учебные и проверочные задания по математическому анализу

УЛЬЯНОВСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
кафедра алгебро-геометрических вычислений
КРУГЛИКОВА О.П.
УЧЕБНЫЕ
ПО
И
ПРОВЕРОЧНЫЕ
ЗАДАНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
( Д Л Я СТ УД Е НТ ОВ 1 КУР С А Ф АК УЛ ЬТ ЕТ А Ф ИН АН С О В И УЧ ЕТ А)
У Л Ь Я Н О В С К
2008г.
Кругликова О.П. Учебные и проверочные задания по
математическому анализу. Часть I. Учебно-практическое пособие
для студентов I курса экономических специальностей.
Ульяновск.: УлГУ, кафедра алгебро-геометрических вычислений,
2008. 67 с.
Пособие написано в соответствии с программой по
математическому анализу и предназначено для организации учебной и
самостоятельной работы студентов I курса экономических
специальностей в I семестре.
Предлагаемое пособие содержит теоретические и контрольные
вопросы, задачи для практических занятий и для самостоятельной
домашней работы, варианты проверочных работ по каждой теме курса
с решениями.
СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1. Числовая последовательность и её предел ………….……..… 5 17
Теоретические вопросы ………………………………………………… 5
Контрольные вопросы …….…………………………….………………. 5  7
Задачи для практических занятий ……………………………………..… 8  10
Задачи для самостоятельной работы…………………………………… 11  12
Проверочная работа № 1  0 …………………………………………… 13
Решение проверочной работы № 1  0 ……………………….……… 14  17
Тема 2. Предел функции в точке ……………………..…….……..… 18 30
Теоретические вопросы ………………………………………………… 18
Контрольные вопросы …….…………………………….………………. 18  19
Задачи для практических занятий ……………………………………..… 20  22
Задачи для самостоятельной работы…………………………………… 22  23
Проверочная работа № 2 0 …………………………………………… 24
Решение проверочной работы № 2  0 ……………………..………... 25  30
Тема 3. Непрерывные функции. Точки разрыва функции .……..… 31 41
Теоретические вопросы ………………………………………………… 31
Контрольные вопросы …….…………………………….………………. 31  34
Задачи для практических занятий ……………………………………..… 35  36
Задачи для самостоятельной работы…………………………………
36  37
Проверочная работа № 3  0 …………………………………………… 38
Решение проверочной работы № 3  0 ……………………..………... 39  41
Тема 4. Производная и дифференциал…….……………..…….….……. 4257
Теоретические вопросы ………………………………………………… 42
Контрольные вопросы …….…………………………….………………. 42
Задачи для практических занятий ……………………………………..… 43  44
Задачи для самостоятельной работы…………………………………
44  46
Проверочная работа № 4  0 …………………………………………… 47
Решение проверочной работы № 4  0 ……………………..………... 48  51
Тема 5. Применение производной
…….……………..…….….……. 5256
Теоретические вопросы ………………………………………………… 52
Задачи для практических занятий ……………………………………..… 52  53
Задачи для самостоятельной работы…………………………………
53  54
Проверочная работа № 5  0 …………………………………………… 54
Решение проверочной работы № 5  0 ……………………..………... 55  56
Тема 6. Исследование функций и построение графиков
.….……. 57  67
Теоретические вопросы ………………………………………………… 57
Общая схема исследования функции ……………………..………...
57  58
Контрольные вопросы …….…………………………….………………. 58
Задачи для практических занятий ……………………………………..… 58  59
Задачи для самостоятельной работы…………………………………… 59
Проверочная работа № 6  0 …………………………………………… 60
Решение проверочной работы № 6  0 ……………………..………... 61  67
Тема 1
Числовая последовательность и её предел
Теоретические вопросы
1. Числовая последовательность и её предел. Единственность предела.
2. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
3. Арифметические операции над сходящимися
последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и
частного двух последовательностей.
4. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с
неравенствами: теорема о трёх последовательностях. Предельный
переход в неравенствах
5. Бесконечно малые последовательности. Необходимое и достаточное
условие существования предела последовательности. Свойства
бесконечно малых последовательностей.
6. Бесконечно
большие
последовательности.
Неограниченные
последовательности. Теорема о связи
бесконечно
малых
и
бесконечно больших последовательностей.
7. Предел монотонной ограниченной последовательности.
8. Число «е».
9. Подпоследовательность. Верхний и нижний пределы
последовательности.
Контрольные вопросы
1. Используя логическую символику, записать следующие
высказывания, а также их отрицания:
1) число а есть предел последовательности (хn);
2) последовательность (хn) бесконечно большая;
3) последовательность (хn) ограниченная.
2. Привести пример последовательности:
а) ограниченной сверху,
б) ограниченной снизу,
в) ограниченной,
г) неограниченной.
3. Может ли быть ограниченной последовательностью:
1) сумма двух неограниченных последовательностей;
2) произведение двух неограниченных последовательностей;
3) произведение ограниченной и неограниченной
последовательностей;
4)частное двух неограниченных последовательностей?
4. Может ли быть неограниченной последовательностью:
1) произведение ограниченной и неограниченной
последовательностей;
2) частное двух ограниченных последовательностей?
5. Может ли быть монотонной последовательностью:
1) сумма двух немонотонных последовательностей;
2) произведение двух немонотонных последовательностей?
6. Докажите, что произведение двух убывающих
последовательностей с положительными членами является
убывающей последовательностью.
7. Может ли быть сходящейся последовательностью:
1) сумма (разность) двух сходящихся последовательностей?
2) произведение двух расходящихся последовательностей?
8. Пусть последовательность (хn) сходится, а последовательность (уn)
расходится. Что можно утверждать о сходимости
последовательности:
1) (хn + уn);
2) (хn· уn).
9. Пусть последовательности (хn) и (уn) расходятся. Что можно
утверждать о сходимости последовательности:
1) (хn + уn);
2) (хn· уn).
10. Пусть (уn) – произвольная последовательность, а lim хn = 0.
n
Можно ли утверждать, что lim хn  yn = 0.
n
Укажите какое-либо условие на последовательность (уn),
чтобы утверждение стало верным.
11. Пусть lim хn  yn = 0. Верно ли, что
n
или lim хn = 0,
или lim yn = 0.
n
n
12. Доказать, что если существует lim хn , то существует и
n
x  x  ...  xn 1  xn
, равный lim хn .
lim 1 2
n
n
n
Приведите пример, показывающий, что обратное утверждение
неверно.
13. Какие из следующих утверждений верны:
1) сумма ограниченной последовательности и сходящейся
последовательности является ограниченной
последовательностью;
2) произведение двух бесконечно больших
последовательностей является бесконечно большой
последовательностью;
3) отношение двух бесконечно малых последовательностей
может быть бесконечно большой последовательностью;
4) сумма сходящейся последовательности и расходящейся
последовательности может быть сходящейся
последовательностью;
5) произведение ограниченной последовательности и
неограниченной последовательности является
неограниченной последовательностью;
6) отношение ограниченной последовательности и бесконечно
малой последовательности является бесконечно большой
последовательностью;
7) сумма двух расходящихся последовательностей является
расходящейся последовательностью;
8) произведение бесконечно малой последовательности и
ограниченной последовательности является ограниченной
последовательностью;
9) отношение двух бесконечно больших последовательностей
может быть ограниченной последовательностью;
10)сумма ограниченной последовательности и неограниченной
последовательности может быть сходящейся
последовательностью;
11)произведение бесконечно большой последовательности и
ограниченной последовательности является бесконечно
большой последовательностью;
12)отношение двух ограниченных последовательностей может
быть неограниченной последовательностью;
13)отношение бесконечно малой последовательности и
ограниченной последовательности является бесконечно малой
последовательностью;
14)произведение бесконечно большой последовательности и
ограниченной последовательности является неограниченной
последовательностью;
15)отношение ограниченной последовательности и бесконечно
большой последовательности является бесконечно малой
последовательностью.
Задачи для практических занятий
1. Последовательность задана формулой общего члена. Записать
пять первых членов последовательности:
n  (1) n
а) xn  (1) n  1 ;
б) xn  (1) n  n ;
в) xn 
.
n
n
n 1
Изобразить каждую последовательность на координатной оси.
2. Последовательность задана формулой общего члена.
Определить:
1) какие из последовательностей ограничены сверху,
ограничены снизу, ограничены;
2) какие из указанных последовательностей являются
возрастающими, убывающими;
3) какие из последовательностей являются сходящимися,
если
2
а) xn  2n 1 ;
б) xn  2n  1 .
n2  3
n2  3
3. Пользуясь определением предела последовательности,
доказать, что lim хn = а, если
n
2
а) xn  2n 1 , а = 2; б) xn  2n  1 , а = 0.
n2  3
n2  3
Указать номер n .
Практическое
вычисление пределов
на применении теоремы об арифметических
сходящимися последовательностями.
основывается
операциях над
При вычислении пределов вида
х
lim n , где хn   ,уn 
n   yn
непосредственному применению теорем предшествует
тождественное преобразование выражений под знаком предела.
Одним из таких преобразований является деление числителя и
знаменателя дроби на одно и то же выражение.
4. Найти
предел последовательности:
2
3n  5 ;
а) lim 2n  3n  4 ;
б) lim
n 3n 2  2n  4
n 3n 2  4n  1
2
(n  2)(3n  1)(5n  4)
в) lim 3n  5n  1 ;
г) lim
;
n 2n3  3n 2
2
n   (7n  n  1)  n
3n 1
д) lim
; е) lim (n  1)!(n  2)!
n (n  2)!(n  1)!
n   16n 2  2n  5
При вычислении пределов, содержащих иррациональность,
переводят иррациональность из числителя в знаменатель или
наоборот.
5. Найти
предел последовательности:
1
а) lim ( n 2 16  n) ;
б) lim
n 2
n
n n n
При вычислении пределов последовательностей,
члены, которых являются результатом суммирования,
используют формулы суммы арифметической и геометрической
прогрессий.
6. Найти
предел последовательности:
1  1  ...  1n

53
2 n  7 n 
 9
2
2
 ...
а) lim
;
б) lim  
;
n
n 14 196
n 1
1

14
1   ...  n


3
3
в) lim 1  2  ...  n .
n
n2
Если последовательность задана рекуррентной формулой и
известно, что её предел существует, то для его вычисления
используют равенство:
lim x = lim x
.
n n n n  1
7. Последовательность задана рекуррентно:
x  2, x
 2  xn , n  N, n 1.
1
n 1
Найти предел последовательности, если известно, что он
существует.
При доказательстве существования пределов
последовательностей применяют:
 теорему о «зажатой» последовательности;
 теорему о пределе монотонной ограниченной
последовательности.
n
 n 


8. Доказать, что lim 
 0.

