Загрузил ann4317_17

Альбом кривых

Реклама
Из всех языков мира самый
лучший- это искусственный,
весьма сжатый язык математики
Н.И.Лобачевский
Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую Одновременно с Декартом к мысли о соответствии
эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их между линиями и уравнениями пришёл другой
предметы взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но французский математик – Пьер Ферма (1601-1665). Он
уже знали, что:
был советником тулузского парламента и занимался
• чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше математическими исследованиями лишь в свободное
племя будет избавлено от голода;
время. Тем не менее Ферма получил ряд первоклассных
• чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит результатов в различных областях математики. Термин
стрела;
«функция» начал применять в конце XVIII века
• чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере. Лейбниц (1646-1716) и его ученики.Определение
функции, приближенное к современному, дал Иоганн
Когда возникли первые цивилизации, образовались
Бернулли: «Функцией переменной величины называется
большие армии, началось строительство гигантских
количество, образованное каким угодно способом из
пирамид. Древние учёные стали составлять таблицы для этой переменной величины и постоянных».
облегчения вычислений.
Функция-одно из важнейших математических понятий.
Понятие переменной величины было введено в науку Функцией называют такую зависимость переменной y
французским учёным и математиком Рене Декартом
от переменной x, при которой каждому значению
(1596-1650). Он ввёл идею числовой функции числового переменной x соответствует единственное значение
аргумента. При записи зависимостей между величинами переменной y.
Декарт стал применять буквы. Он начал геометрически Переменную x называют независимой переменной или
изображать не только пары чисел, но и уравнения,
аргументом. Переменную y называют зависимой
связывающие два числа.
переменной.
Графиком функции называется множество всех точек
координатной плоскости, абсциссы которых равны
значениям аргумента, а ординаты- соответствующим
значениям функции
Схема исследования функции:
*Область определения
*Область значений
*Четность,нечетность
*Периодичность
*Пересечение с осями координат
*Промежутки монотонности
*Промежутки знакопостоянства
*Экстремумы и точки экстремума
*График функции
Свойства функции y=kx+b при k>0
1)D(f)= R
2)E(f)= R
3)Функция не является ни четной, ни нечетной
4)Пересечение с осью Ox при x= - b/k
5)Функция возрастает на промежутке (-∞;+∞)
6)Функция неограниченная
Свойства функции y=kx+b при k<0
1)D(f)= R
2)E(f)= R
3)Функция не является ни четной, ни нечетной
4)Пересечение с осью Ox при x=b/k
5)Функция убывает на промежутке (-∞;+∞)
6)Функция неограниченная
Свойства функции y=√x
1)D(f)=(0; +∞)
2)E(f)=(0; -∞)
3)Функция не является ни четная, ни нечетная
4)Функция имеет один нуль при x=0
5)Функция возрастает при xЄ(0; +∞)
6)Функция принимает положительные значения при xЄ(0; +∞)
7)Функция имеет минимум при x=0 (y=0)
Свойства функции y=│x│:
1)D(y)=(-∞;+∞)
2)E(y)=[0;+∞)
3)Функция нечетная
4)Функция имеет один нуль при x=0
5)Функция убывает при xЄ(-∞ ; 0)
Функция возрастает при xЄ(0; +∞)
6)Функция принимает только неотрицательные значения
Свойства функции y= k/x ,при k>0
1)D(f)=(-∞;0) U(0; +∞)
2)E(f)=(-∞;0) U(0; +∞)
3)Функция нечетная
4)Функция не имеет нулей
5)Функция убывает при xЄ(-∞ ; 0), а также при xЄ(0;+∞)
6)Функция принимает отрицательные значения при xЄ(-∞ ; 0) и
положительные значения при xЄ(0;+∞)
7)Функция не имеет экстремумов
Свойства функции y= k/x ,при k<0
1)D(f)=(-∞;0) U(0; +∞)
2)E(f)=(-∞;0) U(0; +∞)
3)Функция нечетная
4)Функция не имеет нулей
5)Функция возрастает при xЄ(-∞ ; 0), а также при xЄ(0;+∞)
6)Функция принимает положительные значения при xЄ(-∞ ; 0) и
положительные значения при xЄ(0;+∞)
7)Функция не имеет экстремумов
Свойства функции y=x²:
1)D(f)=(-∞;+∞)
2)E(f)=(0; +∞)
3)Функция четная
4)Функция имеет один нуль при x=0
5)Функция возрастает при xЄ(0; +∞)
Функция убывает при xЄ(-∞;0)
6)Функция принимает положительные значения
при xЄ(-∞;0) U(0; +∞)
7)Функция имеет минимум при x=0 (y=0)
Свойства функции y=x³:
1)D(f)=(-∞;+∞)
2)E(f)=(0; +∞)
3)Функция нечетная
4)Функция имеет один нуль при x=0
5)Функция возрастает на всей области определения
6)Функция принимает отрицательные значения при xЄ(-∞;0)
Функция принимает положительные значения при xЄ(0; +∞)
7)Функция не имеет экстемумов
Функция y=sin x,ее свойства :
1)D(f)=(-∞;+∞)
2)E(f)=[-1;1]
3)Функция y=sin t -нечетная, т.к. sin(-x)=-sinx; график
симметричен относительно начала координат.
