МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
advertisement
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Хакасский Государственный Университет им. Н.Ф. Катанова» Институт Естественных Наук и Математики Кафедра Математики и методики преподавания математики Направление 050200.62 физико-математическое образование, профиль математика «Методические аспекты изучения темы «Движения» в курсе геометрии основной школы» Курсовая работа Коконовой В. Ю. 4 курс, группа М-41 Научный руководитель Гласман Н. С. доцент, кандидат пед. наук Абакан 2013 1 Оглавление Введение ................................................................................................................ 3 Глава 1. Теоретические основы изучения темы «Движения» в курсе геометрии основной школы................................................................................. 6 1.1. Цели обучения геометрии в основной школе ............................................ 6 1.2. Обзор изложения темы «Геометрические преобразования» в школьных учебниках………………........................................................................................13 Глава 2. Методические аспекты изучения темы «Движения» ……………………..25 2.1. Анализ примерной программы по геометрии к учебнику «Геометрия» 7-9, Атанасян Л.С. ……………………………………………………………………………………25 2.2. Методические рекомендации по обучению теме «Движения» …………..26 2.2.1. Понятие движения …………………………………………………………………………..26 2.2.2. Симметрия относительно точки ………………………………………………………31 2.2.3. Симметрия относительно прямой …………………………………………………..33 2.2.4. Параллельный перенос и поворот ………………………………………………….35 2.3. Примеры самостоятельных и контрольных работ по теме «Движения» ………………………………………………………………………………………………………38 Заключение ………………………………………………………………………………………………………43 Библиографический список …………………………………………………………………………….44 2 Введение Введение в стандарт темы «Геометрические преобразования» обосновано не только и не столько необходимостью ознакомить учащихся с примерами преобразования плоскости, встречающимися на практике, сколько потребностями самого предмета геометрии. Понятие движения как частного случая преобразования плоскости важно прежде всего тем, что, опираясь на него, на него можно ввести общее понятие равенства геометрических фигур. Это, в свою очередь, необходимо для обоснования правил построения фигур с заданными свойствами, а еще точнее – для этапа «исследование» в задачах на построение фигур. А преобразование подобия дает способ построения подобных фигур, чем доказывается их существование, и также применяется для решения задач на построение. В школьном курсе геометрии геометрические преобразования рассматриваются как точечные преобразования, то есть каждой точке плоскости в планиметрии (пространства – в стереометрии) ставится в соответствие другая точка плоскости (пространства). Иначе говоря, точечное преобразование является отображением плоскости (пространства) на себя как множества (совокупности) точек. При этом в школьном курсе геометрии выделяются две группы преобразований: движения и подобия. Преобразование движения определяется как геометрическое преобразование, сохраняющее расстояния между точками. Преобразование подобия рассматривается как точечное преобразование одной фигуры в другую, определяемое метрическими соотношениями между элементами фигур. В данной курсовой работе мы остановимся на рассмотрении группы преобразований, сохраняющих расстояния между точками, то есть движений. К простейшим движениям относят те преобразования, которые имеют достаточно наглядное описание. Как правило, это параллельные переносы, повороты на некоторый угол, центральная симметрия, осевая симметрия, иногда называемая отображением. 3 Для изучения данной темы будет полезно знать, особенно молодому учителю, некоторые методические аспекты, разработкой которых мы займемся в данной курсовой работе. Проблема исследования заключается в разработке методических аспектов изучения темы «Движения» в основной школе. Объект исследования: процесс обучения геометрии учащихся в основной школе. Предметом исследования являются методические аспекты изучения темы «Движения» в курсе геометрии основной школы. Цель исследования состоит в разработке методических аспектов изучения движения в курсе геометрии основной школы. Для достижения цели поставим следующие задачи: 1. Выявить степень разработанности проблемы в психолого– педагогической и научно – методической литературе; 2. Выявить теоретические основы обучения данной теме в основной школе; 3. Разработать методические аспекты изучения темы «Движения»: 1) Сделать обзор изложения темы «Геометрические преобразования» в школьных учебниках; 2) Разработать методические рекомендации по изучению понятия движения, осевой и центральной симметрий, параллельного переноса и поворота; 3) Подобрать примеры самостоятельных работ и контрольных работ по теме «Движения». Для достижения поставленной цели использовались следующие методы: изучение психолого-педагогической, математической, учебнометодической литературы; анализ нормативных документов об образовании; анализ учебников и учебных пособий по геометрии, школьных программ по математике. 4 Практическая значимость данной работы состоит в том, что разработанные методические аспекты изучения темы «Движение» могут быть использованы учителями деятельности. 5 математики в практической ГЛАВА 1. Теоретические основы изучения темы «Движения» в курсе геометрии. 1.1 Цели обучения геометрии в школе В современной программе по математике для общеобразовательной школы говорится о том, что цели обучения математике определяются ее ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека. Таким образом, выделяются два основных направления в постановке курса математики. Назовем их – общее и личное. Первое определяется общественными запросами, предъявляемыми к школе, а второе связано с выявлением и развитием задатков, склонностей, интересов, способностей учащихся. В соответствии с этим определяются следующие цели обучения математике в школе: а) овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования; б) интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе; в) формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности; г) формирование общечеловеческой представлений культуры, понимания о математике значимости как математики части для общественного прогресса. Сформулированные цели в равной степени относятся ко всем разделам школьной математики, в том числе и к геометрии. Теперь, исходя из этих общих целей, рассмотрим специальные цели, ради которых преподается геометрия. Давайте начнем с того, что проанализируем, как ставился и решался данный вопрос в известных руководствах по методике преподавания геометрии прошлых лет. Представим некоторые из них. 6 В методическом пособии Р.В.Гангнуса и Ю.О.Гурвица говорится о том, что изучение геометрии должно дать умение и навык отличать друг от друга формы различных геометрических фигур, перечисляя их существенные признаки, знать их образование и свойства, соотношения между отдельными элементами фигур, выполнять четкий чертеж несложной геометрической ситуации, разбираться в данном чертеже и вызывать в своем воображении по данному чертежу соответствующие геометрические образы, решать задачи на вычисление длин, площадей, объемов тел и их частей, размеров их элементов, а также задачи на построение геометрических фигур. Изучение геометрии, содействуя развитию пространственных представлений и пространственной интуиции, должно, в конечном счете, дать учащимся прочные навыки и знания, нужные им не только для последующей учебной работы, но и для последующей профессиональной деятельности. В методике геометрии Н.М.Бескина выделяются три цели преподавания геометрии в школе: 1. Сообщение геометрических сведений. Эти сведения, во-первых, непосредственно нужны работникам многих профессий. Во-вторых, они необходимы при изучении других школьных предметов, таких, например, как физика, тригонометрия, география. Втретьих, использование при обучении в высшей школе. 