Олимпиада II турx

Задача 1
Решение
(x+2)4+x4=82
(x+2)4+x4-82=0
Произведем замену переменных.
Пусть t=x+1
В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение.
(t+1)4+(t-1)4-82=0
(t4+4t3+6t2+4t+1)+(t4-4t3+6t2-4t+1)-82=0
t4+4t3+6t2+4t+1+t4-4t3+6t2-4t+1-82=0
2t4+12t2-80=0
t4+6t2-40=0
Произведем замену переменных.
Пусть z=t2
В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение.
z2+6z-40=0
D=b2-4ac=62-4·1(-40)=196
Error!
Error!; Error!
Ответ вспомогательного уравнения: Error!
В этом случае исходное уравнение сводится к уравнению
t2=-10 ;t2=4
решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.
Случай 1 .
t2=-10
ответ этого случая: нет решений
Случай 2 .
t2=4
ответ этого случая: Error!
Ответ вспомогательного уравнения: Error!
В этом случае исходное уравнение сводится к уравнению
x+1=-2 ;x+1=2
решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.
Случай 1 .
x+1=-2
x=-2-1
x=-3
Случай 2 .
x+1=2
x=2-1
x=1
Окончательный ответ: Error!
Задача 2
Воспользуемся тождеством: A3+B3+C3=(A+B+C)(A2+B2+C2-AB-AC-BC)+3ABC. Отсюда сразу
следует, что если A+B+C делится на 6, то A3+B3+C3 сравнимо по модулю 6 с 3ABC. Нам
осталось доказать, что 3ABC делится на 6, а это равносильно тому, что ABC четно. А ABC
действительно четно: в противном случае все три числа A, B и C были бы нечетными, и их
сумма тоже была бы нечетной и не могла бы делиться на 6?! ч.т.д.
Задача 3
Задача 4
Обозначим искомое число за 1000a+100b+10c+d. По условию задачи имеем:
4(1000a+100b+10c+d)=1000d+100c+10b+a.
Так как левая часть – число четное, то и правая часть – число четное, поэтому a– четная
цифра. Тогда a=2, так как в других случаях получим в левой части пятизначное число.
Так как 4d оканчивается на 2, то d=8. В итоге имеем:
4(1000·2+100b+10c+8)=1000·8+100c+10b+2.
Тогда 4(10b+c)+3=10c+b или 40b+4c+3=10c+b.
После упрощения получим: 13b+1=2c.
Решением данного уравнения будут: b=1,c=7. Тогда искомое число будет 2178.
Ответ: 2178
Задача 5
Доказательство. Среди сторон многоугольника в сечении параллелепипеда плоскостью найдутся
параллельные, а у правильного пятиугольника никакие две стороны не параллельны.
Задача 6
Задача 7
Докажем, что (4n + 15n - 1) (1) делится на 9 с помощью метода математической индукции.
База индукции:
При n = 1, 4n + 15n - 1 = 4 + 15 - 1 = 18, которое делится на 9. Проверено.
Переход:
Пусть (1) выполняется при n = k. Докажем, что оно выполняется при n = k + 1:
4k +1 + 15(k + 1) - 1 = 4 · 4k + 15k - 14 = 4k + 15k - 1 + 3 · 4k + 15.
Согласно условию перехода 4k + 15k - 1 делится на 9, осталось показать, что 3 · 4k + 15
делится на 9. Заметим, что 3 · 4k + 15 = 3(4k + 5) (2). К тому же
4 1 (mod 3);
4k 1 (mod 3);
4k + 5 6 (mod 3), что означает, что 4k + 5 делится на 3, а (2) на 9.
Переход доказан, значит (4n + 15n - 1) делится на 9.
Что и требовалось доказать.
Задача 8
Задача 9
a = 1 - 2b, подставляем в формулу
y = ab = (1 - 2b)*b = b - 2b^2 = -2b^2 + b
Ветви параболы направлены вниз. Максимум находится в вершине
b0 = -b'/(2a').
Здесь -b'/(2a') - это не те b и a, которые в формуле, а коэффициент квадратного уравнения
a'*x^2 + b'*x + c' = 0
a' = -2 (коэффициент при квадрате), b' = 1 (коэффициент при b, которое в формуле), c' = 0
b0 = -1/(2(-2)) = 1/4
a0 = 1 - 2*b0 = 1 - 2/4 = 1/2
Максимум ab = a0*b0 = 1/2*1/4 = 1/8=0,125
Задача 10
Скорость можно определить сразу: для проезда мимо платформы поезду потребовалось
25-7=18 (с). Следовательно, его скорость 378:18=21 (м/с), длина его 21· 7=147 (м).
Ответ: 21 (м/с), 147 (м).