояний r, в которой радиальные волновые функции для потенциала (1.1)
могут служить разумной аппроксимацией волновых функций валентного
электрона атома.
Приведённые выше сравнения и обсуждения показывают, что простой
в техническом отношении модельный потенциал (1.1), который даёт возможность использования в расчётах составных матричных элементов теории возмущений точный экспериментальный спектр одноэлектронных воз-
29
буждений атома, позволяет получить количественные оценки надпороговых поляризуемостей валентных атомных электронов вполне приемлемые
для многих приложений, не требующих прецизионной точности, в частности, для задач лазерной физики и нелинейной оптики газов. В таблицах E.1
и E.3, E.4 приведены численные данные для надпороговых поляризуемостей атомов щелочных металлов и благородных газов. Как правило, в этих
расчётах достаточно учитывать слагаемые с k ≈ 20÷40, k 0 ≈ k+10 в рядах
(A.1) для MLnl , причём с ростом ω число учитываемых членов тоже растет.
Таким образом, использование модифицированной функции Грина (1.34)
кардинально упрощает расчёты надпороговых поляризуемостей по сравнению, например, с использованием стандартного спектрального разложения
функции Грина, что требует суммирования ряда по спектру дискретных
состояний валентного электрона и численного расчёта интеграла по виртуальным состояниям континуума [22]. Более того, такой подход принципиально неприменим для расчёта матричных элементов высших порядков
теории возмущений (начиная с третьего), поскольку, как показано в [34],
в этом случае вклады сумм по дискретному спектру и интегралов по континууму оказываются расходящимися и компенсируются лишь в полном
матричном элементе.
В настоящей работе предложены модификация функции Грина для
потенциала Фьюса и метод расчёта составных матричных элементов теории возмущений в атомах для надпороговых частот монохроматического внешнего поля, при которых энергии функций Грина, соответствующих виртуальным состояниям электрона, лежат в континууме. Фактически, предложенный метод использования свободных параметров в зада-
30
чах с функциями Грина с положительными энергиями можно рассматривать как аналитическую реализацию методов “дискретизации континуума”
(complex scaling), широко используемых в численных алгоритмах для решения задач, связанных с непрерывным спектром (см., напр., [35]). Наряду с
поляризуемостями, развитая техника позволяет также рассчитывать нелинейные восприимчивости атомов в широком интервале частот, включая
надпороговую область. Соответствующие результаты будут опубликованы
отдельно.
31
1.3.
Двух-фотонная ионизация сложных атомов
1.3.1.
Введение
Исследования надпороговой ионизации (НПИ) атомов, которая состоит в отрыве атомного электрона при поглощении им большего числа
фотонов (N = K + S), чем минимально необходимое (K = [|Ei |/~ω + 1])
в соответствии с законом сохранения энергии, были начаты в 1979 г., когда при измерении энергетического спектра электронов, образующихся при
ионизации атома Xe, были обнаружены электроны с энергией Ei + 7~ω при
пороговом числе фотонов K = 6 [?]. В дальнейшем такого рода эксперименты неоднократно проводились с другими многоэлектронными атомами
(см. ссылки в монографии [?] ???), причем добавочное число поглощенных
фотонов S в них достигало значительной величины. Наиболее доступной
для теоретического изучения является, очевидно, двухфотонная НПИ, сечения которой впервые были измерены в (недавних?) экспериментах по
ионизации благородных газов (Ar, Xe и He) пятой гармоникой KrF – лазера (с энергией фотона 25 эВ) [?]. Надо сослаться еще на PHYSICAL
REVIEW A 71, 023407 и ссылки там.
В теоретическом отношении наиболее подробно исследована НПИ атома водорода, как двухфотонная [?,?,?,?], так и многофотонная [?,?,?]. Расчет НПИ многоэлектронных атомов даже в приближении одного активного
электрона представляет собой значительно более сложную и менее исследованную проблему. В [?] амплитуда НПИ атомов щелочных металлов в
рамках теории квантового дефекта с помощью специальной вычислительной процедуры, основанной на разделении функции конечного состояния
32
на слагаемые с асимптотикой расходящихся и сходящихся волн и повороте контура интегрирования в комплексной плоскости r. В [?, ?] предложен
метод расчета многофотонных матричных элементов НПИ, основанный на
дискретизации состояний непрерывного спектра и приписывании ширины
введенным уровням; численные значения амплитуды ионизации рассчитываются экстраполяцией на нулевую ширину. Дальнейшее развитие методов
расчета НПИ многоэлектронных атомов представляет очевидный интерес.
В данной работе мы показываем возможность применения аппроксимации
Паде к решению этой задачи. Вычисления основаны на использовании модельного потенциала Фьюса [6] для описания состояния валентного электрона. Амплитуду многофотонной ионизации в этом случае удается представить в виде ряда из относительно легко вычисляемых гипергеометрических функций, который, однако, расходится при надпороговых значениях
частот. Для численного суммирования ряда мы используем стандартный ²алгоритм [?], аналогично вычислению амплитуды двухфотонной НПИ атома водорода [?]. Несмотря на более сложную структуру рядов, через которые выражаются амплитуда в случае ионизации многоэлектронных атомов, применение ²-алгоритма позволяет их просуммировать. В разделе 1.1
изложены необходимые нам здесь положения метода модельного потенциала (ММП) Фьюса. В разделе 1.3.3 обсуждаются вычисление амплитуды
двухфотонной НПИ атомов щелочных металлов и гелия и способы проверки их корректности. В разделе 1.3.4 приведены численные результаты.
33
1.3.2.
Основные формулы
Задача фотоионизации атома рассматривается аналогично задаче рассеяния: электромагнитное поле учитывается как налетающий поток фотонов, атом — мишень, а оторванный электрон играет роль рассеявшегося
потока. Основной характеристикой такого процесса является эффективный размер мишени — сечение фотоионизации. В квантовой теории эта
величина определяется как отношение скорости перехода из начального
состояния в конечное к плотности налетающего потока:
|Sf i |2
σ=
,
Tj
где Sf i
(1.37)
D ¯ ¯ E
¯ ¯
= f ¯Ŝ ¯ i матричный элемент оператора эволюции между со-
стояниями, разделёнными большим промежутком времени T , а j = I/ω —
плотность потока фотонов с интенсивностью I и частотой ω. Также дифференциальное сечение
dσ
dω
— в отличие от полного сечения (1.37) эта величина
определена только для вылета электронов в телесный угол dΩ.
Недиагональные элементы матрицы рассеяния Sf i удобно переписать,
явно выделив δ-функцию от суммарных 4-импульсов частиц начального
(Pi ) и конечного (Pf ) состояний, определяющую законы сохранения энергии и импульса:
Sf i = i(2π~)4 δ (4) (Pf − Pi )Tf i .
(1.38)
Определённые таким образом матричные элементы Tf i называются амплитудой рассеяния. Тогда дифференциальное сечение фотоионизации можно
записать так:
dσ
pω
= 2 |Tf i |2 .
dΩ 4π I
(1.39)
34
Состояния свободных частиц в Tf i являются состояниями с определённым
импульсом, это означает, что они нормированы условием
hp| p0 i = (2π~)3 δ(p − p0 ).
(1.40)
Так как мы рассматриваем дипольное взаимодействие валентного электрона атома с полем, то оператором взаимодействия будет V̂ = −eERe{(e ·
r)e−iωt }. Поэтому в случае многофотонной ионизации удобно вынести из
Tf i амплитуды поля E: Tf i = E N T̃f i , где N — количество фотонов, участвующих во взаимодействии.
1.3.3.
Расчет сечения надпороговой ДФИ
Сечение двухфотонной ионизации атома электромагнитной волной с
электрическим вектором
ε · ε∗ = 1,
F(t) = F Re {e exp (−iωt)} ,
где F, ω, ε — амплитуда, частота и вектор поляризации волны, определяется матричными элементами связанно-свободных переходов.
Tlli lf (Ei , E, Ef ) = hEf lf | rgl (E)r |ni li i .
(1.41)
Так, полное (проинтегрированное по направлениям фотоэлектрона) сечение ДФИ s-состояния имеет вид (см., напр., [?])
σ = σ (`) `2 + σ (c) ξ 2 ,
σ
(`)
ω¡
= αF
5 mod T02 + 4
45
2π
2
mod
T22
¢
,
σ
(c)
= αF
2 2π
2
ω
15
mod T22 .
(1.42)
Здесь ` = (ε · ε) – степень линейной поляризации, ξ – степень циркулярной
поляризации волны (`2 + ξ 2 = 1), Tlf ≡ Tll=1
. С помощью выражений
i =0,lf
35
(1.10), (1.11) для волновых функций и (1.13) для функции Грина удается
аналитически выполнить интегрирование в матричных элементах Tlli lf и
представить их в виде ряда
Tlli lf
=
∞
X
Ak ,
(1.43)
k=0
члены которого выражаются через произведения гипергеометрических функций Аппеля F2 [21]:
Ak ∼
Γ(k + 2λ + 2)
F2 (λ + λf + 4, λf + 1 + ia, −k, 2λf + 2, 2λ + 2; ipx, x/ν)×
k!(k + λ + 1 − Zν)
× F2 (λ + λi + 4, −k, −νi + λi + 1, 2λ + 2, 2λi + 2; y/ν, y/νi ),
x=
2
,
1/ν + ip
y=
2
.
1/ν + 1/νi
(1.44)
Численные расчеты показывают, что при ω < mod Enl , т.е. для пороговой (а не надпороговой) ионизации ряд (1.43), (1.44) сходится (см., например, [?]). Вычисление матричных элементов в этом случае проводится
достаточно просто, поскольку функции Аппеля в (1.44) имеют отрицательный верхний параметр и их можно вычислить по рекуррентным соотношениям. Однако при ω >
mod Enl , т.е. в случае надпороговой ионизации,
штурмовский ряд для Tlli lf расходится.
Чтобы выяснить причину расходимости, необходимо исследовать поведение далеких членов ряда (1.43). Воспользовавшись асимптотикой функций Аппеля из (1.44) при больших k [36], находим, что при k → ∞
£
¤£
¤
Ak ∼ c1 k −λf −4 + c2 k 1−ia q1k + c3 k 1+ia q2k d1 k −λi −4 + d2 k 1+νi q3k ,
(1.45)
где
q1 =
ip − 1/ν
,
ip + 1/ν
q2 = 1/q1 ,
q3 =
1/νi − 1/ν
.
