ВАРИАНТ № 9 Задача. Проводятся мероприятия по предотвращению преступлений двух категорий: «1 категория» и «2 категория». Для предотвращения преступлений используются мероприятия (ресурсы) двух видов: А и В. Расходы ресурсов А и В на предотвращение одного преступления каждой категории, запасы ресурсов и эффективность мероприятий (эффект от предотвращения одного преступления, например в баллах) приведены в таблице 1. Таблица 1 Ресурсы Расход ресурсов на одно меропр Запасы 1 категория 2 категория ресурсов Ресурс А 1 2 4 Ресурс В 3 1 3 Количество мероприятий Эффективность мероприятий x1 x2 2(балла) 1,5(балла) Выяснить, какое количество мероприятий каждого вида надо осуществить (составить оптимальный план мероприятий), чтобы добиться максимальной эффективности в борьбе с преступлениями, т.е. чтобы результаты мероприятий оценивались максимальным количеством баллов. Задание. 1. Составить математическую модель задачи. 2. Решить задачу в Excel. Решение 1 часть. Составить математическую модель задачи. Для составления математической модели задачи прежде всего введём переменные (неизвестные) задачи: x1 - количество мероприятий для предотвращения преступлений 1-й категории, а x2 - количество мероприятий для предотвращения преступлений 2-й категории. Ограниченность запасов ресурсов приводит к ограничениям на x1 и x2 : ограничения на расход ресурса А x1 2 x2 4 , ограничения на расход ресурса В 3 x1 x2 3. Кроме того, x1 , x2 0 . Качество решения задачи определяется с помощью целевой функции задачи Z ( x1 , x2 ) - функции, определяющей эффективности в борьбе с преступлениями, т.е. чтобы результаты мероприятий оценивались максимальным количеством баллов: Z 2 x1 1,5 x2 . Задача об определении оптимального плана мероприятий свелась к следующей математической задаче: найти вектор (x1 , x2 ) (план мероприятий), координаты которого удовлетворяют системе ограничений x1 2 x2 4 3 x 1 x2 3 и условиям неотрицательности x1 , x2 0 , который доставляет максимум целевой функции Z 2 x1 x2 . Эту математическую задачу принято записывать в виде Z 2 x1 x2 → max (1) x1 2 x2 4 (2) 3 x1 x2 3 x1 , x2 0 . (3) и называть математической моделью данной производственной задачи. Подобные задачи называются задачами линейного программирования. Они изучаются в разделе математики, называемом математическим программированием. Так как переменные x1 и x2 входят в систему ограничений (2) и целевую функцию Z (1) линейно, то эту задачу математического программирования называют задачей линейного программирования. Множество точек декартовой плоскости (x1 , x2 ) , координаты которых удовлетворяют системе ограничений (2) и условиям неотрицательности (3), называется областью допустимых решений задачи линейного программирования(областью допустимых планов). В данной задаче она представляет собой выпуклый четырёхугольник. Значения x1* и x2* из области допустимых планов, при которых Z принимает наибольшее значение в этой области, называются оптимальными (оптимальный план), а соответствующее наибольшее значение Z * 2 x1*1,5 x2* является оптимальным значением. Таким образом, задача о распределении ресурсов является задачей оптимиза-ции и её математической моделью служит задача линейного программирова-ния, заключающаяся в поиске оптимального плана и оптимального значения целевой функции. Задачей оптимизации может быть поиск наименьшего значения. 2. Решение задачи в Excel.
