Дифференциальные уравнения

1
Дифференциальные уравнения
Конспекты лекций, вопросы и задачи – 2012
Прядко И.Н., Садовский Б.Н.
Литература
1. Ахмеров Р.Р., Садовский Б.Н. Очерки по ОДУ. http://www.bsadovskiy.ru
2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1984, 271с.
3. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных
уравнений. М., 1966, 332 с.
4. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1971,
312с.
5. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М., 1980, 232 с.
6. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений : [учебное пособие для физ.-мат. фак. ун-тов] / И.Г. Петровский .— М. :
Физматлит, 2009 .— 207 с. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г.Петровский. - М. : Московский университет, 1984. - 295 с.
7. Филиппов А.Ф.
Сборник задач по
дифференциальным
уравнениям /
А.Ф.Филиппов. - М.; Ижевск : 2002, 174 с.
8. Боровских А.В., Перов А.И. Лекции по обыкновенным дифференциальным
уравнениям. – Москва-Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”,
2004.-540 с.
2
1. Элементарная теория
1.1. Основные понятия и уравнения с разделяющимися переменными
1.1.1. Примеры
x3
а) y  x . Решение: y   c .
3
2
Это уравнение можно также записать «в дифференциалах»:
dy  x 2dx.
б) Замечательным свойством функции y  e x является то, что она совпадает со
своей производной; это свойство записывается в виде ОДУ
y  y ,
решениями которого, наряду с e x , будут все функции семейства y  ce x .
в) С учетом механического смысла второй производной (ускорение) уравнение
прямолинейного равноускоренного движения записывается в форме
x  a,
dx d 2 x

где x 
.
dt dt 2
Решим это дифференциальное уравнение:
at 2
x  a  x  at  c1  x 
 c1t  c2 ,
2
где c2 - координата в начальный момент c2  x(0)  x0 ,
c1 - начальная скорость c1  x(0)  v0 .
г) x  x  0 .
Решениями этого уравнения являются функции x  0, x  sin t , x  cos t.
3
Решением будет и линейная комбинация этих функций:
x  c1 sin t  c2 cos t .
д)
 2u  2u

 0.
x 2 y 2
В данном случае это частные производные по x и по y функции u  u( x, y) . Решением этого уравнения являются, например, функции u  0, u  x  y  c . Функции,
удовлетворяющие этому уравнению, называются гармоническими функциями.
е) x(t )  x(t  1) .
Решением является, например, функция x  0 .
Последние два уравнения не являются обыкновенными дифференциальными
уравнениями. д) – дифференциальное уравнение с частными производными, е) –
дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом.
Задача. Придумать как можно больше решений этого уравнения
Есть ли у этого уравнения решение вида x  t ? При каком  это возможно?
 x   x2 ,
d  x   0 1  x1 
ж)  1
или  1   
 x  .
x

x
x
1
0
dt
 2 
 2 1
 2 
 x1 (t ) 
x(t )  
 - векторная неизвестная функция.
 x2 (t ) 
Решениями этого уравнения являются функ-
0
  sin t 
 cos t 
ции x  0    , x  
,
x


 sin t  .
0
 cos t 


Общее решение этого уравнения описывается формулой:
  sin t 
 cos t 
x  c1 
 c2 

.
cos
t
sin
t




1.1.2. Определение ОДУ.
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство, связывающие значение неизвестной функции одного вещественного аргумента при
4
произвольном значении этого аргумента с некоторыми производными этой функции при том же значении аргумента.
Значения неизвестной функции могут быть векторными. Порядком ОДУ
называют сумму старших порядков производных всех скалярных функций, входящих в данное уравнение.
Замечание 1. Как отмечено при разборе примеров (а), (в), производные в ДУ
иногда выражают через дифференциалы:
dy
dx
d 2x 2
y '  , x  , dx  xdt , x  2 , d x  xdt 2 .
dx
dt
dt
Замечание 2. Систему нескольких ДУ с несколькими неизвестными функциями (см. пример (ж)) можно рассматривать как одно ДУ с векторной неизвестной функцией.
Замечание 3. Если в уравнение входят произвольные постоянные, то уравнение считается бесконечной совокупностью уравнений. Например, уравнение
x  at  c1
из примера (в) содержит параметр a и произвольную постоянную c1 ; поэтому оно
представляет бесконечную совокупность уравнений, зависящих от параметра a :
 x  at  2,
 x  at  1,

 x  at  e,

...
Её решениями являются, например, функции
at 2
at 2
x
 2t  1, x 
t 2 ,
2
2
а функция
t2
x
2
не является; она будет решением лишь для значения параметра a  1 .
5
1.1.3. Определение решения ОДУ.
Решением ОДУ называется функция, обладающая следующими свойствами:
1. Её область определения есть промежуток вещественной оси, т.е. не сводящийся к единственной точке отрезок, полуинтервал или интервал, возможно, бесконечный в одну или обе стороны.
2. При её подстановке уравнение превращается в тождество относительно независимой переменной и, если уравнение содержит дифференциалы, приращения независимой переменной.
3. Если в уравнение входят произвольные постоянные, то она должна удовлетворять уравнению при каких-нибудь значениях произвольных постоянных.
Условие 1 не всегда включается в определение решения, однако оно удобно,
так как облегчает описание множества всех решений. Например, множество всех
решений уравнения y  0 на промежутке J описывается формулой y  c . Для
множества, состоящего, скажем, из двух не пересекающихся интервалов, это уже
не справедливо.
Примеры:
x3
а) y  : yˆ ( x)  одно из решений (частное решение) уравнения «в диффе3
ренциалах» dy  x 2dx .
1. D  yˆ  
,
 x3 
2. d    x 2 dx при всех значениях x и dx .
 3
Здесь и в дальнейшем мы различаем обозначение ŷ функции и y – ее значения при (неопределенном) значении аргумента x .
б) y  e x - решение ОДУ y  y .
1. D  yˆ  
,
2.  e x   e x при всех значениях x .
6
в) Рассмотрим уравнение x  at  c1 , полученное из уравнения равноускоренного движения x  a . Здесь a - параметр, c1 - произвольная постоянная.
at 2
Функция x 
 t является решением рассматриваемого уравнения.
2
1. D  xˆ  
,
2. x  at  1 ,
3. c1 =1.
1
г) Рассмотрим уравнение x  . x  ln t - не является решением этого уравt
нения. Первое условие не выполнено, так как D  ln t    ,0    0,   .
Функции x  ln t и x  ln  t  являются решениями данного уравнения.
1.1.4. Определение следования и эквивалентности.
Если любое решение ОДУ1 удовлетворяет ОДУ2, то говорят, что ОДУ2 является
следствием ОДУ1 (ОДУ1  ОДУ2).
Рассмотрим пример:
x  x  0.
Домножив обе части на x , получим:
x x  x x  0.
Поскольку
1 dx 2
1 dx 2
, xx 
,
 2 dt
 2 dt
xx 
получаем далее:
x2 x2
d  x2  d  x2 
d  x2 x2 
  c , c - произвольная константа.
      0 ,     0,
2
2
dt  2  dt  2 
dt  2
2
(1)
7
Таким образом,
x x 0
x2 x2
  c . Верно ли обратное? Нет, так как функ2
2
1
x2 x2
ция x  1 является решением уравнения
  c с константой c  , но не яв2
2
2
ляется решением уравнения x  x  0 .
Стрелка под знаком равенства в (1) используется как обозначение того, что
равенство справедливо лишь при условии, что его правая часть определена (т.е., в
данном случае, если вторая производная существует ).
Если ОДУ1  ОДУ2 и ОДУ2  ОДУ1, то говорят, что ОДУ1 эквивалентно
ОДУ2 (ОДУ1  ОДУ2).
Пример:
1.1.5. Определение интеграла ОДУ и полного (общего) интеграла.
Если ОДУ1  ОДУ2 и порядок ОДУ1 больше порядка ОДУ2, то говорят,
что ОДУ2 есть интеграл ОДУ1.
Если при этом ОДУ2  ОДУ1, то интеграл называется полным (общим).
Часто в определении полного интеграла есть требование, чтобы порядок
ОДУ2 равнялся нулю.
Пример:
 x1  x2 ,

 x2   x1.
Умножим первое уравнение на x1 , второе – на x2 и сложим эти уравнения:
x1x1  x2 x2  0 , или x12  x22  c . Последние уравнение является интегралом исходной системы, но не эквивалентно ей. Действительно, пара функций x1  x2  1 является решением последнего уравнения, но не удовлетворяет системе.
1.1.6. Определение общего решения.
Функция x   (t , c) (возможно, векторная) от независимой переменной t и произвольной постоянной c (возможно, векторной) называется общим решением ОДУ,
если выполнены следующие условия:
1. При любом конкретном значении c она является решением этого уравнения.
8
2. Для любого решения ОДУ существует такое значение c , при котором оно
совпадает с   t , c  на своей области определения.
Пример.
y  ce x - общее решение уравнения y  y .
Общее решение является полным интегралом, но его частным видом (разрешенным относительно неизвестной функции).
1.1.7. Виды уравнений первого порядка.
F (t , x, x)  0
- уравнение, не разрешенное относительно производной.
x  f t, x 
(НС)
g t, x   x  h t , x  .
( gh )
- нормальная система.
Это уравнение почти разрешено относительно производной. Если разделить на
g (t , x) , то получится (НС), но это не всегда будет эквивалентным переходом.
g  t , x  dx  h  t , x  dt ,
g  t , x  dx  h  t , x  dt  0 .
g ( x)dx  h(t )dt
( ghd )
( ghd  )
(УРП)
- уравнение с разделенными переменными. Это частный случай ( ghd ).
1.1.8. Теорема об уравнении с разделенными переменными.
Пусть функции g  x  и h  t  на своих областях определения имеют первообразные G  x  и H (t ) , соответственно. Тогда уравнение с разделенными переменными эквивалентно уравнению
G  x   H t   c ,
( GHd )
рассматриваемому в классе дифференцируемых функций. Другими словами,
уравнение ( GHd ) есть полный интеграл (УРП).
Доказательство. x    t  - решение ( GHd ) 
1. D( )  I - промежуток в
.
9
2.  дифференцируема.

