КОМИТЕТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КУРСКОЙ ОБЛАСТИ Областное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Курский Государственный политехнический колледж» (ОБПОУ «КГПК») Доклад По предмету «Математика» На тему: «Совершенное число» Выполнила: студентка группы Д-12К Торопыгина Алёна Введение. Античные математики считали очень важным рассматривать вместе с каждым числом все его делители, отличные от самого этого числа. Такие делители называют собственными. Числа, имеющие много собственных делителей, назывались избыточными, а имеющие мало, – недостаточными. При этом в качестве меры использовалось не количество, а сумма собственных делителей, которую сравнивали с самим числом. Так, например, для 10 сумма делителей: 1 + 2 + 5 = 8 <10, так что делителей «недостаток». Для 12 же: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16> 12, т.е. делителей «избыток». Поэтому 10 – «недостаточное», а 12 – «избыточное» число. Встречается и «пограничный» случай, когда сумма собственных делителей равна самому числу. Например, для 6: 1 + 2 + 3 = 6. То же для 28: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Такие числа древние греки особенно ценили и называли их совершенными. Точно неизвестно, когда и где впервые обратили внимание на совершенные числа. Предполагают, что они были известны уже в древнем Вавилоне и древнем Египте. Во всяком случае, вплоть до V века н.э. в Египте сохранялся пальцевый счёт, при котором рука с загнутым безымянным пальцем и выпрямленными остальными изображала число 6 – первое совершенное число. Распространённый в средневековой Европе и на Ближнем Востоке пальцевый счёт. Из книги «Сумма арифметики» итальянского математика Луки Пачоли, 1494 год. Тем самым этот палец как бы сам стал причастен к совершенству и потому получил привилегию нести на себе кольцо. Таково одно из объяснений того отмечаемого специалистами по истории культуры факта, что почти у всех цивилизованных народов существует обычай носить кольцо именно на безымянном пальце. Первое доказанное утверждение о совершенных числах принадлежит Евклиду. В его «Началах», выдержавших после Библии, пожалуй, наибольшее число изданий, мы находим в книге IX теорему 36, устанавливающую способ получения совершенных чисел. На современном языке она звучит так: Теорема Евклида. В тех случаях, когда число: 2n – 1 простое, число: 2n–1 · (2n – 1) является совершенным. Для доказательства этого утверждения Евклид использует формулу суммы членов геометрической прогрессии. В начале было 6. Никомах Герасский (I–II век н.э.), знаменитый греческий философ и математик, писал: - «Совершенные числа красивы. Красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными бывают все числа, в то время как совершенных чисел немного.» Сколько же их? Никомах этого не знал. Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число 6. На шестом месте на званом пиру возлежал самый уважаемый, самый знаменитый и самый почетный гость. Особыми мистическими свойствами обладало число 6 в учении пифагорейцев, к которым принадлежал и Никомах. Много внимания уделяет этому числу великий Платон (V–IV век до н.э.) в своих «Диалогах». Недаром и в библейских преданиях утверждается, что мир создан был в шесть дней, ведь более совершенного числа среди совершенных чисел, чем 6, нет, поскольку оно первое среди них. Следующим совершенным числом, известным древним, было число 28. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала были расположены 28 келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах. Древних математиков удивляло особое свойство этих двух чисел. Каждое из них, как уже было отмечено, равно сумме всех своих собственных делителей: 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. До Евклида были известны только эти два числа, и никто не знал, существуют ли ещё совершенные числа и сколько их вообще может быть. Великий основатель геометрии много занимался изучением свойств чисел; конечно, его не могли не интересовать совершенные числа. Евклид доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей: 2 p–1 и 2 p – 1, где 2 p – 1 – простое число, является совершенным числом, – эта теорема теперь носит его имя. Если в формулу Евклида 2p–1 · (2p – 1) подставить p = 2, то получим: 22–1 · (22 – 1) = 21 · (22 – 1) = 2 · 3 = 6, – первое совершенное число. А если p = 3, то: 23–1 · (23 – 1) = 22 · (23 – 1) = 4 · 7 = 28 – второе. Благодаря своей формуле Евклид сумел найти ещё два совершенных числа: третье при p = 5 и четвертое при p = 7. Вот эти числа: 25–1 · (25 – 1) = 24 · (25 – 1) = 16 · 31 = 496, 27–1 · (27 – 1) = 26 · (27 – 1) = 64 · 127 = 8 128. Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа, не зная, есть ли таковые ещё и возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие формуле Евклида. Неразрешимая загадка совершенных чисел, бессилие разума перед их тайной, их непостижимость привели к признанию божественности этих удивительных чисел. Евклид. Аббат Алкуин. Один из наиболее выдающихся учёных средневековья, друг и учитель Карла Великого, аббат Алкуин (ок.735–804), один из виднейших деятелей просвещения, организатор школ и автор учебников по арифметике, был твёрдо убеждён, что человеческий род только потому несовершенен, и в нём только потому царит зло, горе и насилие, что он произошёл от восьми людей, спасшихся в ноевом ковчеге, а 8 – число несовершенное. До потопа род людской был более совершенен – он происходил от одного Адама, а единица может быть причислена к совершенным числам: она равна самой себе, своему единственному делителю. Алкуин жил в VIII веке. Но даже в XII веке церковь учила, что для спасения души вполне достаточно изучать совершенные числа, и тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство. Но и жажда этой награды не смогла помочь математикам средневековья. Следующее, пятое совершенное число обнаружил немецкий математик Региомонтан (1436–1476) лишь в XV веке. Оказалось, что и пятое совершенное число также подчиняется условию Евклида. Не удивительно, что его так долго не могли найти. Гораздо более поражает то, что в пятнадцатом веке вообще смогли его обнаружить. Пятое совершенное число равно 33 550 336 и ему соответствует значение р = 13 в формуле Евклида. Ещё через 200 лет Марен Мерсенн (1588–1648) французский богослов, математик и теоретик музыки, один из основателей Парижской академии наук, друг Декарта и Ферма, без всяких доказательств заявил, что следующие шесть совершенных чисел должны также иметь евклидовскую форму со значениями равными 17, 19, 31, 67, 127, 257. Региомонтан. Марен Мерсенн. Леонард Эйлер. Современникам Мерсенна было совершенно очевидно, что сам Мерсенн никак не мог проверить непосредственным вычислением своё утверждение, ведь для этого он должен был предварительно доказать, что числа 2p – 1 с указанными значениями p действительно являются простыми. Вычислить любое из них совсем нетрудно, но выяснить, простые все эти числа или нет, – это выходило далеко за пределы человеческих сил. Так и оставалось неизвестным, прав был Мерсенн или нет. Позднее было обнаружено, что итальянец Пьетро Антонио Катальди (1548– 1626), бывший профессор математики во Флоренции и Болонье, который первый дал способ извлечения квадратных корней, тоже для спасения своей души, занимался поисками совершенных чисел. В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел, найденные за сотню лет до Мерсенна: 8 589 869 056 – шестое число, и 137 438 691 328 – седьмое число. Оказалось, что оба этих числа совпадают с теми, на которые указывал Мерсенн: 216 · (217 – 1), 218 · (219 – 1). Но оставалось ещё не доказанным, действительно ли эти числа являются совершенными; для этого необходимо, чтобы множители 217 – 1 и 219 – 1 были простыми. Швейцарский математик, петербургский академик, основатель современной математики, непревзойдённый вычислитель, великий Леонард Эйлер (1707– 1783) сумел найти новую теорему о таинственных числах. Он доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом: 2 p–1 · (2 p – 1), Ниже нас ожидает доказательство не только теоремы Евклида, но и этого утверждения Эйлера. Эйлер выяснил, что первые три числа из указанных Мерсенном: 217 – 1, 219 – 1 и 231 – 1 – действительно являются простыми. Шестое и седьмое совершенные числа, найденные Катальди, оказались верными. И навсегда осталась в истории загадочная тайна, как он