

(10 класс, модуль V, урок 4)
Урок 4. Ограниченные и монотонные последовательности
План урока




4.1. Теорема о переходе к пределу в неравенстве
4.2. Ограниченные последовательности
4.3. Монотонные последовательности
4.4. Теорема Вейерштрасса о существовании предела у ограниченной
монотонной последовательности
 4.5. Число Эйлера.
 4.6. Алгоритм извлечения корня квадратного из числа
 Тесты
 Домашнее задание
Цели урока:
На этом уроке формулируются и доказываются утверждения о
переходе к пределу в неравенстве, и об ограниченности сходящейся
последовательности. Рассматриваются монотонные последовательности и
формулируется теорема Вейерштрасса о существовании предела у
ограниченной монотонной последовательности. Эта теорема во многих
случаях
позволяет
находить
пределы
довольно
сложных
последовательностей, используя известные пределы некоторых стандартных
последовательностей,
а
также
доказывать
сходимость
последовательности, не зная ее предела.
4.1. Теорема о переходе к пределу в неравенстве
Лемма 1. Если последовательность ( a n ) сходится к числу a  0 , то
найдется такое число M, что для всех номеров n  M члены an
положительны. Если последовательность ( a n ) сходится к числу a  0 , то
найдется такое число M, что для всех номеров n  M члены an
отрицательны.
a
Доказательство. Если lim an  a  0 , то, взяв   , придем к
n
2
существованию такого числа M, что для всех номеров n  M выполняются
a
a
неравенства a   an  a  . Правое неравенство нас не интересует, а из
2
2
левого следует, что для всех n  M
a
an   0 .
2
Чтобы установить справедливость второго утверждения, достаточно
рассмотреть последовательность (an ) , которая сходится к числу  a  0 .
Лемма 2. Если все члены сходящейся последовательности ( a n ) не
lim an  a  0 .
меньше
0,
то
Если
все
члены
сходящейся
n
последовательности ( a n ) не больше 0, то lim an  a  0 .
n
Доказательство. Предположим, что все члены последовательности
an  0 , но a  0 . Тогда по второму утверждению леммы 1 все члены
последовательности с достаточно большими номерами меньше 0.
Полученное противоречие приводит к тому, что a  0 . Второе утверждение
леммы доказывается аналогично.
Теорема
(о
переходе
к
пределу
в
неравенстве).
Если
последовательности ( a n ) и (bn ) сходятся, и для всех n выполняется
неравенство an  bn , то lim an  lim bn .
n
n
Доказательство. По лемме 2 из неравенства
lim (an  bn )  lim an  lim b n  0 .
n 
n 
an  bn  0 следует
n 
1
1
, bn  
при
n
n
переходе к пределу в строгом неравенстве не обязательно получается
1
1
1
 1
строгое неравенство. В самом деле,   , но lim  lim     0 .
n


