Лекции по устойчивости
стержневых систем
Методические указания
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЛЕКЦИИ ПО УСТОЙЧИВОСТИ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
М е т о д и ч е с к и е указания
для магистров, о б у ч а ю щ и х с я по направлению 27010068 «Строительство»
по программе
«Теория и проектирование зданий и сооружений»
Составитель А. А. Битюрин
Ульяновск
2011
УДК 539.3:534.1 (076)
Б Б К 22.251я7
Л 43
Рецензент: доктор технических наук, профессор, заведующий
кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» строительного
факультета Ульяновского государственного технического универ­
ситета В. К. М а н ж о с о в .
Одобрено секцией методических пособий научно-методического
совета университета
Лекции по у с т о й ч и в о с т и стержневых систем : м е т о д и ч е с к и е укаЛ43
зания
для магистров, обучающихся п о н а п р а в л е н и ю 27010068
«строительство» по программе «теория и проектирование зданий и
сооружений» / составитель
А. А. Б и т ю р и н . - Ульяновск : УлГТУ,
2 0 1 1 . - 6 3 с.
Составлены в соответствии с программой курса «Устойчивость стержне­
вых систем»
В методических указаниях излагаются основные теоретические принципы
и подходы расчета на устойчивость сжатых стержней в пределах упругости и
за её пределами, решения общих задач устойчивости при статическом и ди­
намическом нагружении.
Методические указания предназначены для магистрантов, изучающих
теоретические основы курса «Устойчивость стержневых систем» (направле­
ния 27010068 «Строительство») и преподавателей, ведущих соответствую­
щие дисциплины.
Подготовлены на кафедре «Теоретическая и прикладная механика».
У Д К 621.372.061 (076)
Б Б К 31.27.01я7
©
Б и т ю р и н А. А.,
составление, 2011
©
О ф о р м л е н и е . УлГТУ, 2011
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. У С Т О Й Ч И В О С Т Ь С Ж А Т Ы Х С Т Е Р Ж Н Е Й В П Р Е Д Е Л А Х
УПРУГОСТИ
1.1.
4
5
Устойчивость стержня, шарнирно опертого по концам. Формула
Эйлера
Другие случаи закрепления концов
Пределы применимости формулы Эйлера. Равновесные формы в
закритической области
13
1.4.
Различные критерии устойчивости и методы решения задач
19
1.5.
П р и л о ж е н и е принципа возможных перемещений
23
1.6.
Энергетический критерий устойчивости
25
1.7.
1.8.
1.9.
М е т о д ы Ритца и Т и м о ш е н к о
Метод Б у б н о в а - Г а л е р к и н а
Метод конечных разностей. Упругая шарнирная цепь. Метод
коллокации. М е т о д последовательных приближений
27
29
30
П р и м е н е н и е интегральных уравнений. П р и б л и ж е н н о е
определение первой критической нагрузки
33
1.2.
1.3.
1.10.
5
9
1.11. Динамический критерий устойчивости
1.12. Критерий начальных несовершенств
36
38
1.13.
Эксцентричное сжатие. Приближенное р е ш е н и е
40
1.14. Эксцентричное сжатие. Точное решение
1.15. Влияние поперечной нагрузки
2. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ
УПРУГОСТИ. БОЛЕЕ ОБЩИЕ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ
42
44
46
2.1.
Экспериментальные зависимости
46
2.2.
В ы п у ч и в а н и е стержня при неизменной нагрузке
48
2.3.
Влияние ф о р м ы сечения. Случаи двутаврового и прямоугольного
сечений
Случай сосредоточенной силы в пролете
Действие распределенной продольной нагрузки
50
51
53
Одновременное действие распределенной и сосредоточенной
нагрузок
Устойчивость стержня, связанного с упругим основанием
56
58
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
61
62
ВВЕДЕНИЕ
Расчет на устойчивость, которой посвящен спецкурс, имеет первостепенное
значение для элементов конструкций, представляющих собой сравнительно
длинные и тонкие стержни, тонкие пластины и оболочки. Н а п о м н и м основные
понятия о видах равновесия.
Равновесие называется устойчивым, если при л ю б о м малом отклонении от
положения равновесия тело возвращается в исходное положение после устра­
нения причины, вызвавшей это отклонение. Равновесие называют неустойчи­
вым, если при л ю б о м малом отклонении от положения равновесия тело не воз­
вращается в исходное положение, а все далее отклоняется от него. П р и безраз­
личном равновесии тело, будучи отклоненным, остается в равновесии и в новом
положении.
Основы современной математической теории устойчивости движения соз­
даны в конце X I X в. в ы д а ю щ и м с я русским математиком и механиком
А. М. Ляпуновым. Ч т о б ы иметь представление о том, в чем заключается отли­
чие приведенных в ы ш е определений состояния равновесия от введенного Ля­
пуновым, сформулируем его применительно к некоторому физическому телу.
Пусть С - произвольное положительное число. Если для любого С, каким
бы малым оно не было, м о ж н о выбрать такое малое положительное число В
(зависящее от С), что при л ю б ы х начальных отклонениях шарика
ния равновесия, удовлетворяющих условию
выполняется неравенство
чиво. Здесь под
от положе< В, в л ю б о й момент времени
< С, то такое положение равновесия тела устой-
подразумевается отклонение тела от положения равновесия
в процессе его колебательных движений.
В курсе сопротивления материалов было изучено устойчивое состояние
продольно сжатого стержня сосредоточенной силой. П р и значении этой силы
меньше некоторой критической величины стержень сохранял прямолинейное
положение. П р и достижении этой величины и дальнейшее ее превышение,
стержень приобретал криволинейную форму. Расчет критической продольной
нагрузки мы проводили путем решения дифференциального уравнения изогну­
той оси балки, получая известную формулу Эйлера. Н е о б х о д и м о помнить, что
эта формула справедлива только в пределах выполнения закона Гука. В других
случаях расчет на устойчивость производился по формуле Ясинского.
В данном спецкурсе п о м и м о метода Эйлера и Я с и н с к о г о мы познакомимся
с другими методиками и принципами расчета критической с ж и м а ю щ е й силы и
приступим к р е ш е н и ю более сложных задач, которые в курсе сопротивления
материалов не рассматриваются. Настоящие методические указания составлены
по материалам м о н о г р а ф и и Вольмира А. С. «Устойчивость деформируемых
систем» [3].
1. У С Т О Й Ч И В О С Т Ь С Ж А Т Ы Х С Т Е Р Ж Н Е Й В П Р Е Д Е Л А Х
УПРУГОСТИ
1.1. У с т о й ч и в о с т ь с т е р ж н я , ш а р н и р н о о п е р т о г о п о к о н ц а м .
Формула Эйлера
О п р е д е л и м к р и т и ч е с к у ю с ж и м а ю щ у ю н а г р у з к у д л я с т е р ж н я с прямой
осью и постоянным по длине поперечным сечением (рис. 1.1.1, а). Пусть один
конец
стержня
О
имеет
шарнирно
неподвижную
опору,
а
второй
конец
а - шарнирно подвижную. Будем считать, что с ж и м а ю щ а я сила Р приложена в
центре тяжести сечения и во все время нагружения направлена строго по вер­
тикали. Расположим оси координат, как показано на рис. 1.1.1.
Рис. 1.1.1. Сжатый стержень, шарнирно опертый по концам
При малых значениях силы Р ось стержня остается прямой и в стержне воз­
никают напряжения сжатия а=Р/А, где А - площадь поперечного сечения.
Когда, постепенно возрастая, сила Р достигнет критического значения, то наря­
ду с прямолинейной формой равновесия должна иметь место другая, ис­
кривленная форма, как изображено на рис. 1.1.1, б. Мы предполагаем, что пе­
реход от прямолинейной формы к изогнутой происходит без изменения вели­
чины силы Р, т. е. при постоянной длине осевой линии. Но тогда точка а долж­
на получить некоторое смещение А; можно сказать, что при малых прогибах А
пропорционально квадрату стрелы прогиба упругой линии и, таким образом,
является величиной второго порядка малости.
В д а л ь н е й ш е м на рисунках ус­
ловно будет приниматься, что точка а вообще не смещается по вертикали.
В ы п и ш е м выражение для кривизны изогнутой оси стержня:
(1.1.1)
где / - момент инерции поперечного сечения, М - и з г и б а ю щ и й момент в не­
котором сечении.
Общее выражение для кривизны имеет вид
(1.1.2)
где v - прогиб в сечении х;
Будем считать здесь прогибы малыми
Изогнутая
ось
будет тогда
пологой
по сравнению с длиной стержня.
кривой;
считая
(dv/dx)
«1,
можно
при
этом принять
(1.1.3)
И з г и б а ю щ и й момент в сечении х равен
(1.1.4)
Получаем дифференциальное уравнение изогнутой оси в виде
(1.1.5)
Как видно из рис. 1.1.1, а - б , при изгибе стержня, соответствующим сплош­
ной линии, прогиб v положителен, а вторая производная отрицательна; таким
образом, в уравнение типа (1.1.5) прогиб и вторая производная входят с раз­
ными знаками.
И с х о д я из этого, мы, независимо от правила знаков для х иМ,
приходим к одному и тому же уравнению.
В курсах сопротивления материалов последующее р е ш е н и е задачи ведут
исходя из уравнения второго порядка типа (1.1.5). Здесь мы перейдем от (1.1.5)
к уравнению четвертого порядка, так как это придаст р е ш е н и ю более общий
характер и позволит распространить его на другие граничные условия.
Принимая EI=const, продифференцируем (1.1.5) дважды по х; тогда получим:
(1.1.6)
Это соотношение м о ж н о также непосредственно получить, исходя из из­
вестного уравнения упругой линии
(1.1.6а)
вводя фиктивную поперечную нагрузку интенсивностью q.
Рассмотрим де­
формированный элемент стержня, находящийся под действием с ж и м а ю щ и х
усилий Р (рис. 1.1.2, а ) ; равнодействующая этих усилий, направленная вдоль
нормали, будет по рис.
2
2
q=-Pd v/dx ;
Введем
2
2
1.1.2, б равна {—Р d dv/dx ) dx,
а величина q равна
отсюда приходим к (1.1.6).
обозначение
(1.1.7)
тогда уравнение (1.1.6) п р и м е т вид
(1.1.8)
Однородному
ветствует
sx
=
s2
линейному
характеристическое
= 0,
s3А
дифференциальному
уравнение
2 2
2
s (s +k )
уравнению
=
0;
(1.1.6)
корни
его
соот­
равны
= ik. Следовательно, интеграл уравнения (1.1.6) будет
v = A sin кх + В cos кх + Сх + D.
(1.1.9)
Рис. 1.1.2. Интенсивность поперечной «нагрузки», вызываемой сжимающими силами
Для р е ш е н и я задачи существенно то обстоятельство, что корни s 3 и s 4 полу­
чаются м н и м ы м и ; это в с в о ю очередь объясняется тем, что в уравнение типа
2
(1.1.5) величины v и d v/dx
2
входят с разными знаками.
Решение (1.1.9) д о л ж н о удовлетворять граничным условиям, которые в дан­
ном случае и м е ю т вид
(1.1.10)
Пользуясь этими условиями, находим:
B+D= О, В = 0,
A sin kl + B cos kl + Cl+ D =0, A sin kl+B cos kl =0.
Отсюда B=
С = D
=
0. Полагая
(1.1.11)
будем иметь
sinkl = 0.
(1.1.12)
Для аргумента kl получаются значения:
kl = nn,
где п - п р о и з в о л ь н о е ц е л о е ч и с л о . О т б р а с ы в а я р е ш е н и е
(1.1.13)
kl = 0, к а к не от­
вечающее исходным данным задачи, находим:
(1.1.14)
или, по (1.1.6),
Изменяя число п, получаем последовательный ряд значений силы Р, которым
соответствуют р а з л и ч н ы е искривленные равновесные ф о р м ы .
Под критической силой мы условились понимать силу, при которой прямо­
линейная форма равновесия стержня перестает быть устойчивой. Следователь­
но, из всех возможных значений силы надо выбрать наименьшее и принять
п=1. Считая, что продольный изгиб произойдет в плоскости наименьшей жест­
кости стержня, будем под
/
понимать минимальный момент инерции
min
сечения 7 .
Вводя для критической силы обозначение Ркр, получаем:
(1.1.16)
Формула такого вида была получена Л. Эйлером и носит его имя.
Вернемся к у р а в н е н и ю изогнутой оси стержня
v= Asinkx =
Мы
получили
синусоиду,
имеющую
(1.1.17)
п
полуволн.
Критической
силе
(при п — 1) соответствует синусоида с одной полуволной:
(1.1.18)
здесь А = f- стрела прогиба.
Принимая последовательно п - 2, 3 и т. д., получим искривленные формы
равновесия в виде синусоиды с двумя, тремя и более полуволнами в пределах
длины стержня. П р и этом сила Р будет в четыре, девять и т. д. раз превышать
критическую величину.
Эти формы равновесия неустойчивы, но их м о ж н о осуществить, если перей­
ти к новой системе, поставив в точках перегиба синусоиды дополнительные
шарнирные подкрепления.
