Лекция I. Основные понятия классической
физики.
1
Обобщенные координаты
Основной объект, который мы будем рассматривать — материальная точка (часто будем называть ее просто частицей). Это тело, размерами которого при описании его
движения можно пренебречь. Пример — электроны в твердом теле, планеты при движении вокруг Солнца. Положение материальной точки в пространстве описывается
радиус-вектором r, скорость — v = ṙ = 𝑑r/𝑑𝑡, ускорение — a = 𝑑2 r/𝑑𝑡2 . Для системы
из 𝑁 материальных точек нужно задать N радиус-векторов и, соответственно, 3𝑁
координат — степеней свободы.
Любые 𝑠 величин 𝑞1 , 𝑞2 , ..., 𝑞𝑠 , вполне характеризующие положение системы, называют ее обобщенными координатами, а производные по времени 𝑞˙𝑖 — обобщенными
скоростями. Одновременное задание всех скоростей и координат позволяет предсказать все дальнейшее движение системы — лапласовский детерминизм. Уравнения
связывающие ускорения с координатами и скоростями — уравнения движения. Задача классической механики — определение зависимостей всех обобщенных координат
от времени, 𝑞𝑖 (𝑡).
Замечание. Даже в классической механике, если предположить наличие небольшой неопределенности в начальных условиях через достаточно большой промежуток
времени система перестает быть детерминированной. Пример — шарик между двумя
стенками с небольшой неопределенностью в начальной скорости.
2
Принцип наименьшего действия
Согласно принципу наименьшего действия каждая механическая система характеризуется определенной функцией Лагранжа
𝐿(𝑞𝑖 , 𝑞˙𝑖 , 𝑡).
(1)
Пусть в моменты времени 𝑡1 и 𝑡2 система занимает определенные положения, характеризуемые двумя наборами значений координат. Тогда, между этими положениями
система движется таким образом, чтобы интеграл
∫︁ 𝑡2
𝐿(𝑞𝑖 , 𝑞˙𝑖 , 𝑡)𝑑𝑡
(2)
𝑆=
𝑡1
имел наименьшее возможное значение (вообще говоря, экстремальное). Отсюда можно вывести уравнения движения
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿
−
= 0.
𝑑𝑡 𝜕 𝑞˙𝑖 𝜕𝑞𝑖
(3)
Они носят название уравнения Эйлера-Лагранжа. Их решение вместе с начальными
условиями (координатами и скоростями) в определенный момент времени полностью
определяет движение механической системы. Для системы материальных точек взаимодействующих только друг с другом функция Лагранжа имеет вид:
𝐿 = 𝑇 − 𝑈 (r1 , r2 , ..., ),
𝑇 =
∑︁ 𝑚𝑎 𝑣 2
𝑎
𝑎
1
2
,
(4)
здесь 𝑇 — кинетическая энергия, 𝑈 — потенциальная. Отсюда получаются следующие уравнения движения:
𝜕𝑈
𝑑v𝑎
=−
,
(5)
𝑚𝑎
𝑑𝑡
𝜕r𝑎
уравнения Ньютона.
3
Законы сохранения
Согласно теореме Нётер каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения. Однородности времени соответствует закон
сохранения энергии, однородности пространства - закон сохранения импульса, изотропии пространства - закон сохранения момента импульса.
Рассмотрим эти законы подробнее. В случае однородности времени функция Лагранжа системы не зависит от времени явно. Домножим уравнения (5) на v𝑎 и просуммируем
по всем частицам. Тогда слева будет полная производная по времени от
∑︀
2
𝑚
𝑣
𝑎 𝑎 /2, а справа полная производная по времени от потенциальной энергии (так
𝑎
как она не зависит от времени явно). Таким образом получается, что сохраняется
полная энергия системы,
𝐸 = 𝑇 + 𝑈 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
(6)
При однородности пространства механические свойства замкнутой системы не
меняются при любом параллельном переносе системы как целого. Соответствующий
интеграл движения - полный импульс системы
P=
∑︁
∑︁ 𝜕𝐿
=
𝑚 𝑎 v𝑎 .
𝜕v𝑎
𝑎
𝑎
(7)
Полный импульс системы равен сумме импульсов отдельных частиц,
p𝑎 = 𝑚𝑎 v𝑎 .