2. Логическое развитие. Эта важная задача в школе возлагается в основном на курс геометрии. При этом учитель предостерегается от использования уроков геометрии для преподавания логики. В курсе геометрии имеют дело лишь с применением логических методов. Эта логика в действии, логика, которая основывается на геометрическом материале. По мнению автора, нельзя одобрить практику тех учителей, которые сосредотачивают все свое внимание на привитии ученикам навыков и обходят все сколько-нибудь «тонкие» принципиальные вопросы под тем предлогом, что они мало доступны ученикам. Если ученик только приобрел навыки в решении задач и запомнил доказательства теорем, 7 приводимые в учебнике, то цель преподавания геометрии еще не достигнута. Основное правило преподавания математики на всех ступенях – не снижать научного уровня, не обходить принципиальных вопросов, а, наоборот, подчеркивать их. Глубоко ошибочно думать, что, имея перед собой «слабых» учеников, мы облегчим им усвоение математики, обходя «тонкие» вопросы. Дело обстоит как раз наоборот, ибо, не добившись вполне отчетливого усвоения учениками принципиальных вопросов, мы не облегчим, а затрудним для них изучение геометрии, так как лишим их многих ассоциаций, общего подхода к разным вопросам и многих внутренних связей. Из стройной системы мы превратим геометрию в собрание отдельных предложений. Имея дело со «слабыми» учениками, учитель должен проходить принципиальные вопросы математики нисколько не в меньшем объеме, чем с «сильными», а лишь разъяснять их более подробно. Математику можно преподавать всем, не превращая это преподавание в натаскивание, а сохраняя полностью все необходимые идейные моменты. 3. Развитие пространственного воображения. При изучении геометрии надо добиваться, чтобы ученик мог охватывать сразу весь чертеж (сначала простой, потом – посложнее) и улавливать те соотношения между элементами чертежа, которые могут быть нужны при решении данного вопроса. Особенно полезны случаи, когда для решения проблемы приходится делать на чертеже дополнительные вспомогательные построения. Весьма полезны упражнения в проведении геометрических рассуждений, не делая чертежа на доске или на бумаге, а представляя его в уме. Решение задач на построение способствует развитию пространственного воображения. В.М.Брадис в своем методическом руководстве говорит о том, что основная цель изучения геометрии в школе состоит в овладении основами этой науки. При этом геометрию следует изучать в соответствии с тремя историческими стадиями развития этой науки, а именно: 8 а) накопление отдельных фактов и первые попытки установления связей между ними; здесь геометрия носит преимущественно экспериментальный характер; б) геометрия Евклида; экспериментальная база геометрии существенно сужается; вместо построений и измерений на первый план выдвигается логическое рассуждение, нередко, однако, обращающееся к интуиции, к очевидным свойствам геометрических образов; в) неевклидова геометрия; наряду с евклидовой геометрией появляются и другие, число аксиом в каждой из них доводится до минимума, и в списке аксиом остаются только те, относительно которых доказано, что они, действительно, недоказуемы с помощью других аксиом. Все остальные предложения доказываются на основе аксиом и ранее доказанных теорем, при доказательствах никакого обращения к интуиции, к очевидности не допускается. Вместе с образовательной целью, заключающейся, с точки зрения автора, в усвоении фактического материала основного курса геометрии и того метода его логического развертывания, какой характерен для евклидовой стадии развития геометрии, ее изучение преследует и воспитательную цель, развивая логические навыки учащихся и их пространственное воображение. Правильно рассуждать они учатся на занятиях любого предмета учебного плана, но ни в одной дисциплине рассуждения не занимают столь большого и видного места, как в геометрии. Изучая геометрию, учащиеся приучаются правильно давать определения, правильно классифицировать понятия, различать условия и заключение в каждом предложении, различать предложение прямое, обратное, противоположное, понимать их взаимную зависимость, устанавливать условия, необходимые и достаточные, пользоваться различными методами доказательства и т.п. В гармоническом развитии трех сторон – развития пространственного воображения, развития логического мышления и выработки навыков в 9 практических приложениях – и заключается залог успеха занятий по геометрии. В методике преподавания геометрии В.Г.Чичигина говорится о том, что школьный курс геометрии имеет наибольшую стройность, логическую строгость и последовательность по сравнению с другими учебными математическими дисциплинами. Поэтому даже в дореволюционной школе XIX – начала XX веков основным мотивом внесения геометрии в учебный план средней школы было развитие логического мышления учащихся. Автор специально выделяет образовательные, воспитательные и практические цели преподавания геометрии. Образовательные цели состоят в том, чтобы: а) дать учащимся ряд геометрических понятий и знаний, приведенных в определенную стройную систему; б) научить обрабатывать получаемые знания, объединять и обобщать создаваемые понятия и приводить их в систему; в) научить в каждой задаче, понимая задачу в самом широком смысле этого слова, отчетливо различать, что дано, что надо найти и поставить вопрос, как это сделать. Все это, вместе взятое, должно помогать развитию и повышению способности учащихся к правильному логическому мышлению. К воспитательным целям отнесены: а) развитие мировоззрения учащихся; б) воспитание чувства национальной гордости и патриотизма; в) воспитание инициативы, воли, настойчивости в преодолении трудностей; г) воспитание уважения к истине и критического отношения к собственным и чужим суждениям; д) развитие воображения, внимания, аккуратности при выполнении работы. 10 Практические цели состоят в том, чтобы: а) приучить учащихся распознавать математическую сущность в явлениях окружающей жизни; б) научить их применять полученные знания и навыки в повседневной практической жизни и при изучении других школьных предметов; в) подготовить к дальнейшему изучению математики, физики и технических дисциплин в высшей школе. В методике под общей редакцией С.Е.Ляпина сказано, что основной целью обучения математике, в частности геометрии, в школе является задача подготовки учеников к будущей практической деятельности, а поэтому им необходимо сообщить определенный круг знаний, позволяющих понимать отношения и зависимости простейших явлений реального мира и разбираться в его формах. Эти знания должны содействовать воспитанию у школьников научного мировоззрения, развивать логическое мышление и пространственное воображение. Геометрические знания должны помочь ученикам решать прикладные задачи, узнавать геометрические фигуры в реальных конструкциях, быстро ориентироваться в чертежах, проводить измерения и т.п. В то же время при изучении геометрии учащиеся должны овладеть умением логически обосновывать то, что многие зависимости, обнаруженные путем рассмотрения отдельных частных случаев, имеют общее значение и распространяются на все фигуры определенного вида, и, кроме того, вырабатывать потребность в логическом обосновании зависимостей. Правильно построенное преподавание должно воспитывать у школьников стремление творчески применять геометрические знания на практике, что впоследствии может привести к плодотворным поискам решения конкретных прикладных задач. В методике преподавания геометрии под редакцией А.И.Фетисова в качестве первой и основной цели обучения геометрии выделяется ясное сознание учащимися, что предметом ее изучения являются пространственные 11 формы окружающего мира. Одновременно с этим среди задач преподавания геометрии указываются: а) развитие пространственных представлений и пространственного воображения; б) ознакомление учащихся с методами геометрии, с ее логической структурой; в процессе ее изучения учащиеся должны получить известное представление о значении аксиом, о сущности, формах и способах доказательства, о значении математической и логической символики. в) выявление практической значимости науки, ее многообразных приложений в смежных дисциплинах и технической деятельности людей. В одном из первых изданий учебника по геометрии для средней школы А.В.Погорелова в послесловии говорится о том, что «главная задача преподавания геометрии в школе - научить учащихся логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать; очень немногие из оканчивающих школу будут математиками, тем более геометрами; будут и такие, которые в своей практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора; однако вряд ли найдется хотя бы один, которому не придется рассуждать, анализировать, доказывать». Автор другого известного учебника по геометрии для средней школы А.