Н а м и подразумевалось, что сжимающее напряжение в стержне лежит в пре­
делах действия закона Гука, т. е. не превышает предела пропорциональности
материала; следовательно, формулой Эйлера м о ж н о пользоваться лишь при
этом условии. Н а п о м н и м также, что мы применяем п р и б л и ж е н н о е выражение
(1.1.3) для кривизны изогнутой оси, что является у м е с т н ы м л и ш ь при прогибах,
достаточно малых по сравнению с длиной стержня. И м е н н о поэтому величина
стрелы погиба f осталась в конечном счете неопределенной. С математической
точки зрения рассмотренная нами задача представляет собой задачу о собст­
венных значениях линейного однородного уравнения типа (1.1.5). Тривиальное
решение v = 0 относится к начальному, неискривленному равновесному со­
стоянию стержня. Нетривиальное решение соответствует так называемым соб­
ственным функциям задачи, которые в данном случае и м е ю т вид (1.1.17). Пер­
вая и высшие критические силы (1.1.15) являются собственными значениями
параметра Р, входящего в основное уравнение, т. е. т а к и м и значениями Р, при
которых это уравнение имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее всем
граничным условиям задачи.
1.2. Д р у г и е случаи закрепления концов
Рассмотрим далее случай, когда один конец стержня защемлен, другой —
свободен;
сила Р, сохраняющая вертикальное направление, приложена к сво­
бодному концу (рис. 1.2.1). П р и потере устойчивости стержень получит прогиб
по форме, изображенной на рис. 1.2.1.
Дифференциальное уравнение изо­
гнутой линии сохраняет вид (1.1.8); об­
щий интеграл уравнения по-прежнему
имеет вид (1.1.9). В ы п и ш е м граничные
условия. Для защемленного конца
имеем: v=0,
п р и х = 0.
(1.2.1)
На свободном конце изгибающий мо­
мент должен обратиться в нуль:
(1.2.2)
Поперечная сила на верхнем конце
может быть выражена через силу Р и
угол поворота:
Рис. 1.2.1. Стержень, защемленный
(1.2.3) одним концом, и со свободным другим
концом
Выражая поперечную силу через прогиб, получим:
(1.2.4)
или
(1.2.4 а)
Используя в ы п и с а н н ы е условия, находим:
B+D = 0,
Ak+C = 0,
2
Ак sin kl+ Вк cos kl = 0, А=0
2
Отсюда А = С = 0,В = -D. П р и В
будет
(1.2.6)
cos kl = 0
n = 0, 1,2,3,...
и
(1.2.5)
(1.2.7)
Рассуждая так же, как и в предыдущем пункте, находим критическую вели­
чину силы Р равную (при п - 0)
Уравнение изогнутой оси получает вид
v = В (cos kx -1).
(1-2.9)
Если ввести обозначение для перемещения свободного конца, то найдем
при
В=-f
v
Примем
время
как
теперь,
что
(1.2.10)
= f(l - cos kx).
один
второй конец защемлен
конец
стержня
в подвижной
защемлен
опоре
и
(рис.
неподвижен,
1.2.2).
в
то
Граничные
условия здесь будут:
(1.2.11)
(1.2.12)
Пользуясь (1.1.9), получаем:
В + D = О,
Ак + С = О,
Л sin kl + В coskl + CI + D = О,
(1.2.13)
Ak cos kl — Bk sin kl + С = 0.
Для постоянных А, В получаем уравнения
A (sin kl - kl) + В (cos kl - 1) = 0,
A(cos kl - 1) - В sin kl = 0.
Условие
(1.2.14)
нетривиального решения
имеет вид
sin kl — kl
cos kl — 1
cos kl — 1
= 0.
—sinkl
(1.2.15)
Рис. 1.2.2. Стержень с
защемленными концами
Отсюда для kl находим уравнение
(1.2.16)
Приравнивая нулю п е р в ы й множитель, получим:
n = 1 , 2 , 3,...
(1.2.17)
Наименьшее возможное значение kl будет равно 2л. Е с л и же приравнять нулю
выражение, стоящее в скобках, то наименьший корень будет kl = 8,99. Таким
образом, для определения критической силы мы д о л ж н ы положить kl = 2л;
тогда
Уравнение упругой л и н и и здесь получает вид (при 2В - —f)
через f по-прежнему обозначена стрела прогиба (рис. 1.2.2).
Наконец,
защемлен, в
обратимся
то
время
к
случаю,
как
когда нижний
верхний
имеет
конец
шарнирную
стержня
опору
неподвижно
(рис. 1.2.3).
Граничные условия будут:
v = 0,
= 0 при
v = 0,
= 0 при
х =
О,
(1.2.21)
х = l.
Между постоянными выражения (1.1.9) получим с о о т н о ш е н и я :
В + D = 0, Л/с + С = О,
A sin kl + Bcoskl + Cl + D = О,
A sin kl + B cos kl = 0.
При
- D = В =
- Akl, С = - Ak
(1.2.22)
будем иметь
sin kl - kl cos kl = 0
или
tg kl = kl.
(1.2.23)
б)
Рис. 1.2.4. Приведенная длина при различных
условиях закрепления
Рис. 1.2.3. Один конец
стержня защемлен, а
другой оперт шарнирно
Наименьшее значение kl, удовлетворяющее этому у р а в н е н и ю , будет
Для критической силы находим выражение
или, с известным приближением,
Г
*Р
~
(1.2.26)
,2
Уравнение упругой л и н и и будет
v =A[sin кх - кх + kl(l - cos кх)].
(1.2.27)
На р и с . 1.2.4, а - в сопоставлены упругие л и н и и для рассмотренных случаев
закрепления. Формулу Эйлера м о ж н о записать теперь в о б о б щ е н н о м виде:
(1.2.28)
или
(1.2.29)
П о д /о понимается приведенная длина стержня. П р и произвольных гранич­
н ы х условиях ее м о ж н о трактовать как длину эквивалентного стержня, имею­
щего по концам ш а р н и р н ы е опоры. Величину v = l 0 IL называют коэффициентом
приведения длины; он равен отношению д л и н ы полуволны синусоиды к дейст­
вительной длине стержня; на рис. 1.2.4 а - в
полуволна синусоиды выделена;
здесь же приведены значения v.
Величине Ркр
по (1.2.28) соответствует критическое напряжение в попереч­
ном с е ч е н и и , р а в н о е
(1.2.30)
Обозначим через imin м и н и м а л ь н ы й радиус инерции поперечного сечения:
(1.2.31)
тогда
получим:
(1.2.32)
Через
здесь обозначена так называемая гибкость стержня:
1.3. Пределы применимости формул Эйлера. Равновесные формы
в закритической области
Как уже говорилось, формула Эйлера справедлива при условии, что дефор­
мация сжатия стержня вплоть до момента потери устойчивости подчиняется за­
кону Гука. И н ы м и словами, критическое напряжение не д о л ж н о превышать
предела пропорциональности для данного материала:
(1.3.1)
или
(1.3.2)
Предельная «упругая» гибкость стержня, т. е. наименьшая гибкость, при кото­
рой еще можно пользоваться формулой Эйлера, будет
(1.3.3)
Условие (1.3.1) получает вид
(1.3.4)
До сих пор мы ставили перед собой цель определить первую критическую
силу, предполагая, что для сжатого стержня она является предельной. Действи­
тельно, для элементов металлических конструкций достижение нагрузкой кри­
тической величины сопровождается значительными д е ф о р м а ц и я м и и, как пра­
вило, приводит к исчерпанию их несущей способности. Однако в некоторых
случаях, например, для гибких тонких полос, приходится вести расчет, исходя
из того, что элемент конструкции подвергается действию нагрузок, превосхо­
дящих критическую. П е р е м е щ е н и я концевых сечений такого стержня обычно
ограничивают, исходя из конструктивных соображений.
Таким образом, для практических целей важно исследовать закритическую
деформацию сжатых стержней. Кроме того, этот вопрос имеет большое теоре­
тическое значение, так как позволяет установить случаи неприменимости ли­
нейных уравнений и уточнить критерий устойчивости.
Рассмотрим закритические равновесные ф о р м ы на примере стержня, за­
щемленного н и ж н и м концом и при свободном втором конце. Будем считать,
что к верхнему концу п р и л о ж е н а сила Р, сохраняющая свое направление (рис.
1.3.1). Так как здесь прогибы уже нельзя считать малыми по сравнению с дли­
ной стержня, то мы д о л ж н ы воспользоваться т о ч н ы м выражением (1.1.2) для
кривизны упругой линии. Предполагая, что напряжения лежат в пределах про­
порциональности, получим нелинейное уравнение
(1.3.5)
Обозначим
горизонтальное
смещение
верхнего
конца через /, тогда и з г и б а ю щ и й момент в некотором
сечении на расстоянии х от н и ж н е г о конца равен
M=-P(f-v).
(1.3.6)
В в е д е м вместо v новую п е р е м е н н у ю
(1.3.7)
y = v~f
и воспользуемся обозначением (1.1.7); тогда уравне­
н и ю (1.3.5) м о ж н о придать вид
(1.3.8)
Г р а н и ч н ы е условия будут
Рис. 1.3.1. К точному
решению задачи о
закритической
деформации стержня
при
У = ~ f.
х = 0.
(1.3.9)
В ы п и ш е м первый интеграл уравнения (1.3.8):
(1.3.10)
в справедливости этого соотношения легко убедиться непосредственным диф­
ференцированием. И с х о д я из (1.3.9), находим
С = 1-
(1.3.11)
уравнение (1.3.10) п р и н и м а е т вид
= 1 -
(f2-у2).
(1.3.12)
Отсюда вытекает
(1.3.13)
Разделяя переменные, получим:
(1.3.14)
Длина элемента изогнутой л и н и и as по рис. 1.3.2 равна
ds = dx
Пользуясь в ы р а ж е н и я м и (1.3.12) и (1.3.14), приходим к зависимости
dy.
к ds =
Введем новые п е р е м е н н ы е
(1.3.16)
связанные с y , j и Э т а к и м и соотношениями:
(1.3.17)
Тогда по (1.3.7) и (1.3.8)
(1.3.18)
Соотношение (1.3.16) приобретает вид
kds =
(1.3.19)
Мы считаем, что д л и н а осевой ли­
Рис. 1.3.2. Элемент изогнутой оси стержня
нии / является н е и з м е н н о й . Относя зна­
к н и ж н е м у концу стержня, примем по (1.3.18):
чение
и = 0 , 1,2, ....
(1.3.19а)
С другой стороны, для верхнего конца д о л ж н о быть у = 0. Соответствую­
щее значение
п о л о ж и м для определенности р а в н ы м
Интегрируя левую и правую части (1.3.19) по всей длине стержня, получим:
(1.3.20)
Выражение типа
(1.3.21)
носит название полного эллиптического интеграла первого рода.
ний предел интеграла (1.3.20) равен
Так как ниж-
то этот интеграл будет в
раз
больше выражения (1.3.21):
(1.3.22)
Интегралы вида (1.3.21) табулированы и приводятся во м н о г и х справочных
книгах.
Вернемся теперь к с о о т н о ш е н и я м (1.3.17); второе из н и х дает
(1.3.23)
Сравнивая (1.3.18) и (1.3.23) и оставляя один из знаков, находим
kv = 2 sin
(1 — cos
(1.3.24)
Взятые вместе, с о о т н о ш е н и я (1.3.22) и (1.3.23) позволяют установить зави­
симость между отклонением верхнего конца стержня
f
и нагрузкой Р. Пусть
известны жесткость стержня EI и длина /. Допустим, что задана величина на­
грузки Р; тогда по (1.1.7) м о ж н о найти А: и из (1.3.22), при том или ином п, определить параметр
Н а к о н е ц , по (1.3.23) может быть найдено отклонение f.
Таким образом, определяется соотношение Р - P(f) для каждого значения п.
Если п о л о ж и т ь = 0, то при
выражение (1.3.22) становится
к
получим / = 0 . В этом предельном случае
Равенство (1.3.22) тогда дает
2
(2п+1) ,
(1.3.25)
Рп = (2п + 1УРкр ,
(1.3.26)
или, по (1.2.7),
где Ркр - первая критическая сила. Значения Р п при п = 1, 2, 3 и т. д., будут со­
ответствовать другим т о ч к а м разветвления равновесных состояний по (1.2.7),
т. е. в ы с ш и м критическим силам. Соотношениям (1.3.22) и (1.3.23) м о ж н о при­
дать вид:
(1.3.27)
(1.3.28)
Положим, например, Р = ЗРкр. Тогда при п = О из (1.3.27) будем иметь
= 2,72.
По таблице эллиптических интегралов находим
и, далее,
На рис. 1.3.3 изображена зависимость между величинами
Р/Ркр и
f/l
для
п = 0. С увеличением нагрузки прогиб верхнего к о н ц а вначале возрастает до
значения 0,8061, а затем начинает уменьшаться. В пределе, при Р -> со, должно
быть
f->0.