2
n

1

n  
9. Доказать, что последовательность
1
1
1
xn  1 

 ... 
1 2  3 ...  n
1 2 1 2  3
имеет предел.
Задачи для самостоятельной работы
1. Изобразить последовательности на координатной оси.
Установить, какие из них имеют предел (сходятся), а какие
имеют (расходятся).
а) xn  1 ,
yn  (1) n  1 ;
n2
n2
б) xn  n ,
yn  (1) n  n ;
в) xn  n  1 , yn  (1) n  n  1 .
n
n
2. Определить:
1) какие из последовательностей ограничены сверху,
ограничены снизу, ограничены;
2) какие из указанных последовательностей являются
возрастающими, убывающими;
3) какие из последовательностей являются сходящимися,
если
2
а) xn  2n  3 ;
б) xn  n .
4  3n
n2  3
3. Пользуясь определением предела последовательности,
доказать, что lim хn = а, если
n
2
2
n

3
2
n
а) xn 
, а =  ; б) xn 
, а = 1.
4  3n
3
n2  3
Указать номер n .
4. Найти
предел последовательности:
3  3n 2
3 100n 2 1
1000
n
n
а) lim
;
б) lim
;
n 0,001n 4  100n3  1
n 100n 2  5n
3
(n  1) 4  (n 1) 4
в) lim 1  2n  n ;
г) lim
;
n (n  1) 4  (n 1) 4
n (3n  1)3
(2n  1) 4  (n 1) 4
(n  1)3  (n 1)3
д) lim
; е) lim
;
n (2n  1) 4  (n 1) 4
n (n  1) 2  (n 1) 2
не
3 3
n  2n 1
ж) lim
;
n

2
n
3
4 5
n  2  n2 1
з) lim
;
5
4
3
n   n  2  n 1
1
2 n 1
к) lim
;
1
n n
2 1
2n 1
и) lim
;
n
n   2 1
3n  1  2 n
л) lim
;
n
n
n 3 2
5. Найти
м) lim
n
(n 1)!(n  2)!
(n  3)!
предел последовательности:
а) lim ( n  2  n ) ;
n
б) lim n( n 2 1  n)
n
6. Найти
предел последовательности:
1  1 ...  1
2 4
2n ;
а) lim
б) lim 1  2  3  4  ...  2n ;
n 1 1
n
2 1
 ...  1n
n
n
5 25
5
7. Доказать, что последовательность, заданная рекуррентным
соотношением, x  0 , x
 2 xn  4 не имеет предела.
1
n 1
n  0.
n 2n
8. Доказать, что lim
9. Найти
предел последовательности:
1
1
а) lim

 ...  1 ;
n 1 2 2  3
n(n 1)
1
1

 ...  1 ;
в) lim
n 2
(2n) 2
n
(n  1) 2
2 2 2
2
б) lim 1  2  3  ...  n ;
n
n3
1
1
г) lim

 ...  1 .
n n
2n
n 1
Проверочная работа №1– 0
(с решением)
1. Пользуясь определением предела последовательности,
доказать, что lim хn = а, если
n
2 1
3
n

5
3
3
n
а) хn =
, а= ;
б) хn =
, а =3 .
2n  1
2
4
4n 2  5
Указать номер n .
2. Доказать, что последовательность хn ограничена:
2 4
(1) n n  10
n
а) хn =
,
б) хn =
.
2
n2  9
n 1
3. Доказать, что
а) последовательность хn = n возрастающая;
n 1
n
5
б) последовательность хn =
убывающая.
n!
4. Найти предел числовой последовательности.
2
а) lim 5n  3n  2 ;
n   2n 2  n  1
2n  7
в) lim
;
n   9n 2  6n  5
n!
д) lim
.
n (n  1)!n!
3n  2 ;
б) lim
n 5n 2  4n 1
г) lim ( n 2  2n  n) ;
n
Решение проверочной работы №1– 0.
1.а) Найдём
7
7
| хn – 3 | = | 3n  5 – 3 | = | 6n  10  6n  3 | = |
|=
.
2n  1 2
2(2n  1)
2(2n  1) 2(2n  1)
2
Определим, при каком значении n выполняется неравенство
7
< .
2(2n  1)
Так как 2( 2n + 1)  7 , то 4n + 2 > 7 или 4n > 7 – 2,



откуда n > 7  2 . Поэтому за n возьмём целую часть числа 7  2 .
4
4
Таким образом, для любого   0 найдено такое
число n = [ 7  2 ],
что
при
всех
n > n выполняется
4
неравенство | хn – 3 | < , откуда по определению следует, что
2
lim 3n  5 = 3 .
n 2n  1 2
1.б) Задав произвольное положительное , решим неравенство
| хn – 3 | < ,
4
т.е.
2
19
| 3n 1 – 3 | = | 19 | =
< ,
2
2
4
2
4(4n  5)
4(4n  5)
4n  5
откуда находим
4(4n2 + 5) > 19 ,

n > 1 19  20 .

4
Полагая n = [ 1 19  20 ], получаем, что при n > n выполняется

4
неравенство | хn– 3 | < , т.е. число 3 по определению является
4
4
пределом данной последовательности.
или
Ответ.
1.а) n = [ 7  2 ];
4
1.б) n = [ 1 19  20 ].

4
2. а) Так как
2
0 < n  4 <1, то по определению
n2  9
2
последовательность хn = n  4 ограничена.
n2  9
2. б) Так как
(1) n  n  10  (1) n  n  10  n  10
0 < n2 + 4 < n2 + 9,
и
(1) n n  10 n  10
| хn | = |
|
 1 + 10  1,
n
n
n2 1
(1) n n  10
то последовательность хn =
является ограниченной по
2
n 1
определению.
3. а) Запишем хn+1 = n  1 и рассмотрим разность хn+1  хn.
n2
1
хn+1  хn = n  1  n =
 0, значит хn+1 > хn.
n  2 n  1 (n  1)(n  2)
По определению последовательность хn = n возрастающая.
n 1
x
3. б) Запишем хn+1 = n  1 и найдём отношение n  1 .
xn
n2
Имеем
xn  1
5n  1 5n
5
:

=
.
xn
n!(n  1) n n  1
Так как хn > 0, то при n  5
xn  1 5
= < 1, т.е.
xn 6
n
хn+1 < хn , значит последовательность хn = 5 при
n!
n  5 является убывающей по определению.
2
4. а) Преобразуем выражение 5n  3n  2 , поделив почленно
2n 2  n  1
числитель и знаменатель на n2:
Так как
3 2
5 
n n2
5n 2  3n  2 
.
2
1
1
2n  n  1 2  
n n2

3 2 
3
2
lim  5    = lim 5  lim  lim
 500  5
n n
2
2
 n
n
n
nn
n 

и

1
lim  2  
n n

1 
1
1
=
lim
2

lim

lim
 200  2  0,

n n   n n   2
2
n
n 
то


3 2
5  3  2 
lim
5 


2  3n  2
n n 2 n   n n 2  5
5
n
lim
 lim

 .
2
1
1


1 1  2
n   2n  n  1 n   2  
lim  2  
2

n n
n   n n 2 
4. б) Разделив числитель и знаменатель на n2 , применяя
теорему о пределе частного и теорему о пределе суммы (разности),
получим
3 2
lim ( 3  2 )
n n n 2
n n2
3n  2
= lim
=
= 0  0 = 0.
lim
n 5n 2  4n 1 n
5 4  1
lim (5  4  1 ) 5  0  0
n
n n2
n n2
4. в) Разделим числитель и знаменатель на n, внесем в
знаменателе 1 под знак квадратного корня и преобразуем
n
подкоренное выражение:
1
7
(2n  7)
2
2n  7
n
n


.
1
2
2
6
5
9n  6n  5
9n  6n  5
9 

n
n n2
Перейдя к пределу, получим
2n  7
=
lim
2
n   9n  6n  5
7
7
lim 2 
2
20
2
n
n n
lim


