KURSOVAYa RABOTA PO TETs

Федеральное государственное образовательное бюджетное
учреждение высшего образования
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций
им. проф. М.А.Бонч-Бруевича
Факультет ИКСС
__________________________________________________________________________
Курсовая работа
по дисциплине «Теория электрических цепей. Расчет ARC-фильтра»
Выполнил
Студент группы ИКТ-508
Маляров Максим
Санкт-Петербург, 2016
РАСЧЕТ ARC-ФИЛЬТРА
1.1. Содержание задания.
Таблица 1
1.2. Выполнение задания.
1) Рассмотрим каждое из двух звеньев ARC-фильтра в отдельности.
Рис. 1
Составим схему замещения, заменив усилитель с конечным усилением
источником напряжения управляемым напряжением (ИНУН) по таблице 2.
Таблица 2
Рис. 2
Найдем операторную передаточную функцию первого звена H1(p) =
Запишем узловые уравнения.
((3/R)+pC1)U3(p)-pC1U2(p)-(1/R)U1(p)-(1/R)U4(p)=0
(1/R)+pC1)U4(p)-(1/R)U3(p)=0
Из схемы замещения видно, что U4(p) =
U2(p)
K
U3(p) = (U2(p)/K)(1+pRC1)
((3/R)+pC1)(U2(p)/K)(1+pRC1)-pC1U2(p)-(1/R)(U2(p)/K)=(1/R)U1(p)
U2(p)(𝑝2 𝑅2 𝐶 2 + 𝑝𝐶𝑅(4 − 𝐾) + 2)=KU1(p)
𝑈2(𝑝)
𝐾
=
𝑈1(𝑝) 𝑝2 𝑅 2 𝐶 2 +𝑝𝐶𝑅(4−𝐾)+2
H1(p) =
𝑈2(𝑝)
𝑈1(𝑝)
=
𝐾
𝑝2 𝐶12 𝑅 2 +𝑝𝐶1 𝑅(4−𝐾)+2
3,35
(1.95∗10−9 )2 (105 )2
4−3,35
2
𝑝2 +
𝑝+
1.95∗10−9 ∗105 (1.95∗10−9 )2 (105 )2
=
=
𝐾
2
𝐶2
1𝑅
4−𝐾
𝑝2 + 𝐶 𝑅 𝑝+ 22 2
1
𝐶1 𝑅
=
0,881∗108
𝑝2 +0,33∗104 𝑝+0,526∗108
U2(P)
U1(P)
Таким образом, мы аналитически получили H1(p) для первого каскада.
Теперь проверим вычисления с помощью программы FASTMEAN.
Преобразуем и получим следующее:
𝑘𝑅
=
𝑘𝑅
=
𝑘
=
P2 C2 R2 ∗P(CR(2R)+CR(2R−R2 Ck)+3R) R(P2 C2 R2 +4∗PCR−PCRk+2) (P2 C2 R2 +4∗PCR−PCRk+2)
𝑘
𝑝2 C2 𝑅 2 +𝑝𝐶𝑅(4−𝐾)+2
Таким образом, мы убедились в правильности вычислений.
2) Построим АЧХ и ФЧХ 1 каскада
Найдем комплексную передаточную функцию, заменяя в H1(p) переменную
p=jw:
0,881 ∗ 108
𝐻1 (𝑗𝑤) =
=
0,526 ∗ 108 − 𝑤 2 + 𝑗0,33 ∗ 104 𝑤
0,56 ∗ 108
=
√(0,526 ∗ 108 − 𝑤 2 )2 + (0,33 ∗ 104 𝑤)2
Выражение для АЧХ имеет вид:
|𝐻1 (𝑗𝑤)| =
0,881 ∗ 108
√(0,526 ∗ 108 − 𝑤 2 )2 + (0,33 ∗ 104 𝑤)2
Выражение для ФЧХ имеет вид:
q1 (𝑤) = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
0,33 ∗ 104 𝑤
0,526 ∗ 108 − 𝑤 2
Вид графиков АЧХ и ФЧХ, рассчитанных на ПК для ARC-цепи с
использованием программы FASTMEAN, представлен на рис. 4.
Рис. 2. Схема ARC-цепи. Частотные характеристики
Рис. 3. Графики АЧХ и ФЧХ
Из графика АЧХ видно, что данная цепь является ПФ (полосовой фильтр).
С помощью электронной линейки по графику АЧХ получено значение
квазирезонансной частоты 𝑓крез = 1,089 кГц.
|𝐻1 (𝑗𝑤крез )| = 3,74 q1 (𝑤крез ) = −75,8°.
Определены граничные значения амплитудно-частотной характеристики:
|𝐻1 (0)| = 1,089; |𝐻1 (¥)| = 0.
Вид графиков АЧХ и ФЧХ, рассчитанных на ПК для ARC-цепи с
использованием программы Mathcad, представлен на рис. 5.