Д.Александров, говоря о целях преподавания геометрии, указывает, что особенность геометрии, выделяющая ее не только среди остальных частей математики, но и среди других наук вообще, состоит в том, что в ней самая строгая логика соединена с наглядным представлением. Геометрия в своей сущности и есть такое соединение живого воображения и строгой логики, в котором они взаимно организуют и дополняют друг друга. В соответствии с этим делается вывод о том, что преподавание геометрии в школе должно включать в себя три тесно связанных, но вместе с тем и противоположных элемента: логику, наглядное представление и применение к реальным вещам. Задача преподавания геометрии - развить у школьников 12 соответствующие три качества: пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление. Конкретизация целей обучения позволяет более четко организовать процесс обучения, выделить наиболее существенные, значимые стороны, сосредоточить на них усилия учеников, организовать эффективный контроль за их достижением. Кратко сформулируем основные цели обучения геометрии в средней школе, традиционно разбив их ни три группы: образовательные, развивающие и воспитательные. I. Образовательные. В результате изучения курса геометрии учащиеся должны получить представления о: истории становления и развития науки геометрии; роли геометрии в возникновении различных разделов математики и ее приложений; методах геометрии; языке геометрии; прикладных аспектах геометрии; современных направлениях развития геометрии. II. Развивающие. Изучение геометрии должно внести вклад в: развитие логического мышления; развитие пространственных представлений и пространственного воображения; формирование познавательных интересов; развитие творческих интеллектуальных способностей учащихся. III. Воспитательные. Изучение геометрии должно внести вклад в: формирование научного мировоззрения; нравственное воспитание; эстетическое воспитание учащихся. Достижению некоторых целей и способствует изучение темы «Движения». 1.2 Обзор изложения темы «Геометрические преобразования» в школьных учебниках. Для проведения анализа преподавания темы «Геометрические преобразования» были рассмотрены учебники разных авторов, в частности: 1. «Геометрия», 7-9 классы, Погорелов А.В., 2000 г. 2. «Геометрия», 7-11 классы, Погорелов А.В., 1991 г. 3. «Геометрия», 7-9 классы, Александров А.Д. и др., 1992 г. 13 4. «Геометрия», 9 класс с углубленным изучением Александров А.Д. и др., 1996 г. 5. «Геометрия», 7-9 классы, Атанасян Л. С. И др., 2008 г. 6. «Геометрия», 7-9 классы, Шарыгин И. Ф., 2002 г. математики, В учебнике геометрии А.В. Погорелова для 7-9 классов изложение темы «Геометрические преобразования» дано в двух фрагментах: в теме «Движение» и в теме «Подобие фигур». Особенностью этого учебника является введение понятия преобразования фигур, частным случаем которого является понятие движения фигур. Таким образом, автор учебника не акцентирует внимание на том, что преобразование фигур порождается некоторым преобразованием плоскости. Такой подход к изложению темы позволяет не перегружать учебный материал сложными понятиями и способствует лучшему восприятию его учащимися. Понятие движения важно, как было сказано выше, тем, что, опираясь на него, можно ввести общее понятие равенства геометрических фигур. В этом учебнике признаки равенства треугольников доказываются с опорой на аксиому о существовании треугольника, равного данному, тем самым постулируется существование равных фигур и доказывается теорема об эквивалентности двух определений равенства треугольников: с одной стороны – через равенство элементов треугольников, а с другой – общим определением равенства фигур (две фигуры равны, если они движением переводятся одна в другую [9]). Таким образом обосновывается существование равных фигур. В учебнике подробно рассматривается преобразование подобия фигур и его свойства; доказывается, что гомотетия является преобразованием подобия, и что особенно важно, доказывается свойство транзитивности подобия фигур. Это позволяет обосновать существование подобных фигур, что в свою очередь, позволяет при решении задач на построение использовать метод подобия. В учебнике А.В. Погорелова «Геометрия 7-11» для общеобразовательных учреждений преобразованиям отведен один параграф 14 «§9. Движение». Эта тема изучается в 8 классе. Основная цель изучения темы познакомить учащихся с примерами преобразований геометрических фигур. Основные виды движений – симметрия относительно прямой и точки, поворот, параллельный перенос – учащиеся должны усвоить при решении следующих задач: 1. Даны точки А и В. Постройте точку В1, симметричную точке В относительно точки А [10]. 2. При симметрии относительно некоторой точки точка Х переходит в точку Х1. Постройте точку, в которую при этой симметрии переходит точка Y [10]. 3. Даны точки А, В, С. Постройте точку С1, симметричную точке С относительно прямой АВ [10]. 4. Чему равны координаты точки, симметричной точке (-3; 4) относительно: 1)оси Ох; 2) оси Оу; 3) начала координат?[10] 5. 1) Постройте точку А1, в которую переходит точка А при повороте около точки О на угол 600 по часовой стрелке. 2) Постройте фигуру, в которую переходит отрезок АВ при повороте около точки О на угол 600 по часовой стрелке[10]. 6. Постройте фигуру, в которую переходит треугольник АВС при повороте его около вершины С на угол 600[10]. 7. Даны точки А, В, С. Постройте точку С1, в которую переходит точка С при параллельном переносе, переводящем точку А в В[10]. 8. Параллельный перенос задается формулами х1= х+1, у1= у-1. В какие точки при этом параллельном переносе переходят точки (0; 0), (1; 0), (0; 2)?[10] 9. Найдите величины a и b в формулах параллельного переноса х1= х+a, у1= у+b, если известно, что: 1) точка (1; 2) переходит в точку (3; 4); 2) точка (2; 3) – в точку (-1; 5); 3) точка (-1; -3) – в точку (0; -2) [10]. В отличие от симметрии и поворота определение параллельного переноса дается с помощью формул, указывающих связь между координатами точки и ее образа при данном параллельном переносе. Такое определение выглядит формальным, а не конструктивным, как у предыдущих видов движения, 15 однако, если проиллюстрировать на рисунке эти формулы, то можно заметить, что они тоже дают способ построения точки, в которую переходит данная точка при параллельном переносе: она смещается на а вдоль оси абсцисс и на b вдоль оси ординат. Это преобразование дает еще один пример движений, причем все свойства движений для параллельного переноса являются, видимо, самыми очевидными для учащихся. В результате изучения материала учащиеся должны: знать определение движения, его свойства; определения точек и фигур, симметричных относительно данной точки, симметричных относительно прямой; определение поворота, формулы, задающие параллельный перенос и геометрические свойства параллельного переноса; уметь применять свойства движений для распознавания фигур, в которые переходят данные фигуры при движении, строить точки и простейшие фигуры, симметричные данным относительно данной точки и данной прямой, приводить примеры фигур, имеющих центр симметрии или ось симметрии, применять свойства движения в решении задач на симметрию фигур; строить образы простейших фигур при повороте и параллельном переносе; выявлять сонаправленные и противоположно направленные лучи в рассматриваемых конфигурациях. В §9 понятие «преобразование» вводится на наглядно-интуитивном уровне: «Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной»[10]. Соответственно, движение понимается как преобразование одной фигуры в другую, если оно сохраняет расстояние между точками. Важно подчеркнуть, что в учебнике А.В. Погорелова рассматриваются преобразования не всей плоскости, а только фигур. В этом случае неизвестно что происходит с остальными точками плоскости, в отличие от преобразования плоскости, где для каждой точки плоскости можно указать ее образ и прообраз. Возможно, рассмотрение преобразований фигур, а не плоскости связано с толкованием понятия движения с механической точки зрения. 