hitegedemo

2
www.matematikalegko.ru
Александр Крутицких
Содержание ДЕМО-варианта:
Вступление
………………………………………………………………………………… 3
Проценты ……………………………………………………………………….…………… 4
Вероятность ………………………………………………………………………………… 15
Уравнения
………………………………………………………………………………… 18
Выражения ………………………………………………………………………………… 23
Прогрессия ………………………………………………………………………………… 26
Максимум (минимум) функции
…………………………………………………… 29
Рекомендую ………………………………………………………………………………… 40
Содержание полного варианта книги
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
Вступление ………………………………………………………………………………………………… 3
Проценты ……………………………………………………………………………………….…………… 4
Простые вычисления ………………………………………………………………………….……… 15
Диаграммы, графики ….……………………………………………………………………………… 17
Планиметрия ………………………………………………………….………………………………… 20
Вероятность ……………………………………………………………………………………………… 65
Уравнения ………………………………………………………………………………………………… 77
Производная. Первообразная ……………………………………………………………………… 83
Стереометрия ……………………………………………………………………………………………… 94
Выражения ………………………………………………………………………………………………… 111
Задачи с физическим содержанием …………………………………………………………… 122
Движение. Работа. Смеси, сплавы, растворы ……………………………………………… 142
Точки максимума (минимума) функции.
Наибольшее (наименьшее) значение функции …………………………………………… 174
Заключение ……………………………………………………………………………………………… 185
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
3
Александр Крутицких
Вступление
Дорогие выпускники и педагоги! Перед вами ДЕМО-вариант книги «Самые хитрые
задачи на ЕГЭ о математике». В этот сборник включены все задания (с кратким
ответом), которые, на мой взгляд, представляют относительную трудность.
Если вы ещѐ не знаете, что часть заданий с кратким ответом безошибочно решает
лишь небольшая часть сдающих, то знайте! Это действительно так! Самое обидное, что
ребята, которые готовы и имеют хороший навык в решении, на этих заданиях тоже
теряют баллы. О причинах, почему это происходит рассуждать не будем.
Как быть и что делать?
Вы можете искать, перебирать, смотреть и решать типовые задачи на различных
ресурсах и порталах, тем более, что бесплатно. И это для вас, несомненно, будет очень
полезно. Но я предлагаю вам сосредоточить своѐ внимание на данной
сконцентрированной «выжимке».
Решение заданий не скопированно, хотя во многом, имеется ввиду методы и
подходы, может сходиться с решениями из других источников. Все решения
произведены мной самостоятельно от начала и до конца.
Понятно ли и доступно это сделано? Вы можете пройти на сайт и посмотреть
материалы там. Все статьи, под которыми стоит моѐ имя авторские.
Информация будет полезна как выпускникам, так и педагогам для подготовки
своих подопечных. Поставленная цель – показать проблемные задачи и донести их
решение в максимально понятной и доступной форме.
Здесь вы найдѐте только некоторые задачи, на которые следует обратить особое
внимание. Что в них особенного? Это задания, в которых:
 Есть некая хитринка (так называемая ловушка);
 Уровень применяемых теоретических знаний при решении значительно выше,
относительно других заданий входящих в эту же группу задач;
 Процесс вычисления представляет относительную сложность и требуется
предельная внимательность, либо объѐм вычислений значительно выше;
 Можно использовать более простые (быстрые) пути решения, в отличие от
стандартных алгоритмов и методик.
Целью создания книги «Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике» является именно
акцентирование вашего внимания на всех проблемных задачах с кратким ответом.
Очень надеюсь и верю, что вы избежите ошибок при решении указанных задач и
возьмѐте максимум баллов на заданиях сложной части.
Желаю вам этого!
*В ДЕМО-варианте содержится только пятая часть материала.
С уважением, Александр Крутицких.
www.matematikalegko.ru
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
4
www.matematikalegko.ru
Александр Крутицких
Проценты
1. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей.
Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
Рассуждаем: цена была повышена на 16%, это значит, что она составила 116%.