3. G   t   H  t   c при некотором значении c и любом t  I .


d
G   t   H  t   0  G   t     t   H   t   0  g   t     t   h t   0 
dt 
g   t  d  t   h  t  dt  x    t  - решение (УРП).
1.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
1.2.1. Общий вид.
Рассматривается уравнение
x  a(t ) x  b(t ) .
(ЛУ)
Пусть выполнено условие на коэффициенты:
a  t  , b  t  - непрерывные на промежутке I 
функции.
(УК)
Наряду с (ЛУ) рассмотрим (ЛОУ) – соответствующее линейное однородное
уравнение
x  a t  x .
Пример.
y  y ,
y - неизвестная функция, подразумевается, что x - независимая переменная,
a  x   1.
Общее решение - y  ce x .
1.2.2. Решение (ЛОУ) методом разделения переменных
dx
x  a  t  x  dx  a(t ) xdt 
 a(t )dt .
x
Решим последнее уравнение:
(ЛОУ)
10
dx  s  t
 x  s   t a  s ds  c ,  : x  s  , x  x t  , x0  x t0  ,
t0
0
t
x

x0
d

t
  a  s ds  c ,
t0
t
t
ln x  ln x0   a  s ds  c , x  x0 e
 a s  ds
t0
 ec .
t0
t
 a s ds
Обозначим ec  c1 ; c1  0 . Избавимся от модулей: x  c1 x0et0
. Введя обозна-
t
 a s ds
чение c1  c2  c2  0  , получим: x  c2 x0et0
.
Подберем c2 таким образом, чтобы x  t0   x0 , получим c2  1 .
Итак,
t
x  x0e
 a s ds
t0
.
(2)
Если x0  0 , то x  0 . Проверкой убеждаемся, что x  0 является решением
(ЛОУ). Таким образом, из (2) следует (ЛОУ).
1.2.3. Функция t0 (t ) и её свойства
t
Введем обозначение, e
 a s ds
t0
  t0  t  .
Свойства (проверить):
1. t0 (t0 )  1 .
2.
d
t (t )  a  t  t0 (t ) . Это означает, что t0 (t ) есть одно из решений (ЛОУ).
dt 0
3. t1 (t )  t0 (t1 )  t0 (t ) .

4. t0 (t )  0 и t0 (t )

1
 t (t0 ) .
1.2.4. Утверждение об общем решении (ЛОУ)
При выполнении (УК) следующая формула задает общее решение (ЛОУ):
x  t0 (t )  c .
(ОР)
11
Доказательство.
1) Покажем, что (ОР) решение.
d
t (t )  c  по 2  му свойству  a  t  t0 (t )  c ,
dt 0
т.е. (ОР) удовлетворяет (ЛОУ).
2) Пусть   t  – решение (ЛОУ). Покажем, что   t  представима в виде
  t   t (t )  c . Докажем существование c .
0
с
 t 
 t0 (t )
(можем делить на t0 (t ) , так как по 4-му свойству t0 (t )  0 ).
Проверим, что c не зависит от t , т.е. является константой. Для этого вычислим её
производную:
c 
  t  t  t     t  t  t 
0
 2t  t 
0

a  t   t  t0  t     t  a  t  t0  t 
0
 2t  t 
 0.
0
Следовательно, c  const .
1.2.5. Свойства решений (ЛУ)
Введем обозначение: E  b  - множество всех решений (ЛУ) с функцией b(t )
в правой части, определенных на I .
Утверждается что:
1) Если  1  E  b1  ,  2  E  b2  , то c1 1  c2 2  E  c1b1  c2b2  ; в частности, разность любых решений (ЛУ) с одной и той же функцией b является решением соответствующего (ЛОУ), а линейная комбинация любых решений
(ЛОУ) есть решение (ЛОУ), т.е. множество E  0  является линейным пространством.
2) Если   E  b  , то справедливо равенство E (b)  E  0   ; поэтому общее
решение неоднородного линейного уравнения может быть получено как
сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и любого
частного решения неоднородного уравнения:
xон  xоо  xчн .
12
Доказательство.
1) Введём обозначения:   c1 1  c2 2 . Покажем, что   E  c1b1  c2b2  , т.е.
   t   a  t   t   b  t  , где b(t )  c1b1  t   c2b2  t  .
Действительно,
   t   c1 1  t   c2 2  t   c1 a  t  1  t   b1  t   c2 a t  2 t   b2 t 
 a  t  c1 1  t   c2 2  t   c1b1  t   c2b2  t   a  t   t   b(t ).
Следовательно,   E  c1b1  c2b2  .
Если  1  E  b  ,  2  E  b  , то  1  2  E  b  b   E  0 , т.е. разность любых
двух решений (ЛУ) с одной и той же функцией b является решением соответствующего (ЛОУ).
Если 1  E  0  , 2  E  0  , то c11  c22  E  c1 0  c2 0   E  0  , т.е. линейная
комбинация решений (ЛОУ) есть решение (ЛОУ).
2) Пусть   E  b  . Требуется доказать, что   E  0    или, что то же,
   E  0  . Это выполнено в силу свойства 1).
Покажем теперь, что любой элемент из E  0    принадлежит множеству E (b) .
Пусть   E  0    , это означает, что     , где   E  0  ,   E  b  . Следовательно, по свойству 1):   E  0  b   E (b) .
xоо по определению общего решения есть функция от двух переменных:
xoo  t     t , c  . Пусть  - некоторое решение (ЛУ). При любом конкретном значении c  c0 функция   t    (t , c)   t   E  0  b   E b  , т.е. является решением (ЛУ).
Пусть теперь   E  b  - произвольное решение неоднородного уравнения,
тогда
по свойству 1)    E  0  , т.е.    t     t , c1  . Следовательно,
  t    (t , c1 )   t  .
13
Задача 1. Доказать, что решение (ЛУ) при выполнении (УК) обладает
следующим свойством единственности: если решения  и  совпадают в
некоторой точке t  t0 , то они совпадают всюду на общей части их областей
определения.
Задача 2. Показать, что при выполнении (УК) общее решение (ЛОУ) можно
записать в виде xoо  t     t   c , где   E  0  ,   t   0 .
1.2.6. Оператор сдвига по траекториям (ЛУ)
При выполнении (УК) следующая формула задает решение (ЛУ), которое при
t  t0 принимает значение x0 :
t

t0  t   x0  t0  t    t0  s 
 b  s ds : g
1
t
t0 0
x .
t0
Замечание 1. У дифференциального уравнения бесконечно много решений. Для
(ЛУ) среди них обязательно найдется решение задачи Коши, т.е. решение, удовлетворяющее условию x  t0   x0 .
gtt0 x0 называется оператором сдвига по траекториям (ЛУ) за время от t0 до t .
Доказательство. Покажем, что gtt0 x0 удовлетворяет (ЛУ) по переменной t :
t



1
d t
gt0 x0  a  t   t0  t  x0  a  t   t0  t    t0  s  b  s  ds   t0  t   t0  t 
dt
t0
 b t  
1
t


1
a  t  t0  t    t0  t    t0  s  b  s  ds   b  t   a  t  gtt0 x0  b  t  .


t0


Итак, gtt0 x0 - решение (ЛУ).
Проверим выполнение начального условия. При t  t0 :
t0


