Расчетная работа поTAK

Вихідні дані
Задана замкнена система автоматичного керування (САК)
Структурна схема САК.
Uz
Регулятор
ТП
Kc
Tc s  1
Kd
Td s  1
M
UОЗД

ТГ
Варіант № 5.
Тип двигуна постійного струму - П82
3
Pnom  25 10
Номінальна потужність, Вт
Unom  220
Номінальна напруга якоря, В
Inom  133
Номінальний струм якоря
nnom  1000
Номінальна швидкість обертання об./хв.
 nom  nnom 
Перерахунок об./хв. в рад./с
GD  3.1
30
 104.72
GD2, кГм2, відразу переводимо в момент інерції
J 
  0.855

ККД
GD
4

3.1
4
 .7750
Ra  0.06
Опір якоря
Rdp  0.02
Опір додаткових полюсів
Тоді сумарний опір якірного кола дорівнюватиме:
Ra  Ra  Rdp  0.06  0.02  .8e-1
Статичний струм (струм статичного навантаження), A
Ic 
Inom
2

133
2

133
2
Дані для розрахунку САК
Kd  6
Коефіцієнт підсилення тиристроного перетворювача
Td  0.006
Стала часу тиристорного перетворювача
Tc  0.003
Стала часу регулятора
Ic  0.75
Величина зміни струму навантаження
Uzd  0
Похибка напруги завдання
Kd  0.085
Похибка коефіцієнту підсилення тиристроного перетворювача
Kc  0.1
Похибка реалізації коефіцієнту підсилення регулятора
 d  0.04
Заданий коефіцієнт статичної похибки
tn  0.006
Заданий час затухання перехідного процесу
1. Розрахунок системи в статичному режимі
1.1. Розрахунок параметрів елементів САК
Розрахунок коефіцієнта передачі двигуна KM
C 
Unom  InomRa
KM 
 nom
1
C
 .5003

220  133 .8e-1
104.72
 1.999
Стала двигуна
Значення коефіцієнта передачі двигуна
Номінальна напруга тахогенератора
UTG  20
 TGnom  1000 
KTG 
UTG
 TGnom

 104.7
30

20
104.7
Номінальна швидкість тахогенератора
 .1910
Коефіцієнт передачі тахогенератора
Знаходимо необхідний з умов статичної точності коефіцієнт підсилення регулятора
Ra KM Ic 
Ra KM Ic

Ic   d
1 
  Kc  Kd  Uzd 
 nom 
 nom

Kc 
 d KTGKd KM
Після підставляння всіх значень отримаємо
Kc  5.696398
Знаходимо необхідне значення напруги завдання, B
Uz 
 nom 1  KTGKc Kd KM  Ra KM Ic
Kc Kd KM
 26.3
2. Розрахунок системи в динамічному режимі
2.1. Розрахунок динамічних параметрів елементів САК
Електромеханічна стала часу системи, c
Ta  0.25 Tm  0.25 .1552e-1
Tm 
J Ra
C
2

.7750 .8e-1
2
 .1552e-1
1.999
Електромагнітна стала часу якірного кола, c
Ta  0.004
2.2. Знаходження передатних функцій елементів САК
Wc ( s) 
Wd ( s) 
Kc
Tc s  1
Kd
Td s  1


5.696
.3e-2 s  1.
6
0.006 s  1
Передатна функція регулятора
Передатна функція тиристорного перетворювача
WM ( s) 
KM
Tms  Ta s  1  1

.5003
Передатна функція двигуна
.1552e-1 s ( .3880e-2 s  1.)  1.
Сумарна передатна функція замкненої системи
Uz(s)
Регулятор
ТП
Kc
Tc s  1
Kd
Td s  1
(s)
KM
Ta s(Tm s  1)  1
KTG
Wc ( s) Wd ( s) WM ( s)
W ( s) 
1  KTGWc ( s) Wd ( s) WM ( s)
.1336e16