1/νi + 1/ν
(1.46)
36
Отсюда видно, что при ω <
mod Enl , когда ν — вещественная вели-
чина (см. (1.15)), ряд сходится, поскольку
mod q3 < 1. Но при ω >
mod q1 =
mod q2 = 1, а
mod Enl , когда ν = i mod ν — величина мни-
мая, mod q1 > 1, mod q3 = 1, и ряд расходится.
Обратим внимание, что ряд для матричного элемента двухфотонной
ионизации в ММП имеет более сложную структуру асимптотики, чем в
кулоновской задаче. Из асимптотики F2 в [36] следует, что в (A.2)
c1 ∼
1
,
Γ(λ − λf − 2)
d1 ∼
1
.
Γ(λ − λi − 2)
(1.47)
В кулоновском случае нецелые величины λi , λf , λ в (1.47) заменяются на
целые li , lf , l, что, с учетом дипольных правил отбора
mod l − lf = 1,
mod l − li = 1, обращает в ноль c1 и d1 . Таким образом, асимптотика общего члена штурмовского ряда матричного элемента двухфотонной ионизации в ММП оказывается сложнее, чем для кулоновского ряда, поскольку в
последнем случае в (A.2) отсутствуют чисто степенные слагаемые в квадратных скобках. Это усложнение приводит, в частности, к невозможности
вычислить матричные элементы многофотонной надпороговой ионизации,
используя для ММП-функции Грина обобщенные штурмовские разложения со свободными параметрами [12, 36]. Напомним, что такие представления кулоновской функции Грина позволяют получить для амплитуд многофотонной ионизации сходящиеся ряды, а в двухфотонном случае — даже
замкнутое аналитическое выражение.
В настоящей работе мы используем для вычисления матричных элементов Tlli lf двухфотонной надпороговой ионизации численные методы аппроксимации Паде. Как оказывается, непосредственное применение ²-алгоритма
37
[?] позволяет просуммировать штурмовский ряд (1.43).
Аппроксимация Паде позволяет вычислить амплитуду двухфотонной
ионизации в области надпороговых значений частоты ω > mod Enl . При
расчете двухфотонной НПИ атома водорода это утверждение проверялось
прямым сравнением паде-результатов с результатами независимых вычислений сечения, например, основанных на аналитических преобразованиях штурмовского ряда для амплитуды, обеспечивающих его сходимость. В
случае расчетов по ММП Фьюса, как отмечалось выше, не удается найти
таких преобразований, которые сделали бы ряд (1.44) сходящимся, поэтому
мы используем другие возможности для проверки корректности применения паде-аппроксимации.
Рассмотрим сначала низкочастотный предел ω 0 → 0 в двухфотонном
переходе, происходящем по схеме Ei + ω + ω 0 = E. Из общих результатов теории электрон-фотонного взаимодействия [?] следует, что амплитуда
процесса в этом случае оказывается сингулярной и содержит произведение матричных элементов однофотонной ионизации и поглощения фотона в непрерывном спектре. Соответствующее выражение для амплитуды
удается получить аналогично [?, ?], заменяя в матричном элементе (1.41)
функции непрерывного спектра их асимптотиками на больших расстояниях и учитывая при его вычислении вклад только дельта-образных членов
(см. Приложение). Окончательно, Tlli lf при ω 0 → 0 имеет вид
l,(lf )
Tli lf (Ei + ω + ω 0 , Ei + ω, Ei ) = −ieiπ(λlf −λli )/2 e
i(δlC −δlC )
f
p
hEi + ω, l| r |ni li i ,
ω 02
(1.48)
38
где
δl (E) =
π
(l − λ) + δλC ,
2
Γ(λ + 1 − i/p)
.
mod Γ(λ + 1 − i/p)
exp (iδλC ) =
В табл. 1.1 проведено сравнение матричных элементов Tlli lf , рассчитанных
суммированием штурмовского ряда (1.43), (1.44) при помощи ²-алгоритма и
вычисленных по приближенной формуле (1.48). Хотя просуммировать ряд
(1.43) удается только при не слишком малых значениях ω 0 , тем не менее
отчетливо видно сближение результатов при уменьшении ω 0 .
Таблица 1.1. Точность низкочастотной аппроксимации (1.48) матричных
элементов двухфотонных переходов в непрерывный спектр. В таблице
l,(lf )
представлено отношение Rlf = mod (Tlli lf − Tli lf )/Tlli lf . Частота ω = 2|Ei |
0
Na
K
Rb
ω /(Ei + ω) R0
R2
R0
R2
R0
0.1
0.12 0.19 0.13 0.14 0.15
0.08
0.11 0.16 0.11 0.13 0.12
0.06
0.094 0.13 0.099 0.11 0.10
0.04
0.075 0.096 0.079 0.087 0.079
0.02
0.048 0.058 0.052 0.056 0.052
Cs
R2
R0
R2
0.086 0.46 0.60
0.091 0.36 0.40
0.089 0.25 0.20
0.077 0.14 0.057
0.053 0.059 0.022
Другую возможность проверки корректности суммирования ряда дает независимое вычисление мнимой части матричных элементов Tlli lf . Поскольку радиальные функции дискретного и непрерывного спектра (1.10),
(1.11) вещественны, а мнимую часть функции Грина легко отделить, используя для нее спектральное разложение
Z
∞
X
Rεl (r)Rεl (r0 )
Rnl (r)Rnl (r0 )
0
gl (E; r, r ) =
+ dε
En − E
ε − E − i0
∞
n=l+1
(1.49)
0
и известное соотношение
1
1
= V.p.
+ iπδ(Ẽ − E),
Ẽ − E − i0
Ẽ − E
(1.50)
39
то при E > 0
Im Tlli lf (Ef , E, Ei ) = π hEf lf | r |Eli hEl| r |Ei li i .
(1.51)
Матричный элемент однофотонного перехода в непрерывном спектре выражается через функцию F2 ,
hEf lf | r |Eli ∼
∼ F2 (λf + λ + 4, λf + 1 + ia, λ + 1 + i/|ν|, 2λf + 2, 2λ + 2; x, y),
x = 2pν/(1 + p|ν|),
(1.52)
y = 2/(1 + p|ν|),
которая в отличие от кулоновского случая не сводится к функциям 2 F1 . Мы
вычисляли функцию F2 из (1.52), выражая её через интеграл от 2 F1 [36].
Расчеты показывают, что значения Im Tlli lf , полученные при суммировании
штурмовского ряда (1.43) с помощью паде-аппроксимации, совпадают с
(1.51) в пределах достигнутой точности.
1.3.4.
Численные результаты
Используя ²-алгоритм для суммирования штурмовского ряда для амплитуды двухфотонной ионизации, мы рассчитали полные сечения двухфотонной НПИ основных состояний атомов Na, K, Rb, Cs и He. Результаты для щелочных металлов представлены в табл. E.6. Чтобы получить
три десятичных знака в сечении, приходится брать 60 − 70 членов расходящегося ряда для амплитуды, при этом результат суммирования ряда
по ²-алгоритму оказывается в 1035 − 1045 раз меньше максимального члена
ряда. Таким образом, применение паде-суммирования к вычислению амплитуд надпороговой ионизации в ММП требует очень высокой точности
вычисления членов штурмовских рядов. В случае двухфотонной иониза-
40
ции, т.е. при суммировании однократного ряда (1.43), её удается достичь,
используя рекуррентные соотношения для расчета функций F2 в (1.44) и
компьютерные алгоритмы вычислений с повышенной точностью. Однако
уже двукратный ряд для амплитуды трехфотонной ионизации просуммировать не удается (даже при одном надпороговом фотоне, S = 1), поскольку после первого суммирования точность членов ряда оказывается недостаточно высокой.
Исследуя ДФИ, необходимо также учитывать явления простого фотоэффекта, когда валентный электрон отрывается только одним фотоном.
В отличии от однофотонной ионизации, при ДФИ электроны могут вылетать из мишени даже в направлении, перпендикулярном поляризации поля
(см. рис. E.3). Другая особенность ДФИ — это завимость полного сечения
(1.42) от интенсивности поля I =
cF 2
8π .
Можно определить “граничную” ин-
тесивность Ib , выше которой канал ДФИ будет преобладающим:
σ (1)
Ib = I0
,
σ
где I0 =
ce2
4πa40
= 7.019 × 1016 Вт см−2 — интенсивность внутриатомного
поля, а σ (1) = 4π 2 αω |hε1| r |10i|2 — полное сечение однофотонной ионизации. На рисунке E.4 представлены рассчитанные нами значения Ib атомов
щелочных металлов.
Особый интерес представляет расчет двухфотонной НПИ гелия, поскольку в этом случае есть возможность сравнить результаты как с расчетными значениями других авторов [?], так и с экспериментом [?]. На
рис. E.2 представлено сечение двухфотонной НПИ He, рассчитанное в той
же области частот, что и в [?]. Хотя в ММП сечение имеет более гладкую
41
частотную зависимость, чем в [?], но поскольку в рассмотренном интервале
частот кривые пересекаются, количественное согласие наших результатов с
работой [?] оказывается удовлетворительным. Из данных эксперимента [?]
следует, что величина полного сечения двухфотонной НПИ He, деленная на
плотность потока фотонов, σ/I, на частоте ω = 25 эВ равна 1.9 · 10−52 см4 с.
Согласно расчету в работе [?] эта величина равна 1.0·10−52 см4 с, наш расчет
дает значение 3.2 · 10−52 см4 с.
В [?] приведен также результат Takashi Nakajima для углового распределения фотоэлектронов при ионизации гелия в линейно поляризованном
лазерном поле частоты 25 эВ:
dσ
= a(0.729 cos4 θ − 0.345 cos2 θ + 0.075),
dΩ
где θ – угол между направлением вылета электрона и направлением поляризации волны. Угловое распределение, рассчитанное в ММП Фьюса можно представить в виде
СА: Я считал с точностью 120 знаков и количеством членов
ряда 200 (хотя как меньшие, так и большие размеры не меняли
первые 3 цифры). Уровни гелия я брал на NIST. Если брать из
Moore, то тот же (с точностью 2 знака) результат получается,
если экстраполировать λ значениями уровней, у которых nr < 10.
dσ
= a0 (0.729 cos4 θ − 0.347 cos2 θ + 0.039).
dΩ
СМ: А меня получилось так
dσ
= a0 (0.729 cos4 θ − 0.052 cos2 θ + 0.034).
dΩ
Что-то написать в заключение.
