Четность и нечетность тригонометрических функций Функция f называется четной, если вместе с каждым значением переменной х из области определения f значение – х также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство f( – x)=f(x). Функция f называется нечетной, если вместе с каждым значением переменной х из области определения f значение – х также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство f(– x)= – f(x). Например, функция f(x)=х4 – четная, а f(x)=х3 – нечетная. f(-x)=(-x)4=x4. f(-x)=(-x)3=-x3. График четной функции симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Из этих правил вытекает следующее: при построении графика четной или нечетной функции достаточно построить его часть для неотрицательных х, а затем отразить полученный график относительно оси ординат (в случае четной функции) или начала координат (в случае нечетной). 1 𝑥 3 +x x 𝑥 3 -x Пример: функция f(x)=x+ нечетная, функция f(x)= - четная, функция f(x)=х2+х не является ни четной, ни нечетной. Косинус – четная функция, синус, тангенс, котангенс – нечетные функции. Доказательство. Любые два противоположных числа α и –α изображаются на единичной окружности двумя точками Рα и Р–α, симметричными относительно оси абсцисс. Так как точки Рα и Р–α лежат на единичной окружности с центром в начале координат О, то координатами точки Рα будут числа cosα и sinα, а координатами точки Р–α будут числа cos(–α) и sin(–α). Из того, что точки Рα и Р–α симметричны относительно оси абсцисс, следует, то их абсциссы совпадают, а их ординаты противоположны. Поэтому при любом α справедливы равенства cos(–α)=cosα и sin(–α)=–sinα. Для тангенса и котангенса имеем: tg(–α)= sin(–α)/cos(–α)= –sinα/cosα= –tgα; ctg(–α)= cos(–α)/sin(–α)= cosα/(–sinsα)= –ctgα. Упражнения 1. Докажите, что функции являются четными: 1) f(x)=3x2+x4 6) f(x)= 2) f(x)=x2cosx 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑥 2 −1 7) f(x)= 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 2 𝑥 3) f(x)=x5sin 8) f(x)= 𝑥3 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 3 𝑐𝑜𝑠5𝑥+1 4) f(x)=4x6-x2 5) f(x)= 9) f(x)=sinxctg2x 10) f(x)= 4−𝑥 2 |𝑥| 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 1+𝑐𝑜𝑠𝑥 2. Докажите, что функции являются нечетными: 1) f(x)=x3sinx2 6) f(x)= 𝑐𝑜𝑠 𝑥 3 𝑥(25−𝑥 2 ) 2) f(x)=x2(2x-x3) 7) f(x)= 3𝑥 𝑥 6 +2 3) f(x)=x5cos3x 4) f(x)=x(5-x2) 8) f(x)= 𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 5) f(x)= 𝑥 4 +1 2𝑥 3 9) f(x)=tgxsin2x 10) f(x)=cosxsinx 𝑥 2 −9 3. Какие из указанных функций являются четными, какие – нечетными а какие не являются ни четными, ни нечетными? 1) y=sinx+ctgx - x 2) y=x4+tg2x+xsinx 3) y= 𝑠𝑖𝑛𝑥 3 𝑥 −1 𝑡𝑔𝑥−𝑐𝑡𝑔𝑥 6) y= |𝑥| 𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥 7) y= 𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑥+𝑡𝑔𝑥 8) y= 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 √1−𝑥 2 4) y= 1−𝑥 𝑡𝑔𝑥+1 9) y= 𝑡𝑔𝑥−1 |𝑥| 5) y= 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 2 +𝑠𝑖𝑛2 𝑥 10) y= 1+𝑠𝑖𝑛2 𝑥 4. Определите по графику четной или нечетной является функция или не является ни четной, ни нечетной: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 5. Функции f и g определены на множестве всех действительных числе. Является ли функция h четной или нечетной, если: 1) h(x)=f(x)g2(x), 2) h(x)=f(x)g2(x), f – четная функция, g – f и g – четные функции нечетная 3) h(x)=f(x)+g(x), f и g – нечетные функции 4) h(x)=f(x)g(x), 5) h(x)=f(x)g2(x), 6) h(x)=f(x)+g(x), f и g – нечетные функции f и g – нечетные функции f и g функции 7) h(x)=f(x)g(x), 8) h(x)=f(x)g(x), 9) h(x)=f(x)-g(x), f – четная функция, g – f и g – четные функции нечетная 10) h(x)=f(x)g2(x), f – нечетная функция, g – четная – четные f – четная функция, g – нечетная