«Введение в механику деформированного
твёрдого тела»
Элементы тензорной
алгебры
Юрий Викторович Петров
профессор
1
Тензор второго ранга
Определение 1: Тензор 2-го ранга это геометрический или физический объект, который инвариантен
по отношению к системе координат. В конкретной прямоугольной декартовой системе координат
x1(1) , x 2(1) , x 3(1) он может быть представлен в виде квадратной матрицы,
æ e11 e12
ç
{eij }= ç e21 e22
çe
è 31 e32
e13 ö
÷
e23 ÷
e33 ÷ø
компоненты которой при переходе от одной такой системы к другой меняются по следующему правилу:
(2 )
(1)
eij = cip c jq e pq
2
(2 )
(1)
c
, где ij матрица перехода, связывающая базисы: x k = cik x i
Специальные символы аппарата
тензорной алгебры
Определение 2: Символ Леви-Чевита
ì1, (ijk ) = (123), (231), (312)
ï
Эijk = í0, i = j Ù j = k Ù k = i
ï- 1, в остальных случаях
î
Определение 3: Символ Кронекера
d ijk
3
ì1, i = j
=í
î0, i ¹ j
Правило Эйнштейна
Для сокращения записи подразумевается, что суммирование производиться
по повторяющимся индексам, при этом знак суммы не пишется, например:
3
åx y
i =1
4
i
i
= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 = xi yi
Свойства определителя
Рассмотрим квадратную матрицу 3x3:
æ a11 a12
ç
{aij } = ç a21 a22
ça
è 31 a32
a13 ö
÷
a23 ÷
a33 ÷ø
Определитель матрицы равен:
det{aij } = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 - a13a22 a31 - a11a23a32 - a12 a21a33
5
Свойства определителя
Краткая запись выражения для вычисления определителя
det{aij } = Эijk a1i a2 j a3k
Эlmn det{aij } = Эijk ali amj ank
Транспонирование матрицы не меняет значение определителя
Эlmn det{aij } = Эijk ail a jm akn
6
Скалярное и векторное произведение
Введём определение скалярного и векторного произведения
!
!
в тензорной форме для векторов a = {a1; a2 ; a3 } и b = {b1; b2 ; b3 }
Скалярное произведение:
3
! !
a × b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = å ai bi = ai bi
i =1
Векторное произведение:
7
! !
!
a ´ b = Эkij ai b j ek
Скалярное и векторное произведение
Покажем, что определения скалярного и векторного произведений
соответствуют известным ещё со школы определениям:
Скалярное произведение:
! ! ! !
! !
a × b =| a || b | cos a , b
! ! !
Векторное произведение: a ´ b = c :
! !
! !
• c ^ a и !c ^ b !
! !
!
• | c |=| a || b | sin a , b
! ! !
• a , b , c образуют правую тройку
( )
( )
x2
b2
!
b
!
a
b1
a1
! !
Рассмотрим систему координат в которой, вектора a и b лежат
!
a
в координатной
плоскости
и
вектор
со
направлен
с
осью
:
x
0
x
x
1
1
2
!
!
a = {a1;0;0} и b = {b1 ; b2 ;0}.
8
x1
Скалярное и векторное произведение
! b
! ! ! !
! !
Скалярное произведение: a × b =| a || b | cos a , b = a1 | b | × !1 = a1b1 = a1b1 + 0b2 = ai bi
|b |
Векторное произведение:
( )
•
•
x2
b2
æ ai ak = ak ai ö
! !
! !
! !
÷ = 0 Û c ^ a , аналогично c ^ b
c × a = Эkij ak ai b j = çç
÷
Э
=
Э
kji ø
è ijk
! b
! ! !
! !
!
2
| c |=| a || b | cos a , b = a1 | b | × ! = a1b2 = a1b2 - 0b1 = Эijk ai bi ek
|b |
( )
!
b
!
a
b1
• Вектора образуют правую тройку, когда смешанное произведение строго больше нуля.
! ! ! ! ! ! 2
a ´ b × c = c × c =| c | > 0
Замечание: Согласно определению скалярного и векторного произведения легко заметить, что
• Модуль скалярного произведения векторов равен произведению модуля одного вектора
на проекцию второго вектора на направление первого вектора.
• Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
• Модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.
9
a1
x1
«Введение в механику деформированного
твёрдого тела»
Деформация
сплошных сред
Юрий Викторович Петров
профессор
10
Изменение элементарного объема
при деформации
Рассмотрим координатное преобразование:
xi = xi (a1 , a 2 , a3 ),
i = 1,2,3
Оно может быть истолковано, как изменение координат точек сплошной среды
при деформации. Тогда дифференциалы координат будут связаны следующим
соотношением:
¶xi
dxi =
da j , i = 1,2,3
¶a j
(повторяющийся индекс j подразумевает суммирование!)
11
Изменение элементарного объема
при деформации
! ( 3)
da
! ( 3)
dx
dV0
! (1)
da
dV
Деформация
! ( 2)
dx
! ( 2)
da
! (1)
dx
! (1) ! ( 2) ! (3)
Пусть до деформации дифференциалы векторов da , da , da определяли
некоторый элементарный объём:
! (1)
! ( 2 ) ! ( 3)
! (1) ! ( 2 ) ! ( 3)
dV0 = da × (da ´ da ) = (da , da , da ) =
12
æ da
ç
= detç da
ç da
è
(1)
1
( 2)
1
( 3)
1
(1)
2
( 2)
2
( 3)
2
da
da
da
(1)
3
( 2)
3
( 3)
3
da
da
da
ö
÷
(1)
( 2)
( 3)
÷ = Эijk dai da j da k
÷
ø
Изменение элементарного объема
при деформации
После деформации этот объём переходит в «новый» элементарный объём,
! (1) ! ( 2) ! (3)
построенный на дифференциалах dx , dx , dx
! (1) ! ( 2 ) ! ( 3)
! (1) ! ( 2) ! (3)
dV = dx × (dx ´ dx ) = (dx , dx , dx ) =
æ dx1(1)
ç ( 2)
= detç dx1
ç dx ( 3)
è 1
= Эlmn
13
dx2(1)
dx2( 2)
( 3)
dx2
dx3(1) ö
÷
dx3( 2 ) ÷ = Эlmn dxl(1) dxm( 2 ) dxn(3) =
( 3) ÷
dx3 ø
æ x ö (1) ( 2 ) ( 3)
¶xl ¶xm ¶xn (1) ( 2 ) (3)
dai da j da k = Эijk J çç ÷÷dai da j da k
¶ai ¶a j ¶ak
èaø
Изменение элементарного объема
при деформации
ì
ï ¶xi ü
ï
í
ý матрица Якоби, а определитель матрицы (Якобиан) может быть равен:
ï
î ¶a j ï
þ
ì
æ xö
¶x1 ¶x2 ¶x3
ï ¶xi ü
ï
J çç ÷÷ = det í
ý = Эijk
¶ai ¶a j ¶ak
ï
èaø
î ¶a j ï
þ
или
æ xö
¶xl ¶xm ¶xn
¶xi ¶x j ¶xk
Эlmn J çç ÷÷ = Эijk
= Эijk
¶ai ¶a j ¶ak
¶al ¶am ¶an
èaø
14
Изменение элементарного объема
при деформации
Сравнивая выражения для «старого» и «нового» элементарных объёмов получаем, что
æ xö
dV = J çç ÷÷ = dV0
èaø
или
æ x ö dV
J çç ÷÷ =
è a ø dV0
Таким образом, Якобиан характеризует относительное изменение объёма,
данное соотношение уже встречалось в математическом анализе при переходе
к новым координатам под знаком интеграла.
15
«Введение в механику деформированного
твёрдого тела»
Тензоры деформации.
Связь компонент тензора деформации
Грина и Альманси с вектором перемещений
Юрий Викторович Петров
профессор
16
Тензоры деформации Грина и Альманси
Рассмотрим, как преобразуются элементарные волокна сплошной
среды: dS 0 элементарное волокно до деформации, а dS – после
деформации определены в некоторой Декартовой системе
координат x1 , x 2 , x3 .