Рис. 5. Графики АЧХ и ФЧХ
3) Переходную характеристику h(t) первого звена фильтра находим из
соответствия:
ℎ(𝑡)¸
𝐻1 (𝑝)
𝑝
𝐻1 (𝑝)
0,881 ∗ 108
𝐴0
𝐴1
𝐴2
=
=
+
+
𝑝
𝑝(𝑝2 + 0,33 ∗ 104 𝑝 + 0,526 ∗ 108 )
𝑝 𝑝 − 𝑝1 𝑝 − 𝑝2
Оригинал для получившейся дробно-рациональной функции можно найти,
пользуясь теоремой разложения, где p1 и p2 – нули полинома знаменателя,
которые определяются как корни уравнения
𝑝2 + 3300𝑝 + 52600000 = 0
𝐷 = 33002 − 4 ∗ 1 ∗ 52600000 = −199500000
𝑝1,2 =
−3300 ± √−199500000 −3300 ± 𝑗14124.45
=
= −1650 ± 𝑗7062,2 =
2
2
= −0,165 ∗ 104 ± 𝑗0,70622 ∗ 104
Поскольку корни p1 и p2 являются комплексно-сопряженными числами, то и
коэффициенты A1 и A2 тоже будут комплексно-сопряженными, т. е.
достаточно рассчитать коэффициент А1.
ℎ(𝑡) = 𝐴0 + 2𝑅𝑒{𝐴1 𝑒 𝑝1𝑡 }
𝐻1 (𝑝)
0.881 ∗ 108
𝐴0 = lim
𝑝=
= 1,675
𝑝®0
𝑝
0.526 ∗ 108
𝐴1=
𝐻1 (𝑝)
0,881 ∗ 108
(𝑝 − 𝑝1 ) =
𝑝®𝑝1
𝑝
𝑝1 (𝑝1 − 𝑝2 )
= lim
0,881 ∗ 108
(−0,165 ∗ 104 + 𝑗0,70622 ∗ 104 )(−0,165 ∗ 104 + 𝑗0,70622 ∗ 104 + 0,165 ∗ 104 + 𝑗0,70622 ∗ 104 )
0,881 ∗ 108
0,881 ∗ 108
=
=
(−0,165 ∗ 104 + 𝑗0,70622 ∗ 104 )𝑗1,412 ∗ 104 −0,9972 ∗ 108 − 𝑗0,233 ∗ 108
0,56
−0,881
0,881𝑒 𝑗180°
0,881𝑒 𝑗180°
=
=
=
=
𝑗𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0,233
−0,9972 − 𝑗0,233 0,9972 + 𝑗0,233
√(0,9972)2 + (0,233)2 𝑒 𝑗𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0,233 1,024𝑒
=
= 0,86𝑒 𝑗(180°−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔0,233) = 0,86𝑒 𝑗(180°−13°) = 0,86𝑒 𝑗167°
ℎ(𝑡) = 1,675 + 2𝑅𝑒{0,86𝑒 𝑗167° 𝑒 (−0,165∗10 +𝑗0,70622∗10 )𝑡 }
4
= 1,675 + 1,72𝑒 −0,165∗10 𝑡 cos(0,70622 ∗ 104 𝑡 + 167°) =
= 1,675 + 1,72𝑒 −1650𝑡 cos(7062,2𝑡 + 167°) =
4
4
= 1,675 + 1,72𝑒 −1650𝑡 cos(7062,2𝑡 + 2,9147)
Найдем граничные значения переходной характеристики
t  0,
ℎ(0) = 1,675 + 1,72 cos(167°) = 1,675 + 1,72 ∗ (−0,9744) = −0,000968
t = ∞, h(∞) = 1,675.
Очевидно, что связь между временными и частотными
характеристиками ARC-цепи выполняется, так как равны соотношения
для их граничных значений: h(0) = Н(∞)  -0,01; h(∞) = H(0)  1,675.
На рис. 1.6 представлен график h(t), рассчитанный с помощью
программы FASTMEAN.
На графике h(t):
t1 = 0,44 мс;
h1 = |h(t1)| = 2,47;
t2 = t1 + Tсв = 0,89 мс; h2 = |h(t2)| = 1,29.
Из графика h(t) видно, что период свободных колебаний равен
Tсв = t2 – t1 = 0,89 – 0,44 = 0,45 мс. Частота свободных колебаний равна
1
fсв = 1/Tсв = 2,2 кГц или ωсв = 2πfсв = 13,96 · 103 c .
На рис. 6 представлен график h(t), рассчитанный с помощью программы
FASTMEAN.
Рис.6. График переходной характеристики.
На рис. 7 представлен график h(t), рассчитанный с помощью программы
Mathcad.
Рис 7. График переходной характеристики.
4) Перейдем ко второму звену.
Рис.8 Второй каскад.
Составим схему замещения, заменив усилитель с конечным усилением
источником напряжения управляемым напряжением (ИНУН) по таблице 2.
рис.9.
Найдем операторную передаточную функцию первого звена H2(p) =
U2(P)
U1(P)
Запишем узловые уравнения.