n


n
n
n
 n
Заметим, что лемма 2 и теорема о переходе к пределу в неравенстве
справедливы,
если
соответствующие
неравенства
для
членов
последовательностей выполняются для всех достаточно больших номеров.
Как показывает пример последовательностей an 
4.2. Ограниченные последовательности
Отметим одно простое, но важное свойство последовательностей,
имеющих предел.
Сначала дадим определение.
Последовательность ( a n ) называется ограниченной, если ее члены
принадлежат некоторому отрезку m; M  числовой оси.
Ограниченность последовательности ( a n ) означает, что можно найти два
таких числа m и M, что m  an  M для всех натуральных чисел n.
Теорема. Всякая последовательность, имеющая предел, ограничена.
lim a n  a .
Доказательство.
Пусть
Возьмем
произвольное
n 
положительное число  , например,   1 . По определению предела найдется
такое число M 0 , что при n  M 0 все члены ( a n ) этой последовательности
будут принадлежать интервалу a   ; a    , то есть при   1 будут
принадлежать интервалу a  1; a  1 . Следовательно, вне этого интервала
может находиться лишь конечное число членов последовательности ( a n ) .
Например, пусть такими оказались a1 , a3 , a4 , a8 , a9 . Поэтому, если взять
число m как наименьшее из чисел a1 , a3 , a4 , a8 , a9 и a 1, а число M как
a  1 , то все члены
последовательности ( a n ) будут содержаться в отрезке m; M . А это и
означает, что последовательность ( a n ) ограничена. Доказанная теорема
иногда позволяет установить, что некоторая последовательность не имеет
предела. Например, последовательность 1 , 2, 3, 4, … , n, ... не ограничена, а
поэтому предела не имеет.
Вопрос. Верно ли утверждение, обратное доказанной в этом пункте
теореме, то есть, если последовательность ограничена, то она имеет предел?
наибольшее
из
чисел
a1 , a3 , a4 , a8 , a9
и
4.3. Монотонные последовательности
Для решения практических задач важно иметь утверждения, с помощью
которых можно доказывать сходимость последовательности, не зная ее
предела. Одним из таких утверждений является теорема о пределе
монотонной и ограниченной последовательности. Чтобы сформулировать
эту теорему, дадим некоторые определения.
Последовательность ( a n ) называется возрастающей, если an1  an при
любом n N .
Последовательность ( a n ) называется строго возрастающей, если
an1  an при любом n N .
Последовательность ( a n ) называется убывающей, если an1  an при
любом n N .
Последовательность ( a n ) называется строго убывающей, если an 1  an
при любом n N .
Следуя
употребляемой
нами терминологии, всякая
«строго
возрастающая» последовательность является, в частности, «возрастающей»,
поскольку из справедливости неравенства an1  an вытекает справедливость
неравенства an1  an .Заметим еще, что существуют последовательности,
являющиеся одновременно и возрастающими, и убывающими – это
последовательности, все члены которых равны между собой, постоянные
последовательности. Добавление слова «строго» исключает возможность
совпадения членов последовательности.
Последовательности любых перечисленных типов – возрастающие,
строго возрастающие, убывающие или строго убывающие – принято назвать
монотонными. Таким образом, строго монотонная последовательность не
может иметь равных членов.
Иногда те последовательности, которые мы называем возрастающими,
называют неубывающими (а те, которые мы называем строго
возрастающими,
называют
возрастающими);
соответственно,
те
последовательности, которые мы называем убывающими, называют
невозрастающими (а те, которые мы называем строго убывающими,
называют убывающими). Такое словоупотребление достаточно логично,
однако применяя его, мы сталкиваемся с тем обстоятельством, что «не
убывающая» последовательность, т.е. та, которая «не является убывающей»,
не может быть названа «неубывающей», например, последовательность 1,
 1 , 1,  1 , 1,  1 , 1,  1 , 1,  1 , … .
4.4. Теорема Вейерштрасса о существовании предела у ограниченной
монотонной последовательности
Теорема Вейерштрасса. Каждая монотонная и ограниченная
последовательность имеет предел.
Примем эту теорему без доказательства и рассмотрим некоторые ее
применения. Заметим, что теорема Вейерштрасса верна и в том случае,
когда последовательность монотонна, начиная с некоторого номера.
Пример 1. Пусть x – действительное число, а ( xn ) и ( xn ) –
последовательности его десятичных приближений по недостатку и по
избытку соответственно. Тогда для каждого натурального n имеем
неравенства x1  x2  ...  xn  xn 1  xn 1  xn  ...  x2  x1 . Отсюда следует,
что последовательность ( xn ) возрастает, последовательность ( xn ) убывает, и
обе последовательности ограничены. Поэтому существуют lim xn  a ,
n
1
, то
10 n
1 
1

b  lim xn  lim  xn  n   lim xn  lim n  a .
n 
n 
n


n


10 
10

Значит, последовательности ( xn ) и ( xn ) имеют общий предел. Но так
как xn  x  xn при любом n  N , то этот общий предел равен числу x.
Итак, каждое действительное число является пределом как
последовательности своих десятичных приближений по недостатку, так и
последовательности своих десятичных приближений по избытку.
n
Пример 2. Найдем предел последовательности an  n , при каждом
x
x  1.
an1 n  1 1
n 1 1
1
  1 при n 

