7 - LanCats

7. Показательная функция.
1) Степень с N,Z,Q показателем.
а) Пусть зад.а  R и n  N . Число а, умноженное n-раз на а, называется n-й
степ.числа а и обозначается a n  a * a * ... * a ( n-раз).
m, n  N
m n
mn
m n
mn
Свойства: a a  a , (a )  a
a n  a m  a n  m приn.  m
б) Если а≠0 и
nN
, то
an 
1 0
,a  1
an
Свойства:
1.a n a m  a nm ;2.a n  a m  a nm
3.(a n ) m  a nm ;4.(ab) n  a n a n
n
an
a
5.   n
b
b
в) Арифметическим корнем натуральной степени n  2 из
неотрицательного числа а называется неотрицательное число n-я
степень которого равна а.
 a
n
n
n
 a, n a n  a
a  b, если1)b  0.
2)b n  a
Свойства:
a

b
1.n ab  n a n b ;2.n
 
3. n a
m
n
n
a
b
 n a m ;4.m n a  nm a
5.n a  mn a m
m

n

2
,
m

Z
,
Z
г)
n
при а>0
n
a
m
a
m
n
m
n
r
m
, a  a  a - степень с рациональным
n
показателем.
Свойства:
r1  r2 .Если
1. 1.пусть
2.a r1
* a
r2
 a
r
r
а>1, то a 1  a 2 , если а<1, то a 1  a 2
r1  r2
r
;3.( a 1
4.a 0  1;5.a  r 
1
a
r
r
) r2  a r1  r2
;6.( r  Q)a r  0;
7.a  0, b  0,
r  Q ( a * b)
r
a
 a *b , 
b

 
r
r
r
r

ar
br
Докажем, например, что
a r1 a r2
a
p m
q n
q
a a  a
np  mq
nq
a
a 
pn
p m

q n
m
nq
a
np nq
a
mq
 a npmq 
nq
 ar1r2
1) Опр.степ.ах для любого действ.числа х и а>0
Пусть а>0, x  R, Q -множество всех рац.чисел. a x  lim a r
r  x0 ,rQ
А существует ли этот предел?
а) Покажем, что
a  0
1
lim a n1  lim a n 1
n 
n
Пусть а>1, тогда b  n a  1 ,(по опр.корня n-ой степени bn=a, если b≤1, то
перемножаем это неравенство n-раз, мы получим, что a= bn≤1, но это
противоречит условию а>1). Пусть
n
хn= a  1  xn  0  a  (1  xn )n  nxn (используется неравенство Беркулли
(1   ) n  1  n )  0  xn 
a
, поэтому lim xn  0 lim n a 1,
n
n
n 
т.к. xn  a  1
-пусть 0<а<1, тогда b=1/a>1 т т.к. lim n b 1 , то
n
n
lim
n
n 
a  lim
n
1 / b  lim
n
1
1

 1b
lim n b
n 
n
n 
n 
a  1, n  1,2,...  lim n a  1 . Т.о.
n 
б) Лемма:
a  0
если а=1, то
a  0
lim a1 / n = lim a 1 / n  1
n 
n 
lim a x 1
x  0 , xQ
Док-во: пусть а>1   0 фикс.в силу а). n0  N
a1 / n0  1   , a 1 / n0  1    по св-ву ст.1. с рац.показателем
1    a 1 / n0  a1 / n0  1   .
св-ву 1. a
1
n0
Если х-рац.число и x  1/ n0 , т.е. -1/n0<x<1/n0, то по
1
n0
 a x  a  1    a x  1   , т.о. х-рац.число и
x   , где  1/ n0 , то a x  1  

lim a x 1
x  0 , xQ
Если 0<a<1 док-во аналогично, при а=1 очевидно. Т.о.опр.имеет смысл,
т.к. каждая точка числовой оси является точкой прикосновения
множества рац.чисел, оно корректно.
в)пусть a  0, x  R, rn  Q, n  1,2,... и lim rn  x. Покажем, что послед. a r 
n
n 
удовл.усл.крит.Коши и значит является сходящейся: оценим разность
a rn  a rm  a rm a rn  rm  1
n  N,m  N
посл. rn сх-ся  огр.  A  Q, A  0, rn  A   A  rn  A
r
A
A
Если а  1, тоa  a n  a , если а<1, то a  A  a r  a A  a  0b , что
a rn  B( B  a Aприa  1иB  a  Aприa  1) , т.е. послед. a r  огр. сверху В. По
n
n
лемме 1   0 фикс.
   ( )  0r  Q, r    a r  1 
rn  сх-ся, в силу кр.Коши  
a rn  rm  1 
a
B
(*).
 0nn  n и m  n , в силу (*)

