7.7 Средняя интенсивность поля над ... однородным районом города (однократное рассеяние)

7.7 Средняя интенсивность поля над квазиплоским статистически
однородным районом города (однократное рассеяние)
Вычислим среднюю интенсивность однократно отраженного поля,
принимаемого на высоко поднятой базовой станции, когда мобильный
передатчик расположен ниже крыш домов. Для этого в (7.39) нужно положить
l 0

 
  
  2   2  

I (r2 )  16  P (r1 , r )   (r2 , r , r1 )  G (r , r1 ) G (r2 , r ) P (r , r2 ) d 3r .
(7.41)
V
В рамках простейшего варианта модели статистически однородного
городского района со зданиями одинаковой высоты h вероятность прямой
 
 
видимости P(r1 , r ) определяется формулой (7.6), а вероятность P (r , r2 )
вычисляется по формуле (7.7). При этом среднюю интенсивность рассеянного
поля можно записать в виде

 I ( r2 )  2 0

 exp   
0 (r
~
r
V

klВ
1  (klВ ) 2 (sin  2  sin 1 ) 2
hz  

)  ( ) sin 
z2  z  2
2
 
G ( r , r1 )
2
 
G ( r2 , r )
2
,
(7.42)
dxdydz
где r  ( x  x 1 ) 2  ( y  y1 ) 2 , r~  ( x 2  x ) 2  ( y 2  y ) 2 , а интегрирование
ведется по объему слоя городской застройки x , y  ( , ) , z (0, h) .
Перейдем в цилиндрическую систему координат (r , , z) :
x  x1  r cos  , y  y1  r sin   .
Практически наиболее актуальным является расчет для зоны неуверенного
приема, где  0 d  1 (d – горизонтальное расстояние между приемником и
передатчиком). При этом основной вклад в интеграл дает область слоя над
излучателем
(h  z )  ( z2  h) /  0 ~
r,
r 


r  1 и    . За пределами этой области значение
для которой ~
r  r  r ,  0~
2
1
подынтегральной функции экспоненциально мало. Это означает, что влиянием
 
границы z  0 на функцию Грина G( r2 , r ) можно в данном случае пренебречь
h
d   поверхность земли практически затенена от приемника), и,
(при
z2
 
учитывая условие r2  r1  , z2 , h , считать
  2
G ( r2 , r ) 
 
Для функции G ( r , r1 )
2
1
1
.
2 
( 4) r2  r1 2
(7.43)
можно, как и в (7.26), воспользоваться приближенным
выражением Введенского
1
  2
2 kzz1
G ( r , r1 ) 
(7.44)
 2 sin r  r .
2 
( 2) r  r1
1
Интегрирование по   приближенно (при почти фиксированном значении ~
r)
сводится к вычислению интеграла
2
1


 ( ) sin d ,

 0
2
2
который, если не определять конкретный вид функции  () , можно
рассматривать как некоторое среднее значение  .
В интеграле по переменной r определяющую роль играет функция
1
.
r exp(   0 r ) , имеющая довольно острый максимум при r 
0
Большинство остальных функций под интегралом в выражении для  I (r2 ) 
меняются гораздо медленнее. Что же касается выражения (7.44), то его в нашем
случае можно приближенно представить в виде
2kzz1 
1
1
  2
1  cos(
 .
G ( r , r1 ) 
(7.45)
2