сумел найти их. До сих пор предложено только одно объяснение этой загадке – оно было дано ещё его современниками: помощь божественного провидения, подсказавшего своему избраннику верные значения двух совершенных чисел. Таким образом, восьмое совершенное число, которому соответствует р = 31 в формуле Евклида равно 2 305 843 008 139 952 128. Снова в течении целого столетия это число оставалось наибольшим из совершенных чисел. Но в 1878 году француз Эдуард Люка (1842–1891) дал критерий, с помощью которого можно установить, является ли число Мерсенна 2р – 1 простым или нет, не производя прямых вычислений. Оказалось, что далеко не все предсказания Мерсенна были верны. Он правильно предсказал значение p = 127, но числа со значениями p = 67 и p = 257, вопреки Мерсенну, не являются совершенными. Зато должны быть совершенными числа со значениями p = 61, p = 89 и p = 107, пропущенные Мерсенном. Эдуард Люка. Иван Михеевич Первушин. Девятое совершенное число было вычислено только в 1883 году. В нём оказалось тридцать семь значащих цифр. Этот вычислительный подвиг совершил сельский священник из-под Перми Иван Михеевич Первушин (1821–1900). Он сумел вычислить для того времени самое большое простое число вида 2p – 1 при p = 61: 2 305 843 009 213 693 951, и соответствующее ему совершенное число: 2 305 843 009 213 693 951 · 260. Первушин, вычислив девятое совершенное число, поистине совершил настоящий подвиг. Мерсенн в своё время говорил, что вечности не хватит для проверки простоты числа, имеющего 15–20 десятичных знаков. Первушин считал без всяких вычислительных приборов, и в его числе оказалось тридцать семь цифр! В начале двадцатого столетия появились первые механические счётные машины, что ускорило поиски новых совершенных чисел. Десятое было найдено в 1911 году, в нём оказалось 54 цифры: 618 970 019 642 137 449 562 111 · 288. Одиннадцатое, имеющее 65 цифр, открыли в 1914 году: 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127 · 2106. Двенадцатое нашли тогда же, в 1914 году, оно состоит уже из 77 цифр: 2126 · (2127-1). В дальнейшем успешные поиски затормозились вплоть до середины XX века, когда с появлением ЭВМ стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности. В 1932 году американский математик Деррик Генри Лемер (1905–1991) решил найти тринадцатое совершенное число, а именно последнее из чисел вида 2р – 1, где р – простое число, которое Мерсенн считал простыми, а именно число: 2257 – 1. Ему пришлось работать целый год, пользуясь известными тогда счётными приборами, но в результате он убедился, что это число составное, и двенадцатое совершенное число оставалось наибольшим до 1952 года. Деррик Генри Рафаэль Митчелл Лемер. Робинсон. Ханс Ивар Ризель. Тринадцатое совершенное число нашла электронная счётная машина. 30 января 1952 года американский математик Рафаэль Митчелл Робинсон (1911– 1995) в Калифорнийском университете применил электронную счётную машину для изучения простоты чисел 2р – 1. Робинсон решил для начала ещё раз убедиться в том, что число 2257 – 1 не является простым. Он пригласил присутствовать при этой проверке Лемера, который двадцать лет тому назад потратил целый год на это вычисление. Лемер получил большое удовольствие, когда увидел, что машина получила тот же самый результат. При этом она выполнила его годовую работу за восемнадцать секунд. Для того чтобы найти новое совершенное число, нужно было, следовательно, найти новое простое число. Машина продолжала поиски новых простых чисел. Она проверила за два часа 42 числа, самое меньшее из которых имело более 80 цифр! Все эти числа оказались составными. Новое совершенное число машина обнаружила к вечеру 30 января: 2520 · (2521 – 1), при p = 521. Это совершенное число оказалось состоящим из 314 цифр. Четырнадцатое совершенное число машина нашла в тот же день к полуночи. Перебрав и проверив ещё тринадцать евклидовских чисел, она нашла простое число: 2607 – 1, которое в десятичной системе имеет всего сто восемьдесят три цифры, и соответствующее совершенное число: 2606 · (2607 – 1), при р = 607. Это совершенное число имеет 366 значащих цифр. Пятнадцатое совершенное число машина нашла только в июне 1952 