1
g x  t0  t0  x0  t0  t0   t0  s  b  s  ds  1  x0  0  x0 .
t0
t0 0
t0
Замечание 2. Доказанная формула при b  t   0 представляет оператор
сдвига по траекториям (ЛОУ):
14
gtt0 x0  t0  t  x0 ,
Замечание 3. Геометриче-
ская интерпрета-
ция оператора сдвига.
Замечание 4. Формулу для оператора сдвига по траектории (ЛУ) можно записать ещё в следующем виде:
t


t
1
g x  t0  t  x0  t0  t   t0  s  b  s  ds  t0  t  x0    s  t b  s  ds . (ОС)
t0
t0 0
t0
t0
Доказательство.
t


t
1


1
t
t
t0
t0
t0  t   t0  s  b  s  ds   t0  t  t0  s  b  s  ds   t0  t   s t0 b  s  ds    s t b  s  ds.
t0
t0
Замечание 5. Частное решение ЛНУ (линейного неоднородного уравнения) можно
найти методом вариации произвольной постоянной. В выражении общего решения однородного уравнения
xoo  t0  t   c
будем считать c не постоянной, а новой неизвестной функцией от t :
xчн  t0  t   c  t  .
Подставим в (ЛУ):
t0  t   c  t   t0  t   c  t   a  t  t0  t   c  t   b t  ,
a  t  t0  t   c  t   t0  t   c  t   a  t  t0  t   c  t   b t  ,
t0  t   c  t   b  t  ,

c  t   t0  t 

1
 b t  ,
15
t


1
c  t    t0  s  b  s  ds  c1 .
t0
Поскольку мы ищем частное решение, положим c1  0 :
t


1
xчн  t0  t    t0  s  b  s  ds .
t0
Это совпадает со вторым слагаемым в формуле для оператора сдвига (ОС).
1.2.7. Два частных вида ЛУ.
1) a  t   a  const .
t0  t   e
t
 ads
t0
e
a t t0 
, g x e
t0
t0 0
a t t0 
t
x0   e
b  s ds .
a t  s 
t0
2) a  t   a  const , b  t   b  const .
gtt0 x0  e

a t t0 
x0 


b at t0 
e
1 ,
a
b
- частное решение.
a
1.3. Уравнения в полных дифференциалах
1.3.1. Симметричные уравнения и их различные трактовки.
Рассмотрим уравнение:
g  t , x  dx  h  t , x  dt  0 .
( ghd  )
Оно симметрично по отношению к t и x .
Уравнение
G  x   H t   c
( GHd )
также симметрично относительно t и x .
Будем рассматривать уравнения такого вида:
F  t , dt , x, dx, c   0 .
Возможны три трактовки этого уравнения:
1. Обычная  sx  : x - неизвестная функция, t - независимая переменная.
(s)
16
2. Обратная  st  : t - неизвестная функция, x - независимая переменная.
3. Симметричная  sxt  : x и t - две неизвестные функции от некоторого аргумента s , не участвующего в уравнении.
1.3.2. Утверждение о различных трактовках.
1) Если x    t  - решение  sx  , то пара функций x    s  , t  s - решение  sxt  ,
т.е., решив  sx  , мы находим некоторое решение  sxt  . Аналогично для  st  .
2) Если x    s  , t    s  - решение
 sxt 
и    s   0 при всех s  D   , то
функция x    1  t  - решение  sx  . Аналогично для  st  .
3) Если x    t  - решение  sx  и    t   0 , то t   1  x  - решение  st  . Аналогично для  st  .
4) Если  sxt    sxt  ( F  t , dt , x, dx, c   0  sxt  ), то  sx    sx  и  st    st  .
Доказательство.
1) Пусть x    t  - решение  sx  , тогда F  t , dt ,  t  ,  t  dt , c   0 при некотором
значении с и любых t  D   и dt  . Сделаем замену t  s, dt  ds , получим:
F  s, ds,  s  ,  s  ds, c   0 при том же значении с и любых s  D   и ds  .
Следовательно, пара функций x    s  , t  s является решением уравнения
 sxt  .
2) Пусть x    s  , t    s  - решение  sxt  и    s   0 , тогда
F   s  ,   s  ds,  s  ,   s  ds, c   0
(3)
выполнено для всех ds  , s  D    D   : I и некоторого c . Покажем, что
функция x    t     1  t   определена на промежутке J   ( I ) и является решением уравнения  sx  .
Во-первых, производная функции  на промежутке I всюду строго положительна или всюду строго отрицательна, так как иначе по теореме Дарбу она бы
17
принимала в некоторой точке нулевое значение, что противоречит условию. Следовательно,  строго монотонна на I . Отсюда и из непрерывности  вытекает,
что множество J значений этой функции есть (не вырождающийся в точку) промежуток. Далее, по теореме об обратной функции  1 определена на J , множество ее значений есть I и
 t    1(s)
1
( s   1 (t )) .
Таким образом, функция x   (t ) действительно определена на промежутке J и
dx   ( s)
Покажем, что для любых t  J , dt 
введем переменные s   1  t  и ds 
1
dt .
 ( s)
и c из (3) выполнено  sx  . Для этого
dt
. Тогда
  s 
F  t , dt , x, dx, c   F   s  ,   s  ds,  s  ,   s  ds, c   (3)  0 .
3) Пусть x    t  - решение  sx  , тогда из утверждения (1) следует, что
x    s  , t  s - решение  sxt  и    s   0 на D   . Тогда по утверждению 2)
функция t   1  x  является решением обратного уравнения. Мы использовали
утверждение 2) в варианте, относящемся к обратной трактовке.
4) Пусть  sxt    sxt  , покажем, что  sx    sx  . Пусть x    t  - решение  sx  ,
тогда по утверждению (1) x    s  , t  s - решение  sxt  и, следовательно,
решение  sxt  . Тогда по утверждению 2) из этой пары можно сделать решение
 sx  .
Функция x    t     1  t  является решением  sx  .
1.3.3. Определения уравнения в полных дифференциалах и потенциальной функции.
Рассматривается уравнение
g  t , x  dx  h  t , x  dt  0 .
18
Оно называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая
дифференцируемая функция двух переменных   t , x  , что левая часть данного
уравнения совпадает с её дифференциалом:
d   t , x   g  t , x  dx  h t , x  dt .
Другими словами
g t, x  
  t , x 
  t , x 
, h t, x  
.
x
t
Функция   t , x  при этом называется потенциальной функцией данного уравнения.
Примеры.
1. УРП (см. 1.1.7 и 1.1.8) есть УПД.
УРП: g  x  dx  h  t  dt , g и h имеют первообразные G и H , соответственно, на
своих областях определения. Функция   t , x   G  x   H  t  является потенциальной функцией данного уравнения. Действительно,
d  t, x  
2.   t , x   x3  tx 2  t 4 .



dx 
dt  g  x  dx  h  t  dt .
x
t


 3x 2  2tx,
 x2  4t 3 .
x
t

Следовательно, 3x2  2tx dx  ( x 2  4t 3 )dt  0 - УПД.
1.3.4. Теорема об интегрировании УПД.
Если  ghd  есть УПД с потенциальной функцией   t , x  , то следующее уравнение есть его полный интеграл:
 t, x   c
( d )
(буква d означает, что последнее уравнение рассматривается только в классе
дифференцируемых функций t    s  , x    s  ).
19
Доказательство. Следующая цепочка эквивалентных переходов показывает,
что пара функций t    s  , x    s  удовлетворяет
чае, когда она удовлетворяет
 d 
в том и только том слу-
 ghd  .
t    s  , x    s  - решение  d 

D    D    I - промежуток вещественной оси,  ,   - существуют всюду на
I и при некотором значении c равенство    s  ,  s   c справедливо для лю-

бого s  I
 , дифференцируемы на I и
d
   s  ,  s    0
ds 
при всех s  I

  t , x 
  t , x 
   s  
  s   0
t
x t   s ,
t   s ,

x   s 
x   s 
(по определению потенциальной функции)
h   s  ,  s    s   g   s  ,  s     s   0

h   s  ,  s    s  ds  g   s  ,  s     s  ds  0

t    s  , x    s  - решение  ghd  .
1.3.5. Признак полного дифференциала и алгоритм нахождения
потенциальной функции (ПФ).
Рассмотрим  ghd  . Предположим, что функции g  t , x  и h  t , x  непрерывны
на прямоугольнике I1  I 2 ( I1 , I 2 – промежутки вещественной оси) вместе со своими частными производными
g h
и
.
t
x
Тогда для того чтобы  ghd  было УПД, необходимо и достаточно, чтобы на
этом прямоугольнике выполнялось равенство
g  t , x  h  t , x 

.
t
x
(ПУПД)
20
При этом ПФ находится с помощью алгоритма, который будет описан в доказательстве.
Доказательство.
(а) Предположим, что
 ghd  есть (УПД). Это означает, что
у него есть ПФ.
Обозначим её   t , x  . Тогда
g t, x  
  t , x 
  t , x 
и h t, x  
.
t
x
Поэтому
g  t , x   2  t , x  h  t , x   2  t , x 


,
.
t
tx
x
xt
По условию эти частные производные непрерывны. Если вторые смешанные частные производные существуют и непрерывны, то они равны (из курса математического анализа). Следовательно, справедливо (ПУПД).
(б) Пусть выполнены предварительные условия и (ПУПД). Найдем ПФ, тем самым докажем, что  ghd  есть (УПД).
По условию,
  t , x 
 g  t , x  . Это ОДУ с независимой переменной x и
x
параметром t . Интегрированием по x получаем:
x
  t , x    g  t ,  d  c  t  .
x0
Продифференцируем это равенство по t и учтем, что
  t , x 
 h t, x  .
t

h  t , x    g  t ,  d  c  t  .
t x0
x
В курсе математического анализа будет доказано следующее правило Лейбница
дифференцирования определенного интеграла по параметру: если функции
g  t ,  и
g  t ,  
непрерывны в некотором прямоугольнике, то
t
21
g  t ,  

g
t
,

d




 t d .
t x0
x0
x
x
Поэтому
g  t ,  
d  c  t  .

