Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ставропольская государственная медицинская академия

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ставропольская государственная медицинская академия Федерального агентства по здравоохранению и социальному развитию» И.И. МАРКОВ ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Методическое пособие для студентов СтГМА Ставрополь – 2010 УДК 517.32.06 519.2 ББК 52.57я73+5с51я73 Марков И.И. Основы высшей математики и математической статистики. Учебное пособие для студентов СтГМА. Изд. СтГМА, 2010. 210с. Учебное пособие составлено в соответствии с программой по высшей математике и математической статистике для студентов медицинских ВУЗов и включат теорию пределов, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения первого и второго порядков. В пособии рассматриваются элементы комбинаторики, теории вероятностей, математической статистики и временные ряды. Каждый раздел содержит решенные примеры и задачи. В пособии изложены четыре лекции: вводная лекция и лекции по системному анализу и математическому моделированию, которые лежат в основе медицинской и биологической физики и других естественных наук. Учебное пособие предназначено для студентов СтГМА. Составитель – д.т.н., профессор И.И. Марков Рецензенты- д.т.н., доцент Сев-КавГТУ Н.И. Стоянов к. ф.-м.н., доцент СтАУ А.А. Хащенко 2 ЛЕКЦИЯ № 1. ВВОДНАЯ ЛЕКЦИЯ 1.МАТЕРИЯ И ФОРМЫ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИИ. ФИЗИКА, ЕЕ ПРЕДМЕТ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. 2.БИОФИЗИКА. ЗНАЧЕНИЕ ФИЗИКИ И БИЛФИЗИКИ ДЛЯ БИОЛОГИИ И МЕДИЦИНЫ. 3.СВЯЗЬ ФИЗИКИ С ДРУГИМИ ЕСТЕСТВЕННЫМИ НАУКАМИ. СОДЕРЖАНИЕ МЕДИЦИНСКОЙ И БИОЛОГИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. 1.1Материя и формы движения материи. Физика, ее предмет и методы исследования. В материалистической философии материя определяется как субстанция (основа) всех явлений в мире. В домарксистской философии материальная субстанция часто понималась как первоматерия, сводилась к первичным и бесструктурным элементам, которые отождествлялись с неделимыми атомами. Считалось, что в то время различные предметы и материальные образования могут возникать и исчезать, субстанция несотворима и неуничтожима, всегда стабильна в своей сущности; меняются лишь конкретные формы ее бытия, количественные сочетания и взаимное расположение элементов и т.д. Диалектический материализм развивает иное представление о субстанциональности материи, рассматривая ее, как бесконечно развивающееся многообразие единого материального мира. С этой точки зрения материя существует только в многообразии конкретных объектов, через них, и не наряду с ними. Все эти характеристики находят свое концентрированное выражение в диалектико-материалистическом определении, которое было дано В.И. Лениным: «Материя есть философская категория для обозначения объективной реальности, которая дана человеку в ощущениях его, которая копируется, фотографируется, отображается нашими ощущениями, существует независимо от них». В этом определении материи подчеркиваются два важных момента: - материя – это то, что существует объективно, т.е. независимо от чьего бы то ни было сознания и ощущения; - материя копируется, отображается нашими ощущениями и, следовательно, познаваема.  Ленин В.И. Полное собрание сочинений Т. 18 С. 131 3 Конкретные виды материи многообразны, к ним относятся: 1. Элементарные частицы – электроны, протоны, нейтроны, фотоны и другие частицы. 2. Совокупность небольшого числа элементарных частиц – атомы, молекулы, ионы. 3. Физические тела, представляющие собой совокупность множества элементарных частиц. 4. Физические поля – гравитационные, электрические, магнитные, электромагнитные, ядерные, посредством которых взаимодействуют различные частицы. Таблица 1. Диаграмма иерархической организации материи МЕТАГАЛАКТИКА ------------------------------------------------------------------------------------------Биосфера Человеческое общество Система галактик Галактики З В Ё З Д Ы Биоценозы Планетные системы Популяции Планеты Многоклеточные организмы Макротела Молекулы Клетки Атомы Доклеточный уровень Элементарные частицы и античастицы, физические поля Картина взаимосвязи всех уровней организации материи, включая человека и человеческое общество, понимание каждого материального объекта, в том числе космической эволюции, проливает новый свет на одну из древнейших проблем философии и естественных наук – на проблему единства мира. 4 Всякая материалистическая философия, и материалистическая диалектика, в том числе, отстаивает принцип единства, выступая в качестве монистической философии. Но философский монизм может быть различной природы. Идеалистический монизм считает первоначалом всего сущего идеальное, рассматривая материю как всего лишь инобытие этого идеального. Напротив, материалистический монизм утверждает единство мира через его материальность. Диалектическое понимание материалистического единства мира все глубже проникает и в современное естествознание, и в науке о человеке и обществе. Неотъемлемым свойством материи является движение, под которым следует понимать все изменения и превращения материи, все процессы, протекающие в природе. С точки зрения Ф. Энгельса «движение, рассматриваемое в самом общем смысле слова, т. е. понимаемое как форма бытия материи, как внутренне присущий материи атрибут, обнимает собой все изменения и процессы, начиная от простого перемещения и кончая мышлением». В мире не может быть материи без движения, как нет движения без материи. В настоящее время среди различных видов движения принято выделять следующие основы формы движения материи: механическая, физическая, химическая, биологическая и социальная. Каждая из указанных форм движения материи, имея свои качественные особенности, обусловленные спецификой материальных объектов, взаимосвязаны между собой, а результат их взаимодействия обеспечивает различные ступени развития материи: от низших к высшим, от простейших к сложнейшим. Физика изучает наиболее простую и вместе с тем наиболее общую форму движения материи: механические, атомно-молекулярные, гравитационные, электромагнитные, внутриатомные и внутриядерные процессы. Эти разновидности физической формы движения материи являются наиболее общими потому, что они содержатся во всех более сложных формах движения. Например, процессы жизнедеятельности организмов, изучаемые биологией, всегда сопровождаются механическими, электрическими, внутриатомными и другими физическими процессами, но не сводится к этим процессам. Таким образом, можно сказать, что физика есть наука о наиболее общих свойствах и формах движения материи, и предмет ее исследования составляют общие закономерности явлений природы. В процессе своей практической деятельности человек вступает во взаимодействие с природой и получает представление об окружающем мире, познает объективные, независящие от сознания человека, явления природы, а полученные знания использует в своих интересах.  Ф. Энгельс. Диалектика природы.-1995. С.146. 5 Основным методом познания в области естественных наук является наблюдение. Научным наблюдением называется изучение явления в естественных условиях при сохранении всего многообразия связей с другими явлениями. Среди этих связей есть главные, которые оказывают определяющее влияние на процесс развития исследуемого явления, и второстепенные, которые слабо влияют на рассматриваемое явление. В результате неоднократного наблюдения явления и сопоставления результатов определенных наблюдений и ранее известных фактов исследователи делают обобщение, т.е. на основании главных фактов выделяют повторяющиеся признаки явления или группы явлений. На пути этого обобщения создается гипотеза. Гипотеза – это научное предположение, выдвигаемое для объединения какого- либо факта или явления и требующее проверки доказательства опытом, результаты которого позволяют вникать во взаимосвязи изучаемого явления. Воспроизведенные явления в искусственных условиях с учетом исключения ( на сколько это возможно) влияния второстепенных связей на ход явления, называется физическим опытом. Если опыт подтверждает правильность гипотезы, она становится физической теорией. А установленные ею общие для группы явлений основные связи называются физическим законом. Каждый физический закон имеет определенную область применения, которая задается: 1. Указанием допустимых пределов измерения физических величин, входящих в формулировку закона. 2. Максимально допустимой точностью закона измерения этих величин. 3. Обширностью круга физических явлений, для которых закон имеет смысл. Области применимости разных законов сильно отличаются друг от друга. Например, закон Кулона для электрического взаимодействия двух зарядов имеет огромную область применения. Действительно, этот закон действует во всех веществах, т.е. все вещества состоят из заряженных частиц – электронов и атомных ядер. Закон сухого трения имеет крайне ограниченную область применения. Этот закон имеет смысл только при скольжении одного твердого тела по поверхности другого и теряет смысл для газов, потоков элементарных частиц и жидкостей. Физические законы, имеющие наиболее обширные области применения, называются фундаментальными. Так, например, закон Кулона, законы Ньютона, законы сохранения энергии и импульса относятся к фундаментальным законам. Законы, непосредственно выводимые из фундаментальных, называются законами фундаментального происхождения. Физика-наука опытная. Поэтому необходимо помнить, что все современные физические теории (например, квантовая механика) опираются на опыт, хотя выглядят как сложные абстрактные математические 6 конструкции. Эти сложные абстрактные математические конструкции позволяют более глубоко познать объективные законы природы. 1.2. Биофизика. Значение физики и биофизики для биологии и медицины. Биофизика является одной из наиболее молодых естественных наук, становление которой происходило на протяжении достаточно длительного времени. Биофизические исследования начинаются с 1791 года, когда профессор анатомии из Болонского университета Луиджи Гальвани сообщил о своем открытии – о влиянии электричества на мышцу из лапки лягушки. В настоящее время в познании природы жизненных процессов биофизика занимает такое же важное значение, как, например, такие фундаментальные дисциплины как физиология, генетика, цитология и биохимия. Биофизика – это наука, которая занимается изучением физических механизмов и физико-химических процессов, лежащих в основе жизнедеятельности биологических объектов. Можно сказать, что физика живых систем на различных уровнях их организации, начиная от молекулярного и кончая популяциями. Биологические формы движения материи являются сложными, но они состоят из более простых форм движения – физической и химической, которые проявляются в новых качественных сочетаниях. Процессы, происходящие в живой природе, будучи частью материального мира, подчиняются объективным физическим законам. Исходя из этого, физика с ее методами исследования используется как очень важный инструмент для решения многих проблем современной биологии и медицины. Современная физика в своих исследованиях различных систем широко использует такие точные и чувствительные методы, как рентгеноструктурный анализ, спектрофотоматерия, спектрополяриметрия, люминесцентный анализ, ядерный магнитный резонанс (ЯМР), электронный парамагнитный резонанс (ЭПР), электронная микроскопия, калориметрия, ультрацентрифугирование, электрофорез и другие, которые сочетаются с методами математического моделирования с использованием электронновычислительных машин (ЭВМ). Поэтому физика и биофизика наряду с другими науками становятся теоретической основой современной биологии. Значение физики для биологии и медицины можно определить следующими тремя положениями: 1.Использование результатов физических исследований для изучения жизненных процессов и более глубоком познании и толковании взаимосвязи элементов системы. 2. Использование способов мышления, принятых в физике, для формирования мировоззрения врача. 7 3. Применение физических методов исследования и физической аппаратуры в биологии и медицине. Лучшим подтверждением о достаточно большом значении физики для медицины является высказывание Р. Сетлоу, который говорил: «Современный врач по роду своей деятельности должен обладать способностью мыслить и как физик и как медик. Только полное понимание законов физики и биологии раскрывает суть жизненных процессов». Учебники, используемые в медицинских ВУЗах, обычно издаются с такими названиями как, например: «Физика для врачей и биологов», «Медицинская и биологическая физика», «Курс физики, электроники и кибернетики для медицинских институтов» и др., которые обращают внимание на прикладной характер физики, в данном случае в области биологии и медицины. 1.3. Связь физики с другими естественными науками. Содержание медицинской и биологической физики. Физика, наряду с другими естественными науками, изучает объективные свойства окружающего нас материального мира. Первоначально физика включала в себя все естественные науки – геометрию, земледелие, ботанику, химию, биологию и т.д. За прошедшие столетия человечество значительно обогатило свои знания в области изучения природы и разработало арсенал методов научного познания. Появилась необходимость в дифференцированном подходе к явлениям природы. Из физики стали выделяться в самостоятельные науки химия, биология, астрономия и т.д. При этом физика занимается теми явлениями природы, в которых материальный химический состав тел остается неизменным. Явления химического превращения составили предмет изучения химии, а явления живого мира –биологии. Резкая граница между физикой и другими естественными науками не установлена в результате общности предмета изучения. Поэтому в настоящее время практически каждая естественная наука содержит специальные физические разделы: биофизика в биологии, физическая химия – в химии и т.д. Существуют обширные пограничные области между физикой и другими естественными науками в области знания, в которых физические методы применяются для изучения частных вопросов, которые соединяются в особые науки. Так возникли физическая химия, химическая физика, геофизика и биофизика. Становится очевидным, что при изучении природы и любых ее проявлений обязательно имеют место либо физический метод, либо физический прибор, но доля физики имеет место во всех естественных науках. Следует отметить, что связь физики с другими науками взаимна. Развивая с помощью физики эти науки обогащают физику своими достижениями и ставят перед нею новые задачи, разрешая которые физика, развивается и совершенствуется сама. Но при этом физика остается фундаментом, на котором строятся все естественные науки. 8 Одной из главных задач любой науки является открытие и анализ объективных законов и закономерностей, присущих предмету ее исследования. Так, например, физика занимается изучением наиболее простых и вместе с тем наиболее общих форм движения материи, а социальные науки изучают законы развития различных сторон человеческого общества. Но все эти законы частные, хотя сфера их действия, как правило, очень широкая, но они всегда ограничены определенными рамками и условиями. Законы физики действительные для всех материальных образований, не способны выразить сущность жизни и отношения между живыми объектами, которые изучаются биологией, а с помощью биологических законов нельзя понять сущность общественных отношений. Наряду с частными законами в мире действует наиболее общие или универсальные законы, которые и составляют предмет философии. Эти законы не существуют в чистом виде, а проявляются во всех формах движения материи, которые исследуются частными науками. Философия, обобщая результаты частных наук, развивает и свое творческое содержание. Философия не может сама помимо физики, изучать структуру вещества или взаимодействие элементарных частиц, но она выполняет методологическую функцию, выступая в качестве всеобщего метода познания. Эта функция определяется спецификой предмета философии. В силу своего универсального характера законы и категории, изучаемые философией, проявляются в любом научном познании. Каждая наука, для того, чтобы успешно развиваться, должна подходить к предмету своего исследования диалектико-материалистически (брать его в развитии, в важнейших связях и отношениях, вскрывать причины его возникновения и т.д.), т.е. пользоваться материалистической диалектикой как общефилософским методом познания. Следовательно, философия – это наука о наиболее общих законах развития природы, человеческого общества и мышления, является методологической основой физики. Математика занимает особое положение в физике и тесно связана с нею в той части, которая касается построения физических и математических моделей, с использованием которых человечество получает огромную информацию о природе и законах ее развития. Теория математических моделей физики начала интенсивно разрабатываться И. Ньютоном по созданию основ классической механики, всемирного тяготения, теории света. Дальнейшее развитие и успешное применение указанная теория получила в работах Ж. Лагранжа, Л. Эйлера, М.В. Остроградского и многих других ученых. Физика немыслима без математики и математических понятий, но не сводится к ним. Главное место в физике занимает процесс интерпретации формул и их понимание, которое и питает интуицию. Физика развивается с помощью математической логики, но гораздо в большей мере она развивается с помощью физической интуиции. При этом математика остается основным «инструментом», с использованием которого проводится 9 физический анализ самых различных процессов, имеющих место в природе и в различных технических устройствах. При описании математических моделей физики используются дифференциальные уравнения, вероятностные методы, теория потенциала, методы теории функции комплексного переменного и ряда других разделов математики. В связи с бурным развитием вычислительной математики особое значение для исследования математических моделей физики приобретают прямые численные методы, использующие ЭВМ, что позволило решать новые задачи теории переноса, физики плазмы, квантовой физики и т.д. Интенсивное взаимодействие физики и математики с использованием ЭВМ в научных исследованиях привело к созданию новых классов моделей и внесло большой вклад в развитие научно-технического прогресса. вопросы общей физики, биофизики и медицинской электроники, необходимые для врача, которые раскрывают суть физических методов диагностики и лечения, принципы работы и устройства приборов и аппаратов, используемых в медицинской практике, объединяются под названием «медицинской и биологической физики» (МБФ), которая и изучается в медицинских ВУЗах. Диаграмма, отражающая содержание МБФ и ее связь со специальными дисциплинами, иллюстрируется таблицей 2. Таблица 2. ФИЛОСОФИЯ МЕДИЦИНСКАЯ И БИОЛОГИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ВОПРОСЫ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ ПОЗНАНИЕ ЖИЗНЕННЫХ ЯВЛЕНИЙ ФИЗИОЛОГИЯ ВОПРОСЫ БИОФИЗИКИ ОСНОВЫ МЕДИЦИНСКОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ ФИЗИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ЛЕЧЕНИЯ И ДИАГНОСТИКИ ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ДИАГНОСТИКА 10 ЭЛЕМЕНТЫ УСТРОЙСТВА ДИАГНОСТИЧЕСКИХ И ЛЕЧЕБНЫХ АППАРАТОВ ФИЗИОТЕРАПИЯ МЕДИЦИНСКАЯ АППАРАТУРА ЛЕКЦИЯ № 2. СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ В ФИЗИКЕ И БИОФИЗИКЕ 1.ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ. ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМЫ И ВИДЫ СВЯЗИ МЕЖДУ НИМИ. 2.КИБЕРНЕТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ. 3.СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ. 2.1. Понятие системы. Элементы системы и виды связи между ними Система- это множество элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, образующих определенную целостность, единство. Элементы системы могут быть физическими, химическими, биологическими или смешанными. Материальные системы разделяются на системы неорганической природы, к которым относятся физические, химические, геологические и другие системы, и живые системы – это простейшие биологические системы, организмы, популяции, виды, экосистемы, социальные системы и т.д. Абстрактные системы представляют собой понятия, гипотезы и теоретические научные знания о системах. Абстрактными системами являются: формализованные, лингвистические, логические и другие системы. В современной науке исследование систем разного рода проводится в рамках системного подхода, в основе которого лежит рассмотрение объектов как систем, ориентирующих исследователей на раскрытие целостности объекта, на выявление многообразных типов связей в нем и сведения их в единую теоретическую картину. Принципы системного подхода нашли применение в физике, химии, биологии, физиологии, экологии, управлении и в других областях. Системный подход неразрывно связан с материалистической диалектикой и является конкретизацией ее основных принципов. Живой организм, являющийся объектом исследования в биологии и в медицине представляет собой очень сложную биологическую систему, представляющую собой завершение определенного этапа эволюции матери. Биологические системы вобрали в себя всю сложность предбиологических форм развития материи и имеют много уровней иерархии, на каждом из которых можно выделить свои системы, обладающие определенной функцией. Каждый элемент системы в свою очередь можно рассматривать как систему нижележащего уровня иерархии со своей функцией. Следовательно, в качестве системы можно рассматривать: 1.Человека, в котором роль структурных элементов выполняют органы: сердце, желудок, толстый и тонкий кишечники, почки, печень, легкие и т.д. 2.Отдельные органы, в которых роль структурных элементов выполняют клетки. 3.Клетки, в которых роль структурных элементов выполняют цитоплазма, ядро, и такие мельчайшие структуры клетки, как митохондрии, рибосомы, хромосомы, клеточный центр и органоиды. 11 4.Молекулы, в которых положительные и отрицательные ионы являются структурными элементами. 5.Атомы, роль структурных элементов в которых выполняют протоны, нейтроны, электроны и другие элементарные частицы. Для явлений, протекающих в самых различных системах характерно то, что наступление следствия объясняется наличием комплекса причин. Так как причины действуют в различных направлениях, то распознавание их влияния представляет непростую задачу. При этом не исключается, что могут действовать и неизвестные причины. При относительном постоянстве комплекса причин отдельные причины в разное время действуют с разной силой. В комплексе причин наряду с основными причинами, которые время от времени могут изменять свое значение, действуют второстепенные причины. В то время как основные причины порождают важные, существенные следствия, второстепенные вызывают их особенности. Исследование связей концентрируется на анализе основных причин. Для этого исключаются второстепенные причины. Таким образом, получают сведения о сущности связи. На так как второстепенные причины вызывают отклонения и нарушения и не позволяют полностью проявиться основным причинам, в определенных случаях их исследуют отдельно. В то время как основные причины анализируют раздельно в их влиянии на следствие, влияние второстепенных рассматривают в комплексе. В комплекс второстепенных причин входят: влияние причин, не имеющих количественного выражения; влияние неизвестных причин. При подготовке исследования следует выяснить: 1.Известна или предполагается причина связи исследуемого явления. 2.Какое из явлений в зависимости от цели исследования рассматривается как причина, а какое как следствие. 3.Какие из явлений можно считать основными причинами. 4.Выражаются ли численно положенные в основу исследования, взаимосвязи вариации признаков причин и следствия. Причина связи может проявиться в виде функциональной зависимости или корреляционной. При функциональной зависимости связь между причиной и следствием качественно и количественно определяется однозначно, т.е. за причиной идет в каждом отдельном случае следствие. Величина причины определяет величину следствия. Функциональная связь может быть выражена, например уравнениями: y = f(х)=Сх, или y=F(x1,x2,….xn), (2.1) Первое уравнение используется при однофакторном анализе, второе при многофакторном анализе. Уравнения (2.1) в статистике называют уравнениями регрессии. При корреляционной зависимости связь между причиной и следствием качественно определена, но количественно она вероятна, т.е. за причиной, даже в каждом отдельном случае, идет следствие, 12 но величина причины не определяет точно величины следствия. Она распределяется в интервале, так как на связь действует комплекс вторичных причин (  ) . Корреляционную связь при однофакторном анализе можно выразить уравнением: y = Cx +  Следовательно, причинно-следственные отношения многофакторном анализе можно представить следующим образом: y = f (x1,x2,….,xn) +  (2.2) при (2.3) Прежде чем численно определить связь, следует установить ее форму. Наиболее распространенные формы связи следующие: линейная форма связи, при которой причина и следствие пропорциональны; нелинейная форма связи, при которой причина и следствие могут быть по – разному связаны друг с другом, например, экспонециально, параболически, гиперболически и т.д. Для характеристики связей самых различных явлений обычно используются следующие функции: y = a + bx – линейная, y=a+b 1 - гиперболическая, х y = abx – показательная, y = a + bx + cx2 –параболическая, y = a + b lg x – логарифмическая, y= d -логическая, 1  e a bx В указанных уравнениях: a – постоянная величина, которая характеризует положение функции в системе координат (математически величину y при х=0); b – коэффициент регрессии, который выражает изменение следствия y, если причина изменяется на единицу. Его знак характеризует направление связи ( математически b – угловой коэффициент). При множественной регрессии будет столько коэффициентов регрессии, сколько было выделено основных причин. Уравнение регрессии в целом показывает основную, свободную от второстепенных влияний, связь между причиной и следствием. 13 Функция регрессии отличается от математической функции тем, что она необратима, поскольку не все исследуемые в их причинной зависимости явления находятся во взаимосвязи. Даже в тех случаях, когда исследуемые в их причинной зависимости явления взаимосвязаны, функция регрессии необратима, т.к. связи структурно отличаются друг от друга и распределение величины у отлично от распределения величины х. Параметры а и b можно определить методом наименьших квадратов (МНК). Связи могут отличаться и по направлению. При этом выделяют прямую и обратную связи. Если связь прямая, то следствие (у) растет с увеличением причины (х), и наоборот. В этом случае говорят о положительной связи. Если связь обратная, то следствие (у) увеличивается с уменьшением причины (х), и наоборот. В последнем случае речь идет об отрицательной связи. 2.2. Кибернетические системы. Кибернетика – одна из тех наук, которые существенно ускоряют научнотехнический прогресс. Термин «кибернетика» впервые появился в Древней Греции и означал науку о кораблевождении – «искусство» кормчего». Годом рождения кибернетики является 1948 г., т.е. год опубликования американским математиком Н. Винером своей книги « Кибернетика или управление и связь в животном и машине». Многие вопросы, связанные с процессом управления и осуществления связи мы находим в кибернетике. Кибернетика – это наука об управлении, передаче и переработке информации в технических и нетехнических системах ( живых организмах). Объектом изучения кибернетики являются кибернетические системы. В зависимости от элементов кибернетической системы кибернетика условно подразделяется на экономическую, техническую, биологическую, медицинскую и др. Следовательно, кибернетической системой можно назвать совокупность взаимодействующих и взаимосвязанных между собой элементов, которые способны воспринимать, запоминать и перерабатывать информацию, а так же обмениваться ею. Кибернетическими системами являются вычислительные машины, автоматы, коллектив людей, мозг, а в качестве элементов кибернетической системы могут быть объекты различной физической природы: блоки вычислительной машины, человек, клетки мозга и т.д. Кибернетические системы различаются по своей сложности, степени определенности и уровню организации. Сложность системы зависит от количества элементов, входящих в нее, от сложности структуры и разнообразия внутренних связей. Существуют весьма сложных кибернетические системы, которые детально известны, так как являются творением человеческих рук. Однако, такие кибернетические системы как, например, живой организм, в результате наличия многообразных и неясных 14 связей между множеством элементов во многих случаях детальному описанию не поддаются. При анализе кибернетических систем обычно выделяют замкнутые системы. Система называется замкнутой, если ее элементы обмениваются сигналами только между собой и не обмениваются с внешней средой. Система называется открытой, если ее элементы обмениваются сигналами не только между собой, но и с окружающей средой. Для восприятия сигналов из внешней среды и передачи их внутрь системы всякая открытая система обладает рецепторами (датчиками). У животных, как у кибернетических систем, рецепторами являются органы чувств: слух, зрение, осязание, обоняние. Эту же функцию у автоматов выполняют датчики: фотоэлектрические, индукционные, термоэлектрические и другие. Во внешнюю среду сигналы передаются посредством исполнительных механизмов, называемых эффекторами. Для такой кибернетической системы как человек, эффекторами являются: руки, речь, мимика лица. Для автомата с газированной водой рецептором является кнопка или прием монет, а эффектором –выдача газированной воды. По типу управления кибернетические системы подразделяются на следующие три вида: - системы с программным управлением, которые содержат командное устройство, действующее по заданной программе; - следящие системы, которые управляются определенными изменениями физических параметром; - системы автоматического управления с обратной связью, являющиеся разновидностью следящих систем, в которых управляющий физический параметр образуется в процессе работы системы. Одной из актуальных проблем физиологической кибернетики является автоматическое управление физиологическими функциями организма. Существующие автоматические управляющие устройства широко используются при тяжелых патологических состояниях , угрожающих жизни. Программы управляющих систем отражают закономерности отдельных приспособительных реакций или их типичных комплексов, возникающих в ответ на воздействия. Объект, по отношению к которому рассматривается задача поддержания или улучшения его функции (см. рис. 2.1) называют объектом управления. СРЕДА УСТРОЙСТВО УПРАВЛЕНИЯ G U ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ S Рис. 2.1 Схема управляющей системы. 