16 Далее рассматриваются теоретические основы свойств движений, симметрии относительно точки и прямой. Все вводимые понятия и доказательства теорем достаточно полно проиллюстрированы, но не приводится разбор конкретных задач, чего нельзя сказать о рассмотрении вопроса о повороте плоскости около данной точки. После рассмотрения теоретических сведений представлена решенная задача на построение точки (фигуры), в которую переходит точка (отрезок) при повороте около точки О на угол 60° по часовой стрелке. Некоторое внимание уделено вопросу использования метода координат в изучении свойств преобразований, например параллельного переноса. В дидактических материалах В.А. Гусева и А.И. Медяника к учебнику А.В. Погорелова «Геометрия, 7-9» представлены четыре самостоятельные работы, контрольная работа в нескольких вариантах разного уровня сложности и дифференцированные задания как продолжение и развитие самостоятельных работ, где более четко учтены индивидуальные особенности учащихся. В то же время эти задания предполагают более высокий уровень развития учащихся, так как направлены на развитие у них логического мышления. В вариантах самостоятельных и контрольной работ основной акцент делают на такие обязательные результаты обучения школьников, как: а) представления о движении и о связи его с понятием равенства фигур; б) построение фигур, симметричных данным, при осевой и центральной симметриях. В учебнике геометрии А.Д. Александрова и др. изложение темы «Геометрические преобразования» дано в четырех последовательных темах : «Движение и равенство фигур», «Виды движений», «Симметрия фигур», «Подобие», что способствует целостному восприятию учебного материала. Однако отметим, что первое знакомство учащихся с понятием осевой симметрии происходит при изучении свойств равнобедренного треугольника. Как и в учебнике А.В. Погорелова, здесь не акцентируется внимание на том, 17 что преобразование фигур порождается некоторым преобразованием плоскости, а непосредственно вводится понятие преобразования фигур, частным случаем которого является понятие движения фигур. Таким образом, достигается тот же эффект: учебный материал не перегружается сложными понятиями, что способствует лучшему восприятию его учащимися. Рассматривая преобразование подобия фигур, авторы большое внимание уделяют его частному случаю – гомотетии, поскольку доказывают теорему о том, что любое преобразование подобия есть последовательное выполнение преобразования гомотетии и движения, которая является основой для доказательства признаков подобия треугольников. Однако столь позднее введение понятия подобия фигур (в конце девятого класса) не позволяет глубоко проработать метод подобия ни для решения метрических задач, ни для задач на построение. В учебнике А.Д. Александрова и др. «Геометрия, 9» с углубленным изучением математики преобразования фигур рассматриваются в главе «Преобразования». Основной целью изучения данной главы является проникновение учащихся в сферу идей современной математики, в немалой степени являющейся математикой преобразований или же математикой, изучающей аксиоматически построенные теории. Материал, предложенный в учебнике, может быть освоен на уровне применения введенных понятий и теорем только в подготовленном классе. Глава «Преобразования» изучается в 9 классе и завершает собой изучение планиметрии. При решении задач, предложенных авторами, наряду с материалом главы используются также практически все методы, теоремы и факты, которые были изучены ранее, для осуществления итогового повторения. Определяются движения, заданные на всей плоскости и доказываются их свойства. На основе движений определяется равенство фигур. Изучаются виды движений: параллельный перенос, осевая симметрия, поворот и центральная симметрия. Проводится 18 классификация движений, рассматривается композиция движений. Изложены теоремы о задании движений, замечание о распространении движения, теорема Шаля, неподвижные точки движений, два рода движений, ориентация. Большое внимание уделяется симметриям фигур. Учебник содержит различные задачи на геометрические преобразования, которые автор делит на разделы: разбираемся в решении (приведены решенные задачи), дополняем теорию, рисуем, планируем, находим величину, выводим уравнение, доказываем, исследуем, строим, применяем геометрию, занимательная геометрия, участвуем в олимпиаде. Например, 1. а) Докажите, что в результате переноса прямая переходит в прямую, ей параллельную, или в себя; б) Даны две параллельные прямые. Каким переносом одна из них может быть получена другой?[2] в) Даны два равных и параллельных отрезка. каким переносом один из них может быть получен из другого? г) Докажите, что в результате переноса вектор переходит в равный вектор.[2] 2. Нарисуйте образ куба ABCDA1B1C1D1 в результате переноса на вектор а) ; б) ; в) [2] 3. а) В системе координат даны две точки A(2;1) и B(3;3). Как найти точку К на оси x, такую, что ломаная AKB кратчайшая? Как вычислить координаты точки К и длину этой ломаной? б) Решите задачу «а» для точки L на оси y. [2] В учебнике Л.С. Атанасяна и др. знакомство с осевой и центральной симметрией начинается в 8 классе. Эти преобразования рассматриваются не как преобразования плоскости, а как свойства геометрических фигур, в частности четырехугольников, это позволяет авторам рассмотреть свойства симметричности четырехугольников непосредственно в процессе изучения их свойств. Рассмотрение этих понятий как движений плоскости происходит в 9 классе в главе «Движения», где движение плоскости вводится как отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние между точками. 19 Здесь же рассматриваются основные виды движений: осевая и центральная симметрии, параллельный перенос и поворот. На примерах показывается применение движений при решении геометрических задач разной степени сложности. Кроме того, исследуется важный вопрос о связи понятий наложения и движения. Понятие наложения, на основе которого определялось равенство фигур, относится в данном курсе геометрии к числу основных понятий. Доказывается, что понятия наложения и движения являются эквивалентными: любое наложение является движением плоскости и обратно. Этот пункт «Наложения и движения» обозначен звездочкой, что говорит о необязательности его изучения. Задачный материал темы нацелен на выработку навыков построения образов точек, отрезков, треугольников при симметриях, параллельном переносе и повороте. 1. Даны две прямые a и b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при осевой симметрии с осью a [4]. 2. Даны прямая a и четырехугольник ABCD. Постройте фигуру F, на которую отображается данный четырехугольник при осевой симметрии с осью a. Что представляет собой фигура F?[4] 3. Даны точка O и прямая b. Постройте прямую, на которую отображается прямая b при центральной симметрии с центром O [4]. 4. Даны точка O и треугольник ABC. Постройте фигуру F, на которую отображается треугольник ABC при центральной симметрии с центром O. Что представляет собой фигура F? [4] 5. Даны треугольник, трапеция и окружность. Постройте фигуры, которые получаются из этих фигур параллельным переносом на данный вектор [4]. 6. Посторойте отрезок A1B1, который получается из данного отрезка AB поворотом вокруг данного центра О: а) на 120° по часовой стрелке; б) на 75° против часовой стрелки; в) на 180° [4]. 20 Преобразование подобия в данном учебнике не рассматривается, здесь рассматривается подобие треугольников. Изучение подобия треугольников предваряется введением определения пропорциональных отрезков. После доказательства признаков подобия треугольников вводится определение подобия фигур, но эквивалентность двух определений подобия треугольников, через пропорциональность сторон и равенство углов и общим определением подобия фигур, не обосновывается. Затем вводится определение центральноподобных фигур, которое позволяет решать задачи на построение методом подобия. Термин гомотетия в учебнике отсутствует. Кроме того, вопрос о существовании подобных фигур остается открытым. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики «Геометрия, дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса» Л.С. Атанасяна и др. является дополнением к основному учебнику «Геометрия, 7-9». Геометрическим преобразованиям посвящена одна из глав данного пособия, в которой движение дополняется и другими преобразованиями: центральным подобием, инверсией. Решается ряд интересных задач. Этот материал может заинтересовать учащихся в предпрофильной подготовке. Он расширяет их представления о движениях и подобиях, демонстрирует возможность применения метода геометрических преобразований при доказательстве теорем и решении задач. Б.