x3
dS 0
dS
x2
x1
17
Тензоры деформации Грина и Альманси
Определение 1: Тензором деформации Грина называется тензор 2-го ранга g :
dS 0
2
2
: dS 0 = dxi dxi
dS - dS 0 = 2g ij dxi dx j , гдe dx i это дифференциалы волокна
Определение 2: Тензором деформации Альманси называется тензор 2-го ранга
dS 2 - dS02 = 2e ij dxi dx j , гдe dx i это дифференциалы волокна dS :dS = dxi dxi
Замечание: Стоит отметить, что тензоры Грина и Альманси абсолютно разные:
Пусть dx1 = dS 0 , тогда
dS 2 - dS 02
2g ij =
2
dS 0
или
dS - dS
Пусть dx1 = dS , тогда 2e ij =
2
dS
2
18
2
0
e
:
Связь компонент тензора деформации Грина
с вектором перемещения точек среды
!
u задаёт перемещения точек среду в результате, тогда связь между
Пусть вектор
координатами точек до и после деформации можно записать в виде:
xi = ai + ui (a1 , a2 , a3 ), i = 1,2,3
В этом случае дифференциалов координат будут связаны следующим
выражением:
æ
ö
¶
u
i
÷da j , i = 1,2,3
dxi = ç d ij +
ç
÷
¶
a
j ø
è
æ xö
Также Якобиан J çç ÷÷ ¹ 0 , тогда определено взаимно однозначное
èaø
соответствие {dai } « {dxi }
19
Связь компонент тензора деформации Грина
с вектором перемещения точек среды
x3
dS 0
!
u (M1 )
0
1
M 1 ( x + dx , x + dx , x + dx )
0
1
dS
x2
20
0
3
M (x , x , x )
!
u (M )
x1
0
2
0
1
0
2
0
2
0
3
0
3
Связь компонент тензора деформации Грина
с вектором перемещения точек среды
Рассмотрим:
æ
¶un öæç
¶un ö÷
÷÷ d nj +
dS - dS = dxn dxn - dan dan = çç d ni +
dai da j - dan dan =
ç
÷
¶
a
¶
a
i øè
j ø
è
2
2
0
æ
ö
¶
u
¶
u
¶
u
¶
u
= ç d nid nj + d ni n + d nj n + n n ÷dai da j - dan dan =
ç
÷
¶
a
¶
a
¶
a
¶
a
j
i
i
j ø
è
æ ¶un
ö
¶
u
¶
u
¶
u
= d nid nj dai da j + ç d ni
+ d nj n + n n ÷dai da j - dan dan =
ç ¶a
÷
¶
a
¶
a
¶
a
j
i
i
j ø
è
21
Связь компонент тензора деформации Грина
с вектором перемещения точек среды
Слагаемые с символами Кронекера обнуляются, в случае,
если n ¹ i или n ¹ j, поэтому
получаем следующее выражение:
æ ¶ui ¶u j ¶un ¶un ö
æ ¶ui ¶u j ¶un ¶un ö
÷dai da j - dan dan = ç
÷dai da j
= dan dan + ç
+
+
+
+
ç ¶a
÷
ç ¶a
÷
¶
a
¶
a
¶
a
¶
a
¶
a
¶
a
i
i
j ø
i
i
j ø
è j
è j
Таким образом, сравнивая получившееся выражение
с определением тензора Грина получаем связь его
компонент с вектором перемещений:
1 æç ¶ui ¶u j ¶un ¶un ö÷
g ij = ç
+
+
2 è ¶a j ¶ai ¶ai ¶a j ÷ø
22
Связь компонент тензора деформации Альманси
с вектором перемещения точек среды
æ xö
Поскольку якобиан для координатного преобразования J çç ÷÷ ¹ 0 и есть однозначная
èaø
взаимосвязь между точками среды, поэтому аналогичные рассуждения позволяют
получить выражения для компонент тензора Альманси:
1 æç ¶ui ¶u j ¶un ¶un ö÷
e ij = ç
+
2 è ¶a j ¶ai ¶ai ¶a j ÷ø
Замечание: Минус появляется так как в этом случае следующая связь между
координатами: ai = xi - ui (a1 , a2 , a3 ), i = 1,2,3
æ
ö
¶
u
и dаi = ç d ij - i ÷dx j , i = 1,2,3
ç
÷
¶
x
j ø
è
23
«Введение в механику деформированного
твёрдого тела»
Геометрический смысл диагональных
компонент тензоров деформации
Грина и Альманаси
Юрий Викторович Петров
профессор
24
Диагональные компоненты тензора Грина
Не умоляя общности сперва возьмём компоненту
g 11
a3
По определению тензора Грина dS 2 - dS 02 = 2g ij dai da j
Пусть dS 0 = da1 , тогда:
dS 0
dS 2 - dS 02 = 2g 11da1da1 Û dS 2 - dS 02 = 2g 11dS 02 Û
a1
dS 2 - dS 02
dS - dS 0 dS + dS 0
Û
= 2g 11 Û
= 2g 11 Û
2
dS 0
dS 0
dS 0
ö
dS - dS 0 dS + dS 0 - dS 0 + dS 0
dS - dS 0 æ dS - dS 0
çç
Û
= 2g 11 Û
+ 2 ÷÷ = 2g 11.
