Тема 3. Множества. Функции одной переменной

Тема 3. Множества. Функции одной переменной
3.1. Понятие множества, функции. Основные свойства функции
Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых
через более простые.
Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых
объектов.
Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или
точками, этого множества. Например, множество студентов данного вуза,
множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и
т.п.
1) Запись a  A означает: а есть элемент множества A . Элементы –
строчные буквы, множество – прописные буквы.
2) b  A означает: b не является элементов множества A .
3) - пустое множество (действительные корни уравнения x 2  1  0 есть
пустое множество).
4) B  A означает: B является подмножеством A , т.е. B состоит из частей
элементов множества A .
5) B  A означает: равные множества – состоящие из одних и тех же
элементов.
6) Объединением двух множеств A и B называется множество C ,
состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных
множеств, т.е. C  A  B .
7) Пересечением двух множеств A и B называется множество D ,
состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из
данных множеств A и B , т.е. D  A  B .
8) Разностью множеств A и B называется множество E , состоящее из
всех элементов множества A , которые не принадлежат множеству B , т.е.
E А В.
Из школьного курса алгебры известны подмножества: R действительных чисел, Q - рациональных, J - иррациональных, Z - целых,
N - натуральных чисел.
Действительные числа
Геометрически множество действительных чисел R изображается
точками числовой прямой (числовой оси), на которой выбраны: начало
отсчета, положительное направление и единицы масштаба (рис. 3.1).
Между множеством действительных чисел и точками числовой оси
существует взаимное однозначное соответствие: «число x » соответствует
«точке x ».
Множество X называется: отрезком a, b при a  x  b (сегментом),
интервалом a, b при a  x  b , полуинтервалом a, b и a, b при a  x  b ,
a  x  b.
Есть
еще
и
бесконечные
интервалы
и
полуинтервалы:
 , a, b,,  ,,  , a, b,.
Отрезки (сегменты), интервалы и полуинтервалы можно объединить
термином промежуток X .
Определение. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа
x называется само число x , если x неотрицательно, и противоположное
число  x , если x отрицательно:
 x , если x  0
. Очевидно, что x  0 .
x 
 x , если x  0
Абсолютная величина разности двух чисел x  a означает расстояние
между точками x и a числовой оси как для случая x  a , так и для x  a .
Понятие функции одной переменной
Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то
же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть
постоянная величина, равная числу  .
Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного
процесса, она называется параметром.
Переменной называется величина, которая может принимать различные
числовые значения. Например, при равномерном движении: s  vt , где s путь, t - время, v - параметр.
Определение. Если каждому элементу x множества X ( x  X ) ставится
в соответствие вполне определенный элемент y множества Y ( y  Y ), то
тогда говорят, что на множестве X задана функция y  f x .
При этом x называется независимой переменной (или аргументом), y зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствия.
Множество X называется областью определения (или существования)
функции, а множество Y - областью значений функции.
Если множество X специально не оговорено, то под областью
определения функции подразумевается область допустимых значений
независимой переменной x , т.е. множество таких значений x , при которых
функция y  f x вообще имеет смысл.
Способы задания функций:
а) аналитический способ, если функция задана формулой вида y  f x .
Например, функция y  x 4  x 2  1 задана аналитически. Не следует,
однако, смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так,