 .
6 5
900 3
n  9 6  5
lim 9  
n n2 n  
n n2
( n 2  2n  n)( n 2  2n  n)
2
4. г) lim ( n  2n  n) = lim
=
2
n
n
n  2n  n
2
2
2
2n
= lim n  2n  n = lim
= lim
=1.
2
2
2
n   n  2n  n n   n  2n  n n   1   1
n
n!
4. д) Упростим выражение
.
(n  1)!n!
Так как
n! = 1· 2 ·3 ·…· n,
(n + 1)! = 1· 2· 3· …· (n + 1),
очевидно, что
(n + 1)! = n! · (n + 1)
n!
n!
n!
и
=
=
= 1.
(n  1)!n! n!(n  1)  n!
n!(n  1  1) n
n!
Следовательно, lim
= lim 1  0 .
n (n  1)!n! n n
Ответ.
4. а) 5 ;
2
4. б) 0;
4. в) 2 ;
3
4. г) 1;
4. д) 0.
Тема 2
Предел функции в точке
Теоретические вопросы
1. Предел функции в точке. Единственность предела.
2. Бесконечно малые функции и их свойства. Необходимое и
достаточное условие существования предела функции в точке.
3. Сравнение бесконечно малых функций. Таблица
эквивалентности.
4. Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно
малых и бесконечно больших функций.
5. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел в
точке.
6. Теоремы о пределах функций, связанные с арифметическими
действиями.
7. Теоремы о пределах функций, связанные с неравенствами.
8. Первый замечательный предел. Следствия.
9. Второй замечательный предел. Следствия.
Контрольные вопросы
1. Может ли функция не иметь предела в точке?
2. Может ли функция иметь различные левосторонние и
правосторонние пределы в данной точке?
3. Может ли функция не иметь односторонних пределов в
данной точке?
4. Является ли бесконечно малая функция ограниченной?
5. Является ли произведение двух бесконечно малых функций
бесконечно малой функцией?
6. Является ли произведение двух бесконечно больших
функций бесконечно большой функцией?
7. Является ли сумма двух бесконечно больших функций
бесконечно большой функцией?
8. Является ли сумма бесконечно малой и ограниченной
функций бесконечно малой функцией?
9. Является ли сумма бесконечно большой и ограниченной
функций бесконечно большой функцией?
10. Является ли частное бесконечно малых функций бесконечно
малой функцией?
11. Является ли частное бесконечно больших функций
бесконечно большой функцией?
12. Является ли существование предела функции в точке
необходимым условием ограниченности функции в
некоторой окрестности этой точки?
13. Является ли существование предела функции в точке
достаточным условием ограниченности функции в некоторой
окрестности этой точки?
14. Является ли ограниченность функции в окрестности точки
необходимым условием существования предела функции в
этой точке?
15. Является ли ограниченность функции в окрестности точки
достаточным условием существования предела функции в
этой точке? lim f ( х)  e
x
16. Используя логическую символику, записать следующее
утверждение lim f ( х)  0 . Схематически изобразить график
x0
функции, удовлетворяющей этому условию.
17. Используя логическую символику, записать следующее
утверждение lim f ( х)  0 . Схематически изобразить график
x
функции, удовлетворяющей этому условию.
18. Используя логическую символику, записать следующее
утверждение lim f ( х)   . Схематически изобразить
x10
график функции, удовлетворяющей этому условию.
19. Используя логическую символику, записать следующее
утверждение lim f ( х)  e . Схематически изобразить
x
график функции, удовлетворяющей этому условию.
20. Используя логическую символику, записать следующее
утверждение lim f ( х)   . Схематически изобразить
x0
график функции, удовлетворяющей этому условию.
21. Используя определение предела функции доказать, что
lim f ( х) не существует, если:
xa
1
а) f ( х)  cos x , а = ;
б) f ( х)  sin , а = 0;
x
в) f ( х)  x  [ x] , а = .
Задачи для практических занятий
1. Используя ( - ) определение предела функции в точке,
доказать, что
1
а) lim ( x  5)  3 ;
б) lim (3х 2  2)  10 .
х2
x4 2
Указать  ().
2. Найти предел функции :
x2  5
а) lim ( x 2  7 x  9) ; б) lim
; в) lim ( x3  5x 2  2 x  3) .
x
х2 x 2  3
x2
0
Неопределённость вида .
0
0
Чтобы раскрыть неопределённость вида , заданную отношением
0
двух многочленов, необходимо выделить в числителе и знаменателе
множитель, равный нулю при предельном значении х и сократить на
этот множитель, а затем перейти к пределу.
0
3. Найти предел функции (неопределённость ):
0
x2  x  2
x 3  3x  2
а) lim
;
б) lim
;
x1 x 2  2 x  1
x1 x3  x 2  x 1
x2  6x  5
в) lim
;
x1 x 2  3x  2
x3  8
г) lim
;
х2 x  2
x
д) lim
;
x0 2  4  x
x 2 1
ж) lim
;
х13 x  1
( x  3)( x 2  2 x  3)
е) lim
;
x3
x2  x  6
з)
5 x 2
.
lim
х1 2  x 1
Неопределённость вида

.


, заданную отношением

двух многочленов, необходимо разделить числитель и знаменатель
почленно на х n, где n – степень многочлена в знаменателе.
Чтобы раскрыть неопределённость вида
4. Найти предел функции (неопределённость
x2  x  2
а) lim
;
x 2
x  2x 1
x 4  5x
в) lim
;
x 2
x  3x  1
д) lim
x
x 3  3x  2
б) lim
;
x 3 2
x  x  x 1
x3  8
г) lim
;
х 2
2x 1
3 2
4 3
x

x

1

x 1 .
lim
е)
x
x2  x  2
x
;
2
x 3
.

):

Неопределённость вида  – 
С помощью различных преобразований (приведение к общему
знаменателю, умножение на «сопряжённое» выражение)
неопределённость вида ( – ) приводят к неопределённостям

0
вида
или
.

0
5. Найти предел функции:


3
 x

а) lim 
 x ;
x 2

 x 1


1 
в) lim  ctgx 
;
х0
sin x 
б)
lim ( x  2  x 1) ;
x
г) lim x 2  2x 1  x 2  7 x  3 .
x
6. Найти предел функции, используя первый замечательный
предел или следствия:
sin 3x
8x 2
а) lim
;
б) lim
;
х0 arcsin 5x
х0 sin 2 3x
3 5 x 2
cos x  sin x
в) lim
;
х   4 x
4
г) lim
х3 sin x
.
7. Найти предел функции, используя второй замечательный
предел или следствия:
2
x2
4
x

2
 2x  6 

2

1  2 x 
lim
а) lim 
;
б)
.
x 2 x  1 
x0

8. Найти предел функции, используя принцип замены
эквивалентных
бесконечно малых функций:
ln(1  sin 2 x)
а) lim
;
х0 1  cos 3x
ln cos x 2
в) lim
х0 x 2  tg 2 x
8x  7 x
б) lim x x ;
х0 7  5
3
1  2 x 2 1
г) lim
х0 x  sin 5x
Задачи для самостоятельной работы
1. Используя ( - ) определение предела функции в точке,
доказать, что
а) lim (3x  2)  2 ; б) lim х 2  9 ;
в) lim 1  1 .
x5 х 5
х3
x 0
Указать  ().
2. Найти предел функции:
arcsin(cos x)
а) lim
;
х0 arccos(sin x)
в) lim
x
5 x 4 x 3 x
3 2x 1
;
x2  4
д) lim
;
х2 x3  2 x 2  x  2
( x  3) 40  (3x  1)10
б) lim
;
x
2
25
(2 x 1)
2 x 1 1
lim
г)
;
х 5  2 x 1
е)
lim
x1
x2  x  2
;
2
( x  1)( x  11x  10)
x m 1
з) lim
;
х1 x 1
4  3x  2
x
ж) lim
;
x1 x5  4x  3
x  sin 3x
и) lim
;
х01  cos 4 x
x  sin 3 x
л) lim
;
х cos 2 x
2
н)
 x4 

lim 
x x 10 
x 3
к) lim
х0
;
1  cos x
;
2
x
1
м) lim x 2  arcsin
;
х
2
x
7
 1  5x  x

о) lim 
x0 1  x 
3. Найти предел функции, заменяя бесконечно малые
эквивалентными:
ln 2 (1  7 x)
а) lim
;
х0 sin 4 x 2
в) lim
х0
ln(1  3x)
;
x
e x 1
б) lim
;
х0 arctgx
35x 1
г) lim
;
х0 arcsin 3x
sin 3 x  ln(1  3x)
д) lim
3x
х0
2
5

(arctg x )  (e
1)
1  x  x 2 1
(sin x  tgx) 2  (1  cos 2 x) 4  x5
е) lim
;
ж) lim
.
7
6
5
х0
х

0
sin 4 x
7tg x  sin x  2 arcsin x
Проверочная работа № 2 – 0
(с решением)
1. Используя ( - ) определение
предела функции в точке,
доказать, что
а) lim (2 x 1)  3 ;
x2
б)
lim х 2  4 ;
х2
в)
lim 2х 1   1 .
2
x1 х  3
Указать  ().
2. Найти предел функции:
3
2
а) lim x  2 x  x  2 ;
x1 x 2  3x  2
г)
lim ( х  а  х ) ;
x
ж) lim 1  cos 5x ;
x  0 x  arcsin 7 x
2
б) lim x  4  2 ;
в) lim 2 х  х ;
x х 2  10
x
x0


д) lim  1  12  ; е) lim х  сtg 2 x
x0
x2 x  2 x3  8 
7
6 x3


з) lim 1  5x3 
.
x0

3. Найти предел функции, заменяя бесконечно
эквивалентными:
(5 (1  x)3 1)( x  10)
а) lim
;
x0 3
2
( (1  x) 1)( x  9)
б) lim
х0
малые
1  x sin x 1
.
2
x
Решение проверочной работы № 2– 0.
1.а) f (x) = 2x – 1, b = 3. Нам надо доказать, что для всякого сколь
угодно малого положительного числа  существует такое число ,
зависящее от ,  > 0, что из неравенства 0 < | x – 2 | <  следует
неравенство | f (x) – 3 | < .
Зададим  > 0 и составим выражение
| f (x) – 3 | = | (2x – 1) – 3 | = 2 | x – 2 |.
Если взять    , то для всех значений х, удовлетворяющих
2
неравенству 0 < | x – 2 | < ,
| f (x) – 3 | = 2 | x – 2 |< 2   2 ·
Следовательно,

2
= .
по определению
lim (2 x 1)  3 .
x2
1.б) Пусть  - любое положительное число. Требуется доказать, что
можно подобрать такое число, зависящее от ,  > 0, что для всех х,
удовлетворяющих неравенству
0 < | x – 2 | < , будет выполняться
неравенство
| x2 – 4 | < .
Если | x – 2 | < , то
|x+2|=|x–2+4||x–2|+4<+4
и
| x2 – 4 | = | x – 2 | | x + 2 |<  ( + 4).
Для выполнения неравенства | x2 – 4 | < 
достаточно
потребовать, чтобы
 ( + 4) =  или
 2+ 4  –  = 0,
откуда
 = – 2 + 4
( второй корень квадратного уравнения не удовлетворяет условию, так
как  должно быть положительным).
Таким образом, для любого  > 0 найдено такое  > 0, что из
неравенства
0 < | x – 2 | <  следует неравенство | x2 – 4 | < ,
т.е. по определению lim х 2  4.
х2
В т о р о й с п о с о б.
Возьмём любое  > 0 и посмотрим, для какой окрестности точки х
= 2 значения х будут удовлетворять неравенству
| x2
–4|<
или
| x2 – 4 | = | x – 2 | | x + 2 | <.
Не теряя общности можно считать, что  будет выбрано не
больше 1 (уменьшить найденное , в случае необходимости, всегда
можно). Тогда значения х, удовлетворяющие неравенству | x – 2 | < 1,
будут удовлетворять неравенству
1 < x < 3. Поэтому | x + 2 | < 5.
Найдём, при каких х выполняется неравенство
| x2 – 4 | = | x – 2 | | x + 2 |< 
или
| x – 2 | · 5 < .
Откуда, получим | x – 2 | <  .
5
Таким образом, в качестве , можно взять меньшее из чисел 1 и  .
5
1.в) Пусть  - произвольное положительное число. Требуется
доказать, что существует такое число  > 0, что при всех значениях х,
удовлетворяющих неравенству 0 < | x + 1 | < , будет выполняться
неравенство
2 x  1    1   4 x  2  3  x  5x  5  5 x  1  
x  3  2 
2(3  x)
2(3  x) 2 x  3
или
x 1  2  .
x3 5
Не теряя общности можно считать, что  < 1.
Поэтому при | x + 1 | < 1 имеем
| x + 3 | = | x + 1 + 2 | > 2 – | x + 1| > 2 – 1 = 1.
Тогда
x 1  x 1 .
x3
2
Чтобы выполнялось неравенство x  1   достаточно, чтобы
x3 5
2
x 1   .
5
Таким образом, в качестве  можно взять меньшее из чисел 1 и
2
.
5
Итак, для любого  > 0 найдено такое  > 0, что из неравенства