15 Y Объектом управления является организм человека или животного в целом или отельные его органы. Состояние объекта управления можно характеризовать совокупностью величин, обозначаемых через х1, х2,…хn, где, например, величина х1 характеризует артериальное давление, х2 – уровень сахара в крови и т.д. Из всей совокупности параметров х i наиболее существенные, по которым и ведется управление. Управляемые величины обозначим у1, у2,…, уn или одним символом Y. В соответствии с целью стоящей перед управляющей системой, задаются определенные значения управляемых величин (эталоны) с помощью управляющего устройства значения управляемых величин поддерживаются в интервале значений, близких к заданным значениям эталонов. Объект управления постоянно испытывает разнообразные внешние воздействия, часть из которых измеряется (g1, g2,… gn или G), другая часть – не поддается измерению. Не контролируемые воздействия ( s1, s2,…, sn или S) называют помехами. Для того, чтобы поддерживать состояние объекта на заданном уровне, управляющее устройство все время оказывает на объект управления воздействие u1, u2,…,un или U. Системы управления делятся на два вида: - системы автоматического управления по отклонению; - системы автоматического управления по возмущению. В первых системах управляемые величины измеряются и сравниваются с эталонными значениями. Управляющая система вырабатывает необходимое управляющее воздействие, приводящее к ликвидации отклонений между управляемой величиной и эталонным значением. Это и есть замкнутая система с отрицательной обратной связью. Во вторых системах измеряется внешнее воздействие G и в соответствии с его величиной вырабатывается необходимый управляющий сигнал. В рассматриваемом случае обратной связи нет –система разомкнута. Многие жизненные процессы, необходимые для существования организма, протекают автоматически, например, механизм сужения и расширения зрачка человеческого глаза. Этот механизм выполняет ту же функцию, что и бленда в фотоаппарате, т.е. обеспечивает правильное освещение сетчатки глаза. Сетчатка должна быть достаточно освещена, чтобы глаз мог отчетливо видеть, но слишком сильное освещение может ее повредить и ослепить человека. Поэтому, как известно, зрачок автоматически сужается при ярком свете и расширяется в темном (рис. 2.2). 16 X сила света Z СРАВНИВАЮЩИЙ ОРГАН (МОЗГ) U ИСПОЛНИТЕЛЬНОЕ УСТРОЙСТВО (НЕРВЫ,ГЛАЗНЫЕ МЫШЦЫ) ЗРАЧОК, ХРУСТАЛИК освещенность Y СВЕТОЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ КЛЕТКИ СЕТЧАТКИ Рис.2.2 Падающий в глаз световой поток освещает сетчатку, при этом яркость освещения зависит от его интенсивности. В светочувствительных нервных клетках возникает при этом определенное раздражение, и соответствующее возбуждение передается в головной мозг. Измерительные органы в данном случае – светочувствительные клетки сетчатки, являются рецепторами. Головной мозг сравнивает степень возбуждения с нормальным значением, информация о котором хранится в нем, и при этом возбуждение оценивается как слишком слабое, нормальное или слишком сильное, затем мозг посылает приказ внутренним глазным мышцам, по которому глазные мышцы приоткрывают или сужают отверстие зрачка. Таким образом, управление головного мозга компенсирует воздействие, которое оказывает изменение интенсивности светового потока и доводит освещение сетчатки до нормального уровня. Такие процессы, как например, терморегуляция тела человека, содержание сахара в крови, дыхание и сокращение также осуществляется автоматически. 2.3.Системный анализ. Каждая система выполняет свои функции, которые существенно отличаются от свойств и функций ее элементов. Например, в органе может совершаться механическая работа или осуществляться газовый обмен со средой. На уровне клеточном осуществляется питание, биосинтез органических соединений, раздражимость, рост и размножение. На молекулярном уровне определяются химические и физические свойства вещества (кислот, оснований и т.д.) На атомном уровне осуществляется прием и отдача электрона, и, соответственно, процесс образования ионов. Таким образом, для любой системы свойственны законы ее поведения и присущие ей свойства. 17 Вход Входной параметр (причина) Система: законы поведения, свойства Выходной параметр Выход (следствие) Рис. 2.3. Характерной особенностью любой системы является наличие у нее входа и выхода (рис. 2.3.). Естественно, что определенное изменение входной величины, выполняющей роль причины, влечет за собой вполне определенное изменение выходной величины, выполняющей роль следствия. Зависимость выходной величины от входной называют законом поведения системы. В идеальном случае этот закон может быть выражен в виде математического уравнения, имеющего аналитическое решение, и в которое входит некоторое число параметром, характеризующих определенные свойства системы. В системном анализе можно выделить следующие четыре типа задач. 1.Прямая задача. В этой задаче известны входные величины (воздействие, возмущение), закон поведения и свойства системы –требуется определить выходную величину (эффект, реакцию). В данном случае задача соответствует случаю, когда по заданному значению аргумента определяется значение функции по известному выражению. 2. Обратная задача. В обратной задаче заданы законы поведения системы и выходная величина требуется определить входную величину (причину- стимул, воздействие). Данная задача является обратной по отношению к первой. Задачи этого типа являются диагностическими и с которыми врач постоянно встречается в своей практической деятельности. 3.Уточняющая задача. Характерной особенностью данного типа задач является то, что в этом случае известны входные и выходные величины системы, а так же общий вид закона ее поведения –требуется определить значения числовых постоянных, определяющих ее свойства. Такого характера задачи возникают у врача при интерпретации результатов функционального исследования. 4.Задача индукции или «черного ящика». В задачах этого типа, как правило, известны выходные и входные величины – требуется определить закон поведения и основные параметры системы. Эти задачи являются наиболее трудными из всех перечисленных выше. В этом случае для определения закона поведения системы ее необходимо полностью изолировать от окружающей среды, подать на вход определенное воздействие и наблюдать выходную реакцию. Сначала появляется запись эмпирических данных, в которых могут содержаться постоянные, не имеющие особого теоретического или обобщающего значения. В конечном итоге в результате осмысления устанавливается закон, базирующийся на определенных теоретических допущениях. Преимущество закона – его 18 общность. С его помощью можно предсказать реакцию системы. Одной из наиболее сложных проблем применительно к биосистемам является их изоляция. Не всегда удается управлять всеми входами систем, устанавливать причину реакции, а тем более закон поведения и параметры системы. Поэтому в большинстве случаев биологические законы оказываются статистическими. Системный анализ, представляющий собой совокупность методологических средств, используемых для подготовки и обоснования решений по сложным проблемам, опирается на системный подход, а так же на ряд математических дисциплин и современных методов управления. Основной процедурой при этом остается построение обобщенной модели, отображающей взаимосвязь реальной системы. ЛЕКЦИЯ № 3 МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА ПРИЧИННО-СЛЕДСТВЕННЫХ СВЯЗЕЙ. 1. 2. 3. 4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ МЕТОД. МЕТОД РЕГРЕССИИ. МЕТОД КОРРЕЛЯЦИИ. АНАЛИЗ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЭЛАСТИЧНОСТИ. Для того чтобы оценить силу связей между причиной и следствием необходимо провести количественный анализ. Численно связь между причинной и следствием можно оценить, используя элементарный метод, метод регрессии, метод корреляции или при помощи показателей эластичности. Рассмотрим каждый из указанных методов. Элементарный метод. Элементарный метод дает приближенное, глазомерное представление о связи, только общую ориентацию. Для анализа необходимо использовать методы измерения связи. Чтобы получить первое представление о связи, проводят параллельное сравнивание двух или нескольких рядов. Временным рядом называют множество результатов наблюдений изучаемого процесса, проводимых последовательно во времени. Выделим два таких ряда, которые дают количественную характеристику потребления реланиума и позволяют сделать некоторые количественные и качественные выводы. 19 1.Динамика потребления реланиума в клинике в период с 1981 года по 1985 год. t, год 1981 1982 1983 1984 1985 Х(t),тыс.ампул 15 14,8 14,9 15,1 14,95 2.Динамика потребления реланиума в клинике в период с 1991 г. о 1995 г. t, год 1991 1992 1993 1994 1995 Х(t),тыс.ампул 21 30 42 50 58 Цель параллельного сравнения рядов – определить направление связи и получить представление о форме связи и о ее нарушениях, если они имеют место. Параллельное сравнение не будет наглядным, если ряды слишком длинные. В таких случаях целесообразно сгруппировать исходные данные. Группировка занимает центральное место в статистическом исследовании. С помощью метода группировок отражаются объективно существующие виды и формы и другие стороны изучаемых явлений, множество отдельных данных можно сделать более наглядными. Благодаря группировке ряды уплотняются, и связь проявляется сильнее. Таким образом, сравнение сгруппированных рядов – это более высокий этап элементарного метода. Метод регрессии Регрессивный метод – это метод измерения связи между одной или несколькими причинами и следствием. Регрессивный анализ часто ограничивается простой связью между одной причиной и одним следствием. Связь можно представить и комплексно при помощи множественной регрессии, как связь между следствием и двумя или многими причинами. Регрессивный анализ включает следующие этапы: 1.Определение типа функции. 2.Определение и проверка коэффициентов регрессии. 3.Расчет значений функции для отдельных значений аргумента. 4.Исследование рассеяния по отклонениям расчетных значений от эмпирических данных. Решающим этапом регрессивного анализа является определение типа функции, т.к. от этого зависит, правильно ли алгебраическое уравнение отражает сущность связи между явлениями. Для правильного определения типа функции необходимо из эмпирических данных получить ответ на следующие вопросы: каково направление связи; изменяется ли направление связи в исследуемой совокупности; имеет связь линейный характер; стремится ли связь к точке насыщения, т.е. к такой точке, где величина (у), больше не изменяется в зависимости от изменения причины (х). Особенно полное представление о связи дают графические изображения, которые позволяют установить форму и направление связи. 20 Метод наименьших квадратов. Параметры уравнения регрессии по эмпирическим данным определяют методом минимализации суммы квадратов отклонений (ошибок) Гаусса. Этот метод позволяет выбрать суммы квадратов рассматриваемого типа ту функцию, которая с полученными при его помощи параметрами подходит лучше всего для описания рассматриваемой регрессионной зависимости и согласования ее результатов с опытными данными. Отклонения, о которых идет речь – это разности между эмпирическими (уi) и расчетными (теоретическими) величинами ( Yi). Нужно так определить параметры функции Y= f(x), чтобы  i2 была минимальной. То есть ставится вопрос: сумма квадратов отклонений должна быть минимальной n (y i 1 i  Yi ) 2  min (3.4) или n  i 1 2 i  min (3.5) Это условие получило название метода наименьших квадратов (МНК). При определении неизвестных параметров уравнения регрессии МНК необходимо выполнить следующие операции: 1. Вместо функции f(x) взять избранный тип функции ( уравнение регрессии). 2. Уравнение регрессии продифференцировать в частных производных по переменным a, b, c и т.д. и приравнять их к нулю. Для доказательства, что имеется минимум, можно найти вторую производную, которая должна быть больше нуля, что и является подтверждением того, что минимум существует. 3. Первые производные, приравненные к нулю, необходимо преобразовать в уравнения, которые называют нормальными и которые применяются для определения параметров (коэффициентов) регрессии. 4. Из системы нормальных уравнений параметры (коэффициенты) уравнения регрессии определяются методом подстановки или методом детерминантов (определителей). 5. Параметры всех рациональных функций определяются выше указанным образом. В функциях, где все параметры связаны как множители (например, в показательной функции), вместо исходных величин подставляют их логарифмы, что позволяет свести функцию к линейной. Формулы для вычисления параметров уравнения простой линейной регрессии методом наименьших квадратов выводят следующим образом. Используя уравнение линейной регрессии Y= f(x)=a +bx 21 находим сумму квадрата разности n  i 1 n   [ yi  (a  bx)]2 , 2 i i 1 n (y i 1 i  a  bxi ) 2  min Дифференцируем последнее выражение по a и b и первые частные производные приравниванием к нулю: n    i2  2 ( yi  a  bxi )  0 , (3.6) a i 1 2 n  i  2 ( yi  a  bxi ) хi  0 a i 1 (3.7) Отсюда следует, что нормальные уравнения можно представить в виде: n n i 1 i 1  yi  na  b xi n n n i 1 i 1 i 1  xi yi  a xi  b xi2 (3.8) (3.9) Из уравнения (3.8) находим, что a= 1 n 1 n y  b xi  y  b x  i n n i 1 i 1 (3.10) с использованием уравнений (3.9) и (3.10) находим: n b= x y i 1 n i n i x i 1 2 i  y  xi i 1 n (3.11)  x xi i 1 где х - среднее значение переменной х, у - среднее значение переменной у. По уравнениям (2.10) и (2.11) определяются параметры (коэффициенты) уравнения регрессии, при этом используются следующие данные: x , y ,  yi ,  xi yi ,  xi2 , которые являются результатом статистических исследований и для которых составляется таблица, расположенная ниже, для некоторой причины х и следствия у, подчиняющихся линейной регрессии. 22 yi  6,300 6,250 6,350 6,150 6,000 5,750 5,850 5,800 48,5000 xi xi yi xi2 Yi yi  Yi 100 120 140 160 180 200 220 240 1360 630,0 750,0 889,0 984,0 1080,0 1150,0 1287,0 1392,0 8162,000 10000 14400 19600 25600 32400 40000 48400 57600 248,000 6,366667 6,277976 6,189286 6,100595 6,011905 5,923214 5,834524 5,745833 48,450000 -0,666670 -0,027976 -0,160740 -0,049405 -0,011905 -0,173214 -0,015476 -0,054167 0,000000 ( yi  Yi ) 2 0,004444 0,000793 0,025829 0,002441 0,000142 0,030003 0,000239 0,000934 0,066815 y  6,0625, x  170 Так как b=  xi yi  y  xi x 2 i  x  xi имеем 81620  6,0625  1360  0,004435 248000  170  1360 соответственно: a = y  b x и b= a= 6,0625 – (-0,00435)  170  6,810200 Следовательно, уравнение регрессии с определенными параметрами (коэффициентами) a и b примет вид: Y = 6,810200 – 0,004435 xi 3.3 Метод корреляции. Корреляционные расчеты при изучении связи следствия с одной или несколькими причинами дополняют регрессию. При расчете регрессии влияние второстепенных причин исключают, чтобы подчеркнуть влияние основных причин, сущность связи. При корреляционном расчете исходят из реальной картины проявления связи, отделяют влияние основных причин от второстепенных, используя данные о распределении, обусловленном всеми причинами. При регрессивном анализе связь характеризуют коэффициентами ( а и b) регрессии, по уравнению регрессии подсчитывают теоретические знания. При корреляционном анализе связь характеризуют показателем, который определяет тесноту (интенсивность) связи. Корреляционные расчеты проводят в следующих целях: 1. Проверить, насколько эффективно уравнение регрессии представляет (модулирует) связь. 2. Достаточно ли в уравнении регрессии учтены основные причины, учитывая их силу влияния на следствие, чтобы путем регрессии отразить суть связи, или для рассмотрения связи необходимо привлечь другие причины для раскрытия более тесной связи. 23 3. При корреляционных расчетах следует учитывать особенности связи явлений, так как они влияют на содержание и смысл показателя. При непосредственной коррелиции исследуемые параметры находятся в отношении «причинаследствие», например зависимость гидродинамического сопротивления от вязкости крови. При косвенной корреляции оба исследуемых параметра зависят от третьего, например, от наличия концентрации аспирина в крови. При ложной корреляции исследуемые параметры не связаны друг с другом. Путем корреляционных расчетов по числовым данным о параметрах можно получить показатель, который стимулирует связь, в действительности не существенную, например, связь гидродинамического сопротивления кровеносной системы со скоростью распространения света в среде. Показателями корреляции являются мера определенности и коэффициент корреляции. Мера определенности имеет целью количественно оценить тесноту связи относительной величиной. Исходным для установления меры определенности является дисперсия теоретической величины Y относительно средней, т.е. n  (Y  y) i 1 2 (3.12) i Этот показатель вариации сопоставляется с общей вариацией исходного распределения и получают меру определенности: n B=  (Y  y) 2 (y 2 i 1 n i 1 i i  y) , (3.13) где Yi – значение, рассчитанное по уравнению регрессии, yi- экспериментальные значения, -среднее значение, рассчитанное по экспериментальным данным. Общая вариация включает отклонения эмпирических величин от теоретических и отклонения теоретических величин от средней. Так как вариация теоретических величин относительно средней, называемой вариацией по линии регрессии, является только частью всей вариации эмпирических величин, мера определенности может находиться только в интервале 0  B  1 . Чем ближе он к единице, тем лучше избранная функция подходит для описания действительной связи. Если мера приближается к нулю, то никакой связи нет или она очень сильно нарушена. Меру определенности можно рассчитывать и по вариации эмпирических величин относительно рассчитанных по уравнению регрессии: n (y i 1 i  Yi ) 2 Если этот показатель вариации сравнить с общей вариацией, то получим меру неопределенности: 24 n U (y i 1 n i (y i 1  Yi ) 2 (3.14) i  y) 2 Из сказанного о составе общей вариации эмпирических величин следует, что B+U=1. Следовательно, меру определенности можно рассчитать и с использованием следующего выражения: n B  1U  1 (y i 1 n i (y i 1  Yi ) 2 (3.15) i  y) 2 Коэффициент корреляции r рассчитывают из извлекая из нее положительный корень, т.е. меры определенности, r1 n а) r B  (Y  y) 2 (y  y) i i 1 n i 1 i (3.16) или r<1 n б) , 2 r  1 (y i 1 n i (y i 1  Yi ) 2 (3.17) i  y) 2 r=0 в) Рис. 3.1 Корреляционная связь Из тесной связи коэффициента корреляции с мерой определенности следует, что в отличие от меры определенности он является линейным показателем тесноты между причиной и следствием. Коэффициент корреляции – это вариационный безразмерный коэффициент, который может принимать значение 0  r  1 . Чем ближе 25 коэффициент к единице, тем теснее связь, и наоборот (рис.3.1 а, б, в). Положительное значение коэффициента r (рис. 3.1 а-1) или отрицательное (рис. 3.1 а -2) характеризуют направление корреляционной зависимости. Его, как и меру определенности, можно рассчитать и для линейных и для нелинейных связей. Поэтому он применим независимо от типа функции. Коэффициентом корреляции пользуются для того, чтобы получить сведения о зависимости следствия от различных причин, и чтобы применить как основную. Если для регрессионных расчетов использовано несколько типов функции лучше описывает связь. Множественный регрессионный и корреляционный анализ соответствует объективно существующему взаимодействию многих причин (хi), которые вместе определяют величину следствия у. Так, например, с двумя основными причинами при линейной связи функция регрессии будет иметь вид: (3.18) Y  a  b1 x1  b2 x2 Коэффициенты a, b1, b2 находятся методом наименьших квадратов. При линейной множественной корреляции исходят из парных коэффициентов корреляции и получают: ry (12)  ry21  ry22  2ry1  ry2  r12 1  r122 (3.19) где ry - множественный коэффициент корреляции, который измеряет связь между тремя явлениями. (12) Анализ с использованием показателей эластичности. Эластичность – это мера изменения следствия при изменениях причины, которая показывает (абсолютно или относительно) как изменяется следствие, если причина изменяется на единицу или на 1% . Эластичность можно характеризовать с помощью абсолютных и относительных показателей, исходя как из эмпирических, так и из теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии, величин. Абсолютную величину эластичности по эмпирическим данным рассчитывают следующим выражением: Ea  yi  yi 1 xi  xi 1 (3.20) с помощью которого можно дать первую ориентировку о связи. Поэтому его используют, чтобы получить сведения для выбора уравнения регрессии. Показатель относительной эластичности рассчитывается по формуле: E'  yi  yi 1 yi 1 xi  xi 1 xi 1 26 (3.21) Если определены параметры уравнения регрессии, то отношение изменения следствия к изменению причины лучше всего выразить функцией эластичности. Ее получают как первую производную функции регрессии и называют абсолютной функцией эластичности  (x) :  ( х)  dY dx (3.22) При линейной связи, которая характеризуется уравнением регрессии Y= a+bx абсолютная функция эластичности  ( x)  b . Так как коэффициент регрессии b постоянная величина, эластичность для всех х будет одинаковой. При линейной связи абсолютная эластичность и коэффициент регрессии совпадают. При нелинейных связях эластичность для различных хi различна. Поэтому ее нужно определить отдельно для всех хi или значения xi, представляющих интерес. Относительную функцию эластичности можно определить следующим выражением: dy  ( х)  y dx x  dy x dx y (3.23) из которого следует, что x y  ( x)   ( x) (3.24) При линейной регрессии относительная эластичность  ( x)  bx a bx (3.25) Таким образом, показатель относительной эластичности (коэффициент эластичности) показывает, на сколько процентов изменяется следствие y, если причина х изменяется на 1%. Можно сказать, что показатель эластичности характеризует податливость следствия к изменению причины. ЛЕКЦИЯ № 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ. 1. МОДЕЛИ И ИХ НАЗНАЧЕНИЕ 2. ВИДЫ МОДЕЛЕЙ 3. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Модели и их назначение. Законы физики, химии, биологии и других наук, которые используются в практической деятельности человека, нельзя получить с использованием только одних фундаментальных законов без использования дополнительных 27 частных предположений. Например, законы, определяющие взаимодействие электронов со всеми частицами, из которых состоит проводник, хорошо известны, но получить закон Ома для рассматриваемого случая на основании фундаментальных законов не удается. Хотя такую задачу математически можно сформулировать, а вычисление этой задачи окажется не под силу всем существующим ЭВМ, вместе взятым. В подобных случаях используются физические модели, которые упрощают получение исследуемой закономерности. При этом должны быть сохранены наиболее существенные связи и отброшены второстепенные с целью упрощения решаемой задачи. Модель – это абстрактная или материально реализованная система, являющаяся упрощенной копией исследуемой реальной системы. При этом модель должна обеспечивать достаточно простое математическое описание и иметь область применимости, в которой свойства модели с заданной точностью совпадают со свойствами реальной системы. Модель тем лучше, чем шире ее область применения и чем проще ее описание. Метод исследования явлений и процессов их протекания в различных системах, основанный на построении и изучении их моделей, называют моделированием. В настоящее время моделирование является научным методом глубокого исследования и познания сущности явления и объектов. Например, с использованием модели материальной точки и модели абсолютно твердого тела описана почти вся теоретическая механика. Основные квантовомеханические системы, состоящие из протонов и нейтронов, которые в ядре связываются внутренними силами ядерного взаимодействия. Между протонами существуют так же силы электромагнитного взаимодействия. Над выяснением устройства ядра и законов ядерного взаимодействия упорно работают физики всего мирра, начиная с 1932г. В настоящее время существует семь моделей атомного ядра: капельная, частичная, обобщенная, оптическая, протонно- нейтронная, Ферми – газовая и ядерных оболочек. Каждая из этих моделей объясняет вполне определенные экспериментальные факты. Но так как никакая простая модель не может передать всех свойств столь сложной квантово – механической системы, какой является ядро, поэтому ни одну модель нельзя канонизировать. Тот факт, что вместо единой последовательной теории атомного ядра существуют различные модели ядер, каждая из которых применима к органическому кругу явлений, показывает, какой объем исследований еще остается впереди в этой области. Конкретно с соответствующими физическими и другими видами моделей нам предстоит познакомиться в процессе изучения медицинской и биологической физики. Виды моделей. В биологии и в медицине объектом исследования является живой организм, представляющий собой весьма сложную систему, в которой имеют место физические, химические, физико – химические и биологические 28 процессы. для исследования столь широкого круга явлений в различных системах организма могут использоваться самые различные виды моделей. В настоящее время в биологии и медицине широко используются следующие виды моделей: 1. Геометрические модели – это упрощенные копии оригиналов. К геометрическим моделям относятся муляжи, которые используются при изучении анатомии, биологии, физиологии и других наук. Геометрические модели автомашин, железных дорог, зданий и различных животных широко используются с познавательной и развлекательной целью в процессе воспитания детей. 2. Биологические модели используются для изучения общих биологических закономерностей действия различных препаратов и методов лечения. К биологическим моделям относятся лабораторные животные, изолированные органы, культуры клеток. Этот вид моделирования самый древний и широко распространен в науке. Развитие моделирования позволило, например, с использованием жидкостно – мозаической модели биологической мембраны выяснить многие аспекты по переносу ионов в клетку и из клетки, понять процесс образования мембранного потенциала и механизм возникновения потенциала действия. Модель Франка и модель Ростона, предложенные для кровеносной системы, позволили описать характер движения крови по сосудистой системе, давления крови и объемной скорости кровотока. Поэтому биологические модели представляют большой интерес для биологии, физиологии, фармакологии и генетики. 3. Физические модели – это физические системы или устройства, которые облают свойствами, аналогичными с моделируемым объектом. Физическая модель может реализовываться в виде электрического или механического устройства с использованием соответствующих критериев подобия для рассматриваемой реальной системы. Несмотря на сложность и взаимосвязь различных процессов, протекающих в организме человека, часто среди них можно выделить процессы, близкие к физическим. Например, такой сложный физиологический процесс, как кровообращение, в своей основе является физическим, так как связан с течением жидкости, характер и законы движения которой описаны в разделе «гидродинамика». Физическим по своей сути являются и такие процессы как, например, распространение упругих колебаний по сосудистой системе, механическая работа сердца,генерация биопотенциалов и т.п. Отсюда следует важность использования физических моделей для выяснения характера протекания физиологических процессов и установления биологических закономерностей. 4.Кибернетические модели – это, как правило, электронные устройства, с использованием которых осуществляется обработка информации и управление некоторыми процессами в живом организме. Кибернетические модели широко используются в биологической кибернетике, в которой изучается организация и управление в биологических 29 системах на основе восприятия, передачи и переработки информации. Основными направлениями в биокибернетике являются физиологическая кибернетика и нейрокибернетика. Биологическая кибернетика тесно связана с медицинской кибернетикой, т.е. направлением кибернетики, в котором изучаются проблемы организации и управления в медицине и здравоохранении. В медицинской кибернетике обычно выделяются следующие основные разделы: медико – биологический, изучающий структурную и функциональную организацию элементов и систем организма человека в норме и при патологии. - клинический, изучающий пути и способы совершенствования процессов диагностики и лечения. - организация системы медицинского обслуживания, в котором рассматриваются автоматизированные системы управления (АСУ) и возможности их применения и использования для организации здравоохранения. В области медицинской кибернетики и биокибернетики имеют место и другие виды моделей. 