dS 0
dS 0
dS 0 è dS 0
ø
25
a2
Диагональные компоненты тензора Грина
Определение 1: Относительного удлинения в направлении оси a1 :
dS - dS 0
Ea1 =
dS 0
Замечание: Сразу стоит отметить, что в силу определения E a1 > -1
(
)
В новых обозначениях получаем: Ea1 Ea1 + 2 = 2g 11 . Тогда E a1 будет корнем
квадратного уравнения
(E ) + 2E
2
a1
a1
- 2g 11 = 0 Þ Ea1 = -1 + 1 + 2g 11
Корень Ea1 = -1 - 1 + 2g 11 не подходит условию
26
Диагональные компоненты тензора Грина
Замечание: Для малых удлинений Ea1 << 1 в уравнении
(E ) + 2E
2
a1
( )
- 2g 11 = 0 можно пренебречь Ea1 , как членом более
2
a1
высокого порядка малости, тогда:
E a1 » g 11
27
Диагональные компоненты тензора Альманси
Аналогичные рассуждения для тензора Альманси позволяют получить следующие соотношения:
dS - dS 0
E x1 =
Þ E x1 = 1 - 1 - 2e 11
dS 0
и для малых деформаций:
E x1 » e 11
28
«Введение в механику деформированного
твёрдого тела»
Геометрический смысл сдвиговых
компонент тензоров деформации
Грина и Альманаси
Юрий Викторович Петров
профессор
29
Сдвиговые (недиагональные)
компоненты тензора Грина
Рассмотрим компоненту
g.12
!0 !0
Пусть орты координатных осей до деформации i1 ,i2 образовывали
прямой угол.
После деформации (в нашем понимании при координатном
преобразовании xi = ai + ui (a1 , a2 , a3 ), i = 1,2,3)
! !
они переходят в орты i1 , i2.
!0
i2
!0
i1
30
!
i2
!
i1
Сдвиговые (недиагональные)
компоненты тензора Грина
Определим
! !через скалярное произведение косинус угла между
ортами i1 , i2 после деформации:
! !
cos(i1 , i2 ) =
31
æ
¶ui öæ
¶ui ö
çç d i1 +
÷÷çç d i 2 +
÷÷
¶a1 øè
¶a2 ø
è
2
2
æ ¶u1 ö æ ¶u 2 ö æ ¶u3 ö
çç1 +
÷÷ + çç
÷÷ + çç
÷÷
è ¶a1 ø è ¶a1 ø è ¶a1 ø
2
2
2
æ ¶u1 ö æ ¶u 2 ö æ ¶u3 ö
çç
÷÷ + çç1 +
÷÷ + çç
÷÷
è ¶a2 ø è ¶a2 ø è ¶a2 ø
2
Сдвиговые (недиагональные)
компоненты тензора Грина
Рассмотрим по отдельности числитель и подкоренные выражения из знаменателя
в последнем равенстве:
æ
¶ui öæ
¶ui ö
¶ui
¶ui ¶ui ¶ui
çç d i1 +
÷÷çç d i 2 +
÷÷ = d i1d i 2 + d i1
+ di2
+
=
¶a1 øè
¶a2 ø
¶a2
¶a1 ¶a1 ¶a2
è
¶u1 ¶u2 ¶ui ¶ui
=
+
+
= 2g 12
¶a2 ¶a1 ¶a1 ¶a2
2
2
2
2
2
æ ¶u1 ö æ ¶u2 ö æ ¶u3 ö
¶u1
çç1 +
÷÷ + çç
÷÷ + çç
÷÷ = 1 + 2
¶a1
è ¶a1 ø è ¶a1 ø è ¶a1 ø
2
2
2
2
2
æ ¶u1 ö æ ¶u2 ö æ ¶u3 ö
÷÷ + çç
÷÷ + çç
÷÷ = 1 + 2g 11
+ çç
è ¶a1 ø è ¶a1 ø è ¶a1 ø
2
2
æ ¶u1 ö æ ¶u2 ö æ ¶u3 ö æ ¶u1 ö
¶u2 æ ¶u2 ö æ ¶u3 ö
çç
÷÷ + çç1 +
÷÷ + çç
÷÷ = çç
÷÷ + 1 + 2
÷÷ + çç
÷÷ = 1 + 2g 22
+ çç
¶a2 è ¶a1 ø è ¶a1 ø
è ¶a1 ø è ¶a1 ø è ¶a1 ø è ¶a1 ø
32
Сдвиговые (недиагональные)
компоненты тензора Грина
! !