x 2 , если x  0
например, одна функция y  
 x  3, если x  0
выражения: x 2 (при x  0 ) и x  3 (при x  0 ).
имеет два аналитических
а1) неявный способ задания функции f(x,y)=0
Например x 2  y 2  1  0
б) табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей,
содержащей значения аргумента x и соответствующие значения функции
f x  , например, таблица логарифмов, гармонические функции и т.д.
y  sin x , y  ln x , y  cos x .
в) графический способ состоит в изображении графика функции множества точек x, y  плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента
x , а ординаты – соответствующие им значения функции y  f x  :
Основные свойства функций
1) Четность и нечетность. Функция y  f x называется четной, если
для любых значений x из области определения f  x  f x и нечетной, если
f  x   f x . В противном случае функция y  f x  называется функцией
общего вида.
Пример 3.1.
а) Функция y  x 2 четная (рис.3.3 а).
б) Функция
y  x3 нечетная (рис.3.3 б).
в) Функция y  x 2  x3 общего вида (рис.3.3 в).
2) Монотонность. Функция y  f x называется возрастающей
(убывающей) на промежутке X , если большему значению аргумента из этого
промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.
Пример 3.2.
1) Функция y  e x - на
интервале  ;  монотонно
возрастает
(рис.3.4а).
2) Функция y  log 1 3 х - на
интервале 0; монотонно
убывает (рис.3.4 б).
3) Ограниченность. Функция y  f x называется ограниченной на
промежутке X , если существует такое положительное число M  0 , что
f x   M для любого x  X . В противном случает функция называется
неограниченной.
4) Периодичность. Функция y  f x называется периодической с
периодом T  0 , если для любых x из области определения функции
f x  T   f x  .
Пример 3.3.
y  sin x , период
T  2 , sin x  2   sin x .
3.2. Основные элементарные функции
Постоянная y = b.
Графиком постоянной функции
y = b является прямая, параллельная
оси абсцисс и проходящая через
точку (0; b) на оси ординат.
Степенная функция.
а) Степенная функция с натуральным показателем y  x n (n –
натуральное число).
n – четное число
Область
определения
 , .
Область значений 0; .
Монотонность: убывает
на  ,0 ,
возрастает на
0, .
Четная.
n – нечетное число
Область определения  , .
Область значений  , .
Монотонность: возрастает на
 , .
Нечетная.
б) Степенная функция с целым отрицательным показателем
y  x  n (n – натуральное число).
Область
 ,0  0, .
определения
Область
определения
Область значений 0, .  ,0  0, .
Монотонность:
Область значений  ,0  0, .
возрастает на  ,0 , убывает
Монотонность:
убывает
на
на 0, .
 ,0 и на 0, .
Четная.
Нечетная.
в) Степенная функция с положительным показателем меньше
единицы
n
y  х (n – натуральное число больше единицы).
Область
определения
0; .
Область определения  , .
Область значений 0; .
Область значений  , .
Монотонность:
Монотонность: возрастает на
возрастает на 0; .
 , .
Общего вида.
Нечетная.
Показательная функция у  а х а  0,а  1 .
Область определения  , .
Область значений 0, .
Монотонность: возрастает на
 , , если a  1 ; убывает на
 , , если 0  a  1 .
Общего вида.
Логарифмическая функция y  log a x а  0,а  1 .
Область определения 0, .
Область значений  , .
Монотонность: возрастает на
0, , если a  1 ; убывает на 0, ,
если 0  a  1 .
Общего вида.
Сложная функция
Определение. Пусть y  f u  есть функция f от переменной u
(определена на U с областью значений Y ), а переменная u в свою очередь
является функцией u   x от переменной x (определена на X с областью
значений U ). Тогда заданная на множестве X функция y  f  x называется
сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций,
функцией от функции).
Пример 3.4. y  ln sin x состоит из 2-х функций y  ln u, u  sin x .
Обратная функция
Функция
является обратной к функции
выполнены следующие тождества:
для всех
для всех
, если
Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение
относительно . Тогда говорят, что функция
обратима на интервале
Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к
существует.
Обратная функция функции обычно обозначается
не
Элементарная функция
Определение. Функции, построенные из основных элементарных
функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного
числа операций образования сложной функции, называются элементарными.
Пример 3.5.
1) y 
x  sin 2 x
3
x5
2x2
 lg 3 x  1 - элементарная функция.
2) y  x - неэлементарная функция.
3.3. Интерполирование функций
Интерполяция – это приближенное нахождение неизвестных значений
функций по известным ее значениям в заданных точках.
Метод хорд
Если промежуток [a, b] достаточно мал, то с приближением можно
считать, что при изменениих в его пределах - приращение функции f (x)
пропорционально приращению аргумента. (см. рис. 3.6)
Пример 3.6. Пусть функция y  f x задана таблично:
x
y
2,00
2,04
2,42
2,88
Найти значение функции f x  при x  2,008 .
Воспользуемся наиболее простым способом интерполирования –
линейным. При линейном интерполировании считается, что приращение
некоторой функции y  f x пропорционально приращению аргумента.
Решим задачу в общем виде. Пусть в таблице заданы значения х1 и х 2 и
соответствующие им значения y1 и y2 функции y  f x :
x
х1
х2
y
y1
y2
Необходимо найти значение функции в точке x0 , лежащей между
точками x1 и x2 .
Из ABC
(см. рисунок 3.6)
CB
найдем tg 
. Определим tg из
AB
C B
tg 
треу-гольника
.
ABC :
AB 
CB C B