5. Математическая модель – это приближенное описание какого – либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Математическое моделирование используется для исследования физических, химических, биологических и других систем в условиях, которые невозможно создать при эксперименте в клинике или в лабораторных условиях. При этом значительно уменьшается время исследования за счет использования ЭВМ. 4.3.Основные этапы математического моделирования. Математическое моделирование является мощным методом познания внешнего мира, прогнозирования и управления. Метод математического моделирования позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений. Процесс математического моделирования, т.е. изучение явления с помощью математической модели, в своей основе содержит четыре этапа. Первый этап – это формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах, сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели. Второй этап представляет собой исследование математических задач, к которым приводят математические модели. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, т.е. получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений). 30 На этом этапе важную роль приобретает математический аппарат, необходимый для анализа математической модели, и вычислительная техника – мощное средство для получений количественной выходной информации как результат решения сложных математических задач. Третий этап ставит целью выяснение следующего факта: удовлетворяет ли принятая (гипотетическая) модель критерию практики, т.е. выяснению вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений, и решается вопрос о принятии или непринятии модели. Модель не может быть принята, если уклонения выходят за пределы точности наблюдений. Четвертый этап – это последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки, техники данные об изучаемых явлениях все более и более уточняются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании принятой математической модели, не соответствует нашим знаниям о явлении. Таким образом, возникает необходимость построения новой, более совершенной математической модели. На рис. 4.1. показана блок – схема автоматизированной системы построения математической модели биосистемы. С использованием ЭВМ сравниваются выходные параметры биосистемы и математической модели, результаты сравнения обрабатываются в соответствии с введенными в ЭВМ критериями синтеза. ЭВМ выдает обобщенную информацию исследователю, с использованием которой он проводит коррекцию в процедуру, исследования биосистемы и построения математической модели. Типичным примером, иллюстрирующим характерные этапы в построении математической модели, является модель солнечной системы, которая в процессе своего развития прошла через ряд последовательных усовершенствований. В результате геоцентрическая модель Птолемея (2 в. н. э.) была отвергнута и принята гелиоцентрическая модель Коперника (1543г.), с последующими многочисленными уточнениями другими учеными. Метод математического моделирования, сводящий исследование явлений внешнего мира к математическим задачам, занимает ведущее место среди других методов исследования, особенно в связи с появлением ЭВМ. Он позволяет решать сложные задачи науки и техники. 31 Вывод информации Выходные параметры модели Входные параметры биосистемы биосистема ЭВМ сравнение обработка, синтез Исследователь модель Рис. 4.1. Блок – схема автоматизированной системы моделирования. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ЗАНЯТИЕ № 1. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. § 1.1 БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ВЕЛИЧИНЫ. Дифференциальное исчисление является одним из основных разделов обширной области высшей математики, называемой анализом бесконечно малых величин. Главная заслуга в открытии дифференциального исчисления принадлежит английскому математику, физику и астроному Исааку Ньютону (1643 – 1727) и немецкому философу и математику Готфриду Лейбницу ( 1646 -1716). Ньютон сделал свое открытие, работая в области механики. Основной задачей. приведшей его к этому открытию, была задача о нахождении закона изменения скорости любого движения по данному закону (уравнению) этого движения. Лейбниц подошел к открытию дифференциального исчисления в поисках общего метода построения касательной к любой кривой, заданной своим уравнением. Знание основ дифференциального исчисления – одного из самых существенных разделов высшей математики – для техники и науки просто необходимо. Теория пределов является вводной частью дифференциального исчисления. Известно, что переменной называется такая величина, которая в рассматриваемом процессе принимает различные значения. Математический анализ изучает переменные величины. Переменные величины можно разделить на две группы: одни изменяются произвольно – 32 их называют независимыми переменными или аргументами, а изменение вторых зависит от изменения первых – их называют зависимыми переменными, или функциями. Например, радиус R окружности и ее длина  - это переменные величины, они могут принимать различные значения. Однако, выбрав R произвольным образом, для  получаем уже вполне конкретное значение,  = 2 R , то есть R меняется независимо – это независимая переменная (аргумент), а  изменяется в зависимости от R –это зависимая переменная; при этом говорят, что  есть функция от R. В науке, именующейся анализом бесконечно малых величин, исключительно важное значение имеют переменные величины, изменяющиеся так, что по абсолютной величине они становятся и в дальнейшем остаются меньше любого наперед заданного положительного числа, как бы мало это число ни было. Переменные величины, обладающие таким свойством, принято называть бесконечно малыми. Познакомимся с характером изменения этих переменных величин на примерах. Возьмем переменную ординату точки M (x,y) (Рис.1.1), перемещающейся по равносторонней гиперболе y= 1/x вправо от оси 0у. Положим, что абсцисса ее последовательно принимает значения х =1;2;3;4;5;…;n;…; тогда ордината последовательно будут принимать значения 1 1 y= ; 1 1 1 1 1 ; ; ; ;…; ;… 2 3 4 5 n y M (x,y) 0 M1 (x,y) Рис.1.1 33 x По мере увеличения х ( удаления точки от оси Оу вправо) ордината у убывает, приближаясь к нулю. При х, неограниченно возрастающем, ордината у, убывая, становится и в дальнейшем остаётся меньше любого наперед заданного положительного числа, как бы мало оно ни было. Положим, таким числом является  * = 0,0001. Уже при х = 1001 получим [y]= 1/1001 <  . При значениях х> 1001, значения у, очевидно, будут убывать, оставаясь меньше заданного числа  . Допустим, теперь, что точка M1 (х,у), перемещаясь по этой гиперболе, удаляется от оси Оу влево. Тогда переменная ордината у последовательно будет принимать значения 1 1 1 2 1 3 1 n Y= - ; - ; - ; …; - ;…; - 1 ;… 2n При неограниченном удалении точки М1(х,у) от оси Оу влево абсолютная величина у делается меньше и в дальнейшем остается меньше любого наперед заданного числа  . как бы ни было мало это число. Следовательно, ордината у точки М является величиной бесконечно малой при неограниченном увеличении абсолютного значения х. Допустим, что точка М перемещается по оси Ох вправо от начала координат. При этом абсцисса х будет возрастать и притом так, что неизбежно наступит момент, когда она станет и в дальнейшем будет оставаться больше любого наперед заданного положительного числа N, как бы велико оно ни было. В этом случае говорят, что переменная величина х является положительной бесконечно большой величиной и стремится к + ∞. Пусть теперь точка М перемещается по той же оси влево от начала координат. При этом абсцисса этой точки х будет принимать отрицательные значения, возрастающие по абсолютной величине. Как бы велико ни было произвольное и наперед нами взятое положительное число N , наступит момент, когда абсолютная величина переменной абсциссы |x| станет и в дальнейшем будет оставаться больше числа N. В этом случае говорят, что переменная величина х является отрицательной бесконечно большой величиной и стремиться к -∞. В обоих этих случаях переменная величина х изменяется так, что абсолютная величина ее становится и в дальнейшем остается больше любого наперед заданного положительного числа, как бы велико это число ни было. Такие переменные величины принято называть бесконечно большими. Таким образом, переменная величина х называется бесконечно большой, если она в процессе своего изменения по абсолютной величине становится и в дальнейшем остается больше любого наперед заданного положительного числа, как бы велико это число ни было. Следует знать, что термином «бесконечно большая величина» определяется характер изменения переменной величины и что бесконечность не есть число. Всякое число, каким бы большим оно ни было, конечно. Положим, что точка М (х,у) перемещается по ветви равносторонней гиперболы ху =1 (см. Рис. 1.1), расположенной в первой четверти, 34 неограниченно приближаясь к оси Оу. Рассмотрим, как при таком перемещении точки М изменяется ее переменная ордината у. При таком перемещении точки М, очевидно, х  0. При х = 0,5; 0,1; 0,02; 0,004;… получим ряд последовательных значений у = 2; 10; 50; 250;… По мере приближения точки к оси Оу (х  0) переменная ордината у возрастает и притом так, что, как бы велико ни было наперед заданное положительное число N, неизбежно наступает момент, когда абсолютная величина у становится и в дальнейшем остается больше этого числа. Допустим, нами было взято N=1000. Тогда при любых значениях х, начиная с Х= 1 1 . получим |y| = = 1001; |y| >N. 1001 x Следовательно, при х  0 ордината гиперболы ху=1 является величиной бесконечно большой. Между бесконечно малой и бесконечно большой величинами существует тесная связь, которая определяется следующим образом: 1)Если х – величина бесконечно большая, то обратная ей величина 1 х будет величиной бесконечно малой. 2) Если х – величина бесконечно малая, то обратная ей величина 1 х будет величиной бесконечно большой. В математике часто используется понятие такой величины, как ограниченная переменная величина. Переменная величина у называется ограниченной, если при условии данного вопроса ее абсолютная величина |y| остается меньше некоторого положительного числа, то есть |y| < N . Уясним смысл этого определения на примере. Пример 1: рассмотрим переменную величину y  sin x. Из тригонометрии известно, что при любом x -1  sin x  1. Отсюда видно, что sin x – величина ограниченная, т.к. приняв за N любое число, большее 1 (например 1,1) будем иметь |y|= sin x <1,1. § 1.2. ПРЕДЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ ВЕЛИЧИНЫ. Понятие предела связано с особым видом изменения переменной величины, служащий основой высшей математики и имеющий первостепенное значение во многих областях науки и техники. Познакомимся с ним на примере. Рассмотрим изменение переменной величины х = at  1 . t Придадим этой формуле другой вид, разделив члены числителя на знаменатель. Получим: 35 1 t х=a + . (1) По условию вопроса, t последовательно может принимать значения: t= 10; 100; 1000; 10 000; 100 000;…; 10n;…  ∞, при этом соответствующие значения х будут: 1 1 1 ; a ; a ; 10 100 1000 1 1 a ;…; a  n ;… . 10000 10 xa Замечаем, что чем больше t , тем ближе значения переменной величины х подходят к постоянной величине a. Из равенства (1) имеем 1 xa  . t При t  ∞ правая часть этого равенства является величиной бесконечно малой. Это значит, что переменная величина х неограниченно приближается к постоянной величине а, т.е. lim x =a t  Анализ показывает: Постоянная величина а называется пределом переменной величины х, если разность между ними является величиной бесконечно малой, т.е. lim x=a, если х-а=  , (2) где  - бесконечно малая величина. Разность между бесконечно малой величиной и нулем, очевидно, равна самой бесконечно малой величине:   0   . Следовательно, пределом бесконечно малой величины является нуль. Из равенства (2) следует x  a  , (3) т.е. переменная величина х, имеющая своим пределом постоянную величину а, равняется своему пределу а плюс бесконечно малая величина. Примечание 1. Всякая переменная величина, имеющая предел, является ограниченной переменной. Примечание 2. Бесконечно большая величина х предела не имеет, тем не менее, вместо записи х  ∞ в дальнейшем часто будем писать lim x = ∞, помня при этом , что символ ∞ никакого числа не выражает. Примечание 3. пределом постоянной величины а является сама эта постоянная величина lim a =a. Покажем, что при х  ∞ предел переменной величины y  2x2  6x  1 x 2  3x равен 2. Решение. Находим разность между переменной величиной у и числом 2: 2x2  6x  1 2 x 2  6 x  1  2( x 2  3x) y2 2 x 2  3x x 2  3x получаем y2 36 1 . x  3x 2 При х  ∞ знаменатель дроби в правой части последнего равенства – величина бесконечно большая, вследствие чего дробь 1 x  3x 2 будет величиной бесконечно малой. Разность между переменной величиной у и постоянной величиной 2- величина бесконечно малая. Следовательно, число 2 является пределом у при х  ∞, т.е. lim y  2 . x  ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ Теорема 1.Предел алгебраической суммы конечного числа переменных величин, имеющих пределы, равен алгебраической сумме пределов слагаемых lim(x-y+z)=lim x- lim y +lim z. Теорема 2. Предел произведения конечного числа переменных величин, имеющих пределы, равен произведению пределов этих переменных. lim xyz = lim(xy)ּlim z = lim x ּ lim y ּlim z. Теорема 3. Предел частного двух переменных величин, имеющих пределы, равен частному пределов делимого и делителя, если предел делителя не равен нулю. x y a b x y lim  , или lim  lim x lim y при условии lim y =b  0 Теорема 4. Предел корня целой положительной степени из переменной величины, имеющий предел, равен корню той же степени из предела этой переменной. lim n x  n lim x . Первый замечательный предел: lim x sin x  1. x Второй замечательный предел: 1 1 lim (1  ) x  lim( 1  a) a  e x  a  x § 1.3. ПОНЯТИЕ О ПРЕДЕЛЕ ФУНКЦИИ. НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ. 1. Очевидно, вопрос о пределе функции у может иметь смысл лишь в том случае, если указывается предел, к которому стремится аргумент х. Зададимся целью уяснить себе смысл утверждения, что пределом функции у при х  а (а – какое – либо число) является число b. Возьмем какую – нибудь последовательность значений аргумента х: х1; х2; х3; х4;…; хn;… (4) 37 стремящуюся к числу а, т.е. когда lim x x  n  a . Таких последовательностей можно выбрать сколько угодно. Всякой последовательности (4) будет соответствовать последовательность значений самой функции y: y1; y2; у3; у4;…; уn;… (5) Если любая такая последовательность (5) имеет предел и этот предел равен числу b, то число b называется пределом функции у при х  а и это записывается так: lim y  b . Поясним на примере. xa Пусть нам дана функция y  x 2  2 . Проследим ход изменения этой функции при x  1 . Положим, что аргумент х принимает последовательность значений: х= 1,1; 1,01; 1,001;… стремящуюся к 1. Тогда функция y  x 2  2 последовательно будет принимать значения y| =3,21; 3,0201; 3,002001;…  1, (6) х 1 Х 1 Отсюда следует lim y  lim ( x x1 2  2)  3 x1 Возьмем далее последовательность значений х, стремящуюся к 1, возрастая (х<1). x=0,9; 0,99; 0,999;…  1 . Тогда данная функция последовательно будет принимать следующие значения: y| = 2,81; 2,9801; 2,9979;…  3 . (7) х 1 Х 1 Очевидно, что lim y  lim ( x x 1 x 1 Следовательно, x 1 x 1 2  2)  3 lim y  3 при х>1 и х<1 x1 Последовательности (7) и (6) имеют один и тот же предел, значит функция y  x 2  2 при х  1 имеет предел, равный числу 3. Таким образом, функция у при х  а имеет своим пределом число b, если для любой последовательности значений аргумента х, стремящийся к числу а, соответствующие последовательности значений функции у имеет один и тот же предел равный b. Рассмотрим нахождение предела функций в тех случаях, когда непосредственное применение теорем о пределах не приводит к определенным результатам. Пример 1. Найти предел функции и y  x 3  20 x 2  17 x  3 при х  ∞. Решение. При х  ∞ три слагаемых этой алгебраической суммы (х 3 , 20х2, -17х) пределов не имеет. Следовательно, в данном случае теорему о пределе алгебраической суммы непосредственно применить нельзя. 38 Образуем данное выражение, вынося х3 за скобки: lim y  lim ( x x 3 x   20 17 3   20 x 2  17 x  3)  lim  x 3 1     x x 2 x 3   x  по теореме о пределе произведения находим lim y  (lim x)  lim x  (1  3 x  x  x  Приняв во внимание, что члены  20 17 3   ). x x 2 x3 20 17 ; - 2; x x 3 x3 при х  ∞ будут бесконечно малыми величинами, получаем lim y  () (1  0  0  0)   3 x Пример 2. Найти предел функции y  6x2  5 , когда х  ∞. 3x 2  2 Решение. Если непосредственно применить теорему о пределе частного, то получится 2 lim x  6x y  lim 2 x  3 x (6 x  5 lim   2 lim (3 x 2  5) x  2  2)   .  x  Запись  никакого числа не выражает. Следовательно, в случае, когда  делимое и делить являются бесконечно большими величинами, непосредственное применение теоремы о пределе частного определенного результата не дает. В таких случаях нахождение предела частного ведется в следующем порядке: делимое и делитель делят на наивысшую степень аргумента в знаменателе (в данном случае на х2).: 6x2  5 6 2 6x2  5 x   3x 2  2 3x 2  2 3  x2 5 x2 . 2 x2 В результате преобразования под знаком предела получается дробь, числитель и знаменатель которой при х  ∞ - величины ограниченные. Процесс нахождения предела записывается так: 5 6 lim 6x  5 x2  x   lim lim 2 2 x  3 x  2 x  3  2 3  lim x x  6 2 5 x2 6  0  2 2 30 x2 Результат можно подтвердить способом, рассмотренным в п.1 данного параграфа. Деля числитель на знаменатель, получаем y 6x2  5 1  2 2 . 2 3x  2 3x  2 39 Пусть аргумент х принимает такую последовательность значений: 10, 100, 1000, ...   ; тогда функция (у) последовательно будет принимать значения 2 1 1 1 ,2 ,2 ,…, 302 30002 3000002 неограниченно приближающегося к числу 2. Пример 3. Найти x2  6x  9 . x3 lim x  Решение. Если непосредственно применить теорему о пределе частного, то получается lim ( x  6 x  9) 9  6  3  9 0  . = 33 0 lim ( x  3) 2 x  x  Запись 0 никакому определенному числу не соответствует. 0 1. Разлагаем на множители числитель дроби, стоящей под знаком предела: lim x 3 2. Сокращаем полученную дробь на х-3, что х-3  0, или х  3 и только х  3 . Получаем lim x 3 3. x2  6x  9 ( x  3) 2  lim . x3 x3 x3 x2  6x  9 ( x  3) 2  lim ( x  3) . = lim x3 x3 x 3 x3 Находим предел, пользуясь первой теоремой о пределах: lim x3 x2  6x  9  lim ( x  3)  3  3  0 x3 x 3 40 УПРАЖНЕНИЯ Найти пределы: 1. lim x3  x 2  2x . x2  x 2. lim x2  4 . x2 3. lim 16  x 2 . x 3  64 4. lim x3  8 . x2  x  6 5. lim x 8 . 43 x 6. lim x  3x  4 . 16  x 2 7. lim sin x  tgx . 2 x 4 sin 2 8. lim 1  ctgx . sec x  cos ecx x 0 x4 x64 x 0 9. lim x0 sin 7 x . sin 3x 12. lim x2 x2 x4 x  10. lim x0 tg6 x . sin 8x arctg ( x  2) . 4  x2 14. lim (1  x 16. lim ( x x2  4 11. lim x 2ctg5x . x0 13. lim (1  1 x ) . x 1 15. lim (1  1 2x ) . x 1 x 1 x ) . x 1 x x  5 x1 ) . x2 17. lim ( x 41 x 5 x ) . x2 ЗАНЯТИЕ №2. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ § 2.1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И МЕТОД ЕЕ НАХОЖДЕНИЯ Решение любой задачи на определение скорости неравномерного движения по данному уравнению этого движения s = f(t) приводит к нахождению предела вида s lim t  lim t 0 t 0 f (t  t )  f (t ) t Предел этого вида играет весьма важную роль во многих областях науки и техники, поэтому в анализе бесконечно малых величин ему дано специальное название «производная функции». Производной данной функции у = f(x) при данном значении аргумента х называется предел отношения приращения  у этой функции к приращению  х аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю. На основании этого определения, например, можно сказать, что скорость движения в данный момент t есть производная от пути S по времени t. Производную функции у = f(x) принято обозначать следующими символами: у'х (читается «игрек штрих по икс»); f'(x) (читается «эф штрих от икс»); у' (читается «игрек штрих»). Пользуясь этими обозначениями, можно написать yx  f ( x)  lim x0 y f ( x  x)  f ( x)  lim x x0 x (1) Аналогично, если s=  (t ) , то st   (t )  lim  (t  t )   (t ) t t 0 (2) Для того, чтобы функция у = f(x) при данном значении аргумента х y , необходимо, чтобы бесконечно малому t 0 x  х соответствовало бесконечно малое приращение  у функции, т.е. чтобы при x  0 и y  0 . Отсюда следует, что функция у = f(x) имеет имела производную yx  lim производную лишь при таких значениях аргумента, при которых она непрерывна. ____________________________________________________________________ 42  Функция y  f (x) называется непрерывной при x  x1 , если эта функция существует (определена) при x  x1 . Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Фраза «продифференцировать функцию» эквивалентна фразе «найти производную функции». Из определения производной вытекает общее правило дифференцирования любой функции у = f(x) , которое можно свести к следующим этапам, 2 рассмотренным ниже на примере функции y  x . Аргументу х даем приращение  х и находим новое (наращенное) значение функции: у +  у = (х +  х)2. 1)Находим приращение функции:  у = (у +  у)-у = (х2 +2х  х +  х2)-х2 = 2x  x +  x2. 2) Находим отношение приращения функции к приращению аргумента: y  2 x  x x 3) Находим производную функции, т.е. предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю: yx  lim x0 y  (2 x  x)  2 x x lim x0 Производная у'х = 2х. Значение производной функции у = f(x) при данном численном значении аргумента х называется частным значением производной. Например, частным значением найденной производной функции при x  3 , будет y(3)  2  (3)  6 . Пример: найти производную функции у  x -х при х = 2 . 2 2 Решение: при х = 2 будем иметь y  2  2  2 . Теперь проведем дифференцирование по общему правилу: 1) y  y  (2  x) 2  (2  x) 2 y  ( y  y)  y  (2  x) 2  (2  x)  2  4  4x  x 2  2  x  3x  x 2  (3  x)x 3) y (3  x)x   3  x x x 43 4) yx  lim x0 y  (3  x)  3 x lim x0 таким образом, производная исходной функции yx  3 . Аналогичным образом произведено дифференцирование элементарных функций. Нахождение их производных сводится к определению по таблице, приведенной ниже. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ( с )  0 (sin x)  cos x ( x p )  px p1 (cos x)   sin x ( x)  1 ( tgx)  (a x )  a x ln a (ctgx)  (ln x)  (arcsin x)  1 cos 2 x (arccos x)  1 sin 2 x (arcctgx)  1 1  x2 1 1  x2 1 1  x2 1 (arcctgx)  1  x2 1 x Кроме таблицы производных, для вычислений используются правила дифференцирования. Они легко получаются на основании определения производной и теорем о пределах. Приведем без доказательства основные из этих правил. 1. 2. 3. 4. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ. Постоянный множитель можно вынести за знак производной. Производная алгебраической суммы двух или нескольких функций равна алгебраической сумме производных этих функций. (Функции предполагаются дифференцируемыми, т.е. имеющими производные). Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле: (uv)' = u'v + v'u . Производная частного двух дифференцируемых функций, в котором знаменатель отличен от нуля, вычисляется по формуле: u u v  vu ( )  v v2 5. Правило дифференцирования сложной функции («правило цепочки»). Если функция y  f (x) имеет аргумент х, в свою очередь являющийся функцией некоторой переменной t, т.е. x   (t ) , то говорят, что у сложная функция от t, т.е. y  f  (t ) . Производная функции у по переменной t вычисляется по следующему правилу: yt  yx  xt , 44 т.е. производная сложной функции по независимой переменной t равна произведению производной от функции по промежуточной переменной X на производную промежуточной переменной. Пользуясь таблицей и правилами дифференцирования функций, вычисляют производные более сложных функций. § 2.2 ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Если зависимость между пройденным путем s и временем t выражается уравнением s  f (t ) , (3) то скорость движения в момент t определяется по формуле   st  lim t 0 s f (t  t )  f (t )  lim t t 0 t (4) Всякое уравнение вида у = f(x) независимо от физического смысла переменных х и у выражает процесс изменения переменной величины у (функции) в зависимости от изменения переменной х (аргумента). Поэтому все сказанное выше о нахождении закона изменения скорости по данному закону движения применимо к скорости изменения любой функции у = f(x) по отношению к аргументу х. Таким образом, как это следует из выражения (4), первая производная от пути S по времени t есть скорость движения  . В этом и заключается механический или физический смысл производной. Пример 2: при нагревании тела температура его Т изменяется в зависимости от времени t, т.е. Т является функцией от t: Т = f(t) . Если обозначим повышение температуры за промежуток времени от момента t до момента t +  t через  T, то получим   f (t  t )  f (t ) тогда отношение  f (t  t )  f (t )  t t 45 будет средней скоростью изменения температуры за промежуток времени от момента t до момента t +  t, а предел этого отношения при t  0 , т.е. t  lim t 0  f (t  t )  f (t ) ,  lim t t t 0 явится выражением скорости изменения температуры Т в момент t. 2.3 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ. Пусть кривая EF (рис. 2.1) является графиком непрерывной функции у = f(x) . Возьмем на этой кривой точку А(х, у) . Получим ОА 1 =х, А 1 А = у= f(x). Дадим абсциссе х приращение  х = А1 В1. Тогда наращенному значению абсциссы, равному ОВ 1 =ОА 1 +А 1 В 1 =х+  х, будет соответствовать наращенное значение ординаты, равное B1B = y +  y = f(x +  x) (5) Из точки А проведем прямую АВ2, параллельную оси абсцисс, и секущую АВ . Получим прямоугольник А1АВ2В1 и прямоугольный треугольник АВВ 2 . Очевидно, АВ 2 = А 1 В 1 =  х и BlB2=A1A = y =f(x) (6) как противоположные стороны прямоугольника А1 АВ2 В1. Вычитая из равенства (5) равенство (6), найдем BlB-BlB2 = f(x+  х)-f(x) =  y, или В2В =  у. Обозначив угол между секущей АВ и положительным направлением оси абсцисс через  , получим  B2AB =  .A1KA =  . 46 y F B(x+ х ,y+ y ) y A(x,y) B2 E  0 М y  К А1 В1 x х x Рис.2.1 Тогда из прямоугольного треугольника B2AB ,будем иметь tgB2 AB  B2 B y , или tg  x AB2 (7) Равенство (7) показывает, что с геометрической точки зрения отношение приращения функции к приращению аргумента является тангенсом угла наклона к оси абсцисс секущей, проходящей через точки А(х, у) и B(x+ х ,y+ y ) . При х  0 точка B, перемещаясь по кривой, будет неограниченно приближаться к неподвижной точке А(х, у), секущая АВ, поворачиваясь около точки А, будет стремиться занять предельное х положение, а именно положение касательной AM. При этом, очевидно, угол  будет стремиться к углу  , образуемому касательной AM с положительным направлением оси абсцисс. Получим lim tg  tg (8) x  0 С другой стороны, из равенства (8) следует, что y lim tg  lim x x 0 x 0 tg  y x или lim x 0 47 (9) Левые части равенства (8) и (9) равны между собой, следовательно , должны быть равны и правые части, т.е. y x  tg , или y x  k , (10) где к- угловой коэффициент касательной AM к графику функции у = f(x) в точке А(х, у) . Итак, производная функции у = f(x) при данном значении аргумента х равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в точке, абсцисса которой равна х, т.е. можно сказать, что геометрически производная выражает наклон касательной в данной точке. § 2.4 ПРОИЗВОДНЫЕ ВТОРОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ. Производная у'х = f(x) от функции у = f(x) тоже является функцией от х, следовательно, ее можно дифференцировать, т.е. найти производную от производной. Производная от производной называется производной второго порядка, или просто второй производной, и обозначается символом у"хх или f"(x). Следовательно, у"х = (у'х )'х. Так как вторая производная в свою очередь есть функция от х, то ее тоже   ( y xx )x можно дифференцировать. Получается третья производная: y xxx и т.д. Пример: дана функция у = sinax. Найти третью производную. Решение: первая производная у'х = acos ax, вторая производная у"xx = (a cos ах)' = -a2 sin ax, третья производная y xxx (a 2 sin ax)  a 3 cos ax. Мы знаем, что если в прямолинейном движении пройденный путь s в зависимости от времени t выражается уравнением s = f(t) , то скорость этого движения в данный момент времени определяется как производная от пути по времени, т.е.   st  f (t ) . Возьмем производную от скорости   f (t ) по времени t, следуя общему правилу дифференцирования. 1)     f (t  t ) - мы нашли выражение скорости движения в момент t +  t; 2)   (   )    f (t  t )  f (t ) - очевидно, второй этап, выражает скорости движения за время от момента t до момента t  t ;  f (t  t )  f (t )  - третий этап выражает изменение скорости t t движения за единицу времени в предположении, что в промежутке (t , t  t ) 3) скорость изменялась равномерно, т.е. среднее ускорение за промежуток 48 времени от момента t до момента t  t. Обозначив среднее ускорение через  f (t  t )  f (t )  ; t t  f (t  t )  f (t ) 4) lim a  lim .  lim t t 0 t 0 t t 0 Пределом среднего ускорения a за время от момента t до момента t   t при t  0 , очевидно, является ускорение в момент времени t :  . a  lim a  lim t 0 t 0 t a , получим a  Согласно определению производной можно утверждать, что  lim t t 0   t  ( st )t  stt , т.е. a     stt  f (t ). Из последнего выражения следует, что ускорение в данный момент времени равно второй производной от пути по времени. В этом и заключается механический или физический смысл второй производной. § 2.5 ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ МАКСИМУМА И МИНИМУМА ФУНКЦИИ. Рассуждения, которые здесь не проводятся, приводят к следующим признакам существования максимума и минимума функции. 