Гидродинамика Солнца Лекция 2 Ранние исследования тепловой конвекции Середина XVIII в. ― М. В. Ломоносов, Дж. Гадлей (G. Hadley); качественное объяснение природы явления 1900 ― А. Бенар (H. Bénard), эксперимент 1906 ― K. Schwarzschild, условие возникновения 1916 ― лорд Рэлей (Rayleigh), теория 1930–1950 ― H. Siedentopf и др., теория пути перемешивания 1940 ― A. Pellew & R. Southwell, линейная теория 1961 ― С. Чандрасекар (S. Chandrasekhar); линейная теория, первая фундаментальная монография Шестиугольные ячейки (Бенара) Квазидвумерные конвективные валы (convection rolls) Уравнение Навье – Стокса (the Navier–Stokes equation) v ( v ) v p f ( v) t Вязкий тензор напряжений: ij ( v) i v j j vi ij div v ij div v 2 3 vi v p i vj x j xi x j t ( ) v j v 2 v i k ij xi x j 3 xk vk fi xi xk Уравнение Навье – Стокса (the Navier–Stokes equation) vi v p i vj x j xi x j t v j v 2 v i ij k xi x j 3 xk vk fi xi xk Если коэффициенты постоянны: v ( v ) v p f v div v t 3 Баротропность и бароклинность В состоянии равновесия p g 0 [ ( g)] [ g] [ p ]0 Баротропность: [ p] 0 Бароклинность: [ p] 0 Уравнение непрерывности. Несжимаемая жидкость в поле тяжести div v 0 t Несжимаемость: div v 0 v ( v ) v p g v t Приближение Буссинеска (the Boussinesq approximation) 0 p 0 0 (T T0 ) p pS p, 0 , v 0 v ( v v) v 0 ( v ) v ( pS p) ( 0 )g 0v t 0 pS 0g v p ( v ) v g v t 0 0 Уравнение переноса тепла 2 vi v j 2 s T vs div( c p T ) ik div v 2 x j xi 3 t (div v) 2 В несжимаемой среде (сp = сv) с постоянной теплопроводностью: T vi v j vT T t 2c p x j xi 2 Полная система уравнений приближения Буссинеска T TS 0 v p ( v ) v g v t 0 0 v p ( v ) v g v t 0 v(TS ) t div v 0 Обобщение приближения Буссинеска на случай сжимаемой среды Spiegel & Veronis (1960): 1 z Hf dfS h min{ H , H p , H T }, H f fS , fS e dz Для исследования движений с конечной амплитудой ― дополнительно: S O 0 0 dTS dT dT S ad dz dz dz ( 0) Задача Рэлея ― Бенара Задача Рэлея ― Бенара (the Rayleigh–Bénard problem) Горизонтальный слой 0 ≤ z ≤ h T = T1 T = T2 = T1 – ΔT 0 v0 vx v y vz 0, 0 z z TS = T1 – βz при z = 0 при z = h на обеих границах на жесткой (no - slip) границе на свободной (stress - free) границе Безразмерная форма уравнений Единицы измерения: Длины h Времени τv = h2/χ Температуры ΔT Безразмерные параметры задачи: Число Рэлея gTh3 R , число Прандтля P Постановка стандартной задачи 1 v ( v ) v e z R v P t v z v t div v 0 0 на обеих границах v0 на жесткой границе vx v y vz 0, 0 z z на свободной границе Линейный анализ e z rot rot 1 v e z R v P t v z t div v 0 v z 0, 0 на жесткой границе z 2vz v z 2 0, 0 на свободной границе z vz Поиск собственных функций (eigenfunctions) v z e t w(x) f ( z ) k {k x , k y ,0}, x {x, y,0} w(x) пространственно - периодическое решение w k 2 w 0 уравнения Гельмгольц а w(x) N c je ik j x j N ( j 0) k j k k j k j c j c*j Функции планформы Валы: w( x, y ) cos kx cos( k x x k y y ) Шестиугольники: 3 1 w( x, y ) 2 cos kx cos kx cos kx 2 2 k k cos y 3x cos y 3x 2 2 cos ky Краевая задача (boundaryvalue problem) для функции f 1 ( D k )( D k )( D 2 k 2 ) f Rk 2 f P 2 2 2 2 ( D d / dz ) 1 f Df ( D 2k ) D 2 f 0 на жесткой границе P 2 2 f D 2 f D 4 f 0 на свободной границе Собственные значения (eigenvalues) и собственные функции в случае свободных границ (stress-free boundaries) f n sin nz (n 1, 2, ...) P 1 2 2 RPk 2 P 1 2 2 2 2 2 (n k ) (n k ) 2 2 2 n k2 2 2 (n1, 2 ) (n1) 0; (n2) (n 2 2 k 2 )3 0 при R Rn (k ) k2 Конвекция развивается при R Rc min R1 (k ) R1 (kc ) Нейтральная кривая задачи Рэлея ― Бенара Критические числа Рэлея и волновые числа Две свободные границы: 27 4 2.221 Rc 657.511 kc 2 4 Две жесткие границы: Rc 1707.762 kc 3.117 Одна свободная и одна жесткая границы: Rc 1100.657 kc 2.682 Структуры конвективных течений Шестиугольные ячейки (Бенара) Квазидвумерные конвективные валы Линии тока и изотермы при валиковой конвекции Сценарии эволюции шестиугольных ячеек Слой с жесткими границами R = 12000, P = 7, k = 2.4 R = 18000, P = 1, k = 1.4 R = 8000, P = 7, k = 1.6 Устойчивость Двухвихревая ячейка Дробление Сценарии эволюции шестиугольных ячеек Слой с жесткими границами R = 18000, P = 2.5, R = 20000, P = 2.5, k = 0.8. Объединение k = 0.8. Укрупнение R = 20000, P = 2.5, k = 1. Колебания Литература Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Гидродинамика, 3-е изд. М: Физматлит, 1986. Дж. Бэтчелор. Введение в динамику жидкости, М.: Мир, 1973. С.Б. Пикельнер. Основы космической электродинамики, 2-е изд. М:Физматлит, 1966. А.В. Гетлинг. Конвекция Рэлея–Бенара. Структуры и динамика. М: УРСС, 1999. Александр Владимирович Гетлинг Тел. дом. (дом.≡≡раб.: раб.): 433-74-45 433-74-45 Эл. почта: моб: [email protected] 8 (903) 505-18-46 Веб-страница: Эл. почта: [email protected] www.magnetosphere.ru/~avg Веб-страница: www.magnetosphere.ru/~avg