0 < | x + 1 | <  следует неравенство 2 x  1    1    .
x 3  2
Таким образом, доказано, что lim 2х 1   1 .
2
x1 х  3
Ответ. 1 а)    ; 1 б)  = – 2 + 4   или  = min 1,  ; 1
5
2
2
в)  = min 1, .
5
2. а) Так как lim ( x 2  3x  2)  0, lim ( x3  2 x 2  x  2)  0 , то имеем
x1
x1
неопределённость вида 0 . Чтобы раскрыть эту неопределённость,
0
разложим числитель и знаменатель дроби на множители:
х 3 + 2 х2 – х – 2 = (х – 1) (х2 + 3 х + 2),
х 2– 3 х + 2 = (х – 1) (х – 2).
3  2x 2  x  2
( x 1)  ( x 2  3x  2)
x 2  3x  2 6
x
lim
 lim
 lim
  6
x1 x 2  3x  2
1
x  1 ( x 1)  ( x  2)
x 1 x  2
2. б) Имеем неопределённость вида 0 . Чтобы раскрыть эту
0
неопределённость, умножим числитель и знаменатель дроби на
выражение х  4  2  0 (сопряжённое числителю).
( х  4  2)  ( х  4  2)
lim x  4  4
=
lim x  4  2 = lim
x
x0 x( x  4  2)
x0
x0
х( х  4  2)
1
= lim
= 1.
4
x0 x  4  2
2. в) Имеем неопределённость вида  . Делим числитель и

2
знаменатель почленно на х . Тогда
1
2
x  2,
lim 2 х  х = lim
x х 2  10 x 10
1
x2
и
lim 10  0 .
x х 2
2
так как lim 1  0
x х
2. г) Имеем неопределённость вида  – . Умножим и разделим
выражение, стоящее под знаком предела на ( х  а  х) :
( х  а  х)( х  а  х)
=
lim ( х  а  х ) = lim
x
x
ха  х
х  а  х = a  lim
1
 a 0  0 .
lim
x х  а  х
x х  а  х
2. д) Имеем неопределённость вида  – . Приведем дроби,
стоящие под знаком предела, к общему знаменателю, получим новую
дробь, числитель и знаменатель которой стремятся к нулю при х  –
2.
 1

x 2  2 x  4 12
x 2  2x  8
12


lim

 lim
 lim

x2 x  2 x3  8  x  2 ( x  2)  ( x 2  2 x  4) x  2 ( x  2)  ( x 2  2 x  4)
( x  2)  ( x  4)
x4
24
1
 lim


2
x  2 ( x  2)  ( x 2  2 x  4) x  2 x 2  2 x  4 (2) 2  2  (2)  4
= lim
2. е) Имеем неопределённость вида 0· . Запишем функцию,
стоящую под знаком предела, в другом виде и перейдём к пределу:
lim х  сtg 2 x
=
=
=
lim x  lim cos 2 x
lim x cos 2 x
x0
x0 sin 2 x x0
x0 sin 2 x
1 lim 2x  lim cos 2x = 1 ·1·1 = 1 .
2
2
2 x0 sin 2x x0
2. ж) Воспользуемся формулой двойного угла для функции
y  cos 5 x , получим
2 5x
25x  sin 2 5x
2
sin
2  lim
4
2 .
lim 1  cos 5x  lim
2
x

arcsin
7
x
x0
x  0 x  arcsin 7 x x  0 25x  arcsin 7 x
4
В последнем действии умножили числитель и знаменатель на 25x .
4
Воспользовавшись первым замечательным пределом и
следствием из него, имеем



sin 5x  замена
2  переменной   lim sin t  1 и
lim

 t 0 t
x  0 5x
2
t  5 x

2


 замена

7x
t

lim
 переменной   lim
 1,
 t  0 arcsin t
x  0 arcsin 7 x t  7 x

продолжим решение исходной задачи:


25x  sin 2 5x
5x sin 5x
 sin
 25
7
x
2

25
4
2  lim 
2 
2 

lim

.
5
x
 5x
 14
2
arcsin
7
x
4

7
x  0 25x  arcsin 7 x x  0

2
 2

4
з) Воспользовавшись вторым замечательным пределом
1
x
t

1
lim 1    lim 1  t   e ,
t 0
x   x 
получим
7
1  5x3  7
6 x3
5x3 1 6 x3




lim 1  5x3 
 lim 1  5x3 





x0
x0
5x3 7



1
1


6 x3




5x3 

 замена



3





 lim  1  5x 
 переменной  


x  0 



3


t  5 x







 lim  1  t
t  0



1 
t
35
6




e
35
6
2. б) 1 ;
4
Ответ. 2. а)  6 ;
2. е) 1 ;
2
.
2. ж) 25 ;
14
3. а) Так как (1  t )


2. в) 2;
2. г) 0;
2. д)  1 ;
2
2. з) e
35
6
.
~ 1  t при t  0 . Это означает, что
(1  t )
lim
 1 и одну функцию в пределе можно заменить
1


t
x0
другой, эквивалентной.
3
5
3
Поскольку 5 (1  x)3  (1  x) ~ 1  x при x  0 и
5
2
3 (1  x) 2  (1  x) 3 ~ 1  2 x при x  0 , то
3
(1  3 x 1)( x  10)
(5 (1  x)3 1)( x  10)
5
lim
 lim

2
x0 3
2
( (1  x) 1)( x  9) x  0 (1  3 x 1)( x  9)
3 ( x  10) 3 10
lim 5
5
 1.
2
2
9
x  0 ( x  9)
3
3

3. б) Так как (1  t ) ~ 1  t при t  0 , sin x ~ x при x  0 ,
x  sin x ~ x 2 при x  0 , то
1
2
1  x  sin x  (1  x  sin x) ~ 1  1 x  sin x ~ 1  1 x 2 при x  0 .
2
2
1  1 x 2 1
1  x sin x 1
2
lim
 lim
 1.
2
2
2
х0
x0
x
x
Ответ.
3. а) 1;
3. б) 1 .
2
Тема 3
Непрерывные функции. Точки разрыва функции.
Теоретические вопросы
1. Определение непрерывной функции в точке.
2. Односторонние пределы. Точки разрыва функции и их
классификация.
3. Операции над непрерывными функциями: непрерывность суммы
конечного числа функций; непрерывность произведения
конечного числа функций; непрерывность частного двух
функций.
4. Непрерывность основных элементарных функций: непрерывность
линейной функции; непрерывность тригонометрических функций;
непрерывность показательной функции; непрерывность
логарифмической функции; непрерывность обратных
тригонометрических функций.
5. Теорема о сохранении знака непрерывной функции.
6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Контрольные вопросы
1. Какие из следующих утверждений верны:
1) сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв
первого рода, имеет в точке х = а разрыв первого рода;
2) произведение функции, имеющей в точке х = а разрыв
второго рода, и функции, непрерывной в точке х = а,
имеет в точке х = а разрыв второго рода;
3) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв второго
рода, и функции, непрерывной в точке х = а, может
иметь в точке х = а разрыв первого рода;
4) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв второго рода,
и функции, непрерывной в точке х = а , имеет в точке х = а
разрыв второго рода;
5) произведение двух функций, имеющих в точке х = а разрыв
второго рода, может иметь в точке х = а устранимый
разрыв;
6) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв первого
рода, и функции, имеющей в точке х = а разрыв второго
рода, может иметь в точке х = а разрыв первого рода;
7) сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв
второго рода, может иметь в точке х = а разрыв
первого рода;
8) произведение функции, имеющей в точке х = а разрыв
первого рода, и функции, непрерывной в точке х = а,
имеет в точке х = а разрыв первого рода;
9) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв первого
рода, и функции, имеющей в точке х = а разрыв второго
рода, может иметь в точке х = а разрыв второго рода;
10) произведение функции, имеющей в точке х = а разрыв
первого рода, и функции, имеющей в точке х = а разрыв
второго рода, имеет в точке х = а разрыв второго рода;
11) сумма функции, имеющей в точке х = а устранимый
разрыв, и функции, непрерывной в точке х = а, может
быть функцией, непрерывной в точке х = а;
12) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв первого
рода, и функции, непрерывной в точке х = а , имеет в
точке х = а разрыв первого рода;
13) произведение двух функций, имеющих в точке х = а
разрыв первого рода, может иметь в точке х = а
разрыв второго рода;
14) сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв второго
рода, имеет в точке х = а разрыв второго рода;
15) сумма функции, имеющей в точке х = а разрыв первого
рода, и функции, непрерывной в точке х = а , может быть
функцией, непрерывной в точке х = а;
16) произведение двух функций, имеющих в точке х = а разрыв
второго рода, имеет в точке х = а разрыв второго рода;
17) сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв
первого рода, может быть непрерывной в точке х = а ;
18) сумма двух функций, имеющих в точке х = а разрыв
первого рода, может иметь в точке х = а разрыв второго
рода.
2. Какие из следующих утверждений верны:
1) множество значений функции, непрерывной на интервале,
является интервалом;
2) множество значений функции, непрерывной на интервале, может
быть отрезком;
3) если функция принимает на отрезке все промежуточные
значения, то она непрерывна на этом отрезке;
4) множество значений функции, непрерывной на отрезке, может
быть интервалом;
5) множество значений функции, непрерывной на всей числовой
прямой, может быть полуинтервалом;
6) множество значений функции, определённой на отрезке является
отрезком;
7) если функция имеет на отрезке наибольшее и наименьшее
значения, то она непрерывна на этом отрезке;
8) множество значений функции, непрерывной на всей числовой
прямой, может быть отрезком;
9) множество значений функции, определённой на отрезке может
быть интервалом;
10)если функция непрерывна на интервале, то она ограничена на
этом интервале;
11)любая функция, определённая на отрезке, ограничена на этом
отрезке;
12)любая функция, определённая на отрезке, имеет наибольшее
значение.
3. Привести пример двух разрывных в точке xо функций f(x)
и g(x), таких, что их сумма будет непрерывной в точке xо.
4. Привести пример двух разрывных в точке xо функций f(x)
и g(x), таких, что их произведение будет функцией,
непрерывной в точке xо.
5. Функции p(x) и k(x) разрывны в точке хо, f(x) = p(x)  k(x).
Можно ли утверждать, что функция f(x) разрывна в точке хо?
6. Функция p(x) непрерывна в точке хо , а функция k(x)
разрывна в точке хо, f(x) = p(x)  k(x). Можно ли утверждать,
что функция
f(x) разрывна в точке хо?
7. Функции p(x) и k(x) разрывны в точке хо, f(x) = p(x) + k(x).
Можно ли утверждать, что функция f(x) разрывна в точке хо?
8. Функция p(x) непрерывна в точке хо , а функция k(x) разрывна в
точке хо, f(x) = p(x) + k(x). Можно ли утверждать, что функция
f(x) разрывна в точке хо?
9. Привести пример функции, непрерывной и неограниченной
на данном интервале.
9. Привести пример функции, заданной на отрезке и
неограниченной на этом отрезке?
10.Верно ли, что если функция f(x) непрерывна при x > 0 и
ограничена, то
существует
правостронний
предел
этой
функции в точке 0?
11.Является ли непрерывность функции в точке достаточным
условием её ограниченности в некоторой окрестности этой
точки?
12.Является ли непрерывность функции в точке необходимым
условием её ограниченности в некоторой окрестности этой
точки?
13.Всегда ли функция, непрерывная на отрезке, достигает на
этом отрезке наибольшего и наименьшего значений?
14. Может ли функция, непрерывная на интервале, достигать на
нём наибольшего и наименьшего значений?
15. Привести пример функции, имеющей устранимый разрыв в точке
а) х = 0;
б) х = 2; в) х = 2.
Задачи
для
практических
занятий
1. Найти
точки разрыва функции:
 2