1. Функция y =f(x) при х = а имеет максимум, если при этом значении аргумента первая производная равна нулю, а вторая производная отрицательна, т.е. f (a )  0, f (a )  0. 2. Функция у = f(x) при x=c имеет минимум, если при этом значении аргумента первая производная равна нулю, а вторая производная положительна, т.е. f (c)  0, f (c)  0. При исследовании функции на экстремум необходимо выполнять следующие этапы: 1)найти первую производную у'х = f'(x) данной функции; 2)приравнять первую производную к нулю [f'(х) =0] и найти критические значения аргумента, т.е. те его значения, при которых данная функция может иметь максимум и минимум; 3)найти вторую производную f (x) . Если при данном критическом значении аргумента вторая производная оказывается отрицательной, то при этом значении аргумента данная функция имеет максимум. Если при критическом значении аргумента вторая производная положительна, то при этом значении аргумента данная функция имеет минимум. Если же при данном значении аргумента вторая производная обращается в нуль или в бесконечность, то исследуется значение производной вокруг 49 окрестности критической точки x = xо. Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при x = x0 функция имеет максимум. Если же при переходе через точку x0 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум. Таким образом, если f ( x)  0, x  x0 , то в точке x0 функция имеет максимум. f ( x)  0, x  x0 f ( x)  0, x  x0 , то в точке х0 функция имеет минимум. f ( x)  0, x  x0 Точка кривой, отделяющая участок выпуклости от участка вогнутости, называется точкой перегиба. Правило нахождения точки перегиба кривой, как показывает анализ, сводится к анализу второй производной в окрестности критической точки х = х0. Если при переходе аргумента через значение х = х0 вторая производная меняет знак, т.е. если f"(x0 - h) > 0 и f ( x0  h)  0, или f ( x0  h)  0 и f ( x0  h)  0 , то при х = х0 график функции у = f(x) имеет точку перегиба. Пример: исследовать на максимум и минимум функцию у = 1-х4. Решение: 1)находим критические точки: y   4x 3 , -4х3=0, x=0 2)находим вторую производную и определяем знак второй производной при х = 0 : y   12x 2 , ( y ) x 0  0 Следовательно, выяснить характер критической точки с помощью знака второй производной в данном случае нельзя. 3)исследуем характер изменения первой производной в окрестности критической точки: ( y ) xa  0, ( y ) x a  0. Следовательно, при х=0 функция имеет максимум, именно ( y) x 0  1 . График рассмотренной функции изображен на рис. 2.2 50 y 0 x Рис.2.2 § 2.6 ПОСТРОЕНИЙ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Способ построения графиков по точкам имеет ряд существенных недостатков, из которых укажем следующие: 1)чтобы получить график, по которому можно судить о ходе изменения функции в промежутке ее существования, надо вычислить координаты большого числа точек; 2)невозможно точно выявить характерные особенности графика функции: точки экстремума, точки перегиба и направление выпуклости в любом малом промежутке. Изучив ход изменения функции с помощью первой и второй производных, мы имеем возможность строить графики функций более совершенным способом и значительно точнее, пользуясь результатами исследования на максимум и минимум и находя точки перегиба. Теперь подведем итоги и укажем план, которого следует придерживаться при построении графика данной функции у = f(x) . 1)Определить промежуток существования функции. 2)Найти те значения аргумента, при которых данная функция имеет экстремум, и, вычислив соответствующие значения функции, построить эти точки и небольшие части графика вблизи этих точек. 3)Найти координаты точек перегиба, если они имеются, и построить их. 4)Определить, если это возможно, и построить точки пересечения графика с осями координат. 51 5)Если функция существует в любом промежутке (—∞,+∞), найти lim y и lim y . x   x   6)Все отмеченные элементы графика соединить плавной кривой и продолжить ее, учитывая ход изменения у при х   ∞ и х   ∞. Для большей точности полезно в «сомнительных местах» построить отдельные точки, вычислив их координаты, пользуясь уравнением кривой. Пример: построить график функции у = 1 3 x  x 2  3x. 3 Решение: эта функция существует в любом промежутке; исследуем ее на максимум и минимум: 1-й этап у' х = х 2 -2х-3 2-й этап х 2 -2х-3 = 0 x1, 2  1  1  3  1  2 х1=-1 х2=3 3-й этап 4-й этап f ( x)  2 x  2 f (1)  2  (1)  2  0 f (3)  2  3  2  0 Следовательно, при х=-1 данная функция имеет максимум. А при х=3минимум (табл. №1) 1 3 1 3 ymin=  3  3 2  3  3  9 3 ymax=  (1) 3  (1) 2  3  (1)  1 2 3 Таблица №1 х f (x) f n (x) Заключение -1 0 - Максимум 3 0 + Минимум Строим точки (-1,1 f(x) y max  1 2 3 ymin  9 2 ) и (3,-9) и небольшие части графика вблизи этих 3 точек, учитывая, что точка максимума находится на участке выпуклости, а точка минимума - на участке вогнутости (рис. 2.3 а). 52 3) находим точку перегиба, решив уравнение у"(х) = 0 . Получаем: 2х-2=0 х=1 1 3 ут.пер.=  13  12  3  1  3 2 3 2 3 На рисунке эта точка А(1,-3 ) отмечена маленьким кружком. у y а) б) 2 3 2 3 (-1;1 ) (-1,1 ) х А (3;-9) х (3,-9) Рис.2.3 4) находим точки пересечения графика с осью абсцисс, решив совместно уравнения: х=0 1 y  x 3  x 2  3x 3 Получаем: 53 1 3 х  х 2  3х  0 3 x ( x 2  3 x  9)  0 x1  0 3  9  4  9 3  45  2 2 3  45 x2   1,8 2 3  45 x3   4,8 2 x 2,3  (на рисунке эти точки отмечены крестиками). 5) находим пределы: 1 lim y  lim ( 3 x x  3 x   x 2  3x)  lim x 3 ( x  1 1 3 lim y  (lim x)  lim ( 3  x  x 3 x  x  x  2 1  1  3 )  ( x)  ( 1  1  3 )  () lim lim 3 x x 3 x x 3 2 x  x  2 1 )  () 3    3 6) Все отмеченные элементы графика соединяем плавной кривой и продолжаем ее влево от точки ( учитывая, что lim y   lim y   3  45 3  45 ,0) и вправо от точки ( ,0 ) , 2 2 x   (см. рис. 2.3 б). x   УПРАЖНЕНИЯ. Найти производные указанных функций. 2 t 1. y  (4 x 3  2 x 2  5x)( x 2  7 x) 6. s  (2  4 t 3  t 3 )(  t ) 2. y  (9  2 x)(2 x 3  9 x 2  1) 7. y  x x 1 8. y  x 1 5x  2 9. y  2x  3 3x  7 2 x 3. y  (  3x)( x  1) 4. y  (6  3 x  5. y  (3x 2  1 )(7 x  3) x2 1 3 )( x  0,1x) x3 54 3 1    3 10. y  5x 2 x3 13. y  3 11. y  x 2  2x 3  4x 14. s  12. y  3 1 x x 2 t2 t 3 t  3 t2 15. y  1 x x 2 x2  7x  5 x 2  3x Найти производные второго порядка от указанных функций. 1. y  3x 4  5x 3  2 x 2  x 7. y  arctg3x 2. y  (2 x  5) 3 8. y  ln( x  1  x 2 ) 3. y  1 x 1 9. y  x  sin 2 x 4. y  cos 2 x 10. y  ln tgx 5. y  e  x 11. y  e x cos x 6. y  5 2 1 6 12. y  (e 3 x  e 3 x ) x Определить наибольшее и наименьшее значения следующих функций и построить их графики. 1. y  x 5  5x 3  8 на отрезке [0,2] 2. y  9  x 2 на отрезке [-3,3] 3. y  arcsin x 2 на отрезке [- 2 2 , ] 2 2 4. y  x ln x на отрезке [l,e] 5. y  1 в интервале (- ∞, +∞) 1 x2 6. y  2 x 2  8 x  1 на отрезке [0,3] 55 ЗАНЯТИЕ №3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. §3.1 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ КАК ГЛАВНАЯ ЧАСТЬ ПРИРАЩЕНИЯ ФУНКЦИИ. Пусть нам дана некоторая функция у = f(x). Производная у'х = f'(x) этой функции при данном значении x: есть предел отношения при x  0 , т.е. y x y lim x  y  . x x 0 Нам известно, что разность между переменной величиной (в данном случае такой переменной величиной является y ) и ее пределом – величина x бесконечно малая. Следовательно, y  y x   , или x y  y x   , x где  - бесконечно малая величина при x  0 . Из последнего равенства находим, y  ( y x   )x , или y  y x x  x (1) Это равенство показывает, что приращение функции составляется из двух слагаемых: y x x и x . Первое из этих слагаемых при любом х ,при котором y x  0 , - бесконечно малая величина одинакового порядка с x , так как lim x 0 y x x  lim y x  y x x x 0 Второе слагаемое - бесконечно малая величина высшего порядка малости, чем  х , потому что lim x 0 x x  lim y x  y x x 0 Это означает, что в равенстве (1) при x  0 второе слагаемое стремиться к нулю "гораздо быстрее", чем первое. Поэтому первое слагаемое принято называть главной частью приращения функции. Главная часть y x x приращения функции у = f(x) иначе называется дифференциалом этой функции и обозначается символом dy (читается "дэ игрек"): dy  y x x 56 Следовательно, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на приращение аргумента. Если в формуле dy  y x x принять у = х, получим dy = x' xdx = x' x •  х, или dx = x (3) Это равенство показывает, что дифференциал dx аргумента есть его приращение x . Заменив в формуле (2) x равным ему dx, получаем dy = y'xdx, или dy = f'(x)dx (4) Эта формула читается так: дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента. Следует знать и помнить, что дифференциал аргумента, как и его приращение, не зависит от х. Разделив обе части равенства (4) на dx, получаем dy y x dx , или  dx dx dy y x  dx (5) Из формулы (4) видно, что производная (у' х ) функции у = f(x) есть отношение дифференциала dy этой функции к дифференциалу dx аргумента х. Это отношение читается так: «дэ игрек по дэ икс». Пользуясь формулой (4) и основными формулами для нахождения производной, можно легко вывести формулу для нахождения дифференциала любой функции. Пусть нам дано у = u  , где и= f(x),    (x) dy = d (u )  (u )x dx  (u x  u x )dx  u x dx  u dx  u( x dx)   (u x dx) , а так как  dx  d , u x x  du , то d (u )  du  ud u Рассмотрим еще функцию y   , где u  f ( x),   ( x). (6)  Получим u   u  u  dx  u x dx  (u x dx)  u( x dx) u u d ( )  ( )x dx  x 2 x dx  x  , 2 2     57  или u du  ud d( )  2  (7)  Пример 1: найти дифференциал функции y  1  sin 3x. Решение: по формуле (4) находим dy  y x dx  ( 1  sin 3x )x dx  (1  sin 3x)x 2 1  sin 3x dx  cos 3x  (3x)x 2 1  sin 3x dx  3 cos 3xdx 2 1  sin 3x Пример 2: найти дифференциал функции y   ln(sin kx  cos kx). Решение: (sin kx  cos kx)x (sin kx)x  (cos kx)x  dy  ln(sin kx  cos kx) x  dx  dx  sin kx  cos kx sin kx  cos kx sin kx k cos kx ( 1  ) cos kx  (kx)x  sin kx  (kx)x k (1  tgkx) cos kx  dx  dx  dx sin kx sin kx  cos kx tgkx  1 cos kx( cos kx  1) § 3.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ. Положим, что кривая, изображенная на рисунке 3.1, является графиком функции у = f(x) . Возьмем на этой кривой точку М(х, у) и опустим из нее перпендикуляр МК на ось абсцисс. Получим: ОК = х, КМ = у. Придав абсциссе х приращение KP =  x = dx и восстановив к оси абсцисс перпендикуляр в точке Р , получим PM1  y  y  f ( x  x). Допустим, что касательная МТ к этой кривой в точке М(х, у) образует с положительным направлением оси абсцисс угол  . y M1 y T dy M(x,y) P1 х  0 K P x Рис. 3.1 58 Нам известно, что угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = f(х) в точке М(х, у), равен производной этой функции при данном значении х, т.е. k  tg  y x  f (x). Проведем прямую МР1 параллельно оси абсцисс. Тогда отрезок Р1М1 будет приращением  у ординаты графика функции у = f(х), а отрезок Р1Т приращением ординаты касательной МТ, когда абсцисса х получает приращение  х. Из прямоугольного треугольника МР1Т получим Р1Т – MP1tg  . Это равенство можно переписать в другом виде, приняв во внимание, что МР1 =KP = dx,tg  = k = f'(x) = y'x. Получим PlT = y'xdx. Так как y'xdx = dy. Следовательно, PlT = y'xdx = dy. Это равенство показывает, что дифференциал функции у = f(x) геометрически представляет собой приращение ординаты касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х при переходе от точки касания в точку с абсциссой x + dx. Из рис.3.1 видно, что PlMl=PlT + ТМ1, или  y = dy + ТМ1. Сопоставление этого равенства с равенством (1) из § 3.1 приводит к заключению, что ТМ1 = х, т.е. отрезок ТМ1 изображает ту часть приращения функции, которая при х  0 является бесконечно малой высшего порядка малости по сравнению с  х. В данном случае  y>dy, так как  y-dy =  x =ТМ1 > 0. § 3.3 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Дифференциал функции у = f(x) является, как и сама функция, функцией от x. Поэтому можно взять дифференциал дифференциала. Дифференциал дифференциала функции у = f(x) называется дифференциалом второго порядка и обозначается символом d2y (читается «дэ два игрек»). Зададимся целью вывести формулу, выражающую дифференциал второго порядка. Нам известно, что dy=y'xdx, где dx является произвольным приращением аргумента и не зависит от х. Согласно определению, получим d 2 y  d (dy )  d ( y x dx). Рассматривая dx как постоянный множитель, не зависящий от х, по формуле найдем d 2 y  d ( y x )dx  ( y x )x dx dx  ( y xx dx)dx  y xx dxdx , или 59 d 2 y  y xx dx 2 (8) Итак, дифференциал второго порядка равен произведению второй производной функции у = f(x) на квадрат дифференциала аргумента. Разделив обе части равенства (8) на dx2 , находим второй символ для обозначения второй производной: d 2 y y xx dx 2 d 2 y  ;  y xx , или dx 2 dx 2 dx 2 y xx  Символ d2y . dx 2 d2y читается так: «дэ два игрек по дэ икс квадрат». dx 2 Пример 1: дана функция f ( x)  ln cos mx . Найти дифференциал второго порядка. Решение: 1) находим вторую производную данной функции: (cos mx)x  sin mx  m   mtgmx; cos mx cos mx (mx)x m m2 f ( x)  m   m   cos 2 mx cos 2 mx cos 2 mx f ( x)  2) по формуле (8) находим дифференциал второго порядка: d f ( x)  f ( x)dx 2   2 m2 dx 2 . 2 cos mx Пример 2: дана функция y  arcsin x . Найти d2y . dx 2 Решение: (ax)x d y a  (arcsin x)x   ; 2 2 dx 1 a x 1 a2 x2 1  3     d2y a 1 2 2 2 2 2 2   ( )  a ( 1  a x )  a  (  )( 1  a x )  (1  a 2 x 2 )x  x   x 2 2 2 2 dx 1 a x   2) 3  a a3 x   (1  a 2 x 2 ) 2 (2a 2 x)  2 (1  a 2 x 2 ) 3 1) 60 § 3.4 ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ. Выше дифференциал функции был определен как главная часть приращения функции. Докажем, что при x  0 и y   0 приращение  у функции у = f(x) и ее дифференциал dy - эквивалентные бесконечно малые величины. Нам известно, что y  y x x  x ; (9) dy  y x dx где  - бесконечно малая при x  0 , т.е. lim   0 x 0 y при x  0 : dy y x x  x y  x x   0  lim ( x  )  lim (1  )  1  lim  1 1 y x x y x x y x y x x 0 y x x x 0 x 0 y x Найдем предел отношения y lim dy  lim x 0 x 0 Получаем y lim dy  1. (10) x 0 Это значит что y и dy – эквивалентные бесконечно малые величины. Вследствие этого при значениях x , близких к нулю, можно принять y  dy  y x x. Вычисление приращения функции обычно приводит к громоздким вычислениям. Формула (10) при значениях  х, близких к нулю, дает возможность находить приближенное значение приращения  у функции у = f(x) с незначительным отклонением от его истинного значения, при этом вычислительная работа значительно упрощается. Пример 1: вычислить приращение функции у = 2х2-Зх + 3 при переходе аргумента от значения х 1 =1 к значению х2=1,001: 1) приближенно; 2)точно; 3)найти разность между его точным и приближенным значением. Решение: в данном случае приближенное значение принимаем х=1, dx= х  0,001 ; найдем y  dy  (2 x 2  3x  3)x dx  (4 x  3)dx. Заменив x и dx их значениями, получим y  (4  1  3)  0,001  0,001 . Для точного значения приращения функции получим: 61 (11) y  ( y  y)  y  2(1  x) 2  3(1  x)  3  (2 12  3 1  3)  2  4x  2(x) 2  3  3x  3   2  3  3  (4  3  2x)x  (1  2  0,001)  0,001  0,001002 (12) Сравнивая (11) и (12), видим, что точное значение отличается от приближенного значения лишь в шестом и десятичном знаке: 0,001002-0,001=0,000002 Пример 2: найти приближенно приращение функции y  4 3x  1 при переходе аргумента от значения х1=5 к значению х2=5,1. Решение: принимаем х  5, dx  x  0,1 : 1  3    1 3 y  ( 3x  1)x dx  (3 x  1) 4  x dx  (3 x  1) 4 (3x  1)x dx  dx 3 4 4 4 3 x  1 )   4 Подставив в полученный результат вместо х и dx их значения, находим 3 y  44 (3  5  1) 3  0,1  3  0,1 4 3 44 (2 )  3  0,1  0,09375  0,1  0,009 32 Пример 3: найти приращение y и дифференциал dy функции y  x 2  x  1 при x  3, x  0,01 . Каковы абсолютная и относительная погрешности, которые допускаются при замене приращения функции ее дифференциалом? Решение: имеем   y  y( x  x)  y( x)  y(3  0,001)  y(3)  (3  0,01) 2  (3  0,01)  1  (33  3  1)  0,0501 Дифференциал функции найдем по формуле: dy  y  ( x)  x  y (3)  0,01  (2 x  1) x 3  0,01  (2  3  1)  0,01  0,05 Абсолютная погрешность dy  y  0,05  0,0501  0,0001. Относительная погрешность dy  y 0,0001   0,002  0,2% y 0,0501 § 3.5 ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. В практике встречаются функции, зависящие от двух, трех или большего числа переменных. Например, объем прямоугольного параллелепипеда V зависит от трех величин - длины а и ширины b его основания и высоты h : 62 V=abh. Переменная и называется функцией трех переменных x,y,z, если: -задано множество  троек численных значений x, у, z; -задан закон, по которому каждой тройке чисел (х, у, z) из этого множества соответствует единственное значение u . Переменные х, у, z называются при этом аргументами функции, или независимыми переменными. Множество  , которое образуют все тройки (х, у, z) численных значений аргументов, называется областью определения или областью задания функции трех переменных. Обозначаются функции трех переменных так же, как и функции одной или двух переменных: u = f(x,y,z); w = w(x,y,z) Функцию трех переменных и = f(x, у, z) можно рассматривать как функцию точки Р(х, у, z), имеющей координаты x,y,z в пространственной системе координат Oxyz. Пользуясь геометрической терминологией, аналогичной той, которую мы приняли для функции двух переменных, скажем, что область определения функции и = f(x, у, z) есть некоторое множество точек в пространстве. Способы задания функций трех переменных и = f(x, у, z) могут быть самыми различными, но важнейшим в нашем курсе будет аналитический способ задания, когда функция задается с помощью аналитического выражения (формулы). При этом часто область определения функции не указывается. В последнем случае областью определения (областью задания) функции принято считать множество всех тех точек Р(х, у, z) пространства, для которых это выражение имеет смысл и дает действительное значение функции и. При рассмотрении предела функции одной переменой у = f(x) введено понятие окрестности точки. Под окрестностью точки х0 понимается интервал АВ, содержащий эту точку. При введении понятия предела для функции двух переменных z = f(x0, у0) = f(P) мы будем рассматривать окрестность точки в плоскости Оху. Окрестностью точки Р 0(х0,у0) называется внутренность круга с центром в этой точке. Если радиус этого круга равен  , то говорят  окрестность точки (рис. 3.2). Очевидно, что любая точка Р(х,у), принадлежащая  -окрестности точки Ро (х0, yQ ), находиться от этой точки на расстоянии, меньшем  . 63 у  -окрестность точки P0 х 0 Рис.3.2 Определение: число b называется пределом функции двух переменных z=f(x,y)=f(P) при P  P0 , если для любого числа   0 найдется такая  - окрестность точки P 0 (x 0 ,y 0 ), что для любой точки P(x,y) этой окрестности (за исключением, быть может, точки P 0 ) имеет место неравенство f ( P)  b   , или f ( x, y)  b   . При этом пишут lim f ( P)  b или P  P0 lim f ( x, y)  b , так как при x  x0 y  y0 P( x, y)  P0 ( x0 , y0 ), очевидно, x  x0 , y  y0 . Функция двух переменных называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю. Заметим, что если число b есть предел функции z = f(P), то, как это следует из определения предела, разность f(P) — b является бесконечно малой, когда точка Р произвольным образом неограниченно приближается к точке P0 . x2  y2 Пример: найти lim x  x0 x2  y2 1 1 y y Решение: предел функции находится при Р(х, у)  Ро (0,0) , т.е. при   0 , где  = РР0 - расстояние между точками Р и Ро. В данном случае точка P0 есть начало координат. Следовательно,   x 2  y 2 . Таким образом, 64 lim P  P0 x2  y2 x2  y2 1 1  lim  0  2 (  2 1 1  lim  lim (  2  1  1)  2 2 2  11  0   1  1  0 2 Следует обратить внимание, на то, что в разобранном примере функция x2  y2 x2  y2 1 1 не определена в точке P0(0,0), но имеет предел при P  P0 . § 3.6 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x, у) . Зафиксируем один из ее аргументов, например у, положив у =у0 . Тогда функция f(x, y0) будет функцией одной переменной х. Пусть она имеет производную в точке х0 : lim x 0 f ( x0  x, y 0 )  f ( x0 , y 0 ) x Эта производная называется частной производной (или частной производной первого порядка) функции z=f(x,y) по х в точке P0(x0, y0) и обозначается символом f x( x0 , y0 ) . Разность f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 ) называется частным приращением по х функции z=f(x,y) в точке P0(x0,y0) и обозначается символом  x z :  x z  f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 ). Учитывая эти обозначения, можно записать : f x ( x0 , y 0 )  lim x 0 xz z Аналогично определяются и обозначаются частное приращение функции z=f(x,y) по у и частная производная по у в точке P0(x0,y0): 65 f y ( x0 , y 0 )  lim yz y Таким образом, частная производная функции двух переменных по одному из ее аргументов равна пределу отношения частного приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю. Значение частной производной зависит от точки Р(х, у) , в которой она вычисляется. Поэтому частная производная функции двух переменных z = f(x, у), вообще говоря, есть функция точки Р(х, у) , т.е. тоже является функцией двух переменных х и у . Частные производные, рассматриваемые как функции двух переменных, обозначаются следующим образом: y 0 f x ( x, y ); f y ( x, y ); z x ; z y ; z z ; x y Частные приращения и частные производные функции п переменных при п > 2 определяются и обозначаются аналогично. Например, для функции трех переменных и = f(x,у, z)частное приращение по x в точке P0(x0, y0) получается, если х получит приращение x , а остальные аргументы останутся неизменными: u x ( x0 , y 0 , z 0 )  lim x 0  xu x Таким образом, частная производная функции нескольких переменных определяется как производная функции одной из этих переменных. Вследствие этого все правила и формулы дифференцирования, выведенные для производных функций одной переменной, сохраняются для частных производных функций нескольких переменных. Следует лишь помнить, что во всех этих правилах и формулах при нахождении частной производной по какому-либо аргументу все остальные аргументы считаются постоянными. Пример 1: найти частные производные функции z  f ( x, y)  x 2 y  3 y 2  5x f x ( x, y) находим как производную функции f  ( x, y ) по аргументу х в предположении, что y  const . Решение: частную производную Поэтому 66 f x ( x, y )  ( x 2 y  3 y 2  5 x)x  2 xy  0  5  2 xy  5 Аналогично f x( x, y)  ( x 2 y  3 y 2  5x)y  x 2  6 y  0  x 2  6 y Пример 2: найти смешанные частные производные второго порядка функции z  x y 2 3 Решение: находим частные производные первого порядка z z  2 xy3 ;  3x 2 y 2 x y Затем находим смешанные частные производные второго порядка z z  ( ) ( ) 2  z  y 2z   (3x 2 y )x  6 xy 2  x  (2 xy3 )y  6 xy 2 ; xy y yx x Мы видим, что смешанные частные производные 2 z 2z и yx yx отличающиеся между собой лишь порядком дифференцирования, т.е. последовательностью, в которой производится дифференцирование по различным переменным, оказались тождественно равными. Частные производные функции нескольких переменных являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые мы будем называть вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции. Так, например, функция z = f(x,y) двух переменных имеет четыре частные производные второго порядка, которые определяются и обозначаются следующим образом: z ) 2 x   z  f  ( x, y ) xy y xy z ) 2 x   z  f  ( x, y ); x2 x x 2 ( ( z ) 2z y   f yx ( x, y ); x yx ( 67 z ) 2z y  2  f y2 ( x, y ) y y ( Функция u=f(x,y,z) трех переменных имеет девять частных производных второго порядка: z z ) ( ) 2 2 x   z  f  ( x, y ); x   z  f  ( x, y ) xy x2 x y xy x 2 ( u ) 2 x   u  f  ( x, y, z ) xz и т.д. z xy ( Подробный анализ, который здесь не приводится, показывает, что, например, для дифференцируемой функции трех переменных u=f(x,y,z) полное приращение u выражается формулой u  u u u x  y  z   (x, y.z ) , x y z (13) а ее полный дифференциал имеет вид du  u u u dx  dy  dz x y z (14) Пример 1: найти полный дифференциал функции произвольной точке. z  xy 2 в z z dx  dy x y z z существует при условии непрерывности частных производных и . y x Находим Решение: полный дифференциал функции dz  dz  y 2 dx  2 xydy Пример 2: найти значение полного дифференциала функции u  при х=1; у=-2; z=-1; x =0,1; y =0,2; z =0,5. Решение: находим частные производные x y z u x y 1 u x y 1 u x y x y ( )x  ; ( )y  ; ( )z   2 x z z y z z z z z 68 а затем полный дифференциал 1 1 x y x  y  2 z. z z z Теперь находим значение этого полного дифференциала: du  du  1 1 1 2  0,1   0,2   0,5  0,2. 1 1 (1) 2 Полным дифференциалом функции нескольких перченых можно пользоваться для приближенных вычислений. Пусть дана дифференцируемая функция z  f ( x, y ) . Ее полное приращение выражается формулой z  f x ( x, y )x  f y ( x, y )y   (x, y ) 2 2 Здесь  (x, y ) стремится к нулю быстрее, чем   (x)  (y ) . Поэтому при малых  , т.е. при малых x и y , слагаемым можно пренебречь и писать:  (x, y ) z  f x ( x, y )x  f y ( x, y )y, (15) т.е. приращение функции приближенно можно заменить ее полным дифференциалом. Так как z  f ( x, y ), то z  f ( x  x, y  y )  f ( x, y )  f x ( x, y )x  f y ( x, y )y, откуда f ( x  x, y  y )  f ( x, y )  f x ( x, y )x  f y ( x, y )y (16) Формулой (16) можно пользоваться для приближенных вычислений значений функции двух переменных в точке P( x  x, y  y ) , близкой к точке P ( x, y ) , если известны значения функции и ее частных производных в самой точке P ( x, y ) . Аналогичные формулы можно вывести для функции n переменных при n>2. Например, при n=3 получим f ( x  x, y  y, z  z )  f ( x, y, z )  f x ( x, y, z )x  f y ( x, y, z )y  f z( x, y, z )z (17) Пример 3: вычислить приближенно с помощью полного дифференциала 1,97 arctg (  1). 1,02 x Решение: рассмотрим функцию f ( x, y )  arctg (  1). Применяя y формулу (16) к этой функции получим       x  x x x x arctg (  1)  arctg (  1)  arctg (  1) x x  arctg (  1) y y, y  y y y y     или 69 arctg ( x  x x y x  1)  arctg (  1)  2 x  2 y. 2 y  y y y  ( x  y) y  ( x  y) 2 Положим теперь х=2; у=1; тогда x  -0,03; y  0,02. Следовательно, arctg ( 2  0,03 2 1 2  1)  arctg (  1)  2 (  0 , 03 )   0,02, или 1  0,02 1 1  (2  1) 2 12  (2  1) 2 1,97 1  arctg (  1)  arctg1   0,03  0,02   0,015  0,02  0,75 1,02 2 4 Пример 4: центральный угол кругового сектора, равный 800 , желают уменьшить на 15 . Насколько надо удлинить радиус r  30см , для того, чтобы компенсировать изменение площади? Решение: площадь S кругового сектора выражается формулой S r 2 360 , где r- радиус круга,   центральный угол в градусах. Если изменение (приращение) площади S заменить (приближенно) полным дифференциалом, то S  S S r   r  По условию, при уменьшении центрального угла и увеличении радиуса S должно равняться нулю. Поэтому полагаем S S r    0, r  откуда S r 2 r 2  ( )     r    360 360 r      . 2 S r 2 r  ( )r r 180 360 1 4 Положим r= 30см,  =800,  =-( )0, получим 1 30  ( ) 4 см  3 см  0,5 мм r   2  80 64 70 УПРАЖНЕНИЯ Найти дифференциалы функций для произвольных значений аргумента и его приращения: 1. y  1 x2 x2 x 1 3. y  arctg 2 x 2. y  2 4. y  ln( 1  x ) 5. y  sin x 2 x 6. y  5 arccos 2 7. y  1 x tg x x 8. Показать, что дифференциал dy и приращение  y линейной функции y  ax  b при любом значении аргумента совпадают. 9. Найти приращение и дифференциал функции y  x при х=9; x =0,2. Вычислить абсолютную и относительную погрешности, которые получаются при замене приращения функции ее дифференциалом. 10. Найти приращение и дифференциал функции y  x =0,01. 1 при х=2; 1 x Вычислить абсолютную и относительную погрешности, получающиеся при замене приращения функции ее дифференциалом. 11. Найти полное приращение функций: а) u б)   sin x cos   cos x sin  в) u  x  sin y 2 г)   ln( x  y ) 12. Найти полный дифференциал функций: а) z  x  xy  sin y 2 б) в) 2 z  ln( xy) ze x2  y2 71 ЗАНЯТИЕ №4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕРВАЛ. § 4.1 ПОНЯТИЕ О НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ. Из элементарной математики известно, что всякому прямому действию соответствует обратное действие. Так, например, возведению в степень соответствует обратное действие - извлечение корня, логарифмированию - потенцирование, нахождению тригонометрической функции по углу - нахождение угла по данной тригонометрической функции. В анализе бесконечно малых чисел мы также встречаемся с двумя взаимно обратными действиями. С одним из них, называемым дифференцированием и имеющим задачей нахождение производной или дифференциала данной функции, мы уже знакомы. В данном разделе изучается действие, обратное дифференцированию, называемое интегрированием. Цель этого действия нахождение первообразной функции по ее производной или по ее дифференциалу. Заметим, что всякое обратное действие усваивается тем легче, чем лучше усвоено прямое действие. Поэтому, приступать к проработке данного материала следует, основательно овладев техникой дифференцирования. Дифференцированием, как нам известно, по данной функции у = F(x) находится ее производная F'(x) = f(x) или дифференциал dy = f(dx). Так, например, если F(x) = х 4 , то F'(x) = f(x) = 4x 3 . Следовательно, dF(x) = f(x)dx = 4x3dx. Действие, обратное дифференцированию, т.е. нахождение функции F(x) no данной ее производной F'(x) = f(x), или, что то же, по данному дифференциалу f(x)dx, называется интегрированием. При этом искомая функция F(x) называется первообразной, или интегралом. Таким образом, функция F(x), имеющая данную функцию f(x) своей производной, или f(x)dx - своим дифференциалом, называется первообразной функцией для данной функции f(x) . В примере, приведенном выше, для функции f(х) = 4x3 первообразной функцией, очевидно, является функция F(x)=x4. Из дифференциального исчисления известно, что функции, отличающиеся друг от друга постоянным слагаемым, имеют одну и ту же производную и, следовательно, один и тот же дифференциал. Возьмем, например, функции: F(x) = x 4 ; F(x) = х 4 + 1 1 ; F(x) = х 4 -11; т.