Степень с рациональным показателем

Конспект урока по теме:
«Степень с рациональным показателем»
Учебник: Алгебра. 9 кл.: учеб.для общеобр. орг./ Ю.М. Колягин и др. – М.:
Просвещение, 2014. Глава I, § 4
Тема урока: «Степень с рациональным показателем»
Тип урока: урок решения ключевых задач
Учебная задача урока: рассмотреть различные виды задач на определение
степени с рациональным показателем и свойства степеней с рациональным
показателем.
Диагностируемые цели:
В результате урока ученик:
Знает:
- определение степени с рациональным показателем
-свойства степеней с рациональным показателем
-как решать задачи на вычисление, упрощение выражения, сокращение дробей
Умеет:
-использовать определение степени с рациональным показателем при
решении задач на вычисление, упрощение выражения, сокращение дробей.
-использовать свойства степени с рациональным показателем при решении
задач на вычисление, упрощение выражения, сокращение дробей.
Понимает:
Как решать задачи на вычисление, упрощение выражения, сокращение
дробей, используя определение степени с рациональным показателем и
свойства степеней с рациональным показателем.
Учебные действия, формируемые на уроке:
 Личностные: умение учащегося устанавливает связи между целью
учебной деятельности и ее мотивом, то есть между результатом учения, и
тем, что побуждает деятельность, ради чего она осуществляется, таким
образом должна осуществляться осмысленная организация собственной
деятельности ученика.
 Регулятивные: целеполагание как постановка учебной задачи на основе
соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще
неизвестно, планирование – определение последовательности
промежуточных целей с учетом конечного результата, оценка – выделение и
осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежи усвоению,
осознание качества и уровня усвоения.
 Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем
и сверстниками, то есть определение цели сотрудничества, функций
участников, способов взаимодействия, умение с достаточно полнотой и
точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями
коммуникации, владение монологической и диалогической формами речи в
соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка,
умение доказывать собственное мнение.
 Познавательные: анализ объектов с целью выделения признаков
(существенных, несущественных); выдвижение гипотез и их обоснование;
построение логической цепи рассуждений, доказательство, подведение под
понятие; выведение следствий; установление причинно–следственных
связей.
Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковые, УДЕ.
Форма работы: фронтальная, групповая.
Средства обучения: традиционные, презентация, карточки с заданиями
Структура урока:
I.
Мотивационно-ориентировочная часть (5 мин)
II.
Операционно-познавательная часть (38 мин)
III.
Рефлексивно-оценочная часть (2 мин)
Ход урока
Деятельность учителя
Деятельность ученика
1. Мотивационно-ориентировочная часть.
1. Актуализация имеющихся знаний и умений учащихся
Задание 1.
Представить в виде степени с
рациональным показателем:
а) √𝑥 3
3
б) √𝑎4
5
в) √𝑥 −1
1.Решение:
а) √𝑥 3
3
= 𝑥2
4
3
б) √𝑎4 = 𝑎3
−1
5
в) √𝑥 −1 = 𝑥 5
Сформулируйте определение
степени с рациональным
показателем?
Степенью числа а > 0 с рациональным показателем
, где m – целое число, а n – натуральное (n > 1),
𝑚
называется число 𝑎 𝑛 =
Задание 2.
Представить в виде корня из
степени с целым показателем:
1
а) 𝑥 4
2.Решение:
1
а) 𝑥 4
2
б) 𝑦 5
2
5
−5
6
4
= √𝑥
5
= √𝑦 2
б) 𝑦
в) 𝑎
−5
Задание 3.
Вычислить
2
5
7
7
а)5 * 5
6
в) 𝑎 6 = √𝑎−5
3.Решение:
2
а) 57
5
* 57 = 5
2+5
7
= 51 = 5
- Какое свойство использовали?
умножение степеней с
одинаковыми основаниями
2
б)
1
= 9
4−1
6
1
= 92 = √9 = 3
96
2
б)
93
93
1
96
- Какое свойство использовали?
1
в) (812 )
−4
- Какое свойство использовали?
8 1
г) ( )
27
деление степеней с одинаковыми основаниями
3
1
−4
в) (812 )
−4
−1
= 8 12 = 8 3 =
1
3
√8
возведение степени в степень
г)
8 1
1
( )3 =
27
83
1
273
√8 2
=
√27 3
=
- Какое свойство использовали?
возведение в степень частного
д) (3*5)2
д)(3*5)2=32*52=9*25=225
- Какое свойство использовали?
возведение в степень произведения
=
1
2
2. Мотивация учебной деятельности учащихся. Проблемная ситуация.
На предыдущих уроках Вы
изучили понятие степени с
рациональным показателем и
свойства
степеней
с
рациональным
показателем,
применяли полученные знания
при решении простейших задач.
3. Постановка цели урока.
