Гидродинамика Солнца Лекция 2

Гидродинамика
Солнца
Лекция 2
Ранние исследования
тепловой конвекции
Середина XVIII в. ― М. В. Ломоносов, Дж. Гадлей
(G. Hadley); качественное объяснение природы явления
1900 ― А. Бенар (H. Bénard), эксперимент
1906 ― K. Schwarzschild, условие возникновения
1916 ― лорд Рэлей (Rayleigh), теория
1930–1950 ― H. Siedentopf и др., теория пути
перемешивания
1940 ― A. Pellew & R. Southwell, линейная теория
1961 ― С. Чандрасекар (S. Chandrasekhar); линейная
теория, первая фундаментальная монография
Шестиугольные ячейки
(Бенара)
Квазидвумерные конвективные
валы (convection rolls)
Уравнение Навье – Стокса
(the Navier–Stokes equation)
v

 ( v  ) v   p  f     ( v)
 t

 
Вязкий тензор напряжений:
 ij ( v)    i v j   j vi   ij div v     ij div v

2
3
 vi


v
p

i



 vj



x j 
xi x j
 t

(   )
  v j v  2 v 
i 
k





 

ij

  xi x j  3 xk 
  vk 
 

 fi 
xi  xk 
Уравнение Навье – Стокса
(the Navier–Stokes equation)
 vi


v
p

i



 vj



x j 
xi x j
 t
  v j v  2 v 
 i    ij k  
 
  xi x j  3 xk 
  vk 
 

 fi 
xi  xk 
Если коэффициенты постоянны:
 v



   ( v  ) v   p  f   v      div v
 t

3

Баротропность и
бароклинность
В состоянии равновесия
 p   g  0
[  (  g)]  [  g]  [ 
p

]0
Баротропность:
[  p]  0
Бароклинность:
[  p]  0
Уравнение непрерывности.
Несжимаемая жидкость
в поле тяжести

 div  v  0
t
Несжимаемость:
div v  0
 v

   ( v  ) v   p   g  v
 t



  


Приближение Буссинеска
(the Boussinesq approximation)

0
p
  0   0 (T  T0 )
p  pS  p,   0   , v  0  v ( v  v)
 v

 0   ( v  ) v   ( pS  p)  (  0   )g   0v
 t

0  pS  0g
v
p 

 ( v  ) v  
g
v
t
0
0
Уравнение переноса тепла
2

  vi v j 2
 s

T   vs   div(  c p  T )  

  ik div v  
2  x j xi 3
 t


  (div v) 2
В несжимаемой среде (сp = сv)
с постоянной теплопроводностью:
T
  vi v j 
 vT   T 


t
2c p  x j xi 
2
Полная система уравнений
приближения Буссинеска
T  TS  
     0
v
p 

 ( v  ) v  
g
v
t
0
0
v
p 
 ( v  ) v  
 g v
t
0

 v(TS   )   
t
div v  0
Обобщение приближения
Буссинеска на случай
сжимаемой среды
Spiegel & Veronis (1960):
1

z
Hf
 dfS 
h  min{ H  , H p , H T }, H f  fS 
 , fS  e
 dz 
Для исследования движений с конечной амплитудой
― дополнительно:
 S 


 O
0
 0 
dTS
dT dT
 S  ad
dz
dz
dz
( 0)
Задача
Рэлея ― Бенара
Задача Рэлея ― Бенара
(the Rayleigh–Bénard problem)
Горизонтальный слой 0 ≤ z ≤ h
T = T1
T = T2 = T1 – ΔT
 0
v0
vx v y
vz  0,

0
z
z
TS = T1 – βz
при z = 0
при z = h
на обеих границах
на жесткой (no - slip) границе
на свободной (stress - free) границе
Безразмерная форма
уравнений
Единицы измерения:
Длины
h
Времени
τv = h2/χ
Температуры ΔT
Безразмерные параметры задачи:
Число Рэлея
gTh3

