алгебра

ЛЕКЦІЯ
з теми:
«Побудова графіку функції із застосуванням похідної»
1.
2.
-
Навчальні цілі лекції:
Повторити властивості функцій.
Познайомити студентів з загальною схемою дослідження функцій.
Сформувати уміння застосовувати похідну для дослідження функції та
побудови графіків.
Розвивати аналітичне мислення, увагу, вміння працювати самостійно та в
групі, критично ставитись до отриманих результатів.
Навчити студентів розв’язувати задачі, що передбачають використання
основних понять по даній темі.
розвивати компетентності саморозвитку і самоосвіти, інформаційні та
комунікативні компетентності продуктивної творчої діяльності.
Виховні цілі:
Виховувати пізнавальний інтерес до математики, згуртованість, повагу до
товаришів та їхньої думки, наполегливість у досягненні поставленої мети.
3. Міждисциплінарна інтеграція:
Попередні дисципліни: Алгебра, геометрія
Забезпечувані дисципліни: геометрія, механіка, хімія, економіка, технічні
предмети.
4. План та організаційна структура лекції
№ Основні етапи лекції та їх Цілі
Тип лекції, методи і засоби
з/р зміст
в
активізації студентів, матеріали
рівнях
методичного забезпечення
абстракції
1 Підготовчий етап
1. Організація заняття
2. Перевірка домашньої І
роботи (переглянути
зошити)
3. Визначення
І-ІІ
актуальності
теми
уроку та формування
позитивної мотивації
2 Основний етап
1. Викладання лекції
1. Актуалізація
І,ІІ
навчального
Час
в
хв..
15’
30’
3
матеріалу
(повторення
матеріалу)
2. Вивчення
нового матеріалу.
3. Закріплення
вмінь і навичок.
Розв’язування задач.
2. Розв’язування
завдань
1. Робота в парах
(Розв’язування
прикладів)
2. Самостійна робота з
самоперевіркою
3. Додаткове творче
завдання «Знайди
помилку»
Заключний етап
1. Резюме
лекції,
загальні висновки.
2. Завдання
для
самопідготовки
студентів
І
Тематична
лекція,
із
застосуванням наочності лекція
та з елементами розв’язування
задач
ІІ
ІІ,ІІІ
30’
ІІ,ІІІ
Листи самоперевірки
ІІІ
Література Г.П. Бевз – 11 клас § 5’
10
№ 364 (а,б) № 365 (в,г)
Вивчити лекційний матеріал;
5. Зміст лекційного матеріалу:
Розгорнутий конспект змісту теми
Визначення актуальності теми лекції та мотивації навчальної
діяльності студентів
На попередніх уроках ви засвоїли одне із фундаментальних понять
алгебри та початків аналізу – похідну. ЇЇ появі ми завдячуємо таким
вченим, як П. Ферма, І. Ньютон, Г. Лейбніц, Ж. Лагранж.
Поняття похідної широко застосовується у механіці, військовій справі,
медицині, космонавтиці, фізиці, астрономії. Тому і приділяється така увага
цьому поняттю.
Р. Декарт говорив: «Недостатньо лише мати гарний розум, головне – це
добре застосовувати його».
Сьогодні на уроці ми розглянемо загальну схему дослідження функції й
побудову її графіка. Функції ми зустрічаємо скрізь на практиці, функції
описують рух, фізичні явища. Вони зустрічаються в техніці, геометрії,
механіці, хімії, економіці. Вивчаючи функції, ми вивчаємо конкретні явища,
які вони описують. Математичний аналіз є засобом вивчення функції, і в
той же самий час засобом вивчення навколишніх нас явищ. Одним з
важливих понять математичного аналізу є похідна. І сьогодні, у центрі
уваги – дослідження функції за допомогою похідної і побудова її графіка.
План викладання лекційного матеріалу:
4. Актуалізація навчального матеріалу (повторення матеріалу)
5. Вивчення нового матеріалу.
6. Закріплення вмінь і навичок. Розв’язування задач.
7. Робота в парах (Розв’язування задач)
8. Самостійна робота
9. Додаткове творче завдання «Знайди помилку»
Актуалізація навчального матеріалу (повторення матеріалу)
Викладач повторює з студентами схему дослідження функції, що містить у собі
знаходження певних характеристик функції, словесне визначення яких дане в
лівому стовпчику схеми, а графічне в правій.