42
2. Релятивистская поляризуемость водорода
2.1.
Релятивистская поляризуемость водорода
2.1.1.
Поляризуемость
Тензор поляризуемости α̂ атома в когерентном э/м поле с частотой
q
ω и интенсивностью F = 8π
c I можно определить через поправку второго
порядка теории возмущений для энергии M (ε):
¯ E
D ¯
¯
¯
M (ε) ≡ 2 ¯V̂2 Gε V̂1 ¯ 1 =
n
o
X
F2 X
M j0 m0
(2)
(1)
αJ (ω)
(−1) Cj0 m0 JM e ⊗ e
, (2.1)
=
J−M
4
J
√
где V̂ = − 2παz ~I(er), I =
M
c
2
8π F .
Здесь используется дираковское сопря-
жение: hn| ri ≡ Ψn (r) = Ψ†n (r)β̂, а компанетны тензора поляризуемости
равны:
s
2J + 1 X
W (j0 1j0 1; jJ) |hk0 kC1 k pki|2 Fkp , (2.2)
2j0 + 1
kp
¯
¯



¯ µ ¶+
*µ ¶ ¯
2
2
T ¯
¯
a
a
b
a
b
b
kp
kp
kp
kp
g2
kp
¯ kp
 (1)

 (2) ¯ g1
=
¯
 rGkp r + 
 rGkp r¯
¯
¯ f1
f2
2
2
−akp −akp bkp
¯ akp bkp bkp
¯
αJ (ω) = αz ~c(−1)J
Fkp
(использовалось выражение (2.37) для функции Грина) Размерности: [Fkp ] =
h 2i
a0
3
mc2 , значит [αJ (ω)] = [a0 ].
43
В релятивистских единицах (~c = 1) получаем:
Fkp
αz X
α0 (ω) = √
W (1/2 11/2 1; j0) |h−1 kC1 k pki|2 Fkp
(2.3)
2 kp
¯
¯


¯ µ ¶+
*µ ¶ ¯
T ¯
¯
g
ps 
¯ |k| + pλ psαz 
0¯ g
+
= 2 (sλ + εkp)
¯
 rgk r ¯
¯ f
¯
f
4λ
spαz |k| − pλ
¯
¯
¯
 ¯
¯ µ ¶+
*µ ¶ ¯
T ¯
|k| − pλ  3 ¯¯ g
g
¯ psαz
+
(2.4)
+
¯
r ¯
¯
¯ f
f
¯ −|k| − pλ −spαz
¯
¯
¯


¯ µ ¶+
*µ ¶ ¯
T ¯
|k| − pλ  1+s (2) 01−s ¯¯ g
g
¯ psαz

+
¯

 r gk r ¯
¯
¯ f
f
¯ −|k| − pλ −spαz
¯
1
W (1/2 11/2 1; 1/2 0) = − √ ,
6
¯­
¯
®
¯ s1/ kC1 k p1/ ¯2 = 2 ,
2
2
3
1
W (1/2 11/2 1; 3/2 0) = √ ,
6
¯­
¯
®
¯ s1/ kC1 k p3/ ¯2 = 4 .
2
2
3
α0 (ω) αz
α̃s (ω) ≡ √ =
[2(F−2,1 + F2,−1 ) − (F−1,−1 + F1,1 )]
9
3
(2.5)
αs (ω) ≡ α̃s (ω) + α̃s (−ω)
(2.6)
44
2.1.2.
Основное состояния водорода
µ
Ψ(r)nkm =
¶
gn (r)χkm (n)
,
ifn (r)χ−k
m (n)
sign k
j = |k| − 1/2 ,
l=j+
χkm (n) ≡ Ωjlm (n),
2
¾
√
x
gn (r)
= A 1 ± ε e− 2 xλ−1 [nr Fnr −1,λ (x) ∓ (N − k)Fnr ,λ (x)]
fn (r)
2Zr
x=
,
Fn,λ (x) ≡ 1 F1 (−n, 2λ + 1; x)
N a0
s
Γ(2λ + nr + 1)
1
A=−
Γ(2λ + 1) 4N (N − k)nr !
p
αZ
N = n2 − 2nr (k − λ) = √
1 − ε2
p
1p 2
n = nr + k,
ε=
N − (αZ)2
λ = k 2 − (αZ)2 ,
N
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
В основном состоянии атома водорода (Z = 1, k = −1, nr = 0) в релятивистских единицах (x = 2αr) радиальные функции запишутся так:
s
ζ−1
(2α)
1+ζ
gn (r) =
rζ−1 e−αr ,
(2.14)
2
2Γ(2ζ + 1)
fn (r) = −
ζ≡
α
gn (r);
1+ζ
p
1 − (αZ)2 ;
λ = ε = ζ.
(2.15)
(2.16)
45
2.1.3.
Радиальные интегралы первого порядка для основного состояния релятивистского водорода
¯ À Z∞
¿ ¯
Z∞
√
¯ δ(r − r0 ) 0 ¯
r ¯¯ g = r2 dr r02 dr0 g(r)g ∗ (r0 )δ(r − r0 ) rr0 =
g ¯¯r √
rr0
0
Z∞
=
(2.17)
0
­ ¯ ¯ ®
r2 dr g 2 (r)r3 = g ¯r3 ¯ g
0
Рассмотрим интеграл
Z∞
hg |rp | gi =
Z∞
g 2 (r)rp+2 dr = C 2
0
C 2 = (2α)2ζ+1
1+ζ
,
2Γ(2ζ + 1)
hg |rp | gi = (2α)−p
Z∞
r2ζ+p e−2αr dr;
(2.18)
0
Γ(2ζ + p + 1)
α2ζ+p+1
(2.19)
1 + ζ Γ(2ζ + p + 1)
1+ζ
= (2α)−p
(2ζ + 1)p
2
Γ(2ζ + 1)
2
(2.20)
r2ζ+p e−2αr dr =
0
Тогда
(2ζ + 1)p
2
(2ζ + 1)p
hf |rp | f i = α2 (2α)−p (1 + ζ)−1
2
hg |rp | f i = hf |rp | gi = −α(2α)−p
(2.21)
(2.22)
46
2.1.4.
Нерелятивистский переход
i
1h
αs (ω) =
2F̃−2 (ω) ± F̃1 (ω)
9
F̃kp (ω) = Fk,+1 + F−k,−1
i
1 ps h
(2)
(1)
(sλ + εkp)Mkp + Mkp
Fk,p =
~c 4λ2
p
λ ≡ λ(k) = k 2 − αz2 ,
s = sign k
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2)
При переходе к нерелятивистскому пределу считаем ε ' 1, λ ' |k|, Mkp '
(1)
0. В Mkp остается только одно слагаемое из четырех:
¯
¯

¯ µ ¶+
*µ ¶ ¯
2
T ¯
¯
a
a
b
kp kp 
g
¯ kp
(1)
0¯ g
Mkp =
' (|k| + pλ) hg |rgk r0 | gi
¯
 rgk r ¯
¯
¯ f
f
¯ akp bkp b2kp
¯
(2.27)
gk (r, r0 ) = gγ (ε + ω + i0; r, r0 ) + gγ (ε − ω; r, r0 ),
γ ≡ γ(k) = λ(k) − δ−s ,
δs ≡
1+s
2
(2.28)
(2.29)
В скалярной поляризуемости исчезнут члены с p = −1 (релятивистские
единицы – ~c = 1):
M̃−2,1
i
1h
αs (ω) =
2M̃−2,1 (ω) ± M̃1,1 (ω) ,
где
9
ps
M̃kp = 2 (sλ + εkp)(|k| + pλ) hg |rgk r0 | gi ;
4λ
1
= − (−2 − 2)(2 + 2) hg |rgk=−2 r0 | gi = hg |rgk=−2 r0 | gi ,
16
1
M̃1,1 = (1 + 1)(1 + 1) hg |rgk=1 r0 | gi = hg |rgk=1 r0 | gi
4
(2.30)
(2.31)
(2.32)
(2.33)
Учитывая, что γ(k = −2) ≈ γ(k = 1) ' 1, получем:
M̃−2,1 = M̃1,1 = hg |rgγ=1 r0 | gi
(2.34)
47
Таким образом в нерелятивистском пределе,
1
αs (ω) = [hg |rg1 (ε − ω; r, r0 )r0 | gi + hg |rg1 (ε + ω + i0; r, r0 )r0 | gi]
3
(2.35)
Можно считать, что F−2,1 ≈ F1,1 À F2,−1 , F−1,−1 :
αs (ω) '
2F−2,1 + F1,1
.
9
(2.36)
48
2.1.5.
(1)
Штурмовское разложение gk и gk
G=
X
(p) (p)
(G1 + iG2 (α̂ · n))θkm θkm
(2.37)
kmp
ps (1)
p
(λ + εκp)gk ,
G2 =
g
2λ
2λ k
∞
0 X
4m2
n!L2λ+s
(x)L2λ+s
(x0 )
n
n
0 λ−δ−s − x+x
2
gk = 2
(xx )
e
~ a0 ν
Γ(n + 2λ + δs )(n + λ + δs − η)
n=0
·
4m2 p
δ(x − x0 )
(1)
2
√
gk = 2
1−ε
+
~ a0 ν
xx0

∞
2λ+s 0
0 X
(n + δs )!L2λ−s
(x ) 
n+s (x)Ln
λ−δ−s 0λ−δs − x+x
2
+x
x
e
Γ(n + 2λ + δs )(n + λ + δs − η)
G1 =
(2.38)
(2.39)
(2.40)
(2.41)
n=δ−s
ν=√
αz
,
1 − ε2
a0 =
ar
~ 1
mc αz
Skλ (ar) = a(ar)λ e− 2 L2λ+1
(ar)
k
(2)
(2.43)
a0 ν Sn,λ−δ−s (x)
(2.44)
2
xs
x
a0 ν s
xλ−δ−s e− 2 L2λ−s
x Sn+s,λ−δs (x)
(2.45)
n+s (x) =
2
1
∞
1 X
(1 − ε2 )− /2 n!
gk =
Sn,λ−δ−s (x)Sn,λ−δ−s (x0 )
~c n=0 Γ(n + 2λ + δs )(n + λ + δs − η)
·
¸
³ a ν ´2 ³ x ´s
0
4m p
δ(x
−
x
)
0
(1)
(2)
√
gk = 2
1 − ε2
+
gk =
(2.46)
0
~ a0 ν
2
x0
xx
·
¸
1 δ(r − r0 ) ³ r ´s (2)
√
+ 0 gk
=
(2.47)
~c
r
rr0
∞
X
(n + δs )!