Разделим 3480 на 116 и получим число рублей соответствующее 1 проценту. Далее
останется только умножить полученный результат на 100 и таким образом мы узнаем
цену соответствующую 100 процентам (то есть ту которая была до повышения):
Можно решать через составление пропорции:
Обратите внимание, что 3480 рублей это цена, после повышения на 16%. То есть, при
составлении пропорции примем 3480 рубля за 116%, а стоимость до повышения это
100%. Пропорция:
3480 рубля - 116%
х рублей
- 100%
До повышения цены чайник стоил 3000 рублей.
Или можно решить следующее уравнение:
Ответ получим тот же.
Для достоверности сделаем проверку.
То есть, решим обратную задачу: чайник стоит 3000 рублей, цена повысилась на 16%.
Какова его стоимость после повышения?
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
5
Александр Крутицких
3000 рублей - 100%
х рублей
- 116%
Верно.
Ответ: 3000
2. В городе N живет 200000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди
взрослых жителей 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.).
Сколько взрослых жителей работает?
Разделив число жителей на 100 мы узнаем сколько человек соответствует 1 проценту,
далее умножив на 15 определим число детей и подростков:
Вычисляем число взрослых жителей: 200000 –30000=170000 человек.
Далее:
Разделив число взрослых жителей на 100 мы узнаем сколько человек соответствует 1
проценту и умножив на 45 определим число неработающих:
Таким образом число работающих равно:
170000–76500=93500 человек.
*Обратите
внимание,
что
«15 процентов»
и
«45 процентов» —
величины
относительные. В подобных задачах каждый раз ста процентам соответствуют разные
величины.
Следующее решение тоже вполне возможно (суть одна):
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
6
Александр Крутицких
Итак, дети и подростки составляют 15% от 200000 жителей. Значит их число — это
15% от 200000, то есть
надо умножить на 200000:
Получили, что в городе 30000 детей и подростков. Значит взрослых в городе
200000–30000=170000 человек.
Среди взрослых 45% не работает. Получается, что число работающих взрослых
жителей составит 55% от 170000. Вычисляем:
Ответ: 93500
3. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на
доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет
заработная плата Марии Константиновны?
Обратите внимание, что 9570 рублей это зарплата после удержания 13%. Значит
разделив 9570 на 87 мы узнаем сколько рублей соответствуют 1 проценту, далее
остаѐтся умножить полученное на 100, и мы получим заработную плату до удержания:
Решение через пропорцию:
Всю зарплату – это х рублей принимаем за 100%. Пропорция:
9570 рублей
- 87%
х рублей
- 100 %
Ответ: 11000
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
7
Александр Крутицких
4. В школе 800 учеников, из них 30% — ученики начальной школы. Среди учеников
средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе
изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?
Сначала нам необходимо определить сколько учеников средней и старшей школы,
затем сколько из них изучают немецкий язык.
Определим, сколько учеников в начальной школе, 30% это 30/100 от числа учеников:
Значит учеников средней и старшей школы 800–240=560 человек.
Теперь определим, сколько из них изучают немецкий язык. Двадцать процентов это
20/100 от их числа, вычисляем:
Таким образом, 112 учеников в школе изучают немецкий язык.
Ответ: 112
5. Среди 40000 жителей города 60% не интересуется футболом. Среди футбольных
болельщиков 80% смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей
города смотрело этот матч по телевизору?
Футболом не интересуется 60%, значит 40% это интересующиеся футболом. Сорок
процентов от 40000 это:
Из них 80% смотрели финал, то есть:
Ответ: 12800
6. В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в
ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
8
Александр Крутицких
Вычислим на сколько виноград подорожал в октябре, 25% от 60 это:
Значит в октябре виноград стал стоить 60+15=75 рублей.
Вычислим на сколько виноград подорожал в ноябре, 20% от 75 это:
Значит в ноябре он стал стоить 75+15=90 рублей.
Можно было решать используя следующий подход:
Определим цену килограмма после первого подорожания:
Определим цену после второго подорожания, при чѐм считать будем уже относительно
цены 75 рублей:
Ответ: 90
7. При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал
принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного
телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в
приемное устройство данного терминала?