Г. Зив разработал дидактические материалы, содержащие самостоятельные и контрольные работы, математические диктанты и проверочные работы, рекомендованные преимущественно к учебнику Л.С. Атанасяна, Б.Ф. Бутузова и др. «Геометрия, 7-9», но могут быть использованы по утверждению автора и при работе по другим учебникам. В первом и втором вариантах самостоятельных работ предлагаются задачи, для успешного решения которых учащиеся должны применить знания на уровне минимальных программных требований. Третий и четвертый варианты состоят из задач среднего уровня сложности. Решение этих задач предусматривает умение распознавать понятия в стандартных ситуациях, 21 применять знания в стандартных условиях или при небольших отклонениях от них. Задачи третьего и четвертого вариантов по сложности примерно соответствуют большинству основных задач учебника. Пятый и шестой варианты предназначены для наиболее подготовленных учащихся. При решении задач этих вариантов требуется уметь применять знания в усложненных ситуациях. По сложности эти задачи примерно соответствуют наиболее трудным из основных и дополнительных задач учебника. Седьмой и восьмой варианты состоят из задач, при решении которых требуется творческое применение знаний. Здесь приходится анализировать сложные геометрические ситуации, самостоятельно открывать новые факты, устанавливать отношения между ними. Задачи из седьмого и восьмого вариантов рекомендовано давать учащимся после выполнения ими основной работы наравне со всеми учащимися класса в оставшееся время или использованы в качестве необязательного задания для домашней работы, а также на факультативных занятиях или занятиях математического кружка. Математические диктанты предназначаются для систематизации теоретических знаний учащихся и могут предшествовать контрольной работе. Диктант представляет собой набор из 10 небольших задач по прямому применению полученных знаний о движениях из учебника. В учебнике геометрии И.Ф. Шарыгина реализуется авторская концепция построения школьного курса геометрии. Глава «Преобразования плоскости» изучается в 9 классе и завершает теоретическую часть курса планиметрии. В отличие от геометрических курсов, в которых понятие движения положено в их основу, в данном учебнике такие виды движения, как симметрия относительно точки и относительно прямой, служат для доказательства теорем, а такие виды движения, как поворот и параллельный перенос являются объектом изучения. В первом пункте вводится понятие движения: движением называется такое преобразование плоскости, которое не меняет расстояние между парами 22 точек, т.е. если точки А и В в результате движения переходят в точки А1 и В1, то АВ = А1В1 [11]. Далее теорема 12.1. (основное свойство движений): результатом двух последовательных движений плоскости является движение плоскости – приводится доказательство теоремы, а затем рассматривают две основные теоремы о движении плоскости также с доказательствами [11]. Теорема 12.2 (основной способ задания движения): любое движение плоскости полностью задается движением трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой [11]. И теорема 12.3 (о возможности представления любого движения через осевые симметрии): любое движение плоскости может быть получено с помощью не более чем трех осевых симметрий [11]. В следующем пункте рассматривают виды движений плоскости. Теорема 12.4. (о представлении параллельного переноса в виде двух симметрии): в результате двух последовательных осевых симметрии с параллельными осями любая точка А плоскости переходит в такую точку А1, что вектор АА1 постоянен для всех точек плоскости. Такое преобразование называется параллельным переносом. Сам вектор АА’ называется вектором параллельного переноса [11]. И затем теорема 12.5 (о представлении поворота в виде двух симметрий): пусть две прямые и на плоскости пересекаются в точке О и образуют между собой угол α (α ≤ 90). В результате двух последовательных симметрии относительно прямых и мы получим поворот на угол 2α вокруг точки О. При этом направление поворота то же, что и у поворота на угол α, переводящего прямую в прямую [11] с доказательством. Здесь же рассматриваются такие темы как «Три осевые симметрии» и «Скользящая симметрия», отмеченные звездочкой, т.е. предназначены для углубленной подготовки. Задачный материал дифференцирован по уровню сложности. Преобразование подобия в данном учебнике не рассматривается. Изучение подобия треугольников предваряется доказательством теоремы 23 Фалеса и теоремы о пропорциональных отрезках, что позволяет обоснование существования подобных треугольников. После доказательства признаков подобия треугольников доказывается свойство подобных фигур, вводятся определения подобия фигур и коэффициента подобия. Последней темой данного курса является изучение еще одного преобразования плоскости, не являющегося движением, а именно гомотетии. Однако здесь не рассматривается свойство, что гомотетия является преобразованием подобия. К учебнику прилагается рабочая тетрадь В.Б. Алексеева, В.Я. Галкина и др., в которую включена тема «Преобразования плоскости». В тетради разобраны многие задачи, имеющиеся в учебнике, а также представлены другие задачи. Работа с тетрадью рекомендована строго после изучения материалов учебника. Задачи, содержащиеся в тетради, предполагают разную степень участия ученика в процессе решения. Решения некоторых задач приведены полностью, их надо внимательно прочитать и осознать, для того, чтобы следующие задачи решить по аналогии или с использованием похожих соображений. В решении большинства задач имеются пропуски, которые нужно заполнить: привести ссылку на формулы или теоремы, несложные вычисления. При этом оставленные отдельно слова и фразы помогут понять логику решения. Задания по теме «Преобразования плоскости» выделены в два занятия. В каждом занятии представлены задачи от простых, закрепляющих основные геометрические понятия и факты, до достаточно сложных, что помогает организовать работу учеников, как по базовой программе, так и по программе углубленного изучения движений. 24 Глава 2. Методические аспекты изучения темы «Движения» 2.1. Анализ примерной программы по геометрии к учебнику «Геометрия», 7-9, Атанасян Л.С. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования определяет содержание темы «Движения» четырьмя видами движений (рис. 1): Примерное тематическое планирование по теме «Движения» из сборника рабочих программ по Бурмистровой. [6] 25 геометрии для 7-9 классов Т.А. Рассмотрев обязательные результаты обучения по теме "Движения" по государственному стандарту основной школы и старшей школы можно сказать следующее, учащиеся должны: - знать такие понятия как преобразования, движения, симметричные точки, центр симметрии, ось симметрии, симметричные фигуры, поворот, угол поворота, параллельный перенос; - уметь использовать свойства движений при решении задач; строить точки, симметричные относительно данной точки и простейшие фигуры, симметричные относительно данной точки; строить точки и простейшие фигуры, симметричные данным, относительно прямой; строить образы простейших фигур при повороте; применять теоретический материал для решения задач. 2.2. Методические рекомендации по изучению темы «Движения» 2.2.1. Понятие движения 1. В школьном курсе геометрии геометрические преобразования рассматриваются как точечные преобразования, то есть такие преобразования, когда каждой точке плоскости ставится в соответствие другая точка плоскости. Поэтому говорят, что задано отображение плоскости на себя (учебник Л.С. Атанасяна и др. и учебник И.Ф. Шарыгина) или преобразование одной фигуры в другую (учебник А.В. Погорелова и учебник А.Д. Александрова и др.), если, во-первых, указан способ, с помощью которого каждой точке А плоскости ставится в соответствие некоторая точка А1, и, во-вторых, каждая точка плоскости (фигуры) оказывается поставленной в соответствие другой точке плоскости (другой фигуры). 2. При введении определения движения полезно сделать рисунок 2. Заметим, что понятие движения в геометрии связано с обычным представлением о перемещении. 