Рис. 1.3.3. Зависимость между стрелой прогиба и нагрузкой в закритической области
Аналогичным образом м о ж е т быть получена зависимость между нагрузкой
и прогибом верхнего к о н ц а для п = 1, 2, 3 и т. д. Отметим, что точки соответст­
вующих кривых могут быть получены по точкам первой кривой (для п — 0), ес­
2
ли их абсциссы у м н о ж а т ь на (2п+1) , а ординаты делить на (2п+1), это следует
из (1.3.27) и (1.3.28). Н е с к о л ь к о таких кривых приведено на р и с . 1.3.4.
f/i
Рис. 1.3.4. Диаграммы «прогиб - нагрузка» при нагрузках, превышающих первую и высшие
критические силы
Форму
упругой
линии
стержня, о т в е ч а ю щ у ю тому или
иному значению нагрузки, мож­
но найти, исходя из зависимости
(1.3.24).
Как
легко
видеть
по
(1.3.8), вторая производная от у
по
обращается
х
в
нуль
при
у = 0,т. е. при значениях проги­
ба v, равных
жать
точки
линии.
С
f;
здесь будут ле­
перегиба
другой
упругой
стороны,
из
(1.3.17) для этих значений про­
гиба
находим
cos
=
0
и
так как верх­
ний предел для
м ы приняли
равным
В случае
п = 0 упругая ли­
ния не будет иметь точек пере-
Рис. 1.3.5. Формы упругой линии стержня
гиба; при п = 1 получим одну точку перегиба, при п = 2 — две и т. д. Упругие
линии для случаев и= 1 и п = 2 представлены на рис. 1.3.5.
Для значений нагрузки, мало отличающихся от первой критической вели­
чины, можно установить простую приближенную зависимость между Р и f.
Положим п — 0; тогда по (1.3.27) и (1.3.28)
(1.3.29)
Выражение для полного эллиптического
ставлено в виде ряда по степеням sin
интеграла
может
быть
пред-
(1.3.30)
При достаточно малом
ограничиваясь п е р в ы м и двумя членами ряда,
находим
(1.3.30 а)
С другой стороны, во в т о р о м из равенств (1.3.29) м о ж н о п о л о ж и т ь
(1.3.31)
Тогда из (1.3.30) п о л у ч и м :
(1.3.32)
Таким образом, первый участок кривой рис. 1.3.5 м о ж н о с известным при­
ближением заменить отрезком квадратной параболы. Судя по формуле (1.3.30)
и графикам рис. 1.3.5, в закритической стадии стрела прогиба стержня возрас­
тает весьма быстро. Е с л и нагрузка превышает критическую л и ш ь на 1%, то
стрела прогиба д о л ж н а составить уже около 0,18l. Для стержней в металличе­
ских конструкциях напряжения при подобных значениях прогиба обычно пре­
вышают предел пропорциональности. Следовательно, исследование закрити­
ческой деформации имеет смысл только по о т н о ш е н и ю к стержням большой
гибкости.
1.4. Р а з л и ч н ы е критерии устойчивости и м е т о д ы решения задач
Рассматривая сжатый стержень, различным образом закрепленный по кон­
цам, мы использовали один из наиболее употребительных критериев потери ус­
тойчивости: мы исследовали, при каких условиях наряду с начальным состоя­
нием равновесия возникают соседние, новые равновесные формы. Такой под­
ход к решению задач устойчивости будем называть статическим.
Другой критерий относится к потенциальной энергии, накапливаемой сис­
темой, и может быть назван энергетическим. Исследуем переход от начального
равновесного состояния к изогнутому и определим приращение потенциальной
энергии деформации, а также работу внешних сил. Если энергия деформации
окажется больше работы внешних нагрузок, то, очевидно, система будет воз­
вращаться к начальному п о л о ж е н и ю равновесия; следовательно, его положение
можно считать устойчивым. Напротив, условие неустойчивости состоит в том,
что работа внешних сил превышает потенциальную энергию деформации. При
безразличном равновесии (в линейной постановке задачи) приращение энергии
деформации должно быть равно работе внешних сил. Если внешние силы яв­
ляются консервативными, т. е. если работа их зависит только от начального и
конечного положений точек приложения и не зависит от траекторий перемеще­
ния этих точек, то м о ж н о ввести понятия потенциала внешних сил и полной по­
тенциальной энергии системы. Тогда данный критерий м о ж н о сформулировать
в применении к полной энергии системы, вернее, к ее п р и р а щ е н и ю при перехо­
де от начального равновесного состояния к соседнему.
Третий, наиболее о б щ и й путь состоит в исследовании движения системы,
вызываемого некоторыми малыми возмущениями начального равновесного со­
стояния. Такой критерий может быть назван динамическим. Если малые воз­
мущения вызывают динамические перемещения системы, л е ж а щ и е в опреде­
ленных пределах, то начальное состояние является устойчивым. Точнее, при
наличии устойчивости всегда м о ж н о подобрать такие начальные возмущения,
чтобы при последующем движении системы перемещения ее точек не вышли за
некоторые, наперед заданные границы. Если речь идет о консервативной сис­
теме, на которую действуют консервативные заданные силы, а работа реакций
связей и сил сопротивления равна нулю, то такая система будет совершать соб­
ственные колебания около положения равновесия. Критерием потери устойчи­
вости будет при этом - как уже было сказано в п. 1.1 - обращение в нуль час­
тоты собственных колебаний.
Энергетический критерий, как он был сформулирован выше, является, по
существу, статическим, так как относится только к потенциальной энергии сис­
темы и позволяет анализировать л и ш ь различные равновесные формы. Однако
энергетический критерий м о ж н о применить и при динамической постановке
задачи, если ввести в рассмотрение кинетическую энергию системы и исследо­
вать изменение функции, включающей как потенциальную, так и кинетическую
энергии.
Определяя критическую нагрузку, отвечающую точке разветвления равно­
весных состояний, мы имеем в виду некоторую идеальную систему. Мы счита­
ем, например, что ось сжатого стержня является строго прямолинейной, что на­
грузка приложена в центре тяжести сечения, что материал является однород­
н ы м и т. д. В реальных конструкциях такие условия, как правило, не выполня­
ются. М о ж н о определить характер устойчивости идеальной системы, изучая
поведение близкой к ней несовершенной системы и устремляя параметры, ха­
рактеризующие эти несовершенства, к нулю. К а к мы увидим ниже, влияние на­
чальных несовершенств резко возрастает, когда нагрузка приближается к кри­
тической величине, вычисленной для соответствующей идеальной конструк­
ции, это и служит критерием устойчивости идеальной системы, который можно
назвать критерием начальных несовершенств.
Приводят ли перечисленные выше критерии устойчивости той или иной
системы к одному и тому же результату? Как мы убедимся ниже, в задачах, от­
носящихся к консервативным системам, такое совпадение имеет место, поэтому
применение различных критериев может служить для проверки правильности
решения задачи. В случае же неконсервативной системы следует пользоваться
динамическим критерием, так как статический (или энергостатический) подход
может в ряде случаев привести к ошибочным результатам.
Определение критической нагрузки как точки бифуркации равновесных
форм сводится, как мы видим, к р е ш е н и ю линейной задачи; к такой задаче и от­
носились перечисленные нами критерии устойчивости. Если же исследуется
послекритическое поведение системы, то задача является нелинейной. Своеоб­
разие нелинейной задачи состоит в том, что здесь одной и той же системе на­
грузок может соответствовать несколько различных деформированных состоя­
ний, одни из которых являются устойчивыми, а другие - неустойчивыми. Так,
например, в случае сжатого стержня при нагрузках, незначительно превышаю­
щ и х первую критическую величину, мы получали две устойчивые изогнутые
формы стержня (при изгибе стержня в одну и другую сторону) и неустойчивую
форму - прямолинейную. Правда, при определении точки бифуркации мы так­
же сталкиваемся с серией различных равновесных состояний, но от каждого из
них можно непосредственно перейти к другому, соседнему; в нелинейной же
системе равновесные ф о р м ы могут резко различаться между собой. Допустим,
что тяжелый шарик перемещается по поверхности более сложной конфигура­
ции, имеющей не одно, а два углубления (рис. 1.4.1, а - б). Если шарик перво­
начально находится в левой «ямке», то его поведение при отклонении от устой­
чивого равновесного состояния А зависит от характера возмущений. Если ша­
рик получит малое отклонение или малую начальную скорость, то он будет ис­
пытывать ограниченные колебания около А, не выходя за пределы ямки. Если
же шарик получит достаточно большой толчок, то он может перескочить через
неустойчивое равновесное положение В, попасть в правую «ямку» и начать ко­
лебаться около нового равновесного состояния С. Вероятность перескока ша­
рика из одной я м к и в другую зависит от того, насколько высок разделяющий их
барьер. Например, в случае, показанном на рис. 1.4.1, б, эта вероятность боль-
ше, чем в случае р и с . 1.4.1, а. Так как высота Н пропорциональна разности по­
тенциалов силы веса шарика, то она характеризует потенциальный барьер,
пре­
одоление которого необходимо при перескоке.
Рис. 1.4.1. Устойчивость «в большом»
А шарик устойчив «в малом»,
т. е.
при сравнительно м а л ы х возмущениях. Вместе с тем он может оказаться
Мы будем говорить, что в положении
неус­
тойчивым «в большом», если возмущения превысят известный предел.
В ы б р а в тот или и н о й критерий, мы должны далее принять определенный
метод решения задачи. Е с л и применяется статический или динамический кри­
терий, то м о ж н о исходить из дифференциальных уравнений равновесия или
движения для отклоненных положений и непосредственно интегрировать эти
уравнения. Этот путь возможен, однако, л и ш ь в п р о с т е й ш и х задачах. В более
сложных случаях приходится пользоваться р а з л и ч н ы м и п р и б л и ж е н н ы м и мето­
дами определения критической нагрузки. Так, например, дифференциальное
уравнение равновесия или движения может быть заменено уравнением в конеч­
ных разностях, в зависимости от числа интервалов задача будет решена с той
или иной степенью точности.
Другой путь заключается в том, что дифферен­
циальное уравнение - линейное или нелинейное - заменяется интегральным,
т. е. таким, которое включает под знаком интеграла функции, характеризующие
отклоненные состояния системы. Тогда для решения задачи м о ж н о применить
метод
последовательных
приближений,
позволяющий
шаг
за
шагом
уточнять
характер равновесных форм системы и, в л и н е й н ы х задачах, величину критиче­
ской нагрузки. Теория интегральных уравнений содержит также ряд других пу­
тей
определения
наименьшего
параметра,
характеризующего
разветвление
(бифуркацию) р е ш е н и й ; это значение параметра соответствует интересующей
нас критической нагрузке.
Пользуясь энергетическим критерием, мы д о л ж н ы представить себе, какой
характер имеют отклоненные положения системы, и составить выражения для
потенциальной энергии деформации и работы в н е ш н и х сил. В линейных зада­
чах критическая нагрузка приближенно определяется путем непосредственного
сопоставления этих величин. Чаще всего энергетический подход осуществляет­
ся с помощью метода Ритца, в котором отклоненное положение равновесия
или движения характеризуется с помощью нескольких независимых парамет­
ров. Подобная аппроксимация отклоненного состояния применяется и в методе
Бубнова-Галеркина, который может быть обоснован из энергетических сооб­
ражений - исходя из принципа возможных перемещений, — но, с другой сторо­
ны, может трактоваться как «формальный» прием приближенного интегриро­
вания дифференциальных уравнений, когда форма интегральной кривой может
быть заранее оценена из физических представлений.
Все перечисленные в ы ш е методы позволяют п р и б л и ж е н н о решать те или
иные краевые задачи теории упругости, поскольку вместе с дифференциальны­
ми уравнениями задачи д о л ж н ы быть заданы граничные условия для переме­
щений или усилий. Существует, однако, путь — он назван ниже методом
проб, - когда задача ставится как задача с начальными условиями: например,
для стержня задается прогиб и угол поворота для одного из концевых сечений.
Граничные условия, относящиеся ко второму концевому сечению, выполняют­
ся после пробных п о п ы т о к путем варьирования параметра нагрузки, входящего
в дифференциальное уравнение. Трактовка проблемы о собственных значениях
как задачи с начальными условиями имеет особенно большое значение в связи
с применением электронных вычислительных м а ш и н ; здесь могут быть успеш­
но применены методы оптимального программирования.
Мы познакомились уже с одним из «статических» методов исследования
устойчивости сжатого стержня - непосредственным интегрированием диффе­
ренциального уравнения упругой линии для отклоненного положения. В после­
дующих разделах мы на том же простом примере познакомимся с другими кри­
териями устойчивости и методами решения задач.
1.5. П р и л о ж е н и е принципа возможных перемещений
Как известно, наиболее о б щ и м принципом, п о з в о л я ю щ и м исследовать рав­
новесные состояния упругих систем, является принцип возможных перемеще­
ний: он относится не только к линейным, но и к н е л и н е й н ы м статическим зада­
чам; в соединении с п р и н ц и п о м Даламбера его м о ж н о использовать и в дина­
мических задачах. П о э т о м у изложение энергетических соотношений мы начнем
с применения п р и н ц и п а возможных перемещений. Согласно этому принципу
равновесное состояние упругой системы характеризуется тем, что сумма работ
всех внешних и внутренних сил на л ю б ы х кинематически возможных переме­
щениях точек упругой системы равна нулю.