3
1
1
(𝑅 + 𝑝 ∗ 𝐶2) ∗ 𝑈3(𝑝) − 𝑅 ∗ 𝑈1(𝑝) − 𝑅 ∗ 𝑈2(𝑝) = 0
1
− ∗ 𝑈3(𝑝) − 𝑝 ∗ 𝐶3 ∗ 𝑈2(𝑝) = 0
𝑅
Из схемы замещения видно, что U3(p) =−p ∗ C3 ∗ U2(p) ∗ R
1
1
𝑅
𝑅
-U2(p)(p*C3+𝑃2 ∗ 𝐶2 ∗ 𝐶3 ∗ 𝑅 + )= *U1(p)
𝑈2(𝑝)
−1
=
𝑈1(𝑝) 𝑝2 ∗𝐶2∗𝐶3∗𝑅 2 +3∗𝑝∗𝐶3∗𝑅+1
H2(p) =
𝑈2(𝑝)
𝑈1(𝑝)
=
−1
=
𝑝2 ∗𝐶2∗𝐶3∗𝑅 2 +3∗𝑝∗𝐶3∗𝑅+1
−1
𝐶2∗𝐶3∗𝑅2
3
1
𝑝2 +𝐶2∗𝑅
𝑝+
𝐶2∗𝐶3∗𝑅2
=
−0,2462∗108
𝑝2 +0,8∗104 ∗𝑝+0,2462∗108
Таким образом, мы аналитически получили H2(p) для второго каскада.
Теперь проверим вычисления с помощью программы FASTMEAN.
Преобразуем и получим следующее:
−
𝑅
P2 C3C2𝑅 3 +𝑝𝐶3∗3𝑅 2 +𝑅
=−
1
𝑝2 𝐶3𝐶2𝑅 2 +3𝑝𝐶3𝑅+1
Таким образом, мы убедились в правильности вычислений.
5) Построим АЧХ и ФЧХ 2 каскада
Найдем комплексную передаточную функцию, заменяя в H1(p) переменную
p=jw:
𝐻1 (𝑗𝑤) =
−0,2462 ∗ 108
=
0,2462 ∗ 108 − 𝑤 2 + 𝑗0,8 ∗ 104 𝑤
−0,2462 ∗ 108
=
√(0,2462 ∗ 108 − 𝑤 2 )2 + (0,8 ∗ 104 𝑤)2
Выражение для АЧХ имеет вид:
|𝐻1 (𝑗𝑤)| =
−0,2462 ∗ 108
√(0,2462 ∗ 108 − 𝑤 2 )2 + (0,8 ∗ 104 𝑤)2
Выражение для ФЧХ имеет вид:
0,8 ∗ 104 𝑤
q1 (𝑤) = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
0,2462 ∗ 108 − 𝑤 2
Рис. 10. Схема ARC-цепи. Частотные характеристики.
Вид графиков АЧХ и ФЧХ, рассчитанных на ПК для ARC-цепи с
использованием программы FASTMEAN, представлен на рис. 11.
Рис.11.Графики АЧХ и ФЧХ
Вид графиков АЧХ и ФЧХ, рассчитанных на ПК для ARC-цепи с
использованием программы Mathcad, представлен на рис. 12.
Рис.12.Графики АЧХ и ФЧХ
6) Найдем общее АЧХ и ФЧХ полного каскада.
Вид графиков АЧХ и ФЧХ, рассчитанных на ПК для ARC-цепи с
использованием программы Fastmean, представлен на рис. 13.
Рис.13 .Графики полного АЧХ и ФЧХ.
Вид графиков АЧХ и ФЧХ, рассчитанных на ПК для ARC-цепи с
использованием программы Mathcad, представлен на рис. 15.(Расчет
производился по следующей формуле на рис.14)
Рис.14.Формула
Рис.15. Графики полного АЧХ и ФЧХ.
7) Оценим допустимую величину ступенчатого воздействия на фильтр, если
напряжение на входе усилителя второго звена во избежание его перегрузки не
должно превышать 0,2 В
Hmax=2,47
1В=> Hmax
0,2∗1
U0=>0,2
=> U0=
=0,08В
2,47
8) Убедимся в устойчивости фильтра по расположению полюсов его
передаточной функции, показав их на комплексной плоскости;
H(p)=H(1)*H(2)=
0,881∗108
*
8
𝑝12 +0,33∗104 𝑝1+0,526∗10
−0,2462∗108
𝑝22 +0,8∗104 ∗𝑝2+0,2462∗108
p1= -1650-7062.2i
p1= -1650+7062.2i
p2=-4000-4961.8i
p2=-4000+4961.8i
Комплексная плоскость для всех р будет выглядеть следующим образом:
Таким образом, фильтр устойчив по расположению полюсов его передаточной
функции, так как все р расположены на отрицательной оси.
9) Определим значение коэффициента усиления усилителя первого звена
фильтра, при котором цепь будет находиться строго на границе
устойчивости, и укажем, чему при этом равна частота свободных колебаний
в каскаде.
(4−𝑘)
(4−𝑘)
P1;P2=
∓ √𝐷 =
∓ 𝑗√𝐷;
𝑅𝐶
𝑅𝐶
K=4 - значение коэффициента усиления
Частота свободных колебаний равна fсв=1/Tсв=2,2 кГц или wсв=2fсв=13,96*103
1/с.