Иванова Алина, ученица 10-го класса школы №718, г. Зеленоград. Руководитель: В.Б. Гундырев. Применение векторной алгебры для решения задач кинематики Ученический научно-исследовательский проект Цели работы: научиться применению методов векторной алгебры, изученных на уроках математики, для решения задач кинематики. Ход работы. В школе на уроках математики изучают основы векторной алгебры – правило сложения векторов, умножение вектора на число, произведение векторов. С другой стороны на уроках физики изучаются величины, многие из которых являются векторные. Например, радиус – вектор, перемещение, скорость и ускорение. Можно сказать, что основной нашей целью было не просто решить задачи, а научиться решать их с использованием методов векторной алгебры. После повторения соответствующих разделов в учебниках и справочниках [1], [2] и [3] было выбрано несколько задач для решения из [4] и [5]. Рассмотрим решение трёх из них. Первая будет решена с использованием скалярного произведения векторов. Имеем следующее условие: «Тело брошено со скоростью V0 под углом α к горизонту. За полётом тела наблюдают в оптическую трубу, установленную в точке бросания. Через какое время скорость тела будет перпендикулярна оси трубы? Ускорение свободного падения равно g». Для начала выполним рисунок к задаче: y r(τ) V0 g V(τ) x По сути, мы должны определить момент времени, когда радиус вектор перпендикулярен скорости. Для этого воспользуемся тем, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю: r ( ) V ( ) 0 Выразим скалярное произведение через координаты векторов: r ( ) V ( ) rxVx ryV y , где rx V0 x ; V x V0 x ; g 2 r V ; 0y y 2 V y V0 y g . После алгебраических преобразований мы получаем кубическое уравнение: g 2 r ( ) V ( ) V0 x V0 x (V0 y ) (V0 y g ) , решением которого будут следующие значения: 2 0; 1 V0 3 sin 9 sin 2 8 ; 2 2g V 3 0 3 sin 9 sin 2 8 . 2 g Причём значение времени 1 0 соответствует моменту броска. Существует и другой способ решения задачи, с помощью подобия треугольников, но это не было задачей моего исследования и нас это не интересует. Следующая задача будет решена с помощью векторного произведения векторов. Имеем следующее условие: «Два тела брошены с одинаковыми по модулю скоростями V0 под разными углами к горизонту – первое тело под углом α, второе - 2α к горизонту. Найти момент времени τ, когда вектора скорости тел будут параллельны. Ускорение свободного падения равно g». Рассмотрим рисунок к задаче. V02 V01 2 g g V2(τ) V1(τ) Здесь вектора V1 ( ) V01 g и V2 ( ) V02 g по условию параллельны: V1 ( ) || V2 ( ) . Для решения воспользуемся тем, что векторное произведение двух параллельных векторов равно нулю. Выражение векторного произведения векторов в прямоугольных координатах имеет вид: V1 V2 (V1yV2 z V1zV2 y )i (V1zV2 x V1xV2 z ) j (V1xV2 y V1yV2 x )k , где i , j , k - единичные векторы координатных осей. Будем считать, что движение происходит в плоскости XY. Тогда все проекции на ось Z равны нулю. Для удовлетворения условию параллельности должно выполняться следующее равенство V1xV2 y V1 yV2 x 0 , где V1x V0 cos V1 y V0 sin g и V2 x V0 cos 2 V2 y V0 sin 2 g После подстановки получаем: . V0 sin . g cos sin 2 cos 2 Эту же задачу можно решить на основании подобия треугольников, но нас это опятьтаки не интересует. Данные примеры являются иллюстрацией того, что многие задачи в кинематике можно решить, применяя векторную алгебру. Литература: 1. Кабардин О.Ф., Физика: Справ. Материалы: Учеб. Пособие для учащихся.- 3-е изд. – М.: Просвещение, 1991.-367с. 2. Гусев В.А., Мордкович А.Г., Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся.- М.: Просвещение, 1988.-416с. 3. Атанасян Л.С. и др., Геометрия. 7-9 классы. 3-е изд. - М.: Просвещение, 1992. 335с. 4. С.Ю. Куклин, А.С. Овинников, В.И. Плис, И.В. Федоренко. Задачи по элементарной физике. Часть1, М.: МИЭТ, 2001. 5. А.А.Абрамов, А.Т.Берестов, В.Б.Гундырев и др. Варианты профильного тестирования по физике. М.: МИЭТ, 1999.