Допустим, что стержень длиной
l,
известным образом закрепленный по
концам, подвергается действию сжимающей силы Р. Обозначим через
работу внутренних сил при переходе от данной искривленной формы к другой,
близкой к ней, а через
- соответствующую работу с ж и м а ю щ е й нагрузки.
Если исходная форма стержня является равновесной, то д о л ж н о удовлетворять­
ся равенство
(1.5.1)
Работа внутренних сил м о ж е т быть представлена выражением
(1.5.2)
где через
обозначена вариация кривизны упругой линии. П р и м е м для кри­
визны значение (1.1.3), так как речь идет о малом отклонении упругой линии
стержня от оси х; тогда
(1.5.3)
Интегрируя это в ы р аж е н и е по частям, получим
(1.5.3а)
Повторное интегрирование дает
Пользуясь соотношениями
= Q,
М = -
(1.5.4)
находим
(1.5.5)
Работа внешней нагрузки на возможном перемещении будет
(1.5.6)
где через е обозначена проекция взаимного смещения концов стержня, имею­
щего место при искривлении, на направление силы Р; величина е считается по­
ложительной при сближении концов. Н а п о м н и м , что величина и направление
сжимающих сил считаются неизменными. Воспользуемся соотношением
(1.3.15) между длиной элемента изогнутой линии ds и проекцией его dx на на­
правление Р:
Развертывая множитель при dx в ряд по формуле бинома Н ь ю т о н а и ограничи­
ваясь первыми двумя членами ряда, находим
ds — dx
(1.5.7)
Полная длина изогнутой линии, равная длине стержня до искривления, будет
(1.5.8)
здесь через l г обозначена длина проекции изогнутой л и н и и на направление
оси х. Проекция смещения краев оказывается равной
(1.5.9)
Работа
будет тогда
(1.5.10)
или
(1.5.10а)
Интегрирование по частям дает
(1.5.11)
Уравнение (1.5.1) получает вид
dx = 0.(1.5.12)
Мы пришли к вариационному уравнению (1.5.12), вытекающему из принципа
возможных перемещений.
Считая, что вариации
обращаются в нуль,
произвольны и что первые два члена в левой части
получим отсюда дифференциальное уравнение (1.1.6).
С другой стороны, рассмотрение
внеинтегральных членов приводит к статиче­
ским граничным условиям задачи. Так, в случае свободного конца, при условии
получим:
м = о,
О-Р
что соответствует равенствам (1.2.2) и (1.2.3).
1.6. Энергетический критерий устойчивости
При исследовании равновесных состояний консервативных систем можно
вместо вариаций работы внутренних и внешних сил ввести вариацию полной
потенциальной энергии системы. Как известно, работа внутренних сил на воз­
можном перемещении равна взятой со знаком минус вариации потенциальной
энергии деформации:
(1.6.1)
Сопоставляя (1.5.10) и (1.5.11), находим:
или
(1.6.2)
Отсюда вытекает известное выражение для потенциальной энергии деформа­
ции изогнутого стержня:
U =
(1.6.3)
dx.
Это выражение м о ж н о также записать в виде
U =
(1.6.4)
С другой стороны, по (1.5.10) находим работу
изводимую силой Р при искривлении стержня:
W =
внешней
dx.
нагрузки,
про­
(1.6.5)
Величина Wравна взятому со знаком минус изменению потенциала нагрузки:
V = —W = —
(1.6.6)
Сумма потенциальной энергии деформации и изменения потенциала нагрузки
представляет собой полную энергию упругой системы Э:
Э= U + V = U - W.
(1.6.7)
Таким образом, в рассматриваемом случае полная энергия равна
(1.6.8)
dx.
При возможном отклонении стержня от равновесного положения первая вариа­
ция от полной энергии д о л ж н а быть равна нулю:
(1.6.9)
что соответствует равенству (1.5.1).
Об устойчивости равновесного положения м о ж н о судить по знаку второй
вариации от полной энергии. Если исходное положение устойчиво, то вторая
вариация положительна:
(1.6.10)
При этом энергия прямолинейной формы стержня будет минимальной по от­
ношению к значениям энергии для близких к ней искривленных форм.
Если вторая вариация от энергии отрицательна,
(1.6.11)
то рассматриваемая равновесная форма будет неустойчивой.
Безразличному равновесию стержня соответствует равенство
вариации:
нулю
второй
(1.6.12)
Рассмотрим случай шарнирно закрепленного по концам стержня, сжатого
силами Р по концам. П р и н и м а я для искривленной упругой линии уравнение
(1.1.18) получим из (1.6.8):
э=
(1.6.13)
Введем безразмерные параметры
(1.6.14)
Э*=
где h - высота сечения стержня. Тогда по (1.6.13) и будет (1.6.16)
(1.6.15)
Первая вариация от Э* равна
(1.6.16)
а вторая вариация
(1.6.17)
Любая прямолинейная форма является равновесной; при
= 0 будет всегда
Устойчивость равновесия зависит от соотношения между Р и
при
Ркр;
Р < Ркр, Р > Ркр и Р = Ркр будут соответственно выполняться равенства
(1.6.10), (1.6.11), (1.6.12).
1.7. М е т о д ы Ритца и Т и м о ш е н к о
Энергетический критерий служит основой для эффективных при­
ближенных методов р е ш е н и я задач устойчивости, кратко охарактеризованных
выше. Рассмотрим эти методы более подробно.
Примем, что изогнутая линия стержня при потере устойчивости прибли­
женно может быть представлена с помощью ряда
v —
(1.7.1)
Здесь под
понимаются функции х, удовлетворяющие геометрическим гра­
ничным условиям задачи, т. е. таким условиям, которые относятся к прогибам и
углам поворота.
П о д с т а в и м (1.7.1) в выражение для полной энергии системы
(1.6.8). Тогда энергия окажется зависящей от параметров прогиба f i . Вариацию
можно при этом представить как сумму вариаций, соответствующих воз­
можным изменениям параметров f i :
(1.7.2)
Так как рассматриваемые нами изогнутые состояния являются равновесными,
по (1.6.10) должна быть равна нулю:
то вариация
(1.7.3)
Но вариации
м о ж н о считать независимыми друг от друга; поэтому равенст­
во (1.7.3) будет иметь место, если каждый из м н о ж и т е л е й при
будет
равен нулю:
= 0,
i = 1,2, ...,n.
(1.7.4)
Судя по (1.6.8), энергия должна являться квадратичной функцией параметров f i .
Вычисляя производные по f i мы получим линейные ф у н к ц и и f i . Следовательно,
равенства (1.7.4) представляют собой систему п л и н е й н ы х алгебраических од­
нородных уравнений относительно f i , в коэффициенты при f i входит нагрузка
Р. Если считать
то условием наличия р е ш е н и я системы (1.7.4) будет являться равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов при
(1.7.5)
Уравнение (1.7.5) будет содержать нагрузку в степени п. Решая это уравнение,
мы получим п значений Р. Наименьшее из этих значений и будет приближен­
но отвечать первой критической силе. П о д о б н ы й метод р е ш е н и я вариационных
задач носит название метода Ритца.
Результаты, получаемые с п о м о щ ь ю первых приближений по методу Ритца,
можно несколько улучшить, представив выражение для энергии (1.6.8) в ином
виде. Пользуясь вторым из соотношений (1.5.4), н а п и ш е м
э=
dx.
(1.7.6)
Изгибающий момент М в некотором сечении м о ж н о выразить через сжимаю­
щую силу Р и прогиб v. Затем следует идти тем же путем, что и при использо­
вании выражения (1.6.8). В этом случае нам не приходится вычислять вторых
производных от v, как это приходилось делать р а н ь ш е . Но при аппроксимации
изогнутой линии о б ы ч н о более или менее хорошо улавливается лишь общее
очертание кривой, в то время как приближенные значения вторых производных
сильно отличаются от истинных. Этим объясняется преимущество применения
выражения (1.7.6) по сравнению с (1.6.8).
Метод Ритца в приложении к линейным задачам устойчивости может быть
использован и в другой форме, указанной С. П. Т и м о ш е н к о . Как мы видели,
при безразличном равновесии должно быть
Если рассматри­
вать весьма малые отклонения стержня, то можно принять полную энергию по­
стоянной: Э = const. Условимся, что нулевой уровень будет соответствовать
критической силе, и примем для Р = Ркр:
(1.7.7)
Э = U -W = 0.
Это можно пояснить т а к и м образом, что при продольном изгибе потенциальная
энергия деформации изгиба U оказывается в точности равной работе внешней
сжимающей нагрузки W. Пользуясь теперь выражением (1.6.8), находим
Р
=
1
(1.7.8)
кр
М о ж н о также воспользоваться вторым выражением для энергии (1.7.6).
Обозначаем через т и з г и б а ю щ и й момент в некотором сечении, отвечающий
силе Р=1. Тогда вместо (1.7.6) можно написать
dx.
(1.7.9)
И с х о д я и з (1.7.7), н а х о д и м т е п е р ь
Р
=
(1.7.10)
Допустим, что изогнутая линия стержня приближенно представлена в виде
ряда (1.7.1). Тогда в числителе и знаменателе дроби (1.7.8) или (1.7.10) мы по­
лучим функции параметров f i . Желая найти наименьшее значение нагрузки,
приравняем нулю производные от Р по f i .
= 0,
i=
2 , . . . , п.
(1.7.11)
Для линейных задач мы получим тогда точно те же результаты, что и по
уравнениям (1.7.4).
1.8. М е т о д Б у б н о в а - Г а л е р к и н а
Другой п р и б л и ж е н н ы й метод, предложенный И. Г. Б у б н о в ы м и развитый
Б. Г. Галеркиным, м о ж н о связать с вариационным уравнением задачи (1.5.12).
Допустим, что изогнутая л и н и я стержня аппроксимируется рядом того же вида
(1.7.1), причем каждая из ф у н к ц и й
у д о в л е т в о р я е т н е т о л ь к о геометриче­
с к и м , н о и с т а т и ч е с к и м г р а н и ч н ы м у с л о в и я м з а д а ч и . П о д с т а в и м выраже­
ние
(1.7.1)
статическим
в уравнение
граничным
(1.5.12).
Внеинтегральные члены,
условиям,
должны
тогда
отвечающие
выпасть.
Вместо
можно подставить выражение
(1.8.1)
тогда уравнение (1.5.12) приобретет вид
dx = 0.
(1.8.2)
Но если вариации
н е з а в и с и м ы и произвольны, то отсюда вытекает
система п уравнений типа
dx = 0,
i
= 1, 2,
п.
(1.8.3)
Под v в выражении, стоящем в скобках, понимается ряд (1.7.1). После ин­
тегрирования мы снова получим систему однородных линейных алгебраиче­
ских уравнений относительно f i , из условия совместности которых (при нетри­
виальном решении) находим критическую нагрузку. Так как уравнения (1.8.3]
метода Б у б н о в а - Г а л е р к и н а и уравнения (1.8.3) метода Ритца отвечают одним и
тем же энергетическим зависимостям, то получаемые по этим методам резуль­
таты должны совпадать.
Как легко заметить, в скобках под знаком интеграла в (1.8.3) содержится ле­
вая часть дифференциального уравнения, соответствующего уравнению (1.1.8)
Метод Б у б н о в а - Г а л е р к и н а можно обобщить, подставляя вместо этих скобок
другие операторы. Такой оператор может, например, отвечать уравнении:
(1.1.5); тогда будет
dx = 0
(1.8.4)
или, в более общей форме,
dx = 0.
(1.8.5)
Но при этом результаты вычислений уже не будут, вообще говоря, совпадать с
данными, полученными по методу Ритца. Если в основу вычислений берется
уравнение (1.8.5), то уравнение избранной упругой л и н и и д о л ж н о быть подчи­
нено лишь геометрическим граничным условиям для прогиба.
1.9. М е т о д конечных разностей. Упругая ш а р н и р н а я цепь. М е т о д
коллокации. М е т о д последовательных п р и б л и ж е н и й
Вернемся теперь к п р и б л и ж е н н ы м методам, относящимся по нашей клас­
сификации к статическому критерию устойчивости. Остановимся прежде всего
на методе конечных разностей. Пусть имеется в виду уравнение (1.1.5). Разде­
лим общую длину стержня на п равных частей, длину каждого интервала обо­
значим через s. В т о р у ю производную для некоторой точки, разделяющей два
соседних интервала, м о ж н о заменить приближенно с п о м о щ ь ю так называемой
центральной разности:
п о н и м а ю т с я прогибы в соответствующих точках. Этому значепод
нию второй производной отвечает изгибающий момент от силы Р в i-й точке:
). Тогда уравнение (1.1.5) получит вид
М= (-Р
(1.9.1)
Таких уравнений м о ж н о составить (п - 1); в них будут входить значения проги­
бов в концевых точках. Таким образом, получаем систему (п - 1) алгебраиче­
ских линейных уравнений относительно v i , условие совместности этих уравне­
ний (при ненулевом р е ш е н и и ) снова приводит к определению критической на­
грузки.
