ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНЦИЙ Правила

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНЦИЙ
Правила дифференцирования
x  1
c   0, c  const постоянная величина 
(U  V )  U   V 
(U V )  U V  U V 
(aU )   aU 

 U  U V  U V 
6.   
V2
V 
1.
2.
3.
4.
5.
Формулы дифференцирования
для простых функций :

1. a x  a x ln a

2. e x  e x
1

3. log a x  
x ln a
1

4. ln x  
x

5. x    x  1

1
1
6.     2
x
 x

1
7.
x 
2 x

8. sin x   cos x

9. cos x    sin x
1

10. tg x  
cos 2 x
1

11. ctg x   
sin 2 x
1

12. arcsin x  
1 x2
1

13. arccos x   
1 x2
1

14. arctg x  
1 x2
1

15. arcctg x   
1 x2
 
 
 
 
для сложных функций :

a u  a u ln a  u , a  const

e u  e u  u ,
e  const

log a u   u
u ln a

u
ln u  
u

u    u  1  u    const

u
1
   2
u
u

u
u 
2 u
sin u   cos u  u 
cos u    sin u  u 

tg u   u 2
cos u

ctg u    u2
sin u

arcsin u   u 2
1 u

arccos u    u 2
1 u

arctg u   u 2
1 u

arcctg u    u 2
1 u
 
 
 
 
1
Рассмотрим примеры.
Найти производные следующих функций:
Пример1. у= 3х4
Решение.
Используя правило 5 и формулу 5 – дифференцирования степенной функции, имеем:
у’=3(х4)’=3 4x4-1=12x3
2
Пример 2. у  5
х
Решение.
1
По определению степени с отрицательным показателем: n  a  n . Преобразуем данную
а
функцию и найдем производную аналогично решению примера 1:


10
 2 
у    5   2 х 5  2  (5)  х 51  10 х 6   6
х
х 
 
Пример 3. у  54 х 3
Решение.
m
n
По определению степени с рациональным показателем: а  a , отсюда:

3
1

 34 
3 4 1 15  4
15
3
4


y  5 x  5   x   5   x  x 
4
4
44 x
 
3 1
Пример 4. y  9 x 4  7 x 3  5x   2  х  1
x x
Решение.
Для нахождения производной используем правила дифференцирования 3; 5; 2,
определение отрицательной степени и формул 5; 6 и 7:

3 1
1
4
3
4 
3 
у   (9 х  7 х  5 х   2  х  1)   9 х  7 х  5 х   3  
х х
 х


 1 
 х  2  х  1  9  4 х 3  7  3х 2  5  1  3  2   2 х 3 
 х 
1
3
2
1

 0  36 х 3  21х 2  5  2  3 
х
х
2 х
2 х
n

m

 
 
   
Пример 5. у  93 х 2 cos x
Решение.
В данной функции последним действием является произведение, поэтому в первую
очередь надо использовать правило 4 – производная произведения, а затем правило 5,
определение степени с рациональным показателем и формулы дифференцирования 5 и 9:

 

у   9 х cos x  9 х
3
2
3
2



 23 


cos x  9 х cos x   9 x  cos x 
 
3
2
1

2 
6 cos x
 9 х   sin x   9  x 3 cos x  93 х 2 sin x  3
 93 х 2 sin x
3
x
3
2
2
Пример 6. y 
4tg x
log 2 x
Решение.
Последнее действие – деление, поэтому сначала применяем правило 6 – производной
частного, затем формулы 3 и 10:

 4tg x  4tg x   log 2 x  4tg x  log 2 x 
 
у   

log
x
log 2 x 2
2


4
1
 log 2 x  4tg x 
2
x ln 2   4 log 2 x  4tg x  : log 2 x
 cos x


2
2
x ln 2 
log 22 x
 cos x
Рассмотрим несколько примеров нахождения производных сложных функций, при
этом будем использовать формулы второго столбца формул дифференцирования.
Сложную функцию обычно обозначают в виде формулы y=f(g(x)), где функцию у=f(u) –
называют основной. Ее вид соответствует последнему действию в выражении, задающем
функцию. Функцию u=g(x) – называют промежуточной.
Чтобы найти производную сложной функции надо, производную основной функции
умножить на производную промежуточной.
Первоначальный выбор формулы дифференцирования сложной функции зависит от вида
основной функции.
Рассмотрим примеры.
Найти производные следующих сложных функций:
Пример 7. y=cos6x
Решение.
Основная функция является степенной y=u6 , а промежуточная u=cosx –
тригонометрической, поэтому сначала находим производную по формуле 5 – степенной
(сложной) функции и умножаем на производную косинуса (элементарной функции) –
формула 9.


cos 6 x  6 cos 5 x  cos x   6 cos 5 x   sin x   6 cos 5 x  sin x .