Тогда
. Считая, что точка
AB AB
C  имеет координаты ( x0 , y0 ) , имеем
y 2  y1 y 0  y1
.

x2  x1 x0  x1
Выразим из последнего равенства y0  y1 
Обозначим x2  x1  h,
формула:
x0  x1
 ( y 2  y1 ) .
x2  x1
y2  y1  f . Таким образом, интерполяционная
f  x0   f  x1  
x0  x1
f .
h
Решая пример 3.6, имеем
x0  2,008; x1  2; f  x1   2,42;
x2  2,04; f  x2   2,88;
h  2,04  2  0,04; f  2,88  2,42  0,46
Тогда по формуле f 2,008  2,42 
.
2,008  2
 0,46  2,512 .
0,04
3.4. Линии на плоскости
Определение. Линией на плоскости называется множество точек
плоскости, обладающих определенными свойствами.
Например, окружностью называется множество точек плоскости,
равноудаленных от некоторой точки (центра окружности).
Если выбрать систему координат и записать свойство какой-либо
рассматриваемой
линии
аналитически,
то
получим
уравнение
рассматриваемого объекта.
Определение. Уравнением линии L в данной системе координат на
плоскости называется выражение F x, y   0 такое, что оно выполняется для
координат всех точек линии L и не выполняется ни для какой точки не
принадлежащей этой линии.
Уравнения линии могут быть самыми различными, однако надо
отметить, что не каждое уравнение имеет геометрический образ в виде
линии.
Например, уравнение x 2  y 2  0 определяет одну точку O0,0 , уравнение
x 2  y 2 x  12   y  12   0 определяет две точки O0,0 и A1,1 , уравнение
x 2  y 2  9  0 не определяет ни одной точки.
Взаимное расположение двух линий
Чтобы определить взаимное расположение 2-х линий, необходимо знать
уравнения этих линий. Если система этих уравнений совместна, то линии
имеют общие точки. В противном случае общих точек нет. Число общих
точек равно числу решений системы уравнений
Например, прямая линия и окружность x  y  3, x 2  y 2  49 имеют две
общие точки, так как система из этих уравнений имеет два решения:

3  89
 y1, 2 
x  3  y
x  y  3
x  3  y

2

 2

.
 2
2
2
2
x

y

49
y

3
y

20

0


3

y

y

49
3

89



x 
 1, 2
2
3.5. Прямая на плоскости
Уравнение прямой на плоскости
L,
В декартовой системе координат рассмотрим прямую
расположенную под углом  к оси Ox (рис. 3.7).
Выберем на прямой L произвольную
точку M x, y  . Из ABM найдем тангенс
угла наклона прямой: tg 
AM y  b

.
AB
x
Введем угловой коэффициент прямой
k  tg  k 
y b
.
x
Из последнего равенства
y  kx  b
(3.1)
Полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым
коэффициентом.
Частные случаи уравнения (3.1):
1)
Если b  0 , тогда y  kx и уравнение (3.1) представляет прямую,
проходящую через начало координат под углом  к оси Ox (рис. 3.8).
2)
Если k  0 (т.е. tg  0 ), тогда y  b и уравнение (3.1) представляет
собой прямую, параллельную оси Ox (рис. 3.9).
3)
Если  

2
, тогда прямая L  Ox (рис. 3.10). Предположим, что L
отсекает на оси Ox отрезок, равный a (рис. 3.10). Очевидно, что уравнение
такой прямой x  a .
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном
направлении
Пусть прямая L образует с осью Ox
угол  и проходит через точку M1x1, y1  . Т.к.
M1  L , то ее координаты удовлетворяют
уравнению (3.1), т.е.
(3.2)
y1  kx1  b .
Вычитая из (3.1) уравнение (3.2),
получим
у  у1  k x  x1  .
(3.3)
Полученное уравнение называется
уравнением прямой по точке и угловому
коэффициенту k .
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Пусть
известны
две
точки,
L,
принадлежащие
M 1 x1 , y1  и M 2 x2 , y2  .
Запишем уравнение прямой по точке M1 и
угловому коэффициенту k :
(3.4)
y  y1  k x  x1  .
Т.к. точка M 2 также принадлежит L , то ее
координаты будут удовлетворять данное
равенство:
y2  y1  k x2  x1  .
Из последнего равенства
уравнение (3.4):
y  y1 
k
y 2  y1
. Подставляя выражение для k в
x 2  x1
y 2  y1
x  x1  ,
x2  x1
получим уравнение прямой по двум
точкам
y  y1
x  x1

