федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ»
(РУДН)
Инженерная академия
Институт космических технологий
Направление: 27.03.04 "Управление в технических системах"
Профиль: "Информационные технологии в управлении"
ОТЧЕТ №1
“Моделирование линейных динамических систем”
Группа ИУСбд-01-16
Студентка Ауль Маргарита Александровна
Москва, 2019
Введение
Лабораторная работа по моделированию линейных динамических
систем выполняется после того, как необходимый материал рассмотрен на
лекциях для того, чтобы проанализировать системы управления во
временной области.
Цель
Ознакомление с пакетом прикладных программ SIMULINK и
основными приемами моделирования линейных динамических систем.
Теоретическая часть
Математическая модель линейной стационарной системы может быть
представлена в виде скалярного дифференциального уравнения n-го порядка
(модель вход-выход) или в виде системы из n дифференциальных уравнений
1- го порядка (модель вход-состояние-выход). Модель вход-выход имеет вид
y (n) + a𝑛−1 y (n−1) +. . . +a1 y (1) + a0 y = b𝑚 u(m) +. . . +b1 u(1) + b0 ,
(1.1)
где y — выходная переменная, u — входной сигнал, n — порядок системы, m
— порядок производной выходной переменной, в явном виде зависящей от u
(m n), aj, bj — постоянные коэффициенты. При условии, что m n, модель
вход-состояние-выход может быть представлена в виде
𝑥1̇ = 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 + 𝑏1 𝑢
𝑥2̇ = 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 + 𝑏2 𝑢,
.
.
.
𝑥𝑛̇ = 𝑎𝑛1 𝑥1 + 𝑎𝑛2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 + 𝑏𝑛 𝑢
{
𝑦 = 𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥𝑛 ,
(1.2)
где xj — координаты вектора состояния, ij и j — постоянные
коэффициенты. С использованием обозначений
𝑎11
𝐴 = |𝑎21.
..
𝑎𝑛1
𝑎11
𝑎22.
𝑎𝑛2
..
…
…
…
𝑏1
𝑎1𝑛
𝑐1
𝑥1
𝑎2𝑛. | , 𝐵 = |𝑏2. | , 𝐶 𝑇 = |𝑐2. | , 𝑥 = |𝑥2. |
..
..
..
..
𝑐𝑛
𝑎𝑛𝑛
𝑥𝑛
𝑏𝑛
система (1.2) может быть представлена в компактной векторно-матричной
форме
𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢,
{
𝑦 = 𝐶𝑥,
(1.2а)
где А — n n матрица постоянных коэффициентов, B — n 1 векторстолбец постоянных коэффициентов, С — 1 n вектор-строка постоянных
коэффициентов, а x — n-мерный вектор состояния.
Напомним, что решением дифференциального уравнения (1.1) является
функция времени y(t) (или вектор-функция x(t)), обращающая данное
уравнение (систему) в тождество и удовлетворяющая заданным начальным
условиям. Для дифференциального уравнения (1.1) начальные условия
накладываются на переменную y и ее производные до (n 1)-го порядка
включительно:
y (J) (0) = y𝑗0 ,
j 0, 1,…,n 1,
а для системы (1.2) — на координаты вектора состояния:
x𝑗 (0) = x𝑗0 ,
j 0, 1,…,n.
Особо отметим, что в теории управления под начальными условиями
понимают условия, которые существовали до момента приложения входного
сигнала.
С помощью блоков элементарных
операций — интегратора, сумматора
и блока усиления (см. рис.1.1) — могут
быть составлены схемы моделирования уравнений (1.1) и (1.2). Указанные
блоки легко реализуются физически (например, в виде электронных схем на
основе операционных усилителей) и составляют элементную базу
аналоговых вычислительных машин (АВМ).
Для составления схемы моделирования дифференциальных уравнений
(1.2) необходимо использовать n интеграторов (число интеграторов
определяется числом дифференциальных уравнений). При этом полагается,
что на выходе j-го интегратора действует величина xj, а на его входе,
соответственно, 𝑥𝑗̇ . Далее, в соответствии со структурой правых частей
уравнений (1.2) вводятся прямые и обратные связи, формирующие сигналы
𝑥𝑗̇ .
Задание
Исследование модели вход-выход.
Параметры моделей вход-выход
Вариант
11
Порядок
3
модели n
a0
a1
a2
9
6
3
b0
b1
b2
12
2
0,1
Начальные условия модели вход-выход
̇
̈
𝑦(0) 𝑦(0)
𝑦(0)
1
0,5 0
Дифференциальные уравнения
𝑦⃛ + 3𝑦̈ + 6𝑦̇ + 9y = 0.1ü + 2u̇ + 12u
𝑑
𝑠=
𝑑𝑡
𝑠 3 𝑦 + 3𝑠 2 𝑦 + 6𝑠𝑦 + 9𝑦 = 0.1𝑠 2 𝑢 + 2𝑠𝑢 + 12𝑢
𝑠 3 𝑦 = −3𝑠 2 𝑦 − 9𝑦 + 0.1𝑠 2 𝑢 + 2𝑠𝑢 + 12𝑢
1
1
1
𝑦 = (0.1𝑢 − 3𝑦) + 2 (2𝑢 − 6𝑦) + 3 (12𝑢 − 9𝑦)
𝑠
𝑠
𝑠
Расчет параметров интегратора
𝑧1 = 𝑦 𝑧1 (0) = 𝑦(0) = 𝟏
𝑦̇ = 𝑧1̇ = 𝑧2 + 0.1𝑢 − 3𝑦
𝑧2 (0) = 𝑦̇ (0) − 0.1𝑢(0) + 3𝑦(0) = 0.5 − 0 + 3 = 𝟑. 𝟓
𝑧2̇ = 𝑧3 − 2𝑢 + 6𝑦
𝑧3 = 𝑧2̇ − 2𝑢 + 6𝑦
𝑧3 (0) = 𝑦̈ (0) − 0.1𝑢̇ (0) + 3𝑦̇ (0) − 2𝑢(0) + 6𝑦(0) = 0 − 0 + 1.5 − 0 + 6 = 𝟕. 𝟓
Схема моделирования
a)
б)
в)
Графики моделирования
а)
б)
в)
Исследование модели вход-состояние-выход
Значения матриц A, В и C
0
1
0
1
𝐴=|
| , 𝐵 = | | , 𝐶𝑇 = | |
−6 −1,5
6
0
𝑥1̇ = 𝑥2
{𝑥2̇ = −6𝑥1 − 1.5𝑥2 + 6𝑢
𝑦 = 𝑥1
Схемы моделирования
а)
б)
в)
Результаты моделирования
а)
б)
в)
Заключение
В итоге, с помощью этой лабораторной я ознакомилась с пакетом
прикладных программ SIMULINK и основными приемами моделирования
линейных динамических систем. Пакет программ SIMULINK позволяет
легко решать задачи моделирования процессов, происходящих в системах
автоматического управления. Вне зависимости от вида представления
математической модели системы, построение структурной схемы системы
позволяет при помощи программы отмоделировать процессы, происходящие
в системе.
