Решение задачи Римана для тяжелого сжимаемого газа в

Нелинейная динамика тяжелого
сжимаемого газа в приближении
мелкой воды
Петросян А.С, Карельский К.В, Черняк А.В.
[email protected]
501 сектор
Институт Космических Исследований РАН
Таруса, 20 октября 2011
1
Содержание
1. Введение.
2. Исходная система уравнений движения тяжелого
сжимаемого газа со свободной поверхностью.
3. Осредненная система уравнений – мелкая вода.
4. Постановка задачи Римана.
5. Решение Задачи Римана.
6. Анализ результатов.
7. Наклонная поверхность.
8. Заключение.
2
1. Статическая сжимаемость
3
1. Применение
4
2. Исходная система уравнений движения тяжелого
сжимаемого газа со свободной поверхностью.
• Уравнения движения Эйлера в поле силы тяжести
• Политропный совершенный сжимаемый газ,
непрерывные процессы адиабатические.
 du
p
  dt   x

p
 dw
   g

z
 dt
     u     w 

0
 
x
z
 t


 p   RT

 E  cV T

dE   pd  1 
 


5
3. Приближение мелкой воды.
 w z 0  0


h
h
 u z h
w z h 
t
x

Z
g
h(x,t)
0
X
6
3. Осредненные уравнения по высоте
h0
gh0
h0
g
 l   lu 
0
 
 t
x

2

u
a
l
u


u 0
 t
l x
x
A

1 
B
l  1  h    1  h 
B 
A

a  l 1  l  B 
A

 1
B
1 A
A
h0
Hs
Hs 
RTi
g
7
4. Постановка задачи Римана.
 l   lu 
0
 
 t
x

2

u
a
l
u


u 0
 t
l x
x
0
x
8
5. Решение Задачи Римана.
1. Нахождение всех автомодельных
непрерывных решений – центрированные
волны Римана.
2. Разрывные решения. Соотношения
Ранкина-Гюгонио. Ударные волны.
3. «Конструирование» решения по
начальным условиям
9
5. Непрерывные решения. Простые
волны Римана
dx

d  u    l    0, dt  u  a  l 

d  u    l    0, dx  u  a  l 

dt
 ( x, t )   (l )  
a l 
l
dl
• Инварианты Римана
• Волны Римана, прямые характеристики
10
5. Разрывные решения. Соотношения
Ранкина-Гюгонио. Ударные волны.
• У.В. Распространяется по газу с параметрами 1,
оставляя позади газ с параметрами 2

l2u2  l1u1
D 
l2  l1



u2  u1  Sign D  u1


l2  l1



t


1
 l
xD  t 
B
1
l2 
 l2    l1    
1
A
B1
A1
X
O
11
5. «Конструирование» решения по
начальным условиям
1. Система уравнений и интегральные следствия
(соотношения Ранкина-Гюгонио) инвариантны
относительно замены t  kt , x  kx, k  0
Значит, если решение единственно и существует
– то оно автомодельно.
2. Существует автомодельное решение – строим
его.
12
5. Автомодельное решение.
две ударные волны
t
A
B
2
u, l
1
u1 , l1
u2 , l2
O
u1  u2 
X
  l     l  
1
3
2
 1 1
  
 l2 l1 
13
5. Автомодельное решение.
волна разрежения – ударная волна
t
B
C
3
2
A
1
u, l
2
u1 , l1
u2 , l2
O
   l1    l2    u1  u2 
4
X
 l    l 
1
2
 1 1
  
 l2 l1 
14
5. Автомодельное решение.
Две волны разрежения
t
B
3
2
A
1
C
u, l
4
2
u1 , l1
u2 , l2
O
4
D
5
X
   l1    l2    u1  u2     l1    l2  
15
5. Автомодельное решение.
Две волны разрежения, зона вакуума
t
B
3
2
A
1
C
l 0
2
4
u1 , l1
4
u2 , l2
O
D
5
X
u1  u2     l1    l2  
16
6. Анализ результатов. Сравнение с
классической мелкой водой.
B
h0
Hs
l h
 A  1
a h
2
2A
h B
 A  1
2A
2
 A  1 A  2 
6 A2
A

h B
2
2
 1
6 A2
h3 B 2  o  B 2  , B  0
h3 B 2  o  B 2  , B  0
 A  1 A  2  4 2
1 2  A  1 3
2
  h  h 
h B
h
B

o
B
,B 0


2
2
6A
24 A
1
2
 ( h)  2  h 
 A  1
6A
3
2
h B
 A  119 A  23
240 A2
5
2
 
h B2  o B2 , B  0
17
6. Анализ результатов. Сравнение с
классической мелкой водой.
• Уменьшилась область начальных условий, при которых
реализуется конфигурация «две волны разрежения, зона
вакуума».
• Начальные условия, при которых в случае классической
мелкой воды реализуется конфигурация «две волны
разрежения, зона вакуума» теперь реализуют конфигурацию
«две волны разрежения».


u1  u2  2 h1  h2

3


A  1  32

2

2
h

h

h

h

 1
1
2
2  B  o  B   u1  u2
6A 




18
6. Анализ результатов. Сравнение с
классической мелкой водой.
• Увеличилась область начальных условий, при которых
реализуется конфигурация «волна разрежения, ударная
волна».
• Начальные условия, при которых в случае классической
мелкой воды реализуются конфигурация «две волны
разрежения»
2


h1  h2 
 A  1 
3
3

2
2
 h1  h2  B  o  B   u1  u2  2
6A 


h1  h2

и конфигурация «две ударные волны»
 h1  h2 
 h1  h2 
2h1h2
 u1  u2   h1  h2 
 h1  h2  
2h1h2
1 


 A  1  h1
6A
теперь «волна разрежения, ударная волна»
h
1
3
 h2 3
2
 h2 2
 B  o B
 


 
19
7. Произвольная поверхность.
u
L
 L

L

u
0
 t
x
x

2
f

u

u
a
L

u

 s
 t
x L x
x
df s
dx

du

d



dt
,
ua

dx
dt

du  d   df s dt , dx  u  a

dx
dt
Z
g
h(x,t)
fs(x)
0
X
20
7. Простые волны Римана.
df s
dx

dr


dt
,
ua

dx
dt

ds   df s dt , dx  u  a

dx
dt
r  u  

s  u 
Простая волна – одно из уравнений выполняется
тождественно во всей области
Откуда следует линейность f s ( x)  kx  f s (0)
r  x  t  , t   kt  r  x  0  ,0 

 s  kt  s0


r  x  0  ,0   s0  2a
k
 x t     t 2 
 t  x  0
2
2

a  const
- Простая r-волна
21
8. Задача распада Разрыва
D
3
t
3
4
2
x1
x4
t
x3
x2
x2
2
x1
4
u, l
u, l
5
1
1
u1 , l1
u 2 , l2
u1 , l1
O
X
u 2 , l2
O
X
22
9. Заключение
• Учет сжимаемости в мелкой воде приводит
к улучшению предсказаний скорости
распространения газового потока с
примесью твердых частиц.
• Альтернатива многослойным моделям.
• Решение задачи распада разрыва
позволяет использовать численные методы
типа Годунова, без выделения разрывов.
23
Спасибо за внимание!
24
Газ с твердыми частицами
25
Газ с твердыми частицами
P  2000kg  m3 ,  g  0.4kg  m3 (500K ),  0,96
(Woods, 1995)
Rm  1    R
26
Газ с твердыми частицами
27
Атмосфера
28