Загрузил Viktor Boltenkov

Lecture12 12-13 short

Реклама
МФТИ, 2012-2013 уч.г., 22.11.2012
Примерный план лекции №12 и основные определения.
Темы: Выбор потребителя в условиях неопределенности
План
1. Денежные лотереи и представление предпочтений на лотереях функцией ожидаемой
полезности; единственность функции ожидаемой полезности с точностью до
положительного линейного преобразования.
2. Отношение к риску; денежный эквивалент лотереи и премия за риск.
3. Модель спроса на рисковый актив или задача формирования оптимального портфеля
инвестиций.
Основные определения
1. Пусть X  x1 ,..., x N  - множество возможных исходов (будем рассматривать денежные
исходы). Простой лотереей будем называть набор вероятностей L  ( 1 ,,  N ) , где 0   n  1
N
– вероятность исхода x n и   i  1 . Обозначим множество простых лотерей через  .
i 1
Определение. Предпочтения потребителя представимы функцией ожидаемой полезности, если
каждому исходу x n можно присвоить число u ( x n ) таким образом, что для любых двух лотерей
N
N
n 1
n 1
 L равносильно U ( L)   u ( xn ) n   u ( xn ) n  U ( L) .
L  ( 1 ,,  N ) и L'  ( 1 ,,  N ) : L ~
Функция U, определенная на лотереях, называется функцией ожидаемой полезности или
функцией полезности Неймана-Моргенштерна (von Neumann-Morgenstern).
Функцию u (x) , определенную на денежных суммах, принято называть элементарной функцией
полезности или функцией полезности Бернулли (будем считать ее непрерывной и
возрастающей).
Утверждение (Единственность функции ожидаемой полезности). Если функция U :   R –
~
функция ожидаемой полезности, представляющая предпочтения, определенные на  , то U другая функция ожидаемой полезности, отражающая те же предпочтения на  тогда и только
~
тогда, когда существуют числа   0 и  такие, что U ( L)  U ( L)   для любой лотереи
L .
2. Определение. Будем говорить, что индивид несклонен к риску, если любая лотерея
L  ( 1 ,..,  N )   для него не лучше ожидаемого выигрыша этой лотереи,
N

i 1
i
xi , полученного
с определенностью. Если потребитель строго предпочитает ожидаемый выигрыш самой лотерее,
то говорят, что он строго несклонен к риску или рискофоб.
Будем говорить, что индивид нейтрален к риску, если он безразличен между лотереей и ее
ожидаемым выигрышем, полученным с определенностью.
Будем говорить, что индивид склонен к риску, если предпочитает лотерею ее ожидаемому
выигрышу, полученному с определенностью. Если потребитель строго предпочитает лотерею ее
ожидаемому выигрышу, то говорят, что он строго склонен к риску или рискофил.
1
МФТИ, 2012-2013 уч.г., 22.11.2012
Если предпочтения индивида представимы с помощью функции ожидаемой полезности, то
несклонность к риску означает вогнутость элементарной функции полезности u (x) (для
рискофоба – строгую вогнутость); склонность к риску эквивалентна выпуклости элементарной
функции полезности u (x) (для рискофила – строгой выпуклости); у нейтрального к риску
индивида элементарная функция полезности линейна: u ( x)  ax  b , где a  0 .
Определение. Денежным (гарантированным) эквивалентом лотереи L  ( 1 ,..,  N )   будем
называть сумму денег CE (L) (полученную с определенностью), которая приносит индивиду
N
такую же полезность, что и данная лотерея: u (CE ( L))    i u ( xi ) .
i 1
Премия за риск – максимальная сумма денег, от которой индивид готов отказаться, чтобы не
N
участвовать в риске:  ( L)    i xi  CE ( L) .
i 1
Утверждение: Для индивида-рискофоба для любой лотереи L  ( 1 ,..,  N )   выполнено:
N
CE ( L)    i xi
(т.е. он любую лотерею оценивает в сумму меньшую ее ожидаемого
i 1
выигрыша).
3. Задача формирования оптимального портфеля инвестиций (из двух активов: рискового и
безрискового). Пусть индивид-рискофоб решает, как ему распределить свое богатство w  0
между двумя активами. Первый актив – безрисковый: вложив 1 рубль в этот актив, он получит
c  1 рублей. Вложив 1 рубль во второй актив, можно получить a с вероятностью  и b с
вероятностью (1   ) , где a  c , b  c ,   (0, 1) . Будем считать, что предпочтения потребителя
представимы функцией ожидаемой полезности с дифференцируемой элементарной функцией
полезности, u ( x)  0 и u ( x)  0 для любого x  0 .
Обозначим через x1 вложения в безрисковый актив, x 2 – вложения в рисковый актив,
x1  x2  w . Тогда в «хорошем» состоянии природы (которое наступает с вероятностью  )
индивид будет иметь сумму денег cx1  ax2  cw  x2 (a  c) , а в «плохом» его богатство составит
cx1  bx2  cw  x2 (b  c) .
Задача индивида выбрать такой уровень инвестиций в рисковый актив ~
x2  [0, w] , который
является решением задачи максимизации ожидаемой полезности:
U  u(cw  x2 (a  c))  (1   )u(cw  x2 (b  c))  max .
0 x2  w
Условия первого порядка этой задачи (необходимые и достаточные в силу строгой вогнутости
функции полезности рискофоба):
 (a  c)u(cw  ~
x2 (a  c))  (1   )(b  c)u(cw  ~
x2 (b  c))  0 при ~
x2  0
 (a  c)u(cw  ~
x2 (a  c))  (1   )(b  c)u(cw  ~
x2 (b  c))  0 при 0  ~
x2  w
 (a  c)u(cw  ~
x2 (a  c))  (1   )(b  c)u(cw  ~
x2 (b  c))  0 при ~
x2  w .
Утверждение: Для индивида-рискофоба условие a  (1   )b  c является необходимым и
достаточным условием положительности спроса на рисковый актив.
2
Скачать