Сегодня на уроке мы должны
рассмотреть более сложные
задачи по теме «Степень с
рациональным показателем».
2. Операционно-познавательная часть
Задание №1.
Вычислить:
1.Решение:
5
5
3
(2 ∗ 3
−1
3
5
3
−1
3
3
− 3 ∗ 2 ) ∗ √6
−1
5
−1
5
3
−1
5
(23 ∗ 3 3 − 33 ∗ 2 3 ) ∗ √6=(23 ∗ 3 3 − 33 ∗
−1
1
−1
−1
1
−1
−1
2 3 )*63 =2 3 *3 3 *(22-32)*63 = 2 3 *3 3 *(1
−1
1
5)*63 =6 3 *63 *(-5)=-5
Задание №2.
Упростить выражение:
2.Решение:
1
а) 2
1
а)
5
5
𝑏 5 ( √𝑏 4 − √𝑏 −1 )
2
3
3
𝑏 3 ( √𝑏 − √𝑏 −2 )
1
б)
1
𝑎3 √𝑏+𝑏 3 √𝑎
6
6
√𝑎 + √𝑏
1
4
−1
5
5
𝑏 5 ( √𝑏 4 − √𝑏 −1 ) 𝑏 5 (𝑏 5 −𝑏 5 )
3
3
=
𝑏 3 ( √𝑏 − √𝑏 −2 )
1 4
1 1
+
−
𝑏 5 5 −𝑏5 5 𝑏−1
2 1
2 2
𝑏−1
+
−
𝑏 3 3 −𝑏3 3
=
2
𝑏3
1
−2
(𝑏 3 −𝑏 3 )
=1
=
1
1
1
𝑎3 √𝑏+𝑏 3 √𝑎
б)
6
6
√𝑎 + √𝑏
1
1
1
=
1
1
𝑎 6 +𝑏 6
Задание №3.
Сократить дробь:
1
=
1
1
𝑎6 +𝑏 6
1
𝑎3 ∗𝑏 3 (𝑏6 +𝑎6 )
1
1
𝑎3 ∗𝑏 2 +𝑏3 ∗𝑎2
1
3
=𝑎 *𝑏
1
3
𝑥−𝑦
1
1
2
𝑥 +𝑦2
а)
3.Решение:
1
𝑥−𝑦
а) 1
1
𝑥2+𝑦2
1
б)
=
1
1
1
(𝑥2 +𝑦2 )(𝑥2 −𝑦2 )
1
1
𝑥2 +𝑦2
=𝑥
1
2
1
2
−𝑦
1
𝑚2 +𝑛2
𝑚+2√𝑚𝑛+𝑛
1
в)
1
𝑐−2𝑐2 +1
б)
√𝑐−1
Задание №4
𝟏
𝟏
Упростить выражение:(𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 )𝟐 𝟏
2* 𝟑√𝒙𝒚- 𝟑 −𝟐
( √𝒚)
в)
1
1
𝑚2 +𝑛2
𝑚+2√
1
𝑚2 +𝑛2
=
𝑚𝑛+𝑛
1
1
2
2 )2
𝑚
+𝑛
(
1
2
2
𝑐−2𝑐2 +1 (√𝑐) −2∗1∗√𝑐+1
=
√𝑐−1
√𝑐−1
1
=
1
𝑚2
1
+𝑛2
2
=
(√𝑐−1 )
√𝑐−1
√𝑐 − 1
Решение 4.
𝟏
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝟏)(𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 ) =(𝒙𝟑 )𝟐 +2*𝒙𝟑 *𝒚𝟑 +(𝒚𝟑)𝟐 =𝒙𝟑 +2*𝒙𝟑 *𝒚𝟑 +𝒚𝟑
𝟏
𝟏
𝟏
2) 𝟐√𝒙𝒚=(𝒙𝒚)𝟑 =𝒙𝟑 𝒚𝟑
𝟏
−𝟐 =
𝟐
𝟏
𝟐
( 𝟑√𝒚) =(𝒚𝟑 )𝟐 =𝒚𝟑
Групповая работа:
Образец карточки для группы
3)
Задание 1.
Упростить выражение:
4)(𝒙𝟑 +2*𝒙𝟑 *𝒚𝟑 +𝒚𝟑 )-2𝒙𝟑 𝒚𝟑 -𝒚𝟑 = 𝒙𝟑
( 𝟑√𝒚)
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
=
4
−1
Задание 1.
2
а)𝑎3 (𝑎 3 + 𝑎3 )
1
3
−1
4
𝑎4 (𝑎4 + 𝑎 4 )
1
5
−1
𝑎3 𝑏 −1 −𝑎𝑏 3
3 2 3 2
б)
−1
2
а) 𝑎3 (𝑎 3 + 𝑎3 )
3
−1
𝑎4 (𝑎4 + 𝑎 4 )
√𝑎 − √𝑏
5
Задание 2.