Пример 8. y= sin(2x2-

)
4
Решение.
Основная функция является тригонометрической y=sin u а промежуточная – u  2 x 2 

4
квадратичной.. Применяем формулу 8 для сложной функции, а для нахождения
производной квадратичной функции используем правила 3; 5; 2 и формулу 5.

 



2
2
2
sin(
2
x

)

  cos( 2 x  )  (2 x  ) 
4 
4
4

 
 
 cos( 2 x 2  )   (2 x 2 )  ( )  
4 
4 


 cos( 2 x 2  )  4 x  0  4 x cos( 2 x 2  )
4
4
3
Пример 9. y=log3
2x  3
2x  4
Решение.
Основная функция логарифмическая, а промежуточная дробно-рациональная. Сначала
используется формула 3 сложной логарифмической функции, а затем правила 6; 3; 4; 1 и
2.


2x  3   2x  3   2x  3


log

 ln 3  
 3
 
 :
2x  4   2x  4   2x  4


2 x  3  2 x  4  2 x  3  2 x  4 :  2 x  3  ln 3  



2 x  42
 2x  4

22 x  4  2 x  32  2 x  3
 4 x  8  4 x  6 2 x  3 ln 3
:
 ln 3  
:

2
2 x  4
2 x  4
2 x  42
 2x  4

2 x  4 
14
14
14



2
2
2 x  4 2 x  3ln 3 2 x  42 x  3ln 3 (4 x  2 x  12) ln 3

Пример 10. y  3 ln 1  3 2 x 1  
3
cos( 2  x)
Решение.
Последнее действие - сложение, поэтому используем правило 3, первое слагаемое
представим в виде степенной функции и применим формулу 5 (для сложной функции), во
втором слагаемом применим правило 5 и формулу 6 (для сложной функции):

1 



1
2 x 1 3 



y   ln 1  3
  3
 


 cos2  x  
2
 cos2  x  


1

 ln 1  3 2 x 1 3  ln 1  3 2 x 1  3 
 cos 2 2  x  
3


 

 
  

далее в первом слагаемом преобразуем степенную функцию и находим производную
сложной логарифмической функции по формуле 4, во втором слагаемом в числителе
используем сложную формулу 9, получим:


1  3 2 x 1
1
3 sin 2  x   2  x 




1  3 2 x 1
cos 2 2  x 
33 ln 2 1  3 2 x 1




для нахождения оставшихся производных используем правила 3; 1; 2 и формулу 1 для
сложной функции:

1  3 2 x 1 ln 3  2 x  1
3 sin 2  x 2   x 



cos 2 2  x 
3 1  3 2 x 1 3 ln 2 1  3 2 x 1




1
2  3 2 x   ln 3
3 sin 2  x 
3



cos 2 2  x 

2x 1  3
2
2 x 1
31  3   ln 1  3
3

2  3 2 x ln 3
3 sin 2  x 


cos 2 2  x 
3 3  3 2 x 3 ln 2 1  3 2 x 1






4
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА
1. Возрастание и убывание функции. Точки экстремума
Говорят, что функция y  f (x) возрастает (убывает) на интервале (a;b) ,
если для любых различных точек
x1 , x 2 из (a;b) справедливо неравенство
 f (x 2 )  f (x1 )  x 2  x1   0  f (x 2 )  f (x1 )  x 2  x1   0  , т.е. если большему
значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.
Теорема 1. Если функция f(x) дифференцируема на (a; b) и f   x   0 ( f   x   0 )
для любого
x   a; b  , то f(x) возрастает (убывает) на (a, b).
Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции f(x), определённой
в некоторой окрестности x0, если существует некоторая окрестность (x0 – ; x0 + ) этой
точки, такая, что для любого x(x0 – ; x0 + ), x  x0 справедливо неравенство f(x) < f(x0)
(f(x) > f(x0)); при этом f(x0) называют максимумом (минимумом) функции. Точки
максимума и точки минимума называют точками экстремума.
Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Если функция f(x)
дифференцируема в промежутке (a,b) и x0(a, b) является точкой экстремума f(x), то
f  x0  0 .
 
