231300.62 Пм(1) - Высшая школа экономики

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Прикладной математики и кибернетики
Программа дисциплины Математический анализ
часть1 (модули 1-4)
для направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
Автор программы: Деменко В.Н., кандидат физ.-мат. наук, доцент, [email protected]
Одобрена на заседании кафедры Высшей математики «___»____________ 2013 г
Зав. кафедрой Л.И. Кузьмина
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 2013 г
Председатель [Введите И.О. Фамилия]
Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________2013 г.
Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]
Москва, 2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 231300.62
«Прикладная математика» подготовки бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки
бакалавра, изучающих дисциплину «Математический анализ».
Программа разработана в соответствии с:
 ФГОС для направления 231300.62 «Прикладная математика» подготовки бакалавра.
 Рабочим учебным планом университета по направлению 231300.62 «Прикладная
математика подготовки бакалавра, утвержденным в 2012 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины Математический анализ являются:



3
обеспечение приобретения знаний и умений в соответствии с государственным
образовательным стандартом, содействие фундаментализации образования,
формирование естественнонаучного мировоззрения и развитие системного
мышления;
ознакомление студентов с теоретическими основами предмета «Математический
анализ», основными классами задач предмета и методами их решения.
создание теоретической базы для последующего обучения смежным
математическим дисциплинам.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать
 основные положения теории пределов и теории функциональной зависимости;
 основные положения и теоремы дифференциального и интегрального исчисления;
 основные положения теории числовых и функциональных рядов.
 Уметь
 грамотно формулировать задачи, решение которых связано с применением
методов математического анализа;
 решать основные задачи математического анализа, - вычисление пределов
функций, их дифференцирование и интегрирование, исследование функций на
экстремум и разложение их в ряды;
 использовать расчетные формулы, таблицы, графики, компьютерные программы
при решении математических задач.
 Иметь навыки
использования методов математического анализа при решении теоретических и
прикладных задач.
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 230700.62
«Прикладная информатика» подготовки бакалавра
В результате освоения дисциплины студент приобретает следующие компетенции:
Компетенция
Общекультурные
общекультурная
профессиональная
профессиональная
профессиональная
Код по
ФГОС
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
ОК-1
Владение культурой мышления,
способность к обобщению,
анализу, восприятию
информации, постановке цели и
выбору путей ее достижения,
умение логически верно,
аргументировано и ясно,
строить устную и письменную
речь
ОК-10 Студент использует методы и
средства познания для
приобретения новых знаний и
изменения вида своей
профессиональной
деятельности.
ОК-15 Способность работы с
информацией из различных
источников, включая сетевые
ресурсы сети Интернет, для
решения профессиональных
задач.
ПК-1 Студент распознает
естественнонаучную сущность
проблем, возникающих в
профессиональной
деятельности, применяет
соответствующий
математический аппарат для их
анализа и выработки решений.
ПК-2 Студент применяет
математический аппарат для
решения профессиональных
задач.
ПК-4 Студент представляет связи
различных математических
дисциплин в работе над
инновационными проектами
3
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Формируется на
протяжении всего
учебного процесса
Лекции и практические
занятия
Лекции, семинары в
компьютерном классе,
самостоятельная работа
Лекции и практические
занятия
Лекции и практические
занятия
Лекции и практические
занятия
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 231300.62
«Прикладная математика» подготовки бакалавра
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных
дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих базовую подготовку.
Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях приобретённых в рамках
школьной программы по математике.
Для освоения учебной дисциплины от студентов не требуется знаний и умений,
выходящих за рамки школьной программы.
Знания и практические навыки, полученные по дисциплине «Математический анализ»,
используются в изучении всех дисциплин математического и естественнонаучного цикла, а
также в профессиональном цикле.
5
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Тематический план учебной дисциплины
Название раздела
Всего
часов
Множества и их отображения.
Действительные числа (структура
вещественной прямой).
Пределы. Элементарные асимптотические
формулы.
непрерывность
Производная, основные теоремы и методы
дифференциального исчисления.
Исследование функций при помощи
производных. Формула Тейлора.
Неопределённый интеграл
Определённый интеграл
Несобственные интегралы
Числовые ряды
Функции нескольких переменных.
Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных
Итого:
18
4
Аудиторные часы
СамостояПрактиче
тельная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
4
4
10
50
10
10
30
24
108
8
24
6
24
10
60
48
48
60
58
160
8
10
10
12
40
10
8
10
12
40
30
30
40
34
80
574
126
124
324
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 231300.62
«Прикладная математика» подготовки бакалавра
6
Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Форма
контроля
Контрольная
работа
Текущий
(неделя)
2 год
будет представлен в
части 2 программы
1 2 3 4
1
2
4
5 3
4
7
1 год
Зачет
Промежуточный
6.1
8
√
устный зачёт 160 минут
Курсовая
Экзамен
устный коллоквиум
80 минут
Окончание приема,
выдача вариантов на 2
недели раньше
6 9 9
Домашнее
задание
письменная работа 80
минут
письменная работа 40
минут
5
Коллоквиум
Параметры
√
√
устная защита
устный экзамен
160 минут
√
Критерии оценки знаний, навыков
На контрольной работе студент должен продемонстрировать умение решать
стандартные задачи курса, основные типы которых разбираются на семинарских занятиях.
При выполнении заданий домашней работы требуется больше времени для технического
оформления решений. От студента требуется подробно обоснованное решение заданий и
грамотное оформление работы. При проведении контроля используется система LMS.
Для выполнения курсовой работы требуется изучение дополнительного материала.
Студент должен привести обоснованные решения заданий и уметь доказывать основные
теоремы, которые были им использованы. Работа должна быть грамотно оформлена.
На коллоквиуме проверяется умение студента формулировать определения и
утверждения курса, а также грамотно воспроизводить доказательства основных утверждений.
На зачете и экзамене проверяется умение студента доказывать теоремы, формулировать
утверждения и определения курса, а также решать стандартные задачи.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.2
Порядок формирования оценок по дисциплине
Преподаватель оценивает работу на практических занятиях (правильность решения задач
на семинаре, активность в деловых дискуссиях). Накопленная оценка по 10-балльной шкале за
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 231300.62
«Прикладная математика» подготовки бакалавра
работу на семинарских занятиях Оауд. определяется перед промежуточным или итоговым
контролем и выставляется в рабочую ведомость.
Преподаватель оценивает работу на практических занятиях (правильность решения задач
на семинаре, активность в деловых дискуссиях). Накопленная оценка по 10-балльной шкале за
работу на семинарских занятиях Оауд. определяется перед промежуточным или итоговым
контролем и выставляется в рабочую ведомость.
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов (правильность выполнения
домашних работ, задания которых выдаются на семинарских занятиях). При проведении
контроля используется система LMS. Накопленная оценка Осам. по 10-ти балльной шкале за
самостоятельную работу определяется перед промежуточным или итоговым контролем и
выставляется в рабочую ведомость.
Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему
контролю следующим образом:
Онакопл.  0,6  Отекущ.  0,2  Оауд.  0,2  Осам. ,
где Отекущ. рассчитывается как взвешенная сумма всех форм текущего контроля,
предусмотренных в РУП.
В 1-м модуле Отекущ.  Окр1 ,
во 2-м модуле Отекущ.  0,25  Окр 2  0,25  Окр 3  0,25  Окл  0,25  Одз ,
в 3-м модуле Отекущ.  0,33  Окр 4  0,33  Окр 5  0,34  Окл ,
в 4-м модуле Отекущ.  0,5  Окр 6  0,5  Окл .
Промежуточная оценка i  го этапа рассчитывается по формуле
Опромеж.i  0,3  Отекущ.i  0,7  Опромеж. зач./ экз. .
Способ округления всех вышеуказанных оценок – арифметический.
Студент, получивший низкую оценку за контрольную или коллоквиум, может исправить
свой результат, переписав (один раз) контрольную работу или пересдав (один раз) коллоквиум.
Результат переписывания контрольной работы или пересдачи коллоквиума умножается на
коэффициент 0.7 , и оценка становится итоговой (даже, если она ниже первоначальной).
При Онакопл.  8 и Оауд.  Осам.  12 студент может (по его согласию!) освобождаться
преподавателем от сдачи зачёта/экзамена; в этом случае результирующая оценка совпадает с
накопленной.
7
Содержание дисциплины
Раздел 1. Множества и их отображения. Действительные числа (структура
вещественной прямой).
Предмет математического анализа. Основные обозначения и кванторы. Множества на
числовой прямой. Числовая ось. Соответствие между точками числовой оси и множеством
бесконечных десятичных (двоичных) дробей. Метод математической индукции. Бином
Ньютона. Ограниченные множества. Верхняя и нижняя грань множества. Функциональная
зависимость. Примеры отображений. Прямая и обратная функции. Понятие числовой
последовательности. Ограниченные и монотонные последовательности и функции.
Раздел 2. Пределы функций последовательностей. Непрерывные функции.
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 231300.62
«Прикладная математика» подготовки бакалавра
Определение различных типов пределов функции и последовательности. Бесконечно
малые и бесконечно большие функции и последовательности и их свойства. Свойства предела.
Предельный переход и арифметические операции. Предельный переход в неравенствах.
Понятие числовой последовательности и ее предела. Ограниченные и монотонные
последовательности. Арифметические операции над пределами последовательностей.
sin x
1.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Теорема о пределе lim
x 0
x
Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности. Существование числа e .
Второй замечательный предел. Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций.
Предел и непрерывность сложной функции. Односторонние пределы функции. Точки разрыва.
Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций, - эквивалентность, символы O
и o . Предел сложной функции. Вывод основных асимптотических формул.
Раздел 3. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке. Обратная функция.
Равномерная непрерывность.
Лемма о вложенных отрезках. Теорема Коши о промежуточном значении функции.
Обратная функция. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Теоремы Вейерштрасса о функциях,
непрерывных на отрезке. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
Раздел 4.
Производная, основные теоремы и методы дифференциального
исчисления. Исследование функций при помощи производных. Формула Тейлора.
Производная. Приращение дифференцируемой функции. Теоремы о производных.
Таблица производных. Производная функции, заданной параметрически. Производные высших
порядков. Дифференциал. Дифференциалы высших порядков. Точки экстремума функции.
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Исследование функций при помощи 1-й производной.
Теорема Коши об отношении приращений двух функций. Правило Лопиталя. Выпуклость,
вогнутость, точки перегиба графика функции. Исследование функций при помощи 2-й
производной и производных высших порядков. Асимптоты графика функции. Формула
Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Пеано. Формулы Тейлора для

e x , sin x, cos x, ln 1  x  , 1  x  . Использование формулы Тейлора в приближенных
вычислениях.
Раздел 5. Неопределённый интеграл.
Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов. Линейность
неопределенных интегралов. Замена переменного. Интегрирование по частям. Интегрирование
рациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций. Интегралы,
сводящиеся к интегралам от рациональных функций.
Раздел 6. Определённый интеграл.
Определенный интеграл. Ограниченность интегрируемой функции. Формулировка и
геометрический смысл критерия интегрируемости. Интегрируемость ограниченной функции с
конечным числом точек разрыва. Линейность и аддитивность определенного интеграла.
Интегрирование неравенств. Интегральная теорема о среднем. Теорема и формула НьютонаЛейбница. Замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям.
Приближенное вычисление определенных интегралов.
Раздел 7. Несобственные интегралы.
Несобственные интегралы 1-го рода. Теоремы сравнения для несобственных интегралов
от неотрицательных функций. Несобственные интегралы 2-го рода.
Раздел 8. Числовые ряды.
Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов. Признаки сходимости рядов с
неотрицательными членами. Абсолютная и условная сходимость ряда.
Раздел 9. Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление
функций нескольких переменных.
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 231300.62
«Прикладная математика» подготовки бакалавра
Пространство Rn . Теорема Больцано-Вейерштрасса. Полнота Rn . Множества в Rn .
Функции нескольких переменных. Предел. Непрерывность. Теоремы Вейерштрасса о
функциях, непрерывных на компакте. Теорема Кантора. Теорема Коши о промежуточных
значениях непрерывной функции. Частные производные 1-го и высших порядков. Теорема
Шварца. Дифференцируемые функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Дифференциалы 1-го и высших порядков. Производная по направлению. Градиент. Формула
Тейлора.
Экстремумы
функции
нескольких
переменных.
Отображения
вида
m
n
f : M  R , M  R . Геометрический смысл отображений при различных n и m .
Непрерывные отображения. Теоремы о неявной функции (1 и 2 теоремы Юнга).
Геометрические приложения. Теорема об обратном отображении. Криволинейные координаты.
Условный экстремум.
8
Образовательные технологии
Образовательные технологии не предусмотрены.
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1
Тематика заданий текущего контроля
Примерные варианты контрольных работ.
Контрольная работа № 1


1. Применяя метод математической индукции, доказать, что число n n  3n  1
2
делится на 3 при любом nN .
n5
на монотонность и ограниченность.
2n  1
3
1  3x  1  2 x
b) lim x x 2  1  x ;
3. Вычислить пределы: a ) lim
;
2
x 
x 0
xx
2
3x  9
d ) lim  x  2  3 x  .
c) lim
;
x 3
x2 x  2
2. Исследовать последовательность an 


Контрольная работа № 2
1. Найти y :
2
arctg 2 x
2  x 1
y 3
, y  arcsin 
, y  sin 3
4x
2 
x  3e
 2x 


x  ln 2 x , y   tgx 
arctgx
.
2. Найти производную yx , если x  arccos t , y  3 ctg t .
3. Написать уравнение касательной и нормали к графику функции f  x  
в точке с абсциссой x0  1 .
4. Найти дифференциал d y для y  xch2 x.
Контрольная работа № 3
1. Найти пределы по правилу Лопиталя
10
8
3
3x3  2 x 2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 231300.62
«Прикладная математика» подготовки бакалавра
ctg  x  a 
 tgx 
3tg 4 x  12tgx
a) lim
, b) lim 
.

x 0 3sin 4 x  12sin x
x a tga


2. Определить при малых x  0 знак функции
1
x
f  x   ln 1  x   cos x  .
x
2
Контрольная работа № 4
Вычислить неопределенные интегралы:
1) 
ex
dx; 2)  x cos  4 x  1 dx; 3) 
4x  5
dx;
 x  2 x  5  x  2 
1  2e2 x
xdx
dx
4) 
; 5) 
.
2cos x  sin x  3
2x  4x  2  1
2
Контрольная работа № 5
1
1. Вычислить интеграл
e
x
1 e
2x
dx.
0
2. Найти длину кривой y   2 x  1
3
2
, 0  x  1.

3. Исследовать на сходимость по определению несобственный интеграл
 2 x  3 dx .
x
0
2
 2x  2
4. Применяя теоремы сравнения, исследовать на сходимость несобственные ин6тегралы:


1
5  sin x
,
x2
 5x  ln x  dx

  3x
1
2
 10 x  1 ln  x 2  2 
4
,

1
dx
ln  5 x 2  4 x 
.
Контрольная работа № 6
1. В разложении функции z  arcsin x  1 по формуле Тейлора-Пеано в окрестности точки
1;0  выписать члены до второго порядка включительно.
dz z
и
, если z  x ln y  y ln x, y    x  .
dx x
x  u v,
z z

3. Найти
и
, если z  f  x, y  , где 
v
u v
.
y
u

2. Найти
4. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к графику функции z  y  ln
x
точке M 0 1;2  .
Примерный вариант контрольного домашнего задания:
Домашняя работа. Построение графиков.
Определить а) интервалы монотонности и экстремумы, б) интервалы выпуклости,
вогнутости и точки перегиба, в) асимптоты. Построить график
x 4 x3
( x  2)( x  3)
y    x2 , y 
, y  ( x 2  3x  4)e3 x /4 .
2
4 3
x
9
x
в
y
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 231300.62
«Прикладная математика» подготовки бакалавра
Примерный вариант курсовой работы:
1. Написать асимптотическую формулу для данной функции при x  0 , причем в ответе
должно быть не менее двух членов асимптотической формулы, не считая остатка:
 tgx 
f  x   ln 
.
arctg
x


2. Написать асимптотическую формулу для данной функции при x   , причем в ответе
должно быть не менее двух членов асимптотической формулы, не считая остатка:
 x 
f  x  

 x 1
ctg
1
x
, x  .
3. Используя формулу Тейлора, найти асимптотику корней уравнения, причем в ответе
должно быть не менее двух членов асимптотики, не считая остатка.
sin x 
x2
.
x 1
4. Написать
асимптотическое
представление
функции,
Рекомендуется использовать интегрирование по частям:
заданной
интегралом.

cos t
dt , x  .
2
t
x
F  x  
5. Написать
асимптотическое
представление
функции,
заданной
интегралом.
Асимптотическое представление должно быть доведено до члена, являющегося
бесконечно малой функцией при x  0. При решении рекомендуется использовать
формулу Тейлора.
1
earcsin t
dt ,
t
x
F  x  
x  0.
9.2 Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачетам и экзаменам для 1-4 модулей.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Модули 1-2
Дайте определение множества действительных чисел.
Расскажите о представлении действительных чисел бесконечными десятичными дробями.
Расскажите о методе математической индукции. Докажите равенство
1  q n1
n
1  q  ...  q 
 q  1 .
1 q
Докажите формулу бинома Ньютона.
Дайте определение ограниченного сверху, ограниченного снизу, ограниченного множеств.
Запишите эти определения с помощью кванторов, приведите примеры ограниченных
множеств. Определите множества: неограниченное сверху, неограниченное снизу,
неограниченное. Приведите примеры.
Дайте определение максимального и минимального элементов множества. Приведите
примеры.
Дайте определение точной верхней и точной нижней граней множества, приведите
примеры.
Докажите, что всякое не пустое ограниченное сверху подмножество множества
вещественных чисел имеет и притом единственную точную верхнюю грань.
10
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 231300.62
«Прикладная математика» подготовки бакалавра
9. Докажите, что всякое не пустое ограниченное снизу подмножество множества
вещественных чисел имеет и притом единственную точную нижнюю грань.
10. Дайте определение функции, ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу) на
множестве X . Приведите примеры ограниченных и неограниченных функций.
11. Дайте определение обратной функции. Приведите примеры.
12. Дайте определение предела числовой последовательности. Записать это определение с
помощью кванторов в терминах окрестностей и в терминах неравенств (для конечного и
n
1.
бесконечных пределов). Докажите по определению, что lim
n  n  1
13. Докажите теорему о единственности предела сходящейся числовой последовательности.
14. Докажите теорему об ограниченности сходящейся числовой последовательности.
15. Дайте определение подпоследовательности. Докажите теорему о пределе
подпоследовательности сходящейся последовательности.
16. Докажите теоремы о произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную
и теорему о сумме бесконечно малых.
17. Докажите теорему о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими
последовательностями.
18. Докажите теоремы о пределе суммы и произведения сходящихся последовательностей.
19. Докажите теорему о пределе частного сходящихся последовательностей.
20. Докажите теорему о предельном переходе в неравенстве для последовательностей.
21. Докажите теорему о предельном переходе в двух неравенствах для последовательностей
22. Докажите теорему Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.
n
 1
23. Докажите существование предела последовательности an  1    n  1 . Определите
 n
число e .
24. Докажите лемму о вложенных отрезках.
25. Докажите лемму Больцано-Вейерштрасса.
26. Дайте определение в терминах окрестностей и в терминах неравенств пределов
lim f  x   b, lim f  x   , lim f  x   , lim f  x   b, lim f  x   , lim f  x   ,
x a
x a
x a
x 
x 
x 
lim f  x   , lim f  x   , lim f  x   b, lim f  x   , lim f  x   b ,
x 
x 
x 
x 
x 
проиллюстрируйте эти определения графически.
27. Дайте определение функции, непрерывной в точке, непрерывной на интервале. Приведите
примеры.
28. Дайте определение в терминах окрестностей и в терминах неравенств односторонних
пределов lim f  x   b, lim f  x   , lim f  x   , lim f  x   , lim f  x    .
x a  0
x a 0
x a 0
x a  0
x a  0
Проиллюстрируйте эти определения графически.
29. Докажите, что функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда существуют и
равны оба односторонних предела в этой точке.
30. Дайте определение односторонней непрерывности в точке, функции, непрерывной на
отрезке. Докажите, что функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она
непрерывна в этой точке справа и слева.
31. Изложите классификацию точек разрыва, приведите примеры.
32. Дайте определение предела по Гейне, определение непрерывности по Гейне. Докажите
теорему об эквивалентности определений предела по Коши и по Гейне.
33. Сформулируйте и, используя определение предела по Гейне и соответствующие
утверждения для последовательностей, докажите теоремы о единственности предела
функции, о предельном переходе в неравенстве, о предельном переходе в двух
11
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 231300.62
«Прикладная математика» подготовки бакалавра
неравенствах, о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями и об
арифметических свойствах предела функции.
34. Пользуясь теоремами об арифметических действиях с пределами функций сформулируйте и
докажите теорему о непрерывности линейной комбинации непрерывных функций, теорему
о непрерывности частного.
35. Докажите теорему о сохранении знака непрерывной функцией.
36. Докажите теорему о пределе сложной функции. Сформулируйте теорему о непрерывности
сложной функции.
sin x
1.
37. Докажите теорему о первом замечательном пределе lim
x 0
x
38. Докажите теорему о нуле непрерывной функции. Докажите теорему Коши о
промежуточном значении для непрерывной функции.
39. Докажите теорему о непрерывности обратной функции.
x
 1
40. Докажите теорему о втором замечательном пределе lim 1    e .
x 
 x
1
41. Выведите следствия из теоремы о втором замечательном пределе: lim 1  x  x  e,
x 0
ln 1  x 
e 1
 1, lim
 1.
x 0
x 0
x
x
42. Объясните смысл записей f  x   o  g  x   , f  x   O  g  x   , f  x  g  x   x  a  .
Приведите примеры. Выпишите основные асимптотические соотношения для функций

sin x, cos x, ln 1  x  , e x , 1  x  при x  0 .
43. Докажите первую теорему Вейерштрасса об ограниченности функции, непрерывной на
отрезке. Покажите, что отрезок в условии теоремы нельзя заменить интервалом.
44. Докажите вторую теорему Вейерштрасса о верхней и нижней гранях функции, непрерывной
на отрезке. Покажите, что отрезок в условии теоремы нельзя заменить интервалом.
45. Докажите теорему Кантора о равномерной непрерывности функции на отрезке. Покажите,
что отрезок в условии теоремы нельзя заменить интервалом.
46. Дать определение функции, дифференцируемой в точке, функции, имеющей производную в
точке. Доказать теорему о связи между дифференцируемостью и существованием
производной функции в точке. Рассказать о геометрическом смысле дифференциала и
производной функции.
47. Вывести формулы для производной суммы, произведения и частного двух функций,
формулу для производной сложной функции.
48. Вывести формулу для производной обратной функции.
49. Вывести
формулы
для
производных
основных
элементарных
функций:
n
x
x
c, x, x , sin x, cos x, tgx, ctgx, e , a , ln x, log a x, arcsin x, arccos x, arctgx, arcctgx .
50. Доказать теорему об инвариантности первого дифференциала.
51. Дать определение n  й производной и n  го дифференциала функции f  x  .
x
lim
52. Дать определение локального максимума (минимума) функции f  x  . Доказать теорему
Ферма о необходимом условии экстремума дифференцируемой функции.
53. Доказать теорему Ролля.
54. Доказать теоремы Лагранжа и Коши о приращениях дифференцируемой функции на
отрезке.
55. Вывести формулу для производной функции, заданной параметрически.
56. Определите многочлен Тейлора, выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме
Пеано, с остаточным членом в форме Лагранжа.
12
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 231300.62
«Прикладная математика» подготовки бакалавра
57. Выведите формулы для многочленов Маклорена функций e x , sin x, cos x, ln 1  x  , 1  x  .
58. Сформулируйте правило Лопиталя и докажите его в простейшем случае.
59. Докажите достаточные условия экстремума дифференцируемой функции в терминах первой
и второй производной
60. Дайте определение выпуклости (вогнутости) дифференцируемой функции в точке,
выпуклости (вогнутости) дифференцируемой функции на интервале, точки перегиба.
Докажите теорему о достаточных условиях выпуклости (вогнутости) функции.
m
Модули 3-4
1. Дайте определение первообразной и неопределенного интеграла от функции f (x) на
2.
3.
4.
5.
промежутке a, b . Докажите теорему об общем виде первообразной. Составить таблицу
неопределенных интегралов.
Докажите линейность неопределенного интеграла.
Докажите теорему о замене переменной под знаком неопределенного интеграла.
Приведите пример.
Выведите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
Приведите пример..
Покажите, что интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию
правильной дроби. Объясните, как интегрируются простейшие дроби. Выведите
dx
формулу понижения для интеграла ò
.
n
(1 + x 2 )
6. Изложите метод вычисления интегралов вида
ò R (e )dx ,
функции; приведите пример.
7. Изложите метод вычисления интегралов вида
ò R (sin x, cos x)dx , где R
x
где R - знак рациональной
- знак
рациональной функции; приведите пример.
8. Объясните, как вычисляется интеграл ò sin n x cos m xdx .
1 ö
æ æ
n÷
çç ç ax + b ö
÷
÷
9. Изложите метод вычисления интегралов вида ò R çx, ç
dx , где R - знак
÷
÷
÷
çç çècx + d ÷
ø
÷
è
ø
рациональной функции; приведите пример.
10. Изложите метод вычисления интегралов вида
ò R (x ,
)
ax 2 + bx + c dx , где R - знак
рациональной функции; приведите пример.
11. Объясните, как вычисляются интегралы
ò sin a x ×cos b xdx, ò sin a x ×sin b xdx, ò cos a x ×cos b xdx .
12. Объясните, как вычисляются интегралы
òe
ax
cos b xdx,
òe
ax
sin b xdx .
13. Дайте определение функции, интегрируемой на отрезке, и определенного интеграла.
Докажите, что если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b ], то она ограничена на
нем.
14. Выведите свойства верхних и нижних сумм Дарбу.
15. Выведите критерий интегрируемости функции.
16. Докажите, что непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем.
13
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 231300.62
«Прикладная математика» подготовки бакалавра
17. Выведите свойство линейности определенного интеграла.
18. Выведите свойство аддитивности определенного интеграла.
19. Докажите теорему об интегрировании неравенств. Выведите из нее оценки для
определенного интеграла. Докажите интегральную теорему о среднем.
x
20. Докажите, что если f (x) непрерывна на отрезке [a, b ], то функция F (x)=
ò f (t )dt
a
дифференцируема на нем. Выведите формулу Ньютона-Лейбница.
21. Докажите теорему о замене переменной под знаком определенного интеграла.
Приведите пример.
b
ò udv , где u (x), v (x) - непрерывно
22. Выведите формулу интегрирования по частям для
a
дифференцируемые на [a, b ] функции.
23. Дайте определение спрямляемой кривой. Докажите, что гладкая параметрически
заданная кривая – спрямляема. Выведите верхнюю и нижнюю оценки длины такой
кривой. Используя их, выведите формулу длины параметрически заданной гладкой
кривой, явно заданной гладкой кривой.
24. Дайте определение квадрируемой фигуры. Докажите, что криволинейная трапеция,
ограниченная графиком интегрируемой функции квадрируема. Выведите формулу
площади криволинейной трапеции, площади фигуры, заданной в полярных координатах
25. Выведите формулу для объема тела вращения.
¥
26. Дайте определение несобственных интегралов 1-го рода
ò f (x)dx . Проверьте свойство
a
¥
линейности. Покажите, что
¥
ò f (x)dx и ò f (x)dx ( a < b,
a
f (x) интегрируема по Риману
b
на каждом [a, b ]) сходятся или расходятся одновременно. Исследуйте на сходимость по

определению интегралы
dx
 x .
1
27. Выведите условие, необходимое и достаточное для сходимости несобственного
интеграла от неотрицательной функции.
28. Докажите теоремы сравнения для несобственных интегралов первого рода от
неотрицательных функций. Приведите примеры.
¥
29. Выведите критерий Коши сходимости интеграла
ò f (x)dx . Докажите, что если
a
¥
ò
¥
f (x) dx сходится, то интеграл
a
ò f (x)dx сходится.
a
30. Дайте определение абсолютной и условной сходимости несобственного интеграла 1-го
¥
sin x
рода. Исследуйте на абсолютную и условную сходимости интеграл ò a dx .
x
1
b
31. Дайте определение несобственного интеграла
ò f (x)dx 2-го рода от функции,
a
неограниченной в O
+
(a) (O (b)) . Исследуйте на сходимость по определению
-
14
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 231300.62
«Прикладная математика» подготовки бакалавра
1
интегралы
dx
 x . Сформулируйте теоремы сравнения для несобственных интегралов
0
второго рода от неотрицательных функций. Приведите примеры.
32. Дайте определение числового ряда, сходящегося и расходящегося числовых рядов,
суммы числового ряда. Приведите примеры.
33. Покажите, что сходимость ряда не изменится, если изменить конечное число его членов.
34. Докажите теорему об арифметических операциях над сходящимися рядами.
35. Выведите критерий Коши сходимости числового ряда. Докажите необходимый признак
сходимости числового ряда.
36. Докажите необходимый и достаточный признак сходимости ряда с положительными
членами. Докажите признак сравнения и предельный признак сравнения сходимости
рядов с положительными членами.
37. Докажите признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами.
38. Докажите радикальный признак Коши сходимости рядов с положительными членами.
39. Докажите интегральный признак Коши сходимости рядов с положительными членами.
40. Дайте определение абсолютно и условно сходящихся числовых рядов. Приведите
примеры.
41. Докажите признак Лейбница сходимости знакопеременного ряда.
42. Сформулируйте признак Дирихле сходимости знакопеременного ряда.
43. Дайте определение e - окрестности точки в Rn , внутренней и граничной точек
множества, открытого и замкнутого множеств, связного множества, области.
44. Дайте определение предела функции многих переменных в точке, приведите примеры.
45. Дайте определение функции, непрерывной в ограниченной замкнутой области.
Сформулируйте теоремы Вейерштрасса и Кантора о свойствах таких функций.
Объясните, как обобщается на отображения теорема Коши о промежуточных значениях
непрерывной на отрезке функции.
46. Дайте определение дифференцируемости функции z = f (x, y ) в данной точке.
Покажите, что из дифференцируемости следует непрерывность
функции и
существование частных производных в этой точке.
47. Покажите на примере, что из непрерывности функции z = f (x, y ) в точке не следует
существование частных производных и тем более не следует дифференцируемость в
этой точке. Покажите на примере, что из существования частных производных функции
z = f (x, y ) в точке не следует непрерывность и тем более не следует
дифференцируемость в этой точке.
48. Докажите, что непрерывность частных производных функции z = f (x, y ) в окрестности
некоторой точки достаточна для ее дифференцируемости в этой точке.
49. Дайте определение касательной плоскости к поверхности z = f (x, y ); запишите
уравнение касательной плоскости к этой поверхности. Запишите уравнение касательной
плоскости к неявно заданной поверхности F  x, y, z   0 .
50. Выведите формулу для производной сложной функции.
51. Дайте определение частных производных 2-го и высших порядков. Сформулируйте
теорему Шварца о равенстве смешанных производных 2-го порядка. Приведите
примеры.
52. Дайте определение дифференциалов высших порядков функции z = f (x, y ). Приведите
обобщение определения на случай функции многих переменных. Запишите формулу для
вычисления дифференциала n  го порядка от функции двух переменных.
15
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 231300.62
«Прикладная математика» подготовки бакалавра
53. Докажите инвариантность формы первого дифференциала, покажите на примере, что
для второго дифференциала инвариантность может не иметь места.
54. Выведите формулу Тейлора-Лагранжа для функции z = f (x, y ). Запишите формулу
Тейлора-Лагранжа для функции y = f (x1 ,..., xn ).
55. Дайте определение экстремумов функции y = f (x1 ,..., xn ). Выведите необходимое
условие экстремума. Покажите на примере, что это условие не является достаточным.
56. Выведите условия, достаточные для того, чтобы функция z = f (x, y ) 1) имела строгий
экстремум; 2) не имела экстремума в данной точке.
57. Докажите теорему Юнга о существовании и дифференцируемости неявной функции.
Объясните ее геометрический смысл.
58. Дайте определения градиента и линии уровня функции z = f (x, y ). Приведите пример.
59. Дайте определение производной по направлению и выведите ее связь с градиентом
функции.
60. Дайте определение условного (относительного) экстремума. Докажите теорему о
необходимых условиях относительного экстремума функции двух переменных в случае
одного ограничения. Сформулируйте правило множителей Лагранжа для задачи с
несколькими ограничениями. Найдите максимум и минимум функции z  x  2 y на
окружности x 2  y 2  5 .
61. Докажите теорему о достаточных условиях относительного экстремума. Найдите точки
 z  x  2 y  extr ,
условного экстремума в задаче 
x  0, y  0.
xy 2  1,

10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
1. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. М.: Физматлит,
2001.
10.2 Основная литература
1. Зорич В.А. Математический анализ. - Ч. I-II, МНЦМО, Москва, 2004 г.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.- Тт. 1, 2, 3.МНЦМО, Москва, 2003 г.
3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. -.АСТ.
Астрель, Москва, 2002 г.
10.3 Дополнительная литература
1. Никольский С.М. Курс математического анализа.- Т. 1, 2.- МЦНМО Москва, 2001 г.
2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. - Т. 1, 2. ALFA, Москва, 1998 г.
3. Рудин У. Основы математического анализа. МЦНМО, Москва, 2002 г.
10.4 Справочники, словари, энциклопедии
1. Математическая энциклопедия (в 5 томах). М.: Изд-во «Советская энциклопедия», 1977–
1985.
2. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров.
М.: «Наука». 1978.
16
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Математический анализ для направления 231300.62
«Прикладная математика» подготовки бакалавра
10.5 Программные средства
Для выполнения домашних работ возможно использование пакетов MATLAB,
MATEMATIKA или MAPLE для ОС Windows.
10.6 Дистанционная поддержка дисциплины
Система LMS
11 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Материально техническое обеспечение дисциплины не предусмотрено.
17