Первый способ:
Ясно, что Ане нужно внести более 300 рублей. Проверим, если она внесѐт 310 рублей,
то сколько поступит на счѐт? Пять процентов от 310 это:
На счѐт поступит 310–15,5=294,5 < 300. Значит ей нужно внести более 310 рублей.
Проверим. Если она внесѐт 320 рублей.
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
9
www.matematikalegko.ru
Александр Крутицких
Пять процентов от 320 это:
На счѐт поступит 320–16=304.
Значит ей нужно внести 320 рублей (это минимальная сумма).
Второй способ:
Определим, какую сумму необходимо внести, чтобы после списывания 5%, осталось
300 рублей. Учитываем, что 5% отнимается от вносимой суммы. Таким образом,
вносимую сумму примем за х и она будет соответствовать 100%. Сказано, что сумма
после списывания пяти процентов составляет 300 рублей, то есть она будет
соответствовать 95%. Составляем пропорцию:
х рублей
- 100%
300 рублей
- 95%
То есть для того, что бы на счѐте было 300 рублей необходимо внести 315,78 рубля.
Данную сумму Аня внести не сможет, так как сказано, что терминал принимает суммы
кратные 10 рублям. Значит минимальная сумма, которую Ане необходимо внести,
чтобы поставленное условие было выполнено – это 320 рублей.
Проверим. Действительно, 5% от 320 рублей это:
То есть, комиссия составит 16 рублей и на счету у Ани будет 320–16=304 рубля, а это
более 300. Условие выполняется.
Ответ: 320
8.
В 2008
году в городском
квартале
проживало
40000 человек.
В 2009 году,
в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010
году — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале
в 2010 году?
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
10
Александр Крутицких
По условию, в 2009 году число жителей выросло на 8%, то есть их стало:
*Можно найти 8% от 40000, и уже затем прибавить полученное число к 40000.
А в 2010 году число жителей выросло на 9%, теперь уже по сравнению с 2009 годом.
Получается, что в 2010 году в квартале стало проживать:
Ответ: 47088
9. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов,
а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали
стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов
подорожали акции компании в понедельник?
Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили А
рублей. К вечеру
понедельника они подорожали на х процентов и значит стали стоить:
Теперь уже эта величина принимается за 100%. Cказано, что к вечеру вторника акции
подешевели на x процентов по сравнению с этой величиной, значит:
По условию, акции в итоге подешевели на 4%, значит стали стоить:
Можем записать уравнение:
Поделим обе части уравнения на A и применим в левой части формулу сокращенного
умножения:
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
11
www.matematikalegko.ru
По смыслу задачи
. Значит
Александр Крутицких
.
Таким образом, акции кампании в понедельник подорожали на 20%.
Ответ: 20
10. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек
дороже куртки?
Нам неизвестна стоимость рубашки и куртки. Примем стоимость рубашки за х,
стоимость куртки за у.
*За сто процентов принимаем ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки.
Мы из условия можем сделать вывод о том, что цена четырѐх рубашек составляет 92
процента от стоимости одной куртки, то есть
.
Выразим стоимость одной рубашки (разделим на 4 части уравнения):
Теперь выразим стоимость пяти рубашек (умножим на 5 обе части уравнения):
Получили что стоимость пяти рубашек будет составлять 1,15 от цены куртки. Выразим
эту величину в процентах:
Получается, что стоимость 5-ти рубашек равна стоимости одной (целой) куртки плюс
ещѐ пятнадцать сотых. Таким образом, пять рубашек дороже куртки на 15% .
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
12
www.matematikalegko.ru
Александр Крутицких
Ответ: 15
11. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа
увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери
уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов
от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Составим таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа
увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась...») назовем соответственно «А»
и «В»:
муж
жена
дочь
общий доход
В реальности
А
В
Используя данные из условия осталось записать систему уравнений:
Имеем два уравнения и три неизвестных!
Мы не сможем найти
по отдельности. Поступим следующим образом: возьмем
первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму
. Получим:
Это значит, что зарплата мужа составляет 67% от общего дохода семьи.
Во втором уравнении мы тоже вычтем из обеих частей выражение
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
, то есть:
www.matematikalegko.ru
13
Александр Крутицких
Вырази z, получим:
Значит стипендия дочки составляет 6% от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены
составит 100 – 67 – 6 = 27 процентов от общего дохода.