Другой вариант метода конечных разностей, который получил в литературе
название метода упругой шарнирной цепи, состоит в следующем. Разделим дли­
ну стержня на п р а в н ы х частей. Обозначим прогибы в узлах через
в ы п и ш е м дифференциальное уравнение для шарнирно опер­
того стержня в виде
'
где s = l/п, или представляя производную v через разность, «взятую вперед»,
2
Вводя прежнее обозначение Р* = Рl /Е1, находим:
Примем для одного из концов стержня v 0 = 0, a v i - заданной величиной, не рав­
ной нулю. Будем определять последовательно приращения v i , пользуясь фор­
мулами:
Считая
получим:
(1.9.2)
Подставляя сюда значения х)2,
я),, мы можем выразить прогиб любого узла
через x>i, используя, далее, граничное условие для второго конца стержня, получаем из (1.9.2) при
уравнение относительно критической нагрузки Р*.
Соотношения типа (1.9.2) м о ж н о пояснить с л е д у ю щ и м образом. Допустим,
что стержень разделен на п абсолютно жестких звеньев, связанных между со­
бой упругими шарнирами. Единичному углу поворота в i-м узле соответствует
момент
Если бы все звенья имели тот же угол наклона, что и первое звено, мы получи­
ли бы
П р и наличии взаимного поворота звеньев в первом узле
нужно ввести «поправку» к этой величине, равную для
Остальные члены в выражении для
определяют «поправки» от углов поворота в других узлах вплоть до /-го.
Обратимся к методу коллокации, который занимает как бы промежуточное
положение между методом Бубнова-Галеркина и методом конечных разностей.
Выражение для прогиба аппроксимируем снова с п о м о щ ь ю ряда (1.7.1),
причем каждая из ф у н к ц и й
должна соответствовать всем граничным условиям задачи. Параметры fi, определяются таким образом, чтобы после подстанов­
ки выражения (1.7.1) основное дифференциальное уравнение задачи удовлетво­
рялось для п значений независимой переменной. Точки, в которых выполняется
уравнение, называются «точками коллокации». Они могут быть выбраны, во­
обще говоря, произвольным образом, но обычно их располагают на равных
расстояниях друг от друга. Если имеется характерный участок резкого измене­
ния функции, то желательно здесь располагать точки коллокации более часто;
при использовании метода конечных разностей интервала в такой области так­
же «размельчают».
Энергетические методы, метод конечных разностей и метод коллокации
можно объединить в том отношении, что при их применении задача сводится к
рассмотрению системы алгебраических уравнений.
матической физике называют прямыми.
Подобные
методы
в
мате­
П р и использовании энергетических методов нам приходилось аппроксими­
ровать упругую л и н и ю , причем погрешность результата зависела от того, на­
сколько удачно выбрано выражение для прогиба. Правда, в предыдущих пара­
графах мы могли сколь угодно близко подойти к точной величине критической
силы, но для этого нужно было всякий раз вводить новый параметр прогиба.
Характер дополнительной составляющей мог быть выбран нами по тем или
иным соображениям. П е р е й д е м теперь к рассмотрению метода последователь­
ных приближений, при котором новое приближение целиком основывается на
предыдущем и вытекает из него, не будучи связано с интуицией автора расчета.
Сущность этого метода состоит в том, что в качестве исходной упругой
линии берется любая кривая, удовлетворяющая условиям на концах. Абсолют­
ные значения ординат этой кривой могут быть выбраны произвольно, так как
при критической нагрузке (если исходить из приближенного дифференциаль­
ного уравнения упругой линии) они определяются с точностью до постоянного
множителя. Далее решается задача об изгибе стержня под действием данной
системы внешних продольных сил. Если бы кривая была нами сразу подобрана
правильно, то, определив изгибающие моменты и проинтегрировав дифферен­
циальное уравнение упругой линии, мы д о л ж н ы были бы получить ту же кри­
вую. Если же первоначальная кривая была подобрана л и ш ь приближенно, то
вторая кривая будет отличаться от первой. И н ы м и словами, новая равновесная
изогнутая форма окажется не той, что мы выбрали раньше. Ч т о б ы прийти к но­
вой упругой линии, надо изменить ординаты прежней. Но так как при наличии
только осевой с ж и м а ю щ е й силы изгибающие м о м е н т ы пропорциональны ор­
динатам, то это тождественно изменению в
раз величины внешней нагрузки.
То обстоятельство, что ординаты новой кривой отличаются в
раз от ординат
первоначальной кривой, указывает на то, что внешние силы надо увеличить или
раз, чтобы получить критическую нагрузку. Н о , как правило, в
уменьшить в
различных сечениях стержня мы будем получать разные отношения ординат.
М о ж н о условиться определять критическую нагрузку через отношение макси­
мальных ординат или отношение площадей, охватываемые упругой линией.
Н и ж е будет указан также метод, когда истинное значение критической нагруз­
ки окажется взятым «в вилку», т. е. представится в о з м о ж н ы м одновременно
подходить к нему сверху и снизу. От первого приближения мы можем далее
перейти ко второму и т. д. П р и этом мы будем получать ряд значений
опре­
деляющих в пределе истинную величину критической нагрузки.
Методу последовательных приближений может быть придана аналитиче
екая и графическая форма.
1.10. П р и м е н е н и е интегральных уравнений.
П р и б л и ж е н н о е определение первой критической нагрузки
Пользуясь методом последовательных приближений, мы задавались той или
иной упругой линией - совпадающей в случае ш а р н и р н о опертых концов
стержня с эпюрой и з г и б аю щ и х моментов от с ж и м а ю щ и х сил и находили но­
вую упругую л и н и ю путем интегрирования; сравнение первоначальных и вновь
найденных ординат позволяло определить приближенное значение критической
нагрузки и установить, какая форма изогнутой оси ему соответствует. Идя по
этому же пути, но исходя из более общих соображений, м о ж н о составить инте­
гральное уравнение задачи - уравнение, заключающее неизвестную функцию
прогиба под знаком интеграла.
а)
в)
б)
г)
Рис. 1.10.1. К выводу интегрального уравнения задачи
Рассмотрим стержень, шарнирно опертый по концам. Определим прогиб в
некотором сечении х, пользуясь формулой М а к с в е л л а - М о р а :
(1.10.1)
где М - изгибающий момент в текущем сечении
- момент
от заданных сил,
в том же сечении от единичной силы, приложенной в точке с координатой х.
Как видно из рис. 1.10.1, эти моменты будут (при с ж и м а ю щ е й силе Р):
при
М=
М=
(1.10.2)
при X <
Воспользуемся безразмерными параметрами
(1.10.3)
и представим (1.10.1) в виде
(1.10.4)
Будем в дальнейшем опускать
(в безразмерных величинах)
индексы
при х
и
Введем
обозначения
(1.10.5)
Учтем также, что в о б щ е м случае момент инерции сечения / и модуль Е переи выразим их через некоторые приведенные
(1.10.6)
тогда выражение (1.10.4) примет вид
(1.10.7)
Функция
как легко видеть из (1.10.5), является симметричной от-
носительно переменных х и
(1.10.8)
Обозначим
(1.10.9)
тогда вместо (1.10.7) получим
(1.10.10)
Судя по (1.10.9), функция
также оказывается симметрично й:
(1.10.11)
Уравнение (1.10.10) содержит функцию
под знаком интеграла, причем
пределы интегрирования конечны и постоянны. Если функция
в рассматриваемом интервале непрерывна, то уравнение (1.10.10) является однородным
интегральным уравнением
Фредголъма
второго рода.
Теория Фредгольма распространяется также на функции К, для которых интеграл
(1.10.12)
имеет конечное значение. В нашей задаче это требование всегда выполняется.
Функция
носит название ядра, а величина
- параметра уравнения.
Уравнение (1.10.10) имеет, вообще говоря, тривиальное р е ш е н и е :
отве-
чающее прямолинейной форме равновесия стержня. Нетривиальное решение
у(х) появляется в точках разветвления (бифуркации) равновесных состояний;
соответствующие этим точкам значения параметра
называются характеристическими или фундаментальными числами, а также особыми или собст­
венными значениями
параметра,
а нетривиальные р е ш е н и я
- собственными,
или
характеристическими
фундаментальными
ские числа уравнения (1.10.10)
Характеристиче­
функциями.
определяют в нашем случае первую и высшие
критические нагрузки.
Таким образом, для определения первой критической нагрузки необходимо
определить наименьшее характеристическое число интегрального уравнения;
последнее заменяет д и ф ф е р е н ц и ал ьн ое уравнение задачи вместе с граничными
условиями.
Интегральные уравнения решаются с п о м о щ ь ю р а з л и ч н ы х приближенных
методов. Одним из наиболее распространенных методов является метод после­
довательных п р и б л и ж е н и й , который уже рассматривался в 1.9. Другой метод
заключается в замене интегрального уравнения конечной системой линейных
алгебраических уравнений, для чего правая часть (1.10.10) преобразуется по
одной из формул п р и б л и ж е н н о г о интегрирования.
Но для
определения характеристических чисел
можно
также теорией с и м м е т р и ч н ы х интегральных уравнений
воспользоваться
Гильберт - Ш м и д т а .
Этот путь приводит к примечательным формулам, в ы р а ж а ю щ и м первое харак­
теристическое число через так называемые следы ядра. В первом приближении
можно принять
(1.10.13)
где S 2 - второй след ядра, определяемый по формуле (1.10.12). Такой метод ин­
тересен тем, что определение критической нагрузки (характеристического чис­
ла) как бы отделяется от установления ф о р м ы потери устойчивости (собствен­
ной функции), в то время как в предшествующих случаях эти задачи вы­
полнялись одновременно. М о ж н о показать, что п р и б л и ж е н н о е значение крити­
ческой нагрузки по (1.10.13) всегда лежит ниже истинного.
Формулу
(1.10.13)
для
двойного
интеграла
можно
преобразовать
сле­
д у ю щ и м образом. Разделим площадь интегрирования на два равных т р е у г о л ь т о г д а , п р о и з в о д я и н т е г р и р о в а н и е п о пло­
н и к а ( р и с . 1.10.2) л и н и е й
щади одного из этих треугольников, получим:
S2 = 2
(1.10.14)
Мы составляли до сих пор интегральное уравне­
ние, рассматривая задачу в линейной постановке. Если
принять точное выражение (1.1.2) для кривизны изо­
гнутой оси, то интегральное уравнение задачи окажет­
ся
нелинейным.
В
литературе
по
нелинейным
инте­
гральным уравнениям рассматривается вопрос о пра­
вомерности их линеаризации при определении бифур­
кационных точек задачи.
Рис. 1.10.2. К определению
величины S при симметричном
ядре
1.11. Д и н а м и ч е с к и й критерий у с т о й ч и в о с т и
Мы разобрали методы, основанные на статическом и энергетическом под­
ходах к задаче об устойчивости стержня. Обратимся теперь к третьему, дина­
мическому критерию и рассмотрим собственные колебания сжатого стержня,
шарнирно опертого по концам.
В ы п и ш е м дифференциальное уравнение изогнутой оси типа (1.1.6):
(1.11.1)
где q - интенсивность поперечной нагрузки. В случае колебательного движения
прогиб v будет функцией не только координаты х, но и времени t; v=v(x,t).
Поэтому полные производные по х должны быть за м е н е н ы на частные. Пользу­
ясь принципом Даламбера, примем в качестве интенсивности распределенной
нагрузки силу инерции массы стержня, приходящуюся на единицу длины.
Обозначая через р вес е д и н и ц ы длины стержня, получим:
(1.11.2)
где g - у с к о р е н и е с и л ы т я ж е с т и . В в о д я о б о з н а ч е н и е к
2
=Р/Е1,
придем к
уравнению
(1.11.3)
Будем
искать
решение
уравнения
(1.11.3)
в
виде
произведения
двух
функций:
v(x,t) = X(x)T(t);
(1.11.4)
тогда вместо (1.11.3) получим:
или
(1.11.5)
Левая часть этого уравнения зависит только от х, а правая - только от t; урав­
нение может удовлетворяться л и ш ь в том случае, если левая и правая части яв­
ляются постоянными величинами:
(1.11.6)
(1.11.7)
Второе из этих у р а в н е н и й преобразуется к виду
Интеграл этого уравнения представим в форме
36
(1.11.9)
частота к о л е б а н и й со определяется формулой
(1.11.10)
Уравнение (1.11.6) п е р е п и ш е м в виде
(1.11.11)
соответствующее характеристическое уравнение будет
(1.11.12)
Это уравнение имеет два действительных корня и два мнимых. Вводя обозначения
(1.11.13)
выпишем решение уравнения (1.11.11) в форме
(1.11.14)
Выражение (1.11.14), определяющее форму колебаний, д о л ж н о удовлетворять
граничным условиям (1.1.10). П е р в ы е два условия, относящиеся к сечению
х = 0,
дают:
Считая
А-С = 0; два других приводят к равенствам:
В-0, Dsin s2l = 0.
находим:
S2 =
n=1,2,3,...
(1.11.15)
Отсюда по (1.11.13)
(1.11.16)
Частота п-го тона колебаний по (1.11.10) оказывается равной
(1.11.17)
Обозначим через а)0п частоту п-ro тона колебаний стержня при отсутствии силы Р:
(1.11.18)
Тогда окончательно
(1.11.19)
Эта формула является «ключевой» для дина­
мического анализа устойчивости стержня. Час­
тота колебаний стержня с образованием одной
полуволны {п = 1) делается равной нулю, когда
сила
Р
достигает
критического
значения
Т а к и м образом, наступление моно­
тонной неустойчивости стержня характеризуется
здесь обращением в нуль частоты собственных
колебаний. На графике
получаем пря­
мую, пересекающую ось ординат в точке би­
фуркации равновесных ф о р м (рис. 1.11.1).