 . Так как
Заметим, что
, то
n x
x 1
an
n x
lim xn  b . Но так как xn  xn 
n
последовательность ( a n ) – убывающая при номерах, которые больше числа
1
. Далее, an  0 для всех n. Поэтому вследствие теоремы о пределе
x 1
монотонной ограниченной последовательности существует число p такое,
1
n 1
 an 
тоже сходится к p.
x
n
1
1
n 1
 1
Поэтому lim an 1   lim an  lim
, откуда p   p , p  1    0 ,
n 
n  n
x n 
x
 x
p  0.
что an  p при n   . Но an1 
Вопрос. Как с помощью теоремы Вейерштрасса доказать, что lim q n  0 ,
n
когда 0  q  1 ?
Пример 3. Вычислим предел последовательности an  n a при a  1 .
a , 3 a , … является убывающей последовательностью,
Тогда a ,
ограниченной снизу числом 1. Следовательно, существует такое число z ,
что n a  z , где z  1 . Но если z  1 , то выбрав   0 настолько малым,
чтобы z    1 , получим z    1  t , где t  0 . Тогда n a  1  t или
a  (1  t ) n  1  nt для почти всех n. Но 1  nt за счет выбора n может быть
сделано больше любого наперед выбранного числа. Следовательно,
неравенство a 1  nt для почти всех n невозможно.
Вопрос. Как доказать, что
n
a  1 при 0  a  1 ?
Это интересно
Вейерштрасс, Карл Теодор Вильгельм (31.10.1815-19.02.1897) –
немецкий
математик.
Исследования
Вейерштрасса
посвящены
математическому анализу, теории функций, вариационному исчислению,
дифференциальной геометрии и линейной алгебре. Много занимался
вопросами обоснования математического анализа на основе построенной им
теории действительных чисел.
(Приложение – портрет, рис. 1)
4.5. Число Эйлера
Рассмотрим последовательность
1 1 1
1
xn  1     ...  ,
1! 2! 3!
n!
1
где k! 1 2  3  ...  k . Заметим, что xn 1  xn 
. Поэтому xn 1  xn , то
(n  1)!
есть последовательность ( xn ) строго возрастает. Докажем, что эта
последовательность ограничена.
1
1

Возьмем число
. Все множители в знаменателе, начиная
k! 1  2  3  ...  k
со второго, больше двух либо равны двум. Если каждый такой множитель
заменить на 2, то дробь увеличится, поэтому
1
1
1
1


 k 1 .
k! 1  2  3  ...  k 1  2  2  ...  2 2
Значит,
xn  1 
1 1 1
1
1 1
1
   ...   1  1   2  ...  n 1 
1! 2! 3!
n!
2 2
2
1
1  2n
1
1
1
 3.
1
1 2
1  12
Таким образом, 0  xn  3 , и ограниченность последовательности ( xn )
доказана.
Следовательно, по теореме Вейерштрасса, последовательность ( xn )
сходится. Предел последовательности ( xn ) называется числом Эйлера,
обозначается через e и имеет в науке такое же важное значение, как и всем
известное число  . Можно доказать, что число e иррационально.
Приближенное значение числа e по недостатку с точностью до 25 знаков
равно 2,718281828459045235360287 .
1 1 1
1
Вопрос. Как доказать, что 1     ...   e для любого n  N ?
1! 2! 3!
n!
Это интересно
Эйлер, Леонард (04.04.1707-19.09.1783) – математик, механик и физик.
Швейцарец по происхождению, в 1726 году стал членом только что
организованной в Петербурге Академии наук, жил в России в 1727-1741 и
1766-1783 гг. Круг научных занятий Эйлера был необыкновенно широк, а
достижения чрезвычайно значительны. Его монографии «Введение в анализ
бесконечных» (в двух томах), «Дифференциальное исчисление»,
«Интегральное исчисление», «Универсальная арифметика» и др., написаны с
поразительной ясностью, снабжены ценными примерами. В них математика
излагается как единое целое, части которого находятся в тесной и глубокой
взаимосвязи. Большое внимание Эйлер уделял раскрытию путей, ведущих к
получаемому результату, благодаря чему многие книги Эйлера и сейчас не
потеряли актуальности, интересны не только специалистам, но и
приступающим к научным занятиям.
(Приложение – портрет, рис. 2)
4.6. Алгоритм извлечения квадратного корня из числа
Пусть последовательность ( xn ) задана рекуррентным соотношением
1
a
xn1   xn   ,
2
xn 
где a – данное положительное число, а x1 – произвольное положительное
число. Докажем, что независимо от выбора x1 последовательность ( xn )
сходится к a .
Если последовательность ( xn ) сходится, то ее предел p должен являться
1
a
корнем уравнения p   p   , которое приводится к уравнению p 2  a .
2
p
Так как xn  0 , то пределом может быть только a . Но для такого вывода
нужно еще обосновать сходимость последовательности ( xn ) .
Какое бы мы ни выбрали x1 – больше или меньше
a , имеем
(x  a )2
1
a
1
,
x2  a   x1    a 
( x 2  2 x1 a  a)  1
2
x1 
2 x1
2 x1
откуда x2  a . Вообще, для всякого n  2
(x  a )2
1
a 
1
  a 
.
xn  a   xn1 
( x 2  2 xn1 a  a)  n1
2
xn1 
2 xn1
2 xn1
Далее,
1
a  x2  a
,
xn  xn1  xn   xn    n
2
xn 
2 xn
поэтому последовательность ( xn ) убывает, как только xn  a , то есть при
n  1.
Таким образом, при начальном выборе x1  a последовательность x1 ,