1.
1.
Область визначення, тобто множина значень
аргументу, при яких задана функція
Проекція графіка на вісь
Ох.
а) Парність функції
а) Графік симетричний
щодо осі Оу.
2.
б) Непарність функції
3.
б) Графік симетричний
відносно початку
координат.
Нулі, тобто точки, у яких функція дорівнює нулю, Точки перетину графіка з
віссю Ох.
або інакше розв’язання рівняння
Проміжки постійного знака, тобто проміжки, в
4. яких функція додатна (від’ємна), або інакше
розв’язання нерівності
(
)
Відрізки осі Ох, що
відповідають точкам
графіка, які лежать вище
(нижче) осі Ох.
Точки екстремуму, тобто точки, що належать
області визначення, у яких функція набуває
5. найбільшого (максимум) або найменшого
(мінімум) значення в порівнянні зі значеннями в
близьких точках
«Вершини» на графіку
функції
Проміжки монотонності, тобто проміжки, в яких
6.
функція або зростає, або спадає
Відрізки осі Ох, де
графік йде вгору або
вниз
Найбільше й найменше значення функції (у
порівнянні з усіма можливими на відміну від
7.
екстремумів, де порівняння ведеться тільки із
близькими точками)
Область значень функції, тобто множина чисел,
8.
яки містить всі значення функції
Ординати найвищої й
найнижчої точок графіка
Проекція графіка на вісь
Оу
2. Вивчення нового матеріалу.
Загальна схема дослідження функції й побудова її графіка f(x) = 3x4 – 4x3 + 1
№
Алгоритм
Виконання алгоритму
кроку
1.
Знаходимо область
визначення функції
2.
Досліджуємо функцію
на парність, непарність
– функція ні
парна, ні непарна
і
3.
Знаходимо точки
перетину графіка з
осями координат
4.
Знаходимо похідну
функції і її критичні
точки
,
і
і
– критичні точки
Знаходимо проміжки
зростання, спадання
функції, точки
екстремуму й
екстремуми функції
5.
6.
– не є точкою екстремуму
– точка мінімуму
Будуємо графік функції
3. Закріплення вмінь і навичок. Розв’язування задач.
№ 1 Дослідити за допомогою алгоритму функцію й побудувати її графік у
зошиті.
у = х3 − 3х2
1) Д(у) = R
2) Знаходимо точки перетину графіка функції
з віссю ОХ: х3 − 3х2 = 0з віссю ОУ:y = 03 − 3 ∙ 02 = 0
х2 (х −3) = 0у = 0
х1 = 0; х2 = 3
3) у(х) = х3 − 3х2
у(− х) = (− х)3 − 3(− х)2 = − х3 − 3х2
у(− х) ≠ − у(х) і у(− х) ≠ у(х), то функція ні є ні парною, ні непарною.
Функція неперіодична.
4) уʹ = 3х2 − 6х
3х2 − 6х = 0
3х(х − 2) = 0
х = 0,х = 2 - стаціонарні точки
5) Знаходимо проміжки зростання, спадання функції
+
-
0
2
уʹ(3) = 3 ∙ 3 − 6 ∙ 3 = 9 > 0
2
−
уʹ(1) = 3 ∙ 12 − 6 ∙ 1 = −3 < 0
уʹ(−1) = 3 ∙ (−1)2 − 6 ∙ (−1) = 9 > 0
х
0
(0; 2)
(−∞; 0)
у(х)
+
0
−
у(х)
0
тах
2
0
−4
(2; + ∞)
+
тіп
у(0) = 0 − 3 ∙ 0 = 0
у(2) = 23 − 3 ∙ 22 = −4
6)
у
_
_
_
_
0
х
_
2 3
_
_
-4_
3
2
4. Робота в парах (для кожного ряду різна функція)
Див. додаток 1
5. Самостійна робота.
Дослідіть функцію у = х4 - 4х2 і побудуйте її графік
Лист самоперевірки (Див. додаток 2)
6. Додаткове творче завдання (на картках) «Знайди помилку»
Див. додаток 3
6. Матеріали активізації студентів під час викладання лекції:
Додаток 1 .