Таким образом: cos(i1 , i2 ) =
j12 =
p
2
2g 12
1 + 2g 11 1 + 2g 22
! !
- i1 , i2 величина, на которую изменился прямой угол в результате деформации
(
)
! !
sin j12 = cos(i1 , i2 ) =
2g 12
1 + 2g 11 1 + 2g 22
В случае малых деформаций g 11 << 1, g 22 << 1, g 12 << 1:
j12 » 2g 12
33
Сдвиговые (недиагональные)
компоненты тензора Альманси
Аналогичные выражения можно получить для компонент тензора
Альманси:
! !
sin j12 = cos(i1 , i2 ) =
2e12
1 + 2e11 1 + 2e 22
В случае малых деформаций e11 << 1, e 22 << 1, e12 << 1:
j12 » 2e12
Заключение: Сдвиговые компоненты тензора деформации обозначают
изменения углов между волокнами среды.
34
«Введение в механику деформированного
твёрдого тела»
Линеаризация компонент тензоров
деформации Грина и Альманси. Переход
к линейной теории
Юрий Викторович Петров
профессор
35
Переход к линейной теории
Большинство материалов, использующихся в технике и строительстве, сохраняют упругие только
при очень малых удлинениях и сдвигах. Поэтому, как было отмечено ранее, компоненты тензора
.
деформации
Грина можно отождествить с соответствующими удлинениями и сдвигами:
E x1 » g 11 ; E x2 » g 22 ; E x3 » g 33
j12 » 2g 12 ; j 23 » 2g 23 ; j 31 » 2g 31 .
При этом стоит отметить, что сами выражения для компонент тензора Грина остаются нелинейными:
1 æç ¶ui ¶u j ¶un ¶un ö÷
g ij = ç
+
+
2 è ¶a j ¶ai ¶ai ¶a j ÷ø
36
Вектор поворота и линеаризованный
тензор деформаций
Поэтому рассмотрим случай, когда малы не только деформации, но и компоненты
вектора поворота:
!
!
1
Определение 1: Вектор поворота w = rot u :
2
1 æ ¶u2 ¶u1 ö
÷÷ , (1 « 2 « 3).
w3 = çç
2 è ¶a1 ¶a2 ø
Определение 2: Линеаризованный тензор деформации:
1 æç ¶ui ¶u j ö÷
eij =
+
2 çè ¶a j ¶ai ÷ø
37
Линеаризация тензора деформации Грина
Выразим частные производные от перемещений через компоненты вектора
поворота и линеаризованного тензора деформаций:
¶u1
= e11
¶a1
¶u2
= e12 + w3
¶a1
¶u1
= e12 - w3
¶a2
(1 « 2 « 3)
Подставим полученные выражения в формулы для компонент тензора Грина:
[
]
1
2
2
2
(1 « 2 « 3)
g 11 = e11 + (e11 ) + (e12 + w3 ) + (e13 - w2 )
2
1
1
g 12 = e12 + [e11 (e12 - w3 ) + (e12 + w3 )e22 + (e13 - w2 )(e23 + w1 )]
2
2
38
Линеаризация тензора деформации Грина
В случае, если w k имеют такой же и более высокий порядок малости, что и eij ,
то в последнем выражении мы можем отбросить все нелинейные члены, и тогда
тензор деформации Грина будет полностью совпадать с линеаризованным
тензором деформации eij:
¶u1
g 11 » e11 =
¶a1
g 12
1
1 æ ¶u2 ¶u1 ö
÷÷
» e12 = çç
+
2
2 è ¶a1 ¶a2 ø
(1 « 2 « 3)
Легко заметить, что данные формулы будут верны и для компонент тензора деформации
Альманси. Соизмеримость малых углов поворота и малых деформаций обычно наблюдается
при рассмотрении массивных тел. То есть на практике такая линеаризации для тензора
деформаций является одной из наиболее распространённых.