Sn+s,λ−δs (x)Sn,λ−δ−s (x0 ) =
=
Γ(n + 2λ + δs )(n + λ + δs − η)
n=δ−s
(2.48)
∞
X
(n + 1)!
=
Sn+δs ,λ−δs (x)Sn+δ−s ,λ−δ−s (x0 )
Γ(n + 2λ + 1)(n + λ + 1 − η)
n=0
x
(x) =
xλ−δs e− 2 L2λ+s
n
gk
(2.42)
49
µ
¶ X
µ ¶
∞
2r
2r
(2l + 2)n
Snl
=
Skl
(−1)n
×
a0 ν
α
n!
k=0
µ
¶l+1 µ
¶n+k
4a0 αν
α − a0 ν
×
2 F1 (−k, −n, 2l + 2; z)
(α + a0 ν)2
α + a0 ν
µ ¶
µ 0¶
∞
1 X
2r
2r
gk =
gkk0 (ν; α, α0 )Sk,λ−δ−s
Sk,λ−δ−s
~c 0
α
α0
k,k =0
µ ¶
µ 0¶
∞
X
2r
2r
(2)
(2)
gkk0 (ν; α, α0 )Sk,λ−δs
gk =
Sk,λ−δ−s
α
α0
0
(2.49)
(2.50)
(2.51)
(2.52)
k,k =0
gk,k0 = fkk0
∞
X
Gn,s2 F1 (−k, −n, 2λ + 1 + s; z)2 F1 (−k 0 , −n, 2λ + 1 + s; z 0 );
n=0
1
fkk0
ν = (1 − ε2 )− /2
(2.53)
Ã
!2λ+2δs µ
√
¶k µ 0
¶k 0
0
ν
4ν αα
α−ν
α −ν
=
Γ(2λ + 2δs ) (α + ν)(α0 + ν)
α+ν
α0 + ν
Gn,s =
(2)
gk,k0
=
(2)
fkk0
∞
X
n=δ−s
(2)
0
0
G(2)
n,s 2 F1 (−k, −n − s, 2λ + 1 − s; z)2 F1 (−k , −n, 2λ + 1 + s; z );
¶λ−δs +1 µ
¶λ−δ−s +1 µ
¶k+s µ 0
¶k0
4α0 ν
α−ν
α −ν
4αν
=
(α + ν)2
(α0 + ν)2
α+ν
α0 + ν
µ
¶
n
(2λ + 1 − s)n+s (2λ + 1 + s)n α − ν α0 − ν
(2)
Gn,s = −
×
(n + s)!
n!
α + ν α0 + ν
(n + δs )!
×
Γ(n + 2λ + δs )(n + λ + δs − η)
µ
fkk0
(2λ + 2δs )n
−n/
[(1 − z)(1 − z 0 ))] 2
n!(n + λ + δs − η)
50
α = α0 :
gk,k0 = fk+k0
∞
X
n=δ−s
G(2)
n,s
s
s
Gn,s Fn,k
Fn,k
;
(2)
gk,k0
=
(2)
fk+k0
∞
X
s
−s
G(2)
n,s Fn+s,k Fn,k
(2.54)
n=δ−s
s
Fn,k
= 2 F1 (−k, −n, 2λ + 1 − s; z)
µ
¶2λ+2δs µ
¶k
ν
4αν
α−ν
fk =
Γ(2λ + 2δs ) (α + ν)2
α+ν
µ
¶k+s
¶2λ+1 µ
1
4αν
α−ν
(2)
fk = −
Γ(2λ) (α + ν)2
α+ν
µ
¶2n
(2λ + 2δs )n
α−ν
Gn,s =
n!(n + λ + δs − η) α + ν
µ
¶2n
(2λ + 1 − s)n+s (2λ + 1 + s)n α − ν
×
= Γ(2λ)
(n + s)!
n!
α+ν
(n + δs )!
×
Γ(n + 2λ + δs )(n + λ + δs − η)
µ
¶2n
(2λ)n+1 (2λ + 2)n α − ν
×
= Γ(2λ)
(n + 1)!
n!
α+ν
(n + 1)!
×
Γ(n + 2λ + 1)(n + λ + 1 − η)
µ
¶2n
(2λ + 2)n−1 (2λ)n α − ν
(2)
×
Gn,−1 = Γ(2λ)
(n − 1)!
n!
α+ν
n!
×
Γ(n + 2λ)(n + λ − η)
µ
¶
(2λ + 2)n−δ−s α − ν 2n
1
(2)
Gn,s =
(n + λ − η + δs ) (n − δ−s )!
α+ν
(2)
Gn,+1
µ
¶2
(n + λ − η + δs )(2λ + 2δs + n) α − ν
Gn+1,s = Gn,s
(n + λ − η + δs + 1)(n + 1)
α+ν
µ
¶2
α
−
ν
(n
+
λ
−
η
+
δ
)(2λ
+
2
+
n
−
δ
)
s
−s
(2)
Gn+1,s = G(2)
n,s
(n + λ − η + δs + 1)(n − δ−s + 1) α + ν
(2.55)
(2.56)
(2.57)
(2.58)
(2.59)
(2.60)
(2.61)
(2.62)
(2.63)
(2.64)
(2.65)
(2.66)
(2.67)
51
µ
¶2
(n + c − 1)(g0 + n) α − ν
Gn+1,−1 = Gn,−1
(n + c)(n + 1)
α+ν
µ
¶2
(n + c)(g2 + n)
α−ν
Gn+1,+1 = Gn,+1
(n + c + 1)(n + 1) α + ν
1
1
G0,−1 =
,
G0,+1 =
c−1
c
µ
¶2
+ c − 1)(g2 + n − 1) α − ν
=
(n + c)n
α+ν
µ
¶2
α
−
ν
(n
+
c)(g
+
n)
2
(2)
(2)
Gn+1,+1 = Gn,+1
(n + c + 1)(n + 1) α + ν
µ
¶2
1 α−ν
1
(2)
(2)
G1,−1 =
,
G0,+1 =
c α+ν
c
(2)
Gn+1,−1
(2) (n
Gn,−1
c = λ − η + 1,
2.2.
g0 = 2λ,
g2 = 2λ + 2
(2.68)
(2.69)
(2.70)
(2.71)
(2.72)
(2.73)
(2.74)
Рекуррентные соотношения
gk,k0 = fkk0
∞
X
Gn,s2 F1 (−k, −n, 2λ + 1 + s; z)2 F1 (−k 0 , −n, 2λ + 1 + s; z 0 );
n=0
(2.75)
(2)
gk,k0
=
(2)
fkk0
∞
X
0
0
G(2)
n,s 2 F1 (−k, −n − s, 2λ + 1 − s; z)2 F1 (−k , −n, 2λ + 1 + s; z );
n=δ−s
(2.76)
52
3. Заключение
53
A. Приложение к нерелятивистской поляризуемости
Интегрирование по радиальным переменным в матричном элементе
(1.26) проводится с помощью формулы
Z∞
dte
−βt a−1
t
c0 −1
Lc−1
k (xt)Ln (yt)
0
(c)k (c0 )n Γ(a)
F2 (a; −k, −n; c, c0 ; x/β, y/β) ,
=
a
k! n! β
где F2 — гипергеометрическая функция двух переменных (функция Аппеля) [21], которая в нашем случае является двойным полиномом (степени k
по x/β и степени n по y/β). В результате для MLnl получаем ряд следующего вида
MLnl
=
∞
X
gLkk0 (ν; α, α)Ak0 (n, α)Ak (n, α)
k,k 0 =0
≡
∞ X
∞
X
akk0 ,
(A.1)
k=0 k 0 =0
симметричный по индексам суммирования, akk0 = ak0 k . gLkk0 даётся выражением (D.63), а матричные элементы
Ak (n, α) = hSkL (2r/α)| r |Rnl (r)i
выражаются через гипергеометрические полиномы F2 :
p
αΓ(ζ) Γ(n + λl + 1)(2λL + 2)k
√
×
Ak (n, α) =
4k! nr ! Γ(2λl + 2)
× xλL +2 y λl +2 F2 (ζ; −k, −nr ; 2λL + 2, 2λl + 2; x, y) ,
(A.2)
где ζ = λL + λl + 4, x = (2n)/(n + α), y = (2α)/(n + α).
Строгое исследование сходимости ряда (A.1) состояло бы в том, чтобы найти в нем асимптотику внутренней суммы при больших k. Однако
54
такая задача требует громоздких вычислений, поэтому ограничимся здесь
исследованием поведения далеких членов ряда (A.1) на краях (k → ∞, k 0 ∼
const) и на диагонали (k = k 0 → ∞) симметричной матрицы akk0 . Необходимые для этого асимптотики функций 2 F1 (a, −k; c; x) и F2 (a; −k, b; c, c0 ; x, y)
при больших k найдены в работе [36], а поведение при больших k второй
функции 2 F1 в выражении (D.63) для glkk0 (ν; α, α) легко устанавливается с
помощью следующих преобразований [21]
2 F1 (k
+ 1, k + 2λ + 2; k + λ + 2 − η; 1/z) =
= (1 − z −1 )−k−λ−η−1 2 F1 (λ + 1 − η, −λ − η; k + λ + 2 − η; 1/z) ∼
µ
¶k+λ+η+1
4αν
.
∼
(α + ν)2
(A.3)
В результате для akk0 получаем следующие оценки:
1) при фиксированном k 0 и k → ∞:
"
µ
¶k # µ
¶k
α
−
ν
α
−
ν
0
akk0 ∼ k η a1 k −λl −4 + a2 k ν0 +1
;
α + ν0
α+ν
2) при k 0 = k → ∞:
"
akk ∼ a1 k −λl −4 + a2 k ν0 +1
µ
α − ν0
α + ν0
¶k #2 "
µ
c1 + c2 k 2η
α−ν
α+ν
(A.4)
¶2k #
.
(A.5)
Здесь ν0 ≡ νnl > 0, а коэффициенты a1,2 и c1,2 не зависят от k, k 0 .
Как видно из оценок (A.4), (A.5), необходимым условием сходимости
ряда (A.1) является выполнение неравенств
¯
¯
¯
¯
¯ α − ν0 ¯
¯α − ν ¯
¯
¯
¯
¯
¯ α + ν0 ¯ < 1 ,
¯α + ν ¯ < 1 .