t
x0
x
h t, x   
По (ПУПД)
g  t , x  h  t ,  
, следовательно,

t

h  t , 
d  c  t   h  t , x   h  t , x0   c t  .


x0
x
h t, x   
t
Поэтому c  t   h  t , x0  . Следовательно c  t    h  , x0  d  c1 . Положим c1  0 , поt0
скольку нас интересуют не все ПФ, а какая-нибудь одна из них.
x
t
x0
t0
  t , x    g  t ,  d   h  , x0  d .
Таким образом, мы получили формулу для ПФ, где x0 , t0 - произвольные фиксированные точки промежутков I1 , I 2 .
 3x
1.3.6. Пример.
2
 2 xt  dx   x 2  4t 3  dt  0 (см. 1.3.3.)
(3x 2  2 xt )
( x 2  4t 3 )
 2x ,
 2x .
t
x
(ПУПД) выполнено, следовательно, это УПД.
3x 2  2 xt 
x 2  4t 3 
  t , x 
   t , x   x3  tx 2  c  t  ,
x
  t , x 
 x 2  c  t   c  t   4t 3  c  t   t 4  c1, c1  0,
t
  t , x   x3  tx 2  t 4 .
По теореме об интегрировании УПД (1.3.4.) полный интеграл имеет вид:
22
x3  tx2  t 4  c.
1.3.7. Об интегрирующем множителе (пример).
Рассмотрим уравнение
 4t 3 
2t 

 3   dx  1  2  dt  0.
x
x 


Проверим, является ли это уравнение УПД:
 4t 3 
2t 

 1  2 
3  
x 
2
8t 3
x

 , 
 3 .
t
x
x
x
(ПУПД) не выполнено.
Попробуем найти “интегрирующий множитель”.
В общей ситуации
g  t , x  dx  h  t , x  dt  0,
g  t , x  h  t , x 

.
t
x
Попробуем найти такую функцию   t , x  , что при умножении на неё обеих частей
 ghd  получим (УПД).
  t , x   g  t , x  dx   t , x   h t , x  dt  0 .
В частных случаях удобно использовать  от одной переменной
  t , x     x  не зависит от t ,
  t , x     t  не зависит от x .
Пусть  не зависит от t , тогда по (ПУПД)
  x  g  t , x    x  h  t , x 
,

t
x
  x 
g  t , x 
h  t , x 
  x   h t, x     x  
,
t
x
 g  t , x  h  t , x  

 / h t, x 
x 
 t
 x     x   
23
– этому условию должна удовлетворять функция  .
Признак удачи: эта дробь должна не зависеть от t .
Возвращаемся к исходной задаче:
 g  t , x  h  t , x  
 2 8t 3   x 2  4t 3  2


 / h t, x     3  / 
  - не зависит от t .
2

t

x
x
x
x

 
 x


Теперь находим интегрирующий множитель:    x  
2
   x  ,   x   x2 x
одно из решений.   x   x 2 - интегрирующий множитель. Умножим обе части
уравнения на x 2 , получим:
 3x
2
 2 xt  dx   x 2  4t 3  dt  0.
Это уравнение мы решали в предыдущем пункте:
x3  tx2  t 4  c.
Нужно только добавить условие x  0.
1.4. Примеры математического моделирования
1.4.1. Линейные элементы электрической цепи.
R [Ом] – сопротивление, активное сопротивление, u  Ri - закон Ома;
L [Гн] – индуктивность, L
c [Ф] – ёмкость, C
di
 u - уравнение индуктивности;
dt
du
i;
dt
Е
– источник ЭДС;
J
– источник тока;
24
u  E  t  , где E  t  известная функция; i  J  t  .
1.4.2. Законы Кирхгофа.
i1
Ι.
i2
n
i
in
0
k
k 1
Первый закон, или закон тока.
u1
un
u2
ΙΙ.
n
u
k
0
k 1
Второй закон, закон напряжений.
Сумма напряжений в замкнутом контуре при согласованном выборе ориентации
элементов контура в любой момент времени равна нулю.
Эти законы описывают связь элементов в цепи.
1.4.3. Уравнение RLCE - контура.
Анализ цепи начинается с выбора
положительного направления для измерения токов на всей цепи.
По второму закону Кирхгофа:
uR  uL  uc  uE  0 .
По первому закону Кирхгофа:
iR  iL  iE : i .
Воспользуемся уравнениями элементов:
uR  Ri, uL  L
di
du
, C C  i, uE  E  t    A cos 0t (частный случай).
dt
dt
Обозначим uC  u .
25
Система уравнений RLCE - контура:
Ldi

Ri

 u  A cos t ,

dt

C du  i.
 dt
d 2u di
Второе уравнение продифференцируем по t : C 2  .
dt
dt
Подставим в первое уравнение системы:
du
d 2u
RC
 LC 2  u  A cos 0t .
dt
dt
Обозначим  
1
R
,  2 . Тогда
LC L
u  2 u   2u   2 A cos 0t - это уравнение колебательного контура;
i  Cu .
1.4.4. Математическая модель биологической системы “хищникжертва” (В.Вольтерра).
Введем обозначения:
N1 - численность “жертвы” в данном ареале в момент t ;
N 2 - численность “хищника”.
Если бы “хищника” не было (и пища для “жертвы” была бы хорошая), то скорость
роста “жертвы” была бы пропорциональна её численности:
N1  1 N1 .
Если хищник имеется, то коэффициент прироста  1 уменьшается на величину,
пропорциональную количеству “хищника”:
N1  1   1N2  N1 .
Если бы “жертвы” не было, а были бы только “хищники”, то скорость изменения
численности “хищника” была бы отрицательной:
N2   2 N2 ,  2  0 .
Если появляются “жертвы”, то
26
N2    2   2 N1  N2 .
Итак, уравнения системы “хищник-жертва” имеют вид:

 N1   1   1 N 2  N1 ,


 N 2    2   2 N1  N 2 .
N1 , N 2 -численность “жертвы” и “хищника” в момент t . Для удобства моделирования они считаются произвольными вещественными, а не целыми.
1.4.5. Механический гармонический осциллятор.
Гармонический осциллятор — это грузик на гладком стержне, поддерживаемый
с двух сторон пружинками.
O
x
Пусть масса груза m  const , ускорение груза при движении (с учётом физического смысла производной) x . На груз действует сила упругости F  kx . По второму закону Ньютона:
mx  kx .
Здесь мы предполагаем, что трения между грузом и стержнем нет.
Введем обозначение
k
  2 , тогда
m
x  2x  0 .
x  cos t , x  sin t - два линейно независимых решения.
x  c1 cos t  c2 sin t - общее решение (?).
1.4.6. Уравнение маятника.
Невесомый стержень OA длины l свободно вращаетO
y
ся в неподвижной вертикальной плоскости вокруг (неподl

вижной) точки O , точка A несет груз массы m . Требуется
R
найти уравнение движения груза.
A
x
0
P  mg  
1
27
Выберем декартову систему координат так, как показано на рисунке. Всё движение происходит в плоскости, поэтому мы не рассматриваем третью координату:
 x
 x
r    , a   .
 y
 y
F - сила, действующая на маятник, это сила веса P и сила реакции стержня
R (направленная вдоль стержня):
F  P R.
По второму закону Ньютона:
ma  P  R .
1
  cos  
P  mg   , R  R 
,
0
  sin  
 cos  
  sin  
  sin  
2   cos  
r  l

v

r

l


a

l


l


 cos  
 cos  
  sin   .
 sin  






Таким образом,
  sin  
  cos 
1
  cos 
ml 
 ml 
 mg    R 


.
cos


sin

0

sin





 