39
Линеаризация тензора
деформации Грина
В случае, если eij имеют такой же и более высокий порядок малости, что и
2
то тогда величины порядка w k следует оставить:
(
1 2
2
g 11 » e11 + w2 + w3
2
1
g 12 » e12 - w1w2
2
)
wk ,
(1 « 2 « 3)
Последние соотношения отвечают случаю, когда малых деформациях и малых
поворотах вторые существенно превосходят первые. Такое поведение материала
реализуется при деформациях гибких тел таких, как стрежни, пластины и оболочки.
40
«Введение в механику деформированного
твёрдого тела»
Условия совместности
деформации Сен-Венана
Юрий Викторович Петров
профессор
41
Условия совместности
деформации Сен-Венана
В случае линейной теории упругости шесть компонент тензора деформации
выражаются через три компоненты вектора перемещений. Таким образом,
обратная задача по вычислению вектора перемещений через заданные
компоненты деформации является переопределённой.
Из допущения сплошности тела в результате деформации следует,
что перемещения в его точках должны представлять собой непрерывные
функции координат.
Продифференцируем выражения для деформаций
¶
¶a 2
2
по
¶
¶a 2
2
и
¶u1
e11 =
¶a1
соответственно а затем сложим:
и
¶u 2
e22 =
¶a2
¶ e11 ¶ e22
¶ u2
¶ u1
¶ æ ¶u1 ¶u2 ö
¶ e12
ç
÷
+
=
+
=
+
=
2
2
2
2
2
ç
÷
¶a2
¶a1
¶a2¶a1 ¶a1¶a2 ¶a1¶a2 è ¶a2 ¶a1 ø
¶a1¶a2
2
42
2
3
3
2
2
Условия совместности
деформации Сен-Венана
Также продифференцируем сдвиговые компоненты тензора малых деформаций
по соответствующим координатам, а затем первые два сложим, а третье вычтем:
¶e12 ¶e23 ¶e31
+
=
¶a3 ¶a1 ¶a2
¶ u3
¶ u3
¶ u1
¶ u2
¶ u2
¶ u1
¶ u2
=
+
+
+
=2
¶a2¶a3 ¶a1¶a3 ¶a3¶a1 ¶a2¶a1 ¶a3¶a2 ¶a1¶a2
¶a1¶a3
2
2
2
2
2
2
¶
Продифференцируем по обе части последнего равенства по:
¶a 2
¶
¶a 2
43
æ ¶e12 ¶e23 ¶e31 ö
¶ u2
¶ e22
çç
÷÷ = 2
+
=2
¶a1¶a3 ¶a 2
¶a1¶a3
è ¶a3 ¶a1 ¶a 2 ø
3
2
2
Условия совместности
деформации Сен-Венана
После круговой перестановки индексов получаем шесть уравнений
неразрывности деформаций:
¶ e11 ¶ e22
¶ e12
+
=
2
2
2
¶a2
¶a1
¶a1¶a2
2
2
2
¶ æ ¶e12 ¶e23 ¶e31 ö
¶ e22
çç
÷÷ = 2
+
¶a2 è ¶a3 ¶a1 ¶a2 ø
¶a1¶a3
2
44
(1 « 2 « 3)
Условия совместности
деформации Сен-Венана
Геометрический неразрывности деформаций можно также проиллюстрировать на следующем
примере. Если разбить тело на маленькие прямоугольные элементы и продеформировать
их по отдельности, то в случае невыполнения условий неразрывности собрать сплошное тело
из получившихся элементов невозможно.
45
46