26 Поэтому можно представить, что мы передвигаем фигуру F по плоскости. При введении определения движения плоскости или фигуры основное внимание необходимо направить на понимание определения. Другими словами, если в условии или заключении теоремы или задачи сказано: «движение…», то учащиеся должны понимать, что выполняются два условия: во-первых, указан способ, с помощью которого каждой точке А плоскости или фигуры ставится в соответствие некоторая точка А1, и при этом каждая точка плоскости или фигуры оказывается поставленной в соответствие какой-то одной точке плоскости или фигуры, в которую переходит данная фигура; во-вторых, «движение сохраняет расстояния между точками», то есть если точкам А и В ставятся в соответствие точки А1 и В1, то выполняется равенство А1В1=АВ. Для того, чтобы проверит правильность усвоения определения, можно предложить упражнение. Точки C и D при движении переходят в точки C1 и D1. Чему равно расстояние между точками С1 и D1, если CD=6 см. Полезно также привести контрпримеры, то есть задать такое преобразование плоскости, которое не является движением. Для этого можно предложить следующие упражнения. Дана некоторая прямая. Поставим каждой точке плоскости в соответствие ее проекцию на эту прямую. Является ли данное преобразование плоскости движением? [Нет, не выполняется первое условие.] 27 На плоскости отмечена точка О. Через точку О и каждую точку плоскости Х проведем луч ОХ и отложим на этом луче точку Х1 так, что ОХ1=2ОХ. Является ли данное преобразование плоскости движением? [Нет, не выполняется второе условие.] 3. Для целостного восприятия понятия движения полезно познакомить учащихся со свойствами движения: «Два движения, выполненные последовательно, дают снова движение» и «Преобразование, обратное движению, также является движением». Объяснение целесообразно начинать с разъяснения формулировок теорем. При объяснении первого свойства следует пояснить, что означает последовательное выполнение двух движений. Первое движение переводит точку А фигуры F в точку А1 фигуры F1, а второе – точку А1 фигуры F1 в точку А2 фигуры F2 (рис. 3). Два этих движения можно заменить одним преобразованием, непосредственно переводящим точку А фигуры F в точку А2 фигуры F2, при этом различные точки переходят в различные точки. Затем следует показать, что полученное преобразование сохраняет расстояния и, следовательно, является движением. Пусть две различные точки А и В первое движение переводит в точки А1 и В1, а второе – точки А1 и В1 в точки А2 и В2. Так как при движении расстояния сохраняются, АВ=А1В1=А2В2, то следовательно, полученное преобразование является движением. При свойства рисунок объяснении можно 2. Пусть второго использовать некоторое преобразование переводит фигуру F в фигуру F1. При этом преобразовании некоторая точка А фигуры F переходит в точку А1 фигуры F1. Пусть другое преобразование переводит точку А1 фигуры F1 в точку А фигуры F. Второе 28 преобразование называется преобразованием, обратным первому преобразованию. Доказательства этих свойств следует проводить в соответствии с учебниками. Как правило, доказательство второго свойства аналогично доказательству первого, поэтому его можно провести фронтально или предложить учащимся для самостоятельной работы. 4. Для обоснования равенства фигур через совмещение их движением необходимо ввести и обосновать следующие свойства движения: при движении отрезок отображается на отрезок; при движении прямая отображается на прямую; при движении полупрямая отображается на полупрямую; при движении угол отображается на равный ему угол. К доказательству этих свойств возможны разные подходы. В учебнике Л.С. Атанасяна и др. доказательство этих свойств опирается на доказательство утверждения: «При движении отрезок отображается на отрезок». В учебнике А.В. Погорелова эти свойства доказываются с опорой на теорему: « При движении точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения». Схемы их доказательств аналогичны. Рассмотрим доказательство теоремы из учебника А.В. Погорелова. Проанализируем условие теоремы. Возьмем на прямой а три различные точки А, В и С. (рис. 4). Пусть для определенности точка В лежит меду точками А и С, отсюда по аксиоме измерения отрезков следует: АС=АВ + ВС. Движение переводит точку А в точку А1, точку В в точку В1, точку С в точку С1, значит, по определению движения АС=А1С1, АВ=А1В1 и ВС=В1С1. Затем, выделив в формулировке теоремы условие (А а, В а и С а, АС=АВ + ВС, А А1, В В1, С С1; АС=А1С1, АВ=А1В1, ВС=В1С1) и заключение (А1С1=А1В1 + В1С1), выполним краткую запись. Дано: А а, В а и С а; АС=АВ + ВС; 29 А А1, В В1, С С1; АС=А1С1, АВ=А1В1, ВС=В1С1. Доказать: А1 а1, В1 а1, С1 а1; А1С1= А1В1 + В1С1. Предположение о том, что точки А1, В1 и С1 не лежат на одной прямой, полезно проиллюстрировать рисунком 5. После этого можно воспроизвести доказательство из учебника. Справедливость утверждения «При движении прямые переходят в прямые» следует из того, что три точки одной прямой переходят в три точки, лежащие на другой прямой. Для доказательства третьего следствия – «При движении полупрямые переходят в полупрямые» - очень важно, что точки прямых переходят в определенном порядке, поскольку необходимо зафиксировать начало полупрямой. Справедливость утверждения «При движении отрезки переходят в отрезки» следует из того, что если некоторая точка Х принадлежит отрезку АВ, то при движении точки А и В перейдут в точки А1 и В1, а точка Х в точку Х1, принадлежащую отрезку с концами в точках А1 и В1. При доказательстве утверждения «При движении угол отображается на равный ему угол» полезно выписать равенства, следующие из определения движения: АС=А1С1, АВ=А1В1, ВС=В1С1. После чего треугольников АВС и А1В1С1 делается вывод о равенстве углов. 30 равенства 2.2.2. Симметрия относительно точки 1. Как правило, понятие точки, симметричной данной относительно точки, в учебниках вводится конструктивно, то есть задается правило построения точки, симметричной данной относительно фиксированной точки. При введении определения преобразования симметрии относительно точки основное внимание необходимо направить не на запоминание учащимися формулировки определения, а на его понимание. Другими словами, если в условии сказано: «точка Х симметрична точке Х1 относительно точки О», то учащиеся должны записать в ходе решения задачи ОХ=ОХ1 , а в краткой записи условия кроме записи ОХ=ОХ1 добавить «и Х1 лежит на луче ХО». Если же в условии сказано: «фигура F симметрична фигуре F1 относительно точки О», то учащиеся должны понимать, что в этом случае точка Х фигуры F переходит в точку Х1 фигуры F1, и записать в ходе решения задачи ОХ= ОХ1, а в краткой записи условия кроме записи ОХ= ОХ1 добавить «и О лежит на отрезке ХХ1». В заданиях наиболее часто встречается понятие центральносимметричной фигуры, то есть фигуры, которую преобразование симметрии относительно точки О переводит в себя, при этом точка О называется центром симметрии фигуры. При введении определения следует обратить внимание учащихся на ту характеристику, которая позволяет из всех преобразований выделить конкретное преобразование, а именно симметрию относительно точки. В данном случае это равенство расстояний ОХ= ОХ1 и принадлежность точки Х1 лучу ХО. Для проверки усвоения понятия симметрии относительно точки можно предложить учащимся несколько простых заданий и вопросов. Дана точка О. Постройте точку А1, симметричную точке А относительно точки О. Какая точка симметрична точке А1 относительно точки О? 31 Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Назовите точку, симметричную точке А (точке В, точке С, точке D) относительно точки О. Может ли у треугольника быть центр симметрии? 2. Во всех учебниках тем или иным способом доказывается свойство центральной симметрии: «Преобразование симметрии относительно точки является движением». Определенные трудности у учащихся может вызвать построение рисунка и краткая запись условия и заключения этой теоремы. Проанализируем условие теоремы. Пусть X и Y – две произвольные точки фигуры F. Данное преобразование симметрии относительно точки О переводит точку Х фигуры F в точку Х1 фигуры F1, а точку Y фигуры F в точку Y1 фигуры F1. Так как в условии дано преобразование симметрии относительно точки, значит, ОХ= ОХ1 и OY=OY1. Выполним краткую запись: Дано: О центр симметрии; Х ϵ F, Y ϵ F; Х1ϵ F1, Y1ϵ F1; Х Х 1 , Y Y1 ; ОХ= ОХ1 , OY=OY1. Доказать: XY=X1Y1. Конфигурация, получившаяся на рисунке 6, хорошо знакома учащимся: два отрезка, пересекающиеся в середине. Доказательство равенства, сформулированного в заключении теоремы со ссылкой на первый признак равенства треугольников, учащиеся могут провести самостоятельно. На прямое применение теоремы можно предложить следующее упражнение. Точки А и В при симметрии относительно точки О переходят в точки А1 и В1. Чему равна длина отрезка А1В1, если отрезок АВ=5 см? На закрепление этого свойства центрально симметрии можно предложить учащимся выполнить следующие задания. 