е.функции вида F(x)= = х + С , где С - любое число. Все эти функции имеют функцию f(x) = 4х3 своей производной и f(x)dx = 4x3dx - своим дифференциалом. Отсюда следует, что функции f(x) = 4x3 (1) или дифференциалу f ( x)dx  4 x 3 dx (2) соответствует бесчисленное множество первообразных функций вида 72 х4 + С (3) отличающиеся друг от друга постоянными слагаемыми. Двучлен (3) называется неопределенным интегралом от функции (1) или 3 4 от дифференциала (2) и обозначается символом  4 x dx  x  C - неопределенный интеграл. Итак, если известно, что производная некоторой функции F(x) равняется функции f(x) , т.е. F'(x) = f(x), то  f ( x)dx  F ( x)  C (4) где С - произвольная постоянная.  Следовательно, символу f ( x)dx , называемому неопределенным интегралом, соответствует бесконечное множество функций - «семейство функций», отличающихся друг от друга постоянными слагаемыми. Вследствие многозначности (неопределенности) интеграл называется неопределенным и читается так: «неопределенный интеграл эф от икс по дэ икс», при этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx - подынтегральным выражением, знак  - знаком интеграла, a x- переменной интегрирования. § 4.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. Из дифференциального исчисления известно, что наклон k кривой у = f(x) (угловой коэффициент касательной) в точке с абсциссой х равен производной, т.е. k  y   F ( x)  f ( x) Пусть теперь нам предлагается обратная задача: зная наклон кривой в любой ее точке как функцию абсциссы этой точки, т.е. зная, что k = f(x) , найти уравнение кривой. Так как k  y x  dy , dx то dy  f (x ), dx dy  f ( x)dx , откуда интегрирование найдем y   f ( x) dx . Вычислив этот неопределенный интеграл получим уравнение y  F ( x)  C , (5) содержащее произвольную постоянную С. Очевидно, уравнению (5) на плоскости будет соответствовать бесконечное множество кривых 73 (семейство кривых), уравнения которых будут отличаться друг от друга только постоянными слагаемыми. Пусть нам дано k  y x  2x. Тогда dy  2x, dy  2xdx, y  2 xdx  x 2  C.  dx Следовательно, y  x 2  C. Придавая произвольной постоянной С последовательно значения 0,1,2,…,-1,-2,…, получим: 2 y1  x 2 , y 2  x 2  1, y 3  x  2, y 4  x 2  1, y 5  x 2  2,... Производные этих функций равны: у'х =2х, вследствие чего промежутки убывания (-∞ < х < 0) и возрастания (0 < х < ∞) будут одинаковы. Функции имеют минимум при х = 0, наклон их графиков в точках с одной и той же абсциссой (рис 4.1) относительно оси Ох один и тот же, так как k  tg  ( x 2  C )  2 x. Рис. 4.1 74 Построив график одной функции (например, y  x ), графики остальных можно получить перемещением его параллельно оси Ох (рис. 4.1). Очевидно, что неопределенному интегралу от функции f(x) = 2x на плоскости соответствует семейство одинаковых парабол, симметричных относительно оси Оу и отличающихся друг от друга лишь смещением вдоль оси Оу. Таким образом, геометрически неопределенный интеграл представляется семейством интегральных кривых. 2  4 Пример 1: Найти 5 x dx. Решение: предлагается найти такую функцию, производная которой равна 5х4. Из дифференциального исчисления известно, что 5х4 =(x5)'x следовательно,  5x 4 dx  x 5  C. dx . Пример 2: найти  cos 2 x Решение: в данном случае ищется функция, производная которой равна 1 . Из дифференциального исчисления известно, что 2 cos x 1 dx   ( tgx ) x , следовательно,  cos 2 x  tgx  C. cos 2 x § 4.3 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1)Производная неопределенного интеграла равно подынтегральной   f ( x)dx x  f ( x) . Это свойство непосредственно вытекает функции, т.е. из определения неопределенного интеграла и доказательства не требует. Так, если f(x) = 5x4, то   4 5 4 5 x dx f ( x ) dx x  ( x  C ) x  5 x , т.е. x  f ( x ).       2)Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. d  f ( x)dx  f ( x)dx. Это свойство вытекает из определения неопределенного интеграла. Для пояснения рассмотрим следующий пример: dx Пусть f ( x)dx  , получим cos 2 x 75 d dx dx   d ( tgx  C )  ( tgx  C ) dx  , x cos 2 x cos 2 x или d  f ( x)dx  f ( x)dx. 3) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная , т.е.  dF ( x)  F ( x)  C. Например,  d (x 4 )   4 x 3 dx  x 4  C. 4) Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла, т.е. если  - величина постоянная, то  af ( x)dx  a  f ( x)dx, так как a  f ( x)dx x   a  f ( x)dx  x  af ( x) и  af ( x)dx x  af ( x) . 5) Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е. сумме левой и правой частей.   f ( x)   ( x)  F ( x)dx   f ( x)dx    ( x)dx   F ( x)dx. Справедливость этой формулы легко обнаружить, сравнив производные левой и правой частей. По первому свойству неопределенного интеграла, имеем   f ( x)   ( x)  F ( x)dx  x  f ( x)   ( x)  F ( x). Применив к правой части правило дифференцирования алгебраической суммы функций, получаем  f ( x)dx    ( x)dx   F ( x)dx   f ( x)dx    ( x)dx   F ( x)dx x x x x  f ( x)   ( x)  F ( x) Следовательно,   f ( x)   ( x)  F ( x)dx   f ( x)dx    ( x)dx   F ( x)dx. § 4.4 НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. Из определения неопределенного интеграла следует  F ( x)dx  F ( x)  C 76 (6) Пользуясь этой формулой можно найти интегралы простейших функций и составить таблицу основных формул интегрирования. x n 1 )x. Предположим F ( x)  ( n 1 Подставив в формулу (6) вместо F (x) его значение, найдем   x n 1  x n 1   n  1  x dx  n  1  C , а так как  x n 1    n  1    (n  1) x n 11   xn , n 1 x то x n 1  x dx  n  1  C. Эта формула справедлива при любом постоянном n, не равном -1. Таким же путем были получены основные формулы интегрирования, приведенные ниже. n ТАБЛИЦЫ ИНТЕГРАЛОВ. 1)  dx  x  C , n 2)  x dx  x n 1  C , при n  1 n 1 3) dx  x  ln x  C , x  0, 4) e x dx  e x  C , ax  C, 5)  a dx  ln a x 6)  sin xdx   cos x  C , 7)  cos xdx  sin x  C , dx 2  cos 2 x   sec xdx  tgx  C , dx   cos ec2 x  ctgx  C , 9)  2 sin x 8) 77 10)  tgxdx   ln cos x  C , 11)  ctgxdx  ln sin x  C , 12)  dx  arcsin x  C, 1 x dx  arctgx  C. 13)  1 x2 2 В справедливости данных формул можно убедиться дифференцированием: производная правой части каждой из них должна равняться подынтегральной функции левой части. Нахождение интегралов, основанное на применении приведенных формул, называется способом непосредственного интегрирования. Чтобы из множества первообразных функций выделить определенную функцию, необходимо иметь дополнительное условие, дающее возможность определить значение произвольной постоянной С. Пример: найти функцию, производная которой 4х3 - 2х + 3, зная, что при х: = 1 эта функция принимает значение, равное 4. Решение: обозначив искомую функцию через у получим y x  4 x 3  2 x  3, или dy  4 x 3  2 x  3. dx Отсюда dy  (4 x 3  2 x  3)dx,  dy   (4 x 3  2 x  3)dx, 4 2 y  C1  x 4  x 2  3x  C2 , или y  x  x  3x  C. Итак, y  x 4  x 2  3x  C -общее решение (7) Нам предложено найти ту из первообразных функций, которая при х = 1 принимает значение, равное 4. Эти данные (х = 1, у = 4) принято называть начальными значениями аргумента х и функции у или начальными условиями задачи. Подставив в уравнение (7) вместо х и у их данные значения, находим: 4  14  12  3  1  С, С  1. Заменяя в равенстве (7) произвольную постоянную С ее значением, получаем искомую функцию: y  x 4  x 2  3x  1 - частное решение. 78 § 4.5 ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Укажем теперь несколько приемов, которые во многих случаях позволяют сводить заданные интегралы к табличным. Такими примерами являются: интегрирование методом разложения, интегрирование методом замены переменной и интегрирование по частям. Интегрирование методом разложения с использованием элементарных математических операций. Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, от каждой из которых первообразную можно найти с помощью прямого интегрирования. Приведем простейшие примеры. x3  4x  2 dx. Пример 1: найти  2x x3  4x  2 1 2 1  x  2  , то Решение: так как 2x 2 x 3 x  4x  2 1 1 2 dx x 3 1 2 dx  x  2  dx  x dx  2 dx    2x   2   x  6  2 x  ln x  C. x 2 Проверка:  x3   x2 1 x 3  4x  2 d   2 x  ln x  C     2  dx  dx. 6 2 x 2 x     Пример 2: найти dx  cos 2 x sin 2 x . Решение: имеем dx cos 2 x  sin 2 x 1  1  cos 2 x sin 2 x   cos 2 x sin 2 x dx    cos 2 x  sin 2 dx dx    2  tgx  ctgx  C dx   2 x cos x sin x Удачно разложив подынтегральное выражение, мы свели интеграл к табличным интегралам. Интегрирование методом замены переменной. Во многих случаях удается введением вместо переменной интегрирова-  f ( x)dx к новому ния х новой переменной z свести данный интеграл интегралу, который содержится в таблице основных интегралов. Этот метод интегрирования получил название метода замены переменной или метода интегрирования подстановкой. 79 Введем вместо х новую переменную z связанную с х соотношением x   (z ) , где  (z ) - непрерывная монотонная функция имеющая непрерывную производную  (z ) . Покажем, что имеет место равенство  f ( x)dx   f  ( z ) ( z )dz. (8) Формула (8) называется формулой замены переменной. Для доказательства справедливости формулы (8), очевидно, достаточно убедиться, что дифференциалы обеих частей равны. Дифференцируя левую часть соотношения (8), имеем d  f ( x)dx  f ( x)dx. Но так как x   (z ) , то dx   ( z )dz. Поэтому d  f ( x)dx  f  ( z ) ( z )dz (9) С другой стороны, дифференцируя правую часть соотношения (8), имеем d  f  ( z ) ( z )dz  f  ( z ) ( z )dz (10) Соотношения (9) и (10) показывают, что d  f ( x)dx  d  f  ( z ) ( z )dz. Тем самым справедливость формулы (8) доказана. dx . Пример 1: найти  2 2 a x Решение: положим x  az , находим dx  adz. Применяя формулу (8), получаем  но  dz 1 z 2 dx a2  x2 adz  a a z 2 2 2  dz 1 z2 ;  arcsin z  C. Поэтому  dx  dz  arcsin z  C. a x 1 z Возвращаясь снова к переменной х получим dx x  a 2  x 2  arcsin a  C. Пример 2: найти 2 2 2  sin axdx. Решение: полагая x   sin axdx   sin z z dz , dx  и применяя формулу (7), имеем a a dz 1 1 1   sin zdz   cos z  C   cos ax  C. a a a a 80 Интегрирование по частям. Пусть u = u(x) и    (x) - две функции от х, имеющие непрерывные производные. Из дифференциального исчисления мы знаем, что d (u )  ud  du (11) Интегрируя обе части равенства (11), имеем  d (u )   ud  du или  ud   d (u )  du. Но  ud  u  C , поэтому  ud  u  du. (12) Формула (12) называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла  ud к вычислению интеграла вида du , который во многих случаях оказывается более простым. Пример 1: найти  (4 x 3  6 x  7) ln xdx. Решение: положим u  ln x, d  (4 x 3  6 x  7)dx ; тогда du  dx ,  x 4  3 x 2  7 x. x Формула (12) дает: x 4  3x 2  7 x dx   (4 x  6 x  7) ln xdx  ( x  3x  7 x) ln x   x  x 2 3x 2  4 2  ( x  3x  7 x) ln x     7 x   C 2  4  3 Пример 2: найти 4 2  x sin xdx Решение: положим u  x, d  sin xdx ; отсюда найдем du  dx,    sin xdx   cos x . Применяя формулу (12), получим  x sin xdx  x( cos x)   ( cos x)dx   x cos x   cos xdx. Но  cos xdx  sin x  C , следовательно,  x sin xdx   x cos x  sin x  C. 81 УПРАЖНЕНИЯ. 1)Найти интегралы методом непосредственного интегрирования: 1.  sin 5xdx, 11. 2. 7  x dx, 12. 4 x3 3.  dx, 2 13.  4. dx  2,  (1  x dx x 2 x dx, 2 14.  (6   5 )d ,  dx 15. 4 2 6.  ( x  5 x  3) dx, 8 16.  dx, x 7.  (3t 8.  (6 x 5 3  6t  t )dt , u 2 x 2 , x 3  3x 2  1 dx, 18.  x5  5 x  3 x  2 x  1)dx, 4 3 1  3x  4 x 2 dx, 17.  x 2 2 x 2  3x  2 dx, 19.  x 1  ( x  1)( x  2)dx, 10. ) dx, , dx 5.  4 , x 9. 3 2 (u  1)(u  2)du,  (1  x)(2  20. 2)Найти интегралы методом подстановки: 1.  cos 2 xdx, x 2 dx , 2.  5  x3 4.  5.  e 2 x dx 1 e 5 2x , 1  2 x dx. sin xdx , 3.  1  cos x 3.Найти интегралы методом интегрирования по частям: 1.  x sin xdx, 2. 82  x cos 4 xdx, x )dx. x dx, 8.  2 cos x 3.  ( 2 x  3) cos xdx, 4.  (1  4 x) sin 2 xdx, 9.  x ln xdx, 6.  ( x  1) ln xdx, 2 5. 7.  ln x x 10. 2x ( 2 x  1 ) e dx,   ( 2  x )e 3 x dx. dx, . ЗАНЯТИЕ № 5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. § 5.1 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. Пусть на сегменте a, b (рис 5.1) задана функция у = f(х). С помощью точек деления х1 < x2 < ... < xi-1 < xi, < ... < xn-1 разобьем сегмент a, b на n «малых» сегментов: x0 , x1 , x1 , x2 ,..., xi 1 , xi ,..., xn1 , xn , где х0=а, хn=b. В каждом из малых сегментов точку xi1 , xi (i  1,2,3,...n) выберем произвольную  i , xi 1   i  xi и умножим значение функции у = f(x) в точке  i на длину xi  xi  xi 1 соответствующего сегмента: f ( i )xi (1) Составим сумму Sn таких произведений: S n  f ( i )x1  f ( 2 )x2  ...  f ( i )xi  f ( n )xn , или n S n   f ( i )xi . i 1 (2) Сумма вида (2) называется интегральной суммой. Назовем наибольшую из длин малых сегментов [хi-1,хi] шагом разбиения и обозначим его через  . Пусть число n сегментов разбиения [хi-1,хi] неограниченно растет и   0 . Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел S, который не зависит от способа разбиения сегмента [а,Ь] на малые сегменты [хi-1,хi] и от выбора точек  i в каждой из них, то это число S называется определенным интегралом от функции f(x) на сегменте [а,Ь] и обозначается символом 83 b  f ( x)dx (читается так: «определенный интеграл от а до b от f(x) на dx»). a При этом площадь, определяемая интегральной суммой (2) стремится к площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(x) и осью х в пределах интервала [a,b] (рис. 5.1). Таким образом, b n  f ( )x ,  f ( x)dx  lim  i 0 i 1 a (3) i Числа а и b называются соответственно нижней и верхней границами (пределами) интегрирования, f(x) - подынтегральной функцией, х переменной интегрирования, а сегмент [а,b] - сегментом интегрирования (или областью интегрирования). Таким образом, приходим к следующему определению. Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, когда шаг разбиения стремится к нулю. Функция f(x), для которой на сегменте [a,b] существует определенный b интеграл  f ( x)dx, называется интегрируемой на этом сегменте. a Таким образом, анализ показывает, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(x), где f(x)  0 для всех х на сегменте [a,b], численно равна интегралу, определенному от функции f(x) в интервале [a,b]: b n S  lim  f ( i )xi   f ( x)dx,  0 i 1 (4) a Таким образом, с геометрической точки зрения, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. y B A 0 a=x0 1 x1  2 x2 xi+1 i xn-2 Рис.5.1 84  n-1 xn-1  n xn=b x Простейшие свойства определенного интеграла. 1.Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций. b   f ( x)  f 1 2 b b b a a a ( x)  f 3 ( x)dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx   f 3 ( x)dx. a 2.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: b b a a  Af ( x)dx  A f ( x)dx. 3.При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный: b b a a  f ( x)dx   f ( x)dx. 4.Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: a  f ( x)dx  0. a 5.Отрезок интегрирования можно разбить на части: b c b a a c  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx. § 5.2 ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. В теореме о производной интеграла по верхней границе доказывается, что производная от интеграла по верхней границе равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхней границей: x d  f (t ) dt a dx  f ( x ). Вычисление определенного интеграла, как предела интегральных сумм, сложно даже для простейших функций. Теорема о производной интеграла по верхней границе позволяет установить простой метод вычисления определенных интегралов, минуя суммирование и переход к пределу. Этот новый метод вычисления определенного интеграла выражается формулой Ньютона-Лейбница, вывод которой мы рассмотрим. 85 x Функция S ( x)   f (t )dt является первообразной для непрерывной a подынтегральной функции f(x). Как известно, всякая другая первообразная для функции f(x) отличается от S(x) только постоянным слагаемым. Поэтому, если F(x) - другая первообразная для f(x) , то S(x) = F(x) + С, или  f (t )dt  F ( x)  C. (5) a Постоянную С легко найти, если заметить, что S (a)   f (t )dt  0 , как a интеграл с равными границами интегрирования. Поэтому, подставляя в соотношение (5) х = а, получим a  f (t )dt  F (a)  C  0. a Отсюда С=F(a) и, следовательно, x  f (t )dt  F ( x)  F (a). a В частности, при х=b имеем b  f (t )dt  F (b)  F (a). (6) a Это и есть формула Ньютона-Лейбница. Она показывает, что для того, чтобы вычислить определенный интеграл, нужно найти какую-либо первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x) и взять разность значений этой первообразной, вычисленных для значений х, равных верхней и нижней границам интегрирования. Короче говоря, определенный интеграл равен приращению первообразной от подынтегральной функции на сегменте интегрирования. b Разность F(b)-F(a) символически обозначают F ( x) | a : F (b)  F (a )  F ( x) |ba . Применяя этот символ, мы можем записать формулу НьютонаЛейбница в таком виде: b  f ( x)dx  F ( x) | a Рассмотрим несколько примеров. 86 b a  F (b)  F (a). (7) 2 Пример 1. Вычислить e x dx. 1 Решение: Одной из первообразных от подынтегральной функции является функция получим e x . Поэтому, применяя формулу (6) Ньютона-Лейбница, 2 e x dx  e x |12  e 2  e1  e(e  1). 1 1 2 Пример 2. Вычислить  0 dx 1 x2 . Решение: по формуле (6) Ньютона-Лейбница 1 2 1 2 1   arcsin 0  . 0 1  x 2 2 6 0 Замечание. Формула Ньютона-Лейбница была введена в предположения, что подынтегральная функция f(x) непрерывна. Для разрывных функций формула Ньютона Лейбница может не иметь места. dx  arcsin x |  arcsin §5.3. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ. b При вычислении определенного интеграла  f ( x)dx способом замены a переменной x   (t ) мы приходим к определенному интегралу с новой переменной интегрирования t, причем старые пределы интегрирования x1  a и x2  b заменяются новыми пределами t1   (a) и t 2   (b) : b t 2  ( b ) a t1  ( a )  f ( x)dx   f  (t ) (t )dt. a Пример 1. Найти  a 2  x 2 dx. 0 Решение: Полагая x  a sin t , тогда dx  a cos tdt . При х=0, 0  sin t , t  arcsin 0  0 ; при х=а, 1  sin t , t   . Итак, а=0, b=  . 2 2 Следовательно, применяя формулу замены переменной, найдем 87 a     2 2 2 2 0 0 a 2  x 2 dx   a 2  a 2 sin 2 t  a cos tdt  a 2  cos 2tdt  0 a 2  (1  cos 2t )dtdt  0   2   2 2 a  1 a 2  a 2 1 dt   cos 2td (2t )  t 0  sin 2t  . 2  0 2 2 2 4 0   2 8 Пример 2. Найти  3 xdx . x 1 Решение: положим 2 x 1  t или x  t  1. В данном случае а=3, b=8. При х=а=3 t  3  1  2 ; при х=b=8 t  8  1  3 . Итак, а=2, b=3. Следовательно, по формуле (7) замены переменной имеем  t 3  3  33   23  xdx 2 2   2(t  1)dt  2  t  |2  2  3   2  2   10 . 3 x 1 3  3  3   Интегрирование по частям. Пусть u и  - дифференцируемые функции от х. Тогда d (u )  ud  du , отсюда ud  d (u ) du. Интегрируя обе части последнего уравнения в пределах от а до b, получим: b b  ud  u  | du. b a a (8) a Выражение (8) представляет собой формулу интегрирования по частям. e ln x dx. Пример 1: вычислить  x 0 Решение:  положим u  ln x , тогда du  dx dx , d  , x x и 1 2    x dx  2 x . Используя формулу (8), получим: e 1  ln x e e e dx  2 x ln x |  2 x 0 0 x  2 dx  2 x ln x |0 4 x |0  2 e (ln e  2). 88 §5.4 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О РЯДАХ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ПРОЦЕССЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Пусть дана последовательность чисел u1,u2,u3,…,un,… Числовым рядом называется выражение, представляющее собой последовательность чисел, т.е. выражение следующего вида: u1,u2,u3,…,un,… (9) Числа u1,u2,…,un,… называются членами ряда; в частности u1- первый член, u2- второй член,…, un- n-й или общий член ряда. ряд считается заданным, если известен общий член ряда un, как функция его номера n: u n  f (n). Пример рядов: 1 1 1 1 1    ...   ..., общий член ряда u n  ; 1 2 2  3 2  4 n(n  1) n(n  1) 2  6  18  ...  2  3n1  ..., общий член ряда u n  2  3n1. Сумма Sn первых n ряда называется n-й частичной суммой ряда: S n  u1  u2  u3  ...  un. (10) Ряд называется функциональным, если его членами являются не числа, а функции, определенные в некоторой области изменения аргумента х, Например, u1 ( x)  u2 ( x)  ...  un ( x)  ... или 1 1 sin x  sin 2 x  ...  sin nx  ..., 2 n Придавая х какое-либо значение un(x), получим числовой ряд (11) х0 из области определения функции u1 ( x0 )  u2 ( x0 )  ...  un ( x0 )  ... (12) Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то точка xо называется точкой сходимости функционального ряда. Если при x = х0 расходится, то точка х0 называется точкой расходимости ряда. Для одних точек, взятых из области определения функции un (х), ряд может сходиться, а для других - расходиться. Важным частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды. Степенным рядом называется ряд вида: f ( x)  a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 ) 2  ...  an ( x  x0 ) n  ..., (13) где коэффициенты ряда a0,al,...,an,... - постоянные. В частности, при x =0 степенной ряд имеет вид: 89 f ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n  ... (14) Если функция f(x) в точке х0 имеет производные до n — го порядка включительно, то ряд имеет следующий вид: f (a )  f (a) f (a ) f (a) ( x  x0 )  ( x  x0 ) 2  ...  n ( x  x0 ) n  ... (15) 1! 2! n! полученный ряд (15) называется рядом Тейлора для функции f(x). В частном случае, при х0=0 ряд принимает вид: f (0) f (0) 2 f ( n ) (0) n f (0)  x x  ...  x  ... 1! 2! n! (16) Этот ряд называется рядом Маклорена для функции f(x). Тригонометрический ряд: a0    (an cos nx  bn sin nx), 2 n1 называется рядом Фурье, соответствующим функции коэффициенты которого определяются по формуле Эйлера-Фурье: a0  1    f ( x)dx, ak   1    f ( x) cos kxdx,  bk  1  y=f(x),   f ( x) sin xdx.  Таким образом, если периодическая функция у = f(x) является суммой правильно сходящегося тригонометрического ряда, то этот ряд является ее рядом Фурье. Если в качестве независимой переменной рассматривается время, то описание периодических процессов осуществляется с использованием уравнения Фурье вида: a0    (an cos nt  bn sin nt ) 2 n1 Функция f(x) называется четной, если для любых х из ее области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . Функция f(x) называется нечетной, если f(-x) = -f(x). Если в ряде Фурье разлагается нечетная функция f(x), то произведение f(x)сoskx - нечетная функция, a f(x) sin кх - четная функция. Следовательно, a0  bk  1  1    f ( x)dx  0,     ak  f ( x) sin kxdx  2 1    f ( x) cos kxdx  0,    0 f ( x) sin kxdx, т.е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы». 90 Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение f(x)sinkx -нечетная функция, a f(x) cos kx - четная функция и, следовательно, a0  2     f ( x)dx, ak   f ( x) cos kxdx, 0 0 bk   f ( x) sin kxdx  0, т.е. ряд Фурье четной функции содержит « только косинусы». Пример 1. периодическая функция кусочно-монотонная и ограничена на отрезке    х   . Функцию f(x) разложить в ряд Фурье. a0  ak  2    x cos kxdx  0 2    xdx   , 0  2  x sin kx cos kx   2  0,k четное k  |  (  1 )  1    4 ,k нечетное 0 2 2   k k  k   k 2   0   1 bk    ( x) sin kxdx   x sin kxdx  0.   0  Таким образом, получим ряд: f ( x)   2    cos x cos 3x cos( 2 p  1)   ...  ... . 32 (2 p  1) 2   4  12 Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел S последовательности его частичных сумм Sn при неограниченном возрастании номера суммы, т.е. lim S n  n S Предел S последовательности частичных сумм сходящегося ряда называется суммой ряда. Если S является суммой сходящегося ряда u1  u2  u3  ...  un  ..., то пишут S  u1  u2  u3  ...  un  ... Если последовательность частичных сумм ряда не имеет предела, то ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет. Признак Даламбера. Если для знакоположительного ряда и1 +и2 +и3 +... + ип +... существует предел отношения последующего члена к предыдущему при неограниченном возрастании номера члена n, т.е. 91 u n1 p lim u n  n при p < 1 ряд сходится, а при p > 1 ряд расходится. Разложение в степенной ряд функции. Находим производные: f ( x)  e , f ( x)  e ,..., f x x ( n) ( x)  e x ,... При х=0 имеем: f (0)  1, f (0)  1, f (0)  1,..., f (0)  1,... Напишем ряд Маклорена для функции f(x)=ex, воспользовавшись формулой (16): ( n) x x 2 x3 xn 1     ...   ... 1! 2! 3! n! Определим Даламбера: область сходимости un1  lim lim u n n n x n1 (n  1)! xn n! этого ряда,  x lim n применяя (17) признак 1  x  0  0. n 1 u n1 x  0  1, т.е. ряд (17) сходится Следовательно, для любого lim n u n абсолютно на всей числовой оси. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях. Производная от любой элементарной функции есть функция элементарная. Другое дело операция обратная дифференцированию, - интегрирование. Можно привести многочисленные параметры таких элементарных функций, первообразная от которых хотя и существует, но не является элементарной функцией. Так, например, хотя по теореме существования для функций ex , 2 sin x , x cos x , x 1 ln x существуют первообразные, но они не выражаются в элементарных функциях. Несмотря на это, все эти преобразования хорошо изучены и для них составлены подробные таблицы, помогающие практически использовать эти функции. В дальнейшем мы познакомимся с методами вычисления значений таких функций. 92 Так, например, большое значение в различных приложениях играет первообразная ф(х)  x2 2 1 от функции e , удовлетворяющая 2 дополнительному условию ф(0) = 0. Эта функция, в частности, встречается в теории вероятностей и называется интегралом вероятностей. Для нее составлены таблицы для различных значений аргумента х. Если первообразная для некоторой функции не является элементарной функцией, то говорят, что интеграл не берется в элементарных функциях. Приближенное вычисление интегралов методом разложения функции в ряд. Поясним сущность метода примером. 1 3 x Пример: вычислить определенный интеграл  e dx с точностью до 2 0 0,0001. Решение: применить для вычисления этого интеграла формулу  х2 Ньютона – Лейбница мы не можем, так как первообразная для е хотя и существует, но не выражается в элементарных функциях. Поэтому разложим x подынтегральную функцию e e 2  x2 в степенной ряд: x2 x4 x3  1    ... 1! 2! 3! (18) Этот ряд сходится на всей числовой оси. Следовательно, его можно почленно интегрировать на любом сегменте и, в частности, на сегменте 0,1 3: 1 3 1 3 x  e dx   (1  0 2 0 2 4 1 3 0 6 3 1 3 5 1 3 0 7 1 3 x x x x x x    ...)dx  x     ... 1! 2! 3! 3  1 0 5  2! 7  3! 0 Искомый интеграл равен сумме знакочередующегося ряда. Так как 1 1 1 1   0,0001, а   0,0001, то с точностью до 0,0001 на 5 2430 3  1!3 81 5  2!3 основании правила оценки погрешности в случае знакочередующегося ряда имеем: 93 1 3 x  e dx  2 0 1 1   0,3333  0,0123  0,3210. 3 3  33 Итак, 1 3 x  e dx  0,3210. 2 0 §5.5 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Определение интеграла было дано в предположении, что областью интегрирования является конечный сегмент [a,b]. Если же предположить, что область интегрирования бесконечна, например, является интервалом [а, ∞), то даже для непрерывной функции f(x) обычное определение интеграла становится неприемлемым. В данном случае нельзя говорить об интегральных суммах, так как при любом разбиении интервала [a,∞) на конечное число частей одна из этих частей будет бесконечной. Обобщим теперь понятие определенного интеграла на случай бесконечности области интегрирования. Рассмотрим пример. Функция y  1 непрерывна на бесконечном интервале [1,+∞). Поэтому x2 на любом сегменте [1,b], где b>1, существует интеграл b dx 1  1  , 1 x 2 b который при b  0 имеет предел, равный единице. Этот предел называют 1 несобственным интегралом от функции 2 и обозначают символом x  dx 1 x 2 . Таким образом,  dx dx  1   1    1. lim 2 1 x 2 lim  b x b   1 b    b Обобщая этот пример, рассмотрим функцию у = f(x), непрерывную на бесконечном интервале а  х   . Для любого конечного сегмента [а, b] b интеграл  f ( x)dx существует. a 94 b Если интеграл  f ( x)dx стремится к конечному пределу при a неограниченном возрастании b, то этот предел называют несобственным интегралом с бесконечной верхней границей от функции f(x) и обозначают  символом  f ( x)dx. a Таким образом,  b  f ( x)dx  lim  f ( x)dx. (19) b  a a b В этом случае говорят, что несобственный интеграл  f ( x)dx a существует или сходится. Если указанный предел не существует (в частности, если он бесконечен), то говорят, что интеграл не существует или расходится. Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечной нижней границей: b b  f ( x)dx  lim  f ( x)dx. a a  Несобственный интеграл определяется формулой: с двумя бесконечными  c    c  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx, (20) границами (20 а) где с- любая фиксированная точка оси Ох.  Таким образом, интеграл  f ( x)dx существует только тогда, когда  существует каждый из интегралов c   c  f ( x)dx и  f ( x)dx. Из наших определений непосредственно видно, что несобственный интеграл является не пределом интегральных сумм, а пределом определенного интеграла с переменной границей интегрирования. 95 Заметим, что если функция положительна и непрерывна на бесконечном   f ( x)dx интеграле [a,∞) и если существует, то мы можем его трактовать a как площадь бесконечным интервалом оси Ох [a,∞) и прямой х=а. Пример 1: исследовать, для каких значений а>0 сходится интеграл   1 dx . xa Решение: рассмотрим интеграл b dx 1 x a (b  1). dx x  a 1 b 1 |1  (b1  1). Если   1, то    1 1 1 x b b dx b  ln x |  ln b. 1 1 x Если же   1, то Если   1, то   1  0 и поэтому 1 lim (b )  lim b b 1 b 1  0. Следовательно, в этом случае b dx 1 lim  x   lim 1   (b b   1 1  1)  b   1 .  1 dx b1   . Если   1 , то имеем lim   lim 1   x b   1 b   b b Таким образом,  1 dx x  при   1 сходится, а при   1 расходится.  