Ответ: 27
12. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число
процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год
уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей,
через два года был продан за 15842 рублей.
Холодильник стоил 20000 рублей. Его цена два раза уменьшилась на
записать:
Следовательно:
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
, значит можем
www.matematikalegko.ru
14
Александр Крутицких
Цена холодильника уменьшалась на 11 %.
*По смыслу задачи ответ 189 не подходит, так как цена не может быть снижена на 189
процентов.
Ответ: 11
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
15
www.matematikalegko.ru
Александр Крутицких
Вероятность
1. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если
цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до
тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при
первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов
потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
Сколько бы не было сделано выстрелов, все эти события (каждый отдельный выстрел)
будут независимыми. При совершении независимых событий (в данном случае группы
выстрелов) одновременно вероятность будет равна произведению вероятностей
независимых событий.
Вероятность поразить цель при первом выстреле равна 0,4. Значит вероятность
промахнуться при первом выстреле равна 0,6.
Вероятность поразить цель при каждом последующем выстреле (втором и т.д.) равна
0,6. Значит вероятность промаха при каждом последующем выстреле равна 0,4.
Поставим вопрос: каким образом может быть поражена цель?
Цель может быть поражена либо при первом выстреле, либо при втором выстреле, либо
при третьем выстреле, либо при четвѐртом выстреле, либо при пятом и т.д. …
Все перечисленные события независимые. Найдѐм их вероятности.
При первом:
Вероятность поражения цели равна 0,4.
При втором:
Вероятность поражения цели равна 0,6 ∙ 0,6 = 0,36 (мимо-попал). То есть вероятность
поражения цели не более, чем двумя выстрелами равна 0,4 + 0,36 = 0,76 < 0,98
При третьем:
Вероятность поражения равна 0,6 ∙ 0,4 ∙ 0,6 = 0,144 (мимо-мимо-попал). То есть
вероятность поражения цели не более, чем тремя выстрелами равна
0,4 + 0,36 + 0,144 = 0,904 < 0,98
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
16
Александр Крутицких
При четвѐртом:
Вероятность поражения равна 0,6 ∙ 0,4 ∙ 0,4 ∙ 0,6 = 0,0576 (мимо-мимо-мимо-попал). То
есть вероятность поражения цели не более, чем четырьмя выстрелами равна
0,4 + 0,36 + 0,144 + 0,0576 = 0,9616 < 0,98
При пятом:
Вероятность поражения равна 0,6 ∙ 0,4 ∙ 0,4 ∙ 0,4 ∙ 0,6 = 0,02304 (мимо-мимо-мимомимо-попал). То есть вероятность поражения цели не более, чем пятью выстрелами
равна 0,4 + 0,36 + 0,144 + 0,0576 + 0,02304 = 0,98464 > 0,98
Таким образом, необходимо сделать пять выстрелов, чтобы мишень была поражена с
вероятностью более 0,98.
Ответ: 5
2. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен
набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трѐх предметов — математика,
русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция»,
нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трѐх предметов — математика,
русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент получит не менее 70
баллов по математике, равна 0,6; по русскому языку — 0,8; по иностранному языку —
0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что он сможет поступить
хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З. нужно сдать и русский язык, и
математику как минимум на 70 баллов, а помимо этого еще сдать иностранный язык
или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Обозначим события:
А — сдает математику не менее, чем на 70 баллов
В — сдает русский не менее, чем на 70 баллов
С — сдает иностранный не менее, чем на 70 баллов
D — сдает обществознание не менее, чем на 70 баллов
Вероятность того, что он сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых
специальностей будет состоять из суммы вероятностей независимых событий:
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
17
Александр Крутицких
Абитуриент сдаст:
Математика > 70 Русский > 70 Иностранный > 70 Обществознание > 70
Математика > 70 Русский > 70 Иностранный < 70 Обществознание > 70
Математика > 70 Русский > 70 Иностранный > 70 Обществознание < 70
Вероятности этих событий соответственно равны:
0,6∙0,8∙0,7∙0,5=0,168
0,6∙0,8∙0,3∙0,5=0,072
0,6∙0,8∙0,7∙0,5=0,168
Таким образом, вероятность поступить хотя бы на одну из специальностей равна:
0,168+0,072+0,168=0,408
Ответ: 0,408
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
18
Александр Крутицких
Уравнения
1. Решите уравнение
.