Приклад 1.
Дослідити функцію та побудувати її графік.
1 ряд у = 3х2 − х3
1) Д(у) = R
2) Знаходимо точки перетину графіка
з віссю ОХ: 3х2 − х3 = 0
х2 (3 − х) = 0
х= 0;х = 3
з віссю ОУ:y = 3 ∙ 02 − 03 = 0
у=0
3) у(х) = 3х2 − х3
у(−х) = 3(−х)2 − (−х)3 = 3х2 + х3
у(− х) ≠у(х) і у(−х) ≠ −у(х), то функція ні є ні парною, ні непарною.
Функція неперіодична.
4) уʹ = (3х2 − х3)ʹ = 6х− 3х2
6х − 3х2 = 0
3х(2 − х) = 0
х = 0, х = 2 - стаціонарні точки
5) Знаходимо проміжки зростання, спадання функції
−
+
−
0
2
2
уʹ(3) = 6 ∙ 3 − 3 ∙ 3 = −9 < 0
уʹ(1) = 6 ∙ 1 − 3 ∙ 12 = 3 > 0
уʹ(−1) = 6 ∙ (−1) − 3 ∙ (−1)2 = − 9 < 0
х
0
(0; 2)
(−∞; 0)
уʹ(х)
−
0
+
у(х)
0
тіп
2
0
4
(2; + ∞)
−
тах
у(0) = 3∙ 0 − 0 = 0
у(2) = 3 ∙ 22 − 23 = 4
6)
0
у
4_
_
_
_
_
_
_
_
х
2
3
2 ряд у = х2 − х3
1) Д(у) = R
2) Знаходимо точки перетину графіка функції
з віссю ОХ: х2 − х3 = 0
х2 (1 − х) = 0
х= 0; х = 1
з віссю ОУ:y = 02 − 03 = 0
у=0
3) у(х) = х2 − х3
у(−х) = (−х)2 − (−х)3 = х2 + х3
у(− х) ≠у(х) і у(−х) ≠ −у(х), то функція ні є ні парною, ні непарною.
Функція неперіодична.
4) уʹ = (х2 − х3)ʹ = 2х− 3х2
2х − 3х2 = 0
х(2 − 3х) = 0
2
х = 0, 3х = 2, х = - стаціонарні точки
3
5) Знаходимо проміжки зростання, спадання функції
-
+
2
0
3
уʹ(1) = 2 ∙ 1 − 3 ∙ 12 = −1 < 0
1
1
1
1
уʹ( ) = 2 ∙ − 3 ∙ ( )2 = > 0
3
3
3
3
уʹ(−1) = 2 ∙ (−1) − 3 ∙ (−1)2 = − 5 < 0
2
х
0
(−∞; 0)
(0; )
3
уʹ(х)
у(х)
−
0
0
+
тіп
2
3
0
4
27
тах
2
( ; + ∞)
3
−
у(0) = 0
у
6)
2
2 2
2 3 4 8
4
𝑦( ) = ( ) −( ) = −
=
3
3
3
9 27 27
_
_
0
4
27
х
2
3
_
3 ряд у = 3х − х3
1) Д(у) = R
2) Знаходимо точки перетину графіка функції
з віссю ОХ: 3х − х3 = 0
х (3 − х2) = 0
х= 0;х2 = 3
х = ± √3
з віссю ОУ:у = 3 ∙ 0− 0 = 0
у=0
3) у(х) = 3х − х3
у(−х) = 3(−х) − (−х)3 = −3х + х 3 = − (3х − х3)
у(− х) = − у(х) то функція непарною.
Функція неперіодична.