dx . Пример 2: исследовать на сходимость интеграл  2 1  x  Решение: по формуле (20 а), в которой полагаем с=0, получим  0  dx dx dx   1  x 2 1  x 2 0 1  x 2 . Но 0 dx 1 x  2  lim  a   dx     lim arctgx | 0a  lim (arctg 0  arctga)  0      . 2 1 x  2 2 a   a   96  dx   . 2 Аналогично можно сказать, что  2 0 1 x  dx      . Поэтому  2 2 2 1  x  § 5.6 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. b Пусть требуется вычислить определенный интеграл  f ( x)dx от непре- a рывной функции f(x). Если может быть найдена первообразная F(x) подынтегральной функции, то по формуле Ньютона-Лейбница. b  f ( x)dx  F (b)  F (a). a Если же первообразная не может быть найдена или если функция y=f(x) задана графически или таблично, то для вычисления интеграла прибегают к приближенным формулам, точность которых может быть сделана сколь угодно большой. Приближенные методы вычисления определенного интеграла в большинстве случаев основаны на том, что определенный интеграл b  f ( x)dx численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной a кривой y=f(x), сегментом [a,b] оси Ох и вертикальными прямыми, проведенными через точки х = а и х =b . Благодаря этому задача о приближенном вычислении интеграла равносильна задаче о приближенном вычислении площади криволинейной трапеции. Идея приближенного вычисления интеграла заключается в том, что кривая у = f(x) заменяется новой, достаточно «близкой» к ней кривой. Тогда искомая площадь приближенно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной новой кривой. В качестве этой новой ограничивающей кривой выбирают такую, для которой площадь новой криволинейной трапеции подсчитывается просто. В зависимости от выбора новой кривой мы получим ту или иную приближенную формулу интегрирования. 97 Метод средних прямоугольников. В качестве приближения к интегралу берется интегральная сумма, в которой значения подынтегральной функции берутся в серединах промежутков, на которые разделен промежуток интегрирования. Предполагается, что все эти промежутки имеют одинаковую длину - шаг разбиения h  ba где а n и b – пределы интегрирования, n- число частей (рис. 5.1). Таким образом, интегральная сумма имеет вил: S пр  b  a   x0  x1   xn1  xn  x1  x2  f  f  ...  f      n   2  2  2    ,  или b  f ( x)dx  a ba ( y1  y 2  ...  y n ), n (21)  x n 1  x n  y  f  . где n 2   Метод трапеций. b Пусть требуется вычислить интеграл  f ( x)dx. разобьем сегмент a интегрирования [a,b] на n равных малых сегментов точками деления: x1 , x2 ,..., xi 1 , xi ,..., xn1 . Кроме того положим x0  a, x n  b. Длина h ba каждого малого сегмента равна . Через точки деления проведем n прямые, параллельные оси Оу. Пусть они пересекают кривую в точках A0 , A1 , A2 ,..., Ai 1 , Ai ,..., An1 , An . Заменим данную кривую y=f(x) впсианной в нее ломаной A0 , A1 , A2 ,..., An1 , An (рис. 5.2), соединив концы смежных ординат прямыми линями. Для наглядности будем предполагать, что на сегменте [a,b] функция f ( x )  0. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху построенной ломанной, даст нам приближенной b значение интеграла  f ( x)dx. a Эта площадь равна сумме площадей прямолинейных трапеций, ограниченных сверху звеньями ломанной. Площадь каждой такой трапеции легко подсчитать. В самом деле, основаниями ее будут ординаты смежных точек деления хi-1 и xi а высотой - малый сегмент [xi-1,xi ], длина которого 98 ba . Поэтому площадь такой криволинейной трапеции равна n yi 1  yi  h, где yi 1  f ( xi 1 ), а yi  f (x). 2 h Следовательно, площадь фигуры, ограниченной сверху ломанной A0 A1 ... An , Sn  y0  y n y  yi y  yn y  y2 h 1 h  ...  i 1 h  ...  n1 h. 2 2 2 2 После очевидных преобразований получим  y  yn  S n  h 0  y1  y 2  ...  y n 1  , где h  b  a . n  2  Таким образом, имеем приближенную формулу b  a  y  yn  f ( x)dx  h 0  y1  y 2  ...  y n1 .  2  (22) Эта формула называется формулой трапеций. Формула трапеций,выведенная в предположении, что f ( x)  0 , остается справедливой для любой функции f(x), непрерывной на сегменте [a,b]. С возрастанием числа n точек деления точность, даваемая формулой трапеций, возрастает. 99 y А2 А1 An-1 Аi+1 Аi An A0 y0 0 y1 a y2 x1 yi-1 x2 yi xi-1 yn-1 xi xn-1 yn b x Рис. 5.2 1, 6 Пример: вычислить интеграл  sin( x 2 )dx с помощью формулы 0 трапеций, полагая n=8 и n=16. Решение: составим таблицу значений подынтегральной функции при n=8 и n=16 и h  b  a 1,6  0   0,2. n 8 По формуле (22) при n=8 получим:  y 0  y1  2 sin( x ) dx  h  y1  y 2  y 3  y 4  y 5  y 6  y 7    0  2   0  0,5487  0,2  0,0400  0,1593  0,3523  0,5972  0,8415  0,9915   0,2  4,1807  0,8362. 2   1, 6 Составив таблицу значений подынтегральной функции n=16 и 1, 6 b  a 1,6  0 h   0,1 ,получим  sin( x 2 )dx  0,8003. n 16 0 Метод параболических трапеций (метод Симпсона). Этот метод приближенного вычисления определенного интеграла основан на замене графика подынтегральной функции не хордами, как это в методе трапеций, а дугами парабол, оси которых параллельны оси Оу. 100 Прежде чем излагать этот метод, рассмотрим частный случай, когда кривая, ограничивающая данную криволинейную трапецию, является 2 графиком квадратного трехчлена y  f ( x)  Ax  Bx  C. Имеет место следующая формула: b 2  ( Ax  Bx  C )dx  a ba ( y л  4 у с  у п ), 6 (23) где ул - ордината кривой в точке х=а (левая ордината); уп – ордината кривой в точке x=b (правая ордината); ус – ордината кривой в средней точке сегмента [a,b], т.е. в точке ab x (рис.5.3). 2 Вывод этой формулы сводится к ее непосредственной проверке. Подсчитаем выражение, стоящее в левой части формулы: b A(b 3  a 3 ) B(b 2  a 2 ) 2 a ( Ax  Bx  C )dx  3  2  C (b  a)     ba 2 A(b 2  ab  a 2 )  3B(b  a )  6C . 6 Для подсчета выражения, стоящего в правой части формулы (23), найдем предварительно ул, уп, ус: у л  f (a )  Aa 2  Bb 2  C ; у п  f (b)  Ab 2  Bb  C ; (a  b) ab ab ус  f  B  C.  A 4 2  2  2 Подставляем в правую часть формулы (23):   ba ba ( y л  4 ус  yп )  Aa 2  Ba  C  (a 2  b 2  2ab)  2 B(a  b)  6 6 ba  2 A(a 2  b 2  ab)  3B (b  a )  6C . 6   y y=Ax2+Bx+C ул 0 a ус ab 2 уп b x Рис.5.3 101 y y=f М1 М3 y=Ax2+Bx+C М2 0 a ab 2 b x Рис. 5.4 Мы видим, что правая и левая части формулы (23) равны между собой, что и доказывает ее справедливость. Рассмотрим теперь криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y = f(x) (рис. 5.4). Через точки M1(xл;ул), М2(хс,ус), М3(хп;уп) этой кривой, где х л  а, х с  ab , x п  b, 2 проведем вспомогательную параболу у = Ах2 + Вх + С. Такую параболу всегда можно провести и при этом только одну. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной вспомогательной параболой, приближенно равна площади заданной криволинейной трапеции: b b  f ( x)dx   ( Ax a 2  Bx  C )dx. a Так согласно формуле (23) b 2  ( Ax  Bx  C )dx  a ba ( у л  4 у с  у п ), 6 то для произвольной функции y=f(x) имеет место следующее приближенное равенство: b ba f ( x ) dx  ( у л  4 у с  у п ). a 6 Однако, если сегмент [a, b] достаточно большой, то приближение, даваемое формулой (23), будет слишком грубым. Поэтому для того, чтобы b получить более точное приближение интеграла  f ( x)dx, поступим a следующим образом: сегмент [a,b] разобьем на четное число 2n равных ba . Пусть х,, х2, х3,..., х2n-1 - точки деления. малых сегментов длины h  2n ba : x0 , x 2 , x 2 , x 4 ,..., x 2 n 1 , x 2 n  Рассмотрим малые сегменты длины n 102 ( x0  a, x2 n  b) ; серединами этих сегментов будут соответственно точки х,, х2, х3,..., х2n-1. b  f ( x)dx на сумму нескольких интегралов: Разобьем интеграл a b x2 x4 x2 n a x0 x2 x2 n  2  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  ...   f ( x)dx. (24) Применим к каждому из интервалов правой части равенства (24) формулу (23): f ( x)dx  ba ( y 0  4 y1  y 2 ), 6n  f ( x)dx  ba ( y 2  4 y 3  y 4 ), 6n x2  x0 x4 x2 (25) ..................................................... x2 n  x2 n  2 b  a f ( x)dx  ba ( y 2 n  2  4 y 2 n 1  y 2 n ), 6n где yi  f (x), i=0,1,2,…,2n. Складывая правые и левые части соотношений (25), получим ba ( y0  y 2n )  2( y2  y4  ...  y 2n2 )  4( y1  y3  ...  y2n1 ). (26) f ( x)dx  6n Эта формула носит название формулы параболических трапеций или формулы Симпсона. 1, 6 Пример: вычислить с помощью формулы Симпсона  sin( x 2 )dx при 0 2n=4 и 2n=8. Решение: составив таблицу для 2n=4 и h  b  a 1,6  0   0,4 и, 6n 4 применяя формулу (26), получим 1, 6 ba 2  y0  y 4  4( y1  y3 )  2 y 2   sin( x ) dx  0 6n  1,6  0 0  0,5487  4(0,1593  0,9915)  2  0,5972  0,8462. 12 103 b  a 1,6  0   0,2 , получим 6n 8 1, 6 ba 2 y0  y8  4( y1  y3  y5  y7 )  2( y 2  y 4  y6 )  0,8455. sin( x ) dx  0 6n Сравнивая результаты обоих вычислений, замечаем, что после округления совпадают первые три знака, поэтому за приближенное значение интеграла принимаем При 2n=8 h  1, 6  sin( x 2 )dx  0,846. 0 §5.7 ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площади в декартовых координатах. Если на сегменте [a,b], функция y=f(x) непрерывна и положительна, то криволинейная трапеция с основанием [a,b], ограничена сверху графиком этой функции, имеет площадь S, которую можно найти по формуле b S   f ( x)dx, (27) a или b S   ydx. (28) a Пример: вычислить площадь сегмента параболы, т.е. фигуры, ограниченной дугой параболы x=y2 и отрезком АВ прямой х=а (рис. 5.5). Решение: исходя из сегмента параболы относительно оси Ох, найдем его площадь S, как удвоенную площадь криволинейной трапеции ОАа: a a 0 0 S  2 ydx  2 x dx  3 2 3 2 4 4a 4 x |0a   a a. 3 3 3 у y x А а 0 В 104 х Объем тела вращения. Рассмотрим криволинейную трапецию с основанием [a,b], ограниченную непрерывной кривой y=f(x). Определим объем тела образованного вращением трапеции вокруг оси Ох (рис. 5.6). Поперечными сечениями будут круги с радиусами, равными модулю ординаты у вращающейся кривой. Следовательно, площадь сечения S ( x)  y 2    f ( x) . 2 Найдем объем тела вращения b V     f ( x) dx, 2 (29) a или b V    y 2 dx (30) a Пример: определить объем тела, ограниченного поверхностью вращения параболы y2=x вокруг оси Ох и плоскостью х=h (рис.5.7). Решение: применяя формулу (30), найдем: x 2 h h 2 V    y dx    xdx   |0  . 2 2 0 0 h h 2 y y V=f(x) hhh h h 0 x Рис. 5.6 105 Длина дуги кривой. Пусть y=f(x) – непрерывная и дифференцируемая функция на промежутке [a,b]. Рассмотрим задачу вычисления длины l графика f(x) от точки с абсциссой а до точки с абсциссой b. Обозначим через l(x) длину кривой от точки с абсциссой а до точки с абсциссой х. (рис.5.8). Пусть абсцисса х получила бесконечно малое приращение dx. Тогда у получит бесконечно малое приращение y , которое отличается от приращения dy вдоль касательной на бесконечно малую, стремящуюся к нулю существенно быстрее, чем dx. y 0 a x x+dx b x Рис. 5.8 Приращение l длины кривой отличается от длины соответствующего отрезка касательной (рис.5.9) dx 2  dy 2  1  ( y ) 2 dx на бесконечно малую, существенно меньшую, чем dx. Последняя часть относительно dx и является главной частью l . Следовательно, b 2 dl  1  ( y ) dx и l   1  ( y) dx. 2 y (31) y dy 0 dx рис.5.9 x 0 106 r рис.5.10 x Пример: найти с помощью интегрирования длину четверти окружности радиуса r (рис. 5.10). Решение: здесь y  r 2  x 2 , a  0, b  r , 2x x y    ; 2 2 2 2 2 r x r x x2 r 2  x2  x2 r2 1  ( y )  1  2   2 . 2 2 2 2 r x r x r x 2 r l 0 r r r 2  x2 dx   0 1 x2 1 2 r r  r 0 x x r  x d    r arcsin | x  r r arcsin | x 0  . r r 2 x2  r  1 2 r 1 что и следовало ожидать. Заметим, что вычисление длины эллипса сводится к вычислению «неберущегося» интеграла, не выражающегося через элементарные функции. То же относится к вычислению длины дуги гиперболы y=1/x, длины дуги синусоиды. Длина дуги параболы приводится к интегралу, хотя и выражающемуся через элементарные функции, но довольно сложному. Площадь поверхности тела вращения. Пусть тело получено посредством вращения криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох , прямыми х = а и х = b и графиком дифференцируемой функции у = f(x)  0. Требуется определить площадь боковой поверхности этого тела. Введем в рассмотрение площадь S(x) такого же тела, но ограниченного переменной правой стенкой, пересекающей Ох в точке с абсциссой х. При бесконечно малом приращении dx главной частью приращения  S(x) будет площадь ленты длиной 2  у и шириной dl, так что dS(x)=2  ydl и b b a a S   2ydl   2y 1  ( y ) 2 dx. (32) Пример: найти площадь поверхности вращения дуги синусоиды y  sin x, 0  x   . Решение: по формуле (32) получим   S  2  sin x 1  (sin x) dx  2  sin x 1  cos 2 x dx. 2 0 0 107 Сделаем замену переменных, положив cos x  t. Тогда dt   sin xdx, t | x   cos   1 и следовательно, 1 1 S  2  1  t dt  2  1  t 2 dt  2 1 1     1 2 t 1  t 2  ln( t  1  t 2 ) 1   2 2  ln( 3  3) . 2 Упражнения.  3 x 1 dx, 1.  0 2 x  16 2. 2  (  x) sin xdx,  sin 3. 1 dx , 4.  2 x  6 x  13 5 5. 3  2x  x 2 2  2x  1 dx, 6.  2 x  4 x  5 2 3 dx  ,  5 4   x    cos 2 xdx, 8.   2   2 2 2 cos x dx, 7.  sin 2 x  4 x cos 4 xdx, 0 0 1 3 9. 4  sin 7 x cos 3xdx, 4  8 3 10.  (3  x)e x dx, 11. 1 2 16 13. dx  3 0 9 x  , 14.  1 x dx , x3 4 dx 17 x  8 ,  0  0 3 15. 12. 2  tgx 2 cos x dx, 2 ln 2 dx (16  x 2 ) 3 , 16*.  e x  1dx. ln 2 Указание*. Применить подстановку e  1  t . 17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми x  2 y  8  0, y  1, y  3 и осью ординат. 18. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу кубической параболы у=х3 в пределах от у=1 до у=8. 19. Найти площадь фигуры, лежащей в первой четверти и ограниченной 2 2 окружностью x  y  36, прямой x 3  3 y  0 и осью абсцисс. x 108 2 ЗАНЯТИЕ № 6. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ. § 6.1 ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ И ИХ ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое содержит переменные х, у и производные или дифференциалы функции у. Так, например, уравнения y  =х (1) у" +4у = 0 (2) х + уу'=0 (3) являются дифференциальными, которые в общем виде можно представить F  (х, у,у') = с. Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение, значит найти такую функцию у = f(x) , которая удовлетворяет данному уравнению, т.е., будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество. Поэтому, всякая функция у = f(x) , удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется решением этого уравнения. Уравнение вида  (х, у) = 0, определяющее решение (искомую функцию у) дифференциального уравнения как неявную функцию у, называется интегралом дифференциального уравнения. Так, например, уравнение x2+у2=С (4) где С - произвольная постоянная, является интегралом уравнения (3). Чтобы убедиться в этом, достаточно взять производные от обеих частей равенств (4). Получим: (х2 +у2)/х=С/х; 2х + 2уу' = 0 или х + уу' = 0. Решение (4) называется общим решением уравнения (3); любое решение, полученное из (4) заменой произвольной постоянной С определенным числом, называется его частным решением. Так, например, при С = 4 получается частное решение х2 + у2 = 4. Придавая С значения 1; 2; 3; и т.д., будем получать частные интегралы: 2 2 2 2 х 2 + у 2 = 3 ; х 2 +y 2 =4 и т.д. х +у =1 ; х + у = 2 ; С геометрической точки зрения общий интеграл (общее решение) выражает семейство кривых, а частный интеграл (частное решение) - отдельные кривые этого семейства. В данном случае уравнению (4) соответствует множество окружностей с центром в начале координат, а частным интегралам окружности данных радиусов (рис. 6.1). 109 y x Рис. 6.1 В дифференциальное уравнение могут входить производные разных порядков, в зависимости от этого различают уравнения 1-ого, 2-ого и т.д. порядков. Например, xy   y  0 - уравнение первого порядка y   4 y  0 - уравнение второго порядка y   5 y   6 y  0 - уравнение третьего порядка. Вообще, порядок дифференциального уравнения определяется порядком наивысшей старшей производной, входящей в это уравнение. §6.2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЕННЫМИ И РАЗДЕЛЯЮЩИМИМСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ. Если дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид f ( y )dy   ( x)dx  0 (5) где f(y)- функция от у,  (x ) -функция от х, то говорят, что в данном уравнении переменные разделены. Решение такого уравнения выполняется методом непосредственного интегрирования:  f ( y)dx    ( x)dx  C. Пример 1: найти общий интеграл уравнения ydy  (1  2 x)dx  0. 110 y2  ( x  x 2 )  C0 . Решение:  ydy   (1  2 x)dx  C 0 ; 2 или y 2  2( x 2  x)  2C 0 . Пользуясь произвольностью С, можно 2С0 обозначить через С и общий интеграл переписать в следующем виде: y  2( x  x)  C. Если дифференциальное уравнение после приведения его к общему знаменателю и соединения в один член всех членов, содержащих множителем один и тот же дифференциал, принимает вид: f ( x) F ( y )dx   ( y )( x)dy  0. (6) то, такое уравнение называют уравнением с разделяющимися переменными. Его можно привести к виду (5), разделив все члены на произведение F ( y )( x). Пример 2: проинтегрировать уравнение 2 2 x 2 yy   xy 2  yy   x  0. Решение: объединяем в один член слагаемые, содержащие y  : ( x 2 y  y) y   xy 2  x  0. Заменяем y  на dy и приводим уравнение к общему знаменателю: dx ( x 2 y  y)dy  ( xy2  x)dx  0. Разлагаем на множители коэффициенты при дифференциалах: y( x 2  1)dy  x( y 2  1)dx  0. 2 2 Разделив это уравнение почленно на ( x  1)( y  1) , имеем ydy xdx   0. y2 1 x2 1 Получилось уравнение вида (5). Интегрируем его: ydy xdx   y2 1  x2 1  C ; 1 1 ln( y 2  1)  ln( x 2  1)  C 0 . 2 2 2 ln( y  1)  ln( x 2  1)  2C0 . Пользуясь произвольностью С0, заменяем 2С0 через ln C: ln( y 2  1)  ln( x 2  1)  ln C, откуда в результате потенцирования получаем ( y 2  1)( x 2  1)  C, или y 2  111 C  1. x 1 2 Пример 3: найти частное решение дифференциального уравнения (1  x ) y   xy  ax  0, удовлетворяющее условию y  2a при х=0. 2 Решение: (1  x 2 ) dy  xy  ax  0 ; dx или (1  x 2 )dy  x( y  a)dx  0. 2 Делим члены этого уравнения на произведение (1  x )( y  a) : dy xdx   0. y  a 1 x2 Получили уравнение вида (5). Интегрируем это уравнение:  dy xdx  C; ya 1 x2 отсюда 1 ln( y  a )  ln( 1  x 2 )  ln C ; 2 или ln ya  ln C ; ya  C ; y  a  C 1 x2 . 1 x 1 x2 Мы нашли общее решение. Определяем значение С, удовлетворяющее начальному условию y  2a при х=0: 2 2a  a  C 1  0 2 , откуда С=а. Следовательно, искомым частным решением будет функция y  a  a 1  x 2 , или y  a(1  1  x 2 ). §6.3 ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВЕННИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее вид P( x, y )dx  Q( x, y )dy  0 (7) называется однородным если Р(х,у) и Q(x,y) являются однородными функциями переменных х и у одного и того же измерения. Так, например, уравнение ( x 3  x 2 y)dx  ( xy 2  y 3 )dy  0 112 является однородным, так как в нем P  x  x y и Q  xy  y однородные функции переменных х и у одного и того же (третьего) измерения. Однородное дифференциальное уравнение (7) приводится к виду уравнение с разделяющимися переменными подстановкой 3 2 2 y  ux 3 (8) где u- новая неизвестная функция. 2 2 Пример 1: решить уравнение y dx  ( x  xy)dy  0. 2 Решение: в данном случае P  y и Q  x  xy - однородные функции одного и того же (второго) измерения. Полагаем y  ux , откуда 2 dy  udx  xdu. Подставляем эти выражения y и dy в данное уравнение: (ux) 2  ( x 2  x  ux)(udx  xdu)  0 ; ux 2 dx  x 3 (1  u )du  0. (9) Получилось уравнение вида (6). Разделяя переменные, находим dx (1  u )du   0. x u Интегрируя это уравнение: dx du   x  u   du  C ; ln x  ln u  u  C . В результате потенцирования получается общий интеграл уравнения (9): ln x  ln u  ln e u  ln C ; ln ux  ln Ce u ; ux  Ce . Определив u из уравнения (8) и заменив в последнем уравнении, находим общий интеграл данного уравнения: y y y x x x  Ce , или y  Ce . x u §6.4 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно первой степени относительно неизвестной функции у и ее производной у  . Такое уравнение имеет вид: y   Py  Q, (10) где P и Q – функции от х или постоянные величины. Уравнение (10) решается подстановкой 113 y  u , где u и  - неизвестные функции от х, одну из которых можно выбрать произвольно. Пример 1: решить уравнение y   2 y  x3. x Решение: в этом линейном уравнении y  u , тогда P 2 , Q  x 3 . Полагаем x dy d (u ) ud  du d du   u  . dx dx dx dx dx Подставив в данное уравнение вместо у и у  их выражения, получаем: du  2  d 2 du  d 3    u    x3. u   u  x , или  (11) dx  x x dx  dx  dx Выше было замечено, что одна из функций (u или  ) может быть выбрана произвольно. Выберем функцию  так, чтобы в уравнении (11) выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. имело место равенство: d 2    0. dx x Разделив переменные и интегрируя полученное уравнение, находим y  d  2   dx ; x отсюда ln   ln 1 ; x2 1 , при С=0 x2  (12) Подставив (12) в (11), получим: 0u  1 du  x3 , 2 x dx откуда du  x 5 dx ; тогда u   x 5 dx  C. Соответственно u 1 6 x C 6 (13) Подставив в равенство y  u вместо u и  их найденные выражения, получаем общее решение данного линейного дифференциального уравнения: 114 1 C 1  1 y   x 6  C   2 , или y  x 4  2 . 6 x 6  x § 6.5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА УРАВНЕНИЯ ВИДА y   f (x). В дифференциальное уравнение второго порядка могут входить переменные х, у и производные y  , y  , причем те или иные из величин х,у, y  могут и отсутствовать. Простейшее уравнение второго порядка имеет вид: y   f (x). (13) Уравнения этого вида решаются двукратным интегрированием. Пример 1. Проинтегрировать уравнение y   cos x.  dy dy    z , тогда данное уравнение Решение: y   ( y )x    x . Полагаем dx  dx  перепишется в следующем виде: z x  cos x , или dz  cos xdx. Интегрируя это уравнение, находим  dz   cos xdx, или z  sin x  C . 1 Заменяем в последнем уравнении величину z ее значением: dy  sin x  C1 ; dy  sin x  C1 dx. dx Интегрируем второй раз и получаем общее решение данного уравнения:  dy   (sin x  C 1 x  C2 . Как видим, общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. § 6.6 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА. Числа вида z  x  iy (1) где х и у - любые действительные числа, а i - мнимая единица, определяемая равенством i  1, называются комплексными числами. Числа x и у называют соответственно действительной и мнимой частями комплексных чисел z и обозначаются 2 x  Re z, y  Im z. 115 Запись комплексного числа в виде (1) называется алгебраической формой комплексного числа. Комплексное число z = х + iy может быть изображено в декартовой координатной плоскости хОу либо точкой с абсциссой х и ординатой у , либо радиусом вектором этой точки (рис. 6.2). Длина этого вектора называется модулем комплексного числа z и обозначается z или r : z  r  x2  y2 . (2) Угол, образованный этим вектором с положительным направлением действительной оси Ох, называется аргументом числа z и обозначается Argz: tg ( Argz )  y . z Величина Argz многозначна и определена с точностью до числа, кратного 2 . Значение Argz , заключено в пределах от -  до  , называется главным и обозначается arg z или  :    arg z   . Два комплексных числа z  x  iy и z  x  iy считаются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: x1  x2 , y1  y2 . Два комплексных числа z = x + iy и z=x-iy отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме, производятся по следующим правилам: ( x1  iy1 )  ( x2  iy 2 )  ( x1  x2 )  i( y1  y2 ) ; ( x1  iy1 )  ( x2  iy 2 )  ( x1 x2  y1 y2 )  i( x1 y2  x2 y1 ) ; x1  iy1 ( x  iy1 )( x2  iy 2 ) x1 x2  y1 y2 x2 y1  x1 y 2  1   i . x2  iy 2 ( x2  iy 2 )( x2  iy 2 ) x22  y 22 x22  y22 116 y y z=x+iy r  0 x x Рис. 6.2 § 6. 7 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции у и ее производных y , y , y ,... Линейные дифференциальные уравнения второго порядка, имеющие вид y   py   qy  0 (14) где р и q - постоянные величины, называются линейными однородными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим некоторые свойства этих уравнений. Теорема 1. Если функция y1  f ( x) является решением уравнения (14), то функция C1 y1 (где С1 - произвольная постоянная), также будет его решением. Доказательство. Подставив в уравнение (14) вместо функции у и ее производных соответственно С1у1, (С1,у1)' и (С1,у1)//, получим С1 y1  pC1 y1  qC1 y1  0 , т.е. C1 ( y1  py1  qy1 )  0 . 117 (15) В силу равенства (15): С1  0  0 ; 0=0- тождество. Следовательно, функция С1у1 является решением уравнения (14). Теорема 2. Если функции у1 и у2 - решения уравнения (14), то функция y3  y1  y 2 - так же его решение. Доказательство. Так как у1 и у2 - решения уравнения (14), то y1  py1  qy1  0 ; y2  py2  qy2  0 (16) Подставив в уравнение (14) вместо y , y  и у функцию у3 и ее производные будем иметь: ( y1  y2 )  p( y1  y2 )  q( y1  y2 )  0 , или ( y1  py1  qy1 )  ( y2  py2  qy2 )  0 . Принимая во внимание равенства (16), получим 0 + 0 = 0- тождество. Следовательно, функция у3 = у1 + у2 - решение уравнения (14). Пример. Проверить, уравнения что функции y1  e 4 x и y 2  e 2 x - решения у" +2у' -8у = 0 (17) Подставляя в уравнение (17) последовательно у1 и у2 и их производные, получаем (e 4 x )  2(e 4 x )  8e 4 x  0 , или 16e 4 x  8e 4 x  8e 4 x  0 - тождество или (е 2 x )  2(e 2 x )  8e 2 x  0, - тождество. Следовательно, функции y1  e и y2  e решения уравнения (17). Два решения y1, и y2 дифференциального уравнения (14) называются линейно независимыми, если одно из них не является произведением другого на постоянную величину. В противном случае решения у1 и у2 называются линейно зависимыми. 4 x 2x e 4 x и e 2 x являются линейно независимыми реше4 x  ke2 x . ниями уравнения (17), так как при любом постоянном k e Например, функции Теорема 3. Если y1 и у2- два линейно независимых частных решения уравнения (14), то функция y  C1 y1  C2 y2 (18) где С1, и С2 - произвольные постоянные, является его общим решением. Доказательство. Так как, по условию у1 и у2- два частных решения уравнения (14), то, согласно теореме 1, C1 y1 и C2 y 2 , где С1, и С2- произволь118 ные постоянные, тоже будут его решениями, а потому (по теореме 2) их сумма [функция (18)] так же будет его решением. Функция (18) содержит два произвольных постоянных и не может быть преобразована в равносильную ей функцию, содержащую только одну произвольную постоянную, та как у1 и у2 - линейно независимые решения. Следовательно, функция (18) - общее решение уравнения y   py   qy  0 Так, например, общим решением уравнения (17) будет функция y  C1e 4 x  C 2 e 2 x , где С1 и С2 - произвольные постоянные. 4 x Функции y1  C1e и y 2  C 2 e , очевидно, при любых действительных значениях С1 и С2 будут двумя линейно независимыми частными решениями этого уравнения. Из этой теоремы следует, что для нахождения общего решения уравнения вида (14) достаточно найти два линейно независимых частных решения у1 и у2. Пример, рассмотренный выше, наводит на мысль, что такие 2x частные решения можно искать в виде y  e , где k - некоторое число. Тогда kx y   keex ; y   k 2 e kx Подставив в уравнение (19) вместо у и ее производных их выражения, получим: k 2e kx  pkekx  qe kx  0 ; или e kx (k 2  pk  q)  0 , отсюда k 2  pk  q  0 (20) так как e  0 . Корни уравнения (20), очевидно, будут теми значениями k, при которых функция (18) будет удовлетворять уравнению (14), т.е. будет его решением. Это уравнение (20) принято называть характеристическим уравнением по отношению к уравнению (14). Из алгебры известно, что корни уравнения (20) находятся по формуле: kx k1, 2 p   2 p2  q. 4 (21) При этом зависимости от числовых значений p и q возможны следующие случаи: 1. Корни k1 и k2 характеристического уравнения (20) – действительные и разные по величине (k1  k 2 ). 119 2. 3. k1 и k2 - действительные числа равные между собой (k1  k 2 ). k1 и k2 – сопряженные комплексные числа. Рассмотрим эти случаи по порядку. Первый случай. Если k1 и k2 - разные по величине действительные числа, то функции y1  e 1 и y 2  e 2 , будут частными линейно не зависимыми решениями уравнения (14). В этом случае общее решение будет иметь вид k x kx y  C1e k1x  C 2 e k2 x . Пример: решить уравнение y   4 y   3 y  0. kx Решение: полагая y  e , получим: (e kx )  4(e kx )  3e kx  0 ; e kx (k 2  4k  3)  0 ; (22) или k 2  4k  3  0. Характеристическое уравнение можно написать сразу, заменив в данном уравнении y , y  и у величинами k1 и k2 и 1. Решив это уравнение, найдем k1=3, k2=1. Частным решением будут функции: y1  e 3 x ; y 2  e x . 3x x Следовательно, общее решение имеет вид y  C1e  C 2 e . Второй случай. Из формулы (21) видно, что характеристическое p , если 2 уравнение (20) имеет равные корни k1  k 2  p2 q 0 4 (23) Непосредственно получаем только одно частное решение: y1  e p  x 2 . Докажем, что в этом случае вторым частным решением уравнения (14) является функция y2  xy1 т.е. y 2  xe p  x 2 . Найдем первую и вторую производные этой функции: y 2  ( xe y 2  (e p  x 2 p  x 2 )  e p  p 2 (24) p p  x  xe 2 ; 2 p p  x p 2x p2  2 x 2  xe )  pe  xe . 2 4 Подставив выражение (24) и ее производных в уравнение (14), получаем: 120 p p  x  p2 2 x    pe 2  xe    4   p  x   2p x p  2p x  2   p e  xe   qxe  0; 2   p 2  x  x p  p2 2 x 2 2   xe  qxe  0 или  xe   q   0 4  4  p p Приняв во внимание условие (23), имеем:  xe p  x 2  0  0, или 0  0 - тождество. Это значит, что функция (24) – решение уравнения (14)в случае, когда оно имеет равные корни. Следовательно, при k1  k 2  p 2 общим решением уравнения (14) является функция y  C1e p  x 2 p  x 2  C 2 xe , y  (C1  C 2 x)e Пример: решить уравнение y   6 y   9 y  0. Решение: характеристическое уравнение равные корни k1  k 2   p  3. 2 Частными p  x 2 . k 2  6k  9  0 имеет линейно независимыми решениями этого уравнения являются функции: y1  e 3 x ; y 2  xe3 x Общее решение имеет вид: y  (C1  C2 x)e 3 x . Третий случай. Уравнение (20) имеет сопряженные комплексные корни p2  q  0. Обозначив их кратко в виде тогда, когда 4 k1  a  bi; k2  a  bi (25) p p2 , частные решения уравнения (14) можно где a   , b  q  2 4 записать так: y1  e ( a bi) x ; y 2  e ( a bi) x . (26) Эти решения можно заменить двумя независимыми функциями: y1  eax cos bx; (27) y 2  e ax sin bx , (28) не содержащими мнимых величин. 