Сократить дробь
−1
𝑎3 𝑏 −1 −𝑎𝑏 3
б)
𝑎 −𝑏
3
√𝑎2 − √𝑏2
=
Задание 3.
1=
1
1
1
1
1=
1
3
6
𝑎3 + 𝑎 3
1
1
𝑎
= 𝑎𝑏 −1 = 𝑏
1
𝑎2−𝑏2 (𝑎4−𝑏4) (𝑎4+𝑏4)
𝑎4−𝑏4 𝑎4−𝑏4
4 2
2
2
2
𝑎3 −𝑏 3
1
1
−1
= 4
1 3
1−1
𝑎 4 +4 + 𝑎 4 4
𝑎4 + 𝑎0
𝑎 + 𝑎2 𝑎(𝑎 + 1)
=
=
=𝑎
𝑎+1
𝑎+1
2
1
4
√a−√b
=
𝑎𝑏 −1 (𝑎3 −𝑏3
Задание 2.
√a − √b
1
4
3
4
𝑎3+( 3 ) + 𝑎3+3
1
1
=𝑎 4 + 𝑏 4
𝑎4−𝑏4
Упростить выражение:
Задание 3.
1 9
𝑎4 −𝑎4
1 5 𝑎4 −𝑎4
−1 3
𝑏 2 −𝑏2
1 −1
𝑏2 +𝑏 2
1
−1
9
𝑎4 −𝑎4
3
1
1 8
𝑏 2 −𝑏2 𝑎4 −𝑎4 𝑎4
1 5 - 1 −1= 1 1 4 𝑎4 −𝑎4 𝑏2 +𝑏 2 𝑎4 −𝑎4 𝑎4
−1
−1 4
𝑏 2 −𝑏 2 𝑏2
−1
−1 =
𝑏 2 +𝑏 1 𝑏 2
−1
1
𝑎4 (1−𝑎2) 𝑏 2 (1−𝑏2) (1−𝑎2) (1−𝑏2) (1−a)(1+a)
= 1
- −1
=
=
(1−a)
(1+b)
(1−a)
𝑎4 (1−a) 𝑏 2 (1+b)
(1−b)(1+b)
=(1 + a)- (1 − b)=a+b
(1+b)
III. Рефлексивно-оценочная часть.
Какова была цель сегодняшнего
урока?
Достигли ли мы этой цели?
Каким образом мы ее достигли?
Рассмотреть различные виды задач на определение
степени с
рациональным показателем, свойства
степеней с рациональным показателем.
Да.
Решали задачи: на вычисление, упрощение выражения,
сокращение дробей
Домашнее задание:
№70(1,3)
72(1)
73(4)
№70
1
9
1
6
1
1
3
1. 𝑎 * √𝑎 ∗ √𝑎= 𝑎9 * √𝑎1 ∗ 𝑎3 =𝑎9 *
6
6
4
1
4
2+4
6
1
* √𝑎3 =𝑎9 *𝑎18 =𝑎 18 =𝑎18 =𝑎 3 = √𝑎
3
1
12
3
1
3
1
1
4
3. 𝑏 * √𝑏 ∗ √𝑏=𝑏 12 * √𝑏1 ∗ 𝑏 4 =𝑏 12 ∗
3
5
1
5
1+5
1
6
√𝑏 4 =𝑏 12 *𝑏 12 =𝑏 12 =𝑏 12 =𝑏 2 =√𝑏
№72
𝑏
𝑏
𝑎
𝑎
1
2
1
2
2
𝑏
2
1.(1-2*√ + ) : (𝑎 − 𝑏 ) =1 -2*√ +
𝑎
𝑏
√𝑎
√𝑎
=(1 − √ )2 : ( √𝑎 − √𝑏)2 = (
𝑎
1
2
−
2
√𝑏 2
)
√𝑎
2
𝑏
( )2 )
𝑎
1
2
: (𝑎 − 𝑏 )2 =
: ( √𝑎 − √𝑏)2 =
2 1
1
=( ) *( √𝑎 − √𝑏) : ( √𝑎 − √𝑏) =( ) =
√𝑎
1
2
√𝑎
𝑎
1
1
№73
1
3
4.
3
√𝑎2 − √𝑏2
3
3
√𝑎− √𝑏
1
3
1
3
-
𝑎−𝑏
2
2
3
𝑎3 + √𝑎𝑏 + 𝑏3
1
3
1
1
1
2
3
2
(𝑎3 −𝑏3 )(𝑎3 +𝑏3 ) (𝑎3 −𝑏3 )(𝑎3 + √𝑎𝑏 + 𝑏3 )
1
3
=
=(𝑎 + 𝑏 ) –(𝑎 − 𝑏 )=2𝑏
1
1
𝑎3 −𝑏3
1
3
-
2
2
3
𝑎3 + √𝑎𝑏 + 𝑏3
=