  sin  
Скалярно умножив обе части на вектор 
 , получим:
cos



ml  0  mg sin   0 ,
или
g
l
  sin   0 .
Обозначим
g
 2 .
l
Получим    2 sin   0 - уравнение маятника.
При малых  sin   имеем уравнения малых колебаний маятника:    2  0 .
Данное уравнение есть уравнение гармонических колебаний (правда, другого
процесса).
28
1.5. О приближенных методах решения
дифференциальных уравнений
1.5.1. Об интегрировании ОДУ в квадратурах.
Выражение общего решения или полного интеграла через элементарные функции
и интегралы от них называют интегрированием данного ОДУ в квадратурах (термин "квадратура" в данной ситуации означает взятие неопределенного
интеграла, а "интегрирование" — нахождение полного интеграла). Интегрирование в квадратурах допускают лишь уравнения некоторых простейших типов.
Большинство же ОДУ можно решать только приближенно или исследовать их
качественными методами, то есть методами, позволяющими выяснять свойства
решений без явного их отыскания. Качественные и приближенные методы составляют основное содержание современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Здесь мы рассмотрим два простейших приближенных метода, которые, помимо
своей чисто прикладной ценности, полезны еще тем, что позволяют связать с основными понятиями теории обыкновенных дифференциальных уравнений систему простых наглядных представлений.
1.5.2. Геометрическая интерпретация ОДУ.
Графики решений x    t  скалярного ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производной
x = f(t, x),
(НС)
называются его интегральными кривыми. В геометрических терминах уравнение
(НС) выражает следующий факт: кривая на (t, x)-плоскости является его интегральной кривой в том и только том случае, когда в любой точке (t0, x0) этой
кривой она имеет касательную с угловым коэффициентом k = f(t0, x0).
Таким образом, зная правую часть уравнения (НС), мы можем заранее построить
касательные ко всем интегральным кривым во всех точках: для этого каждой точке (t0, x0) нужно сопоставить проходящую через нее прямую с угловым коэффици-
29
ентом k = f(t0, x0). Полученное соответствие между точками плоскости и проходящими через них прямыми называется полем направлений уравнения (НС). Конечно, фактически поле направлений можно построить лишь в виде достаточно густой сетки отрезков с отмеченными на них точками (см. рис.а). После этого задача
построения интегральных кривых становится похожей на отыскание нужного пути в большом парке, снабженном густой сетью стрелок-указателей (рис. б).
1.5.3. Метод изоклин.
Построение поля направлений значительно облегчается предварительным нахождением изоклин — кривых на (t, x)-плоскости, вдоль которых угловой коэффициент k сохраняет неизменное значение. Уравнение изоклин имеет вид
f(t, x) = k;
вдоль изоклин отрезок, принадлежащий полю направлений, переносится параллельно своему первоначальному положению: переход к другой изоклине осуществляется изменением k и построением отрезка с новым угловым коэффициентом.
Например, для уравнения
x = t2 + x2
изоклины описываются уравнением
30
t2 + x2 = k.
Это — семейство концентрических окружностей с центром в начале координат.
На рисунке изображен процесс последовательного построения изоклин, поля направлений и интегральных кривых.
Метод изоклин как средство эскизного представления интегральных кривых сохраняет свое значение и в нынешнюю эпоху бурного развития вычислительных
машин и вычислительных методов.
1.5.4. Метод ломаных Эйлера.
Метод ломаных применяется для приближенного нахождения значений xi = (ti)
решения  на некоторой сетке значений аргумента t: t0, t1 = t0 + , t2 = t1 + , , tn =
tn–1 + ;  — заданное положительное число, называемое шагом сетки. В применении к уравнению (НС) этот метод заключается в следующем. В точке t = ti–1
(НС) принимает вид
xi–1 = f(ti–1, xi–1).
Заменим здесь приближенно xi–1 конечно-разностным отношением
xi – xi –1

и выразим xi:
 f  ti –1 , xi –1 
31
xi  xi–1 + f(ti–1, xi–1).
Если x0 = (t0) задать произвольно, то полученная рекуррентная формула позволяет
приближенно найти значения x1, x2, ... .
Возвращаясь к образу парка со стрелкамиуказателями, метод ломаных Эйлера можно представлять себе так (см. рис.): из точки (t0, x0) мы движемся, сообразуясь с указателем, помещенным в этой точке в течение " секунд". Придя (через время ) в
точку (t1, x1), мы меняем направление,
пользуясь указателем в этой точке; через
время  мы приходим в точку (t2, x2), опять
меняем направление, и т. д.
Конечно, точность этого метода нуждается в специальном обосновании, которое мы проводить не будем. Кажется весьма правдоподобным (и оказывается в
широких предположениях об f(t, x) верным) тот факт, что при 0 погрешность
метода ломаных Эйлера стремится к нулю на любом конечном промежутке изменения t.
В отличие от метода изоклин, метод ломаных Эйлера применим и к уравнениям
более высокого порядка. Например, для уравнения
x = f(t, x, x)
он принимает вид
xi – xi –1

–

xi –1 – xi –2

 f (ti –1 , xi –1 ,
xi –1 – xi –2

).
Из этого приближенного равенства нужно выразить xi через xi–1, xi–2 и ti–1. Заметим, что для использования получившейся рекуррентной формулы нужно задать
не только x0 = (t0), но и x1 = (t1) (или (t0) в разностной записи).
32
Это наводит на следующую догадку, которая впоследствии будет доказана: для
выделения определенного решения скалярного уравнения m-го порядка достаточно задать в некоторой точке t0 значение самогó решения и его производных до порядка m – 1 включительно. Система
x(m) = f(t, x, x, ..., x(m–1)),
x(t0)=x0,
x(t0)=x1,
...
x(m–1)(t0) = xm–1
называется начальной задачей , или задачей Коши. Упомянутая выше гипотеза заключается в том, что при естественных предположениях относительно f она имеет единственное решение.
В качестве примера решим методом Эйлера задачу Коши
x = ax, x(0) = x0
(a, x0 — параметры).
Фиксируем t  0 и положим  = t/n (n  N).
Тогда
i
at 
at 


xi  xi –1   axi –1  1   xi –1  1   x0 .
n
n


Следовательно,
i
at 

x  t   xn  1   x0
n

Полученное приближенное значение при n  стремится к функции eatx0, которая, как легко проверить, является точным решением рассматриваемой задачи
Коши.
33
1.6. Вопросы к экзамену
1.6.1. Определение ОДУ.
1.6.2. Определение решения ОДУ.
1.6.3. Определение следования и эквивалентности ОДУ.
1.6.4. Определение интеграла и полного интеграла ОДУ.
1.6.5. Определение общего решения ОДУ.
1.6.6. Теорема об уравнении с разделенными переменными.
1.6.7. Утверждение об общем решении ЛОУ.
1.6.8. Свойства решений ЛУ.
1.6.9. Оператор сдвига по траекториям ЛУ.
1.6.10. Утверждение о различных трактовках симметричного уравнения.
1.6.11. Определение УПД и ПФ.
1.6.12. Теорема об интегрировании УПД.
1.6.13. Признак полного дифференциала и алгоритм нахождения ПФ.
1.6.14. Интегрирующий множитель (пример).
1.6.15. Уравнение колебательного контура.
1.6.16. Математическая модель системы «хищник-жертва».
1.6.17. Уравнение механического гармонического осциллятора.
1.6.18. Уравнение маятника.
1.6.19. Метод изоклин (пример).
1.6.20. Метод ломаных Эйлера (пример).
1.7. Пробные задачи к экзамену
1.7.1. Является
ли
промежутке  1,1 ?
функция   t   t
решением
ОДУ
tx  x на
1.7.2. Пусть функции x    t  и x    t  являются решениями уравнения
x  f  t , x  на отрезках  1,0 и  0,1 , соответственно, и   0     0  . Является
ли функция

  t  , если t   1,0,
x

  t  , если t   0,1
решением этого уравнения на отрезке  1,1 ?
1.7.3. Верно ли следующее утверждение: если уравнение x  f  t , x  есть
следствие уравнения x  g  t , x  , то любой интеграл первого уравнения
является интегралом второго?
34
1.7.4. Верно ли следующее утверждение: если уравнение x  f  t , x  есть
следствие уравнения x  g  t , x  , то любое решение первого уравнения
является решением второго? А наоборот?
1.7.5. Как выглядят изоклины уравнений x  g  t  и x  f  x  ?
1.7.6. Если x  1  t  и x  2  t  — решения уравнения x  x , а 1, 2 
является ли функция x  
1 1  t   22  t  решением этого уравнения?
, то
1.7.7. Найдите все решения уравнения x  2 x .
1.7.8. Являются ли уравнения
dx
dt
 x и x  1 эквивалентными в обычной и
dt
dx
симметричной трактовках?
1.7.9. Приведите
пример
функции,
удовлетворяющей
уравнению
2
2
xdx   xdx  0 , но не являющейся решением уравнения x   x  0 .
1.7.10. Если уравнения g1  t , x  dx  h1  t , x  dt  0 и g2  t , x  dx  h2  t , x  dt  0 яв2
ляются на
УПД, то можно ли утверждать, что
 g1  t , x   g2  t , x  dx  h1  t , x   h2 t , x  dt  0 также есть УПД?
уравнение
1.7.11. Если ОДУ имеет интеграл вида t 2  x 2  C , то можно ли утверждать,
что любое решение этого ОДУ ограничено?
1.7.12. Может ли функция x  sin t быть решением уравнения вида x  f  x 
 
на отрезке  0,  ? А на отрезке 0,  ?
 2
2. Задача Коши
2.1. Теорема Коши-Пикара
2.1.1. Постановка задачи
Будем рассматривать векторное уравнение:
x  f t, x  ,
x - неизвестная функция,
(НС)
35
 x1 
x 
x   2  - значение неизвестной функции в момент t ,
 
 
 xn 
t - вещественная переменная (“время”),
 f1  t , x  


f2 t, x  

.
f  t , x  - векторная функция, f  t , x  




f
t
,
x


n


Наряду с (НС) будем рассматривать начальное условие:
x  t0   x0 ,
(НУ)
 x01 
 
 x0 
x0   2  .
 