если х  0;
 x  1,
 x,
f
(
x
)

а) f ( x)  
б)

2

если х  0.
 0,
1  x ,

в)
| x |
f ( x)   x ,
 0,

если
если
в каждой
если
х  0.
f ( x)  e
1
x 1
Исследовать функцию
в точке xо = 1.
3.
Исследовать функцию
4.
В каких точках имеют разрывы функции f ( x) 
f ( x) 
x
x2  4
на
точке разрыва
2.
1
х  0;
х  0;
х  0.
Определить скачок функции
и построить график.
g ( x) 
если
непрерывность
на непрерывность.
1
и
x2
? Выяснить разницу в поведении функций вблизи
( x  2) 2
точек разрыва.
5.
Функция
x 2 1
не определена
f ( x) 
3
x 1
в точке
x = 1.
Каким должно
доопределённая
6.
7.
быть f (1) , чтобы функция,
таким образом стала непрерывной?
cos x
sin x
y
Функции
и
не определены в
y
x
x
точке x = 0. Указать характер графиков этих функций
в окрестности точки x = 0.
Сколько точек разрыва ( и
1
функция
?
f ( x) 
ln | x |
какого рода)
имеет
8.
При каких
значениях параметров а и b функция

если
x   ;
  2 sin x,
2


f ( x)  a sin x  b, если   x   ;
2
2


 cos x,
если
x .

2
является непрерывной.
Задачи
для
самостоятельной
работы
1. Найти точки разрыва функции. Определить скачок функции в
каждой точке разрыва и построить график:

x  1,
 x  5, если
если 1  x  6,
а) f ( x)   x,
 1
, если
x  6;

x7
 sin x, если
x ,

2


б) f ( x)   x,
если
 x ,
2

x  .
cos x, если

2. Установить характер разрыва функции f (x) в точке xо:
2
2
а) f ( x)  х 16 , xо =  4;
б) f ( x)  х  7 , xо = 4;
х4
х4
1
х
е
в) f ( x) 
, xо = 0;
г) f ( x)  tgx , xо =  ;
х2
2
д) f ( x)  sin x , xо =
 х2  4
2;
е) f ( x) 
sin( x  5)
, xо = -5;
x5
ж) f ( x)  arctg 1 , xо = 4;
x4
3. Исследовать функции на непрерывность:
2
3
2
2
а) f ( x)  3sin x  cos x 1 ; б) f ( x)  x sin x  x cos 2 x .
5 cos x
sin x( 1 )
cos x
4. а) Дана функция f ( x)  1 . Найти точки разрыва сложной
x 3
1
функции z 
.
2
f ( x)  f ( x )  2
б) Дана функция f ( x)  ln 1 . Найти точки разрыва функции
x
1  f 2 ( x)
.
z
2
1  f ( x)
в) Дана функция f ( x)  х . Найти точки разрыва сложной
х2
функции z = f(f(x)).
f ( x)  ln 1 . Найти точки разрыва сложной
x
функции z = f(f(x)).
г) Дана функция
5. Доопределить следующие функции в точке разрыва так, чтобы они
стали непрерывными:
2
tg 2 x
а) f ( x) 
;
б) f ( x)  4 x  5x ; в) f ( x)  4  x  2 ;
x
x
3x
2x
1

cos
г) f ( x) 
;
д) f ( x)  х  1 ;
e) f ( x)  1  x 1 ;
3 1  x 1
x3  1
x2
1
x
ж) f ( x)  sin x  sin 1 ; з) f ( x)  1  x  .
x
Проверочная работа № 3 – 0
(с решением)
1. Пользуясь определением, доказать непрерывность функции
f(x) = 4x2 5x + 2 в каждой точке xо R.
2. Найти точки разрыва функции

2,
если

f ( x)   4  x 2 , если




x  2,
если
x  2,
 2  x  2,
x  2.
Определить скачок функции в каждой точке разрыва и
построить график.
3. Исследовать функцию f(x) = arctg 2
на непрерывность
x 1
в точке xо = 1.
x 1
4. Найти точки разрыва функции f ( x) 
и
2
2
x ( x  3x  4)
определить их характер.
Решение проверочной работы № 3 – 0
1. Пусть х  приращение аргумента в точке xо R.
Найдем соответствующее приращение функции:
f  f ( x  x)  f ( x )  4( x  x) 2  5( x  x)  2  (4 x 2  5x  2) 
 4 x 2  8x  x  4(x) 2  5x  5x  2  4 x 2  5x  2 
 8x  x  4(x) 2  5x
Применяя теоремы о пределе суммы и пределе произведения функций,
получим:
lim f  lim (8x  x  4(x) 2  5x) 
x  0
x  0
 8x  lim x  4  lim (x) 2  5  lim (x)  0 .
x  0
x  0
x  0
Значит, по определению функция непрерывна в каждой точке
xо R.
2. Рассмотрим односторонние пределы функции в точках, в
которых меняется аналитическое задание функции числитель и
знаменатель обращаются в ноль):
x = 2 и x = 2.
При x  20 предел рассматривается слева от точки x = 2,
имеем:
lim
f ( x) 
lim 2  2
x  2  0
x  2  0
При x  2+0 предел рассматривается справа от точки x = 2,
имеем:
lim
f ( x) 
lim
4  x2  0 .
x  2  0
x  2  0
Так как односторонние пределы конечны, но не равны
lim
f ( x)  2 ,
lim
f ( x)  0 ,
x  2  0
x  2  0
то x = 2 является точкой разрыва I рода.
Скачок функции в этой точке разрыва равен 2.
Рассмотрим односторонние пределы при x 2 0 и x 2 +0:
lim f ( x)  lim
4  x2  0 ,
x  20
x  20
lim f ( x)  lim ( x  2)  0 .
x 20
x  20
Односторонние пределы конечны и равны, значит
существует предел функции в точке x = 2, но функция в этой
точке не определена. x = 2  точка устранимого разрыва.
f (x) = arctg 2 не определена в точке xо = 1,
x 1
нарушено условие существования f (1), значит, функция не
является непрерывной в этой точке.
Найдём односторонние пределы функции в этой точке:
lim arctg 2    , lim arctg 2   .
x 1
2 x 1 0
x 1 2
x  1 0
Они конечны, но не равны. Значит, нарушено и второе
условие существования предела функции в этой точке.
Итак, точка xо = 1  точка разрыва первого рода.
4. Представим данную функцию в виде:
x 1
x 1
.
f ( x) 

2
2
2
x ( x  3x  4) x ( x 1)( x  4)
3. Функция
Рассмотрим односторонние пределы функции в особых точках ( в
которых числитель и знаменатель обращаются в ноль):
x = 1,
x = 0, x = 4.
При x  10 предел рассматривается слева от точки x = 1, значит x
< 1 и |x 1| =  (x 1). Имеем:
x 1
1 x
lim
 lim

2
2
2
x  1  0 x ( x  3x  4) x  1  0 x ( x 1)( x  4)
1   1 .
 lim
5
x  1  0 x 2 ( x  4)
При x  1+0 предел рассматривается справа от точки x = 1, значит
x > 1 и |x 1| = (x 1). Имеем:
x 1
x 1
lim
 lim

2
2
2
x  1  0 x ( x  3x  4) x  1  0 x ( x 1)( x  4)
1
1
lim
 .
x  1  0 x 2 ( x  4) 5
Так как односторонние пределы конечны, но не равны
x 1
x 1
1
1
lim
  , lim
 ,
5 x  1  0 x 2 ( x 2  3x  4) 5
x  1  0 x 2 ( x 2  3x  4)
то x = 1 является точкой разрыва I рода.

