регата-решения- высшая

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).
1.1. Можно ли заменить буквы цифрами в ребусе ШЕ×СТЬ + 1 = СЕ×МЬ так, чтобы получилось
верное равенство (разные буквы нужно заменять разными цифрами, одинаковые буквы —
одинаковыми цифрами)?
Ответ: нет.
Решение. И число ШЕ×СТЬ, и число СЕ×МЬ оканчиваются на одну и ту же цифру — последнюю
цифру числа Е · Ь. Поэтому левая и правая части равенства оканчиваются на разные цифры и не
могут быть равны.
1.2. У Вани было некоторое количество печенья; он сколькото съел, а потом к нему в гости пришла Таня, и оставшееся
печенье они разделили поровну. Оказалось, что Ваня съел в
пять раз больше печений, чем Таня. Какую долю от всего
печенья Ваня съел к моменту Таниного прихода?
Ответ: 2/3.
Решение: Ваня съел в пять раз больше Тани, поэтому до ее
прихода он съел в 4 раза больше, чем Таня, а
следовательно, он съел 2/3 всего печенья
1.3. Разрежьте квадрат 6×6 клеточек на
трёхклеточные уголки так, чтобы никакие два
уголка не образовывали прямоугольник 2×3 клеточки.
Решение. См. рис. Решение единственно с точностью до симметрии.
ВТОРОЙ тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).
2.1. У Юры есть калькулятор,
который позволяет умножать
число на 3, прибавлять к числу 3
или (если число делится на 3
нацело) делить на 3. Как на этом
калькуляторе получить из числа 1
число 11?
Ответ. Например, ((1·3·3·3)+3+3)
:3=11 или (1·3+3) :3+3+3+3=11.
2.2. Покажите, как разрезать фигуру на рис. на три равные части и сложить из этих частей
правильный шестиугольник, изображенный на другом рисунке. Оставлять дырки и накладывать
части друг на друга нельзя.
Решение. Два решения приведены ниже.
1
2.3. В доме двое механических часов: одни отстают на 15 минут в сутки, а другие на 10 минут в
сутки спешат. Сегодня в полдень и те, и другие часы показывали правильное время. Когда в
следующий раз они одновременно покажут правильное время?
Ответ: через 144 суток.
Первые часы отстают на 15 минут в сутки. Следовательно, через четверо суток они будут
отставать на час, а через 48 суток отстанут на 12 часов, то есть впервые покажут правильное
время. Вторые часы будут спешить на час через 6 суток, а правильное время впервые покажут,
когда будут спешить на 12 часов, то есть по прошествии 72 суток.
Так как НОК(48; 72) = 144, то и те, и другие часы впервые покажут правильное время через
144 суток.
ТРЕТИЙ тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).
3.1. В квадрате 4×4 клетки левой половины покрашены в чёрный цвет, а остальные—в белый. За
одну операцию разрешается перекрасить в противоположный цвет все клетки внутри любого
прямоугольника. Как за три операции из первоначальной раскраски получить шахматную?
Решение:
Например, так.
3.2. В Лесогории живут только эльфы и гномы. Гномы лгут, говоря про свое золото, а в остальных
случаях говорят правду. Эльфы лгут, говоря про гномов, а в остальных случаях говорят правду.
Однажды два лесогорца сказали:
А: Все мое золото я украл у Дракона.
Б: Ты лжешь.
Определите, эльфом или гномом является каждый из них.
Ответ. Оба гномы.
Решение. Предположим, что А эльф. Тогда он сказал правду, а Б солгал. Но ни гномы, ни эльфы не
лгут, говоря про эльфов. Значит, А гном. Говоря про золото, он солгал. Поэтому Б сказал про А
правду. Это мог сделать только гном.
3.3. Из Москвы в Неаполь самолет вылетает в 9.20 по московскому времени, а прилетает в 11.30
по неаполитанскому. Из Неаполя в Москву самолет вылетает в 8.30 по неаполитанскому времени,
а прилетает в 14.40 по московскому. Какова разница во времени между Москвой и Неаполем?
Ответ: 2 часа.
Перелет в обе стороны длится одно и тоже время, но из-за смены часового пояса возникает
разница во времени. В первом случае показания часов отличаются на 2 часа 10 минут, а во втором
– на 6 часов 10 минут. Так как в первом случае мы из времени перелёта вычитаем разницу во
времени, а во втором – её же прибавляем, то разница во времени между Москвой и Неаполем
равна: (6 ч 10мин – 2 ч 10 мин) : 2 = 2 (ч).