Формула квадрата суммы двух чисел (выражений):
Проверка:
Верно.
Ответ:
2. Решите уравнение
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе
укажите меньший из них.
По свойству логарифма:
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
*В примере
19
Александр Крутицких
можно было сразу определить, что выражение, стоящее под
знаком квадрата равно 7 или –7, так как только эти два числа при возведении в квадрат
дают 49 и решить можно было так:
корни равны 12 и –2.
Важно! Обратите внимание, что при х = –2 основание логарифма имеет отрицательное
значение (по определению логарифма основание должно быть положительным). Если
вы просто выберите меньший корень не проверив его, то ответ запишите ошибочен.
Решением является корень 12.
Ответ: 12
3. Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
*Для справки! Наибольшее отрицательное число есть число, которое находится ближе к
нулю на отрицательной части числовой оси. Наименьшее положительное число это
число находящееся ближе к нулю на положительной части числовой оси.
Решение:
Известно, что корнями уравнения
является:
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
20
Александр Крутицких
Выразим :
Получаем два уравнения:
Далее подставляем значения
. Чтобы найти наибольший отрицательный, либо (в
других задачах) наименьший положительный корень, в полученные корни уравнения
подставим поочерѐдно значения :
.
Если результат не будет выявлен, продолжим перебирать по порядку 3 и –3, 4 и –4 и
т.д.
При
*Видно, что следующие значения нужно брать с отрицательным знаком.
При
При
Получили, что наибольший отрицательный корень равен –4
Ответ: –4
*Начать вычисления можно с нуля, а затем по полученному результату смотреть какие
брать значения далее.
4. Решите уравнение
.
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
21
www.matematikalegko.ru
Александр Крутицких
В ответе напишите наименьший положительный корень.
Решение:
Решением уравнения
являются корни:
Выразим :
Найдѐм наименьшее положительное решение. Вычислим значение
Отрицательные значения
при
подставлять нет смысла, так как в данном случае явно
видно, что результат будет отрицательный. А требуется найти наименьший
положительный корень.
Таким образом, наименьшей положительный корень равен 0,5
Ответ: 0,5
5. Решите уравнение
. В ответе напишите наибольший отрицательный
корень.
Решение:
Известно, что решением уравнения
является корень:
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
22
Александр Крутицких
Значит
Выразим , для этого правую и левую части умножим на
При
При
Наибольший отрицательный корень –1.
Ответ: –1
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
23
www.matematikalegko.ru
Александр Крутицких
Выражения
1. Найдите
, если
Суть решения в подобных примерах сводиться к тому, чтобы выразить функции через
тангенс (или котангенс, смотря какое стоит условие):
Разделим обе части на cos2 α, получим:
Ответ: 0, 25
***
Преобразуем данное выражение так, чтобы в числителе и знаменателе был тангенс. Раз
делим числитель и знаменатель на cosα, получим:
Ответ: –0,5
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
24
Александр Крутицких
Преобразуем данное выражение так, чтобы в числителе и знаменателе был тангенс.
Вынесем cosα за скобки в числителе и знаменателе, получим:
Подставим значение тангенса данное в условии:
Ответ: 4
***
В полной версии книги подробно разобраны следующие примеры:
Найдите 49a – 41b – 14, если
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
25
Александр Крутицких
Найдите значение выражения 7x+2y+6z, если 7x+y = 7, 6z+y = 5.
Найдите значение выражения q(b–7) – q(b+7), если q(b)= –6b.
Найдите значение выражения 5p(2x) –2p(x+5), если p(x) = x – 10.
Найдите p(x–7) + p(13–x), если p(x) = 2x +1.
Найдите 2p(x+5) – p(2x), если p(x) = 2x – 6.