(A.6)
При положительной энергии функции Грина, когда ν есть чисто мнимая
величина, ν = i mod ν, условиям (A.6) можно удовлетворить, выбирая α
в первой четверти комплексной плоскости: Re α > 0 , Im α > 0. Численные
55
расчеты подтверждают, что этого достаточно для сходимости. В то же время, из первого неравенства в (A.6) видно, что использование стандартного
штурмовского разложения функции Грина (1.13) (α = ν) приводит к сходящемуся ряду в подпороговом случае (когда Im ν = 0) и расходящемуся
ряду в области надпороговых частот (где Re ν = 0).
Приведённый выше анализ сходимости справедлив и при использовании функции Грина (1.34), (D.63) для расчета неупругих двухфотонных
переходов в дискретном спектре, |ni → |n0 i, при частотах, превышающих
энергию связи хотя бы одного из состояний |ni, |n0 i ; обобщение соотношений (A.4), (A.5) на этот случай достаточно очевидно. Отметим также, что
a1 ∼ 1/Γ(λL −λl −2) в соотношениях (A.4), (A.5), поэтому в матричном элементе MLnl для случая кулоновского потенциала, когда λL −λl −2 переходит
в L − l − 2 и является целым отрицательным числом, члены с a1 в (A.4),
(A.5) исчезают. Поэтому в этом случае выбором α = ν0 = n можно оборвать ряды в (A.1), т.е. получить замкнутый аналитический результат для
MLnl , см. [12]. Отсутствие членов с a1 в соотношениях типа (A.4), (A.5) для
случая кулоновского потенциала позволяет также существенно упростить
анализ сходимости штурмовских разложений нелинейных восприимчивостей атома водорода в надпороговой области частот [37].
56
B. Прилжение к двухфотонной ионизации
Для вывода низкочастотной асимптотики (1.48) запишем матричный
элемент двухфотонной ионизации в калибровке скорости
¯
­
REf lf ¯ D(lf , l)gl (Ei + ω)D(l, li ) |REi li i ,
(B.1)
где
d
sgn(l0 − l)max(l, l0 ) + 1
D(l, l ) =
+
.
dr
r
0
Чтобы найти расходящуюся при ω 0 → 0 часть (B.1), оставим в спектральном разложении функции Грина только интеграл по непрерывному спектру,
Z∞
0
gl (r, r ; Ei + ω) →
0
REl (r0 )REl (r)
dE,
E − Ei − ω − i0
(B.2)
и заменим в однофотонном матричном элементе
¯
­
dl0 l = REf lf ¯ D(lf , li ) |REl i
функции непрерывного спектра их асимптотическими выражениями
REl ∼
1
1
π
sin (pr + ln 2pr − l + δl (E)) .
r
p
2
Нетрудно установить, что dl0 l при E → Ef имеет следующее поведение [?,?]
½
¾
0 (E)]
l−l0 −1
sin
[δ
(E)
−
δ
l
l
dl0 l = (−1) 2 p cos [δl (E) − δl0 (E)]δ(E 0 − E) +
.
π(E 0 − E)
(B.3)
Учитывая теперь при вычислении интеграла по E в (B.1) вклад слагаемого с дельта-функцией из (B.3), найдем сингулярный член в вещественной
57
части. Для расчета мнимой части расходящегося члена следует в точном
выражении (1.51) заменить матричный элемент hEf lf | r |Eli его асимптотикой, которая дается вторым слагаемым в (B.3). Наконец, принимая во
внимание, что при ω 0 → 0 матричные элементы в форме длины и скорости
связаны соотношением
¯
¯
­
­
REf lf ¯ D(lf , l)gl (Ei + ω)D(l, li ) |REi li i ≈ ω 0 ω REf lf ¯ rgl (Ei + ω)r |REi li i ,
(B.4)
приходим к выражению (1.48).
58
C. Приложения к проблеме релятивистской
поляризуемости
59
D. Черновики
D.1.
Уравнение Дирака для кулоновского потенциала
Уравнение Дирака для электрона в кулоновском поле можно записать
так:
D̂Ψ = 0,
D̂ = β̂(Ĥ − E),
µ
¶
2
Ze
D̂ = c(γ̂ · p̂) + me c2 + β̂ −
−E ,
r
Ze2
2
ĤΨ = EΨ,
Ĥ = c(α̂ · p̂) + β̂me c −
,
r
(D.1)
(D.2)
(D.3)
(D.4)
Ищем решение в виде
Ψ = K̂Φ,
(D.5)
где K̂ — оператор квадрирования (отличается от D̂ только знаком перед
массой me ):
¶
2
Ze
K̂ = c(γ̂ · p̂) − me c2 + β̂ −
−E .
r
µ
(D.6)
В сферических координатах получается такое уравнение для Ψ (реляти1
вистская система единиц: me = ~ = c = 1, e2 = αz ≈ 137
):
" Ã
!
#
2
2
Λ̂
αz Z
ε −1
1 1 ∂
r− 2 +
ε+
Φ = 0.
2
2 r ∂r
r
r
2
(D.7)
60
Здесь
Λ̂ = L̂(L̂ + 1),
L̂ = K̂ − iαz Z(α̂ · n),


 σ̂ 0 
K̂ = −(Σ̂ · l̂) − 1,
Σ̂ = 
.
0 σ̂
(D.8)
(D.9)
Вся угловая и матричная структура оператора в (D.7) заключена в
операторе Λ̂. Это позволяет разделить переменные и искать решение уравнения (D.7) в виде
Φ(r) = f (r)θ(n).
(D.10)
Можно заметить, что шаровые спиноры Ωjlm (n) = {Yl (n) ⊗ u}jl , где
σ̂z u±1/2 = ±u±1/2 , являются собственными функциями оператора K̂, полного момента системы Jˆ и его проекции Jˆz . Введем обозначение
χkm ≡ Ωjlm ,
k = sκ = (l − j)(2j + 1),
χk,+1
m
K̂χkm = kχkm ,
κ = |k| = 1, 2, . . . ,
s = sign k = ±1,
s−1
j = κ − 1/2 , l = j + s/2 = κ +
;
2
µ k¶
µ ¶
χm
0
k,−1
k,p
=
, χm =
, β̂χk,p
m = pχm .
k
0
χm
(D.11)
(D.12)
(D.13)
(D.14)
Очевидно, что χk,±1
также являются собственными функциями K̂ с собm
−k,−p
ственными значениями k. Так как (α̂ · n)χk,p
, понятно, что
m = −χm
угловая зависимость в (D.10) может быть представлена в виде комбинации функций χ±k,±1
. Непосредственной подстановкой можно убедиться что
m
функции (см. [38])
(q)
θkm = c(+) χqk,+1 + iqsc(−) χ−qk,−1 ,
r
p
κ ± qλ
,
λ = κ2 − (αz Z)2
c(±) =
2λ
(D.15)
(D.16)
61
удовлетворяют поставленным условиям. Кроме того,
(q)
(q)
(q)
β̂ K̂θkm = qkθkm ,
(q)
(q)
L̂θkm = sλθkm ,
(q)
Λ̂θkm = λ(λ + s)θkm ,
(D.17)
(γ̂ · n)θkm = −iqsβ̂θ−km = −iqsc(−) χqk,+1 + c(+) χ−qk,−1 .
(D.18)
(q)
(−q)
Радиальная зависимость выражается через регулярную функцию Уиттекера:
f (r) =
1
ϕεk (x),
x
ϕεk (x) = Mη,λ+s/2 (x),
ν=√
αz
,
1 − ε2
2
x = r;
ν
η = ενZ.
(D.19)
(D.20)
Функция Грина квадрированного уравнения (D.7):
(q)
(q)
4m X Snkm (r)Snkm (r0 )
q
,
G(r, r ) = 2
~ a0 ν
n − η + λ + δs
0
(D.21)
nkmq
где
(q)
(q)
Snkm (r) = Cnγ Sn,λ+δs −1 (x)θkm (n),
r
Snγ (x) = (2/ν)γ+1 rγ e− ν L2γ+1
(x) =
n
(2γ + 2)n
Rnγ (x),
n!
x
Rnγ (x) = xγ e− 2 1 F1 (−n, 2γ + 2; x),
s
n!
Cnγ =
;
Γ(n + 2γ + 2)
Lcn (x) =
Γ(n + c + 1)
1 F1 (−n, c + 1; x).
Γ(c + 1)n!
(D.22)
(D.23)
(D.24)
(D.25)
(D.26)
62
Рекурентные соотношения:
∂
a
Φ(a) = [Φ(a + 1) − Φ(a)],
(D.27)
∂z
zµ
¶
z
∂ ¡ γ −z ¢
γ
1
z e 2 = z γ e− 2
−
,
(D.28)
∂z
z 2
h
z
∂
zi
γ−1 − z2
zRn,γ (x) = z e
γ−
Φ(−n) − nz γ−1 e− 2 [Φ(1 − n) − Φ(−n)] =
∂z
2
h
zi
= Rn,γ (x) γ + n −
− nRn−1,γ (x),
2
h
∂
zi
zSnγ (z) = Snγ (z) γ + n −
− (n + 2γ + 1)Sn−1 γ (z)
(D.29)
∂z
2
Φ(a) ≡ 1 F1 (a, c, z),
Волновые функции релятивистского электрона в атоме водорода выглядят следующим образом [39]:
|nkqmi = fn(+) (r0 )χkq,+1
(n0 ) + ifn(−) (r0 )χ−kq,−1
(n0 )
m
m
(D.30)
(±)
Радиальные функции fn имеют вид
r
1±ε
fn(±) = ±An
[(N − k)Rnr ,λn −1/2 (2r/ν)∓
r
∓ nr Rnr −1,λn −1/2 (2r/ν)], (D.31)
где Rnr ,λ (x) определна в (D.24), а парамтетры такие:
p
1
ν = (1 − ε2 )− /2 , N = (nr + κ)2 − 2nr (κ − λn ),
p
p
λn ≡ λ(jn ) = k 2 − (αz Z)2 = (j + 1/2 )2 − (αz Z)2 ,
nr = λ − η + s + 1,
η = Zεν,
s
2
Γ(2λn + nr + 1)
An =
.
νΓ(2λn + 1)
4N (N − κ)nr !