ЧЕТВЕРТЫЙ тур (15 минут; каждая задача – 8 баллов).
4.1 «А это вам видеть пока рано»,–– сказала Баба-Яга своим 33 ученикам и скомандовала:
«Закройте глаза!» Правый глаз закрыли все мальчики и треть девочек. Левый глаз закрыли все
девочки и треть мальчиков. Сколько учеников всё-таки увидели то, что видеть пока рано?
2
Ответ. 22 ученика.
Решение. То, что видеть пока рано, две трети девочек увидели правым глазом, а две трети
мальчиков –– левым. Всего, стало быть, один глаз не закрыли две трети всех учеников –– 22 человека.
4.2. Одно из измерений прямоугольника увеличили на 100 см, а другое – уменьшили на 1 см, и
получили новый прямоугольник. Можно ли
утверждать,
что
площадь
прямоугольника
увеличилась? Ответ обоснуйте.
Ответ: нет, это утверждать нельзя.
Рассмотрим, например, прямоугольник ABCD, в
котором АВ = 2 см, AD = 200 см (см. рис. ). После
уменьшения стороны АВ на 1 см площадь
прямоугольника уменьшилась на 200 см2. Увеличив
теперь сторону AD на 100 см, мы добавим к площади
прямоугольника только 100 см2. Следовательно,
площадь исходного прямоугольника уменьшилась.
4.3. В поезде Москва – Тьмутаракань ввели сплошную нумерацию мест в вагонах. Во всех вагонах
одинаковое количество мест. Известно, что места 385 и 416 находятся в одном вагоне, а места 544
и 577 находятся в разных вагонах, причем эти вагоны – не соседние. Сколько мест в одном
вагоне? Ответ обоснуйте.
Ответ: 32 места.
Поскольку места 385 и 416 находятся в одном вагоне, то количество мест в вагоне не
меньше, чем 416 – 385 + 1 = 32. С другой стороны, между местами 544 и 577 находится 577 – 544 –
1 = 32 места. Это означает, что в одном вагоне не больше, чем 32 места. Таким образом, в вагоне
ровно 32 места.
ПЯТЫЙ тур (25 минут; каждая задача – 10 баллов).
5.1 На батоне колбасы нарисованы тонкие поперечные кольца. Если разрезать по красным
кольцам, получится 5 кусков, если по желтым –– 7 кусков, а если по зеленым –– 11 кусков.
Сколько кусков колбасы получится, если разрезать по кольцам всех трех цветов?
Ответ. 21 кусок.
Решение. Заметим, что количество частей всегда на 1 больше количества разрезов. Значит,
красных колец 4, желтых –– 6, а зеленых –– 10. Таким образом, всего разрезов 4+6+10=20, а
частей 21.
5.2. Вася загадал число и посчитал у него сумму цифр. Сообщил результат Пете. Петя же посчитал
сумму цифр у полученного числа и получил 88. Какое наименьшее число мог загадать Вася?
Ответ: 49…9 (девятка повторяется 55…5 раз, а 5 повторяется 223 раза)
Решение. Наименьшее число – это то, в котором меньше всего разрядов, поэтому в любом случае
будем заполнять все разряды, кроме наибольшего, девятками. Поэтому для наименьшего
результата Вася надо получить наименьший результат Пети. Это 49…9 ( девятка повторяется 223
раза). Чтобы получить Васино число, надо это число разделить на 9 и найти остаток. 49…9 =
500…0–1= 5·(999..9+1)–1 = 5·99…9+4. После деления получим 5· 11…1 = 555.. и в остатке 4.
Следовательно, получаем ответ.
5.3. Деревянный брусок тремя распилами распилили на восемь меньших брусков. На рис. 5 у семи
брусков указана их площадь поверхности. Какова площадь поверхности невидимого
бруска?
Ответ. 22.
Решение. У каждого малого бруска поверхность распилов составляет половину всей его
поверхности. Будем считать только её. Раскрасим малые бруски в чёрный и белый цвета как на
3
рис. (невидимый брусок –– чёрный). Тогда каждые два одинаковых соприкасающихся на распиле
прямоугольника –– разного цвета. Поэтому сумма площадей чёрных распилов равна сумме 3
площадей белых. А тогда и сумма площадей поверхностей белых брусков равна сумме площадей
поверхностей чёрных. Отсюда площадь поверхности невидимого чёрного бруска равна (148+46+
72+28)− (88+126+58)= 22.
4