Формализованные математические методы решения аналитических задач

Задача №1
Условие:
Планируется строительство одного из 4х типов промышленного
предприятия. Эффективность каждого типа предприятия зависит от
различных факторов. Предполагается, что выделено 4 различных состояния,
каждое из которых означает определенное сочетание внешних факторов,
влияющих
на
эффективность
строящегося
объекта.
Экономическая
эффективность отдельных типов предприятия задана матрицей А.
Принять решение о выборе типа предприятия, используя критерии
Вальда, Сэвиджа, Гурвица (   0.6 ), Лапласа.
Решение:
Вариант 5
Матрица выигрышей (последствий) Q:
z1
z2
z3
z4
x1
2
2
3
4
x2
2
4
3
4
x3
3
2
6
1
x4
1
5
1
3
Критерий Вальда (максиминный критерий, крайний пессимизм):
Это максиминный критерий, он гарантирует определенный выигрыш
при наихудших условиях. Критерий основывается на том, что, если
состояние обстановки неизвестно, нужно поступать самым осторожным
образом, ориентируясь на минимальное значение эффективности каждой
системы.
1. Для каждого xi вычислим ai = min qij; j=1,n:
a1 = min(2, 2, 3, 4) = 2
a2 = min(2, 4, 3, 4) = 2
a3 = min(3, 2, 6, 1) = 1
a4 = min(1, 5, 1, 3) = 1
z1
z2
z3
z4
ai
x1
2
2
3
4
2
x2
2
4
3
4
2
x3
3
2
6
1
1
x4
1
5
1
3
1
2. Найдем рекомендуемое решение (aiB = max ai; i=1,m):
aiB = max (2, 2, 1, 1) = 2
3. Вывод: по критерию Вальда рекомендуемым решением является x1,
x2.
Критерий Сэвиджа (критерий минимальных сожалений)
Минимизирует потери эффективности при наихудших условиях. Для
оценки сиcтем на основе данного критерия матрица эффективности должна
быть преобразована в матрицу потерь (риска). Каждый элемент матрицы
потерь определяется как разность между максимальным и текущим
значениями оценок эффективности в столбце:
1. Построим матрицу рисков (rij = bj – qij):
a. Рассчитаем 1 столбец матрицы рисков:
r11 = 3 - 2 = 1;
r21 = 3 - 2 = 1;
r31 = 3 - 3 = 0;
r41 = 3 - 1 = 2;
b. Рассчитаем 2 столбец матрицы рисков:
r12 = 5 - 2 = 3;
r22 = 5 - 4 = 1;
r32 = 5 - 2 = 3;
r42 = 5 - 5 = 0;
c. Рассчитаем 3 столбец матрицы рисков:
r13 = 6 - 3 = 3;
r23 = 6 - 3 = 3;
r33 = 6 - 6 = 0;
r43 = 6 - 1 = 5;
d. Рассчитаем 4 столбец матрицы рисков:
r14 = 4 - 4 = 0;
r24 = 4 - 4 = 0;
r34 = 4 - 1 = 3;
r44 = 4 - 3 = 1;
z1
z2
z3
z4
x1
1
3
3
0
x2
1
1
3
0
x3
0
3
0
3
x4
2
0
5
1
2. Для каждого xi вычислим bi = max zij; j=1,n:
b1 = max(1, 3, 3, 0) = 3
b2 = max(1, 1, 3, 0) = 3
b3 = max(0, 3, 0, 3) = 3
b4 = max(2, 0, 5, 1) = 5
z1
z2
z3
z4
bi
x1
2
2
3
4
3
x2
2
4
3
4
3
x3
3
2
6
1
3
x4
1
5
1
3
5
3. Найдем рекомендуемое решение: bic = min bi; i=1,n:
bic = min (3, 3, 3, 5) = 3
4. Вывод: по критерию Сэвиджа рекомендуемым решением является
x1, x2, x3.
Критерий Гурвица (критерий пессимизма-оптимизма)
Согласно данному критерию при оценке и выборе систем неразумно
проявлять как осторожность, так и азарт, а следует, учитывая самое высокое
и самое низкое значения эффективности, занимать промежуточную позицию
(взвешиваются наихудшие и наилучшие условия). Для этого вводится
весовой коэффициент λ (0 ≤ λ ≤ 1), характеризующий склонность к
пессимизму.
1. Весовой коэффициент λ = 0.6
2. Для каждого xi вычислим Ci = λminqij + (1-λ)maxqij; i=1,n; j=1,n:
C1 = 0.6 * 2 + (1 - 0.6) * 4 = 2.8
C2 = 0.6 * 2 + (1 - 0.6) * 4 = 2.8
C3 = 0.6 * 1 + (1 - 0.6) * 6 = 3
C4 = 0.6 * 1 + (1 - 0.6) * 5 = 2.6
z1
z2
z3
z4
minqij
maxqij
ci
x1
2
2
3
4
2
4
2.8
x2
2
4
3
4
2
4
2.8
x3
3
2
6
1
1
6
3
x4
1
5
1
3
1
5
2.6
3. Найдем рекомендуемое решение: Cir = max ci; i=1,n:
Cir = max (2.8, 2.8, 3, 2.6) = 3
4. Вывод: по критерию Гурвица рекомендуемым решением является
x3.
Критерий Лапласа (принцип недостаточного основания).
Полагается, что все состояния z – равновероятны: pj=1/n
1. Для каждого xi вычислим di=1/n * ∑qij; j=1,n:
di = 1/4 * (2 + 2 + 3 + 4) = 2.75
di = 1/4 * (2 + 4 + 3 + 4) = 3.25
di = 1/4 * (3 + 2 + 6 + 1) = 3
di = 1/4 * (1 + 5 + 1 + 3) = 2.5
z1
z2
z3
z4
di
x1
2
2
3
4
2.75
x2
2
4
3
4
3.25
x3
3
2
6
1
3
x4
1
5
1
3
2.5
2. Вычислим рекомендуемое решение: di = max di; i=1,n:
di = max (2.75, 3.25, 2, 2.5) = 3.25
3. Вывод: по критерию Лапласа рекомендуемым решением является x2.
Задача №3
Условие:
Фирма планирует выпуск новой модели изделия.
Спрос на модель не может быть точно определен. Однако можно
предположить, что он характеризуется 4-мя возможными состояниями:
С1 – низкий;
С2 – средний;
С3 – высокий;
С4 – очень высокий.
С учетом этих состояний анализируются 2 возможные модификации
данной модели: М1 и М2. Каждая из модификаций обеспечивает в конечном
итоге различную прибыль.
Требуется определить объемы выпуска модификаций М1 и М2 (в %),
обеспечивающие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса.
Формализовать исходную задачу в виде матричной игры.
Решить задачу геометрическим методом.
Вариант 5.
С1
С2
С3
С4
М1
5
4
3
1
М2
2
3
4
6
Решение:
Построение прямых, соответствующих фиксированным стратегиям
игрока II: a1ip1 + a2ip2 = (a1i-a2i)p1+a2i
Шаг 1:
F (p, 1) = 5p1 + 2p2 = (5 - 2) * p1 + 2= 3p1 + 2
F (p, 2) = 4p1 + 3p2 = (4 - 3) * p1 + 3= p1 + 3
F (p, 3) = 3p1 + 4p2 = (3 - 4) * p1 + 4 = -p1 + 4
F (p, 4) = 1p1 + 6p2 = (1 - 6) * p1 + 6 = -5p1 + 6
Шаг 2:
Построим нижнюю огибающую семейства прямых {f(p,j), j =1,n}
В1
N
В2
В3
В4
Нижняя огибающая – B1NB4
Точка N – максимум нижней огибающей. p* = [p1*: p2*] – оптимальное
решение матричной игры – пересечение отрезков B1B1 и B4B4
Шаг 3:
3p1 + 2 = -5p1 + 6
8p1 = 4
p1* = 1/2, p2* = 1/2
V = f(p1*, 1) = 3 * 1/2 + 2 = 3/2 + 2=7/2
Шаг 4:
Из графиков следует, что активными стратегиями игрока II являются B1
и B4
Шаг 5:
Вычислим оптимальную смешанную стратегию q* игрока II
5q1 + q4 = V = 7/2
2q1 + 6q4 = V = 7/2
q1 + q4 = 1
5q1 + (1 - q1) = 7/2
5q1 + 1 - q1 = 7/2
4q1 + 1 = 7/2
4q1 = 5/2
q1 = 5/8
q4 = 3/8;
Ответ: Оптимальные стратегии игры: p* = [1/2; 1/2], q* = [5/8; 0; 0;
3/8]
Цена игры: V = 7/2
Задача №4
Условие:
Фирма планирует выпуск новой модели изделия.
Спрос на модель не может быть точно определен. Однако можно
предположить, что он характеризуется 4-мя возможными состояниями:
С1 – низкий;
С2 – средний;
С3 – высокий;
С4 – очень высокий.
С учетом этих состояний анализируются 2 возможные модификации
данной модели: М1 и М2. Каждая из модификаций обеспечивает в конечном
итоге различную прибыль.
Требуется определить объемы выпуска модификаций М1 и М2 (в %),
обеспечивающие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса.
Решить задачу итерационным методом Брауна (10 итераций). Сравнить
полученный результат с точным решением.
Вариант 5.
С1
С2
С3
С4
М1
5
4
3
1
М2
2
3
4
6
Решение:
Итерационный метод Брауна: в каждой партии игрок выбирает ту
стратегию, которая дает ему наибольший накопленный выигрыш.
k - номер партии.
i - номер стратегии, выбираемой игроком A.
j - номер стратегии, выбираемой игроком В.
Bi - накопленный игроком А выигрыш за k партий, при условии, что в
данной партии B выбирает стратегию Bi.
Аj - накопленный игроком В проигрыш за k партий, при условии, что в
данной партии A выбирает стратегию Аj.
a(k) - нижняя оценка игры = min (накопленный выигрыш)/k.
b(k) - верхняя оценка игры = max (накопленный проигрыш)/k.
V(k) = (a(k)+b(k))/2
k
i
B1
B2
B3
B4
j
a(k)
A1
A2
b(k)
V
1
1
5
4
3
1
4
1
1
6
6
7
2
2
7
7
7
7
1
7
6
8
4
15
3
2
9
10
11
13
1
3
11
10
11
10
4
1
14
14
14
14
1
7
16
12
4
15
5
1
19
18
17
15
4
3
17
18
18
33
6
2
21
21
21
21
1
7
22
20
11
43
7
1
26
25
24
22
4
22
23
26
26
24
8
2
28
28
28
28
1
7
28
28
7
7
/2
9
1
33
32
31
29
4
29
29
34
34
7
/2
10
2
35
35
35
35
1
7
34
36
18
71
/2
/2
/2
/7
/2
/9
/2
K=10; p1=5; p2=5.
p1*=1/2; p2*=1/2 => p*(1/2, 1/2)
q1=6, q2=0, q3=0, q4=4
q1*=3/5, q2*=0, q3*=0, q4* =2/5 => q*(3/5, 0, 0, 2/5)
V(k) = 71/20
Ответ: p*(1/2, 1/2), q*(3/5, 0, 0, 2/5)
/2
/4
/3
/3
/4
/5
/3
/7
/2
/9
/5
/10
/12
/7
/20