y 2  y1 x2  x1
(3.5).
Общее уравнение прямой и его исследование
Рассмотрим уравнение прямой с угловым коэффициентом y  kx  b .
Перенесем все слагаемые в левую часть и перепишем его в следующем виде:
y  kx  b  0 ,
Ax  Bу  C  0
-
(3.6)
общее уравнение прямой, где A и B не равны нулю одновременно, т.е.
A  B2  0 .
2
Рассмотрим частные случаи уравнения (3.6).
1)
Если A  0 , т.е. уравнение (3.6) не содержит
представляет прямую, параллельную оси Ox (рис. 3.9):
y
x , то оно
C
 b.
B
Если A  C  0, B  0  y  0 - уравнение оси Ox .
2)
Если B  0 (уравнение не содержит y ), тогда прямая параллельна
оси Oy (рис.3.10):
x
C
 a.
A
Если B  C  0  A  0  x  0 - уравнение оси Oy .
3)
A
B
Если C  0 , тогда уравнение имеет вид y   x и прямая проходит
через начало координат (рис. 3.8).
3.6. Угол между двумя прямыми
Определение. Углом между прямыми L1 и L2 называется угол, на
который нужно повернуть L1 против часовой стрелки относительно точки
пересечения L1 и L2 до совпадения с прямой L2 .
Рассмотрим две прямые (рис. 3.13)
L1 : y1  k1 x1  b1 ; k 1  tg1 и
L2 : y  k 2 x2  b2
; k 2  tg 2 .
Обозначим угол между прямыми через
   2  1 . Найдем тангенс угла  :
tg  tg  2  1  
tg 
tg 2  tg1
,
1  tg1  tg 2
k2  k1
.
1  k1k2
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:
(3.7)
Если L1 L 2    0 и tg  0 . Следовательно,
коэффициенты двух прямых равны между собой:
k 2  k1  0 , т.е. угловые
k2  k1 - условие параллельности двух прямых.
Если L1 L2   

и tg не существует, ctg  0 .
2
1
1  k1  k2
ctg 

,
tg
k2  k1
следовательно,
1  k1  k 2  0 ,
т.е.
произведение
угловых коэффициентов равно –1:
k1  k2  1 - условие перпендикулярности двух прямых.
Если две прямые заданы уравнениями в общем виде:
L1 : A1 x  B1 y  C1  0
или
y-
A1
C
x 1
B1
B1
. Тогда
A
C
L2 : A2 x  B2 y  C 2  0 или y  - 2 x  2
B2
B2
A
А
если две прямые параллельны, то  1   2 или
B1
B2
A1 B1

- коэффициенты при переменных должны быть
A2 B2
пропорциональны;

A1   A2 
   
  1 или
B
B
1  
2 

если две прямые перпендикулярны, то  
A1  A2  B1  B2  0 - сумма произведений коэффициентов при переменных
равна нулю.
Точка пересечения прямых
Если заданы две прямые L1 : A1 x  B1 y  C1  0 и L2 : A2 x  B2 y  C2  0 ,
то координаты точки их пересечения должны удовлетворять уравнению
 A1 x  B1 y  C1  0
.
 A2 x  B2 y  C 2  0
каждой прямой, т.е. они могут быть найдены из системы: 
Если прямые непараллельны, т.е.
единственным.
A1 B1

, то решение системы будет
A2 B2
Тема 4. Пределы и непрерывность
4.1. Предел числовой последовательности
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в
соответствие вполне определенное число an , то говорят, что задана
последовательность an  :
a1 , a2 ,, an , .
Другими словами, числовая последовательность - это функция
натурального аргумента: an  f n .
Числа a1, a2 ,, an называются членами последовательности, а число an
общим или n -м членом данной последовательности.
Примеры числовых последовательностей:
1) 2, 4, 6, 8,, 2n,
2) 1, 0, 1, 0,
2
3
3) 2, 1, ,
1 2
2
, ,, ,
2 5
n
Рассмотрим
числовую
последовательность
2, 1,
2 1 2
2
, , ,, , ,
3 2 5
n
изобразив ее точками на числовой оси (рис.4.1):
Видно, что члены последовательности an с ростом n как угодно близко
приближаются к 0. При этом абсолютная величина разности an  0
становится все меньше и меньше.
A
Определение.
Число
называется
пределом
числовой
последовательности an  , если для любого, даже сколь угодно малого
положительного числа   0 , найдется такой N (зависящий от  ), что для
всех членов последовательности с номерами n  N верно неравенство
an  A   .
an  A .
Обозначают: nlim

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в
противном случае – расходящейся.
4.2. Предел функции в бесконечности и в точке
Определение. Число A называется пределом функции y  f x при x
стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого
положительного числа   0 , найдется такое положительное число S  0
(зависящее от  ), что для всех x таких что x  S , верно неравенство
f x   A   .
f x   A или f x   A при x   .
Обозначают: lim
x 
Определение. Число A называется пределом функции y  f x при x
стремящемся к x0 (или в точке x0 ), если для любого, даже сколько угодно
малого положительного числа   0 , найдется такое положительное число
  0 (зависящее от  ), что для всех x , не равных x0 и удовлетворяющих
условию x  x0   , выполняется неравенство f x  A   .
Обозначают: lim f x   A или f x  A при x  x0 .
x  x0
4.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Определение. Функция  x называется бесконечно малой величиной
при x  x0 или при x   , если ее предел равен нулю:
lim  x   0 .
x x0  
Связь бесконечно малых величин с пределами функций
Теорема 1. Если функция f x  имеет при x  x0 ( x   ) предел, равный
A , то ее можно представить в виде суммы этого числа A и бесконечно малой
 x при x  x0 ( x   ), т.е.
f x   A   x  .
Теорема 2. Если функцию f x  можно представить как сумму числа A и
бесконечно малой  x при x  x0 ( x   ), то число A есть предел этой
функции при x  x0 ( x   ), т.е.
lim f ( x)  A .
x x0  
Свойства бесконечно малых величин
1)
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечного малых
величин есть величина бесконечно малая.
2)
Произведение бесконечно малой величины на ограниченную
функцию ( в т.ч. на постоянную, на другую бесконечно малую) есть величина
бесконечно малая.
3)
Частное от деления бесконечно малой величины на функцию,
предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.
Отношение двух бесконечно малых (неопределенность вида   ) в
0
зависимости от характера изменения переменных в числителе и знаменателе
может оказаться или числом, или бесконечно малой или бесконечностью.
Определение. Функция y  f x называется бесконечно большой при
x  x0 x    , если ее предел равен бесконечности:
lim f x    .
0
x  x 0  
Свойства бесконечно больших величин
1)
Произведение бесконечно большой величины на функцию,
предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.
2)
Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции
есть величина бесконечно большая.
3)
Частное от деления бесконечно большой величины на функцию,
имеющую предел, есть величина бесконечно большая.
Об отношении или разности двух бесконечно больших функций
никакого общего заключения сделать нельзя. В этих случаях говорят о