x2 , x3 , …, x n , … убывает и ограничена снизу числом
a ; как мы уже
показали, ее предел p  a . Если же x1  a , то последовательность
убывает, начиная со второго члена, и предел ее опять равен a .
Оценим скорость сходимости последовательности x n к a . Обозначив
| xn  a | через  n , из формулы  находим
 n1 
xn  a
1
a
1
 n  1
n  n .
2 xn
2
xn
2
С каждым шагом отличие x n от
a уменьшается по крайней мере вдвое.
1
a
Рекуррентная формула xn1   xn   дает нам очень простой и
2
xn 
удобный вычислительный алгоритм, обладающий к тому же высокой
скоростью сходимости. Очень легко составить по этому алгоритму
программу вычисления корня квадратного из числа. Даже, взяв начальное
приближение 1 равное 1000, через 10 итераций погрешность 11 будет
составлять число, заведомо меньше 1 ( 210  1024) . Наш алгоритм оказался
не только быстросходящимся, но и устойчивым – при любом выборе
начального приближения он приводит к a с нужной степенью точности, а
при случайном сбое в вычислении n–го приближения, сделанная ошибка
быстро стремится к 0; при сбое для получения требуемой точности нужно
взять чуть больше итераций.
Вопрос. Пользуясь указанным алгоритмом, с помощью калькулятора
приближенно вычислите a для нескольких значений a.
Это интересно
1
a
Формула xn1   xn   нахождения приближения квадратного корня
2
xn 
из числа a известна как формула Герона (I век н. э.). В Древней Греции этот
метод был известен Архиту из Тарента (первая половина IV в. до н. э.), но
еще в древнем Вавилоне для приближенного извлечения квадратного корня
a  xn2
использовалась формула xn1  xn 
, эквивалентная формуле Герона.
2 xn
Герон – древнегреческий математик и инженер, работавший в
Александрии; жил, предположительно, в I веке н. э. Математические работы
Герона являются энциклопедией античной прикладной математики. Кроме
правил нахождения квадратных и кубических корней, широко известна
формула Герона для определения площади треугольника по его сторонам.
(Приложение – портрет, рис. 3)
Архит – древнегреческий математик и астроном (около 430 365 до н. э.).
Ему принадлежит решение задачи удвоения куба, использующее
пересечение нескольких поверхностей вращения. Архиту приписывается
установление первых принципов механики, а также изобретение винта и
блока.
(Приложение – портрет, рис. 4)
Мини-исследование
Попробуйте доказать, что оценку точности  n можно существенно
улучшить. Справедливо рекуррентное соотношение
 n21
 n 1 
,
2( a   n )
из которого следует, что  n 1 
 n21
, т. е. погрешность в вычислених в
2 a
алгоритме Герона на (n  1) -м шаге с точностью до константы не
превосходит квадрата погрешности, полученной на n-м шаге алгоритма.
Мини-исследование
Попробуйте изучить алгоритм извлечения кубического корня из
положительного числа a, основанный на рекуррентной формуле для
1
a
приближений: xn 1   2 xn  2  .
3
xn 
Для
этого,
1) воспользовавшись
неравенством
среднего
арифметического и среднего геометрического для трех положительных
1
a 3
 a;
чисел 3 xyz  ( x  y  z ) , установите, что xn 1  3 a и
3
xn2
2) установите, что xn 1  xn ; 3) установите, что существующий по теореме
Вейерштрасса предел p последовательности ( xn ) является корнем уравнения
p3  a .
Проверь себя. Ограниченные и монотонные последовательности
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Какие из утверждений верны:
 1. всякая сходящаяся последовательность ограничена;
 2. всякая ограниченная последовательность сходится;
 3. всякая монотонная последовательность сходится;
 4. всякая сходящаяся последовательность монотонна.
(Правильный вариант: 1)
Какие из утверждений верны:
 1. всякая сходящаяся последовательность монотонна и ограничена;
 2. всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится;
 3. всякая монотонная последовательность ограничена;
 4. всякая ограниченная сходящаяся последовательность монотонна.
(Правильный вариант: 2)
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Пусть последовательность ( an ) обладает свойством: для всех номеров n
a
справедливо неравенство n 1  1 , причем a1  0 . Последовательность ( an )
an
может быть:
 1. возрастающей
 2. строго возрастающей
 3. убывающей
 4. строго убывающей
(Правильные варианты: 1, 2, 3)
Пусть последовательность ( an ) обладает свойством: для всех номеров n
a
справедливо неравенство n 1  1 , причем a1  0 . Последовательность ( an )
an
может быть:
 1. возрастающей
 2. строго возрастающей
 3. убывающей
 4. строго убывающей
(Правильный вариант: 2)
Пусть последовательность ( an ) обладает свойством: для всех номеров n
a
справедливо неравенство n 1  1 . Последовательность ( an ) может быть:
an
 1. возрастающей
 2. строго возрастающей
 3. убывающей
 4. строго убывающей
(Правильные варианты: 1, 2, 3, 4)
Пусть последовательность ( an ) обладает свойством: для всех номеров n
a
справедливо неравенство n 1  1 . Последовательность ( an ) может быть:
an
 1. возрастающей
 2. строго возрастающей
 3. убывающей
 4. строго убывающей
(Правильные варианты: 1, 3)
Домашнее задание
1.
Докажите ограниченность переменных:
2.
n  (1) n
в)
; д) n 2n  5n .
3n  4
Докажите неограниченность переменных:
а)
2n 2  1
; б)
1  n2
а) (1) n n ; б) ((1)n  1)n ; в) n 2  n ; д) n 2  n ; е)
3.
4.
5.