32 Точка F – середина стороны АС в треугольнике АВС. Постройте точку D, симметричную точке В относительно точки F, и докажите, что четырехугольник АВСD – параллелограмм. Нарисуйте равносторонний треугольник АВС. Постройте треугольник А1В1С1, симметричный данному относительно вершины С. Докажите, что точки А, В, А1, В1 являются вершинами прямоугольника. 2.2.3. Симметрия относительно прямой 1. Понятие точки, симметричной данной относительно прямой, в учебниках также вводится конструктивно, то есть задается правило построения точки, симметричной данной относительно фиксированной прямой. При введении определения преобразования симметрии относительно прямой основное внимание необходимо направить на его понимание. А именно, если в условии сказано: «точка Х симметрична точке Х1 относительно прямой g», то учащиеся должны записать в ходе решения задачи или в краткой записи условия g┴ХХ1 и АХ=АХ1, где А – точка пересечения отрезка ХХ1 с прямой g. Если же в условии сказано: «фигура F симметрична фигуре F1 относительно прямой g», то учащиеся должны понимать, что в этом случае точка Х фигуры F переходит в точку Х1 фигуры F1, и записать в ходе решения задачи или в краткой записи условия g┴ХХ1 и АХ=АХ1. В заданиях наиболее часто встречается понятие фигуры, симметричной относительно прямой g, то есть фигуры, которую преобразование симметрии относительно прямой g переводит в себя, при этом прямая g называется осью симметрии данной фигуры. Как всегда, при введении определения следует обратить внимание учащихся на те признаки, которые позволяют из всех преобразований выделить конкретное преобразование, а именно, симметрию относительно прямой. В данном случае – это перпендикулярность оси симметрии g и прямой, проходящей через точки Х и Х1, и равенство расстояний АХ=АХ1. 33 Если введено понятие серединного перпендикуляра, то полезно заметить, что ось симметрии g является серединным перпендикуляром к отрезку ХХ1. Для проверки усвоения понятия симметрии относительно прямой можно предложить учащимся несколько простых заданий и вопросов. Постройте точку А1, симметричную точке А относительно прямой g. Какая точка симметрична точке А1 относительно прямой g? Может ли у треугольника быть ось симметрии? 2. Во всех учебниках так или иначе доказывается свойство осевой симметрии: «Преобразование симметрии относительно прямой является движением». Определенные трудности у учащихся может вызвать построение рисунка и краткая запись условия и заключения этой теоремы. Проанализируем условие теоремы. Пусть А и В – две произвольные точки фигуры F. Данное преобразование симметрии относительно прямой g переводит точку А фигуры F в точку А1 фигуры F1, а точку В фигуры F в точку В1 фигуры F1. Так как в условии дано преобразование симметрии относительно прямой, значит, АМ1=А1М1 и ВМ2=В1М2, g┴АА1 и g┴ВВ1. Выполним краткую запись. Дано: Прямая g – ось симметрии; А ϵ F, B ϵ F; A1ϵ F1, B1ϵ F1; А А1 , В В1 ; AM1=A1M1, BM2=B1M2; g┴AA1, g┴BB1. Доказать: А1В1=АВ. Доказательство этой теоремы в учебнике Л.С. Атанасяна и др. проводится с опорой на равенство прямоугольных треугольников (см. рис. 7), а в учебнике А.В. Погорелова используется координатный метод. На прямое применение теоремы можно предложить следующее упражнение. 34 Точки С и В при симметрии относительно прямой n переходят в точки С1 и D1. Чему равна длина отрезка С1D1, если отрезок СD равен 3,5 см? Кроме того, полезно провести исследование других возможных расположений точек А и В. 1. Точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси симметрии g (рис. 8). 2. Точки А и В лежат в разных полуплоскостях относительно оси симметрии g (рис. 9). 3. Точки А и В лежат на прямой, параллельной оси симметрии g (рис. 10). На закрепление понятия движение плоскости с использованием понятия осевой симметрии можно предложить учащимся выполнить следующее задание. Треугольник АВD – равнобедренный, АВ=AD. Постройте точку С, симметричную точке А относительно стороны BD и докажите, что четырехугольник ABCD – ромб. 2.2.4. Параллельный перенос и поворот 1. При введении понятия параллельный перенос полезно заметить, что при параллельном переносе точки сдвигаются на одно и то же расстояние и в одном и том же направлении. Другими словами, можно представить, что фигура F передвигается по плоскости в заданном направлении (рис. 11). При этом любая точка плоскости передвигается так же, как и точки фигуры F. 35 Понятие параллельного переноса в учебнике Л.С. Атанасяна и др. вводится с опорой на понятие вектора как направленного отрезка. В учебнике А.В. Погорелова понятие параллельный перенос вводится в координатной форме. Во всех учебниках это понятие вводится конструктивно, то есть задается правило построения точки, в которую переходит данная точка при параллельном переносе. Из определения параллельного переноса можно сделать вывод: «при параллельном переносе точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние». 2. Для доказательства утверждения «Параллельный перенос является движением» проанализируем его формулировку. Пусть А и С две произвольные точки плоскости, а B и D – точки, в которые они отображаются (рис. 12). Так как в условии дано преобразование параллельный перенос, то по определению параллельного переноса СD AB a и CD║АВ║ a . Выполним краткую запись: Дано: а - вектор; А В, C D; СD AB a ; CD║АВ║ a . Доказать: АС= BD. Доказательство этой теоремы в учебнике Л.С. Атанасяна и др. проводится с опорой на признак и свойства параллелограмма, а в учебнике А.В. Погорелова используется координатный метод и признак и свойства параллелограмма. 3. Преобразование поворот около данной точки является еще одним примером движения. При введении этого понятия полезно заметить, что при повороте все точки фигуры F поворачиваются на один и тот же угол в заданном направлении: 36 либо по часовой стрелке, либо против. Другими словами, можно представить, что фигура F передвигается на плоскости по окружности в заданном направлении (рис. 13). При этом любая точка плоскости передвигается так же, как точки фигуры F. Как и понятия осевой и центральной симметрий, понятие поворота вводится конструктивно. Пусть дана точка О. На окружности с центром в точке О можно задать два направления обхода по часовой стрелке и против нее. Этим задаются и два направления отсчета углов от выходящих из фиксированной точки О лучей (рис. 14). При введении определения поворота около данной точки О необходимо обратить внимание учащихся на следующее. Если сказано: «выполнен поворот фигуры F около данной точки на заданный угол α», то это означает, что каждой точке Х фигуры F сопоставляется точка Х1 фигуры F1 и при этом выполняются следующие условия (рис. 15): 1) ОХ=ОХ1; 2) Луч ОХ1 откладывается от луча ОХ в заданном направлении; ХОХ 1 3) Другими словами, каждый луч с началом в данной точке поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении. Следует также отметить, что точка О переходит в саму себя. На прямое применение теоремы можно предложить следующее упражнение. Постройте точку А1, в которую переходит точка А, при повороте около точки О на угол 60 0 по часовой стрелке. 37 Доказательство утверждения «Поворот является движением» рассматривается не во всех учебниках, а если доказательство проводится, то, как правило, с опорой на первый признак равенства треугольников. Поэтому это материал можно предложить учащимся для самостоятельной работы. 2.3. Примеры самостоятельных и контрольных работ по теме «Движения» Самостоятельная работа №1 «Центральная и осевая симметрии» Самостоятельная работа планируется на 20 мин. Вариант 1 1. На рисунке изображен угол АВС. Постройте угол, симметричный данному относительно оси l. 2. Докажите, что при движении вертикальные углы отображаются на вертикальные углы. Вариант 2 1. На рисунке изображен угол АВС. Постройте угол, симметричный данному относительно центра О. 2. Докажите, что при движении сменные углы отображаются на смежные. Вариант 3 1. Постройте произвольный треугольник и его образ при симметрии относительно прямой, содержащей биссектрису одного из его внешних углов. 