Точки, в которых
f   x 0   0 , называются стационарными точками f(x). Не
всякая стационарная точка является точкой экстремума.
Теорема 3 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x)
дифференцируема в окрестности стационарной точки x0. Если при переходе через точку x0
f  x 
меняет свой знак, то x0 является точкой экстремума. А именно, если при переходе
через точку x0
f  x  :
а) меняет свой знак с минуса на плюс (т.е. f   x  x  x 0   0 при достаточно
x  x 0 , x  x 0 ), то x0 является точкой минимума;
б) меняет свой знак с плюса на минус (т.е. f   x  x  x 0   0 при достаточно
малых значениях x  x 0 , x  x 0 ), то x0 является точкой максимума функции;
малых значениях
в) не меняет своего знака, то x0 не является точкой экстремума.
Иногда удобно пользоваться другим достаточным условием экстремума.
Теорема 4 (второе достаточное условие экстремума). Пусть x0 – стационарная
точка функции f(x), дважды дифференцируемой в точке x0. Если f   x 0   0 , то x0
является точкой экстремума. Точнее говоря, если: а) f   x 0   0 , то x0 – точка минимума;
б)
f   x 0   0 , то x0 – точка максимума.
Точкой экстремума f(x) может оказаться и точка, в которой
определена. Стационарные точки и точки, в которых
f  x 
5
не
не определена, называют
критическими точками функции.
Пример 1. Найти точки экстремума функции f (x)  x 4 
f  x 
4 3.
x
3
Решение. Наша функция дифференцируема на всей числовой оси. Найдём
стационарные точки. f   x   4x 3  4x 2  4x 2  x  1 . Стационарными точками
являются x1  0, x 2  1 . При переходе через точку
y'
-
0
x  0 f   x  не меняет своего знака, поэтому эта
точка не является точкой экстремума. При переходе
через точку x  1 f   x  меняет свой знак с «–» на
+
1
x
y
«+», следовательно, x  1 – точка минимума (на
рисунке получается «впадина»).
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
a, b
находят значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на
концах отрезка, после чего сравнивают эти значения и выбирают наибольшее и
наименьшее.
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f  x   x 4  8x 2
на отрезке [–1; 3].
Решение. Функция дифференцируема на всей числовой оси. Найдём стационарные
точки
f   x   4x 3  16x  4x  x  2  x  2  .
Стационарными точками являются x1 = –2, x2 = 0, x3 = 2; из них лишь x2 = 0 и x3 = 2
принадлежат промежутку [–1; 3] . Найдём значения функции в точках x = 0, x = 2, а
также на концах отрезка: f(0) = 0,
f(2) =16 – 32 = –16, f(–1) = 1 – 8 = –7, f(3) = 81 – 72 = 9. Сравнив полученные значения,
находим:
max f (x)  f (3)  9 , min f (x)  f (2)  16 .
x 1; 3
x 1; 3
2. Выпуклость и вогнутость
Дифференцируемая функция y  f (x)
называется выпуклой (вогнутой) или выпуклой
вверх (вниз) на интервале (a; b), если она
удовлетворяет следующему условию: для любых
различных точек x1, x2(a;b) часть графика
функции y = f(x), соответствующая интервалу
(x1; x2), расположена выше (ниже) отрезка (хорды)
M1M2, где M1(x1; f(x1)), M2(x2; f(x2)).
y
M2
M1
0
a
x
1
x b
2
x
Точка графика функции, разделяющая выпуклый
и вогнутый участки графика, называется точкой
перегиба (часто точкой перегиба называют
абсциссу этой точки графика функции).
Теорема 5. (достаточное условие выпуклости (вогнутости)). Если для функции
f(x), дважды дифференцируемой в интервале
6
(a; b), f   x   0 ( f   x   0 ) при всех
y
x(a; b), то функция f(x) является выпуклой
(вогнутой) на (a; b) .
Теорема 6. (достаточное условие точки
перегиба). Пусть функция f(x) дважды
дифференцируема на (a; b). Точка x0(a; b) является
точкой перегиба в том и только в том случае, если
одновременно выполняются два условия: 1)
f   x 0   0 ; 2) при переходе через точку x0 f   x 
M1
M2
0
меняет свой знак.
a x1
x
2
b x
В последней теореме при условии трижды
дифференцируемости функции условие 2) можно заменить на f   x 0   0 .
3. Асимптоты
Прямая (L) называется асимптотой графика функции (или просто асимптотой
функции), если расстояние d(M; (L)) от точки М на графике функции y = f(x) до прямой
(L) стремится к 0 при неограниченном удалении точки М от начала координат.
Различают два вида асимптот: вертикальные и наклонные (в том числе
горизонтальные).
Прямая x = x0 является вертикальной асимптотой, если по крайней мере один из
односторонних пределов f(x0 – 0), f(x0 + 0) равен – или +.
Наклонная асимптота y = kx + b соответствует случаю x –  или x + .
Коэффициенты k и b при x +  находятся из равенств
f (x) ,
x  x
b  lim (f (x)  kx)
k  lim
x 
(то же при x – ). Если же не существует одного из пределов или один из этих пределов
равен –  или + , то у функции отсутствует наклонная асимптота при x +  (то же при
x – ).
4. Построение графика функции
При построении графика функции сначала проводят исследование функции. При
этом придерживаются следующего (примерного) плана:
1) находят область определения функции;
2) указывают точки пересечения с осями координат;
3) определяют точки разрыва и устанавливают тип разрыва;
4) с помощью первой производной устанавливают интервалы монотонности
(т.е. интервалы возрастания и убывания) функции и находят точки экстремума и
значения функции в этих точках;
5) с помощью второй производной устанавливают интервалы выпуклости,
вогнутости и находят точки перегиба;
6) находят асимптоты функции. Затем по этим данным строят график функции.
7
Пример 3. Провести исследование и построить график функции
x3
.
y 2
x  4x  32
Решение. 1) Нулями знаменателя являются x   4 и x  8 . Следовательно,
областью определения функции является множество  ;  4   4; 8  8;    .
2) Найдём точки пересечения с осями координат:
а) c осью 0x . Найдём нули функции:
x3
 0 лишь при
2
x  4x  32
x = 0; значит, график функции пересекает ось 0x (или касается оси 0x ) в точке O(0; 0) –
начале координат;
б) c осью 0y . Для нахождения общей точки графика функции и оси 0y следует
найти f(0): f(0) = 0. Поэтому график пересекает ось 0y в точке O(0; 0).
3) Наша функция представляет собой отношение двух многочленов, поэтому она
непрерывна всюду, за исключением нулей знаменателя: x   4 и x = 8. Найдём левые и
правые пределы в этих точках.
Для точки
x   4:
x3
x3
  .
;


