монополия и олигополия

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 01.11.2012
Темы: Монополия. Стратегические взаимодействия: олигополия
План
1. Монополия: монополия и совершенная конкуренция, неэффективность монополии;
чистые потери от монополии.
2. Олигополия: модель Курно.
Основные определения
1. Монополия.
Утверждение. Пусть y m - равновесный уровень выпуска монополиста, а y c - равновесный
уровень выпуска при совершенной конкуренции (т.е. объем выпуска, который был бы выбран
фирмой с такой же функцией издержек, но принимающей цену заданной). Тогда, если обратная
функция спроса, p ( y ) , убывает, то
(1) y m  y c ;
(2) если кроме того обратная функция спроса и функция издержек дифференцируемы, y m  0 и
p ( y )  0 , то y m  y c .
Равновесный уровень выпуска при монополии неэффективен (не Парето-оптимален),
yc
DWL   ( p(t )  c (t )) dt (deadweight loss) - чистые потери от монополии, мера снижения
ym
благосостояния потребителей в результате того, что они платят не конкурентную, а
монопольную цену.
Пример. Пусть p( y )  a  by , c( y )  cy , причем a  c  0 , b  0 . Равновесная цена при
совершенной конкуренции определяется из условия равенства предельным издержкам: p  c ,
соответственно, равновесный уровень выпуска при совершенной конкуренции (он же и будет
эффективным) будет следующим: yc  (a  c) / b .
Равновесный уровень выпуска при монополии, y m , будет положительным, поскольку
выполнены все предпосылки соответствующего утверждения: если обратная функция спроса
p ( y ) и функция издержек c( y ) дифференцируемы и p(0)  c (0) , то y m  0 (см. план лекции 8),
и определяется из условия p ( y m ) y m  p( y m )  c , откуда находим y m  (a  c) / 2b , что в два


 MC ( y )
MR( ym )
m
раза меньше оптимального. Соответственно, равновесная цена составит pm  (a  c) / 2 .
Чистые потери от монополии:
2
( y c  y m )( p m  c) 1  a  c a  c  a  c
 1  a  c  a  c  a  c 
.
DWL 
 

 c  



2
2 b
2b  2
8b
 2  2b  2 
1
МФТИ, 2012-2013 уч.г., 01.11.2012
p
a
pm

DWL
c
MC
p( y)
MR ( y )
ym
yc
y
2. Олигополия.
Модели некооперативного поведения олигополистов:
Одновременно
Последовательно
Количество
(выпуск)
Модель Курно
Модель
Штакельберга
Цена
Модель Бертрана
Ценовое лидерство
Будем считать, что некоторую однородную продукцию производят J фирм технологии которых
представлены возрастающими выпуклыми функциями издержек c j ( y j ) , а спрос на продукцию
задается убывающей обратной функцией совокупного спроса p(Y ) , где Y   y j , y j  0 .
j
Модель Курно (дуополия): фирмы одновременно и независимо выбирают уровень выпуска.
Пусть y j - это выпуск фирмы j , а через y  j обозначим выпуск другой фирмы (или совокупный
выпуск всех других фирм, если их больше двух). Задача фирмы j имеет вид:
max  j  pY  p j  c j ( y j )  p( y j  y  j ) y j  c j ( y j ) , где Y   y j и y  j - ожидаемый выпуск
y j 0
j
фирмы-конкурента (и в равновесии ожидания оправдываются). Обозначим решение этой задачи
через y *j .
Определение: Набор ( y1* , y 2* ) составляет равновесие в модели дуополии Курно (равновесие по
Нэшу), если для любой фирмы j , y *j является решением задачи фирмы j при y  j  y * j .
Зависимость оптимального объема производства y j от y  j называют функцией (отображением
в общем случае) реакции: y j  R j ( y  j ) .
2
МФТИ, 2012-2013 уч.г., 01.11.2012
Если оптимальный отклик однозначен, то равновесие Курно ( y1* , y 2* ) является решением
 