2. Докажите, что при движении подобные ромбы отображаются в подобные ромбы. 38 Вариант 4 1. Постройте произвольный треугольник и его образ при симметрии относительно точки пересечения его высот. 2. Докажите, что при движении подобные прямоугольники отображаются на подобные прямоугольники. Самостоятельная работа №2 «Параллельный перенос и поворот» Самостоятельная работа планируется на 30 мин. Вариант 1 1. При параллельном переносе вершина С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС ( С - прямой) переходит в вершину А, а треугольник АВС переходит в треугольник А1АВ1. Определите вид четырехугольника А1В1ВС. 2. Угол АВС, равный α (α < 900), при повороте около точки В на 900 в направлении от А к С переходит в угол А1ВС1. Найдите градусную меру угла АВС1. Вариант 2 1. При параллельном переносе вершина А равностороннего треугольника АВС переходит в вершину С, а равносторонний треугольник АВС переходит в треугольник СВ1С1. Определите вид четырехугольника АВВ1С. 2. Угол АВС, равный α (α < 900), при повороте около точки В на 900 в направлении от А к С переходит в угол А1ВС1. Найдите градусную меру угла СВА1. Вариант 3 1. Постройте образ угла МОН при параллельном переносе на вектор АА1. 2. Постройте образ А1В1 хорды АВ при ее повороте вокруг центра окружности 39 на 450 против часовой стрелки. Сравните длины АВ и А1В1. Вариант 4 1. Точки А и В принадлежат окружности с центром О. Постройте образ А1ОВ1 сектора АОВ при вращении вокруг центра О на 600 по часовой стрелке. Сравните дуги АВ и А1В1. 2. Постройте образ угла ЕОF при параллельном переносе на вектор ММ1. Контрольная работа Вариант 1 1. Дан прямоугольный равнобедренный треугольник АВС. Определите, какая получится фигура при симметрии данного треугольника относительно прямой, содержащей его катет. 2. Докажите, что правильный шестиугольник при повороте на 600 вокруг своего центра отображается на себя. 3. При симметрии относительно прямой а отрезок LM переходит в отрезок KN. Прямые а и LM не параллельны. Определите вид четырехугольника LMNK. 4. Докажите, что две окружности равны, если их радиусы равны. 5. Дана окружность с центром в точке О и радиусом равным R. При параллельном переносе центр окружности точка О отображается на точку О1, лежащую на этой окружности. Точки А и В являются точками пересечения окружности с центром в точке О и окружности с центром в точке О1. Постройте точки А1 и В1, которые являются прообразами точек А и В, и точки А2 и В2, которые являются образами 40 точек А и В при параллельном переносе на вектор ОО1 . Найдите длину отрезка ОА2. Вариант 2 1. Дан прямоугольный равнобедренный треугольник АВС. Определите, какая получится фигура при симметрии данного треугольника относительно прямой, содержащей его гипотенузу. 2. Докажите, что правильный четырехугольник при повороте на 90 0 вокруг своего центра отображается на себя. 3. При симметрии относительно точки О отрезок DC переходите в отрезок FG. Точка О не принадлежит прямой DC. Определите вид четырехугольника DCFG. 4. Докажите, что ромбы равны, если равны их диагонали. 5. Дана окружность с центром в точке О и радиусом равным R. При параллельном переносе центр окружности точка О отображается на точку О1, лежащую на этой окружности. Точки А и В являются точками пересечения окружности с центром в точке О и окружности с центром в точке О1. Постройте точки А1 и В1, которые являются прообразами точек А и В, и точки А2 и В2, которые являются образами точек А и В при параллельном переносе на вектор ОО1 . Найдите длину отрезка АВ. Вариант 3 1. 1) Начертите квадрат АВСD и отметьте на диагонали точку М, не совпадающую с точкой пересечения диагоналей. Постройте образ этого квадрата при переносе на вектор АМ. 2) Дан прямоугольный треугольник АВС ( С 90 0 ). Постройте его образ при повороте вокруг центра С на 900 по часовой стрелке. Чему равен угол между АВ и А1В1, если АВ А1 В1 ? 41 2. Каким условиям должны удовлетворять два угла, чтобы один из них можно было получить из другого при помощи параллельного переноса? 3. Докажите, что прямая, содержащая середины двух параллельных хорд окружности, проходит через ее центр. 4*. Начертите два непараллельных отрезка AB и CD, длины которых равны. Постройте центр поворота, отображающего АВ на CD ( А С , B D ) Вариант 4 1. 1) Начертите параллелограмм АВСD и отметьте на стороне ВС произвольную точку М. Постройте образ этого параллелограмма при переносе на вектор АМ. 2) Начертите произвольный треугольник АВС и постройте его образ при повороте вокруг центра С на 600 против часовой стрелки. Чему будет равен угол между АВ и А1В1, если АВ А1 В1 ? 2. Дан угол АОВ, ОС – биссектриса этого угла, М ОА , К ОВ , причем ОМ=ОК. Докажите, что точки М и К симметричны относительно прямой ОС. 3. Даны две точки А(-5; 3) и В(3; 5). Докажите, что точка В может быть получена из точки А поворотом вокруг начала координат на 90 0 по часовой стрелке. 4*. Постройте треугольник, равный данному, так, чтобы основание его принадлежало данной прямой а, а вершина – данной прямой b. 42 Заключение Данная курсовая работа посвящена разработке методических аспектов изучения темы «Движения» в курсе геометрии основной школы. В первой главе работы рассмотрены теоретические основы изучения темы «Движения» в курсе геометрии, а именно: цели обучения математике, в частности геометрии, в школе, приведен обзор изложения данной темы в школьных учебниках. Вторая глава посвящена разработке методических аспектов изучения темы «Движения». Приведены методические рекомендации по изучению понятия движения, осевой и центральной симметрий, параллельного переноса и поворота, а также примеры самостоятельных и контрольных работ по данной теме. Таким образом, цель исследования, состоящая в разработке методических аспектов изучения движения в курсе геометрии основной, школы достигнута. В ходе проделанной работы, мы: Исследовали ряд учебников и учебных пособий по геометрии на предмет изучения темы «Движения»; Выявили степень разработанности проблемы в психологопедагогической и научно-методической литературе; Выявили теоретические основы обучения данной теме в основной школе; На основании изученного, разработали методические аспекты изучения темы «Движения». Следовательно, задачи, поставленные для достижения данной цели, реализованы. 43 Библиографический список 1. Александров, А.Д. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. Шк. / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 1992. 2. Александров, А. Д. Геометрия для 9 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики/А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. – 3 – е изд. – М.: Просвещение, 1996. 3. Алексеев, В.Б. Геометрия: рабочая тетр. к учеб. И.Ф. Шарыгина "Геометрия 7-9"9 кл. В 2 ч. / В.Б. Алексеев, В.Я. Галкин, В.С. Панферов; Под ред. И.Ф. Шарыгина. - М. : Дрофа, 2000 4. Атанасян, Л.С. Геометрия, 7-9: учеб. Для общеобразоват. Учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 18-е изд. – М. :Просвещение, 2008.- 384 с. 5. Атанасян, Л.С. Изучение геометрии в 7-9 классах: Метод. Рекомендации к учеб.: Кн. Для учителя / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков и др.-3-е изд.- М.: Просвещение, 2000. 6. Бурмистрова, Т.А. Геометрия. Сборник рабочих программ. 7-9 классы: пособие для учителей общеобразов. учреждений / составитель Т.А. Бурмистрова. М.: Просвещение, 2011. 7. Гусев, В.А. Дидактические материалы по геометрии 9 класс / В.А. Гусев, А.И. Медяник. — 7-е изд. — М.: Просвещение, 2001 8. Зив, Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы 9 класс / Б.Г. Зив.- 11-е изд. – М.: Просвещение, 2009. 9. Погорелов, А.В. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / А.В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2000. 10.Погорелов, А. В. Геометрия, 7 – 11: Учеб. для общеобразовательных Учреждений / А. В. Погорелов – 2 – е изд. – М.: Просвещение, 1991. 11.Шарыгин, И.Ф. Геометрия. 7-9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. завед. – 6- е изд., стереотип.- М.: Дрофа, 2002. 12.Яглом И.М. Геометрические преобразования, том 1 / М.- 1955 13.http://www.geometry2006.narod.ru 44 45