lim f  x   lim
lim f  x   lim
x

4

0
x

4

0
x 40
x 40 x  4
 x  4  x  8

 x  8
Отсюда делаем вывод, что x   4 является точкой разрыва второго рода.
Для точки x = 8:
x3
x3
  .
  ; lim f  x   lim
x 80 x  4
x 80
x 80 x  4

 x  8

 x  8
lim f  x   lim
x 80
Поэтому x = 8 также является точкой разрыва второго рода.
4) Имеем



2

2
2

 x  x  8x  96  x x  4  4 7 x  4  4 7 .
x3
y   2

 
2
2
2
2
x

4x

32
x

4
x

8


 x  4   x  8

 
Критическими точками функции являются её стационарные точки x1  4  4 7 ,
x 2  4  4 7 , x 3  0 . Знак


y совпадает со знаком выражения

x2 x  4  4 7 x  4  4 7 .
Составим схему поведения функции в зависимости от знака первой
производной:
8
y'
-
-
-
+
44 7
4
0
+
44 7 x
8
y

 
Видно, что функция возрастает на промежутках ; 4  4 7 и 4  4 7;  
и убывает на промежутках
 44

   4; 8 ,  8; 4  4 7  . Следовательно, точка
7;  4 ,
x  4  4 7 является точкой максимума (на рисунке ей соответствует «горка»), точка
x  4  4 7 – точкой минимума (ей соответствует «впадина»). Стационарная точка
x  0 не является точкой экстремума.
Найдём значение функции в точках экстремума: f( 4  4 7 )  –7,57; f( 4  4 7 ) 
25,35.