При nr = 0:
¾
√
r
= ±An (N − k) 1 ± εrλ−1 e− ν


(1 + ε)2 ε2 − 1 
¯ 3¯
­
®
−2
T
2 Γ(2λ + 4) 
¯
¯
An (g, f ) r (g, f ) = (N − k)


(2/ν)2λ+4
ε2 − 1 (1 − ε)2
g
f
63
D.2.
Четность состояний в релятивистском подходе
Решения уравнения Дирака:
(q)
Ψk,m (r) = f (r)χqk,+1
(n) + ig(r)χ−qk,−1
(n).
m
m
(D.32)
Оператор пространственной инверсии (четность) [39]:
P̂ ϕ(n) = iβ̂ϕ(−n),
(D.33)
P̂ χqk,±1
(n) = ±iχqk,±1
(−n) = ±isq(−1)κ χqk,±1
(n),
m
m
m
(D.34)
(q)
(q)
(q)
P̂ Ψk,m (r) = iβ̂Ψk,m (−r) = isq(−1)κ Ψk,m (r),
(D.35)
p = sq(−1)κ — четность,
(D.36)
1 p
l = j + (−1)j+ /2 .
2
(D.37)
64
D.3.
Лазерное поле
Интенсивность поля:
I = |S| =
c 2
F
4π
(D.38)
F = Re{F0 ei(kr−ωt) } = Re{F0 eikr } cos ωt + Im{F0 eikr } sin ωt
¡
¢2
¡
¢2
F2 = Re{F0 eikr } cos2 ωt + Im{F0 eikr } sin2 ωt+
+2Re{F0 eikr }Im{F0 eikr } cos ωt sin ωt
cos2 ωt =
1
T
1
sin2 ωt =
T
ZT
cos2 ωt dt =
1
2
sin2 ωt dt =
1
2
0
ZT
0
cos ωt sin ωt = 0
¢
¡
¢i 1
1 h¡
F2
ikr 2
ikr 2
ikr 2
=
Re{F0 e } + Im{F0 e }
= |F0 e | =
2
2
2
c 2
8π
I=
F ;
F2 =
I
8π
c
1 ∂A
8π
F=−
,
A = A0 Re{eei(kr−ωt) },
A20 = 2 I
(D.39)
c ∂t
ω
F2
В кулоновской калибровке A0 = 0; дипольное приближение eikr ' 1:
r
F
2πe2 I
V̂ = −e er = −
er
(D.40)
2
c
√
e
2πe2 I
V̂ = − α̂A = −
α̂e.
(D.41)
2
ω
D.4.
Размерности величин
В задачах взаимодействия э/м поля с веществом (полагаем Z = 1)
используется характерные масштабные параметры – масса электрона, бо-
65
ровскй радиус и интревал времени τ0 = ~/ε0 :
~2
a0 =
,
me2
m = me ,
~3
τ0 =
.
me4
В расчете динамической поляризуемости имеются две размерные величины: энергия фотона [ω] = ε0 =
e2
a0
и сама поляризуемость [α(ω)] = a−3
0 .
В атомной системе единиц фиксируется такие константы:
m = 1,
~ = 1,
e = 1,
а в релятивистской —
m = 1,
~ = 1,
c=1
⇒
e2 = αz ,
где αz ≈ 1/137 — безразмерная постоянная тонкой структуры. Таким образом, в атомной системе единиц [ωa ] = 1, [αa (ω)] = 1, а в релятивистской —
[ωr ] = αz2 , [αr (ω)] = αz3 . Чтобы сравнивать поляризуемости, расчитаныне в
нерелятивистском и в релятивистском подходах, необходимо использоать
формулы перевода величин:
ωr = ωa αz2 ,
αr = αa αz3 .
(D.42)
Энергия покоя электрона в релятивистском подходе принимается равной mc2 = 1 и формула для сравнения энергии электрона такая:
εr = εa αz2 + 1.
(D.43)
66
D.5.
Рекурентные соотношения для вычисления ядра функции
Грина
0
4m
0 λ+δs −1 − x+x
2 ×
(xx
)
e
~2 a0 ν
∞
X
n!L2λ+s
(x)L2λ+s
(x0 )
n
n
×
Γ(n + 2λ + 2δs )(n − η + λ + δs )
n=0
gkk0 (ν; x, x0 ) =
(D.44)
2r0
x =
νa0
2r
x=
,
νa0
0
(D.45)
∞
ma0 X n!Sn,λ+δs −1 (x)Sn,λ+δs −1 (x0 )
g(ν; x, x ) = ν 2
~ n=0 Γ(n + 2λ + 2δs )(n − η + λ + δs )
0
(D.46)
2 γ − x 2γ+1
(D.47)
x e 2 Ln (x)
a0 ν
µ
¶
∞
X
2r
Skγ (x) =
cnk (α)Snγ
(D.48)
αa
0
n=0
µ
¶λ+δs µ
¶n+k
4αν
α
−
ν
(2λ
+
2δ
)
s
k
cnk (α) = (−1)k
2 F1 (−n, −k, 2λ + 2δs ; z)
k!
(α + ν)2
α+ν
4αν
z ≡ z(α),
z 0 ≡ z(a0 ),
z(α) = −
(D.49)
(α + ν)2
Snγ (x) =
0
g(ν; x, x ) =
X
kk 0
µ
0
gkk0 (ν; α, α )Skγ
2r
αa0
¶
µ
Skγ
2r0
α 0 a0
¶
gnn0 (ν; α, α0 ) = fnn0 (α, α0 )×
×
X (2λ + 2δs )k2 F1 (−n, −k, 2λ + 2δs ; z)2 F1 (−n0 , −k, 2λ + 2δs ; z 0 )
k
k!(k − η + λ + δs )[(1 − z)(1 − z 0 )]k/2
(D.50)
(D.51)
(D.52)
67
D.6.
Обобщенное разложение кулоновской функции Грина линейного уравнения Дирака
Рассмотрим функцию Грина G(r, r0 ) квадрированного уравнения Ди-
рака (D.7) Обозначив x =
2r
ν,
x0 =
2r0
ν
иz=
2r
α,
z0 =
2r0
α0 ,
запишем:
i
X h (q)
(q)
0
G(r, r ) =
q θkm (n)θkm (n ) G0nk (x, x0 ),
0
kmq
G0nk (x, x0 ) =
X
(D.53)
(k)
gnn0 (ν)Snγ (x)Snγ (x0 ),
(D.54)
δnn0 ν
,
n−η+γ+1
(D.55)
n
(k)
gnn0 (ν) = Cnγ Cn0 γ
где γ = λ + δs − 1, а Cnγ определены в (D.25). Оператор квадрирования:
"
Ã
!
#
p
1 ∂
1 + εβ
L̂
K̂ = 1 − ε2 iβ(α̂ · n)
+ √
=
x+
x ∂x
x
2 1 − ε2
!
Ã
αz
εβ 1
1 ∂
L̂
= iβ(α̂ · n)
+
z+
+
(D.56)
α
z ∂z
z
2
2
РКФГ линейного уравнения Дирака:
0
0
GE (r, r ) = K̂G(r, r ) =
X
(k)
qgnn0 (ν)K̂
h
i
(q)
Snγ (z)θkm (n)
(q)
Sn0 γ (z 0 )θkm (n0 )
nn0 kmq
Учитывая, что x = (α/ν)z перепишем оператор квадрирования:
K̂ = K̂1 + K̂2 + K̂3 +
1
2
h
i
1
(q)
(q)
K̂ Snk (z)θkm (n) ≡ K = K1 + K2 + K3 + Snγ (z)θkm (n),
2
1 ∂
αz
1
ε
αz
z, K̂2 = i β̂(α̂ · n) L̂, K̂3 = β.
K̂1 = i β̂(α̂ · n)
α
z ∂z
α
z
2
68
Используя (D.17, D.29), получаем:
·
¸h
i
αz 1 ∂
(q)
K1 = i
zSnγ (z) β(α̂ · n)θkm (n) =
α z ∂z
½µ
¶
¾
αz
n+γ 1
n + 2γ + 1
=
−
Snγ (z) +
Sn−1 γ (z) ×
α
z
2
z
h
i
(−) qk,+1
(+) −qk,−1
+ qsc χm
,
× ic χm
h
i
αz λ
(+) −qk,−1
(−) qk,+1
K2 =
Snγ (z) ic χm
+ qsc χm
,
αz
·
¸
1 + ε (+) qk,+1
1
1
−
ε
(q)
c χm + isqc(−)
χ−kq,−1
K3 + Snγ (z)θkm (n) = Snγ (z)
.
m
2
2
2
Собираем эти выражения:
h
K̂
i
i
αz h (−) (+)
qk,+1
(+) (−)
−kq,−1
=
qsc Knk (z)χm (n) + ic Knk (z)χm
(n) ,
2
(D.57)
µ (±)
¶
c 1±ε 1
(±)
−
Knk (z) = Snγ (z) sq (∓)
+
αz
α
c
(D.58)
Snγ (z)
Sn−1,γ (z)
+
(n + 2γ + 1 − δs ) +
(n + 2γ + 1).
r
r
(q)
Snγ (z)θkm (n)
Следовательно, окончательное выражение для обобщенного разложения РКФГ линейного уравнения Дирака имеет вид:
αz X (k)
gnn0 (α, α0 )×
2 0
nn k
i
Xh
(−) (+)
qk,+1
(+) (−)
−kq,−1
×
sc Knk (z)χm (n) + iqc Knk (z)χm
(n) ×
GE (r, r0 ) =
qm
i
h
(−) −kq,−1 0
(+) qk,+1 0
(n ) . (D.59)
× Sn0 k (z ) c χm (n ) + iqsc χm
0
D.7.
Матричные элементы
Матричный элемент второго порядка от оператора v̂(r)V̂tµ (n) с вол-
новыми функциями hr0 | 1i и h2| ri (D.30) с использованием (D.59) запишетя
69
так:
¯ E α X
D ¯
¯
z
(k)
0 0 ¯
2 ¯v̂ V̂tµ GE v̂ V̂t0 µ0 ¯ 1 =
gnn0 (α, α0 )×
2 0
nn kqm
¯ ¯
E
ED
h
D
¯ ¯
(+)
(+)
(−)
× sc
f2 |v̂| Knk
j2 l2 m2 ¯V̂tµ ¯ jlm +
¯ ¯
Ei
D
ED
¯ ¯ 0
(−)
(−)
(+)
0
+qc
f2 |v̂| Knk
j2 l2 m2 ¯V̂tµ ¯ jl m ×
¯
¯
E
h
D
ED
¯
(+)
0 ¯
(+)
0
× c
Sn0 k |v̂ | f1
jlm ¯V̂t0 µ0 ¯ j1 l1 m1 +
¯
¯
ED
D
Ei
¯
(−)
(−)
0
0
0 ¯
0
+qsc
Sn0 k |v̂ | f1
jl m ¯V̂t0 µ0 ¯ j1 l1 m1 . (D.60)
Здесь учитывается, что
D
χkm22q2 ,p2
¯
¯
¯ ¯
E
D
E
¯
¯ k1 q1 ,p1
¯ ¯
= δp1 ,p2 j2 l2 m2 ¯V̂tµ ¯ j1 l1 m1 ,
¯V̂tµ (n)¯ χm1
l ≡ l(qk) = |k| +
q sign k − 1
,
2
l0 = 2j − l = l(−qk),
j = |k| − 1/2 .
