Экспресс 7-8кл. [решения задач]

Ответы. Математический экспресс-2014, 7-8 класс
1 тур, 10 минут
Задача 1. Найдите наибольшее число, делящееся на 8, в записи которого нет одинаковых цифр.
Ответ: 9876543120.
Задача 2. Длину прямоугольника уменьшили на 10%, а ширину на 20%. При этом периметр
прямоугольника уменьшился на 12%. На сколько процентов уменьшится периметр первоначального
прямоугольника, если его длину уменьшить на 20%, а ширину на 10%?
Ответ: на 18%.
2 тур, 10 минут
Задача 3. Найдите все четверки последовательных натуральных чисел, меньших 100, произведение
которых делится на 999.
Ответ: 36, 37, 38, 39 и 72, 73, 74, 75.
Задача 4. В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузе AB взяты точки K и M так что AK = AC,
BM = BC. Найдите угол MCK.
Ответ: 45 градусов.
3 тур, 15 минут
Задача 5. Решите уравнение, содержащее 2014 пар скобок: х – (х – (х – … – (х – (х – 1007))…)) = 1007.
Ответ: x = 2014.
Задача 6. Прямоугольник разбит двумя вертикальными и двумя горизонтальными
линиями на 9 прямоугольников, периметры некоторых из которых указаны на рисунке.
Найдите периметр левого верхнего прямоугольника.
Ответ: 15.
?
32
35
9
40
21
4 тур, 15 минут
Задача 7. Найдите все натуральные двузначные числа такие, что их квадрат совпадает с кубом суммы
цифр.
Ответ: 27.
Задача 8. В треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠B = 40°. На сторонах AB и BC выбраны такие точки D и E
соответственно, что ∠EAD = 5° и ∠ECD = 10°. Найдите величину угла EDC.
Ответ: ∠EDС = 85°.
5 тур, 20 минут
Задача 9. В десятичной записи числа 3/7 найдите 2014-ю цифру после запятой.
Ответ: Цифра 5.
Задача 10. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки M и N соответственно так, что
BM = MN = NC. Оказалось, что биссектрисы углов BMN и MNC пересекаются в точке, лежащей на
стороне ВС. Найдите ∠А.
Ответ: ∠А = 60°.
6 тур, 20 минут
Задача 11. Найдите a6 + 6a2b2 + b6, если a2 + b2 = 2.
Ответ: 8.
Задача 12. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена биссектриса AM. Найдите углы
треугольника, если известно, что BM = AC.
Ответ: 72°, 72°, 36°.