системы: y *j  R j y * j , где j  1, 2 . Графически, равновесие в модели Курно характеризуется
пересечением кривых реакции в пространстве выпусков.
3
МФТИ, 2012-2013 уч.г., 01.11.2012
Темы: Олигополия: модель Бертрана; картель. Выбор в условиях неопределенности.
План
1. Модель Бертрана: описание; характеристика равновесия.
2. Картель: описание; характеристика равновесия; неустойчивость картеля.
3. Выбор в условиях неопределенности: лотереи, отношение к риску, функция ожидаемой
полезности, денежный (гарантированный) эквивалент лотереи.
Основные определения и утверждения
Модель дуополии Бертрана (фирмы одновременно назначают цены). Пусть фирмы имеют
одинаковые функции издержек c j ( y j )  cy j , c  0 . Пусть x ( p ) - функция совокупного спроса,
непрерывная и строго убывающая при всех p таких, что x( p )  0 . Олигополисты,
производящие однородную продукцию, одновременно назначают цены на нее p j .
Функция спроса на продукцию фирмы j имеет вид:
p j  pi
 x( p j ),

 x( p j )
x j ( p j , pi )  
,
2

0,

p j  pi
p j  pi
Утверждение:: Состояние, в котором оба олигополиста назначают цену на уровне предельных
издержек, т.е. p1*  p2*  c является равновесием (по Нэшу) в модели Бертрана, причем данное
равновесие единственно.
Картель: соглашение олигополистов относительно объемов выпуска (при условии
возможности перераспределения прибыли). Таким образом задача картеля заключается в
установлении таких уровней выпуска, которые максимизируют совокупную прибыль:
max   j  p (Y )Y   c j ( y j ) , где Y  y1  ...  y J .
y j 0
j
j
Если все фирмы имеют постоянные предельные (и средние) издержки, то совокупный выпуск
отрасли будет равен монопольному, когда предельные издержки монополиста равны
минимальным предельным издержкам среди всех фирм.
Утверждение (неустойчивость картеля): Пусть в картеле все фирмы производят продукцию
в положительном количестве, y *j  0 для всех j ; p(Y ) - дифференцируема и убывает; функции
издержек дифференцируемы, тогда
 j ( y1* ,..., y *J )
y j
 0 для всех j , т.е. каждая фирма может
повысить свою прибыль, увеличив выпуск.
Выбор в условиях неопределенности
Пусть X  x1 ,..., x N  - множество возможных исходов.
4
МФТИ, 2012-2013 уч.г., 01.11.2012
Простой лотереей будем называть набор вероятностей L  ( 1 ,,  N ) , где 0   n  1 –
N
вероятность исхода x n и   i  1 .
i 1
Обозначим множество простых лотерей через  .
Определение. Предпочтения потребителя представимы функцией ожидаемой полезности, если
каждому исходу x n можно присвоить число u ( x n ) таким образом, что для любых двух лотерей
N
N
n 1
n 1
 L равносильно U ( L)   u ( xn ) n   u ( x n ) n  U ( L) .
L  ( 1 ,,  N ) и L'  ( 1 ,,  N ) : L ~
Функция U называется функцией ожидаемой полезности или функцией полезности НейманаМоргенштерна (von Neumann-Morgenstern).
Функцию u (x) принято называть элементарной функцией полезности или функцией
полезности Бернулли (будем считать ее возрастающей).
Утверждение (Единственность функции ожидаемой полезности). Если функция u:   R –
функция ожидаемой полезности, представляющая предпочтения, определенные на  , то u~ другая функция полезности фон Неймана-Моргенштерна, отражающая те же предпочтения на
 тогда и только тогда, когда существуют числа   0 и  такие, что u~ ( L)  u ( L)   для
любой L   .
Определение. Будем говорить, что индивид не склонен к риску, если любая лотерея
L  ( 1 ,..,  N )   для него не лучше ожидаемого выигрыша этой лотереи,
N

i 1
i
xi , полученного
с определенностью. Если потребитель строго предпочитает ожидаемый выигрыш самой лотерее,
то говорят, что он строго не склонен к риску или рискофоб.
Будем говорить, что индивид нейтрален к риску, если он безразличен между лотереей и ее
ожидаемым выигрышем, полученным с определенностью.
Будем говорить, что индивид склонен к риску, если предпочитает лотерею ее ожидаемому
выигрышу, полученному с определенностью. Если потребитель строго предпочитает лотерею ее
ожидаемому выигрышу, то говорят, что он строго склонен к риску или рискофил.
Если предпочтения индивида представимы с помощью функции ожидаемой полезности, то
несклонность к риску означает вогнутость элементарной функции полезности u (x) (для
рискофоба – строгую вогнутость); склонность к риску эквивалентна выпуклости элементарной
функции полезности u (x) (для рискофила – строгой выпуклости); у нейтрального к риску
индивида элементарная функция полезности линейна.
Определение. Денежным (гарантированным) эквивалентом лотереи L  ( 1 ,..,  N )   будем
называть сумму денег CE (L ) (полученную с определенностью), которая приносит индивиду
N
такую же полезность, что и данная лотерея: u (CE ( L))    i u ( xi ) .
i 1
5