Системы массового обслуживания (СМО) 1 Сферы применения СМО • Системы связи в т.ч. телефонные станции • Предприятия и орг-ции сферы обслуживания (магазины, справочные бюро, парикмахерские, билетные кассы, ремонтные мастерские • Финансово-экономическая сфера (банки) • Страховые организации, налоговые инспекции, аудиторские службы • Специфические СМО (компьютерные сети, поточные производственные линии, автоматизированные произв. участки и др. СМО – теория очередей. Основоположник: Эрланг А.К., 1909 г., работа «Теория вероятностей и телефонные переговоры» 2 Элементы СМО • • • • Входящий поток заявок (требований) Очередь на обслуживание Обслуживающие каналы Выходящий поток заявок Каналы обслуживания Входящий поток заявок Очередь Выходящий поток заявок 3 Основная задача теории массового обслуживания: определение подходящего соотношения между входящим потоком заявок и числом обслуживающих каналов. Могут использоваться критерии эффективности, например, суммарные затраты, выручка и т.п. 4 Характеристика элементов СМО Входящий поток заявок. Моменты поступления заявок в систему и их кол-во - величины случайные. Простейший поток событий (закон Пуассона): Это вер.поступления за время t ровно k заявок. λ – интенсивность входящего потока 5 Очередь. Разные способы организации. Очереди в СМО может не быть (СМО с отказами). Очередь может быть ограниченной и неограниченной. Каналы. Характеризуются временем обслуживания заявки (случ. величина), кот. описывается экспоненциальным законом распределения: μ – интенсивность обслуживания - ср.время обсл. 1 каналом 1 заявки α – коэффициент загрузки системы (ср.число каналов, необходимое , чтобы обслужить все поступающие в ед.времени заявки) n – количество каналов. Если - очередь не будет расти безгранично6. Классификация СМО По числу каналов: одноканальные (n=1) и многоканальные СМО (n>1). По месту нахождения источника заявок: замкнутые СМО (ист.тр.внутри системы и к-во заявок ограничено m), разомкнутые СМО (вне системы). По условиям ожидания начала обслуживания: с отказами и с ожиданием. СМО с ожиданием могут быть: с ограниченной длиной очереди или с ограниченным временем ожидания. 7 Одноканальные СМО с неограниченной очередью Пример: один мастер в мастерской, одна касса. - должно выполняться. Состояния системы: Вычисляют - финальные вероятности (свершения событий . ), на их основе – характеристики работы СМО. 8 Одноканальные СМО с неограниченной очередью Эффективность работы СМО оценивают по характеристикам: 1)Ср.число заявок в системе: 2)Ср.число заявок в очереди: 3)Ср.время пребывания заявки в системе: 4)Ср.время пребывания заявки в очереди: 9 Многоканальные СМО с неограниченной очередью Пусть n>1 и . Состояния системы: Финальные вероятности: - очереди нет - r заявок в очереди 10 Многоканальные СМО с неограниченной очередью Характеристики работы СМО : 1)Ср.число заявок в очереди: 2)Ср.число занятых каналов: 3)Ср.число заявок в системе: 4)Ср.время пребывания заявки в системе: 5)Ср.время пребывания заявки в очереди: 11 Пример 1. Ж/д касса имеет два окна, продающих билеты на все направления. Пусть поток пассажиров составляет 0,45 пас/мин в каждое окно. На обслуживание 1-го пас. кассир тратит в среднем 2 мин. Оценить работу кассы. Решение. Имеем: - В ср. 5,26% рабочего времени обе кассы свободны - В ср. в очереди в обе кассы - В ср. в системе 12 Пример 2. Пусть кассы специализированные. Остальное условие – то же. Имеем две одноканальные СМО: - Суммарная длина очереди Вывод: при переходе на специализированную систему обслуживания суммарная длина очереди и время пребывания в очереди увеличатся примерно в 2 раза. 13 Одноканальные СМО с ограниченной очередью n=1, m – количество мест в очереди Многоканальные СМО с ограниченной очередью Пример. Автомойка: n мест для мойки, m мест для ожидания в очереди. 14 Одноканальные СМО с отказами n=1, Многоканальные СМО с отказами n>1, Пример. Телефонная справочная служба: занято – отказ. 15 16 Замкнутые СМО n=1, или n>1, Пример. Бригада рабочих обслуживает работу станковавтоматов. 17 Финальные вероятности Ср.длина очереди Ср.число заявок в системе Коэф.простоя станка Ср.число занятых каналов Коэф.простоя рабочего 18 19 Ср.длина очереди Ср.число заявок в системе Ср.число занятых каналов Коэф.простоя станка Коэф.простоя рабочего 20 Реализация в Excel Средняя длина очереди составляет примерно 0,5 станков. В среднем 40% рабочего времени станок простаивает (в системе), а рабочий в среднем простаивает 28% рабочего времени. 21 Чтобы станки меньше простаивали и выпускали продукцию можно добавить 1-го рабочего. Очередь практически отсутствует. В среднем 29% рабочего времени каждый станок простаивает, а рабочий в среднем простаивает 57% рабочего времени. Выбор варианта остается за ЛПР. 22 Пример 4-х канальной замкнутой СМО 23