года. Она была занята в других проектах и могла использоваться для поиска совершенных чисел только эпизодически. Продолжая поиски новых простых чисел, она доказала простоту числа 21279 – 1 и нашла совершенное число из семисот семидесяти цифр: 21278 · (21279 – 1), при р = 1279. Шестнадцатое и семнадцатое совершенные числа были открыты в октябре 1952 года. Машина к этому времени нашла ещё два евклидовских простых числа: 22203 – 1 и 22281 – 1 и вычислила два соответствующих совершенных числа: 22202 · (22203 – 1), при р = 2203, состоящее всего из тысячи трёхсот двадцати семи цифр, и 22280 · (22281 – 1), при р = 2281, в котором 1373 цифры. Восемнадцатое совершенное число было найдено в сентябре 1957 года шведским математиком Хансом Иваром Ризелем (1929–2014). При помощи электронно-счётной машины он за пять с половиной часов установил простоту числа 23217 – 1 и получил восемнадцатое совершенное число: 23216 · (213217 – 1, при р = 3217. В нём около 2000 цифр. Поиски последующих совершенных чисел требовали всё большего и большего объёма вычислений. Но вычислительная техника непрерывно совершенствовалась, и в 1962 году было найдено два новых совершенных числа, а в 1965 году – ещё три. Этим числам соответствуют в формуле Евклида значения простого числа р, равные соответственно 4 253, 4 423, 9 689, 9 94 и 11 213. Совершенное число 2 11 212 · (2 11 213 – 1) имеет 3 376 цифр. Конечно, только благодаря такому помощнику, как вычислительная машина, человек сумел установить, что такое огромное число является совершенным. На февраль 2013 года известно 48 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел. История поисков совершенных чисел наглядно показывает, как сильно увеличивает машина возможности человека. Однако, по словам немецкого математика Эдмунда Ландау (1877–1938), одного из крупнейших специалистов в области теории чисел: - «...Две проблемы остаются нерешенными до сих пор: – Имеется ли бесконечное множество четных совершенных чисел? – Не знаю. – Имеется ли бесконечное множество нечетных совершенных чисел? – Я даже не знаю, существует ли одно такое число.» Некоторые свойства совершенных чисел: Формула Евклида позволяет доказывать ряд свойств совершенных чисел: Все чётные совершенные числа, кроме 6, являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел: 28 = 13 + 33; 496 = 13 + 33 + 53 + 73; 8 128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153. Все чётные совершенные числа являются треугольными числами. Это значит, что, взяв совершенное число одинаковых монет, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник: Взяв совершенное число одинаковых монет, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник Все чётные совершенные числа являются шестиугольными числами и, значит, могут быть представлены в виде n · (2n−1) для некоторого натурального числа n: 6 = 2 · 3, n = 2; 28 = 4 · 7, n = 4; 496 = 16 · 31, n = 16; 8 128 = 64 · 127, n = 64. Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа, равна 2. Это прямое следствие определения совершенных чисел, в чём легко убедиться, умножив обе части каждого следующего равенства на соответствующее совершенное число и осуществив сокращение дробей в левой части: 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2; 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2; 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/31 + 1/62 + 1/124 + 1/248 + 1/496 = 2; 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/127 + 1/254 + 1/508 + 1/1016 + 1/2032 + 1/4064 + 1/8128 = 2. Все чётные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала p единиц, за которыми следует p – 1 нулей (следствие из их общего представления): 6 = 1102 p = 2; 28 = 111002 p = 3; 496 = 1111100002 p = 5; 8128 = 11111110000002 p = 7. Остаток от деления четного совершенного числа, отличного от 6, на 9 равен 1. В следствие этого – сумма всех цифр чётного совершенного числа, кроме 6, равна 1: 2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1; 4 + 9 + 6 = 19, 1 + 9 = 10, 1 + 0 = 1; 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10, 1 + 0 = 1; 3 + 3 + 5 + 5 + 0 + 3 + 3 + 6 = 28, 2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1.