R
, число Прандтля P 


Постановка стандартной
задачи
1  v


(
v


)
v
   e z R  v


P  t


 v z  v    
t
div v  0
 0
на обеих границах
v0
на жесткой границе
vx v y
vz  0,

0
z
z
на свободной границе
Линейный анализ
e z  rot rot
1 v
   e z R  v
P t

 v z  
t
div v  0
v z
 0,   0 на жесткой границе
z
 2vz
v z  2  0,   0 на свободной границе
 z
vz 
Поиск собственных функций
(eigenfunctions)
v z  e  t w(x) f ( z )
k  {k x , k y ,0}, x  {x, y,0}
w(x)  пространственно - периодическое решение
w  k 2 w  0
уравнения Гельмгольц а
w(x) 
N
 c je
ik j x
j  N
( j 0)
k j  k k  j  k j
c j  c*j
Функции планформы
Валы:
w( x, y )  cos kx  cos( k x x  k y y )
Шестиугольники:
 3  1 
w( x, y )  2 cos
kx  cos kx   cos kx 
 2
 2 
k

k
 cos  y  3x   cos  y  3x
2

2





  cos ky
Краевая задача (boundaryvalue problem) для функции f
1
( D  k   )( D  k   )( D 2  k 2 ) f   Rk 2 f
P
2
2
2
2
( D  d / dz )
1
f  Df  ( D  2k   ) D 2 f  0 на жесткой границе
P
2
2
f  D 2 f  D 4 f  0 на свободной границе
Собственные значения (eigenvalues)
и собственные функции в случае
свободных границ (stress-free boundaries)
f n  sin nz
(n  1, 2, ...)
P 1 2 2
RPk 2
 P 1 2 2
2
2 2

(n   k )  
 (n   k )  2 2
2
n   k2
 2 
2
(n1, 2 )
(n1)  0; (n2)
(n 2 2  k 2 )3
 0 при R  Rn (k ) 
k2
Конвекция развивается при
R  Rc  min R1 (k )  R1 (kc )
Нейтральная кривая задачи
Рэлея ― Бенара
Критические числа Рэлея и
волновые числа
Две свободные
границы:

27 4
 2.221
Rc    657.511 kc 
2
4
Две жесткие
границы:
Rc  1707.762
kc  3.117
Одна свободная
и одна жесткая
границы:
Rc  1100.657
kc  2.682
Структуры конвективных
течений
Шестиугольные ячейки
(Бенара)
Квазидвумерные
конвективные валы
Линии тока и изотермы при
валиковой конвекции
Сценарии эволюции
шестиугольных ячеек
Слой с жесткими границами
R = 12000, P = 7, k = 2.4 R = 18000, P = 1, k = 1.4 R = 8000, P = 7, k = 1.6
Устойчивость
Двухвихревая ячейка
Дробление
Сценарии эволюции
шестиугольных ячеек
Слой с жесткими границами
R = 18000, P = 2.5,
R = 20000, P = 2.5,
k = 0.8. Объединение k = 0.8. Укрупнение
R = 20000, P = 2.5,
k = 1. Колебания
Литература
 Л.Д.
Ландау, Е.М. Лифшиц. Гидродинамика, 3-е изд. М:
Физматлит, 1986.
 Дж. Бэтчелор. Введение в динамику жидкости, М.:
Мир, 1973.
 С.Б. Пикельнер. Основы космической электродинамики,
2-е изд. М:Физматлит, 1966.
 А.В. Гетлинг. Конвекция Рэлея–Бенара. Структуры и
динамика. М: УРСС, 1999.
Александр Владимирович
Гетлинг
Тел. дом.
(дом.≡≡раб.:
раб.): 433-74-45
433-74-45
Эл. почта:
моб: A.Getling@mail.ru
8 (903) 505-18-46
Веб-страница:
Эл.
почта: A.Getling@mail.ru
www.magnetosphere.ru/~avg
Веб-страница:
www.magnetosphere.ru/~avg