121 Уравнение (20) будет иметь комплексные корни (25), если p  (k1  k 2 )  (a  bi)  (a  bi)  2a; q  k1k 2  (a  bi)(a  bi)  a 2  b 2 , и уравнение (14) имеет вид y   2ay   (a 2  b 2 ) y  0. (29) Докажем, что функции (27) и (28) являются решениями этого уравнения. Найдем первую и вторую производные функции (27): y   (e ax cos bx)x  e ax (a cos bx  b sin bx);  y   e ax (a cos bx  b sin bx x  e ax (a 2  b 2 ) cos bx  2ab sin bx .   Подставив значения   y1 , y1 , y1 в уравнение (29), получим:    eax (a 2  b2 ) sin bx  2ab cos bx  2a(a cos bx  b sin bx)  (a 2  b2 ) cos bx  0 e ax (0  sin bx  0  cos bx)  0; Итак, функции (27) и (28) являются двумя линейно зависимыми частными решениями уравнения (14) в случае, когда уравнение (20) имеет сопряженные комплексные корни. Поэтому общее его решение имеет вид y  C1e ax cos bx  C2 e ax sin bx, y  (C1 cos bx  C2 sin bx)e ax , где a   (30) p p2 ,b  q  , C1 и С2 – произвольные постоянные. 2 4 Пример: найти общее решение уравнения y   2 y   5 y  0. Р2шение: находим корни характеристического уравнения k 2  2k  5  0; k1, 2  1  1  5  1  4  (1)  1  2  1  1  2i. Следовательно, а=-1, b=2. Подставив эти значения a и b в формулу (30), получаем общее решение: y  (C1 cos 2 x  C2 sin 2 x)e  x . 122 УПРАЖНЕНИЯ. Уравнения с разделяющимися переменными. Найти общий интеграл уравнений: 1. y dx  x2dy  0, 2 x 8. x( y  1)dx  ye dy  0, 2 x y dx  4 x  y dy  0, 2. (1  y )dx  ( x  1)dy  0, 9. 3 3. cos ydx  ( x  1)dy  0, 10. ( xy 2  x)dx  ( y  x 2 y)dy  0, 2 2 4. x 1  y dx  1  x dy  0, 11. xy   tgy, 5. sin u sin du  cos u cos  0, 2 12. 2 xyy   y  1, 2 6. 2 13. y   e e x dx  e y (1  e x )dy  0, 2 x 4 y . 2 2 2 2 7. ( xy  y )dx  ( x y  x )dy  0, Однородные уравнения. Найти общий интеграл уравнений: y  y  1  , 1. x 6. y  xy   x2  y2 , y x 2. xy   3 y  x, 3. ( x  u )dx  xdy  0, 7. xy   y  xe 8. xy   y  y (ln y  ln x), 2 2 4. y dx  ( x  xy)dy  0, 9. xy   x cos y  y, x 10. ( x 2 y )dx  (2 x  y )dy  0. 5. ( x  xy  y )dx  x dy  0, 2 2 2 2 Линейные уравнения. Найти общее решение уравнений: y  y   1, 1. x y  y  3  x3 , 2. x dy  tgx( y  1)  0, 7. dx 8. xy   2 x ln x  y, x 3. y   2 xy  e , 9. ( y  e )dx  dy  0, 4. y   xy  x  0, 2 2 10. y (1  x )  xy  1  x , 2 x 5. y   5 y  e , 11. y   2 x 123 xy 1  . 1 x2 1 x2 3 6. y ( x  1)  y  2( x  1) , Найти частное решение начальным условиям: 1. y   2 py  e уравнений, удовлетворяющих заданным 2 px , y(0)  0, dy 1  4 y  x 2 e  4 x , y (0)  , 2. dx 3 1 2 3. x y   5 xy  4  0, y   62, 2     , 2 2 4. y   yctgx  cos ecx  0, y dy 1  y  cos x, y , dx   dy xy  2  x, y 2 2  3. 6. dx x  1 5. x    Дифференциальные уравнения второго порядка вида y   f (x). Найти общее решение уравнений: 1. y   cos 2 x, d 2  6 2  3  1, 2. 2 d d2y 3 x  4  e , 3. 2 dx d 2s  0, 4. dt 2 5. xy   1, d2y  ln x. 6. dx 2 Линейные, однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти общее решение уравнений. 124 1. y   9 y  0, 6. y   10 y   25 y  0, 2. 7. y   16 y  0, 4. 2 y   3 y   2 y  0, 8. y   49 y  0, 9. y   2 y   2 y  0, y   5 y   6 y  0, 3. y   8 y  0, 10. y   2 y   13 y  0. 5. y   6 y   9  0, Задачи. Задача №1. На опытах с бактериями установлено, что при достаточном запасе пищи скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. Составьте дифференциальное уравнение размножения бактерий и найдите его общее и частное решения, учитывая, что по истечению суток число бактерий утроилось. Задача №2. На опыте с бактериями установлено, что при введении препарата скорость гибели бактерий пропорциональна их количеству. Составить дифференциальное уравнение процесса гибели бактерий и найти его общее и частное решение, учитывая, что по истечению 36 часов число бактерий — уменьшилось в 5 раз. Задача №3. Опыт показывает, что при облучении пораженного участка кожи гамма излучением скорость гибели раковых клеток пропорциональна их количеству. Определить, через сколько сеансов число раковых клеток уменьшится в 100 раз, если после трех процедур их число уменьшилось в 20 раз, при длительности процедуры 10 минут. Задача №4.Скорость сокращения мышцы пропорциональна абсолютному сокращению l 0  l , где l 0 - длина мышцы до сокращения, l - длина мышцы для данного момента времени t в период сокращения. Найти закон сокращения мышцы, считая, что при t = 0, l 0  l  0. Задача №5. В начальный момент времени в радиоактивном препарате было т0 грамм висмута. Скорость распада висмута пропорциональна числу нераспавшихся атомов. За первые два часа после начала отсчета времени распалось 20 % от первоначального количества атомов. Через какое время распадется половина атомов висмута? Задача №6. Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Температура тела равна 900 С, а температура воздуха равна 10 0 С. Известно, что в течение 20 минут тело охлаждалось до 50 0С. В течение какого промежутка времени тело охладится до температуры 40 0С? 125 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. ЗАНЯТИЕ № 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. БИНОМ НЬЮТОНА. § 1.1. МНОЖЕСТВА Раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и размещение этих элементов в каком-либо порядке, называют комбинаторикой. Совокупность, набор, собрание элементов, объединенных по какомулибо признаку, называют множеством. Например, множество точек из окружности, множество целых чисел, множество планет Солнечной системы, множество птиц и т. д. В повседневной жизни вместо слова «множество» употребляются слова «собрание», «коллекция», «набор», «стадо», «табун», «стая» и т. д. Различные группы, составленные из каких-либо предметов и отличающиеся одна от другой или порядком этих предметов, или самими предметами, называют соединениями. Если, например, из 10 различных цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) будем составлять группы по несколько цифр в каждой, например, такие 125, 521, 7846, 4520, 56, 7 и т.п., то будем получать различные соединения из этих цифр. Из них некоторые, например, 7846 и 125 различаются входящими в них предметами и числом предметов. Предметы (или объект любой природы), из которых составляются соединения, называются элементами. В качестве элементов могут выступать люди, дома, книги, геометрические фигуры, планеты, лекарственные препараты и т.д. Для сокращения записи различных высказываний о множествах и их элементах принята следующая символика: множества обычно обозначают большими буквами латинского алфавита (А, В, С...), а их элементы - малыми (а, Ь, с...). Слово «принадлежит» заменяют символом  , «не принадлежит»  . Если элемент х принадлежит множеству С, то пишут х  С ; если х не принадлежит множеству С, то пишут х  С. Множество, не имеющее элементов, называют пустым и обозначают символом  . Примером пустых множеств являются: множество тупых углов равностороннего треугольника, множество действительных корней уравнения х2+1=0, множество людей старше 300 лет. Иногда удобно явно указывать элементы множества: запись {1; 2; 3; 4; 5} означает множество, состоящее из элементов 1, 2, 3, 4, 5; запись {х/х2<1} читается «множество таких х , для которых х2<1». Два множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, например: {х/х2+Зх+2=0}={-2;-1}={-1;-2}. Объединением двух множеств А и В называется множество, составленное из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. Объединение множеств А и В обозначают A  В, где символ  знак объединения множеств. 126 Например, объединением множеств А= {1; 3; 4} и В= {0;2} является множество A  B = {0; 1; 2; 3; 4} . Можно говорить и об объединении трех и большего количества множеств, и, соответственно, о их пересечении. а A B б A B в г д B A A B C B A Рис. 1.1 Диаграммы Эйлера-Венна На рис. 1.1, а) множество A  B, представляющее собой объединение множеств А и В, изображено заштрихованной областью. Пересечение множеств А и В — это множество, составленное из элементов, принадлежащих одновременно обоим множествам (рис. 1.1,б) Пересечение множеств А и В обозначают через А  В, где  -знак пересечения множеств, например: {1;3;4}  {0;2}=  , {1;3;4}  {0;1;2;3}={1;3} 127 Разностью двух множеств А и В называется такое множество, в которое входят все те элементы, которые принадлежат А и не принадлежат В. Разность между А и В обозначается символом А\В. Например, если А = {а; b; с; d; e} и В= {b; d; e; к; f; n}, то А\В = {а; с}. Таким образом, A\B =А\(А  В). Подмножество В данного множества А - это множество, составленное из некоторых элементов множества А, т.е. подмножество есть часть множества. Пусть А - множество рек в Европе, а В = {Волга; Днепр; Сена; Ока}. Множество В является частью множества А, поскольку каждый элемент В является рекой, протекающей в Европе. Говорят, что В является подмножеством множества А и записывается с помощью символов так: В  А. Говорят также «подмножество В включено в множество А». Это высказывание эквивалентно следующему: «В множество А включено подмножество В», т.е. А  В. Чтобы наглядно изобразить множества и отношения между ними, рисуют геометрические фигуры, которые находятся между собой в этих отношениях, например, если мы хотим наглядно изобразить, что множество А является собственным подмножеством множества В, то рисуем эти множества так, как это показано на рис. 1.1, в. Если же надо показать, что подмножества А и В не имеют общих элементов, то эти множества изображают так, как показано на рис. 1.1, г. Такие изображения множеств называют диаграммами Эйлера-Венна. Диаграммы Эйлера-Венна делают наглядными различные утверждения, касающиеся множеств. Например, рис. 1.1, д делает очевидными утверждения : если А  В и В  С, то А  С. Различают два вида подмножеств множества А : собственное и несобственное, само А и  называют несобственными подмножествами, а все остальные подмножества множества А, если они существуют, называются собственными подмножествами. Число всех подмножеств множества, состоящего из n элементов, равно 2n. Некоторые числовые множества имеют специальные обозначения. Так, например, множество всех натуральных чисел обозначают буквой N, множество целых неотрицательных чисел - буквой Z0, множество всех целых чисел - буквой Z, множество всех рациональных чисел - буквой Q и множество всех действительных чисел - буквой R. Часто встречаются числовые множества, называемые промежутками: - замкнутый промежуток или отрезок [a,b]={x  R/a  х  b}, - открытый промежуток или интервал (a, b)= {x  R/a<x<b} для интервала иногда используют обозначение ]а; b[ - полуоткрытые промежутки (a,b] = {x  R/a<x  b} , [a,b)={x  R/a  x<b} 128 (возможны обозначения ]а; b] и [а; Ь[) - бесконечные промежутки (лучи, полупрямые) (-∞, а) = {x  R/x<a}, (-∞, а] = {x  R/x  а}, (а, +∞) = {x  R/x>a}, [а, +∞) = {x  R/x  a}, (-∞, +∞) = R (прямая) § 1.2 РАЗМЕЩЕНИЯ Пусть число предметов, из которых мы составляем различные соединения, равно трем (например, 3 картины), обозначим эти предметы а, Ь, с. Из них можно составить соединения; по одному: по два: по три: а, Ь, с ; ab, ас, be, ba, ca, cb; abc, acb, bac, bca, cab, cba Возьмем из этих соединений соединения по 2. Они отличаются одно от другого либо предметами, например ab, и ас, либо порядком предметов, например ab, и Ьа, но число предметов в них одно и то же. Такие соединения называются размещениями из трех элементов по два. Размещениями из m элементов по n называются такие соединения, из которых каждое содержит n элементов, взятых из данных m элементов, и которые отличаются одно от другого или элементами, или порядком элементов (предполагается, что n  m). Так, написанные выше соединения по 3 будут размещения из трех элементов по 3 (различаются только порядком); соединения по 2 будут размещения из трех элементов по 2 (различаются или предметами, или порядком). Размещения из данных элементов могут быть по 1, по 2, по 3... и, наконец, по m. Определим число всевозможных размещений, которые можно составить из m элементов, не оставляя самих размещений. Число это принято обознаn чать так: Am (читается А из m по n). Чтобы найти это число, рассмотрим прием, посредством которого можно составлять всевозможные размещения. Пусть нам дано m элементов: а, b, с...к, 1.Сначала составим из них все 1 размещения по 1. Их, очевидно, будет m. Значит, Am  m . Теперь составим все размещения по 2. Для этого к каждому из ранее составленных размещений по 1 приставим последовательно все оставшиеся m - 1 элементов по 1. Так, к элементу а приставим последовательно оставшиеся элементы: b, с...к, 1; к элементу b приставим последовательно оставшиеся элементы: а, с,...к, 1 и т.д. Тогда получим следующие размещения по 2: 129 m строк ab, ac, ad… ak, al;  m-1 размещений ba, bc, bd… bk, bl;  m-1 размещений ca, cb, cd… ck, cl;  m-1 размещений ………………………………………... la, lb, lc… lk;  m-1 размещений Так как всех элементов m, то из каждого размещения по одному элементу мы получим m - 1 размещений по 2, а всего их будет (m - 1)m. Очевидно, что других размещений по 2 быть не может. Значит А2т=т(т-1). Чтобы составить теперь размещения по 3, берем каждое из составленных сейчас размещений по 2 и приставляем к нему последовательно по одному все m - 2 оставшихся элементов. Тогда получим следующие размещения по 3: abc, abd,… abk, abl  m-2 размещений acb, acd,… ack, acl  m-2 размещений (m-1)m строк ……………………………………….. lka, lkb,…  m-2 размещений Так как число всех размещений по 2 равно m (m - 1) и из каждого получается (m - 2) размещения по 3, то из всех таких размещений окажется: (m - 2)[m(m - l)]=m(m - l)(m - 2). Следовательно: A3m=m(m-1)(m-2) Подобно этому получим Am4  m(m  1)( m  2)( m  3); Am5  m(m  1)( m  2)( m  3)( m  4). Таким образом, число размещений m элементов по n можно определить выражением: Amn  m(m  1)( m  2)...m  n  1 (1.1) Можно сказать, что число всевозможных размещений из m элементов по n равно произведению n последовательных целых чисел, из которых наибольшее есть m. Например: A42  4  3  12; A43  4  3  2  24; A84  8  7  6  5  1680 и т.п. 130 § 1.3. ПЕРЕСТАНОВКИ. Если размещения из m элементов взяты по т т.е. различаются только порядком элементов, то такие размещения называются перестановками. Можно сказать, что каждая последовательность m элементов, составленная из этих элементов, называется перестановкой. Например, перестановки из двух элементов а и b будут размещения из 2 по 2, т.е. ab и bа, перестановки из трех элементов будут размещения из 3 по 3, т.е. abc, acb, bac, bca, cab, cba и т.п. Число всевозможных перестановок из m обозначается Р (здесь Р есть начальная буква французского слова «permulation» , что значит «перестановка»). Так как перестановки из m элементов - размещения из m no m, то число перестановок будет определяться формулой: Pm  Amm  m(m  1)( m  2)...3  2  1 или Pm  1  2  3...(m  1)m  m! (1.2) Число всевозможных перестановок из m элементов равно произведению натуральных чисел от 1 до m. Произведение чисел Pm  1  2  3...m обозначают m! (m с восклицательным знаком) и называют «m - факториал». Например: 1!= 1, 2! 1  2  2, 3!  1  2  3  6, 4! 1  2  3  4  24, 5! 1  2  3  4  5  120, Полагают 0! 1! 1. Часто используется рекуррентная формула: (m+1)!=m!(m+1). (1.3) Поскольку величина m! быстро увеличивается с ростом m, поэтому для больших значений m для определения указанной величины используется приближенная формула Стерлинга: m m!   e m 2m (1.4) В некоторых формулах встречается m!! («полуфакториал»). m!! 2  4  6  ...  (2k ) - для четного m =2k m!! 1  3  5  ...  (2k  1) - для нечетного m=2k+1. Справедливы формулы, указанные ниже: (2k )!! 2 k k! 131 (1.5) (2k  1)!!(2k )!! (2k )! (1.6) §1.4. СОЧЕТАНИЯ Если из всех размещений, которые можно составить из m элементов по n, мы отберем только те, которые одно от другого разнятся, по крайней мере, одним элементом, то получим соединения, которые называются сочетаниями. Например, из четырех элементов а, b, с и d сочетания по 3 будут: abc, abd, acd, bed. Если в каждом из этих сочетаний сделаем всевозможные перестановки, то получим всевозможные размещения из четырех элементов по 3: abc abd acd bed acb Ьас эса cab cba adb bad bda dab dba adc cad cda dac dca bde cbd cdb dbc deb Число таких размещений равно, очевидно, 6  4  24. Таким образом, число всех размещений из m элементов по n, умноженному на число всех перестановок, какие можно сделать из n элементов, т.е. Amn  C mn Pn , (1.7) n где C m обозначает число всех сочетаний из m пo n (С есть начальная буква французского слова «combinaison», что означает «сочетание»). Отсюда получаем следующую формулу для числа сочетаний: Amn m(m  1)( m  2)  ...  m  (n  1) C   Pn 1  2  3  ...  n n m 2 Например: C 4  43  6, 1 2 C 43  (1.8) 4 3 2  4 и т.п. 1 2  3 Формулу числа сочетаний можно привести к другому виду, если умножим числитель и знаменатель ее на произведение 1 2 3 ...(m-n). Тогда в числителе получим произведение m(m-1)...[m-(n-1)]ּ1ּ2ּ3ּ(m-n). Переставив сомножители, получим: 1 2 3 … (m-n)ּ[m-(n-1)]…m. Следовательно: 132 Сmn  Pm 1  2  3  ...  (m  1)m  1  2  3  ...  n  1  2  3...(m  n) Pn  Pmn Заменив в последней формуле n на m-n, получим: Cmmn  Pm 1  2  3  ...  (m  n)  m  1  2  3  ...  (m  n)  1  2  3  n Pmn  Pn Сравнивая последнюю формулу с предыдущей, находим: C mn  C mm  n (1.9) Соотношение (1.9) позволяет упростить нахождение числа сочетаний из m элементов по n когда n превосходит m/2. Например: 97 3 С100  С100  100  99  98  161700. 1 2  3 1.5. БИНОМ НЬЮТОНА Из алгебры известны формулы: (а + b)0=1, (1.10) (а + b)1 =а + b, (1.11) 2 2 2 (a + b) =a +2ab + b , (1.12) (а + b)3 =а3 +3a2b + 3ab2 +b3 (1.13) Обращает внимание то обстоятельство, что числовые коэффициенты в указанных выше уравнениях взяты из соответствующих строк треугольника Паскаля: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ………………………………….. В каждой строке треугольника Паскаля вписаны коэффициенты двухчлена в степени соответственно нулевой, первой, второй и т. д. Запишем выражение: (а + b)4 =(а + b)3(а + b) = а4 + 4а3b + 6а2b2 + 4ab3 + b4, из которого следует, что коэффициенты суммы получаются точно по тому же правилу, т. е. определяются цифрами одной из строк треугольника Паскаля. Возникает гипотеза, что справедливо выражение: 133 (a  b) m  a m  mab m 1   m(m  1) m  2 2 m(m  1)( m  2) m 3 3 a b  a b  ...  2! 3! m(m  1)...m  n  1 m  n n a b  ...  b m , n! (1.14) или (a  b) m  a m  C m1 a m1b  C m2 a m 2 b 2  ...  C mm1 ab m1b  b m (1.15) Подставляя – b на место b, получим: m (a  b) m   (1) i C mi a m i b i  a m  C n1 a m 1b  C m2 a m  2 b 2  ...  (1) m b m . i 0 (1.16) Формулы (1.15) и (1.16) известны как формулы бинома Ньютона, которая была указана в 1665 году знаменитым английским математиком и физиком Исааком Ньютоном без строгого доказательства. Для целых положительных показателей формула впервые была доказана Яковом Бернулли с помощью теории соединений. Таким образом, гипотеза верна. Справедливость бинома (1.15) доказывается методом математической индукции, опираясь на равенство: С mn  C mn 11  C mn 1 СВОЙСТВА РАЗЛОЖЕНИЯ СТЕПЕНИ БИНОМА. 1. Число всех его членов равно m+ 1, т.е. на единицу больше показателя степени бинома. 2. Показатели буквы а последовательно уменьшаются на единицу, а показатели буквы b увеличиваются на единицу. Сумма показателей букв а и b в каждом члене равна m, т.е. показателю бинома. 3. Коэффициенты членов, равноотстоящих от начала и конца разложения, равны. 4. Для получения коэффициента каждого члена разложения бинома, начиная со второго, надо коэффициент предыдущего члена умножить на показатель степени при а в том же члене, и полученное число разделить на число членов, предшествующих определяемому. 5.Любой член разложения бинома, начиная со второго, определяется формулой: Tn 1  C mn a m  n b n . 6. Сумма всех коэффициентов разложения бинома равна двум в степени бинома (m). 134 УПРАЖНЕНИЯ. A53 8 98 № 1. ВЫЧИСЛИТЬ: а) C10 ; б) C100 ; в) . P2 4 3 4 № 2. Проверить равенство: C 6  C5  C 7 . x2 № 3. Решить уравнение: C x  2 x  9. 6 № 4. Найти разложение: a) ( a  b ) , б) ( z  3 z ) 9 . № 5. Студенту необходимо сдать 5 экзаменов в течение 12 дней. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов? Ответ: 95040. № 6. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 3 девушек и 3 юношей так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом? Ответ: 72. № 7. В партии содержится 30 измерительных приборов, из них 8 поврежденные. Сколькими способами из этой партии можно отобрать 6 приборов так, чтобы четыре из них были качественные и два поврежденные? Ответ: 204820. № 8. При игре в волейбол в команде участвует 6 игроков. Сколько возможных вариантов размещения игроков на площадке имеется у тренера? Ответ: 720. ЗАНЯТИЕ №2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. § 2.1. СОБЫТИЕ. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ. Теория вероятностей есть математическая наука, которая изучает закономерности в случайных явлениях. Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному. Известно, что каждая наука, развивающая общую теорию, соответствующую области изучаемого ею круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Такими понятиями в области геометрии являются понятия точка, линия; в области физики - понятия силы, массы, скорости, ускорения и т. д. Естественно, что не все основные понятия могут быть строго определены, т. к. определить понятие - это значит свести его к другим, более известным. Очевидно, процесс определения одних понятий через другие должен где-то заканчиваться, дойдя до первичных понятий, к которым сводятся все остальные, и которые сами строго не определяются, а только поясняются. 135 Такие основные понятия существуют и в теории вероятностей, и к ним относятся такие понятия, как понятие события, вероятность события, частота события и так далее. Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате проведения опыта может произойти или не произойти. Случайные события можно разделить на единичные и массовые (или статистические). Отдельные исторические события, «катастрофы», «неожиданности» и т. п., представляющие собой единичные события, поскольку они являются как бы неповторимыми. Единичные события в теории вероятностей и в математической статистике не рассматриваются. Массовые события или явления составляют предмет изучения теории вероятности и математической статистики. Представление о массовых событиях мы связываем с понятием испытания. Если осуществляются определенные условия, позволяющие судить о наступлении какого-нибудь события, то в этом случае говорят, что производятся испытания. События принято обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С ... Приведем несколько примеров событий: А - появление герба при бросании монеты, В - появление туза при вынимании карты из колоды, С - приобретение выигрышного лотерейного билета, D - появление любимого артиста (Ю.Г.) в праздничный день на экране телевизора, Е - возможность студента Б получить пятерку при сдаче экзамена по биофизике, F - возможность студента Б остаться здоровым во время эпидемии гриппа. Рассматривая вышеперечисленные события, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни - большей, другие меньшей. Например, сразу видно, что событие А более возможно, чем событие В и тем более событие С. Ясно, что каждое из таких событий обладает той или иной степенью возможности появления. Чтобы количественно сравнить между собой события по степени их возможности появления, очевидно, необходимо с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число можно назвать вероятностью события. Более вероятными считаются те события, которые происходят чаще; менее вероятными - те события, которые происходят реже. Таким образом, понятие вероятности события в самой своей основе связано с опытным понятием частоты появления события. Случай называется благоприятным некоторому событию, если появление этого случая влечет за собой появление данного события. Например, при бросании игральной кости возможны шесть случаев: появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Из них событие А - появление, например, цифры 5, будем считать благоприятным случаем. Игральную кость бросают n раз (n - общее число случаев или число испытаний), при этом в m случаях появляется событие А. 136 Отношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев (числу полных испытаний) называют частотой события или статистической вероятностью. Р*(А) = m , n (2.1) где Р*(А) — статистическая (классическая) вероятность или частота события. Предел отношения числа благоприятных случаев к числу полных испытаний при стремлении п к бесконечности называют математической вероятностью, т. е p( A)  lim n m , n которая изменяется в том же интервале, что и статистическая вероятность. Так как 0  m  n, следовательно, статистическая и математическая вероятности могут изменяться в промежутке: 0  P( A)  1 . Вычисление вероятности сводится к подсчету элементов того или иного множества и оказывается чисто комбинаторной задачей, иногда весьма трудной. Классическое определение оправдано тогда, когда существует возможность предсказания вероятности на основании симметрии условий, при которых происходит испытание, и вследствие этого, симметрии исходов испытания, что и приводит к представлению о «равновозможности». События называются равновозможными, если при испытании не существует никаких объективных причин, вследствие которых одно из них могло бы наступить чаще, чем какое-либо другое. Например, если сделанная из однородного материала геометрически правильная игральная кость подбрасывается так, что она успевает сделать достаточно большое число оборотов перед тем, как упасть, то выпадание любой из ее граней мы считаем равновозможными исходами: Таким образом, классическое определение лишь сводит понятие «вероятности» к понятию «равновозможности». «Равновозможность» представляет собой объективное свойство испытаний, определяемое условиями их проведения, но, как всякое конкретное свойство, может быть установлено только с известной степенью точности. Наше представление о «симметрии» игральной кости, монете, и т. п. было бы только иллюзией, если бы данные опыта не подтверждали правоту сделанных предположений. Данные проверки в совокупности показывают, что предположение о равновозможности герба и решки, т. е. о том, что с вероятностью 0,5 появляется любая сторона монеты при достаточно большом числе испытаний, находится в согласии с опытом. Однако если для исследования применять специальные вероятностные методы, то вполне возможен вывод, что выпадание герба и решки, в отдельных случаях, не одинаково вероятно. Это будет проявлением того факта, что любая реальная монета (или игральная кость) не является идеально симметричной. И, тем не менее, представление об абсолютно симметричной монете (или игральной кости и т. п.) очень полезно, так как во многих приложениях теории 137 вероятностей такая модель с равновозможными исходами достаточно точно описывает случайные явления. Статистические закономерности такого рода были впервые обнаружены на примере азартных игр, таких, как например, игра в кости, игра в «орел решку», карточные игры и т. п., то есть на примере тех испытаний, которые характеризуются разновозможностью исходов. Эти наблюдения открыли путь для статистического подхода к численному определению вероятности, который особенно важен тогда, когда из теоретических соображений, подобным соображениям симметрии, значение вероятности заранее установить нельзя. На практике часто приходится иметь дело с невозможными и достоверными событиями и с так называемыми « практически невозможными» и «практически достоверными» событиями и другими событиями. События, вероятность которых равна нулю, т. е. события, которые в процессе испытаний не могут произойти, называются невозможными. События, вероятность которых не в точности равна нулю, но весьма близка к нулю, называется практически невозможными. События, вероятность которых равна единице, т. е. события, которые в процессе испытаний обязательно происходят, называются достоверными. События, вероятность которых не в точности равна единице, но весьма близка к единице, называются практически достоверными. События называются несовместимыми, если появление одного из них при испытании исключает появление остальных событий при том же испытании. В противном случае события называются совместимыми. События А, В, С... называются единственно возможными, если в результате каждого испытания хотя бы одно из них наступает. Говорят также, что рассматриваемая совокупность событий образует полную группу событий. Два события считаются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от вероятности появления или непоявления другого. В противном случае события называются зависимыми. Противоположное событие - событие A , составляющее с событием А полную группу событий. Можно сказать, что два события А и A называются противоположными, если появление одного из них исключает появление другого. Таким образом, как это следует из изложенного выше, основные свойства вероятности заключаются в следующем: 1.Вероятность любого события заключена между нулем и единицей: 0  P( A)  1 . 2.Вероятность достоверного события, т. е. такого события, которое при испытании обязательно произойдет, равна единице: Р(В) = 1 3.Вероятность невозможного события, т. е. события, которое в результате испытания не может произойти, равна нулю: Р(С) = 0. 