Используем теорему Вигнера:
¯ ¯
° ° E
D
E
D
¯ ¯
° °
2t j2 m2 −1
j2 l2 m2 ¯V̂tµ ¯ jlm = (−1) Cjm tµ Πj2 j2 l2 °V̂t ° jl .
Таким образом:
¯ E
D ¯
X (k)
¯
0 0 ¯
2(t+t0 ) αz
2 ¯v̂ V̂tµ GE v̂ V̂t0 µ0 ¯ 1 = (−1)
gnn0 (α, α0 )Π−1
j2 j ×
2 0
nn kq
° ° E
° ° Ei
h
D
ED
D
ED
° °
(+)
(+)
(−)
(−)
(−)
(+)
0 ° ° 0
× sc
f2 |v̂| Knk
j2 l2 °V̂t ° jl + qc
f2 |v̂| Knk
j2 l2 °V̂t ° jl ×
h
D
ED ° °
E
D
ED ° °
Ei
°
(+)
(−)
(+)
0
0°
(−)
0
0 ° 0°
0
× c
Sn0 k |v̂ | f1
jl °V̂t0 ° j1 l1 + qsc
Sn0 k |v̂ | f1
jl °V̂t0 ° j1 l1 ×
X j m jm
2 2
×
Cjm
tµ Cj1 m1 t0 µ0 . (D.61)
m
Сумма коэффициентов Клебша-Гордона преобразется как
X
m
j 2 m2
Cjjm
0 0 Cjm tµ =
1 m1 t µ
X
j 0 m0
0
0
m2
0
0
Πjj 0 Ctj0 µm0 tµ Cjj12m
0 0 W (j1 t j2 t; jj ).
1 j m
70
Подставив это в (D.61) получаем:
¯ E
D ¯
X j 0 m0 j m
0 αz
¯
0 0 ¯
2 ¯v̂ V̂tµ GE v̂ V̂t0 µ0 ¯ 1 = (−1)2(t+t )
Ct0 µ0 tµ Cj12m12 j 0 m0
2 0 0
jm
X (k)
X
0
0
0
×
gnn0 (α, α )W (j1 t j2 t; jj )
×
nn0 κ
s
2j 0 + 1
×
2j2 + 1
q,s=±1
° ° Ei
° ° E
ED
D
ED
h
D
° °
(−)
(−)
(+)
(+)
0 ° ° 0
(+)
(−)
j2 l2 °V̂t ° jl ×
j2 l2 °V̂t ° jl + qc
f2 |v̂| Knk
× sc
f2 |v̂| Knk
ED ° °
E
D
Ei
ED ° °
h
D
°
(−)
(+)
0 ° 0°
0°
(−)
0
0
(+)
0
jl °V̂t0 ° j1 l1 .
Sn0 k |v̂ | f1
jl °V̂t0 ° j1 l1 + qsc
× c
Sn0 k |v̂ | f1
(D.62)
Обобщенное штурмоское разложение ФГ с одинаковыми свободными
4να
параметрами (здесь z = − (α−ν)
2 ):
γ
(<) (>)
gnn
0 (α, α) = Cnγ Cn0 γ Gn Gn ,
>
<
µ
¶n
ν
α−ν
G(<)
2 F1 (−n, γ + 1 − η; 2γ + 2; z),
n =
Γ(2γ + 2) α + ν
µ 2
¶
2 n
α
−
ν
n! 2 F1 (n + 1, n + 2γ + 2; n + γ + 2 − η; z −1 )
G(>)
=
.
n
4αν
(γ + 1 − η)n+1
(D.63)
(D.64)
(D.65)
71
D.8.
Матричные элементы. Часть 2
¯
¯
E
¯
¯
∗
I = ψn0 k0 m0 ¯β̂(e1 r) GE β̂(e2 r)¯ ψn0 k0 m0
i
X p h
(p) (p)
(1)
(λ + εκp)gk + isgk (α̂n) θkm θkm
GE =
2λ
kmp
³
´∗
X
X
(1)
µ1 +µ2
I=
(−1)
e−µ1 e(1)
(I1 + I2 ),
µ2
D
µ1 µ2
Ã
(p)
θkm
=
akp χkp
m
ibkp χ−kp
m
,
(D.69)
bkp = psc(−) .
0
4m
0 λ+δs −1 − x+x
2 ×
(xx
)
e
~2 a0 ν
∞
X
n!L2λ+s
(x)L2λ+s
(x0 )
n
n
;
×
Γ(n
+
2λ
+
2δ
)(n
−
η
+
λ
+
δ
)
s
s
n=0
4m2 c(1 − ε2 )
√
=
[δ(x − x0 )+
3
0
~ x

∞
X (n + δs )!L2λ−s (x)L2λ+s (x0 )
n
n
;
×
Γ(n + 2λ + 2δs )(η − η)
(1)
gk (E; r, r0 )
+(xx )
x0
e−
x+x0
2
(D.68)
!
gk (E; r, r0 ) =
³ x ´x/2
(D.67)
kmp
akp = c(+) ,
0 λ
(D.66)
(D.70)
(D.71)
(D.72)
(D.73)
(D.74)
n=(1−s)/2
η = n + λ + δs ,
x=
2r
νa0
(D.75)
72
X p
hk0 m0 |C1 −µ1 | (kp)mi h(kp)m |C1 µ2 | k0 m0 i ×
2λ
kmp
i
h
(1)
(1)
(1)
2
2
(1)
× akp Mgg + bkp Mf f + akp bkp (Mgf + Mf g ) ,
X p
I2 =
hk0 m0 |C1 −µ1 | (kp)mi h(kp)m |C1 µ2 | k0 m0 i ×
2λ
kmp
i
h
(2)
(1)
(2)
(2)
2
2
× bkp Mgf − akp Mf g + akp bkp (Mgg − Mf f ) ,
I1 =
(1)
Mf g = (λ + εκp) hf |rgk r0 | gi ,
¯ E
D ¯
¯ (1) 0 ¯
(2)
Mf g = s f ¯rgk r ¯ g .
n0 (2l
cn0 n (α) = (−1)
+ 2)n0
n0 !
n0 =0
2αν
(α + ν)2
¶λ+1 µ
α−ν
α+ν
(D.77)
(D.78)
(D.79)
(D.80)
(D.81)
2
Snλ (2r/ν) = (2r/ν)λ e−r/nu L2l+1
(2r/ν),
k
ν
∞
X
Snλ (2r/ν) =
cn0 n (α)Sn0 λ (2r/α),
µ
(D.76)
(D.82)
(D.83)
¶n+n0
0
2 F1 (−n, −n , 2λ
+ 2; z),
(D.84)
z=
−4αν
.
(α − ν)2
(D.85)
73
E. Таблицы и графики
74
Таблица E.1. Надпороговая динамическая поляризуемость (в ат. ед.) и сечение фотоионизации (в ед. 10−18 см2 ) атома гелия. αM P F (ω) – результаты
настоящей работы; αds (ω) и αcont (ω) – вклады состояний дискретного и
непрерывного спектра в αM P F (ω)
ω, эВ
27
30
35
40
45
50
55
58
α(ω), [26]
−0.570 + i2.520
−0.758 + i1.911
−0.809 + i1.242
−0.739 + i0.843
−0.645 + i0.594
−0.555 + i0.433
−0.473 + i0.326
−0.426 + i0.288
αM P F (ω)
−0.69 + i2.73
−0.89 + i2.04
−0.92 + i1.30
−0.82 + i0.87
−0.71 + i0.60
−0.61 + i0.43
−0.52 + i0.32
−0.47 + i0.27
αcont (ω)
0.82 + i2.73
−0.04 + i2.04
−0.45 + i1.30
−0.51 + i0.87
−0.48 + i0.60
−0.44 + i0.43
−0.38 + i0.32
−0.35 + i0.27
αds (ω) σM P F (ω) σexp (ω)
−1.51
6.94
6.4
−0.85
5.76
5.3
−0.47
4.30
4.0
−0.31
3.28
3.1
−0.23
2.56
2.4
−0.17
2.05
2.0
−0.14
1.66
1.6
−0.12
1.48
1.5
Таблица E.2. Частоты ωc , соответствующие куперовским минимумам в сечениях фотоионизации σ(ω) щелочных атомов. MPF – модельный потенциал Фьюса, (1.1); DHF(l) – метод Дирака-Хартри-Фока в калибровке длины [32]; DHF(v) – метод Дирака-Хартри-Фока в калибровке скорости [32];
RRPA – релятивистское приближение случайных фаз [32]; Эксп. – экспериментальные данные [33]
Атом
Na
K
Rb
Cs
ωc , ат. ед.
MPF DHF(l) DHF(v)
0.304 0.230
0.223
0.243 0.192
0.176
0.270 0.251
0.202
0.266 0.356
0.204
RRPA Эксп.
0.216 0.237
0.167
0.166 0.183
0.150 0.172
75
Таблица E.3. Поляризуемости атомов щелочных металлов (в ат. ед.) в основном состоянии при надпороговых частотах; (−n) ≡ 10−n
ω, ат. ед.
0.2
0.25
0.3
0.4
0.6
0.8
1.0
ω, ат. ед.
