Лекция 3 1.2.6. Энергетические характеристики. Законы сохранения энергии для световых волн. Электромагнитное поле характеризуется объемной плотностью энергии: 2 2 E H w 8 Рассмотрим электромагнитную волну с напряженностями электрического и магнитного полей E и H соответственно. Запишем уравнения Максвелла: 1 H rotE c t 1 E rotH c t Умножим скалярно первое уравнение на H , второе на E и вычтем одно из другого: 1 2 2 HrotE ErotH (H E ) 2c t используя соотношение div a b b rota arotb , получим: 1 2 2 div E H (H E ) 2c t или 4 div E H w c t c EH 4 w divS Тогда t Введем вектор S Проинтегрируем полученное выражение по объему V : wdV div S dV t V V d Согласно теореме Остроградского-Гаусса: n divSdV ( S n )d v V Так как wdV W - энергия электромагнитного поля в объеме V V , то закон сохранения энергии имеет вид: c W ( S n )d t 4 Вектор S носит название вектора Умова – Пойтинга и определяет плотность потока энергии переносимой в направлении нормали к площадке. (Энергия переносимая в единицу времени, через ед. площадки по направлении нормали) В изотропных средах направление S и k совпадают, т.е. волновой вектор направлен по направлению распространения потока энергии. Направление “луча” определяется направлением вектора распространения энергии т.е. вектором S . Примечание: В анизотропных средах уравнения Максвелла имеют вид: [k E ] c H [k H ] E c (k D) 0 (k H ) 0 так как векторы D и E не совпадают в этом случае по направлению, то направление вектора k показывает направление распространения фаз, а не энергий. Для характеристики световых волн вводится понятие интенсивности, I S (t , r ) которое определяется средним по времени значением модуля вектора Умова-Пойтинга. Частота оптических колебаний 1014 Гц . Время наблюдения оптических явлений на несколько порядков превышает период колебаний Tн 1 . Найдем интенсивность плоской волны: E x H y A cos(t k r ) c 2 c 2 c 2 S (t , r ) A cos 2 (t k r ) A A cos 2(t k r ) 4 8 8 c 2 I A 8 2 * Если напряженности записаны в комплексной форме, то A E E , тогда c I E E* 8 Примечание: при работе с комплексной формой следует учесть, что если A и B комплексные числа, то Re A Re B Re( AB ) . Рассмотрим более подробно, т.к. переход от комплексной формы к реальной, нам потребуется в дальнейшем. Пусть A(r , t ) A0 (r )e it B(r , t ) B0 (r )e it A(r , t ) A* (r , t ) Re A 2 В этом случае (по формуле Эйлера) * B(r , t ) B (r , t ) Re B 2 * A0 (r )e it A0* (r , t ) B0 (r )e it B0 (r )e it Re A Re B 2 2 * A0 (r ) B0 (r )e 2it A0 (r ) B0 (r ) A0 (r ) B0* (r ) A0* B0* e 2it 4 1 Re( A0 B0* A0 B0 e 2it ) 2 В результате усреднения: Re A Re B 1 1 Re AB* Re A*B 2 2 При использовании комплексной записи в общем виде I c Re( E E * ) 8 или I c Re( H H * ) 8 Энергетические характеристики пучков и импульсов. Пучок – это световой поток ограниченного сечения. Если по сечению пучка меняется только амплитуда, а волновой фронт остается постоянным, то такая волна называется квазиплоской. E( x, y, z, t ) A( x, y) cos(t kr) Тогда интенсивность такой волны также зависит от координат I ( x, y ) c 2 A ( x, y ) 8 Можно заменить такой пучок цилиндрическим пучком, введя эффективную интенсивность и эффективный радиус. P I эrэ2 ; I э P rэ2 Пример: Рассмотрим Гауссов пучок, которого изменяется по закону: интенсивность x2 y2 I ( x, y ) I 0 exp( ) r02 I0 Найдем полную мощность в таком пучке P I ( x, y)dxdy . x2 y2 P I 0 exp( )dxdy , 2 r0 r0 x учтем, что x2 exp( 2 )dx r0 , (интеграл Пуассона), r0 получим P I 0r02 В этом случае эффективная интенсивность равна I 0 , а эффективное сечение пучка r0 , где r 0 - эффективный радиус, равный расстоянию на котором интенсивность уменьшается в e раз. Импульс –ограниченный во времени поток энергии W P э 2 Для импульса I э W rэ2 э Оценки и цифры: 1. He-Ne – лазер P(t) Pэ э 0,63мкм P 10 2 Вт rэ 2 10 1 см 10 2 Iэ 0,1 Вт 2 2 см 4 10 Напряженность поля световой волны E0 E0 8I c 8 0,1 107 10 3 10 3 102 CGSE 10 в см 2. Лазер работающий в импульсном режиме Режим свободной генерации: 10 3 с,W1 1дж Мощность P 103 Вт Напряженность электрического поля E0 103 В см Режим модулированной добротности: 10 8 с,W 0,1дж Мощность P 107 Вт t Напряженность электрического поля E0 105 В см