B
n  nm  n a rn  a rm    в
 
r
n
силу кр.Коши посл. a сход., т.е.
rn  Q, lim r  x , посл. a r  сходится  существует предел функции
n
n
n 
a r , r  Q в т.х  R
3)Опр. показ. и лог.функций.
Пусть задано нек. число a  0 ,ф-я ах, опр.для всех х  R , называется
показательной функцией с основанием а. у=ах, a  0 ,а≠1 функция,
ставящая в соответствие кажд.чис. х его логарифмы log a x по основанию
а ( a  0 ,а≠1), если этот логарифм существует, наз.логарифмической фией у= log a x .
2) Свойства показательной функции.
1. При а>1 она строго возр., а при а<1 строго убывает на R.
a x * a y  a x  y  a 0  1, a  x  1/ a x
2.
3. (a x ) y  a xy
4. ф-я ах непр. на R.
5. м.з.функции ах, a  0 , а≠1-множество всех положительных чисел.
Док-во свойств:
1. пусть а>1 и х<у сущ. r / , r //  Q , что x  r  r  y , выб.
посл.рац.чисел rn /  и rn //  так, чтобы lim rn  x,lim r //  y и чтобы
/
n 
/
//
n
//
rn  r /  r //  rn . Тогда a rn  a r  a r  a rn перейдём к пределу при n   ,
/
//
/
//
получим: a  a /  a  a .Т.о.х<у  a x  a y  ф-я ах возр. При а>1.
Аналог.рассм.случ. а<1.
x
r
r //
y
пусть
r иr  послед.рац.чисел, что lim rn /  x,lim rn //  y и значит. Тогда в
/
//
n
n
n
силу ах+y= lim nar   r = lim( a
/
n
//
n
rn /
//
a rn )
n
= lim a r
/
n
 lim a
rn //
n 
=ax * ay
n 
2. опр.показф-ии:
сл. ax * a  x  a 0  1  a  x  1 / a x
4. lim a x 1∆у= a x  x  a x  a x a x  a x  a x (a x  1).
x  0 / xRn
lim y  a x lim( a x 1)  0 a x  непр.в т.х.
x  0
1.пусть а>1, чтобы док., что м.з. ф-ии ах явл. множество всех
полож.чисел, т.е. беск.инт.(0,+∞),в силу её непр. и
строг.возр.,дост.показ.,что lim a x  ,lim a x  0 , в силу монот.ф-ии ах,
n 
пределы lim a x сущ.  дост.док. lim a x  ,lim a xn  0
x  
x 
n
для к-либо фикс.посл. xn   и xn  , например для
/
xn  n, xn  n, a  1, т.е.а=1+  ,α>0  (исп.нер.бернулли) a  (1   )
n
n
 n , т, к.lim n  
n 
то lim a n    lim a n 
n
n 
lim a x  lim(1 / b) x 
x  
1
 0 если 0<а<1, то b=1/a и
n
lim a
1
0
lim b n
, lim a x 
x
Произведная ф-ии у=ах ,
1
 
lim b x
x  
x  x
a 0  ax0 ,
y
lim  lim

x
x
x  x0
x
x
x
x
 lim ax0 a 1   a x0 lim a 1  a x0 ln a (a 0 ) /  a 0 ln a
x
x
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
3) Свойства логарифм.ф-ии.
1.logax1x2=logax1+logax2, x1>0,x2>0
2.logaxα=αlogax, x>0, α  R

xn
6)Экспонента:ex=  n!
n 0
n
ln( 1  x)   (1) k 1
k 1
n
xk
 0( xn )
k
k
x
 O( xn )
n  0 k!
ex  
Логарифм.ф-я у=logax, а-зад.число, а>0,а≠1
1) обл.опр.х≥0
2) м.з. у  R
3) возр.при х>0 если а>1 и убыв.если 0<а<1.
,
4) Если а>1, то у=logax принимает полож.значения при х>1, отриц.при
0<х<1. Если 0<а<1, то принимает полож.значения при 0<х<1, отриц.при
х>1.
5) Если logax1=logax2, где а>0, а≠1,х1>0,х2>0, то х1= х2
2
3
n 1 n
ln(1+x)= x  x  x  ...  (1) x  O( x n )
2
3
n