(8)
При описании движения системы обобщенными координатами 𝑞𝑖
𝑝𝑖 =
𝜕𝐿
𝜕 𝑞˙𝑖
(9)
являются обобщенными импульсами, а величины
𝐹𝑖 =
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
(10)
называются обобщенными силами. В таких обозначениях уравнения Эйлера-Лагранжа
имеют вид
𝑝˙𝑖 = 𝐹𝑖 .
(11)
Изотропия системы означает, что функция Лагранжа системы не меняется при
любом повороте системы как целого в пространстве. Соответствующий аддитивный
интеграл движения
∑︁
M=
[r𝑎 × p𝑎 ]
(12)
𝑎
называется моментом импульса.
2
4
Уравнения Гамильтона
Рассмотрим формулировку механики, в которой независимыми переменными считаются не координаты и скорости, а координаты и импульсы. Полный дифференциал
функции Лагранжа как функции координат и скоростей равен
𝑑𝐿 =
∑︁ 𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑖
𝑖
𝑑𝑞𝑖 +
∑︁ 𝜕𝐿
𝑖
𝜕 𝑞˙𝑖
𝑑𝑞˙𝑖 =
∑︁
𝑝˙𝑖 𝑑𝑞𝑖 + 𝑝𝑖 𝑑𝑞˙𝑖 .
(13)
𝑖
Используя равенство 𝑝𝑖 𝑑𝑞˙𝑖 = 𝑑(𝑝𝑖 𝑞˙𝑖 ) − 𝑞˙𝑖 𝑑𝑝𝑖 . Перенеся полный дифференциал в левую
часть и поменяв знаки, получим:
(︃
)︃
∑︁
∑︁
∑︁
𝑑
𝑝𝑖 𝑞˙𝑖 − 𝐿 = −
𝑝˙𝑖 𝑑𝑞𝑖 +
𝑞˙𝑖 𝑑𝑝𝑖 .
(14)
𝑖
𝑖
𝑖
Величина под знаком дифференциала — энергия системы, выраженная через координаты и импульсы. Она называется гамильтоновой функцией системы.
∑︁
𝐻(𝑝, 𝑞, 𝑡) =
𝑝𝑖 𝑞˙𝑖 − 𝐿.
(15)
𝑖
Её полный дифференциал имеет вид
𝑑𝐻 = −
∑︁
𝑝˙𝑖 𝑑𝑞𝑖 +
𝑖
∑︁
𝑞˙𝑖 𝑑𝑝𝑖 +
𝑖
𝜕𝐻
𝑑𝑡.
𝜕𝑡
(16)
Отсюда следуют уравнения движения
𝑞˙𝑖 =
𝜕𝐻
,
𝜕𝑝𝑖
𝑝˙𝑖 = −
𝜕𝐻
.
𝜕𝑞𝑖
(17)
Дифференцируя равенство (16) по времени легко показать, что
𝑑𝐻
𝜕𝐻
=
,
𝑑𝑡
𝜕𝑡
(18)
откуда снова получается закон сохранения энергии если функция Гамильтона не
зависит от времени явно. Для замкнутой системы частиц функция Гамильтона имеет
вид
∑︁ 𝑝2
𝑎
+ 𝑈 (r1 , r2 , ..., ).
(19)
𝐻=
2𝑚
𝑎
5
Скобки Пуассона
Рассмотрим некоторую функцию координат, импульсов и времени 𝑓 (𝑝, 𝑞, 𝑡). Её полная производная по времени
(︂
)︂
𝑑𝑓
𝜕𝑓 ∑︁ 𝜕𝑓
𝜕𝑓
=
+
𝑞˙𝑘 +
𝑝˙𝑘 .
(20)
𝑑𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑞
𝜕𝑝
𝑘
𝑘
𝑘
Подставив сюда уравнения движения (17) получим:
𝑑𝑓
𝜕𝑓
=
+ {𝐻𝑓 } ,
𝑑𝑡
𝜕𝑡
3
(21)
где введены обозначение {𝑎𝑏} - скобка Пуассона двух величин,
)︂
∑︁ (︂ 𝜕𝑎 𝜕𝑏
𝜕𝑎 𝜕𝑏
{𝑎𝑏} =
−
.
𝜕𝑝𝑘 𝜕𝑞𝑘 𝜕𝑞𝑘 𝜕𝑝𝑘
𝑘
(22)
Из уравнения (21) видно, чтобы не зависящая явно от времени величина 𝑓 (𝑝, 𝑞) была
интегралом движения необходимо
{𝐻𝑓 } = 0.