1 n
n2  4
;
n 1
; ж) n  (1) n n .
n
Пусть an  1  12 ... 1  n12 . Докажите, что последовательность (an ) :
а) убывает; б) ограничена; в) сходится. Найдите предел этой
последовательности.
Докажите, что следующие последовательности не имеют
предела:
1
n
n
n 1
а)  ( 1) n ; б) (1) n  1 ; в)
; г) sin
; д) sin
.
n
2
4
n
Докажите монотонность последовательностей:
а)
n 1
1
n 1
; б)
; в) 2 n  5 ; г) 3n  2 n ; д) n  2 n ; е) 2 n .
2n  1
n 2
n
6. Пусть 0  q  1 . Начиная с какого номера n члены последовательности
q n  n будут монотонно убывать?


7. Докажите, что следующая последовательность, заданная рекуррентно,
имеет предел, и найдите этот предел:
а) а1 
1
1
1
2
, аn 
при n  2 ; б) а1  , аn 
при n  2 .
2
2
2  an 1
3  an 1
23  1 33  1
n3  1
. Докажите, что последовательность


...

23  1 33  1
n3  1
(an ) сходится.
8. Пусть, an 
9. а) Докажите, что рекуррентно заданная последовательность а1  2 ,
аn 1  2  an при n  2 сходится.
б) Найдите предел этой последовательности.
10. Найдите пределы:
n
n3
2n
n4
;
б)
;
в)
;
г)
, если a  1 ;
lim
lim
lim
n 2n
n   3n
n   n!
n a n
а) lim
an
, если a  1 ; е) lim nq n , если q  1 .
n   n!
n 
д) lim
 1
11. Докажите, что последовательность аn 1  1  
 n
n
а) монотонна; б) ограничена.
Словарь терминов
Ограниченная последовательность. Последовательность xn  называется
ограниченной, если найдется такое число С  0 , что xn  C при всех
натуральных n . Другое (эквивалентное) определение: последовательность
xn  называется ограниченной, если найдутся такие числа С1 , С2 , что
C1  xn  C2 при всех натуральных n (т.е. xn  С1;C2 ).
Монотонная последовательность. Монотонные – общее названии для
последовательностей, изменяющихся в одном направлении, т.е. для
возрастающих, строго возрастающих, убывающих, строго убывающих.
Последовательность ( a n ) называется возрастающей, если an1  an при
любом n N . Последовательность ( a n ) называется строго возрастающей,
если an1  an при любом n N . Последовательность ( a n ) называется
убывающей, если an1  an при любом n N . Последовательность ( a n )
называется строго убывающей, если an1  an при любом n N .
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. –
Рисунок 2. –
Рисунок 3. –
Рисунок 4. –
Weierstrass_3.jpg
Euler_9.jpg
Heron.jpg
Archytas.jpg