неопределенностях вида   или   . В зависимости от характера
 
изменения бесконечно больших величин их отношение или разность может
оказаться или числом, или бесконечно малой, или бесконечно большой.
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими
величинами
Теорема. Если функция  x есть бесконечно малая величина при x  x0
( x   ), то функция f x  1  x является бесконечно большой при x  x0
( x   ). И, наоборот, если функция f x  бесконечно большая при x  x0
( x   ), то функция  x  1 f x есть величина бесконечно малая при x  x0
( x   ).
4.4. Основные теоремы о пределах. Признаки существования
предела
Пусть f x  и  x - функции, для которых существуют пределы при
x  x0 ( x   ):
lim f x   A ,
lim  x   B .
x x0  
x  x0  
Сформулируем основные теоремы о пределах:
1)
Функция не может иметь более одного предела.
2)
Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен
такой же сумме пределов этих функций, т.е.
lim  f x    x   A  B .
x  x 0  
3)
Предел произведения конечного
произведению пределов этих функций, т.е.
числа
функций
равен
 f x   x  A  B .
lim
x  x 0  
В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела,
т.е.
lim c  f x   c  A .
x  x 0  
4)
Предел частного двух функций равен частному пределов этих
функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е.
lim
 f x   x   A ,
x  x 0  
5)
B
B  0.
Если lim f u   A , lim  x  u0 , то предел сложной функции
u u 0
x  x0
lim f  x   A .
x  x0
6)
Если в некоторой окрестности точки x0 (или при достаточно
больших x ) f x   x, то
lim f x   lim  x  .
x  x 0  
x  x 0  
Признаки существования предела
Теорема 1. Если числовая последовательность an  монотонна и
ограничена, то она имеет предел.
Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки x0 (или при достаточно
больших значениях x ) функция f x  заключена между двумя функциями
 x и  x  , имеющими одинаковый предел A при x  x0 (или x   ), то
функция f x  имеет тот же предел A .
4.5. Замечательные пределы
1) Первым замечательным пределом называется lim
x 0
sin x
1.
x
2) Второй замечательный предел.
Определение. Числом e (вторым замечательным пределом) называется
1
предел числовой последовательности a n  1   :

 1
lim 1    e ,
n 
 n
n
где n  1,2,3,
Прямым вычислением можно убедиться, что 2  e  3 , e  2,718281828
(иррациональное число, число Эйлера).
x
1
Если рассмотреть функцию y  1   , то при x   функция имеет

x
x
 1
lim 1    e .
x 
x

также предел, равный числу e :
lim 1  z   e .
1
x
Или если z  , то
1z
z 0
Непосредственное
вычисление
этого
предела
приводит
к

неопределенности [1 ] . Однако доказано, что он равен числу e . Второй
замечательный предел необходимо всегда использовать при раскрытии
неопределенности вида [1 ] .
Рассмотрим примеры вычисления пределов.
Пример 4.1.
2
3
3
2
x5  3  5 
 5
3
3x  2
00
x
x
 

  lim x
x
lim 5
    lim

 0.
x  4 x  x  1
   x  x5  4  1  1  x  4  1  1 4  0  0


x 4 x5
x 4 x5 

2
Пример 4.2.
x  3x  3x

    lim
27 x  2  2 x  5    x 3
4
lim
x  3
3

x 4 1  3   3 x 2
 x 
2
6


3
x 2  1  3  3 
x


 lim

x 


2
2
5
x 2  3 27  6   2 
x
x x 

2 

x  27  6   2 x  5
x 

 lim
x 
6
3
3
 3x 2
3
x
=
2
27  6  2 x  5
x
x2 1
x2 3
1 0  3
2
 .
3
27  0  0  0
Пример 4.3.
2x2  x  1  0 
2x  1x  0,5
2x  1
    lim
 lim
.
2
2
x 1
x

1
x

1
x 1
x  1
x  1
0
lim
Пример 4.4.
lim
x  2  6  x 0
    lim
x2  4
 0  x 2
 lim
x  2  6  x 
x  2x  2 x  2 
 lim
2
x 2
x 2
x 2
x  2
x2  6 x
Пример 4.5.


6 x




x2  6 x x2  6 x

x  2x  2 x  2  6  x

 lim
x 2

2 x  2
x  2x  2
2
1
 .
42  2 8
x2  6 x

1 
x 11
x2
 1
lim 
 2
 lim
.
      xlim


1
x


1
x  1x  1
x  1x  1
 x 1 x 1
x  1
Пример 4.6.
6 
x 36
x3
1
1
 1
lim 
 2
     lim
 lim
 lim
 .

x 3 x  3
x  3  x  3 x  3
x  3  x  3 x  3
x 3 x  3
x 9
6

Пример 4.7.
 2x  3 

lim  2
x  2 x  1 


2
3 x 2

 
2 x 2 1
4




1

4 

 lim 1  2

x  
 2x  1 


 2x  1  4 

 lim 
2
x 
 2x  1 

2
3 x 2
4 

 lim 1  2

x 
 2x  1 

2 x 2 1 4

 3 x 2
 4 2 x 2 1
12 x 2
2 x 2 1
e
lim
12 x 2
x  2 x 2
1
e
lim
x 
12 x 2

x 2 2 1 x 2
12
12
  e lim 2 1 x  e 2  e6 .
x 