Найдите значение выражения
Найдите
Найдите значение выражения
Найдите значение выражения:
Найдите значение выражения log5 0,2 + log0,5 4
Найдите значение выражения log0,8 3∙ log3 1,25
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
26
www.matematikalegko.ru
Александр Крутицких
Прогрессия
Задачи на прогрессию. Если большинство типов заданий на прогрессию связанны с
арифметической прогрессией и их решение сложности не представляет, то две задачи
представленные ниже на геометрическую прогрессию. Они редко попадают на
экзамене, но вероятность этого имеется. Первая проста.
1. Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый
следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим
годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Нам необходимо вычислить прибыль за 2003 год, то есть определить чему равен
четвѐртый член геометрической прогрессии (прибыль за 2001 год – то первый, за 2001
год – это второй, за 2002 год – это третий, за 2003 год – это четвѐртый).
Формула
члена геометрической прогрессии:
Так как каждый следующий год прибыль увеличивалась на 300%, то это означает, что
она увеличивалась в 4 раза (предыдущий год + 300%), то есть знаменатель
геометрической прогрессии
.
Вычисляем:
*Можно обойтись и без формулы. Просто увеличиваем прибыль каждый год в 4 раза:
2001 год
5000∙4=20000
2002 год 20000∙4=80000
2003 год
80000∙4=320000
Ответ: 320000
В следующей задаче можно легко запутаться, если давно не было практики. Задачу
можно решить и без применения формул. Ниже представлены оба подхода.
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
27
Александр Крутицких
2. Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001
году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она
получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А
компания "Бета" начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея
капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль,
составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал
одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из
оборота не изымалась?
Понятно, что необходимо посчитать капиталы кампаний к концу 2006 года и найти
разность между ними.
Первое, что необходимо определить это вид прогрессии. Сказано, что каждый год
прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит
капитал на каждый год составлял 300% (это капитал предыдущего года + прибыль, то
есть происходит увеличение в 3 раза). Имеем геометрическую прогрессию, где q=3.
Первый член прогрессии равен 5000, количество членов прогрессии шесть (количество
лет), запишем:
Компания «Бета» ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала
предыдущего года, значит капитал на каждый год составлял 500% от капитала
предыдущего года (увеличение в 5 раз). Так же имеем дело с геометрической
прогрессией. Первый член прогрессии равен 10000, количество членов прогрессии 4 (по
количеству лет 2003, 2004, 2005, 2006 годы), запишем:
Таким образом, разность между капиталами кампаний составляет:
1 250 000 –1 215 000=35000 долларов.
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
28
www.matematikalegko.ru
Александр Крутицких
Как уже сказано, в данной задаче можно обойтись без использования формул
геометрической прогрессии. Составим таблицу, и год за годом заполним еѐ исходя из
условия.
У кампании «Альфа» капитал увеличиваем в 3 раза (капитал предыдущего года + 200%
прибыли), у кампании «Бета» в 5 раз (капитал предыдущего года + 400% прибыли):
Альфа
2001
2002
2003
2004
2005
2006
5000
15000
45000
135000
405000
1215000
10000
50000
250000
1250000
Бета
*Подробнее!
Кампания Альфа.
Капитал в 2001 году 5000 рублей.
Капитал в 2002 году 5000 + 200% => 5000+10000 =15 000.
Капитал в 2003 году 15000 + 200% => 15000+30000 =45 000.
Капитал в 2004 году 45000 + 200% => 45000+90000 =135 000.
Капитал в 2005 году 135000 + 200% => 135000+270000 =405 000.
Капитал в 2006 год у 405000 + 200% => 405000+810000 = 1 215 000.
Кампания Бета.
Капитал в 2003 году 10000 рублей.
Капитал в 2004 году 10000 + 400% => 10000+40000 =50 000.
Капитал в 2005 году 50000 + 400% => 50000+200000 =250 000.
Капитал в 2006 году 250000 + 400% => 250000+1000000 =1 250 000.
Разность составляет 1250000 ― 1215000 = 35000 долларов.
Ответ: 35000
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
29
Александр Крутицких
Точки максимума (минимума) функции.
Наибольшее (наименьшее) значение.
1. Найдите наибольшее значение функции
Найдѐм производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Точка
, принадлежит заданному интервалу.