 x0 
 n
В этой главе нас будут интересовать следующие вопросы, относящиеся к задаче Коши.
1) Вопрос о локальной разрешимости: имеет ли задача (НС), (НУ) решение на каком-либо промежутке?
2) Вопрос о глобальной разрешимости: имеется ли у этой задачи решение, определенное на наперед заданном промежутке (например, на всей оси, на правой полуоси
или на заданном отрезке)?
3) Вопрос о единственности решения задачи (НС), (НУ) на заданном промежутке.
4) о приближенном вычислении решения.
2.1.2. Пример отсутствия локальной разрешимости.
Задача
36
1
x  – sign x  ,
2
(4)
x  0  0
(5)
не имеет решения ни на каком промежутке J.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное: пусть x = (t) — решение задачи (4) - (5) на некотором промежутке J. Точка t = 0 может быть граничной точкой J, но, по определению, не может быть единственной точкой промежутка. Допустим для определенности, что J содержит некоторую правую полуокрестность
нуля. Поскольку (0) > 0, можно выбрать эту полуокрестность так, чтобы на ней
при t  0 было (t) > 0. Из (4) получается, что при таких t (t) = –1/2, т. е. функция
убывает. Мы получили противоречие: положительная функция, имевшая в нуле
нулевое значение, при t > 0 строго убывает и в то же время положительная.
Причиной выявленной "неприятности" является разрывность правой части уравнения (4) в точке x = 0.
2.1.3. Пример отсутствия глобальной разрешимости.
Уравнение
x  x 2  1
(6)
легко решается:
dx
 dt
x2  1
arctg x = t + C,

 
x  tg  t  C   –  t  C   ,
2
 2
(7)
37
Подчеркнем, что (6)  (7). Это означает, в частности, что вопрос о разрешимости
задачи (6), (5), скажем, на промежутке J = R имеет отрицательный ответ, так как область определения любого решения не выходит за рамки интервала (–/2 – C, /2 –
C).
Этот эффект связан с тем, что правая часть x2 + 1 уравнения (6) при x  растет
"слишком быстро" по сравнению с x.
2.1.4. Пример отсутствия единственности.
Таким примером может служить уравнение
x  2 x ,
правая часть которого определена при x  0. У задачи
Коши, соответствующей начальному условию (5), помимо нулевого имеется бесконечно много решений
 0 при t < –C,
x = 
2
 (t + C) при t  –C
Причина неединственности — в том, что правая часть этого уравнения в точке x =
0 имеет бесконечную производную по x.
2.1.5. Формулировка теоремы Коши-Пикара в полосе.
Рассматривается задача Коши
x = f(t, x),
(НС)
x(t0) = x0,
(НУ)
состоящая из нормальной системы (НС) и начального условия (НУ). Предполагается, что
f: ( I  промежуток в
)×
n

n
;
(1)
функция f(t, x) непрерывна по t при любом фиксированном x;
(2)
f(t, x) удовлетворяет по x условию
(3)
38
Липшица с некоторой константой L:
f(t, x) – f(t, y)  Lx – y (t  I ; x, y  Rn).
 - какая-нибудь норма в
n
.
О нормах.
Тогда задача (НС), (НУ) имеет на промежутке I единственное решение.
2.1.6. Геометрическая интерпретация условия Липшица в одномерном пространстве.
Рассмотрим f : ( D( f )  )  - вещественную функцию вещественного аргумента. Для неё условие Липшица можно записать следующим образом:
f ( x)  f ( x )  L x  x ( f не зависит от t ).
При x  x
f  x  f  x 
L
xx
Это означает, что угловые коэффициенты всех секущих графика функции f
ограничены по модулю единой константой L .
Примеры
2.1.7. Утверждение о дифференцируемости, условии Липшица и
непрерывности.
Пусть f : ( D  f  
n
)
n
и D  f  - выпуклое множество.
Тогда
1
( f дифференцируема на D  f  и f   x   L )  ( f удовлетворяет условию Лип2
шица с константой L )  ( f равномерно непрерывна на D  f  ).
1.
f  x   f  x   sup f   c  x  x  L x  x
c[ x , x ]
2. Пусть f удовлетворяет условию Липшица и   0 . Положим  
f  x  f  x   L x  x   .

L
, тогда
39
Отметим, что обратные импликации могут не выполняться.
1. Функция x удовлетворяет условию Липшица, но не дифференцируема в
нуле.
2. Функция
x равномерно непрерывна на [0,1] по теореме Кантора (если
функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], то она равномерно непрерывна на этом сегменте), но не удовлетворяет условию Липшица.
2.1.8. Замечание о непрерывности f по совокупности переменных.
При выполнении условий (2), (3) f непрерывна по совокупности переменных.
Доказательство. Пусть tm  t , xm  x . Требуется доказать, что
f  tm , xm   f  t , x   f  tm , xm   f  tm , x   f  tm , x   f  t , x  
L xm  x  f  tm , x   f  t , x   0 при m  .
2.1.9. Лемма об эквивалентном интегральном уравнении.
При выполнении условий теоремы Коши-Пикара задача (НС), (НУ) эквивалентна
следующему интегральному уравнению:
t
x  t   x0   f [ s, x  s ]ds .
(ИУ)
t0
Доказательство.
1) Пусть x    t  - решение задачи (НС), (НУ). Тогда
  t   f  t ,  t   (t  D  )
(*)
и
  t0   x0 .
(**)
Проинтегрируем соотношение (*) в пределах от t0 ( t0  I - фиксированная точка)
до t .
t
t
t0
t0
t
t
   s ds   f  s,  s ds;  t    t    f s,  s ds;  t   x   f s,  s ds.
0
Следовательно,  - решение (ИУ).
0
t0
t0
40
Почему интеграл существует?
(*)   существует   непрерывна  f  s,  s   непрерывна  f интегрируема   интегрируема.
Итак, (НС), (НУ)  (ИУ).
2) Пусть теперь x    t  - решение (ИУ). Тогда выполнено тождество
t
  t   x0   f  s,  s ds  t  D  .
(***)
t0
Продифференцируем это тождество по t . Получим:
  t   f t ,  t  .
Таким образом,  – решение (НС).
Почему можно дифференцировать?
t
 f  s,  s ds
t
существует  функция F (t )  x0   f  s,  s  ds непрерывна  
t0
t0
t
- непрерывна  f t ,  t  непрерывна  F (t )  x0   f  s,  s  ds дифференциt0
руема по t   -дифференцируема.
Проверим выполнение (НУ). Подставим t  t0 в (***):
t0
  t0   x0   f  s,  s  ds  x0 .
t0
Итак, (ИУ)  (НС), (НУ).
2.1.10. Определение последовательных приближений.
Пусть
0 : I 
n
— произвольная непрерывная функция.
(4)
Последовательные приближения, соответствующие начальному приближению 0 , определим с помощью рекуррентной формулы
41
t
k 1  t   x0   f  s,k  s ds
(5)
t0
Покажем индукцией по k , что функция k  t  при любом k определена на всем
промежутке I и непрерывна. Для k  0 это совпадает с (4). Пусть k  t  обладает
указанными свойствами. Тогда в правой части (5) под интегралом стоит непрерывная на I функция — это следует из свойств  k и условий (1) – (3). Поэтому k 1 также определена на I и дифференцируема, а следовательно, и непрерывна.
Итак, все последовательные приближения определены на I и непрерывны. Отметим еще, что из (5) вытекают два равенства:
k 1  t   f t ,k  t 
(6)
и
k 1  t0   x0 .
2.1.11. Лемма о сближении.
Пусть
выполнены условия теоремы
— Пикара и 0 , 0 : I 
Коши
n
—
произвольные непрерывные начальные приближения. Утверждается, что для
соответствующих последовательных приближений k , k  k  1,2,... (k = 1, 2,
...) справедливы неравенства:
Lk t  t0
k  t   k  t   L0  t 
,
k!
k
(9)
где

L0  t   0  0 t  max 0  s   0  s  : s  t0 , t 
t, t  .
0
(10)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем (9) индукцией по k . При k  0 это неравенство,
очевидно, выполнено. Предположив, что (9) справедливо для некоторого k , до-
42
кажем аналогичное неравенство с заменой k на k + 1 (в переходе (*) мы используем условие Липшица, а от (**) —предположение индукции):
k+1(t) – k+1(t) =
= x0 + 
t
f[s, k(s)] ds – x0 – 
t0

 

t
t0
t
f[s, k(s)] ds
t0

f[s, k(s)] – f[s, k(s)] ds =

t
  f[s,  (s)] – f[s,  (s)] ds при t  t
k
k
0
 t0
= 
 t0
  f[s, k(s)] – f[s, k(s)] ds при t < t0
t
t
 L   (s)  (s) ds при t  t
k
k
0

t0
 
t0

L
  k(s) k(s) ds при t < t0
t





L0Lk+1 t

 (s – t0)k ds при t  t0 
 k!

t0
 
=
k+1
t
L
L
0
 0

k
(t

0 – s) ds при t < t0


k!
t
Lk+1t – t0k+1
= L0
.
(k + 1)!