Рис. 1.11.1. Зависимость между частотой
колебаний и сжимаюшей силой
1.12. К р и т е р и й начальных несовершенств
До сих пор нами рассматривались идеальные стержни с прямолинейной
осью, нагруженные с ж и м а ю щ е й силой строго по центру тяжести поперечного
сечения. Между тем реальные элементы конструкций всегда обладают извест­
ной начальной прогибью; приложенные к ним с ж и м а ю щ и е силы обычно дейст­
вуют с некоторым эксцентриситетом; наряду с осевыми силами могут
быть
приложены те или иные поперечные нагрузки. Все эти факторы играют роль
«возмущений»,
влияющих
на
поведение
системы.
Исследование
«не­
совершенных» систем важно, прежде всего, с практической стороны, так как
позволяет приблизить расчетную схему к реальным конструкциям. Правда, все
перечисленные факторы являются, как правило, случайными, поэтому обосно­
ванно оценить их э ф ф е к т м о ж н о л и ш ь с привлечением статистических мето­
дов. Однако построение статистических зависимостей требует предварительно­
го определения того, как ведет себя система при некотором заданном возмуще­
нии. Кроме того, рассмотрение несовершенной системы в ряде случаев позво­
ляет определить критическую нагрузку для ее идеальной модели: мы знаем
уже, что эффект различных возмущений особенно сильно сказывается вблизи
критической нагрузки. Рассмотрим последовательно влияние всех важнейших
возмущающих факторов. Н а ч н е м со случая, когда стержень, шарнирно опертый
по краям, имеет начальную погибь
(1.12.1)
и сжимается силой Р, направление которой проходит через концевые шарниры.
Дифференциальное уравнение (1.1.5) получает вид
(1.12.2)
где под v понимается дополнительный прогиб, в о з н и к а ю щ и й в процессе де­
формации, под Vi - п о л н ы й прогиб:
(1.12.3)
Вводя прежнее обозначение к
2
d v
dx
2
= Р/Е1, получим
2
2
= k v = -k v0 .
(1.12.4)
Пусть, например, в начальном состоянии стержень изогнут по полуволне сину­
соиды (рис. 1.12.1):
(1.12.5)
Решением уравнения (1.12.2), при у = 0и х = 0, l, будет
Стрела дополнительного прогиба f оказывается равной
(1.12.7)
где под Ркр понимается критическая сила (1.1.15). Полная стрела прогиба
определится формулой
(1.12.8)
кр
Поведение системы оказывается качественно отлич­
ным от того, которое б ы л о характерно для «классиче­
ской» задачи устойчивости. Прогиб возникает уже при
малых значениях силы Р, в то время как в случае цен­
стержень д о л ж е н
трального сжатия при нагрузке
оставаться п р я м о л и н е й н ы м . Скорость нарастания проги­
ба зависит от « в о з м у щ а ю щ е г о фактора» - стрелы на­
чального прогиба. П р и достаточно малых
кривая
лежит весьма близко от оси ординат. В то же время при
нагрузке, п р и б л и ж а ю щ е й с я к критической, прогиб быст­
является
ро нарастает; функция
Р приближается к Ркр, получаем
возрастает
беспредельно.
нелинейной.
Когда
стрела прогиба
Напомним,
что
материал
стержня мы считаем здесь идеально упругим и что за­
Рис
дачу решаем, исходя из линейного дифференциального
-1 12.1. Стержень с
уравнения
начальной прогибью
Одним из путей р е ш е н и я задачи о собственных значениях как задачи с на­
чальными
возмущениями
является
применение
метода
инвариантного
вло­
жения. Решая задачу об устойчивости стержня, допустим, что стержень имеет
начальную погибь, л и б о что сила приложена с н е к о т о р ы м эксцентриситетом.
Тот результат, что при силе, п р и б л и ж а ю щ е й с я к критической, для стержня за­
данной длины п р о г и б ы стремятся к бесконечности, м о ж н о трактовать иначе,
считая заданной силу и варьируя длину стержня: при длине, близкой к «крити­
ческой», прогибы также д о л ж н ы бесконечно возрастать. Для стержня длиной l,
имеющего ш а р н и р н ы е опоры, наряду с координатой х, характеризующей поло­
жение некоторой точки стержня вдоль оси, введем переменную z. Длина отрез­
ка оси, определяемая z, как бы «вкладывается» в фактическую длину стержня l
и
является
основным
варьируемым
параметром
-
длиной
воображаемого
стержня. Далее, используя исходное уравнение и граничные условия задачи,
можно составить уравнение относительно какой-либо характерной функции,
обращающейся в бесконечность при
В качестве такой функции можно
избрать, например, угол наклона упругой линии на одном из концов отрезка z.
Описанный путь р е ш е н и я интересен тем, что позволяет рассматривать задачи
самого широкого класса.
1.13. Эксцентричное сжатие. П р и б л и ж е н н о е решение
Рассмотрим, далее, другой
возмущающий
фак­
тор - эксцентриситет в п р и л о ж е н и и нагрузки. Пусть
стержень, шарнирно опертый по концам, подвергается
действию сил Р, точка п р и л о ж е н и я которых отстоит
от центра тяжести сечения на расстоянии е. Предпола­
гается, что плечо е л е ж и т в плоскости наименьшей
жесткости стержня (рис. 1.13.1).
Дифференциальное
уравнение
(1.1.5)
получит
здесь вид
=
или
2
d v
dx
Общее
Рис. 1.13.1. Шарнирно
2
-Р(v
+
2
(1.13.1)
e)
2
+ k v = - k e.
решение
соответствующего
(1.13.2)
однородного
Уравнения будет
опертый стержень под
действием эксцентрично
v
= A cos kх + В
sin
(1.13.3)
kх.
приложенных сил
С ю д а надо присоединить частное решение v = — е;
полное решение получает вид
v = A cos kх + В sinkx — е.
(1.13.4)
Удовлетворяя г р а н и ч н ы м условиям задачи v = 0 при х = 0, l, найдем:
А=е,
В = е tg
(1.13.5)
Решение (1.13.4) теперь м о ж н о представить в с л е д у ю щ е м виде:
(1.13.6)
или
(1.13.7)
Стрела прогиба равна при х =1 /2
Отметим, что и здесь зависимость между f и Р будет н е л и н е й н о й и что при
Р —>РКр получим f —» 0 0 .
Р е ш и м ту же задачу с п о м о щ ь ю метода Бубнова - Галеркина. П р и м е м урав­
нение упругой л и н и и в виде
v = fsin
(1.13.9)
Составим уравнение т и п а
(1.13.10)
и подставим вместо v выражение (1.13.9); после инте­
грирования получим:
(1.13.11)
Это уравнение имеет ту же структуру, что и зависимость
(1.12.7),
относившаяся
к
синусоидальной
начальной
прогиби.
Если такого же типа нагружению подвергается стер­
жень с одним з а щ е м л е н н ы м концом и другим свободным
концом (рис. 1.13.2), то уравнение (1.13.1) получит вид
=
P(e+f-v)
(1.13.12)
Рис. 1.13.2. Стержень с
(1 13 13)
защемленным концом под
действием эксцентрично
приложенной нагрузки
или
2
2
+ k v = k (e + f).
Подчиняя решение у с л о в и я м v = 0, dv/dx = 0 при х = 0, н а й д е м :
v = (е + l ) ( 1 - cos kх).
(1.13.14)
П о л а г а я х = l, п о л у ч и м :
(1.13.15)
Зависимость между
нирно опертых концов.
l
и
Р оказалась точно такой же, что и в случае шар­
1.14. Эксцентричное сжатие. Т о ч н о е р е ш е н и е
Подойдем к той же задаче об эксцен­
тричном сжатии, исходя из точного диф­
ференциального
уравнения
упругой
ли­
нии. На рис. 1.14.1 изображен стержень
длины l в изогнутом положении; сила Р
действует на плече е и сохраняет верти­
кальное направление. К р о м е того, здесь
же показан ф и к т и в н ы й стержень длиной
l 1 конец которого л е ж и т на л и н и и дейст­
вия силы Р. Очевидно, по отношению к
этому
фиктивному
стержню
можно
ис­
пользовать соотношение (1.3.23), связы­
вающее стрелу прогиба f 1 с параметрами
(оставляем знак п л ю с ) :
Рис. 1.14.1. К точному решению задачи
об эксцентричном сжатии стержня
кf1
= 2 sin
(1.14.1)
Будем рассматривать равновесные положения стержня вблизи первой критической силы, так что для
в (1.3.19 а) примем значение
п = 0.
Прогиб v в некотором сечении х определяется по (1.3.24):
Пусть для верхнего к о н ц а стержня параметр
приобретает значение
то­
гда стрела прогиба / будет равна
(1.14.2)
Определим, далее, угол поворота касательной к изогнутой л и н и и
Воспользу-
емся соотношением
(1.14.3)
и подставим сюда значения dx и ds по (1.3.14) и (1.3.16); тогда получим:
или, по (1.3.17),
Угол наклона верхнего торца при х = l найдется тогда по формуле
(1.14.5)
Рассматривая рис. 1.14.1, в ы п и ш е м зависимость между f и
f1:
(1.14.6)
Подставляя сюда выражения (1.14.1), (1.14.2) и (1.14.5), находим:
(1.14.7)
Интегрируя выражение (1.3.19) для ds, получим полную длину стержня l:
(1.14.8)
П о д о б н ы й интеграл, в отличие от (1.3.21), носит название неполного эллип­
тического интеграла первого рода. Эти интегралы также табулированы.
Уравнения (1.14.6), (1.14.7) и (1.14.8) содержат три неизвестные величины:
стрелу прогиба f, параметры
Пользуясь ими, м о ж н о для каждого задан­
ного эксцентриситета е установить зависимость между нагрузкой Р и стрелой
прогиба f.
Эти данные м ожно сопоставить с приближенным р е ш е н и е м . Если считать,
мал для незначительных прогибов, то в (1.14.7) и (1.14.8)
что параметр
можно пренебречь
по сравнению с 1; тогда получим:
(1.14.9)
(1.14.10)
Сравнивая с (1.14.2), найдем:
что совпадает с (1.13.15).
1.15. В л и я н и е поперечной нагрузки
Перейдем к случаю, когда наряду с осевой силой действует некоторая по­
перечная нагрузка. Пусть ш а р н и р н о опертый стержень, сжатый силой Р, под­
вергается действию р а в н о м е р н о распределенной нагрузки интенсивности q
(рис. 1.15.1).
Рис. 1.15.1. Стержень при продольно-поперечном изгибе
Уравнение (1.1.5) получает вид
(1.15.1)
2
или, при к - P/EI,
(1.15.2)
Соединяя общее р е ш е н и е однородного уравнения и частное р е ш е н и е , находим
(1.15.3)
Из граничных условий получаем
А =
В =
(1.15.4)
Окончательно:
(1.15.5)
Стрела прогиба равна
(1.15.6)
Мы получили зависимость между f и Р того же типа, что и для эксцентрич­
но сжатого стержня.
В случае, если вместо распределенной нагрузки имеется сосредоточенная
сила Q посередине пролета, таким же путем находим уравнение упругой линии
для одной из половин стержня
и стрелу прогиба
(1.15.8)
Решим ту же задачу об одновременном действии осевой и поперечной на­
грузок с п о м о щ ь ю метода Бубнова-Галеркина. В случае равномерно распреде­
ленной нагрузки в ы п и ш е м уравнение
(1.15.9)
Вводя в качестве а п п р о к с и м и р у ю щ е й кривой полуволну синусоиды
(1.15.10)
придем к уравнению
(1.15.11)
Подставляя вместо v (1.15.10) и интегрируя, находим
(1.15.12)
Здесь числитель представляет собой
приближенное значение стрелы прогиба
стержня при действии одной поперечной нагрузки:
(1.15.13)
коэффициент равен
1/76,7 вместо известного значения 5/384 = 1/76,8. Поэтому
формулу (1.15.12) м о ж н о переписать в виде
(1.15.14)
что совпадает по структуре с
мальных напряжений надо
(1.12.8). Для определения максимальных нор­
воспользоваться
формулой
где W- момент сопротивления сечения.
Учитывая моменты, отвечающие продольной с ж и м а ю щ е й и поперечной на­
грузкам, найдем:
(1.15.15)
сжимающие напряжения считаются здесь положительными.
Как видим, при продольно-поперечном изгибе п р и н ц и п независимости дей­
ствия сил неприменим; величина (1.15.15) не равна сумме напряжений, вызы­
ваемых продольной и поперечной нагрузками в отдельности. Поэтому при про­
верке стержня на «устойчивую прочность» (термин
жают все нагрузки на коэффициент запаса п
Н. В. Корноухова) умно­
и сравнивают максимальное на­
пряжение не с допускаемым, а с напряжением, п р и н и м а е м ы м за предельное.
2. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ
УПРУГОСТИ. БОЛЕЕ
ОБЩИЕ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ
2 . 1 . Экспериментальные зависимости
Исходные соотношения и расчетные формулы, приведенные в главе 1,
справедливы при условии, что критические напряжения - или максимальные
напряжения при продольно-поперечном изгибе - не п р е в ы ш а ю т предела про­
Между тем для элементов реальных конструк­
порциональности материала
ций во многих случаях это условие не выполняется. Поэтому исследования ус­
тойчивости стержней, относящиеся к неупругой области, и м е ю т существенное
практическое значение.
До последнего времени наиболее распространенными являлись методы рас­
чета,
основанные на результатах экспериментальных исследований.
Данные
опытов
удобно
сопо­
ставлять с п о м о щ ь ю графика, изо­
бражающего
Рис. 2.1.1. Разброс экспериментальных
значений критических напряжений
в пластической области
зависимость
крити­
ческого напряжения
от гибкости
Если о п ы т ы ставятся достаточно
тщательно, то в упругой зоне экспе­
риментальные точки ложатся очень
тесно вблизи гиперболы Эйлера,
между тем в упруго-пластической
зоне они обычно сильно разбросаны,
примерно так, как показано на
рис. 2.1.1. Это объясняется тем, что
в упругой области критическое на­
пряжение при заданной гибкости за­
висит только от модуля Е; колеба­
ния этой величины для различных
образцов, изготовленных из одного и того же материала, незначительны. В уп­
руго-пластической области критические напряжения меняются в зависимости
от диаграмм
при сжатии, часто отличающихся друг от друга даже для об-
разцов, принадлежащих к одной и той же партии. Влияние в о з м у щ а ю щ и х фак­
торов - эксцентриситета нагрузки, начальной погиби, остаточных напряжений
от прокатки, сварки, правки и т. д. - в неупругой области также оказывается
более значительным, чем в упругой. Поэтому анализ д а н н ы х экспериментов и
составление расчетных формул желательно проводить с п о м о щ ь ю статистиче­
ских методов.
Различными авторами были предложены формулы для расчета на продоль­
ный изгиб за пределами упругости, из которых наиболее приемлемыми оказа­
лись следующие:
а) Линейная ф о р м у л а
(2.1.1)
где а, Ъ - параметры, зависящие от материала.
При определении величин а, Ъ желательно выполнить условие, чтобы при
предельной гибкости
уравнение (2.1.1) давало тот же результат, что и формула Эйлера. С другой стороны, можно было бы потребовать, чтобы при
величина
приближалась к предельному н а п р я ж е н и ю на сжатие оь, так что
Для таких материалов, как дюралюмин, его предельное напряжение соответствует временному сопротивлению, наиденному при сжатии образцов ма­
лой длины. В случае же материала, имеющего диаграмму с ясно выраженной
площадкой текучести (мягкая сталь), критическое напряжение, как правило, не
может превысить предела текучести
Поэтому для пластичных материалов
было бы более естественно принять
Однако основным требованием при
составлении эмпирических формул является соответствие их конкретным дан­
ным серии опытов на продольный изгиб для стержней различной гибкости.
б ) Гиперболическая формула
(2.1.2)
здесь
некоторое напряжение,
- эмпирический коэффициент.
в ) Параболическая формула
(2.1.3)
Постоянные
м о ж н о подобрать таким образом, чтобы парабола на графике
плавно переходила в гиперболу Эйлера, имея с ней при
общую ка-
сательную. Однако р е ш а ю щ и м
ментальным д а н н ы м .
Если принять в (2.1.2)
здесь является соответствие формулы экспери­
то получим формулу суммиро-
вания опасностей, охватывающую с известным приближением как упругую, так
и пластическую области:
(2.1.4а)
или иначе
(2.1.46)
где
эйлерово напряжение.
Хорошее соответствие с д а н н ы м и многочисленных опытов получим, придав
(2.146) несколько иной вид:
2 . 2 . В ы п у ч и в а н и е стержня при неизменной нагрузке
Обратимся к теоретическому исследованию продольного изгиба за предела­
ми упругости. Допустим, что стержень подвергается центральному осевому
сжатию и что зависимость напряжения от д е ф о р м а ц и и для коротких образцов
из данного материала отвечает диаграмме на р и с . 2.2.1. Участок упругой де­
формации соответствует отрезку Оа. Предположим, что при
нагружении об­
разца мы дошли по диаграмме до некоторой точки т. Е с л и после этого произ­
вести разгрузку, то на графике
мы полу­
ч и м прямую л и н и ю mm', примерно парал­
лельную
участку
характеризует
Оа
мо­
дуль разгрузки. Будем в дальнейшем счи­
тать, что модуль разгрузки равен началь­
ному модулю
Е. С другой стороны, при
возрастающей от точки
т деформации
сжатия получим участок диаграммы mm".
Если дополнительная деформация
мала,
то м о ж н о принять, что отношение прира­
щений
Рис. 2.2.1. Диаграмма
«напряжение - деформация»
определяется так
называемым
касательным модулем:
(2.2.1)
Рассмотрим стержень, подвергающийся
центральному с ж а т и ю . Пусть напряжение
сжатия достигло величины
Допус-
тим, что при этом н а п р я ж е н и и происходит
выпучивание, в процессе которого нагрузка
остается
жащие
постоянной.
на вогнутой
тывать
рочения,
стороне,
дополнительную
а
на
Тогда волокна, ле­
будут
деформацию
выпуклой
-
испы­
уко­
удлинения
(рис. 2.2.2). Если рассматривать изогнутые
формы, весьма близкие к прямолинейной,
то м о ж н о принять для з о н ы нарастающего
сжатия модуль
Е ю а для зоны разгрузки -
модуль Е. Нейтральная л и н и я z, для точек
которой дополнительные напряжения рав­
а)
б)
Рис. 2.2.2. а) Изогнутая линия;
б) сечение стержня, эпюры
напряжений и деформаций при
неупругом продольном изгибе
ны нулю, не будет проходить через центр
тяжести сечения.
модулей»
была
Такая концепция «двух
впервые
предложена
Ф. С. Я с и н с к и м и Ф. Энгессером, а в даль­
н е й ш е м развита Т. К а р м а н о м .
Пусть главные центральные оси инерции сечения будут у 0 и z 0
примем, что выпучивание происходит в направлении
у0.
(рис. 2.2.2);
Считая, что попереч­
ные сечения остаются при изгибе стержня плоскими, и отсчитывая у от ней­
тральной линии z, получим:
где
р — радиус кривизны упругой линии. Н а п р я ж е н и я в зонах догружения и
разгрузки будут соответственно
(2.2.2)
Результирующая дополнительных усилий должна быть равна нулю, поэтому
или
(2.2.3)
Здесь через Ai и S; обозначены статический момент и площадь относитель­
но нейтральной оси т о й части сечения, в которой имеет место догружение, а
через А2 и S2 — части сечения, в которой происходит разгрузка. Приравнивая
сумму моментов внутренних сил относительно нейтральной линии внешнему
моменту, находим:
или
(2.2.4)
Обозначим
через
Трезультирующий
или
приведенный
модуль,
равный
(2.2.5)
где / - момент инерции всего сечения относительно оси, проходящей через
центр тяжести. Величину Т называют также модулем Кармана. Уравнение
изогнутой оси приобретает вид, аналогичный (1.1.5):
(2.2.6)
Полагая для случая шарнирного опирания концов стержня
М - — Pv, при­
дем к уравнению
(2.2.7)
Величину
Т м о ж н о при
/ = const считать не зависящей от х, так что все дан­
ные, полученные в главе 1 для упругого продольного изгиба, м о ж н о распро­
странить на упругопластическую область при условии замены Е на Т. Сюда же
относятся результаты, полученные с п о м о щ ь ю энергетических методов, так как
для любого волокна стержня по-прежнему принята линейная зависимость меж­
ду приращениями напряжений и деформаций.
2 . 3 . В л и я н и е ф о р м ы сечения. Случаи д в у т а в р о в о г о
и прямоугольного сечений
Судя по формулам (2.2.3) и (2.2.5), результирующий модуль Т должен за­
висеть от формы сечения стержня. Вычислим величину Т для двутаврового
сечения с тонкой стенкой (рис. 2.3.1) в предположении, что изгибающий
момент воспринимается только полками двутавра и, благодаря определенным
условиям закрепления стержня, выпучивание происходит в направлении оси у.
Обозначим через h расстояние между центрами тяжести полок, площадь каж­
дой из полок равна половине площади сечения, т. е. F/2. Пусть расстояние h
делится нейтральной при изгибе линией на отрезки h 1 (со стороны догру­
жения) и h 2 (со стороны разгрузки). Из (2.2.3) получаем:
отсюда
(2.3.1)
М о м е н т ы инерции I 1 и I 2 р а в н ы
Момент инерции всего сечения относительно центральной оси будет
(2.3.2)
Формула (2.2.5) приобретает вид
(2.3.3)
Это означает, что для сжатого стержня критическое напряжение практически не
может превысить предела текучести.
В случае прямоугольного
сечения (рис. 2.3.2) уравнение (2.2.3) получает
вид
и, следовательно,
(2.3.4)
Моменты инерции будут
h =
12 =
I =
(2.3.5)
Окончательно
(2.3.6)
Отклонения в величине Т для разных форм сечения незначительны, так что
в практических расчетах и для других видов сечения м о ж н о пользоваться фор­
мулой (2.3.3) либо (2.3.6).
Рис. 2.3.1. Зоны догружения и
Рис. 2.3.2. Зоны догружения
разгрузки в случае двутаврового
и разгрузки в случае
сечения
прямоугольного сечения
2.4. Случай сосредоточенной силы в пролете
Допустим, что стержень, шарнирно опертый по концам, подвергается дей­
ствию сил Р1,Р2 и Р 1 + Р 2 и что сила Р 2 приложена в некотором промежуточном
сечении, расположенном на расстояниях l 1 и 1 2 от концов (рис. 2.4.1). Примем,
что момент инерции сечения в верхней части
равен l 1 , а в н и ж н е й -
I2.
Обозначим через /
отклонение точки при­
ложения силы Р 2 при выпучивании стержня.
Дифференциальное уравнение упругой л и н и и
для верхнего участка будет
(2.4.1)
здесь учитывается составляющая реакции опо­
ры, равная
координата Х1 отсчитывается
от 0. Для нижнего участка получаем
Воспользуемся обозначениями
(2.4.3)
тогда уравнения (2.4.1) и (2.4.2) перепишутся
следующим образом:
Рис. 2.4.1. Случай силы,
приложенной в пролете
Отсюда
(2.4.6)
(2.4.7)
Граничные условия для концов стержня и точки сопряжения будут:
(2.4.8)
Пользуясь этими условиями, находим:
А2 = 0,
В2 =
и, н а к о н е ц , п р и х о д и м к о к о н ч а т е л ь н о м у у р а в н е н и ю
(2.4.9)
При заданном о т н о ш е н и и сил и моментов инерции находим путем проб значе­
ния к 1 , .., кп, отвечающие наименьшим значениям сил Р 1 и Р2. Представим кри­
тическую величину Р1+Р2 в виде
(2.4.10)
и обозначим
(2.4.11)
Коэффициенты
таблице 2.4.1.
К для случая l 1 = l 2 , найденные по уравнению (2.4.9), даны в
Таблица 2.4.1
К о э ф ф и ц и е н т ы А* для случая сил, п р и л о ж е н н ы х по концам
и посередине пролета
Случай т = 1 относится к стержню переменного сечения, на который дей­
ствуют только силы P 1 по концам.
2.5. Д е й с т в и е распределенной продольной нагрузки
Перейдем
к
случаю,
когда
продольная
нагрузка
распределена по длине стержня. Одним из примеров
такого типа нагрузки является собственный вес стерж­
ня: при расчете колонн в крупных сооружениях, дымо­
вых труб и т. д. его необходимо учитывать. О б ы ч н о в
этих случаях один из к о н ц о в колонны (верхний) явля­
ется свободным, а второй (нижний) - з а щ е м л е н н ы м .
Рассмотрим задачу об устойчивости такого стержня с
постоянным по длине сечением сначала под действием
только собственного веса, а затем - при совместном
действии силы веса и других нагрузок.
П р и м е м систему координат по рис. 2.5.1. Обозна­
чим силу веса, приходящуюся на единицу длины, через
р. В сечении х с ж и м а ю щ а я сила равна
Р х = рх, а по­
перечная сила
Рис. 2.5.1. К задаче об
устойчивости стержня
под влиянием
собственного веса
(2.5.1)
Уравнение (1.1.6а) преобразуем к виду
(2.5.2)
подставляя (2.5.1), п о л у ч и м :
(2.5.3)
Введем обозначения
(2.5.4)
тогда придем к у р а в н е н и ю
(2.5.5)
Это уравнение интегрируется в бесселевых функциях; р е ш е н и е имеет вид
(2.5.6)
Здесь
- бесселева ф у н к ц и я первого рода. Производная от функции
по z равна
(2.5.7)
Основываясь на этой формуле, находим:
Дифференцируя (2.5.6), получаем:
Граничные условия задачи будут:
М =
при
X = 0,
или
при
Как известно, функции
при
обращаются в нуль при
(2.5.7а)
если индекс
В нашем случае
если же
то функция
следовательно, веНо тогда первое из условий (2.5.7а)
в то время как
личина
может быть выполнено л и ш ь при А = 0. Считая
из второго условия
находим:
(2.5.8)
Наименьшее значение аргумента, при котором функция
обращается в нуль,
будет
(2.5.8а)
По (2.5.4) находим:
(2.5.9)
Введем понятие приведенной нагрузки, понимая под этим силу Р, сосредо­
точенную в известной точке и эквивалентную распределенной нагрузке в зада­
че устойчивости. В ы б е р е м центр приведения у свободного конца, тогда
и окончательно
(2.5.10)
Следовательно, приведенная сила составляет 1/3,18 часть от полного веса.
Познакомимся с р е ш е н и е м этой же задачи без непосредственного примене­
ния бесселевых функций, с п о м о щ ь ю метода степенных рядов; этот метод
широко применяется в аналогичных задачах.
В ы п и ш е м решение уравнения (2.5.5) в виде
(2.5.11)
Подставляя это выражение в (2.5.5), получим:
Сравнивая к о э ф ф и ц и е н т ы при одинаковых степенях, приходим к
соотношениям:
следующим
(2.5.13)
Таким образом, коэффициенты с индексами 2, 5, 8, 11 и т. д. обращаются в нуль:
при
п=0, 1,2, ...
Остальные к о э ф ф и ц и е н т ы связаны зависимостью
М о ж н о видеть, что все эти коэффициенты могут быть в ы р а ж е н ы через Со и С 1 :
Выражение для w принимает вид
(2.5.14)
Производная по
будет равна
(2.5.15)
Пользуясь первым из граничных условий (2.5.7а), находим С 1 = 0. Второе из
этих условий при
приводит к уравнению
(2.5.16)
которое можно переписать в виде
(2.5.17)
В левой части этого уравнения содержится ряд, соответствующий бесселевой
функции
Таким образом, мы получили уравнение, эквивалент-
ное (2.5.8); н а и м е н ь ш и й корень его определяется по (2.5.8а).
Реальные колонны больших размеров имеют, как правило, переменное сече­
ние. В этом случае непосредственное интегрирование уравнения упругой линии
усложняется, и потому расчет на устойчивость необходимо проводить с помо­
щью приближенных методов. В качестве примера рассмотрим Останкинскую
телевизионную б а ш н ю в М о с к в е высотой в 565 м. Определение коэффициента
запаса устойчивости б а ш н и было выполнено с п о м о щ ь ю метода последова­
тельных приближений; одновременно устанавливалась форма упругой линии.
Далее определялись изгибающие моменты от вертикальных сил для ряда сече­
ний, и определялась новая упругая линия. Сравнение полученной стрелы про­
гиба с исходной давало возможность найти запас устойчивости.
2.6. Одновременное действие распределенной и сосредоточенной нагрузок
Перейдем к тому случаю, когда стержень подвер­
гается действию не только распределенной нагрузки р,
но и сосредоточенной силы Р, приложенной к свобод­
ному концу (рис. 2.6.1). Для о б щ н о с т и будем считать,
что величина р является п е р е м е н н о й : р = р(х). Вос­
пользуемся
методом
Бубнова-Галеркина;
предвари­
тельно выведем исходное уравнение с учетом распре­
деленной нагрузки. Обратимся к вариационному урав­
н е н и ю , выведенному ранее. В ы р а ж е н и е для вариации
р а б о т ы внутренних сил представим в виде (1.5.3а):
(2.6.1)
в отличие от 2.5 координата х отсчитывается от нижне­
го конца стержня.
В ы ч и с л и м работу распределенной нагрузки, счи­
тая ее интенсивность переменной по длине. На элемент
dx приходится нагрузка р dx с м е щ е н и е центра тяже­
Рис. 2.6.1. Одновременное
сти элемента по о т н о ш е н и ю к н и ж н е м у концу равно
действие сосредо­
точенной силы и собст­
венного веса для стержня
с защемленным концом
dx.
(2.6.2)
П о л н а я работа распределенной нагрузки равна
Введем обозначения
W =
dx.
(2.6.3)
для результирующих нагрузки в пределах от 0
до х, от х до l и по всей д л и н е :
(2.6.4)
Интегрируя в ы р а ж е н и е (2.6.3) по частям, получим:
или
(2.6.5)
Окончательно
(2.6.6)
Вариация
равна
(2.6.7)
Эту величину надо прибавить к выражению (1.5.10а); полная вариация работы
внешних сил будет
Вариационное уравнение м о ж н о представить в виде
жесткость EI здесь для о б щ н о с т и принята переменной. Подставляя вместо
выражение (1.8.1) и принимая внеинтегральный член р а в н ы м нулю, получим
основное уравнение метода Б у б н о в а - Г а л е р к и н а :
(2.6.10)
Рассмотрим случай, когда наряду с сосредоточенной силой Р должен быть уч­
тен собственный вес стержня р0l, причем EI = const. В м е с т о (2.6.10) получим:
(2.6.11)
Уравнение упругой л и н и и примем в виде, соответствующем случаю одной со­
средоточенной с и л ы :
(2.6.12)
Принимая
(2.6.13)
и подставляя два последних выражения в (2.6.11), находим;
(2.6.14)
Выполняя интегрирование, получаем:
(2.6.14)
или
(2.6.15)
Следовательно, расчет на продольный изгиб можно вести
в
рассматриваемом
3
случае,
присоединяя
к
сосре­
доточенной силе / 10 от собственного веса стержня и счи­
тая эту приведенную нагрузку приложенной к свободному
концу стержня. Если нагрузка р 0 значительна, то при сум­
марной критической силе, равной (2.6.15), сила Р может
получиться отрицательной, т. е. растягивающей. Получен­
ный нами результат хорошо согласуется с решением зада­
чи в бесселевых функциях, так как по (2.5.10) при Р = 0
мы получили приведенную нагрузку равной
Рассмотрим ту же задачу в предположении, что оба
конца стержня оперты
шарнирно
(рис.
3.11).
Выбирая
Рис. 2.6.2.
Комбинированное
действие нагрузки на
стержень, шарнирно
опертый по концам
выражение для v в виде
(2.6.16)
и подставляя его в уравнение (2.6.11), придем к соотношению
2.7. У с т о й ч и в о с т ь стержня, связанного с упругим основанием
Представим себе, что стержень,
шарнирно опертый по концам, связан
со с п л о ш н ы м упругим основанием
(рис. 2.7.1). Пусть реакция основания,
приходящаяся
на
единицу
длины
стержня, будет пропорциональна пе­
Рис. 2.7.1. Стержень на упругом основании
ремещению
-5
R=10 cv,
(2.7.1)
размерность коэффициента с будет Па.
Дифференциальное уравнение упругой линии примем в виде (1.1.6а).
П р и q = -Р
R получим:
(2.7.2)
Если воспользоваться обозначениями
(2.7.3)
то вместо (2.7.2) будем иметь следующее однородное линейное уравнение:
(2.7.4)
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
(2.7.5)
его корни будут
(2.7.6)
Примем р = ± im, где
(2.7.7)
Решение уравнения (2.7.4) получает форму
v = A sin mjx +В sin т2х +С cos т}х + D cos т2х.
(2.7.8)
Исходя из граничных условий (1.1.10), получим следующее уравнение
= 0.
Или
(2.7.9)
Приравнивая нулю sin m 1 l и sin m2l, получим:
п=
Определяя к
2
1, 2, 3,...
(2.7.10)
по (2.7.7) и пользуясь (2.7.10), находим:
(2.7.11)
Изогнутая линия состоит из п полуволн синусоиды
(2.7.12)
В отличие от свободно прогибающегося стержня, здесь число полуволн
оно д о л ж н о быть определено из условия м и н и м у м а нагрузки.
На рис. 2.7.2 по оси абсцисс отложены значения
отношение Р/Рэ, где Р э - эйлерова сила для стержня, не и м е ю щ е г о упругого
основания. П р и н и м а я п = 1, 2, 3,..., получим серию прямых; участки этих
прямых, показанные ж и р н о й линией, являются расчетными. Переход от п-й
ветви к
соответствует величине г, определяемой из равенства
Рис. 2.7.2. График для расчета стержня на упругом основании
Отсюда
(2.7.13)
Соответствующие значения k будут
(2.7.14)
Если число полуволн п достаточно велико, то м о ж н о записать условие мини2
мума k , приравнивая нулю производную от
при этом
Критическая нагрузка по (2.7.14) оказывается равной
(2.7.15)
В безразмерных величинах
(2.7.16)
Формуле (2.7.16) отвечает предельная линия, показанная на рис. 2.7.2 пунктиром. Считая в (2.7.9)
прежней формуле (2.7.15).
приходим к
соотношению
и, далее, к
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Задачи потери устойчивости стержневых систем, которые были рассмот­
рены, имеют на практике огромное значение. Потеря устойчивого состояния
элементов конструкций зданий и сооружений, при эксплуатации которых воз­
можно возникновение различного рода динамических взаимодействий, может
привести к изменению эксплуатационных характеристик конструкций или их
разрушению. Я р к и й тому пример - потеря устойчивости элементов Волгоград­
ского моста через р. Волгу в мае 2010 г. Колебания дорожного полотна были
вызваны совместным динамическим воздействием водяных
волн на опоры
моста и воздействием на дорожное полотно внешних периодически меняющих­
ся сил, связанных с д в и ж е н и е м транспорта. В некоторые м о м е н т ы времени на
часть несущих элементов конструкции моста эти силы в своей совокупности
приближались к критическим значениям или даже превышали их. И м е н н о это и
вызвало периодические колебания конструкции дорожного полотна. Потеря ус­
тойчивости часто становится причиной обрушения колонн, элементов кровли,
несущих стен зданий и сооружений. Продольную нагрузку, п р е в ы ш а ю щ у ю
критическую, могут вызвать скопившийся снег, массивные ледяные отложения,
ударные воздействия на пол в помещениях спортивных сооружений во время
тренировок или соревнований, а также периодические д в и ж е н и я людских пото­
ков в зданиях школ, вузов, предприятий и проч.
Особенно опасна динамическая нагрузка на здания и сооружения, вызван­
ная землетрясением. П р и большой амплитуде колебаний земной поверхности
возможны частичные или полные разрушения. С у щ е с т в у ю щ и е способы повы­
шения прочности и устойчивости зданий к землетрясениям, как показывает
практика, недостаточно э ф ф е к т и в н ы .
Все это подчеркивает важность поставленной задачи и необходимость пра­
вильного ее р е ш е н и я . В курсе сопротивления материалов рассматривались
только статические методы решения задач устойчивости, которые имеют огра­
ниченное применение. В рассмотренном нами спецкурсе помимо статических
методов были рассмотрены энергетические и динамические методы расчета,
основанные на законе сохранения энергии. П р е и м у щ е с т в о этих методов - ши­
рота применения и возможность корректировки точности расчетных резуль­
татов. Рассматривались задачи устойчивости стержневых систем при совмест­
ном действии нескольких продольных сил, или действия продольной силы и
поперечной нагрузки. У м е н и е решать подобные задачи значительно расширяет
возможности грамотного проектирования и строительства зданий и сооружений
самого различного назначения. Более сложные задачи устойчивости целесооб­
разно решать с п р и м е н е н и е м современных компьютерных программ.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров А. В. Сопротивление материалов / А. В. Александров, В. Д.
Потапов, Б. П. Д е р ж а в и н . - М. : Высшая школа, 2 0 0 1 . - 560 с.
2. Вольмир А. С. Исследование процесса выпучивания стержней при ударе /
А. С. Вольмир, И. Г. Кильдибеков // Доклады АН С С С Р . - 1966. - Т. 2. Вып. 1 0 . - С . 1 0 - 1 7 .
3. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых
М. : ГИТТЛ, 1962. - 880 с.
систем / А. С. Вольмир. -
4. Дарков А. В. Сопротивление материалов / А. В. Дарков, Г. С. Ш п и р о . М. : Высшая школа, 2 0 0 3 . - 641 с.
5. М а л ы ш е в Б. М. Устойчивость стержня при ударном сжатии / Б. М. Малы­
шев // Известия АН С С С Р . М Т Т . - 1966. - № 4. - С. 137 - 142.
6. Пановко Я. Г. Устойчивость и колебания упругих систем / Я. Г. Пановко,
И. И. Губанова. - М. : Наука, 1987. - 352 с.
7. Писаренко Г. С. Справочник по сопротивлению материалов / Г. С. Писаренко, А. П. Яковлев, В. В. Матвеев. - Киев : Наукова думка, 1989. - 732 с.
8. Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / С П . Тимо­
шенко. - М. : Наука, 1974. - 808 с.
Учебное издание
ЛЕКЦИИ ПО УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Методические указания
Составитель Б И Т Ю Р И Н Анатолий Александрович
Редактор М. В. Теленкова
П о д п и с а н о в печать 04.05.2011. Формат 60x84 1/16
Усл. печ. л. 3,72. Тираж 75 экз. Заказ 480.
Ульяновский государственный технический университет
432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32
Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32