Рассмотрим односторонние пределы при x  0 и x  +0:
x 1
1 x
lim
 lim

x  0 x 2 ( x 2  3x  4) x  0 x 2 ( x 1)( x  4)
1
 lim
  .
2
x  0 x  (4)
Предел при x  +0 можно и не рассматривать,
поскольку x
= 0 уже является точкой разрыва II рода.
Наконец, при x  40 предел рассматривается
слева от
точки x = 4 и (x + 4) < 0. Имеем:
x 1
1 x
lim

lim

x  4  0 x 2 ( x 2  3x  4) x  4  0 x 2 ( x 1)( x  4)
1

lim
,
16

(
x

4
)
x  4  0
значит x = 4 является точкой разрыва II рода и второй
односторонний предел можно не рассматривать.
Ответ. x = 1 - точка разрыва I рода, x = 0 и x = 4 - точки разрыва
II рода.
Тема 4
Производная и дифференциал
Теоретические вопросы
1. Определение производной функции в точке.
2. Определение дифференцируемости функции в точке.
Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
3. Правила дифференцирования. Теоремы о производной
суммы и произведения конечного числа функций,
частного двух функций.
4. Производная обратной функции.
5. Производная композиции функций.
6. Производная параметрически заданной функции.
7. Производная функции, заданной неявно.
8. Производные основных элементарных функций. Таблица
производных.
9. Дифференциал. Инвариантность формы дифференциала
первого порядка.
10. Производные и дифференциалы высших порядков.
Формула Лейбница.
Контрольные вопросы
1. Является ли существование производной необходимым
условием дифференцируемости функции?
2. Является ли существование производной достаточным
условием дифференцируемости функции?
3. Сформулируйте необходимое и достаточное условие
дифференцируемости функции.
4. Является ли непрерывность функции необходимым
условием её дифференцируемости?
5. Является ли непрерывность функции достаточным
условием её дифференцируемости?
6. Приведите примеры функций, дифференцируемых и не
дифференцируемых в некоторой точке.
Задачи для практических занятий
1. Пользуясь определением, вычислить производные следующих
функций:
а) y  3х 2 ;
б) y  1 ;
в) y  х .
x
2. Найти производные следующих степенных функций:
x 2 1
3
2
а) у  ( х 1)( x  x  1) ;
б) у 
;
2
x 1
4
3
в) у  x3  x 2  x ;
г) у  (3 x  2 x )3 ;
7 5
x x
е) у 
.
3
x
1
д) у  4
x3
3. Найти производные тригонометрических функций:
а)
в)
1  sin x
;
1  sin x
1
;
у
3
cos x
у
б) у  sin 2x ;
г) у 
1
.
2
tg 5x
4. Найти производные показательных функций:
а)
у  2  5 x  3e x ;
e x 1
б) у  x
;
e 1
2x 2
в)
д)
у 3
x
;
e x  e x
у
;

x
x
e e
г) у  2
е) у  3(e
;
x
3

e
x
3
5. Найти производные логарифмических функций:
а)
у  ln
x 1
;
x 1
б) у  ln 2x ;
).
в)
2
у  ln ( x 2 1) ;
4
г) у  ln sin 3x .
6. Используя правило логарифмического дифференцирования,
найти
производные следующих функций:
3 6 x 1  2 x  1
а) y 
;
5 15x  4
б) y  (sin x) x ) .
7. Найти производную данной функции в точке xо:
2
5
а) y  arctg 1  x3 , xо= 1; б) y  x 2  ectg x , xо=  .
4
8. Найти
производную функции, заданной
а) x 2  2 xy  y 2  2 x ;
б) arctg
неявно:
y
 ln x 2  y 2 .
x
9. Найти y(х) для параметрически заданных функций y  y(х) :

1
,
х 

2

х

t

sin
t
,

 х  4t  2t ,

t

1
а) 
;
б) 
;
в) 
.
t
3
2
y

1

cos
t
.

 y  5t  2t .
y 

.

t 1

10. Найти производные указанных порядков для следующих
функций:
а) y  arctgx,
y ;
б) y  x , y (4) .
11. Применить формулу Лейбница для вычисления производной
указанного порядка:
а) y  х 2  sin 2 x , y ;
б) y  x 4  ln x , y (4) ;
в) y  1  x ,
1 x
y (100) .
Задачи для самостоятельной работы
1. Пользуясь определением, вычислить производные
следующих
функций:
а) у  3x  5 ;
б) y  х 2  4 x  3 ;
в) у  3 x ;
г) у  x ln(1  x 2 ) .
2. Найти производные следующих степенных функций:
а) у  ( х 2 1)( x3  x) ;
б) у  x  ( x5  x  2) ;
4
13 2
3 9
в) у  x  
;
г) у  8  x3 
;

2
4
3
x x
x
x
x2  x  2
д) у 
;
е) у  4  7 x 2 .
x3  4
3. Найти производные тригонометрических функций:
4x
4x
 cos
а) у  tg 3 (7 x  2) ;
б) у  sin
;
2
2
2
1
1 x
в) у  cos
;
г) у  tg 4 x  tg 3 4 x  tg 5 4 x .
3
5
1 x
4. Найти производные показательных функций:
5 ex
x
x
x
а) у  x  2  3 e ;
б) у  x
;
e 2
x
 x2
в) у  5
;
г) у  e
.
5. Найти
а)
в)
производные логарифмических функций:
2
1 x
;
б) у  ln
;
у  ln
1 x
x2
2
г) у  log sin 4 x .
у  ln (7 x 1) ;
6
6. Используя правило логарифмического дифференцирования,
найти производные следующих функций:
а) y 
7 ( x  5)6
;
( x 1) 2 ( x  3)
в) y  (tg x  2 )ln(3x2) .
б) y  (sin 7 x) arctg (3x5) ;
7. Найти производную данной функции в точке xо:
а) y  4ctg 3 x , xо=  ;
4
8. Найти
б) y  ln
x  cos x
, xо= 1.
x
2
производную функции, заданной
а) x  sin y  y  sin x  0 ;
неявно:
б) e xy  cos( x 2  y 2 ) .
9. Найти y(х) для параметрически заданных функций y  y(х) :

3t
,
х 
3


2
2

х  t  1,
х  ln(1  t ),
1 t
а) 
;
б) 
;
в) 
.
2
3
2
3t
 y  arctgt.
 y  2t  t .

.
y 
3

1 t
10. Найти производные указанных порядков для следующих
функций:
а) y  arcsin x , y ;
x2 1
б) y 
, y .
x 1
11. Применить формулу Лейбница для вычисления производной
указанного порядка:
x
а) y  х 2е 2 х . Найти y (20) ;
б) y  e . Найти y (10) ;
х
2
х
в) y 
. Найти y (8) .
1 х
Проверочная работа № 4–0
(с решением)
1. Пользуясь определением, вычислить производную функции
1
у  х3  2 x .
3
2. Найти производные функций:
а)

2
у   4 x3 

33 x

7

 5 ;


3
4  х 2  1 
б) у  ln 
 ;
 х 2 1 


1 x
;
г) y  3cos x  x 2  tg5x .
1 x
3. Найти производную функции, заданной неявно: arctgy  x  y 2 .
в) у  arс cos
4. Найти y(х) параметрически заданной функции y  y(х) :

2
 х  t  2t ,
.

 y  ln(t  1).
5. Найти производную y функции y  sin 2x .
6. Применить формулу Лейбница для вычисления
производной y функции y  ( x3  5x 2  7 x  4)  sin 2 x :
Решение проверочной работы № 4–0
1. Пусть х  приращение аргумента в точке
Найдем
соответствующее
приращение
x.
функции:
f  f ( x  x)  f ( x)  1 ( x  x)3  2( x  x)  1 x3  2x 
3
3


 1  x3  3x 2  x  3x  (x) 2  (x)3   2( x  x)  1 x3  2x 
3
3

 x 2  x  x  (x) 2  1  (x)3  2  x) .
3
y
Отсюда находим предел отношения
в точке x
x
при x  0 :
( x 2  x  x  1  (x) 2  2)  x
3
lim
 x2  2 .
x
x  0
Таким образом, по
определению y  (1 x3  2x)  x 2  2 .
3
2. а) Требуется найти производную сложной функции,
которую можно представить в виде y  u 7 , где u  4 x3  2  5 .
33 x
Поэтому y  (u 7 )  ux . Имеем:
y  7(4 x3 
2  5) 6  (4 x3  2  5) 
3 3 x
3 3 x







3
 7(4 x3  2  5)   (4 x )   2   (5) 


 3 3 x 
3 3 x







 



1



6 

 7(4 x3  2  5)  12x 2  2   x 3   0  

3 


3 3 x








6

 4 

3 
6 
 7(4 x3  2  5)  12x 2  2  ( x
) 
3
9


3 x





6 
 14(4 x3  2  5)   6 x 2  1  1  .

9 x  3 x 
3 3 x

2. б) Представим данную функцию в виде:
 2

 x 1
y  ln

 x 2 1 


3
4
.
Тогда используя свойства логарифмов, имеем:



2
 x 1

2  1)  ln( x 2 1)   3 ln( x 2  1)  3 (ln( x 2 1)) 
3

y  3  ln

ln(
x


4  x 2 1  4 
4
4



 3  1  ( x 2  1)  3  1 ( x 2 1) 
4 x 2 1
4 x 2 1
2 x( x 2 1  x 2 1)
 3x
3
2
x
3
2
x
3
.
 
 
 

4 x 2  1 4 x 2 1 4 ( x 2 1)  ( x 2  1) ( x 2 1)  ( x 2  1)
2. в) Так как область определения функции
у  
D( y)   x  R | 1  1  x  1  (;0) ,то
1 x 


1 x 
1
1
(1  x)  (1)  (1  x)






.

2
2
2
2
1

x


(1  x)
1 x 
(1  x)  (1  x)
1  


1 x 

(1  x) 2
|1 x |
2
1


при x < 0.
 4 x (1  x) 2
(1  x)   x
2. г) y  3cos x  ln 3  ( sin x )  1  2 x  tg 5x  x 2  5 .
2 x
cos 2 5x
3. Дифференцируя обе части уравнения и учитывая, что у –
есть функция от х ( поэтому
(arctgy)  1  y и ( y 2 )  2 y  y ),
1 y 2
получим:
1  y  1 y 2  x  2 y  y ,
1 y 2
Отсюда находим y :
( 1  2 xy )  y  1 y 2
1 y 2
или
y 2  (1  y 2 )
.
y 
3
1  2 xy  2 xy
4. Производная функции y(x) находится по
y( x) 
формуле
y(t )
,

x (t )
откуда
1
(t 2  2t ) 2t  2
1
y( x) 


.

1
2
ln(t  1) t  1 2  (t  1)
5. Находим первую производную:
y  (sin 2x)  2 cos2x .
Отсюда
находим
вторую
производную:
y  (2 cos2x)  4sin 2x ,
а затем искомую третью
y  (4sin 2x)  8cos2x .
6. Запишем формулу Лейбница для n = 3:
(uv)  uv  3uv  3uv  uv
Полагая u  ( x3  5x 2  7 x  4) , v  sin 2x ,
найдём:
u  3x 2  10x  7 , u  6x 10 , u  6 .
Используя результат предыдущей задачи
v  2 cos2x ,
v  4sin 2x ,
v  8cos2x .
Подставляя в формулу Лейбница, получим:
y  6  sin 2 x  3  (6 x  10)  2 cos 2 x  3  (3x 2  10x  7)  (4 sin 2 x) 
 ( x3  5x 2  7 x  4)  (8 cos 2 x) .
Тема 5
Применение производной
Теоретические вопросы
1. Геометрический, механический, экономический смысл
производной функции в точке. Уравнение касательной и
нормали к плоской кривой.
2. Применение производной в экономической теории.
3. Дифференциал. Применение дифференциала в
приближенных вычислениях.
4. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.
5. Правило Лопиталя.
6. Формула Тейлора. Разложение элементарных функций по
формуле Тейлора.
Задачи для практических занятий
1. Написать уравнение касательной и нормали к данной кривой в
точке с абсциссой xо= 1 :
а) y  х3  2 х 2  1 ;
б) y  х 2  2 х  5 ;
в) y  1 .
x
2. В какой точке касательная к кривой
а ) y  х 2  2 х  4 образует с осью Ох угол 45?
б) y  х 2  1 параллельна прямой 6 x  y 10  0 ?
в) y  х 2  х перпендикулярна прямой x  2 y  7  0 ?
3. Вычислить приближенно:
а) arctg 0,981; б) 7 131 ; в) sin 32.
4. Найти пределы, используя правило Лопиталя:
2  5x  6
8
x
а) lim
;
x x 2  7 x  12
б)
lim (sin x  ln x) ;
х0
1  3x 2  1
г) lim
.
2
х0
x
 1
x2
5. Доопределить функцию f ( x)  e
в точке разрыва
2
x
чтобы она стала непрерывной.
e5 x  1  5 x
в) lim
;
2
х0
x
6. Проверить, является
эластичной в
точке
ли
функция
xо= 1 .
2
так,
у  4 sin x 2
Задачи для самостоятельной работы
1. Написать уравнение касательной и нормали к кривой:
а) y  х3  3х 2  4 x  2 в точке с абсциссой xо= 1;
б) заданной неявно
Mо(2; 1) ;
в) заданной
х 2  4 xy  4 y 2  6 x  3 y  15  0
параметрически
х  t 3; y  t 4
в точке
в точке tо= 1.
2. В какой точке касательная к кривой
а ) y  х 2  4 х  5 образует с прямой 3x  2 y  7  0 угол 45?
б) 2 y  х3  5x 2  6 x  3
параллельна
прямой
3x  y  5  0 ?
в) y  х3 11х 15 перпендикулярна прямой 2 x  2 y  7  0 ?
3. Вычислить приближенно:
а) arcsin 0,591.; б) 3 121 ; в) sin 29.
4. Найти пределы, используя правило Лопиталя:
2  7x  3
ln(2 x 2  1)
2
x
а) lim
;
б) lim
;
x3 x 2  x  6
х0 3x 2
x  1  ln( x  1) 1
в) lim
;
х0
3x
1  cos(  x)
2
г) lim
.
2

x
(  2 x)
2
5. Доопределить функцию f ( x)  x  ln 2 x в точке разрыва
так, чтобы она стала непрерывной.
6. Проверить, является ли функция у  2 3e x 1
эластичной в точке xо= 1.
7. Найти угол, под которым пересекаются линии
х 2  4 xy  y 2  8x  2 y  9  0 , x  y  1 0 .
Проверочная работа № 5–0
(с решением)
1. Написать уравнение касательной и нормали к кривой
f ( x)  x3  2 x в точке с абсциссой xо= 1 .
2. Вычислить приближенно
24 .
3
3. Проверить, является ли функция у  sin x  e x 1
эластичной в точке xо= 1.
4. Найти пределы, используя правило Лопиталя:
2  3x 18
ln(1  x 2 )  5x 2
x
а) lim
;
б) lim
.
2
x3 x 2  8x  15
х0
x
Решение проверочной работы № 50.
1. Для определения углового коэффициента касательной находим
производную заданной функции:
f ( x)  3x 2  2 .
Значение производной в точке с абсциссой xо= 1 даёт искомый
угловой коэффициент
k  31 2  5 .
Значение функции f ( x)  x3  2 x в точке xо= 1:
f (1)  13  2 1  3 .
Воспользовавшись уравнением
y  f ( x )  f ( x )  ( x  x ) ,
получим уравнение касательной:
y  3  5  ( x 1) или 5x  y  2  0 ,
а уравнение нормали получим, используя уравнение
1
y  f ( x )  
 ( x  x ) .
f ( x )
Таким образом, уравнение нормали имеет вид:
1
y  3    ( x 1) или x  5 y 16  0 .
5
Ответ: 5x  y  2  0 - уравнение касательной,
x  5 y 16  0 - уравнение нормали.
2. Воспользуемся приближённой формулой
f ( x  x)  f ( x )  f ( x )  x .
Учитывая, что f ( x)  x , xо= 25, x  1 , получим
1
x  x  x 
 x ,
2 x
т.е.
24  25 
1
 (1)  4,9 .
2 25
Ответ:
24  4,9 .
3. Найдём коэффициент эластичности данной функции y  f (x) по
формуле
x  f ( x )
.
E y, x ( x )  
f ( x )
Имеем
x 1)
x  cos x  e
.
E y, x ( x) 
2
3  sin x  e x 1  3 sin x  e x 1




Так как E y, x (1)  1    1, то данная функция является эластичной
в точке xо= 1.
3
Ответ: функция у  sin x  e x 1 является эластичной в
точке xо= 1.
Поскольку lim ( x 2  3x 18)  0 и lim ( x 2  8x  15)  0 ,
x3
x3
то в данном случае имеем неопределённость вида 0 .
0
Воспользуемся правилом Лопиталя:
2  3x 18
( x 2  3x 18)
2x  3
9
x
lim
 lim
 lim
 .
x3 x 2  8x 15 x  3 ( x 2  8x 15) x  3 2 x  8
2
4 а).
4 б). Здесь также имеет место неопределённость вида 0 , так как
0


и
lim x 2  0 .
lim  ln(1  x 2 )  5x 2   0
x0
x0

Применяем правило Лопиталя:
(2 x)