(*)
(**)
43
Напомним, что ck/k!  0 при k ; поэтому из (9) действительно следует,
что k и k сближаются с ростом k.
2.1.12. Лемма о сходимости.
В условиях теоремы Коши-Пикара последовательные приближения n  t  сходятся на I к некоторой функции   t  .
Доказательство. Воспользуемся критерием Коши сходимости последовательности
 xn  сходилась,
(для того, чтобы последовательность
необходимо и достаточно,
чтобы она была фундаментальной).
При фиксированном t покажем, что n  t   nk  t   0 равномерно относительn
но k . Для начала оценим k  t  –k+1  t  . Для этого применим лемму о сближении к начальным функциям 0 и  0  1 . Тогда
Lk t  t0
|| k  t  –k 1  t  |||| k  t  – k  t  |||| 0 –1 ||t
.
k!
k
Отсюда получаем оценку для n  t   nk  t  :
n  t   nk  t   n  t   n1  t   ...  nk 1  t   nk  t  
n  k 1
Ln t  t0
Lnk 1 t  t0
|| 0 –1 ||t
 ... || 0 –1 ||t
n!
 n  k  1!
n
Li t  t0
|| 0 –1 ||t 
.
i!
i n

i
Li t  t0
Введем обозначение Rn  t   
. Таким образом,
i!
i n

i
n  t   nk  t  || 0 –1 ||t Rn  t .

xn
Поскольку e   , то Rn  t   0 как остаток сходящегося ряда.
n
n 0 n !
x
Итак, n  t   nk  t  || 0 –1 ||t Rn  t   0 . Следовательно, выполнено условие
n
критерия Коши и n  t  сходится к некоторой функции   t  при n   .
44
2.1.13. О непрерывности функции   t  .
Бывает ли предел последовательности непрерывных функций разрывным? Да,
бывает.
Рассмотрим скалярные функции n  t   t n t  0,1 .
0, t [0,1),
1, t  1.
n  t     t   
Это поточечная сходимость. Если на отрезке сходимость равномерная, (т.е. начиная с некоторого номера n  t     t    n ,  n не зависит от t ), то предел есть непрерывная на этом отрезке функция. Пусть t0 ,,T   I . В условиях предыдущей
леммы мы установили, что n  t   nk  t  || 0 –1 ||t Rn  t . Перейдем к пределу
при k   . Получим n  t     t  || 0 –1 ||t Rn  t . Заметим, что
|| 0 –1 ||t || 0 –1 ||T и Rn  t   Rn T  , если t0  t  T или T  t  t0 . Таким образом,
n  t     t  || 0 –1 ||T Rn T .
Следовательно,  n равномерно сходится к  на t0 ,,T  . Таким образом,  непрерывна на любом отрезке t0 ,,T   I , а значит непрерывна на I .
2.1.14. Лемма об оценке погрешности n-го приближения.
В условиях теоремы Коши – Пикара и предыдущей леммы
n  t     t   0  1
e
t
L t t0
Ln t  t0
.
n!
n
Доказательство – задача!.
2.1.15. Лемма о существовании.
В рассматриваемых условиях предел последовательных приближений  есть решение задачи (НС), (НУ).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что k(t) равномерно сходится к f[t, (t)], так
как при k  1
k(t)– f[t, (t)] = f[t, k–1(t)] – f[t, (t)]
45
 Lk–1(t) – (t).
Поскольку на любом отрезке, содержащемся в I , сходимость  k к  является
равномерной, такова же и сходимость k  t  к f t ,  t  . По теореме Вейерштрасса о дифференцировании функциональных последовательностей отсюда следует равенство (t) = f[t, (t)]. Кроме того, (t0) = limkk(t0) = x0.
2.1.16. Лемма о единственности.
В условиях теоремы Коши — Пикара решение задачи (НС), (НУ) на I единственно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если  и  — решения этой задачи на [a, b], то построим последовательные приближения k, k, соответствующие начальным приближениям 0 = , 0 = . В этом случае, очевидно, k = , k =  при любом k. Но
тогда из леммы о сближении следует, что  = .
Доказательство теоремы Коши — Пикара завершено.
2.2. Другие теоремы существования и
единственности.
2.2.1. Теорема Коши-Пикара в полосе с переменным коэффициентом
Липшица.
Пусть выполнены условия (1)-(3) теоремы Коши-Пикара со следующим изменением: условие Липшица выполняется с переменным коэффициентом, т.е.
f t, x   f t, x   L t  x  x ,
(3t)
где L(t ) непрерывная на I функция.
Тогда задача (НС), (НУ) имеет на I единственное решение.
Эта теорема является усилением теоремы из 2.1., так как у неё более слабые условия, а утверждение то же самое.
Доказательство. На любом отрезке
t0 ,T   I T , t0   I 
выполнены условия
(1)-(3) в первоначальной трактовке, так как по теореме Вейерштрасса функция,
непрерывная на отрезке, ограничена на нем.
46
Тогда по теореме Коши-Пикара задача (НС), (НУ) имеет на этом отрезке единственное решение. В силу произвольности выбора отрезка задача (НС), (НУ) имеет
единственное решение на промежутке I .
2.2.2. Локальная теорема Коши-Пикара.
Пусть выполнены условия (1)-(3) теоремы Коши-Пикара со следующим изменением:
f : U  t0 , x0  

n

n
(1л)
,
где U  t0 , x0  - некоторая окрестность точки  t0 , x0  .
Тогда задача (НС), (НУ) имеет единственное решение на некотором отрезке
t0  h, t0  h ( h  0 ).
План доказательства. Определим отрезок
t0  h, t0  h
следующим образом.
Впишем в окрестность U “бочку”: t0   , t0     B  x0 , r   V . Это ограниченное
замкнутое множество. Определим величину M  max f  t , x  . Максимум суще t , x V
ствует по теореме Вейерштрасса, так как f определена на компакте.
Выберем h так, чтобы было h   и Mh  r .
Дальнейшее доказательство можно провести двумя способами.
1. Почти полностью повторить доказательство теоремы Коши-Пикара, только
0 выбирать так, чтобы: 0 : t0  h, t0  h  B  x0 , r  .
Затем доказать (индукцией по n ), что все ПП принимают значения в B  x0 , r  .
2. Продолжить f с бочки V на полосу t0  h, t0  h 
n
с сохранением непре-
рывности по t и условия Липшица по x .
2.2.3. Теорема Коши-Пикара для уравнения n  го порядка.
Рассматривается уравнение

y    F t , y, y,..., y 
n
а также начальное условие
n 1
,
(У n )
47
 y  t 0   y0 ,

 y  t0   y1 ,

. . .
 y  n1  t   y .
0
n 1

(НУ n )
Предположим, что
F определена на некоторой
окрестности U точки  t0 , y0 , y1,..., yn1  в
и принимает значения в

n
(1У n )
;
F  t , y0 , y1,..., yn1  непрерывна по t
(2У n )
при любых допустимых y0 , y1,..., yn1;
F t, x   F t , x   L x  x
(3У n )
при всех  t , x  ,  t , x  U .
Тогда задача (У n ), (НУ n ) имеет единственное решение на некотором отрезке
t0  h, t0  h
( h  0 ).
Доказательство. Задача (Уn), (НУn) с помощью введения новой (векторной) неизвестной функции

 x1   y
   y 
x

x 2
 ...   ... 
   ( n1) 
 xn   y

сводится к задаче Коши для нормальной системы

 y0 
 x1   x2



  x
x2   3
y1 



x

, x  t0  
.

 ... 
 ...   ...