(23)
Для координат и импульсов можно получить следующие выражения для скобок
Пуассона
{𝑞𝑖 𝑞𝑘 } = 0, {𝑝𝑖 𝑝𝑘 } = 0, {𝑝𝑖 𝑞𝑘 } = 𝛿𝑖𝑘 .
(24)
Можно доказать важное свойство, что скобки Пуассона двух интегралов движения
𝑓 и 𝑔 тоже являются интегралом движения,
{𝑓 𝑔} = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
6
(25)
Уравнение Гамильтона-Якоби
Можно рассмотреть действие на истинных траекториях движения как функцию положения частицы в момент времени 𝑡2 . Тогда можно показать, что
∑︁
𝛿𝑆 =
𝑝𝑖 𝛿𝑞𝑖 .
(26)
𝑖
Отсюда следует
𝜕𝑆
= 𝑝𝑖 .
𝜕𝑞𝑖
(27)
𝑑𝑆
= 𝐿.
𝑑𝑡
(28)
𝑑𝑆
𝜕𝑆 ∑︁ 𝜕𝑆
𝜕𝑆 ∑︁
=𝐿=
+
𝑞˙𝑖 =
+
𝑝𝑖 𝑞˙𝑖 .
𝑑𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑞
𝜕𝑡
𝑖
𝑖
𝑖
(29)
По определению
Используя это равенство получим:
Окончательно получим уравнение Гамильтона-Якоби:
𝜕𝑆
= −𝐻.
𝜕𝑡
7
7.1
(30)
Упражнения по механике
Одномерное движение
Задача о движении системы с одной степенью свободы. Функция Лагранжа системы
𝐿=
𝑚𝑥˙ 2
− 𝑈 (𝑥)
2
(31)
Уравнение движения
𝑚¨
𝑥=−
4
𝜕𝑈
.
𝜕𝑥
(32)
Его первый интеграл
𝑚𝑥˙ 2
+ 𝑈 (𝑥) = 𝐸.
2
(33)
Тогда
√︂
𝑑𝑥
2
=
[𝐸 − 𝑈 (𝑥)],
𝑑𝑡
𝑚
√︂ ∫︁
𝑑𝑥
𝑚
√︀
𝑡=
+ 𝑡0 .
2
𝐸 − 𝑈 (𝑥)
(34)
(35)
Кинетическая энергия должны быть неотрицательна, поэтому полная энергия частицы 𝐸 не может быть меньше потенциальной энергией. Возникает две возможности
- финитное и инфинитное движение. При финитном движении можно вычислить
период. Пусть 𝑥1 (𝐸) и 𝑥2 (𝐸) - точки разворота. Тогда
𝑇 (𝐸) =
√
∫︁
𝑥2 (𝐸)
2𝑚
𝑥1 (𝐸)
7.2
𝑑𝑥
√︀
.
𝐸 − 𝑈 (𝑥)
(36)
Движение в центральном поле
В центральном поле потенциальная энергия зависит только от расстояния 𝑟 до определенной неподвижной точки. Сила, действующая на частицу, направлена в каждой
точки вдоль радиус-вектора
𝑑𝑈 r
.
(37)
F=−
𝑑𝑟 𝑟
В такой системе сохраняется момент импульса M = [r×p]. Это означает, что векторы
M и r взаимно перпендикулярны и, следовательно, частица двигается в плоскости
перпендикулярной вектору момента импульса. Введя в этой плоскости полярные координаты получим функцию Лагранжа в виде
𝐿=
𝑚 2
(𝑟˙ + 𝑟2 𝜙˙ 2 ) − 𝑈 (𝑟).
2
(38)
Уравнение движения по циклической координате дает уже известное нам сохранение
момента импульса
𝑀 = 𝑚𝑟2 𝜙.
˙
(39)
Для решения уравнения движения по 𝑟 будем использовать закон сохранения энергии
𝐸=
𝑀2
𝑚𝑟˙ 2
+ 𝑈 (𝑟).
+
2
2𝑚𝑟2
(40)
Таким образом мы свели задачу к предыдущей, при этом движение происходит с
учетом центробежной энергии в эффективном потенциальной энергии
𝑈𝑒𝑓
𝑀2
= 𝑈 (𝑟) +
.
2𝑚𝑟2
(41)
Значения 𝑟 при которых 𝐸 = 𝑈𝑒𝑓 определяют границы области движения по расстоянию от центра. В общем случае движение не периодично и траектория заметает область между наибольшим и наименьшим расстояниями до центра. В поле
𝑈 (𝑟) = −𝛼/𝑟 (Кеплерова задача) орбиты могут быть эллиптическими, параболическими и гиперболическими.
5
8
Волны в классической физике
Помимо задач об описании движения материальных объектов в классической физике возникает ряд проблем, в которых естественным образом возникает понятие о
волнах. Самым наглядным примером, но и одним из самых сложных с точки зрения
физики, являются волны на воде, также можно упомянуть электромагнитные волны, которые в зависимости от длины волны, могут проявлять себя как радиоволны,
свет, рентгеновское излучение и т.д., звук, который представляет собой колебания
материальной среды, например, атмосферы или твердого тела. В последнем случае,
чисто теоретически, можно попытаться проследить за всеми атомами вещества, однако из-за того, что в таком процессе принимает участие огромное их количество
такой способ описания является избыточным. На передний план выходит усредненное описание среды через макроскопические параметры.
Рассмотрим, например, распространение звука в атмосфере. Для звуковой волны
распространяющейся вдоль оси 𝑥 оно имеет вид
1 𝜕 2𝜒
𝜕 2𝜒
=
,
𝜕𝑥2
𝑐2 𝜕𝑡2
(42)
здесь 𝜒(𝑥, 𝑡) — смещение воздуха в точке 𝑥 в момент времени 𝑡, 𝑐 — скорость звука,
√︃
𝑑𝑃
(43)
𝑐=
𝑑𝜌
— корень из производной давления по плотности воздуха.
Оказывается, что точно такое же уравнение описывает и продольные колебания
стержня из твердого материала. Из уравнений Максвелла в вакууме легко показать
(выбрав калибровку поля 𝜙 = 0, div A = 0), что векторный потенциал удовлетворяет
уравнению
1 𝜕 2A
(44)
△A = 2 2 ,
𝑐 𝜕𝑡
где 𝑐 в данном случае — скорость света, △ — оператор Лапласа,
△=
𝜕2
𝜕2
𝜕2
+
+
.
𝜕𝑥2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
(45)
В выбранной калибровке
1 𝜕A
, H = rot A.
(46)
𝑐 𝜕𝑡
Следовательно, для поля, распространяющегося вдоль оси 𝑥, каждая компонента
удовлетворяет уравнению (42). Но, в отличии от продольных колебаний атмосферы,
колебания электромагнитного поля поперечные.
Давайте рассмотрим решения уравнения (42) в бесконечном пространстве. В наиболее общем виде его можно записать как (проверяется непосредственной подстановкой)
𝜒 = 𝑓 (𝑥 − 𝑐𝑡) + 𝑔(𝑥 + 𝑐𝑡),
(47)
E=−
𝑓 и 𝑔 произвольные дифференцируемые функции. Первая часть решения представляет собой волну бегущую направо, вторая — налево.
Важное частное решение - плоская волна, которая характеризуется волновым
числом 𝑘 и частотой 𝜔,
𝜒 = 𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)
(48)
6
(настоящее решение для звуковой волны дается мнимой или вещественной частью
этой функции). Сравнивая эту формулу с (47) находим, что 𝜔 = 𝑐𝑘 — закон дисперсии (зависимость частоты от волнового вектора) звуковых волн. Решение для
произвольного направления распространения в пространстве
𝜒(r, 𝑡) = 𝐴𝑒𝑖(k·r−𝜔𝑡) .
(49)
Здесь k — волновой вектор.
Произвольное решение может быть представлено в виде интеграла Фурье по плоским волнам:
∫︁
𝑑3 k
𝑓 (r, 𝑡) =
𝑓 (k)𝑒𝑖(k·r−𝜔𝑡) .
(50)
3
(2𝜋)
Заметим важное свойство — если решение 𝑓 (r, 𝑡) локализовано в пространстве,
то оно содержит большое количество гармоник, решение с определенным волновым
вектором — плоская волна, полностью делокализовано в пространстве.
9
Волны. Упражнения
1. Покажите, что электромагнитные волны являются поперечными.
2. Проверьте, что решение (48) удовлетворяет уравнению
△𝜒 =
1 𝜕 2𝜒
.
𝑐2 𝜕𝑡2
3. Найдите Фурье-образ функции 𝑓 (𝑥) = exp (−𝑥2 /2𝜎 2 ).
4. Решите уравнение продольных колебаний стержня жестко зафиксированного
с обоих концов (амплитуда колебаний в этих точках равна нулю). Найдите
собственные функции и частоты колебаний.
7