( 2) 2 r  r1 2 
r2  h2 
Мы уже отмечали, что основной вклад дает область, где z  h . Поэтому при
условии, что
(7.46)
2kz1h 0  1 ,
косинус в существенной области интегрирования быстро осциллирует при
изменении r вблизи  , и интегралом от него можно пренебречь. При
выполнении неравенства, обратного (7.46), когда мобильный передатчик
находится слишком близко к земле, принимаемая мощность очень мала.
Возможность пренебречь интегралом от косинуса означает, что случайное
рассеяние на зданиях прямой и отраженной от земли волн сглаживает при
усреднении интерференционные замирания и дает аддитивный вклад в среднюю
интенсивность. Это позволяет в дальнейшем при работе с выражением (7.41) не
учитывать интерференцию прямой и отраженной от земли волн.
Интеграл по переменной z с учетом предыдущего упрощается
h

z h
hz 
(7.47)
0 exp    0 ~r z2  z dz  2 0 ~r
r h  ( z2  h) .
при  0 ~
Далее с учетом того, (sin 2  sin 1 )  (h  z1 )  0 и  0 h  1 , после
окончательного интегрирования по r с учетом отмеченных свойств
подынтегральных
функций
(интеграл
от
«острой»
функции

 r exp( 
0
r 
1
0
0
)dr  1
 02
, плавные функции выносятся из-под интеграла при
  ) можно получить [40]
l В
z2  h


(7.48)
 I ( r2 ) 
2
2
32   2l В  0 (h  z1 ) d 3
 
где d  r2  r1 .
Полная средняя интенсивность, принимаемая поднятой над городской
застройкой базовой станцией, складывается в нашей модели из интенсивности
однократно отраженных от стен волн (7.48) и интенсивности когерентной волны
(7.26), приходящей непосредственно от излучателя.
7.8 Интенсивность бокового излучения (учет дифракции)
Из (7.48) и (7.26) следует, что при расположении антенны базовой
станции на уровне крыш ( z2  h ) средняя интенсивность однократно
отраженных волн равна нулю, а интенсивность когерентной волны
экспоненциально мала. В этом случае при более корректном расчете
необходимо учитывать дифракцию волн в первую очередь на крышах домов.
Учет влияния дифракции волн над слоем застройки проведем в
приближении Гюйгенса-Кирхгофа [40, 53]. В качестве поверхности
виртуальных (вторичных) источников выберем плоскость SВ (рис. 7.9),
перпендикулярную слою городской застройки, и поверхность бесконечной
полусферы CR , опирающуюся на SВ и замыкающую объем, внутри которого
находится излучатель.
Рис. 7.9
При этом вкладом виртуальных источников, расположенных на полусфере CR ,
можно пренебречь, так как при стремлении ее радиуса к бесконечности он
стремится к нулю. Тогда поле в точке приема, находящейся вне замкнутой
поверхности, можно записать в виде



 


 
  u ( rSВ ) 
u( r2 )   u ( rSВ )
G ( r2 , rSВ )  G ( r2 , rSВ )
(7.49)
ds ,

n

n


SВ
SВ
SВ 


где u ( rS В ) - поле на поверхности SВ , полученное в приближении однократного
рассеяния. Оно в основном определяется вторым слагаемым в (7.24), поскольку
учитываемое там затенение минимально для волн, отраженных от верхних
участков стен вблизи крыш при ( z  h ) . Далее нужно вычислить среднюю
интенсивность рассеянного поля в точке наблюдения



 I ( r2 )  u( r2 )u  ( r2 )  .
Усреднение выполняется аналогично произведенному в разделе 7.6 с учетом
того, что основной вклад в интегралы по плоскости SВ дает область вблизи
пересечения этой плоскости прямой, соединяющей точки отражения при ( z  h )
и точку приема. В результате можно получить [40] выражение
l В


 I ( r2 ) 
2
32   2l В  0 ( h  z1 )2
1
2
1
 d
2
,
(7.50)
 3  ( z2  h) 
3
 4
 d
справедливое при z2  h . При высоко поднятой антенне базовой станции, когда
d
( z 2  h ) 2  3 , средняя интенсивность, полученная с учетом эффектов
4
дифракции над слоем застройки, полностью идентична (7.48). При уменьшении
z2 дифракция рассеянного поля над слоем застройки начинает играть заметную
роль и при z2  h приводит к тому, что  I  d
4 3
Однако такой случай редко встречается на практике.
и не обращается в ноль.