  
 xn   F  t , x1 ,..., xn  
 yn1 
48
При этом условия (1Уn) – (3Уn) обеспечивают выполнение для полученной нормальной системы условий теоремы Коши – Пикара.
2.2.4. Формулировка теоремы Пеано.
Пусть выполнено условие (1л) локальной теоремы Коши – Пикара и функция f
непрерывна на U  t0 , x0  по совокупности переменных. Тогда задача (НС), (НУ)
имеет решение, определенное на некотором отрезке t0  h, t0  h .
Доказательство можно найти, например, во второй главе книги [1]. Заметим,
что в условиях этой теоремы решение задачи Коши не обязательно единственно;
множество всех решений образует так называемую интегральную воронку. В интегральной воронке всегда имеются наибольшее (верхнее) и наименьшее (нижнее)
решения, а вся воронка между ними заполнена графиками решений той же задачи.
Например, интегральная воронка задачи
x  2 x , x  0  0
заключена между графиками функций x  0 и x  t 2 sign t (проверьте!).
2.2.5. Овеществление комплексных ОДУ и теорема Коши – Пикара
для комплексной нормальной системы.
Рассмотрим уравнение
z  a t  z  b t  ,
(КЛУ)
которое отличается от изученного в параграфе 1.2 линейного уравнения (ЛУ) тем,
что данные функции a  t  , b  t  и неизвестная функция z  t  принимают в этом
случае комплексные значения:
a  t   a1  t   ia2  t  , b  t   b1 t   ib2 t  , z t   x1 t   ix2 t  ; z t  : x1 t   ix2 t  .
Подставив эти выражения в (КЛУ) и приравняв вещественные и мнимые части,
получим систему двух уравнений с двумя вещественными неизвестными и вещественными коэффициентами:
x1  a1  t  x1  a2  t  x2  b1  t  ,
x2  a2  t  x1  a1  t  x2  b2  t  .
(ОКЛУ)
49
Описанный процесс иногда называют овеществлением комплексного уравнения.
Нетрудно видеть, что уравнение (КЛУ) и система (ОКЛУ) эквивалентны в следующем смысле: функция z  t  является решением (КЛУ) в том и только том случае, когда пара  x1  Re z, x2  Im z  удовлетворяет системе (ОКЛУ).
Процедуру овеществления можно применить к любой комплексной системе
ОДУ:
z  f  t , z  , z   z1,..., zn  
n
,t 
(КНС)
.
На этом пути получается следующее утверждение: теорема Коши – Пикара остается справедливой, если всюду в ее формулировке заменить
n
на
n
. Это от-
носится ко всем рассмотренным выше вариантам теоремы Коши – Пикара.
2.2.6. Комплексификация.
В некоторых случаях оказывается возможной и полезной обратная по отношению
к овеществлению процедура комплексификации. Рассмотрим двумерную вещественную линейную систему с постоянными коэффициентами:
x1  a1 x1  a2 x2 ,
x2  a2 x1  a1 x2 .
Она имеет вид (ОКЛУ), что позволяет свести ее к эквивалентному (КУ):
z  az, a  a1  ia2 , z  x1  ix2 .
Общее решение этого уравнения можно записать в виде:
z  Ceat  C  C1  iC2 
.
По определению экспоненты с комплексным показателем,
e 1
a ia2 t
 ea1t  cos a2t  i sin a2t  .
Выделив в выражении для z вещественную и мнимую части, получим общее решение исходной двумерной вещественной системы:
x1  ea1t  C1 cos a2t  C2 sin a2t  ,
x2  ea1t  C1 sin a2t  C2 cos a2t .
В векторно-матричных обозначениях оно имеет вид:
50
 cos a2t  sin a2t
x  ea1t 
 sin a2t cos a2t

 C.

В рассмотренном примере комплексификация позволила достаточно просто найти
общее решение двумерной вещественной системы специального вида. При этом
мы воспользовались тем фактом, что общее решение комплексного уравнения
z  az выражается такой же (по виду) формулой, что и для вещественного уравнения того же вида. Строго говоря, это нуждается в доказательстве – задача.
2.3. Оператор сдвига
2.3.1. Определение оператора сдвига.
Оператор сдвига g tt0 по траекториям (НС) x  f  t , x  за время от t0 до t сопоставляет значению x0 решения (НС) в момент t0 значение gtt0 x0 этого решения в
момент t .
Если у рассматриваемой (НС) нет решения, удовлетворяющего (НУ)
x  t0   x0 и определенного в точке t , или такое решение не единственно, то считается, что оператор g tt0 в точке x0 не определен.
Например, оператор сдвига по траекториям (ЛУ) x  a(t ) x  b(t ) (см. 1.2.6)
задается формулой:
t
t

gtt0 x0  t0  t   x0  t0  t     t0  s 
 b  s ds,  t   e
1
 a s ds
t0
.
t0
t0
Он определен при всех t0 , t  I , x0 
.
2.3.2. Простейшие свойства оператора сдвига.
В условиях теоремы Коши – Пикара (с переменной константой Липшица) оператор сдвига по траекториям (НС) определен при всех t0 , t  I , x0 
следующими четырьмя свойствами.
1. gtt00 x0  x0 .
2.


d t
gt0 x0  f t , gtt0 x0 .
dt
n
и обладает
51
3. gtt1 gtt01 x0  gtt0 x0 . (
t t1 t
 )
t1 t0 t0
4. Оператор g tt0 взаимно однозначно отображает
n
на
n
 
и gtt0
1
 gtt0 .
Доказательство. Свойства 1 и 2 по существу совпадают с определением оператора сдвига. Для доказательства равенства 3 заметим, что левая и правая части по
переменной t являются, по свойству 2, решениями (НС). При этом их значения в
точке t  t1 совпадают:
gtt11 gtt01 x0  посвойству1  gtt01 x0 .
По теореме Коши - Пикара (утверждение о единственности для задачи с начальным условием x  t1   x1 ) эти решения совпадают при всех t  I . Четвертое свойство непосредственно следует из третьего, поскольку операторы gtt0 , gtt0 оба однозначно определены на
n
и их композиция есть тождественное отображение:
gtt0 gtt0 x0  gtt00 x0  x0 .
2.3.3. Свойства оператора сдвига по траекториям нормальной автономной системы.
Нормальная система (НС) называется автономной, если ее правая часть не зависит от t . Ее общий вид:
x  f  x .
(НАС)
Она обладает тем свойством, что ее решения при произвольных сдвигах вдоль оси
времени остаются решениями. В терминах оператора сдвига это можно записать в
виде:
5а. gtt0 x0  gtt0 x0  
.
Для доказательства заметим, что левая часть этого равенства по переменной t ,
как и правая, является решением (НАС). Действительно,
d t   
d t 
d
gt0  x0  gts0  x0

 f gtt0 x0  1 .
dt
ds
dt
s t 


52
Кроме того, при t  t0 она, как и правая часть, равна x0 : gtt00 x0  x0 . В силу единственности решения задачи Коши отсюда следует доказываемое равенство.
Для автономной системы вместо «оператора сдвига за время от t0 до t » будем использовать «оператор сдвига g t за время t »:
g t x0 : g0t x0  gtt00 t x0 .
При этом свойства оператора сдвига примут несколько более простой вид.
1а. g 0 x0  x0 .
2а.
d t
g x0  f  g t x0  .
dt
3а. g t g s x0  g t s x0 .
4а.  g t   g t .
1
Примером (НАС) может служить линейное уравнение с постоянными коэффициентами:
x  ax  b .
Для него оператор сдвига за время t можно записать в виде:
b b

g t x0  eat  x0   
a a

(см. 1.2.7).
3. Материалы к экзамену
3.1. Вопросы
1. Формулировка теоремы Коши – Пикара.
2. Пример отсутствия локальной разрешимости.
3. Пример отсутствия глобальной разрешимости.
53
4. Пример отсутствия единственности.
5. Определение последовательных приближений.
6. Лемма о сближении.
7. Лемма о сходимости.
8. Лемма о существовании.
9. Лемма о единственности (о простоте).
10. Формулировка теоремы Коши – Пикара с переменной константой Липшица.
11. Формулировка локальной теоремы Коши – Пикара.
12. Теорема Коши – Пикара для уравнения n-го порядка.
13. Формулировка теоремы Пеано; интегральная воронка.
14. Теорема Коши – Пикара для комплексной нормальной системы.
15. Определение оператора сдвига.
16. Простейшие свойства оператора сдвига.
17. Свойства оператора сдвига для нормальной автономной системы.
18. Лемма о линейном дифференциальном неравенстве.
19. Теорема о зависимости решения задачи Коши от начального значения и правой части системы.
20. Цирковой пример.
3.2. Пробные задачи к экзамену
1. Покажите, что задача Коши
x = (tg t)·sin (t + x), x(0) = 0
имеет на интервале (–/2, /2) единственное решение.
2. Найдите решение интегрального уравнения
t
x  t   1   x  s ds.
0
3. Задача Коши
tx = x, x(0) = 0
54
имеет по крайней мере два решения x = 0 и x = t. Почему этот факт не противоречит теореме Коши — Пикара?
4. Можно ли утверждать, что задача
x  cos x  t , x 1  0
имеет на
единственное решение?
5. На каком максимальном промежутке задача
x  y  ctg t , y   sin x, x 1  y 1  0
имеет единственное решение?
6. Если в условиях теоремы Коши – Пикара третье последовательное приближение совпадает с четвертым, то можно ли утверждать, что оно является точным
решением рассматриваемой задачи?
7. Если в условиях теоремы Коши – Пикара третье последовательное приближение совпадает с пятым, то можно ли утверждать, что оно является точным решением рассматриваемой задачи?
8. Если в условиях теоремы Коши – Пикара второе последовательное приближение совпадает с первым, то может ли первое не совпадать с нулевым (начальным)?
9. Методом последовательных приближений найти точное решение задачи
x1   x2 , x2  x1, x1  0   1, x2  0   0 .
10. Докажите, что общее решение уравнения z  az  a, z 
лой z  Ceat  C 

выражается форму-
.
11. У нормальных систем x  f  t , x  , x  fˆ  t , x  операторы сдвига определены
при всех t0 , t  , x0 
n
и совпадают: gtt0 x0  gˆ tt0 x0 . Можно ли утверждать, что
правые части данных систем совпадают?
12. Может ли формула gtt0 x0  et
тономного уравнения?
2
t02
x0 задавать оператор сдвига по траекториям ав-
55