4) уʹ = (3х− х3)ʹ = 3 − 3х2
3 − 3х2 = 0
3(1 − х2) = 0
3(1 − х)(1 + х) = 0
х = 1,х = −1 - стаціонарні точки
5) Знаходимо проміжки зростання, спадання функції
-
+
-
−1
1
2
уʹ(2) = 3 − 3 ∙ 2 = − 9 < 0
уʹ(0) = 3 − 3 ∙ 0 = 3 > 0
уʹ(−2) = 3 − 3 (−2)2 = − 9 < 0
х
−1
(−∞; −1)
уʹ(х)
−
0
у(х)
−2
(−1; 1)
+
тіп
у(−1) = 3(− 1) − (−1) = −3 + 1 = − 2
у(1) = 3 ∙ 1 − 13 = 2
6)у
_
_
2_
3
0
−√3-1
_
-2 _
_
_
х
1 √3
1
0
2
тах
(1; + ∞)
−
Додаток 2
ЛИСТ САМОПЕРЕВІРКИ
у = х − 4х
1. Д(у) = R
2. Знайдемо точки перетину графіка
з віссю ОХ: х4 − 4х2 = 0з віссю ОУ: 04 − 4 ∙ 0 = 0
х2 (х2 − 4) = 0 у = 0
х = 0, х2 − 4 = 0
х = − 2, х = 2
3.у(х) = х4 − 4х2
у(−х) = (−х)4 − 4(− х)2 = х4 − 4х2
у(−х) = у(х)
Функція парна, неперіодична.
4. 𝑦 ′ = (𝑥 4 − 4𝑥 2 )′ = 4𝑥 3 − 8х
4х3 − 8х = 0
4х(х2 − 2) = 0
х = 0,𝑥 = −√2 ; 𝑥 = √2- стаціонарні точки
5.
+
+
−√2
0
√2
′ (2)
3
𝑦
= 4 ∙ 2 − 8 ∙ 2 = 16 > 0
′ (1)
𝑦
= 4 ∙ 13 − 8 ∙ 1 = − 4 < 0
𝑦 ′ (−1) = 4 ∙ (−1)3 − 8 ∙ (−1) = 4 > 0
𝑦 ′ (−2) = 4 ∙ (−2)3 − 8 ∙ (−2) = −16 < 0
х
0
(−∞; −√2) −√2 (−√2; 0)
(0; √2)
4
𝑦 ′ (х)
у(х)
2
−
0
−4
тіп
+
−
0
0
тах
4
2
у(−√2) = (−√2) − 4(−√2) = − 4
4
2
у(0) = 04 − 4 ∙ 02 = 0 у(√2) = (√2) − 4 (√2) = − 4
−
х
2 -√2 - 1
1 √2 2
_
_
_
-4
√2
0
−4
тіп
(√2;
+∞)
+
Додаток 3
Знайти помилку
Дослідити функцію та побудувати її графік у = х4 - х2
1. Д(у) = R
2. Знайдемо точки перетину графіка
з віссю ОХ: х4 - х = 0
х2 (х2 - 1) = 0
х = 0, х = 1, х= - 1
з віссю ОУ:у = 0
3. Функція непарна, неперіодична.
4. 𝑦 ′ = (𝑥 4 − 𝑥 2 )′ = 4𝑥 3 − 2 х
4х3 − 2х = 0
2х(2х2 − 1) = 0
1
1
1
2х2 = 1; 𝑥 2 = 2 ; 𝑥 = − ; 𝑥 = ; х = 0 - стаціонарні точки
√2
√2
5.
+
+
1
1
−
0
√2
√2
𝑦 ′ (2) = 4 ∙ 22 − 2 ∙ 2 = 28 > 0
1
1 3
1
1
𝑦′ ( ) = 4 ∙ ( ) − 2 ∙ = − < 0
2
2
2
2
3
1
1
1
1
𝑦 ′ (− ) = 4 ∙ (− ) − 2 ∙ (− ) = > 0
2
2
2
2
𝑦 ′ (−2) = 4 ∙ (−2)3 − 2 ∙ (−2) = −28 < 0
х
(−∞; −1)
𝑦 ′ (х)
у(х)
у (−
−
) = (−
(−
√2
0
1
−
4
тіп
−
1
1
1
4
) − (−
1
1
√2
+
0
0
тах
2
) =
1 1
1
− = −
4 2
4
√2
√2
√2
у(0) = 04 − 02 = 0
1
1 4
1 2
1 1
1
у( ) = ( ) − ( ) = − = −
4 2
4
√2
√2
√2
у
І
- 1−
−
−
−
0
1
1
√2 √2
І
1
0
; 0)
І
х
1
4
(0;
1
)
√2
−
1
√2
0
1
4
тіп
(1;
+∞)
+