Вычисляем значения функции в полученной точке и на границах отрезка:
Нам известно, что ответом является целое число, либо конечная десятичная дробь.
Значит наибольшее значение функции равно 12. Можно полученные значения
вычислить и убедиться, что они меньше 12:
*Корень из 3 приближенно равен 1,73 (запомните, пригодится).
Ответ: 12
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
30
Александр Крутицких
2. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Найдѐм производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Известно, что
, то есть уравнение не имеет решения.
Это означает, что в пределах заданного интервала нет точек минимума и максимума. В
указанном в условии интервале косинус приобретает значение от 0 до 1. Если мы
подставим в производную
любое из значений, то получим только положительное
число, то есть производная будет положительна при всех значениях переменной. Это
означает, что заданная функция является возрастающей. Следовательно наибольшим
значение функции будет в правой крайней точке, то есть при
. Вычисляем:
Ответ: 5
3. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
Найдѐм производную заданной функции:
Найденная производная неположительна на заданном отрезке, это значит функция
убывает на нем. Следовательно наибольшим значение функции на указанном в условии
отрезке будет в крайней левой точке, то есть при
. Вычисляем:
Ответ:
4. Найдите наибольшее значение функции
Для справки:
1. е =2,7182818….. (бесконечная десятичная дробь).
2. Натуральный логарифм это логарифм в основании которого стоит число е.
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
31
Александр Крутицких
Теперь поразмыслим логически. Если учесть, что ответом должно быть целое число,
либо конечная десятичная дробь, то под знаком логарифма должно стоять число 1, в
противном случае (когда х≠1) мы не сможем вычислить значение логарифма, чтобы
получить оговоренное значение в ответе. Единица входит в отрезок (1 это 14/14). Вот и
получается, что в точке х=1 значение функции будет наибольшим. Вычисляем его:
Ещѐ можно было поступить следующим образом:
Вычислить значение функции в трѐх точках – в точке х=1 и на границах отрезка:
*В случаях, когда под знаком логарифма стоят дроби, в результате у нас не получится
целое число или конечная десятичная дробь. Ответ очевиден, это –3.
Теперь осуществим решение по стандартному алгоритму.
Найдѐм производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Решив квадратное уравнение получаем
Точка
принадлежит заданному отрезку, точка
не принадлежит.
Определим знаки производной на интервалах:
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
32
www.matematikalegko.ru
Александр Крутицких
Изобразим поведение функции:
В точке х=1 знак производной изменяется с положительного на отрицательный, значит
это точка максимума. Вычисляем значение функции:
Ответ: –3
5. Найдите точку минимума функции
.
Сразу отметим, что по свойству логарифма
функцию будем на интервале
, то есть
. Рассматривать
.
Найдѐм производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции на интервалах подставляя любые
значения из них в найденную производную и изобразим поведение функции:
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
33
Александр Крутицких
В точке х=–2,5 функция меняет знак с отрицательного на положительный, значит
это искомая точка минимума.
Ответ : –2,5
6. Найдите точку минимума функции
.
Найдѐм производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Получим
.
Отметим на числовой оси полученные корни, также точку, в которой производная не
существует, это х = 0. И далее определим знаки производной функции на полученных
интервалах.
Подставляем значения из интервалов в найденную производную:
Изобразим на рисунке поведение функции:
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
В точке
34
Александр Крутицких
производная меняет знак с отрицательного на положительный, значит
это искомая точка минимума.
Ответ: 5
7. Найдите точку максимума функции
.
По свойству логарифма выражение стоящее под его знаком больше нуля, то есть
Функцию будем рассматривать на интервале
.
. Найдѐм производную заданной
функции:
Найдем нули производной:
Решая квадратное уравнение, получим:
Определим знаки производной функции на интервалах подставляя любые значения из
них в найденную производную и изобразим на рисунке поведение функции:
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
В точке
35
Александр Крутицких
функция меняет знак с положительного на отрицательный, значит это
искомая точка максимума.
Ответ:
При решении следующих заданий важно знать!
Точки экстремума (максимума-минимума) квадратичной функции и сложной функции,
в которую входит квадратный трѐхчлен совпадают. Поэтому можно искать точки
максимума (минимума) для квадратного трехчлена, а не для данной функции.