4
3
2
.8468e5 s  .6417e8 s  .1702e11 s  .1916e13 s  .3333e15
Перевірка системи на стійкість - побудова перехідної характеристики за допомогою зворотного
перетворення Лапласа для часу t  0  0.001  1.
h ( t) 
W ( s)
s
invlaplace  s
simplify
(  365. )  t
 4.01  1.43 e
(  365. )  t
cos ( 150. t)  .750 e
(  13.4)  t
sin ( 150. t)  2.58 e
float  3
Перехідна характеристика нескоректованої системи
8
6
h ( t) 4
2
0
0.2
0.4
0.6
t
t, c
Попередній висновок.
Система має сильну коливність і вимагає корекції
0.8
(  13.4)  t
cos ( 158. t)  2.80 e
sin ( 158. t)
Передатна функція розімкненої системи з одиничним зворотним зв'язком
.2551e15
Wp ( s)  KTGWc ( s) Wd ( s) WM ( s) 


2
( 3. s  1000.) ( 3. s  500.)  9409. s  .2425e7 s  .1563e9
Побудова частотних характеристик розімкненої системи
3
  0  0.1  10
Діапазон зміни частоти для побудови частотних характеристик
ЛАЧХ розімкненої системи
10
1
Wp j  
0.1
0.01
1 10
3
0.1
1
10
100
3
1 10

Кутова частота, рад/с
ФЧХ розімкненої системи
200
180
100
arg  Wp j   
180

0
100
200
0.1
1
10

Кутова частота, рад/с
100
 180
3
1 10
Примітка.
Використання стандартної функції MathCAD для кута комплексної змінної arg призводить до
побудови графіка з розривом, якого в реальній системі не повинно бути. Це пов'язано з тим,
що дана функція використовує функцію арктангенса, яка визначена в межах від - до  (від
-180o до + 180o), чого для правильної побудови ФЧХ систем вище 2-го порядку недостатньо.
Тому правильним буде побудувати фазно-частотну характеристику як суму ФЧХ нулів та
полюсів передатної функції, як буде показано далі.
Визначення області стійкості розімкненої системи
Для визначення області стійкості проведемо аналіз передатної функції розімкненої системи,
для чого проаналізуємо окремо чисельник і знаменник.
Якщо порядок полінома чисельника нульовий, то нулів нема
numer  Wp (s)  .2551e15
Z0  0
Визначення полюсів розімкненої передатної функції (коренів характеристичного рівняння)
Знаходимо характеристичне рівняння (знаменник передатної функції):
Ap ( s)  denom Wp ( s)   84681. s  64165500. s  17023700000. s  .1915850000e13 s  .781500000e14
4
3
2
Знаходимо корені характеристичного рівняння (полюси):
 .781500000e14 
 .1915850000e13 


CA  Ap ( s)   17023700000. 
 64165500. 


84681.


Корені характеристичного рівняння:
P  polyroots  CA
Коефіцієнти характеристичного рівняння
333.333327





166.66686


P 
 128.867018  2.306597i 


 128.864754  2.306433i 
Побудова ФЧХ за нулями і полюсами розімкненої системи
M  last (Z)
M0
M+1 - кількість нулів передатної функції
N  last (P)
N 3

M
argW  j  


i  0
N+1 - кількість полюсів передатної функції
arg j  Zi 
N

j0
 180
arg j  P j  
 

якщо є нулі та полюси, то
використовується ця формула
 N
 180



argW j  
arg j  P j  

 
 j0


якщо є тільки полюси, то
використовується ця формула
ФЧХ розімкненої системи
0
Фаза, град.
100
 180
argW j   200
300
400
0.1
1
10
1 10
100
3

Кутова частота, рад/с
Знаходимо необхідну частоту зрізу для забезпечення заданої швидкодії системи
 s 
3
tn
 500.0
Коефіцієнт передачі замкненої системи
Kz 
Kc Kd KM
1  KTGKc Kd KM
 4.008
Для отримання бажаної передатної функції замкненої системи використана стандартна форма
Баттерворта 4-го порядку. Швидкодія системи визначається значенням  0   s.
4
Wb ( s) 
Kz 0
4
3
2 2
3
4
s  2.613  0s  3.414  0 s  2.613  0 s   0

.2505e12
4
3
2
s  1307. s  .8535e6 s  .3266e9 s 
Бажана перехідна функція застосованої форми Баттерворта знайдена за допомогою зворотного
перетворення Лапласа і побудована для часу t  0  10 4  0.05.
invlaplace  s
Wb ( s)
hb ( t) 
simplify
s
(  462.4)  t
 4.008  6.836 e
(  462.4)  t
cos ( 191.0 t)  6.849 e
sin ( 191.0 t)  2.82
float  4
hy  hb ( 1000)
Усталене значення вихідної координати:
Бажана перехідна характеристика системи
6
tn
1.05  hy
0.95  hy
4
hb ( t)
2
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
t
Потрібно знайти такий коректор, який би для замкненої системи наблизив перехідну
хараткеристику до бажаної. За допомогою засобів аналітичної математики MathCAD
прирівнюємо передатну функцію замкненої системи з коректором Wk і бажану передатну
функцію Wb, звідки знаходимо передатну функцію коректуючої ланки.
Wk( s)  Wb ( s)
Wk Wc ( s) Wd ( s) WM ( s) 
1   KTGWkWc ( s) Wd ( s) WM ( s) 
Побудова частотної характеристики коректора для
solve  Wk
float  4
4
 .1875e-3 
3
.8468e5 s  .6417e8 s  .1
4
.1465e11  s  1307
4
  1  10
Задаємося коректуючою ланкою 1-го порядку і знаходимо такі параметри реальної
 Tk1s  1 , які б були
коректуючої ланки з передатною функцією Wpk  Tk1  Tk2  s 
 Tk2s  1
найближчими до знайденої передатної функції коректора. Використаємо функцію мінімізації за
інтегралом середньоквадаратичного відхилення.
10000
Цільова функція для мінімізації:

Ft  Tk1  Tk2  
10
Початкові наближення для процедури мінімізації:
 Wk j     Wpk  Tk1  Tk2  j    d
Tk1  10 tn
2
Tk2  tn
 Tk1 

  Minimize  Ft  Tk1  Tk2
 Tk2 
Параметри коректуючої ланки:
 Tk1   0.030538 



 Tk2   0.001876 
Таким чином, передатна функція коректуючої ланки матиме вигляд:
Wpk ( s) 
Tk1 s  1
Tk2 s  1
ЛАЧХ коректуючої ланки
100
10
Wk j   
1
0.1
1
10
100

Кутова частота, рад/с
1 10
3
4
1 10
Схемна реалізація коректуючої ланки
Коректуюча ланка виконана на операційному підсилювачі за поданою нижчке схемою.Такій схемі
відповідає передатна функція, що показана нижче.
Wk s  
Tk1s  1

Tk 2 s  1
R3
C1R2 s  1

R1
R  R2
C1R2
s 1 1
R1  R2
6
Задаємося C1  10 Ф = 1 мкФ і для забезпечення одиничного
коефіцієнту передачі на постійному струмі R3 = R1 + R2.
Прирівнюючи коефіцієнти чисельника і знаменника коректуючої ланки знаходимо значення опорів:
R2 
Tk1
C1
R2  60000
Розв'язуючи рівняння нижче, знаходимо значення R1.
R1  Tk2
Тоді
C1R2
R1
R1  R2
solve  R1
float  3
 .667e4
R3  R1  R2  66670.000
C1R2s  1
R3
.600e-1 s  1.
Остаточно,
Wpk ( s)  передатна функція коректуючої

floatланки
 3  матиме
1.00  вигляд:
R1
R1  R2
.600e-2 s  1.
C1R2
s  1
R1  R2
Передатна функція замкненої системи з коректуючою ланкою
Wkk ( s) 
Wpk ( s) Wc ( s) Wd ( s) WM ( s)
1  KTGWpk ( s) Wc ( s) Wd ( s) WM ( s)
Побудову перехідної характеристики скоректованої замкненої системи виконаємо з
використанням іншого відомого в ТАК способу - з використанням інтегралу від дійсної
частини передатної функції для часу t  0  10 3  0.1.
4
 10
2 
sin   t
hk ( t)  
Re Wkk  j   
d
*
 

0


Перехідні характеристики початкової і скоректованої систем
Перехідна характеристика
8
tn
некоректована система
система з коректором
6
4
2
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
t, c
Висновок.
Отримана САК є стійкою, забезпечує необхідну статичну точність і час регулювання згідно
завдання.