2 )  5x 2 
 10x

ln(
1

x
2
2


2
ln(1  x )  5x
  lim 1  x
lim
 lim 

2
2
x0
2
x
x
x0
x  3
( x )
8x 10x3
8 10x 2
 lim
 lim
4
2
2
x  0 2 x  (1  x ) x  0 2(1  x )
Ответ: 4 а) 
9
;
4 б) 4.
2
Тема 6
Исследование функций и построение графиков
Теоретические вопросы
1. Необходимое и достаточное условие постоянства функции.
2. Монотонность функции. Достаточное условие строгой
монотонности. Необходимое и достаточное условие
монотонности.
3. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
Достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее
значение функции на отрезке.
4. Выпуклость функции. Достаточное условие выпуклости.
5. Точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба.
Достаточное условие точки перегиба.
6. Асимптоты графика функции.
7. Общая схема исследования функций и построения графиков.
Общая схема исследования функции
и построения графика
I.
Определение общего характера графика функции:
нахождение области определения функции;
исследование функции на чётность, нечётность,
периодичность;
исследование функции на непрерывность функции и
точки разрыва,
нахождение вертикальных, горизонтальных
и наклонных асимптот графика функции;
нахождение точек пересечения графика функции с
осями координат;
нахождение интервалов знакопостоянства функции;
нахождение дополнительных точек графика
функции.
Уточнение характера графика функции с помощью
первой производной:
нахождение интервалов монотонности функции;
нахождение точек экстремумов функции.
III. Уточнение характера графика функции с помощью второй
производной:
нахождение интервалов выпуклости
вверх,
выпуклости вниз;
нахождение точек перегиба функции.
II.
Контрольные вопросы
1. Функция дифференцируема на промежутке и монотонна.
Что можно сказать о её производной?
2. Функция имеет на отрезке положительную производную.
Что можно сказать о её монотонности?
3. Функция строго монотонна на отрезке. Может ли её
производная на этом отрезке обращаться в ноль?
4. Может ли функция в точке экстремума быть
недифференцируемой?
5. Пусть функция в точке хо имеет минимум. Верно ли, что
её производная в этой точке равна нулю?
6. Пусть функция в точке хо имеет минимум. Верно ли, что она
дифференцируема в этой точке?
7. Пусть функция в точке хо имеет минимум. Верно ли, что
если она непрерывна в этой точке, то её производная в этой
точке равна нулю?
8. Пусть функция в точке хо имеет минимум. Верно ли, что
если она дифференцируема в этой точке, то её
производная в этой точке равна нулю?
Задачи для практических занятий
1. Найти асимптоты графика функции:
x 2  2x  3
x2
а) f ( x) 
; б) f ( x) 
.
x2
x2
2. Найти промежутки
монотонности
функции:
а) f ( x)  x3  6 x 2  9 x  3 ;
б) f ( x)  x 2 ( x  3) ;
2 x
в) f ( x)   .
x 2
3. Найти экстремумы функции:
3
а) f ( x)  x3  27 x ; б) f ( x)  3  x 2  2  3 x  2 ; в) f ( x) 
1
( x  3) 2
.
4. Исследовать
методами дифференциального
исчисления следующие функции и построить графики:
x 2  6 x  13
а) f ( x) 
;
x 3
в) f ( x) 
ln x
;
x
( x 1) 2
б) f ( x) 
;
2
x 1
x
г) f ( x)  x  e 2 .
Задачи для самостоятельной работы
1. Найти асимптоты
графика
функции:
x 2  2x  3
x2
а) f ( x) 
; б) f ( x) 
.
x2
x2
2. Найти промежутки монотонности функции:
2 x
а) f ( x)  x3  6 x 2  9 x  3 ; б) f ( x)  x 2 ( x  3) ; в) f ( x)   .
x 2
3. Найти экстремумы функции:
3
1
а) f ( x)  x3  27 x ; б) f ( x)  3  x 2  2  3 x  2 ; в) f ( x) 
.
2
( x  3)
4. Исследовать
методами дифференциального
исчисления следующие функции и построить графики:
x 2  6 x  13
а) f ( x) 
;
x 3
x 2  3x  2
в) f ( x) 
;
2
x  2x 1
б) f ( x) 
x
;
2
(1  x)(1  x)
x 2 ( x 1)
г) f ( x) 
.
2
x  2x 1
Проверочная работа № 6 0
( с решением)
1. Найти промежутки монотонности функции:
x3
4
f ( x)  x   2 x 2  x .
3
2. Найти промежутки монотонности функции:
f ( x)  4 x  33 х .
3. Найти экстремумы функции:
f ( x)  6 x 4  8 х 3  3 x 2  6 x .
4. Исследовать
методами дифференциального
( x  2)3
исчисления
функцию f ( x) 
и
2
x  4 x 12
построить график.
Решение проверочной работы № 6 0
1. Данная функция определена на всей числовой прямой, т.е. D(f)
= R, а её производная равна
f ( x)  4 x3  x 2  4 x  1  (4 x3  4 x)  ( x 2 1)  ( x 2 1)(4 x 1)
Производная обращается в нуль в трёх точках х = 1, х = 1 , х =1.
4
Эти точки разбивают область определения функции на четыре
промежутка (,1), (1, 1 ), ( 1 ,1) и
(1, +), в каждом из
4
4
которых производная f'(x)сохраняет знак.
Подставим в выражение для f'(x) значения х = 2, х = 0, х = 1 , х = 2 из
2
указанных промежутков, тогда:
на (,1) имеем f'(2) 0;
на (1, 1 ) имеем f'(0) 0;
4
на ( 1 , 1)
имеем f'( 1 ) 0;
4
2
на (1, +)
имеем f'(2) 0.
Следовательно, в промежутках (,1) и( 1 ,1) функция убывает, а в
4
промежутках
(1, 1 ) и (1, +) – возрастает.
4
2. Функция определена и дифференцируема на всей числовой
прямой, причём
3 2
(23 х 1)(23 х  1)
1
4
х

1

f ( x)  4 


3 2
3 2
3 2
х
х
х
Производная обращается в нуль в точках: х =  1 , х = 1 и не
8
8
существует в точке х = 0.
Эти три точки делят область определения на четыре промежутка
(-,  1 ), (  1 , 0), (0, 1 ) и ( 1 , +).
8
8
8
8
Определим знак производной в каждом из них
на (,  1 ) имеем f'(1)  0;
8
на (  1 , 0)
имеем f'(  1 ) 0;
8
27
на (0, 1 )
имеем f'( 1 ) 0;
8
27
на ( 1 , +) имеем f'(1) 0.
8
Таким образом, в промежутках (,  1 )и ( 1 , +) функция
8
8
возрастает, а в промежутке (  1 , 1 ) – убывает.
8 8
3.
Область определения функции D(f) = R. Дифференцируя
данную функцию, находим
f ( x)  24x3  24x 2  6x  6  6(4x3  4 x 2  x 1)  6(4 x 2 ( х 1)  ( x 1)) 
 6(4 х 2 1)( х 1)  6(2х 1)(2х 1)( х 1)
Производная обращается в нуль при х =  1 , х = 1 и х =1. Эти точки
2
2
разбивают числовую ось на четыре промежутка(,  1 ), (  1 , 1 ),
2
2 2
( 1 ,1) и (1,+), внутри которых производная сохраняет определённый
2
знак. Найдём знак производной в каждом из указанных промежутков:
на (,  1 ) имеем f'(1)  0;
2
на (  1 , 1 )
имеем
f'(0)  0;
2 2
на ( 1 ,1)
имеем
f'( 3 ) 0;
2
4
на (1, +)
имеем f'(2) 0.
Отсюда следует, что точки х =  1 , х = 1 и х = 1
2
2
являются
экстремальными,
так
как
при
переходе
через каждую из них производная меняет свой знак.
При этом в точках х =  1 и х = 1 происходит смена знаков с
2
минуса
на
плюс,
т.е.
это

точки
минимума;
х = 1 знак производной меняется
2
с плюса на минус, значит, это  точка максимума.
при переходе через
точку
Найдем экстремумы
экстремальных точках:
fmin = f (  1 ) =  19 ,
8
2
функции,
fmax = f ( 1 ) = 13 ,
8
2
вычислив
её
значения
fmin = f (1) = 1.
( x  2)3
4. Представим функцию в виде: f ( x) 
.
( x  2)( x  6)
Область определения функции D ( f ) – вся числовая прямая,
за исключением точек х = 2 и х = 6, т.е.
(;2)  (2;6)  (6;) .
Функция непериодическая; исследуем её на четность,
нечетность
( x  2)3
f ( x) 
 f ( x) ,
2
( x)  4( x) 12
( x  2)3
f ( x) 
  f ( x) .
2
( x)  4( x) 12
Следовательно, данная функция не является ни чётной,
ни нечётной.
Найдём точки пересечения графика с осями
координат:
с осью Оу график пересекается при х = 0, при этом
2
у = f (0) = ,
3
2
т.е. М (0; )  точка пересечения с осью Оу;
3
с осью Ох график пересекается в точках, в которых
f (х) = 0, т.е.
( x  2)3
 0,
2
x  4 x 12
в
откуда х = 2.
Таким образом, М (2; 0)  точка пересечения с осью Ох.
Находим интервалы знакопостоянства функции:
( x  2)3
f (х) > 0 
 0  ( x  2)3  ( x  2)  ( x  6)  0 ,
2
x  4 x 12
т.е. при x  (2;2)  (6;) .
Аналогично
f (х) < 0
при x  (;2)  (2;6) .
Так как
( x  2)3
(64)
lim

lim
  ,
(
x

2
)(
x

6
)
(

0
)

(

8
)
x  2  0
x  2  0
( x  2)3
(64)
lim

lim
  ,
(
x

2
)(
x

6
)
(

0
)

(

8
)
x  2  0
x  2  0
( x  2)3
64
lim
 lim
  ,
x  6  0 ( x  2)( x  6) x  6  0 8  (0)
( x  2)3
64
lim
 lim
  ,
x  6  0 ( x  2)( x  6) x  6  0 8  (0)
то х = 2 и х = 6 являются точками разрыва второго рода,
а прямые х = 2 и х = 6  вертикальными асимптотами.
( x  2)3
x3  6 x 2  12x  8
 lim

Поскольку lim
2
2
x   x  4 x 12 x   x  4 x 12

12 8 
2

6
x  x  1  
 
x
2

x
x3    ,

 lim


x  
x 2  1  4  12 
x

x 2 

( x  2)3
а lim
  ,
2
x   x  4 x 12
то горизонтальных асимптот график функции не имеет.
Наклонная асимптота задаётся уравнением y  kx  b , где
f ( x)
x3  6 x 2  12x  8
k  lim
 lim
 1,
3
2
x
x
x   x  4 x 12x
 3

2
 x  6 x  12 x  8

b  lim ( f ( x)  kx)  lim 
 x 

x
x   x 23  4 x 2 12 x

 2 x 2  24x  8
 lim
 2 ,
2
x   x  4 x 12
т.е. прямая y  x  2  наклонная асимптота при x  
при x   .
и
Найдём интервалы монотонности и экстремумы функции,
исследуя первую производную:
3( x  2) 2  ( x 2  4 x 12)  ( x  3)3  (2 x  4)
f ( x) 

2
2
( x  6)  ( x  2)
( x  2) 2  ( x 2  4 x  44) ( x  2) 2  ( x  2  4 3)  ( x  2  4 3)


.
2
2
2
2
( x  6)  ( x  2)
( x  6)  ( x  2)
Воспользуемся методом интервалов для исследования знака
производной ( см. рис.1):
Рис.1
x  24 3
При x  2  4 3 и
при
следовательно, функция возрастает.
производная f ( x)  0 ,
При 2  4 3  x  2 ,  2  x  2 , 2  x  6 и 6  x  2  4 3
производная f ( x)  0 , следовательно, функция убывает.
При переходе через точку x  2  4 3 , производная меняет знак с
«+» на «», значит это точка локального максимума.
При переходе через точку x  2  4 3 , производная меняет знак с
«» на «+», значит это точка локального минимума.
При переходе через точку х = 2, производная знака не меняет,
значит в этой точке функция экстремумов не имеет.
Чтобы определить интервалы выпуклости и точки перегиба,
вычислим вторую производную:
32( x  2)  ( x 2  4 x  104)
f ( x) 
.
3
3
( x  6)  ( x  2)
Применим метод интервалов для исследования знака второй
производной ( см. рис. 2):
Рис. 2
При  2  x  2 и x  6
выпукла вниз,
При x  2 и 2  x  6
выпукла вверх.
f ( x)  0 , следовательно, функция
f ( x)  0 ,
следовательно, функция
Учитывая всю полученную информацию о функции, строим
график:
Рис. 3