Также вспомним, что абсциссой вершины параболы квадратичной функции
является
8. Найдите точку максимума функции
.
Под корнем квадратный трѐхчлен
Графиком является парабола, еѐ ветви направлены вниз, поскольку
.
Значит максимальное значение функция приобретает в точке:
Данная точка является точкой максимума и для данной в условии функции.
Ответ:
9. Найдите наименьшее значение функции
Под корнем квадратный трѐхчлен
.
.
Графиком является парабола, еѐ ветви направлены вверх поскольку
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
.
36
www.matematikalegko.ru
Александр Крутицких
Вершина параболы:
Так как ветви параболы направлены вверх, то в точке х = 3 функция
,
а значит и данная в условии функция принимает наименьшее значение. Вычисляем его:
Ответ: 2
10. Найдите наименьшее значение функции
.
Покажем способ перебора.
Подставим в функцию значения
от
и вычислим:
Видно, что до точки х = 3 функция убывает, далее начинает возрастать. Таким образом,
наименьшее значение функции равно 2.
*Удобно использовать когда интервал небольшой.
Ответ: 2
11. Найдите точку максимума функции
.
Под логарифмом квадратный трѐхчлен
направлены вниз, так как
. Его график парабола, ветви еѐ
. Вершина параболы:
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
37
Александр Крутицких
То есть в точке х = 1 функция у = 2 + 2х – х2 приобретѐт максимальное значение,
значит и у = log2(2 + 2х – х2) – 2 в этой точке так же будет иметь максимальное
значение.
Ответ: 1
12. Найдите наименьшее значение функции
Под знаком логарифма находится квадратный трѐхчлен
парабола, еѐ ветви направлены вверх поскольку
. График —
. Вершина параболы:
Таким образом, в точке х=3 функция у=х2–6х+10 принимает наименьшее значение,
значит и данная в условии функция в этой точке также будет иметь наименьшее
значение
Ответ: 2
13. Найдите точку максимума функции
.
В показателе стоит квадратный трѐхчлен
.
График — парабола, еѐ ветви направлены вниз, так как
.
Вершина параболы:
То есть в точке х = 3 функция
значит и функция
приобретѐт максимальное значение,
в этой точке также будет иметь максимальное значение.
Ответ: 3
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
38
www.matematikalegko.ru
Александр Крутицких
14. Найдите наименьшее значение функции
.
В показателе стоит квадратный трѐхчлен
направлены вверх, поскольку
. Вершина параболы:
То есть в точке х = –1 функция
значит и функция
. График — парабола, еѐ ветви
принимает наименьшее значение,
в этой точке также будет иметь наименьшее значение.
Вычислим его
Ответ: 16
*Конечно, в указанных выше примерах можно использовать стандартный алгоритм для
решения, но в этом случае на вычисление уйдѐт неоправданно много времени.
Посмотрите эту статью, в которой приведѐн такой пример и вы убедитесь в этом.
15. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке
Так как интервал не большой, то можно обойтись без вычисления производной.
Подставим целые значения из отрезка
Наименьшее значение функции
в функцию и вычислим:
.
Ответ:
16. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
.
Так как интервал не большой, то можно обойтись без вычисления производной.
Подставим значения 1, 2 и 3 в функцию и вычислим:
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
www.matematikalegko.ru
39
Александр Крутицких
Наибольшее значение функции равно 5.
Ответ: 5
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»
40
www.matematikalegko.ru
Александр Крутицких
Рекомендую!
Список сайтов по другим предметам:
Подготовка к экзамену по русскому языку
Подготовка к экзамену по литературе
Подготовка к экзамену по химии
Подготовка к экзамену по истории и обществознанию
Подготовка к экзамену по биологии
Бесплатные материалы для подготовки по математике:
Сайт Яковлева Игоря Вячеславовича здесь.
Материалы ЕГЭ-Судии на этой странице.
Сайт Александра Ларина.
Платные курсы
Посмотреть подробнее
Учитесь с удовольствием!
Успеха Вам во всех начинаниях!
С уважением, Александр Крутицких.
http://matematikalegko.ru
matematikalegko@mail.ru
«Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике»