part2

1.Вводные замечания.
В первой части было показано, что функцию y , x  можно представить сходящимся
рядом вида
y  , x   x


j
j 0
 
1  x 
P3 j 1 x 2
2 2 j 1
.
Иначе
y

x

 2 n1  nk
 
2

 k 1 1  x
 
n
n0


Таким образом, функцию
y

x
 1  x  
n
k
2 k
k 0
n
k

 , ij  Q .


y
можно представить в виде ряда Лорана по степеням 1  x 2  :
x

  c  1  x  ,
2 i
n
i
i  
где коэффициенты ci   разлагаются в степенные ряды
ci x  

  .
j
j
i
j 0
Также, по результатам первой части, подобные разложения Лорана имеют и функции
X , R , Y и т.п.
x
2.Основные обозначения и соотношения.
Прежде всего, как и раньше, будем за «базовое» принимать разложение для функции
Сделаем замену переменных  y , x   z ,t  через формулы
y

z 
x

t  1  x 2
( t не путать со временем).
В отличие от предыдущей части, основное разложение будет базироваться не на ряде
Эйлера (I.8), а на уравнении (I.4). В новых переменных оно примет вид

z  2t  1z 

2
1
t
1   t  1z 2 , здесь z   dz .
2
2
dt
1    1  t  1z
Нам нужно найти его решение z  z  ,t  при условии
z0,t   1 .
Решение будем искать в виде ряда
z  ,t  

 c  t .
i
i
i 
Таким образом, задача сводится к нахождению коэффициентов ci   , которые будем
искать в виде рядов (3).
Фактически, она сводится к нахождению чисел  i j , где j  Z  и i  Z .
Из условия (6) сразу находим
 i0   0i i  Z .
Перепишем (5) в виде
z  2t  1z1  t  1z 2 1   2  t 1   t  1z 2 2  0 .
Или как
F  , z  1, z,t   0 .
Причем, первые три аргумента, очевидно, имеют первый порядок относительно  .
Представим (10) как
F 0,0,0,t   F1  , z  1, z,t   F2  , z  1, z,t   0 , где:
F 0,0,0,t   1  1  t  1 1  t  0 ,
F1 - линейная форма относительно первых трех аргументов,
F2 - остальные слагаемые, имеющие второй и выше порядки.
Таким образом, мы пришли к основному уравнению, посредством которого
последовательно будем находить коэффициенты  i j :
F1   F2 .
y
.
x
Представим левую и правую части (12) в развернутом виде:
F1  2G2  t 2G1  3G2   4t  2t 2G1  2t 2 ,
 F2  G3  2G4   2 2G2  G3  2G4   t G3  2G4   2t G1  3G2  G3  4G4  G5  
  2 2G2  G3  2G4   2t 2G4   2t G1  3G2  G3  4G4  G6  1 
2t 2 2G1  2G4  G5   2 2t 2 G1  G4  G6    2t 3G6
Здесь Gk  Gk z , z - формы относительно указанных переменных:
G1  z 
G  z  1
 2
G3  z 3  3 z  2


2
G4  z  z  1
G  z 2  1
 5
G6  z 4
n
n
Введем линейные операторы ... , ... k , ... k такие, что если





  t
n
k
n k
- формальный степенной ряд, то:
k   n 0

n
k
 
n
k
 
n
k
  kn .
Введем также обозначения для коэффициентов лорановского разложения целых
степеней функции z :
z  ,t  
m

c
k 
m 
k
 t k ,
mZ .
Очевидно, что ck1  ck в (7).
3.Вывод основной системы.
Применим теперь введенный оператор к обеим частям (12). Начнем с форм Gk z , z :
n

G1
n
k
 i  1c

 k  1 kn1 ,
t i1
i1 1
1
i1 
G2
G3
n
k
n
k
k
    0 k 0 n ,
n
k
 ck3  3ck  2
n
 

j1
i1
j2
i2
ij  3 kn  2 0 k 0 n 
3
3
i k , j n

 
j2
i2
 
j2
i2
j1
i1
ij 
3
3
i k , j n
jm  n

j1
i1
  
n
i1
0
i2
0
i3

  i01 in2  i03   i01 i02  in3  3 kn  2 0 k 0 n 
i k
 ij   kn   kn   kn  3 kn  2 0 k 0 n 
i k , j n
jm  n
n
k
n
i  1c

2 
i1 1 k  i1
1
c
 k  1ck 1

i  
j1
1 i1
n
k

 
j2
i2
 
j2
i2
j1
i1
3
3
2 
1 i1 k 1 i1
 k  1ck 1

i1  
j2
i2
 ij  k  1 kn1 
i  
j1
1 i1
3
3
i  k 1, j  n
G5
 ij  2 0 k 0 n ,
n
i c c

i1  

j2
i2
i k , j n
jm  n

G4
 
j1
i1
3
3
j2
i2
 ij ,
3
3
i  k 1, j  n
jm  n
  0 k 0 n ,
i k , j n
G6
n
k

j1
i1
ij ij .
3
4
3
4
i k , j n
Причем, в выводах формул (18) и (19) мы пользовались (8), то есть
i0   0i .
Из формул (13) и (14) получаем:
F1
n
k
 2t 2G1  2tG1  3tG2  2G2  4t  2t 2
 2 G1
n
k 2
 2 G1
n
k 1
n
k
 3 G2
n
k 1
 2 G2
n
k
n
k

 41k1n  2 2k1n 
 2k  1 kn1  2k  3 kn1  31k 0n  2 kn  2 0k 0n  41k1n  2 2k1n 
 2k  1 kn1  2k  1 kn   0n 2 0k  31k   21n  2k  21k  .
 F2
n
k
 G3  2G4
n
k
n 1
  4G2  2G3  4G4
  2G1  6G2  2G3  8G4  2G5
 G1  3G2  G3  4G4  G6
  2G1  2G4  2G6
n2
k 2
n2
k 1
 G6
k
n 1
k 1
  G3  4G4

k 1
 2G2  G3  2G4

n2
k
 1k 2 n  4G1  4G4  2G5
n2
k 3
  2G4
n 1
k 2
n
k 2


.
Таким образом, окончательно, уравнение F1  F2
2k  1kn1  2k  1kn 
n

f kn ij i  Z, j  0,n  1 .
n
k
 0 преобразуется к виду:
4.Анализ системы и ее решение.
 
Прежде всего, отметим, что последовательность f kn kZ финитна для любого n  Z .
А именно, из рассмотрения соотношений (16)-(23) следует, что при фиксированном n :
f kn  0 при k  1 2n и при k  n  1 .
Покажем, что аналогичным свойством обладает и совокупность последовательностей
 kn kZ . Имеет место следующее
 
Утверждение:  nn k   n2 n  k  0 n  Z и k  N .
Для доказательства достаточно рассмотреть случай k  1 . Верность утверждения для
больших k будет тогда следовать из (24) и (26). Для начала приведем аналитическое
выражение коэффициентов наших разложений:

ck    1
2i

z  ,t 
dt ,
t k 1
zn  0,t 
1
1
 
dt ,
2i n!
t k 1

n
k

где  - некоторый (достаточно малый) замкнутый контур в комплексной области,
содержащий точку t  0 .
Рассмотрим интеграл
1
2i


z   ,t 
 t dt ,
t2
где  - некоторая, достаточно малая постоянная.
Из регулярности z по первой переменной, (29) можем записать в виде
1 1 
2i t 2 



 
n 0
n
1    z n  0,t dt 
 

n!  t  


z n  0,t  
 n  1 1  n  2 dt  .
t
 2i n!

n 0






Следовательно, с учетом (28), приходим к равенству:
1
2i


z  ,t 
 t dt 
t2


 .
n
n
n 1
n 0
Покажем, что левая часть (30) не зависит от  и равна нулю, тем самым мы докажем

первую часть нашего утверждения. Для этого покажем регулярность функции z  ,t 
t
в точке t   .
Перепишем (I.7) в новых обозначениях:
1  1  1  z 2


t  t
z
 1   1  1  z  dz  1     3t  3   0 ,
1
2
0
2


2
1
2

t 
t
или в общем виде
F t , z   0 .
Очевидна регулярность F по t в окрестности бесконечности, поэтому
F  , z  
z

0
z2
dz  1  0 .
2 2
3
1  z


Последнее уравнение определяет некоторое значение z  z . Очевидно, что
z  1  O 
Также очевидно, что F регулярна по z в окрестности z .
Далее имеем:
z2
 F  , z  

z
1  z2

 1  O  .

2
F  0 . Отсюда, по теореме о неявной
z
функции следует, что существует функция z  z  ,t  , регулярная на бесконечности по t .
t 
То есть, при достаточно малом  получаем, что
Следовательно, интеграл в (30) равен нулю, откуда получаем:
 nn1  0 n  Z .
Докажем вторую часть утверждения. Рассмотрим интеграл


1 z t 2 ,t dt ,
2i

где  - достаточно малая постоянная,  - некоторый замкнутый контур, содержащий t  0 .
Из регулярности z по первой переменной, (33) принимает вид:
1 
2i 
 


n 0
1 t 2 n z n  0,t dt 


n!

 


n 0


 n  1 1 t 2 n zn  0,t dt  .
 2i n!





С учетом (28) можем написать равенство:
1
2i

 zt ,t dt  
2
 .
n
n
2 n1
n 0



Покажем регулярность функции z t 2 ,t в точке t  0 . Перепишем (I.8) в новых
переменных:


k 0
2 k 1
2k 3
1  k  t  1  2zk  1  2zk  3 t  1 


k
k
z3  3 z  2  t  
t 1
1 t

1  k 
k 0

k
2  t  0 , или
3
2  k  k  3t  1k  2zk  3  2zk  5 t  1  12  tt   0 .
2k 3


k 0
2k 5


В общем виде
z 3  pt z  qz ,t ,    0 ,
или просто
F z ,t ,    0 .
Здесь
pt   3 ,
t 1
z



qz ,t ,    3 z 2 2  z 2 1  t 
0
1  z 2 1  t 
1  z 1  t 
2
2
dz 
1 2t
.
1   2 1  t
Уравнение (35) неявно задает функцию z  ,t  . Покажем, что ее ветвь, определяемая
условием z 0,t   1 , регулярна при   t 2 по t в точке t  0 , при этом:


lim z t 2 ,t  z 0,0  1 .
t 0
Очевидно, что
F 1,0,0  0 ,
2
F  3 1  t  1z
.
z t  1 1   t  1z 2 
Следовательно,
F 1,0,0  0 .
z
Поэтому, непосредственно к F теорема о неявной функции неприменима.
~
Преобразуем F к новому виду F такому, чтобы выполнялись условия:
~
F 1,0,0  0 ,
~
F 1,0,0  0 .
z
Для этого выделим из (35) нашу ветвь посредством формулы для корней кубического
уравнения. Будем использовать тригонометрическую форму, тогда уравнение для
определения этой ветви примет вид
~
F z ,t ,    z 
2 cos 1  z ,t ,    2   0 ,


3 
3
1 t
где
 z ,t ,    arccos   1 1  t 2 qz ,t ,   .
3
Очевидно, что
 2

~
F z ,t ,0  z  1 ,
поэтому
~
F 1,0,0  0 .
Далее,
~
F  1  2 sin 1  z ,t ,    2   ,


z
3  z
3
3 1 t
q
  
1
,
z
z
3 2
1
1  1  t  q z ,t ,  
4
q
1  z 2 1  t 
 3z 2 2  z 2 1  t 
2 .
z
1  z 2 1  t 
~
Очевидна аналитичность функции F z ,t ,t 2  в окрестности точки z ,t   1,0 . Далее,






 
q 1,t ,t 2  2  3t  O t 2 ,
откуда


2
2
 1,t ,t 2   1 3t 2  t 1  t  ,
2
z
1  t 2 1  t 
O t2


  

следовательно, получаем
~
F 1,0,0  1  0
.
z


Таким образом, по теореме о неявной функции, существует функция z  z t 2 ,t ,
регулярная в точке t  0 . Поэтому, интеграл в левой части (34) равен нулю для любого,
достаточно малого  . Окончательно получаем:
 n2 n 1  0 n  Z .
Утверждение доказано.
Следствие: вторая часть утверждения верна и при k  0 , за исключением  00  1 .
Другими словами,
 n2 n  0 n  N .
Этот результат непосредственно вытекает из системы (24). Действительно, принимая
в (24) k  2n , получим уравнение
4n n2n  4n  1 n2n 1  f n2 n .
Пользуясь (26) и (36), получаем требуемый результат.
Замечание 1: результаты (32), (36) и (37) этого утверждения сразу следуют из
формулы (1), но представляет интерес их доказательство, не опирающееся на
результаты части I.
Замечание 2: доказательство вышеприведенного утверждения можно построить иначе,
базируясь на сходимости лорановского ряда (2) и на соотношении
z  ,1 
1 ,
1   2
вытекающем из (5) при t  1.
Докажем еще одно
Утверждение:  n2  0 n  Z , или иначе c 2    0 .
Для доказательства воспользуемся формулой (27):

c 2    1 tzdt .
2i

Перейдем к переменным x , y , тогда получим
c 2    1
2i
 1  x  x 2xdx  i  1  x ydx .
2
y
1
x
2
x


Исключая при помощи уравнения (I.4) выражение 1 x 2 dx , придем к формуле
c 2   
1   
2
i
1 y
 1  y  ydy .
2
2 2
y
Здесь:
 - достаточно малый контур в комплексной плоскости t , содержащий точку t  0 ,
 x - малый контур в комплексной плоскости x , обходящий точку x  i ,
 y - малый контур в комплексной плоскости y , обходящий точку y  i .
Интеграл в (42), для достаточно малого контура  y , не имеет внутри особенностей,
следовательно равен нулю. Утверждение доказано.
Следствие: f n1  0 n  Z .
Беря в (24) k  1 , получим f n1   n2  0 .
Таким образом, из этих двух утверждений вытекает, что
, при k  Z ,
c    O  k
k
 

c 2    0

1 k 2 
ck    O 

Здесь

, при k  Z ,
  - целая часть.
Теперь можем приступить непосредственно к решению системы (24) (первым
утверждением показана ее конечность для каждого n ).
Рекуррентно, сверху вниз, для заданного n  Z , находим
1 fn ,
2n  3 n 1
 nn1  1 f nn  2n  1 nn ,
2n  1
 nn 2  1 f nn1  2n nn1 ,
2n  1
 nn 




………………………………..
1n 2 n 


1
f n  24  2n  2n 2 n .
5  4n 2  2 n
Таким образом, процесс нахождения коэффициентов  i j сводится к вычислению правых
частей системы (24) для k  2  2n,n  1 , зависящих от уже известных коэффициентов.
Эта процедура легко программируется для реализации на ЭВМ. В приложении 1
приведены значения коэффициентов  i j для j  10 и i   19,10 . Приведена также
программа, позволяющая находить ряды (3) до любой степени  .
Приведем несколько первых членов этих разложений:
c0    1  4   24  2  ... ,
5
35
c1     2   32  2  ... ,
5
35
8
64
c1       2  ... ,
5
35
37
2
c2   
  ... ,
175
c 2    0 ,
c3    64  2  ...
25
Замечание 1: из формулы (38) следует равенство

n
n
k
1 n .
k 1 2 n
Замечание 2: из (38) также следует
c    1 1 
n
lim
n  
k
2
для    1,1 .
k 1 2 n
Как будет показано в параграфе 6, также верно соотношение:

c    1 1 
k
k  
2
при  0,1305793...    0,3663946...
5.Разложения орбитальных координат.
Для сохранения регулярности по t , перейдем от безразмерной координаты Y к Z
посредством формулы
Z Y .
x
В новых переменных получим:
2

1 1    1  t  1z
X


2
1   t  1z 2


z
Z  1   
1   t  1z 2

2

1 1    1  t  1z
R


2
1   t  1z 2

Разложения будем искать в виде

X 
 X  t
k
k
, где X k   

X 
n
k
n
, X kn  Q ,
n0
k 
для остальных координат обозначения соответствующие.
Дополнительно введем функции
A  R  X  1   
B  R  X  1   
1
,
1   t  1z 2
t  1z 2
1   t  1z 2
.
Утверждение: для любого n  Z выполняются следующие условия финитности (в
верхних равенствах k  N , в нижних k  Z ):
n

 X n 1 k  0
,
 n

X



0
0k
  2n k
n

Z n  k  0
,
 n

Z



0
0k
  2n  k
n

 Rn 1 k  0
,
 n

R

0
  2n  k
n

 An  k  0
,
 n

A



0
1k
  2 n 1 k
n

 Bn 1 k  0
.
 n

B



0
0k
  2n  k
Для доказательства будем пользоваться методом, примененным в предыдущем
параграфе для доказательства первого утверждения. Покажем, например, верность
первых двух равенств.
Пусть  - некоторая, достаточно малая постоянная,  - некоторый замкнутый контур в
комплексной плоскости, содержащий точку t  0 . Тогда

X
n0
n
n 1 k
1 X
n  1

2i t k  2  t


1  t  1z 2   ,t 
1 1   
 t  dt 
,t dt  1

k 2 
4

i
t


 1  t  1z 2   ,t 
t 



t
t 

1  1  1 1  O 1  


 
 t 


1 1    t  t 
 1
dt  1   k11  O k1 2  dt  0 .


k 1
4i t 
t
4

i
t
t



1   1  1 1  O 1  


 t 
 t 


Аналогично,


n0




1  t  1z 2 t 2 ,t k
X n2 n  k  n   0 k  1 t k 1 X t 2 ,t dt  1 1 1 1  t 2
t   0 k dt 
2
2
2
2i
2i t  2
1  t t  1z t ,t







 









 1 1 t k  O t k 1   0 k dt  1 O t k 1 0 k dt  0 .
2i t
2i


Следовательно, верность первой системы равенств доказана. Остальные доказываются
аналогично.
Утверждение: Z n2  0 n  Z , или иначе Z  2    0 .
Для доказательства воспользуемся формулой (27):

Z  2    1 tZdt  1
2i
2i

 1
i
3
 1   
y
y

1  x dx 
1  x Y 2 x  1 1   

x
i 
1  y
2
2
2
x
1 y
x
2
1  y 
2 3
ydy  0 .
Здесь контуры аналогичны контурам в (40) - (42).
Построим теперь саму рекуррентную схему для вычисления коэффициентов наших
разложений. Для этого воспользуемся схемой, предложенной в параграфе 6 предыдущей
части. В наших обозначениях она примет вид:
 A  1    B
Z  zA

 B  t  1zZ .
 X  A  B / 2

 R   A  B  / 2
Применяя к уравнениям (51) оператор ...
считаем известными):

 Akn   0 k  0 n   1n   Bkn 1
 n
 i1j1 Ai2j2
Z k 

j n , i k

 n
 i1j1 Z i2j2 
 i1j1 Z i2j2
 Bk 

j  n , i  k 1
j n , i k

 X kn  1 Akn  Bkn
2

 n 1 n
R  A  Bkn

 k 2 k







n
k
и учитывая (49), получим (коэффициенты  kn
, k  2  2n,n
, k  1 2n,n
, k  1  2n,n  1
, k  1  2n,n  1
, k  1  2n,n  1
Для входа в схему (52) достаточно формально принять
det
B01  0 .
Вычисляя таким способом, выпишем первые члены разложений:
X 0    1  14   ... ,
5
1
X 1      4   ... ,
2 5
8
X 1      ... ,
5
X 2     1   ... ,
10
……………………….
Z 0    1  6   ... ,
5
3
Z1      ... ,
5
Z 1    8   ... ,
5
………………………..
R0    4   ... ,
5
1
R1     1   ... ,
2 5
R1     8   ... ,
5
R2    1   ... ,
10
………………………..
Вообще, из (49) и (50) следует, что (в верхних равенствах k  Z , в нижних k  Z ):








Z    O 



.
Z    O
k 1  0 k

 X k    O 
,

1 k 2 



X


O

k

 Rk    O  k 1 2 0 k

,

1 k 2 

 Rk    O 
k
k
1 k 2
k
Z    0
 2
Замечание: из формул (38) и (48) сразу вытекают соотношения, полезные для контроля
вычислений:
X  ,1  1 1    ,
2
R ,1  1 1    ,
2
Z  ,1  1 .
1 
6.Сходимость.
Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям параграфа 6 предыдущей части,
приходим к выводу, что достаточно исследовать на сходимость только разложение (7).
Таким образом, необходимо определить кольцо, в котором (7) сходится:
r    t     .
Из соотношения z 0,t   1 сразу следует
r 0  0
.