5) y   y  
96x  x 2  8x  64 
 x  4   x  8
3
3
.
Трёхчлен x 2  8x  64  0 при всех x (его дискриминант меньше 0). Поэтому знак y
совпадает со знаком дроби x
  x  4   x  8  .
3
3
Составим схему поведения функции в зависимости от знака второй
производной:
+
y'
-4
0
8
+
x
y
Видно, что функция выпукла в интервалах (–; –4) и (0; 8) и вогнута в интервалах (–4;
0) и (8; +). При переходе через точки – 4, 8, 0 y меняет свой знак. Поэтому точка x
= 0 является точкой перегиба (в точках x =  4, x = 8 функция не определена).
6) Так как f  4  0    , f 8  0    , то прямые x  4 и x = 8 являются
вертикальными асимптотами графика.
Найдём наклонные асимптоты при x  – и при x  +. Уравнения этих
асимптот будем искать в виде y = kx + b:
а) x  –.
f (x)
x2
 lim 2
 1,
x  x
x  x  4x  32
k  lim


x3
4x 2  32x
b  lim  f (x)  kx   lim  2
 x   lim 2
 4.
x 
x  x  4x  32
x  x  4x  32


Таким образом, прямая y = x + 4 является асимптотой при x  –;
9
б) при x  + получим тот же результат: прямая y = x + 4 является асимптотой.
Основываясь на полученных данных, построим график функции.
25.35
0
44 7
8
-4
44 7
-7.57
2
 x 2
Пример 4. Построить график функции y  e   .
Решение. 1) Областью определения функции является (–; +).
2) Найдём точки пересечения с осями координат:
а) c осью 0x. Функция не имеет нулей, следовательно, она не имеет общих точек
с осью 0x;
б) c осью 0y. Имеем f (0)  e4  0,0183 . Точка (0; e-4) является точкой
пересечения графика с осью 0y.
3) Наша функция является суперпозицией непрерывных функций, поэтому она
непрерывна на всей числовой оси.
4) Имеем

y  e  x 2
2


 2  x  2  e  x 2 
10
2
.
y'
+
Функция имеет одну стационарную точку x  2 .
Функция y  f (x) возрастает на промежутке (–; 2) и
убывает на промежутке (2; +), точка x = 2 является точкой
максимума. Максимум функции равен f (2)  1.
2
x
y



5) y   y   2 2x 2  8x  7 e  x 2 .
2
Составим схему поведения функции в зависимости от знака второй
производной:
y'
+
2
2 2
Функция y имеет нули x1=2– 2 2 , x2=2+ 2 2 .
Она выпукла на интервале
(2– 2 2 ; 2+ 2 ) и вогнута на интервалах
(–; 2– 2 2 ), (2+ 2 2 ; + ). Точки x = 2 – 2 2 и
+
2
2 2
x
y
x = 2 + 2 2 являются точками перегиба.
6) Так как функция определена и непрерывна на всей числовой оси, то она не
имеет вертикальных асимптот. Найдём наклонные асимптоты.
а) x  – . Ищем асимптоту в виде y = kx + b.
f (x)
e  x 2
1
k  lim
 lim
 lim
 0,
x  x
x 
x 
 x  2 2
x
xe
2
b  lim (f (x)  kx)  lim e  x 2  0 .
2
x 
x 
Таким образом, прямая y  0 является асимптотой функции при x  –.
б) При x  + получим тот же результат:
y  0 является асимптотой при x 
+.
По полученным данным построим график функции.
y
1
-2
-1
0
1 2 2 2 2
Пример 5. Построить график функции y 
2 2 2 3
4
5
x
x 2  x3 .
Решение. 1) Область определения функции x 2  x 3  0, x 2 (1  x)  0 , x   ,1 .
11
2) Точки пересечения с осями координат
y  0  x 2  x3  0 ; x 2 (1  x)  0 ; x 2
x1  0 ; y1  0;
3) Функция непрерывна на всей области определения.
4)
 1 ; y 2  0.
 2  3x
1
x(2  3x)
x(2  3x) 
2 1 x
2x  3x 2  
y 




2
3
2
3
2 x 1  x  3x  2
2 x x
2 x x
 2 1  x
Следовательно, производная
y  0 , 2  3x  0 , x 0  2 3 
0  x  1,
x  0.
y в точке x  0 не определена.
стационарная точка.
Составим схему поведения функции в зависимости от знака первой
производной:
y
y
0
2
1
3
Функция убывает на промежутках  ,0    2 3,1 и возрастает на промежутке
 0,2 3.
Следовательно,
точка
x0  2 3
является
x1  0  критическая точка, является точкой минимума.
y max  y(x 0 )  4  8  0,385 , y min  y(x1 )  0.
9
27
График данной функции приведен на рисунке.
y
0 2
3
1
12
x
точкой
максимума;