0.2
0.25
0.3
0.4
0.6
0.8
1.0
α(ω), Li
−16.8 + i2.25(−1)
−10.3 + i3.07(−1)
−7.05 + i2.83(−1)
−3.95 + i1.89(−1)
−1.77 + i7.93(−2)
−1.00 + i3.77(−2)
−0.64 + i2.02(−2)
α(ω), Rb
−25.2 + i1.66(−1)
−15.3 + i6.21(−3)
−10.3 + 2.61(−3)
−5.64 + i1.54(−2)
−2.46 + i1.32(−2)
−1.38 + i7.74(−3)
−0.88 + i4.54(−3)
α(ω), Na
−24.5 + i4.75(−1)
−14.4 + i4.52(−2)
−9.57 + i1.64(−4)
−5.16 + i1.38(−2)
−2.24 + i1.78(−2)
−1.25 + i1.17(−2)
−0.80 + i7.31(−3)
α(ω), Cs
−26.1 + i1.61(−1)
−15.9 + i8.17(−3)
−10.8 + i1.13(−3)
−5.90 + i1.10(−2)
−2.58 + i1.00(−2)
−1.44 + i5.88(−3)
−0.92 + i3.44(−3)
α(ω), K
−23.7 + i6.93(−2)
−14.4 + i5.82(−4)
−9.71 + i1.66(−2)
−5.33 + i3.02(−2)
−2.33 + i1.99(−2)
−1.31 + i1.09(−2)
−0.84 + i6.20(−3)
Таблица E.4. Поляризуемости атомов благородных газов (в ат. ед.) в основном состоянии при надпороговых частотах
ω, ат. ед.
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
α(ω), Ne
α(ω), Ar
α(ω), Kr
−2.41 + i4.97 −4.52 + i5.43 −5.01 + i5.73
−2.36 + i3.44 −3.83 + i3.55 −4.24 + i3.72
−2.14 + i2.46 −3.18 + i2.43 −3.51 + i2.53
−1.89 + i1.80 −2.65 + i1.73 −2.91 + i1.78
−1.65 + i1.36 −2.22 + i1.27 −2.44 + i1.30
−1.44 + i1.05 −1.88 + i0.955 −2.06 + i0.976
α(ω), Xe
−3.52 + i7.70
−3.36 + i5.58
−3.05 + i4.17
−2.73 + i3.21
−2.42 + i2.52
−2.15 + i2.02
76
1200
( ), a.u.
(a)
Present work
1000
Dalgarno et al. [12]
800
600
400
200
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
, a.u.
Re
( ), a.u.
0
(b)
-5
-10
-15
-20
1
2
3
4
5
6
30
(c)
20
10
Im
( ), 10
-3
a.u.
~
0
1
2
3
4
5
6
~
Рис. E.1. Динамическая поляризуемость основного состояния рубидия в
области частот до первого резонанса 0 ≤ ω < (E5p − E5s ), (a), и надпороговых частот 1.5|E5s | ≤ ω ≤ 6|E5s |, (b) и (c). ω̃ = ω/|E5s |, |E5s | = 4.176 эВ
=0.1546 ат. ед.
77
Таблица E.5. Полное сечение двухфотонной ионизации атомов щелочных
металлов в линейном (σ ` ) и циркулярном (σ c ) поле при надпороговых частотах
Na
ω/ mod Ei
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
`
σ
1.76(−1)
4.66(−2)
1.62(−2)
6.78(−3)
3.15(−3)
1.60(−3)
K
c
σ
1.12(−1)
2.74(−2)
8.99(−3)
3.60(−3)
1.63(−3)
8.08(−4)
`
σ
2.39(−1)
6.13(−2)
2.15(−2)
9.20(−3)
4.56(−3)
2.36(−3)
Rb
c
σ
6.17(−2)
1.11(−2)
3.93(−3)
1.82(−3)
1.10(−3)
6.48(−4)
`
σ
3.64(−1)
8.10(−2)
2.68(−2)
1.10(−2)
5.27(−3)
2.72(−3)
σc
2.65(−1)
4.56(−2)
1.34(−2)
5.25(−3)
2.40(−3)
1.31(−3)
Таблица E.6. Полное сечение двухфотонной ионизации гелия в линейном поле при надпороговых частотах
Sources
σ, a.u.
ω = 41.8 eV ω = 45.0 eV
This work
3.35(−3)
2.27(−3)
Nakajima et al [?], Colgan et al [?]
−
2.6(−3)
Hasegawa et al [?]
1.4(−3)
−
Ishikawa [?]
5.3(−3)
−
σ
6.17
1.29
4.08
1.55
7.65
3.86
78
2-photon ionization crossection cm s
1E-52
4
Nikolopolus at al, [??]
Present work
1E-53
42,5
43,0
43,5
44,0
44,5
45,0
45,5
46,0
46,5
, eV
Рис. E.2. Сечение двухфотонной ионизации гелия (в см4 c) при надпороговых частотах ω > |E0 |,
|E0 | = 24.6 эВ
79
(a)
(b)
Рис. E.3. Угловое распределение фотоэлектронов для однофотонной (a) и
двухфотонной (b) ионизации в линейно поляризованном поле. ((b) рассчитано для цезия при ω = 1.8Ei )
80
1,0
Cs
0,8
Rb
K
0,4
b
I , 10
16
W cm
-2
Na
0,6
0,2
0,0
6
7
8
9
10
11
12
, eV
Рис. E.4. Интенсивность светового поля, при которой полное сечение ионизации одним и двумя фотонами совпадают.
81
Литература
1. Dalgarno A. ??????? // Adv. Phys. — 1962. — Vol. 11. — P. 281.
2. Dalgarno A., Lewis J. T. ??????? // Proc. R. Soc. London. — 1955. — Vol.
233. — P. 70.
3. Cohan S., Themelis S. I. ??????? // J. Chem. Phys. — 2006. — Vol. 124. —
P. 134106.
4. Marinescu M., Sadeghpour H. R., Dalgarno A. ??????? // Phys. Rev. A. —
1994. — Vol. 49. — P. 5103.
5. Seaton M. J. ??????? // Rep. Prog. Phys. — 1983. — Vol. 46. — P. 167.
6. Simons G. ??????? // J. Chem. Phys. — 1971. — Vol. 55. — P. 756.
7. ??????? / Chernov V. E., Dorofeev D. L., Kretinin I. Y., Zon B. A. //
Phys. Rev. A. — 2005. — Vol. 71. — P. 022505.
8. ??????? / Chernov V. E., Dorofeev D. L., Kretinin I. Y., Zon B. A. //
Phys. Rev. B. — 2005. — Vol. 38. — P. 2289.
9. Gavrila M. ??????? // Phys. Rev. — 1967. — Vol. 163. — P. 147.
10. Vetchinkin S. I., Khristenko S. V. ??????? // Chem. Phys. Lett. — 1967. —
Vol. 1. — P. 473.
11. Broad J. T. ??????? // Phys. Rev. A. — 1985. — Т. 31. — С. 1494.
82
12. Крыловецкий А. А., Манаков Н. Л., Мармо С. И. ??????? // ЖЭТФ. —
2001. — Т. 119. — С. 45.
13. ??????? / Nabekawa Y., Hasegawa H., Takahashi E. J., Zon B. A. //
Phys. Rev. Lett. — 2005. — Vol. 94. — P. 043001.
14. ??????? / Böttcher M., Rottke H., Zhavoronkov N. et al. // Phys. Rev.
A. — 2007. — Vol. 75. — P. 033408.
15. Kennedy E. T. ??????? // J. Phys.: Conf. Ser. — 2007. — Vol. 58. — P. 41.
16. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. — М.: Физматлит, 2002. — ISBN 5-9221-0058-0.
17. Манаков Н. Л., Овсянников В. Д., Рапопорт Л. П. ??????? // Опт. и
спектр. — 1975. — Т. 38. — С. 206.
18. Рапопорт Л. П., Зон Б. А., Манаков Н. Л. Теория многофотонных
процессов в атомах. — М.: Атомиздат, 1978.
19. Manakov N. L., Ovsiannikov V. D., Rapoport L. P. ??????? // Phys.
Rep. — 1986. — Vol. 141. — P. 319.
20. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцедентные функции. — М.: Наука, 1974. — Т. 2.
21. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцедентные функции. — М.: Наука, 1973. — Т. 1.
22. Manakov N. L., Ovsiannikov V. D. ??????? // J. Phys. B. — 1977. —
Vol. 10. — P. 569.
83
23. Moore C. E. Atomic Energy Levels. — Nat. Bur. Stand. (U.S.) Circ.,
1952. — Vol. 2. — P. 467.
24. Bates D. R., Damgaard A. ??????? // Phil. Trans. Roy. Soc. A (London). —
1949. — Vol. 242. — P. 101.
25. ??????? / Derevianko A., Johnson W. R., Ovsiannikov V. D. et al. //
Phys. Rev. A. — 1999. — Vol. 30. — P. 986.
26. Liu W. C. ??????? // Phys. Rev. A. — 1997. — Vol. 56. — P. 4938.
27. Saharonova M. S., Williams C. J., Clark C. W. ??????? // Phys. Rev.
A. — 2004. — Vol. 69. — P. 022509.
28. Samson J. A. R., He Z. X., Haddad G. N. ??????? // J. Phys. B. — 1994. —
Vol. 27. — P. 877.
29. Nikolopoulos L. A. A., Lambropoulos P. ??????? // J. Phys.B. — 2006. —
Vol. 39. — P. 883.
30. Фано У., Купер Дж. Спектральные распределения сил осциляторов. —
М.: Наука, 1972.
31. Манаков Н. Л., Свиридов В. А., Файнштейн А. Г. ??????? // ЖЭТФ. —
1989. — Т. 95. — С. 790.
32. Fink M. G. J., Johnson W. R. ??????? // J. Phys. A. — 1986. — Vol. 34. —
P. 3754.
33. Marr G. V., Creek D. M. ??????? // Proc. Roy. Soc. A. — 1968. — Vol.
304. — P. 233.
84
34. Манаков Н. Л., Мармо С. И., Файнштейн А. Г. ??????? // ЖЭТФ. —
1986. — Т. 91. — С. 51.
35. Reinhardt W. P. ??????? // Ann. Rev. Phys. Chem. — 1982. — Vol. 33. —
P. 233.
36. Манаков Н. Л., Мармо С. И., Файнштейн А. Г. ??????? // ТМФ. —
1982. — Т. 59. — С. 49.
37. Манаков Н. Л., Мармо С. И., Пронин Е. А. ??????? // ЖЭТФ. —
2004. — Т. 125. — С. 288.
38. Manakov N. L., Zapriagaev S. A. Solution of dirac-coulomb problem in
the second-order dirac equation approach // Вестник ВГУ. — 2000. —
Vol. 1. — Pp. 55–77.
39. Ахиейзер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. — М.:
Наука, 1981. — С. 426.