  0  
Перепишем соотношение (I.6) в виде
x  1 x3  2   , y  , где
3
3

y

 arctg - 
  , y   3 1   2  1  1 
 1  1 
2
4
  1  y   
-


,


или в виде ряда
  , y   3 1   2 y
2

1  y 
2 k




1

k

y



2k  1 2 k  3 
2

k 0

В наших переменных z ,t  (54) примет вид


.
t  1t  2  2  , z t  1 , или
t  1  13 t  13  23  , где    1  2 2 .


Уравнение (57) определяет многозначную функцию z  ,t  . Нас интересуют особенности
той ее ветви, для которой выполняется условие z 0,t   1 . При этом будем считать
t  C и    1,1 .
Из (5) получаем

2
dz  1  1
t
1   t  1z 2  z  .
2
2

dt 2t  1  1    1  t  1z

Откуда, учитывая что при t  1 функция z аналитична (см. (38)) следует, что особенности


возникают при выполнении условий
t  1z 2  1 ,
t  1z 2  
.
Уравнение (57) определяет трехзначную функцию t  t   , непрерывную по  .
Приведем значения этой функции при   R :
  a  1 sign   1

 
a
t    
 1  a  1 sign   1  i 3  a  1 
 2 
a
2 
a
2sin a  1

3
t    
 sin a  1  3cos a
3
3


2
для   1 , где a      1

13
,
 
для   1 , где a  arcsin    ,  .
 2
2 
Пользуясь условиями z 0,t   1 и z  ,1 

1
1   2

, приведем некоторые значения
функции   , z t  1 :

  , z  ,t 
|
t  1|
 0, z 0,t  t  1
t 0
  0,i   1  2 2 0,i   1 ,
t 1
   ,0  1  2 2  ,0  1 .
Выделим однозначную ветвь t*   функции t   для которой t* 1  0 и t*  1  1 .
Из формул (60) находим модуль этой ветви при   R :

a  1  1

a


t *    2cos a     1
3 6

12
2


1
1




  a     a    2 
a 
a


 


для    ,1 , где a     2  1

13
,
для    1,1 , где a  arcsin   -  ,   ,
 2

для    1, , где a     2  1

2 
13
.

Приведем значения функции   , z t  1 при условиях (58) и (59):
2


arctg  
4 1


9
1
  1 , при   0,1 ,
 1      1  
  
8

 


  ,i   
2
9
arth   
4 1


1
  1 , при    1,0 .
 8 1       1   









Или, в общем случае    1,1 :

  ,i   181    


4


k 0
2

k
k 1

     1 R .

2k  12k  3

В случае (59) :
  ,   9
2
32
1   6  1 R .
3
При этом, используя (61), находим
t*  0,i   0 ,
t*  0,   .
Учитывая (53), окончательно получим выражения для внутреннего и внешнего радиусов
кольца сходимости разложения нашей ветви функции z  ,t  :
r    t*   ,i  ,
    t*   , ,
где t * и  даются формулами (61) – (64). Характер поведения этих функций показан на
графике (рис.2), на котором область сходимости заштрихована.
Численные значения некоторых точек графика :
*  0,3663946... ,
*  0,1305793... ,
**  0,9383545... ,
r *   1 ,
 *   1 ,
r **    **   6,2439024... ,
 *   16,392686... .
Приведем также некоторые асимптотики при   0 :
 3  2 3  1
 1
2
 4     2     2  O 



    
23
2 3
  3   1  2     1    3   O  2







 4 

  4  
 
 
, при   0 ,
, при   0 .
Или
, при   0 ,
1,77  3,04  1,77   ...

 
    
 1,77  2,54  2,33  ... , при   0 .

 
Переходя к старой переменной x и учитывая, что в приложениях x  R , покажем на
графике область сходимости в этом случае (рис. 3).
Асимптотики границы области сходимости при   0 :
, для   0 ,
3
1,33
 1,89   0,30   ...
 

x*  
 1,33  0,58    1,22   3  ... , для   0 .

 