4)Функция периодическая с основным периодом T=2π
5)Нули функции: sinx=0 при x=kπ , kЄZ
6)Интервалы возрастания и убывания:
функция возрастает на промежутке[-π/2+ 2kπ ] [π/2+2kπ]
функция убывает на промежутке [π/2+2kπ, 3π/2+ 2kπ]
7)Интервалы знакопостоянства:
sinx>0, если xЄ(2 kπ;π+2kπ )
sinx<0, если xЄ(- π+2kπ; 2kπ)
8)Экстемумы функции:ymax = 1 при x= π/2+2kπ
ymax =-1 при x= - π/2+2kπ
9)Функция y=sinx ограничена и снизу, и сверху
10)Функция y=sinx – непрерывная функция
Свойства функции y=cosx:
1)D(f)=(-∞;+∞)
2)E(f)=[-1;1]
3)Функция является четной
4)Функция периодическая с основным периодом T=2π
5)Нули функции: cosx=0 при x=π/2+2kπ, kЄZ
6)Интервалы возрастания и убывания:
функция y=cosx возрастает на промежутке xЄ(- π+2kπ; 2kπ)
функция y=cosx убывает на промежутке xЄ(2 kπ;π+2kπ )
7)Интервалы знакопостоянства:
cosx >0 если xЄ(- π/2+2kπ; π/2+2kπ)
cosx<0 если xЄ( π/2+2kπ; 3π/2+ 2kπ)
8)Экстремумы функции:уmax=1 при x= 2 kπ
ymax=-1 при x= π+2kπ
9)Функция ограничена и снизу, и сверху
10)y=cosx – непрерывная функция
Свойства фунции y=tg x:
1)D(f)множество всех действительных чисел, за исключением
чисел вида x= π/2+kπ, kЄ Z
2)E(f)= (-∞;+∞)
3)Функция нечетная
4)Функция периодическая, с основным перидом π
5)Нули функции:tg x=0 при x=kπ
6)Интервалы возрастания и убывания:
функция возрастает на промежутках (-π/2 + kπ;π/2 + kπ)
7)Интервалы знакопостоянства:
tg x >0 если xЄ(kπ ; π/2+kπ)
tg x <0 если xЄ( - π/2+kπ; kπ)
8)Функция экстремумов не имеет
9)Функция неограниченная.
Свойства функции y=ctg x:
1)D(f)множество всех действительных чисел, за исключением
чисел вида x= kπ, kЄZ
2)E(f)= (-∞;+∞)
3)Функция нечетная
4)Функция периодическая ,с основным перидом π
5)Нули функции: ctg x=0 при x= π/2+kπ
6)Интервалы возрастания и убывания :
функция убывает на промежутках xЄ(kπ ; π+kπ),
7)Интервалы знакопостоянства:
ctg x>0 если xЄ (kπ ; π/2+kπ)
ctg x<0 если xЄ( -π/2+kπ; kπ)
8)Функция экстремумов не имеет
9)Функция y=ctg x неограниченная
Функцию вида y=a, где a>0 и a≠0, называют показательной
функцией.
Основные свойства показательной функции при a>1:
1)D(f)=(-∞;+∞)
2)E(f)=(0;+∞)
3)Функция не является ни четной, ни нечетной
4)Функция возрастающая
5)Функция непрерывная
Основные свойства показательной функции при 0<a<1
1)D(f)=(-∞;+∞)
2)E(f)=(0;+∞)
3)Функция не является ни четной, ни нечетной
4)Функция убывающая
5)Функция непрерывная.
Свойства функции y=loga x, где a>1
1)D(f)=(0;+∞)
2)E(f)=(-∞;+∞)
3)Функция не является ни четной,ни нечетной
4)Функция возрастает на промежутке (0;+∞)
5)Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений
6)Функция не ограничена сверху, не ограничена снизу
7)Функция непрерывна
8)Функция выпукла вверх.
Свойства функции y=loga x, при 0<a<1
1)D(f)=(0;+∞).
2)E(f)=(-∞;+∞).
3)Функция является ни четной,ни нечетной.
4)Функция убывает на промежутке (0;+∞).
5)Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
6)Функция не ограничена сверху, не ограничена снизу.
7)Функция непрерывна.
8)Функция выпукла вниз.
Свойства функции y=x , где m/n>1
1)D(f)=[0;+∞)
2)E(f)=[0;+∞)
3)Функция не является ни четной, ни нечетной
4)Функция возрастает на [0;+∞)
5)yнаим = 0, а наибольшего значения не имеет
6)Не ограничена сверху, ограничена снизу
7)Функция непрерывна
8)Выпукла вниз
Свойства функции y=x , где 0< m/n<1
1)D(f)=[0;+∞)
2)E(f)=[0;+∞)
3)Функция не является ни четной, ни нечетной
4)Функция возрастает на [0;+∞)
5)yнаим = 0, а наибольшего значения не имеет
6)Не ограничена сверху, ограничена снизу
7)Функция непрерывна
8)Выпукла вверх
Свойства функции y=x
1)D(f)=(0;+∞)
2)E(f)=(0;+∞)
3)Функция не является ни четной, ни нечетной
4)Функция убывает на (0;+∞)
5)Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения
6)Не ограничена сверху, ограничена снизу
7)Функция непрерывна
8)Выпукла вниз
Смещения графиков на примере функции y=x²
График функции y=x²:
График функции y=x²+1:
График функции y=x²-1:
График функции y=(x+1)²
Мы видим,что график сместился по оси Оу вниз на
единицу
График сместился налево по оси Ох на единицу
График функции y=(x-1)²
График сместился направо по оси Ох на единицу
Авторы проекта:
Сафиуллина Гузель Идрисовна
Латыпова Гузель Равгатьевна
учащиеся 10 класса МОУ Алькинской СОШ
Руководитель проекта:
Салимова София Габдельягфаровна-учитель
математики МОУ Алькинской СОШ
Похожие документы
Скачать