138 § 2.2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. В предыдущем параграфе мы познакомились с классической формулой для вероятности события, сводящейся к схеме случаев. Но даже когда событие сводится к схеме случаев, зачастую эта схема бывает слишком сложна, и непосредственный подсчет по формуле (1) становится чрезвычайно громоздким. Что же касается события, не сводящихся к схеме случаев, то их вероятность лишь в редких случаях определяется непосредственно по частотам. Поэтому, как правило, для определения вероятностей события применяются не непосредственные прямые методы, а косвенные, позволяющие по известным вероятностям одних событий определить вероятности других событий, с ними связанных. Вся теория вероятностей, в основном, и представляет собой систему косвенных методов, которые позволяют свести необходимый эксперимент к минимуму. Применяя косвенные методы, мы в той или иной форме используем основные теоремы теории вероятностей. Этих теорем две: теорема сложения вероятностей и теорема умножения вероятностей. Строго говоря, указанные два положения являются теоремами и могут быть доказаны только для событий, сводящихся к схеме случаев, а для событий, не сводящихся к указанной схеме случаев оба положения принимаются аксиоматически, как принципы или постулаты. Теорема сложения вероятностей. Суммой событий А и В (обозначается А+В) называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из двух событий А и В. Аналогично определяется сумма большого числа событий. Например, появление четной грани игральной кости есть сумма трех событий: выпадание 2, или 4, или 6. Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий, т. е. P(А + В) = Р (А) + Р (В). (2.3) Доказательство. Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупности п случаев. Предположим, что из этих случаев m благоприятны событию А, а k - событию В. Тогда m n k P( B)  n P( A)  (2.4) (2.5) Так как события несовместимы, следовательно, нет таких случаев, п которые благоприятны и событию А и событию В вместе, но событию к С = А + В благоприятны т + k случаев, тогда mk Р ( С ) = Р(А + В) = . n 139 отсюда P (C )  m k  n n (2.6) На основании уравнений (2.4), (2.5). (2.6) можно записать: P( A  B)  P( A)  P( B) (2.7) что и требовалось доказать. Обобщая теорему сложения вероятностей на произвольное число событий (как показывает анализ), придем к результату: P( A  B  ...  E )  P( A)  P( B)  ...  P( E ) (2.7 a) Теорема: вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения этих событий, т. е. P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) (2.8) Следствие 1. Если события A1 , A2 , A3 ,..., An образуют полную группу несовместимых событий, то сумма их вероятностей равна единице, т. е. n  P( A )  1 (2.9) i i 1 Доказательство. Поскольку события А1,А2,А3,...,Ап образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них - событие достоверное, следовательно, Р( А1,А2, А3,..., Ап )=1 Поскольку А1,А2,А3,...,Ап являются несовместимыми, то к ним применима теорема сложения вероятностей, поэтому можно записать: n P( A1 , A2 , A3 ,... An )  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  ...  P( An )   P( Ai ) i 1 отсюда n  P( A )  1 i 1 i (2.9a) Следствие 1 доказано. Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е. Р(А) + Р( A )=1. (2.10) Рассматриваемое следствие есть частный случай следствия 1. Это следствие выделено особо ввиду значительной его важности в практическом применении теории вероятностей. На практике часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события A , чем вероятность события А. Из уравнения (10) следует, что P( A)  I  P( A). 140 (2.11) Теорема умножения вероятностей. Произведением событий А и В (обозначается A  B ) называется событие, состоящее в появлении обоих событий А и В. Например, пусть при бросании двух монет появление герба на первой монете - событие А, появление герба на второй монете - событие В; тогда появление гербов на обеих монетах произведение A  B . Теорема: вероятность сложного события, состоящего из совпадения двух независимых простых событий, равна произведению вероятностей этих простых событий, т. е. P( A  B)  P( A)  P( B) (2.12) Доказательство. Поскольку события А и В независимы, то из т1 случаев благоприятствующих событию А из п1 возможных может совпасть с любым из т2 случаев, благоприятствующих событию В из п2 возможных. Следовательно, число случаев, благоприятствующих наступлению обоих событий, составляет т1 и т2 из п1 и п2 возможных. Таким образом, вероятность появления обоих событий можно представить: P( A  B)  m1  m2 m1 m2    P( A)  P( B) n1  n2 n1 n2 (2.13) что и требовалось доказать. Распространяя эти же рассуждения на несколько независимых событий, теорему умножения вероятностей можно высказать следующим образом: вероятность совмещения двух или нескольких независимых событий равна произведению их вероятностей, т. е. P( A, B,..., E )  P( A)  P( B)  ...  P( E ) (2.14) Условная вероятность. Предположим, что событие А может осуществляться m1 раз, событие В т2 раз, а событие ( A  B ) - k раз. При этом полное число исходов равно n. Тогда P( A)  или m1 k , P( A  B)  , n n P( A  B)  m1 k k  P( A) n m1 m1 (2.15) Из m1 случаев, в которых происходило событие А, в относительной доле случаев, равной k / m1 , происходило также и событие В. Таким образом, k / m1 есть вероятность события В при условии, что произошло событие А. Эта вероятность записывается в виде Р (В/А) и называется условной вероятностью события В при условии, что произошло событие А. 141 Теорема: вероятность сложного события, состоящего из совпадения двух зависимых между собой событий, равна произведению вероятности одного из простых событий на условную вероятность другого в предположении, что первое событие имело место, т. е. как это следует из уравнения(2.15) P( A  B)  P( A)  P( B / A) (2.16) A B A B Рис. 2.1 На языке теории множеств имеем (рис. 2.1): AB  A , следовательно, Р(АВ)  Р(А). Величина, на которую нужно умножить меру множества А, чтобы получить меру заштрихованного множества А  В, есть новая мера, называемая Р (В/А). Из уравнения (2.16) следует: P( A  B) P( B / A)  (2.17) P( A) Уравнение (2.17) можно использовать для практического вычисления условной вероятности. Формула полной вероятности. Следствием теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей является формула полной вероятности. 142 Формула полной вероятности позволяет определить вероятность события А, которое может произойти с одним из событий Н 1 ,Н2 ,Н3 ,...,Нп , образующих полную группу событий: n P( A)   P( H i ) P( A / H i ) i 1 (2.18) Формула (2.18) носит название формулы полной вероятности. Доказательство. Пусть требуется определить вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий Hl ,H2 ,H3,...,Hn, образующих полную группу несовместимых событий, и которые мы будем называть гипотезами. Так как гипотезы Н1, Н2, Н3,..., Нп образуют полную группу, следовательно событие А может произойти только в комбинации с какой-либо из указанных гипотез, т. е. А = Н1А + Н 2А + Н 3А + ... + HnA (2.19) Поскольку гипотезы H l ,H2 ,H3 ,...,Hn несовместимы, то и комбинации, Н{А + Н2А + Н3А + ... + Нп А - несовместимы. Применяя к ним теорему сложения вероятностей, получим: P( A)  P( H 1 A)  P( H 2 A)  P( H 3 A)  ...  P( H n A) (2.20) Применяя к событию HiA теорему умножения вероятностей, придем к результату: n P( A)   P( H i ) P( A / H i ) i 1 (2.21) что и требовалось доказать. § 2.3. ФОРМУЛА БАЙЕСА (теорема гипотез) Следствием теоремы умножения вероятностей и формулы полной вероятности является формула Байеса или теорема гипотез. Формула Байеса позволяет найти условную вероятность Р (Н/А) для каждой гипотезы в связи с появлением события А: P( H i )  P( A / H i ) P( H i / A)  n (2.22)  P( H i )  P( A / H i ) i 1 где i= 1,2,3, ...п. Формула (2.22) носит название формулы Байеса (теорема гипотез). Задача заключается в следующем: имеется полная группа несовместимых гипотез Н1,Н2,H3,...,Нп. Вероятности этих гипотез до опыта известны и соответственно равны: P(H1), Р(Н2), Р(Н3),...,Р(Hn). Произведен опыт, в результате которого наблюдается появление некоторого события А. Следует определить вероятности гипотез в связи с появлением события А. По существу здесь идет речь об определении условной вероят- 143 ности Р(Нi) для каждой из гипотез. Используя теорему умножения вероятностей, можно записать: P( AH i )  P( A)  P( H i / A)  P( H i )  P( A / H i ), где i= 1, 2,3, ...,n. Отбросив левую часть в указанном выше уравнении, получим: P( A) P( H i / A)  P( H i )  P( A / H i ), отсюда P( H i )  P( A / H i ) P( A) Выражая Р(А) с помощью формулы (2.21) полной вероятности, придем к результату: P( H i / A)  P( H i / A)  P( H i )  P( A / H i ) n  P( H i )  P( A / H i ) (2.22a) i 1 Формула (2.22а) носит название формулы Байеса (теоремы гипотез). § 2.4. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ. В разнообразных практических вопросах приходится сталкиваться с вопросами повторения испытаний: испытания на надежность, проверка свойств каких-либо изделий, повторение наблюдения за некоторыми явлениями и т. д. Особый интерес представляет задача, суть которой заключается в следующем: производится два независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р. Необходимо найти вероятность того, что событие А наступит п раз в т испытаниях. Заметим сначала, что в каждом испытании нас интересуют два исхода наступление и не наступление события А (т. е. «успех» и «неудача»). Вероятность наступления события А в определенном испытании равна р = 1 - q. Вероятность того, что событие А наступит при определенных п испытаниях, а при остальных т-п (также определенных) не наступит, в силу теоремы умножения вероятностей равна p m q mn Но событие А может произойти при любых n из m возможных n испытаний. Число всех различных выборов n элементов из m равно C m . Поэтому в силу теоремы сложения вероятностей, искомая вероятность, которую мы станем обозначать символом Pm (n) равна: Pm (n)  C mn p m q m  n (2.23) Формула (2.23) носит название формулы Бернулли, названная в честь ее первооткрывателя, швейцарского математика Якова Бернулли (1654 144 1705). Из формулы (2.23) следует, что вероятность того, что событие А произойдет во всех n испытаниях, определяется уравнением: Pm (n)  p n а вероятность того, что событие А не произойдет ни разу определяется формулой: Pm (0)  q m Во многих случаях число испытаний бывает очень большим. Например, число рождений детей в городе, крае, стране за год. Формула Бернулли, несмотря на всю ее простоту, в этом случае становится громоздкой для использования, и желательно найти ей замену, которая позволила бы упростить вычисления. Пусть для примера т = 4000000, р = 0,5 и п = 2000000. Вычисление величины 4000000 1 Pm (n)   2 24000000 (2000000!) представляет собой значительные трудности. В теории вероятностей предложены хорошие приближенные формулы. В том случае, когда р мало, действует приближенная формула Пуассона a n mp Pm (n)  e , n! (2.24) где т = 0, 1,2... Если же р и q не малы, то следует пользоваться формулой МуавраЛапласа Pm (n)  1 2mpq  e ( n  mp ) 2 2 mpq (2.25) §2.5. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ГЕНЕТИКЕ. Экспериментальные исследования, проведенные австрийским монахом Г. Менделем, позволили обнаружить ряд характерных закономерностей при скрещивании различных сортов гороха. Эти закономерности объясняются посредством применения теорем теории вероятностей. Важность закономерностей заключается в том, что они лежат в основе теории наследственности в целом, т. е. в основе генетики. Схема применения теории вероятности в генетике зависит от специальных носителей, называемых генами. Все клетки тела живого организма, кроме половых клеток, несут один и тот же набор генов, которые представляют собой участки хромосом, входящие в обычные клетки попарно, и, соответственно, гены входят попарно, располагаясь в соответствующих хромосомах. В простейших случаях каждый ген отдельной пары может находиться в одной из двух форм - аллелей, обозначаемых индексами А и а. Соответственно, организм может иметь (по отношению к данному гену) три так называемых 145 генотипа: АА, Аа и аа. Первый и третий называются гомозиготными, второй - гетерозиготным. Имеются признаки, которые определяются одной парой генов, и имеются признаки, определяемые несколькими парами генов. Рассмотрим простейший случай, когда признак определяется одной парой генов. Половые клетки (гаметы) содержат только по одному гену каждой пары. Гомозиготные особи производят гаметы только одного вида, а гетерозиготные особи генотипа Аа производят в равном количестве гаметы с генами А и а. новый организм развивается из двух родительских гамет, от которых он и получает гены. Окраска цветов гороха определяется одним геном, имеющим две формы А и а. Горох генотипа АА имеет красную окраску цветов, генотип аа определяет белую окраску, генотип Аа - розовую. Положим, поле засеяно смесью гороха, имеющего окраску цветов красного, розового и белого цвета, встречающихся с частотами  0 ,2 1 , 2 которые мы будем отождествлять с вероятностями Ро, 2Р1, Р2 ввиду большого числа засеваемых горошин. При этом Р0+2Р1+Р2=1 Тогда вероятность скрещиваний можно свести в таблицу 1. Таблица 1. aa AA Aa AA P02 2 P0 P1 P0 P2 Aa 2 P0 P1 4P1 2P1 P2 aa P0 P2 2P1 P2 P22 Можно было бы применить теорему умножения вероятностей, ибо пары, участвующие в скрещивании, независимы. Каждая клетка таблицы, в свою очередь, разбивается на четыре клетки с одинаковыми вероятностями, в зависимости от возможных комбинаций гамет. Сведем эти возможные случайности в таблицу 2. Вероятности каждой из 36 возможностей известны. Теперь, пользуясь теоремой сложения вероятностей, находим комбинации АА, Аа, аа. Вероятность комбинации АА: P02  2 P0 P1  P12  ( P0  P1 ) 2 Вероятность комбинации Аа: 2 P0 P2  2 P0 P1  2 P12  2 P1 P2  2( P0  P1 )( P1  P2 ) Вероятность комбинации аа: P22  2P1 P2  P12  ( P2  P1 ) 2 146 АА АА АА Аа Аа Аа АА АА АА Аа Аа Аа АА АА АА Аа Аа Аа Аа Аа Аа аа аа аа Таблица 2 Аа Аа Аа аа аа аа Аа Аа Аа аа аа аа В частности, если засеять горох с красными и белыми цветами, т.е. взять P0  P2  1 / 2 , то гороха с красными цветами получится  1 / 4, розового  1 / 2, (вероятностью): белого  1/ 4. Если взять посев с частотами P0  ( P0  P1 ) 2 , 2 P1  2( P0  P1 )( P2  P1 ), P2  ( P2  P1 ) 2 для генотипов АА, Аа, аа, то в следующем поколении частоты остаются без изменений. Действительно, P0  ( P0  P1) 2  ( P0  P1 ) 2 ( P0  P1  P2  P1 ) 2  ( P0  P1 ) 2  P0, т.к. P0  2 P1  P2  1. Тогда P1  ( P0  P1)( P1  P2)  ( P0  P1 )( P0  P1  P2  P1 )  ( P0  P1  P2  P1 )  ( P0  P1 )( P2  P1 )  P1 соответственно, P2  ( P1  P2)  ( P2  P1 ) 2 (2 P2  P1  P0  P1 ) 2  ( P2  P1 ) 2  P2 Как говорят, уже в первом поколении возникает устойчивая популяция. Иногда один вид А гена доминирует над другим а. Это значит, что организм с генотипом Аа не отличается от организма с генотипом АА по отношению к признаку, определяемому рассматриваемым геном. Так зеленый цвет семян гороха доминирует над желтым. Если посеять горох генотипов АА и аа поровну, то 3 4 гороха следующего поколения будет иметь зеленые семена и 1 -желтые (генотипа аа). 4 Рассмотрим случай, когда засеяно поле только семенами зеленого цвета генотипов АА и Аа, т. е. в нашей общей схеме Р2=0, Р0+2Р1=1 Тогда в следующем поколении частота генотипа АА будет равна P1=(P0+P1)2, вероятность генотипа Аа равна 2P1=2P1(P0+P1), соответственно, вероятность генотипа аа (гороха с желтыми семенами) равна P2  P12 . Таким образом, в последнем поколении окажется некоторое количество гороха с желтыми семенами, хотя такие семена не были посеяны. Доля гороха генотипа АА несколько увеличивается сравнительно с исходной: 147 P0 P0  P1 P   1 0 P1 P1 P1 Исключая при последующем посеве горох с желтыми семенами, тем самым увеличивается преобладание гомозиготных особей над гетерозиготными: P0 P P  1  0  2  0 , и т.д. P1 P1 P1 Таким образом, исключенные из процесса размножения особи, обладающие рецессивным* признаком, приводят к тому, что от поколения к поколению возрастает преобладание гомозиготных особей АА над гетерозиготными. Выше рассмотрены простейшие примеры применения теории вероятностей к вопросам генетики. Однако, по той же схеме, но со значительными техническими усложнениями можно рассматривать и более сложные случаи, например, когда ген имеет больше двух аллелей, когда признак связан с несколькими генами и так далее. Рецессивность - от лат. recessus - отступление, форма взаимоотношений двух аллельных генов, при которой один из них - рецессивный - оказывает менее сильное влияние на соответствующие признаки особи, чем другой - доминантный. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Задача №1. В урне находится 3 белых и 2 черных шара. Из неё вынимается наугад 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым. Решение. Событие, состоящее в появлении белого шара, обозначим через А. Общее число случаев, благоприятствующих событию А, т. е. m = 3. Имеем: m 3 P ( A)   n 5 Ответ: вероятность появления белого шара Р (А) = 3/5. Задача №2. В урне находится 10 белых и 6 черных шаров. Из урны наудачу вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми. Решение. Обозначим через А событие, состоящее в появлении 2 белых шаров. Общее число возможных случаев n, найдем по формуле числа сочетаний из общего числа шаров, которых в урне 16, по два, т.е. n  C162  Определим число случаев m, 10 15  120. 1 2 благоприятствующих событию А: m  C102  10 9  45. 1 2 Искомая вероятность двух белых шаров определяется равенством: 148 P( A)  m 45 3   n 120 8 Ответ: вероятность появления двух белых Р (А) = 3/8. Задача №3. На отдельных карточках написаны буквы а, р, к, у, ч. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Найти вероятность того, что получится слово «ручка». Решение. Число всех возможных исходов испытания, т. е. n, равно в данном случае числу перестановок из 5 букв: n = Р5= 5! = 12345 = 120. Из всех перестановок только одна образует слово «ручка», поэтому m = 1. Следовательно, искомая вероятность А будет определяться равенством: m 1 P ( A)    0,008 n 120 Ответ: вероятность появления слова «ручка» равна 0,008. Задача №4. В урне лежат шары: 10 белых, 15 черных, 20 голубых и 25 красных. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется белым? черным? голубым? красным? И еще: черный или голубой? голубой или красный? белый, черный и голубой? Решение. Число всех возможных испытаний =10+15 +20 + 25 = 70. Вероятность 25 5 15 3 20 2 10 1  .  , Pг   , Pк  P0   , Pч  70 14 70 4 70 7 70 7 Применяем теорему сложения вероятностей, находим: Р (б + ч) = Р (б) + Р (ч) = 1/7+3/14=5/14, Р (г + к) = Р (г) + Р (к) = 2/7+5/14=9/14, Р (б + ч + г) = Р (б) + Р (ч) + Р (г) = 1/7+3/14+2/7=9/14, или Р (б + ч + г) = I - Р (к) = I - 5/14=9/14. Ответ: вероятность появления белого шара равна I / 7, черного - 3/14, голубого - 2/7, красного - 5/14, белого или черного - 5/14, голубого или красного - 9/14, белого или черного или голубого - 9/14. Задача №5. Медицинская сестра обслуживает в палате четырех больных. Вероятность того, что в течение часа первый больной потребует внимания сестры Р(А) = 0,2; второй - Р(В) = 0,3; третий - Р(С) = 0,25; четвертый P(D) = 0,1. Найдите вероятность того, что в течение часа все больные потребуют к себе внимания сестры. Решение. Считая требования больных независимыми друг от друга, по теореме умножения находим, что искомая вероятность P( ABCD )  P( A)  P( B)  P(C )  P( D) или P( ABCD )  0,2  0,3  0,25  0,1  0,0015 Ответ: вероятность того, что четыре больных в течение часа потребуют внимания медсестры Р (А) = 0,015. 149 Задача №6. В партии из 50 шприцев разового пользования 5 бракованных. Какова вероятность того, что из выбранных наудачу 30 шприцев не более одного бракованного? Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что 30 изделий выборки - качественные. Событие В-в рассматриваемой выборке из 30 изделий только одно бракованное. Событие С - не более одного бракованного. Тогда, очевидно, С = А + В. Так как событие А и В несовместимы, то по теореме сложения вероятностей имеем: Р (С) = Р (А + В) = Р (А) + Р (В) Поскольку вероятности событий А и В будут определяться выражениями P( A)  m1 m2 и P( B)  n n или 29 C 45  C51 P( B)   0,065, 30 C50 30 C 45 P( A)  30  0,007 ; C50 тогда Р(С)  0,007 + 0,065 = 0,072. Ответ: вероятность того, что изз 30 отобранных шприцев один будет исо порчен, равна 0,072. Задача №7. В урне имеется 7 5белых и 5 черных шаров, отличающиеся лишь цветом. Опыт состоит в том, что 0 сначала вынимают не глядя один шар и, не опуская его обратно, вынимают еще один шар. Какова вероятность того, что оба вынутых шара черные? Решение. Появление первого черного шара (событие А) имеет, очевидно, вероятность P ( A)  m 5  . n 12 Если первый шар оказался черным, то условная вероятность события В появление второго черного шара (при условии, что первый шар был черным) равна: Р(В/А)=4/11, т.к. перед выниманием второго шара осталось 11 шаров, из них 4 черных. Вероятность вынуть два черных шара подряд можно определить по теореме умножения для зависимых событий — формула (16), т. е. P( A)  P( A)  P( B / A)  5 4 5   . 12 11 33 Ответ: вероятность того, что оба шара будут мерными равна 5/33. Задача №8. Имеются три одинаковые на вид урны: в первой урне находятся два белых и один черный шар, во второй - три белых и один черный шар, в третьей - один белый и один чёрный. Некто выбирает одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что шар белый. Решение. Рассмотрим три гипотезы: Н1 - выбор первой урны, Н2 выбор второй урны, Н3 - выбор третьей урны и событие А - появление бе- 150 лого шара. Так как гипотезы (по условию задачи) равновозможны, то Р(Н1)=Р(Н2)=Р(Н3)=1/3. Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны: Р(А/Н1)=2/3, Р(А/Н2)=3/4, Р(А/Н3)=1/2. По формуле полной вероятности находим: 1 2 1 3 1 1 23 P( A)        . 3 3 3 4 3 2 36 Ответ: вероятность того, что шар будет белым Р (А) =23/36. Задача №9. Генератор УВЧ может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. Около 40% приборов собирается из высококачественных деталей. Если генератор собран из высококачественных деталей, его надежность (вероятность безотказной работы) за время t равна 0,95; если из деталей обычного качества - его надежность равна 0,7. Генератор испытывался в течение времени t и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей. Решение. Возможны две гипотезы: Н1 - прибор собран из высококачественных деталей, Н2 - прибор собран из деталей обычного качества. Вероятность этих гипотез до опыта: Р(Н1) = 0,4; Р(Н2) = 0,6. В результате опыта наблюдается событие А - прибор работал безотказно в течение времени t. Условная вероятность этого события при гипотезах Н 1 и Н2 равны: Р(А/Н1 )=0,95; Р(А/Н2 )=0,7 Используя формулу Байеса, находим: 0,4  0,95 P( H 1 / A)   0,475 0,4  0,95  0,6  0,7 Ответ: вероятность того, что генератор собран из высококачественных деталей равна 0,475 Задача № 10. Вероятность изготовления нестандартного разового шприца равна 0,05. Найти вероятность того, что из 5 взятых наудачу шприцев 4 будут стандартные. Решение. Вероятность того, что наудачу взятые шприцы будут стандартные, есть р. Очевидно, р= 1 - 0,05 = 0,95, тогда q = 1 — р = 1 - 0,95 = 0,05. Учитывая, что m = 5, а n = 4, используя формулу Бернулли, получим: Pm (n)  C mn p n q m  n или Pm (n)  C54 0,95 4  0,05 54  0,2036. Ответ: вероятность того, что из 5 взятых шприцев 4 будут стандартные Pn (m) = 0,2036 УПРАЖНЕНИЯ №1. На книжной полке в случайном порядке стоит энциклопедический справочник, состоящий из 5 томов. Какова вероятность того, что хотя бы один из томов этого справочника стоит не на своем месте? Ответ: 119/120 151 №2. Среди 17 студентов, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 4 девушки. Ответ:  0,302 №3. В некоторую больницу поступают пациенты с четырьмя видами болезней. Многолетние наблюдения показывают, что этим группам заболеваний соответствуют вероятности: 0,1; 0,4; 0,3; 0,2. Для лечения заболеваний с вероятностью 0, 1 и 0,2 необходимо переливание крови. Какое количество больных следует обеспечить кровью, если в течение месяца поступило 1000 больных? Ответ: 300. №4. Исходя из многолетних наблюдений, вызов врача в некоторый дом оценивается вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что из 5 вызовов врача 2 вызова будут в указанный дом. Ответ: 0,336. №5. При обследовании пациентов в результате измерения артериального давления врач должен поднять давление в сфигмоманометре до 220 мм рт. ст. В результате наличия слабых мест в манометре, манжете и в выпускном клапане сфигмоманометр при первом подъеме давления может выйти из строя с вероятностью 0,4; при втором - с вероятностью 0,5 и при третьем - 0,7. Для вывода сфигмоманометра из строя заведомо известно, что достаточно трех поднятий давления до указанного предела. При измерении давления у первого пациента сфигмоманометр выходит из строя с вероятностью 0,2, при однократном поднятии давления. У второго пациента с вероятностью 0,6 при двухкратном поднятии давления. Найти вероятность того, что сфигмоманометр выйдет из строя при измерении давления у третьего пациента в результате трехкратного поднятия давления до указанного предела. Ответ: 0,458. №6. Два студента независимо один от другого должны определить концентрацию сахара в биологической жидкости с помощью рефрактометра. На выполнение этого задания каждый из них получил по одному допуску. Вероятность провести исследование у первого студента равна 0,8, для второго 0,4. Преподаватель зарегистрировал один приход. Найти вероятность того, что исследование провел первый студент. Ответ: 6/7. №7. Студент Петров знает не все экзаменационные билеты. Что для него выгоднее: отвечать первым или вторым? Число билетов 30, из них Петров знает 25. Ответ: подумайте! №8. Появление колонии микроорганизмов данного вида в определенных условиях оценивается вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что в 6 пробах данная колония микроорганизмов появится четыре раза. 152 ЗАНЯТИЕ № 3 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ. § 3.1. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. В теории вероятностей и в математической статистике приходится оперировать представлением о случайной величине, которая является одним из основных понятий в указанных разделах математики. Величина, которая в результате опыта может принимать различные числовые значения с определенной вероятностью, называется случайной. Примерами случайных величин являются: - число студентов, присутствующих на лекции; - число вызовов, поступивших на станцию скорой помощи за сутки; - число детей, родившихся в городе за прошедшие сутки, и другие случайные величины. Во всех трех приведенных примерах случайные величины могут принимать отдельные, изолированные значения, которые можно заранее перечислить. Эти значения: 0,1,2,3 ... Случайные величины, принимающие только отдельные друг от друга (изолированные значения, которые заранее можно перечислить), называются прерывными или дискретными случайными величинами. Существуют случайные величины другого вида, например: - вес наугад взятого зерна пшеницы; - температура человека, болеющего гриппом; - давление атмосферы на заданном уровне; - количество энергии, выделяемое биологическим объектом за сутки и т.д. Возможные значения таких случайных величин не отделены друг от друга. Они непрерывно заполняют некоторый промежуток, который иногда имеет резко выраженные границы, но чаще - неопределенные, расплывчатые границы. Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называют непрерывными случайными величинами. Можно сказать, что случайные величины, которые принимают непрерывный ряд значений, называются непрерывными. Совокупность непрерывных величин образует собой непрерывное множество или континуум. Изучая процессы, связанные со случайными явлениями, приходится встречаться и с так называемыми случайными величинами. Например, при определении вязкости жидкости методом Стокса студенту приходится измерять микрометром диаметр шарика в различных диаметральных точках и при этом получать результаты в виде следующих цифр: 2,85; 2,90; 2.79; 2,81 ... в силу, например, неабсолютной сферичности шарика. Результаты измерений можно 153 считать значениями случайной величины, с вероятностями соответственно Р1, Р2, Р3,Р4… Для задания случайной величины нужно указать не только ее возможное значение, но и вероятность, с которой она их принимает. Разнообразие случайных величин очень велико хотя бы потому, что множество принимаемых ими значений может быть конечным, счетным, т.е. таким, что все значения можно перенумеровать с помощью последовательных целых чисел, заполняющих целый отрезок, интервал и т.д. Для того чтобы задавать случайные величины, и притом задавать их единым способом, в теории вероятностей введено понятие функции распределения. Вероятность появления случайной величины в малом интервале значений последней от х до х +  х зависит от выбранного значения х, т.е. она есть функция f(x). Чем шире интервал  х, тем вероятность будет больше, так как с увеличением ширины интервала пропорционально возрастает и возможность появления события величины х. Следовательно, вероятность может быть представлена как f(x)  x. Переходя к пределу, когда  х  0, мы можем представить вероятность dP появления события случайной величины в интервале от х до x+dx в виде: dP  f ( x)dx (3.1) отсюда f ( x)  dP dx (3.2) Из уравнения (3.2) видно, что функция f(x) имеет смысл вероятности, отнесенной к единичному интервалу. Из физических соображений функцию f(x) часто называют плотностью вероятности или статистическим весом. Вероятность появления случайной величины в определенном объеме пространства, т.е. когда последняя может быть заключена в интервалах, например, декартовой системы координат, от х до x+dx, от у до y+dy, от z до z+dz соответственно, будет определяться выражением: dP=f(x,y,z)dx dy dz (3.3) Поскольку элементарный объем dv=dx dy dz, следовательно, уравнениe (3.3.) можно представить в виде: dP  f ( x, y, z )d v (3.4) отсюда f ( x, y , z )  dP d (3.5) Из выражения (5) следует, что функция f(x, у, z) имеет смысл вероятности отнесенной к единице объема, т.е. смысловая нагрузка 154 плотности вероятности может несколько меняться в зависимости от поставленной задачи. Иногда функцию f(x) называют также дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения величин Х. f(x) а) б) x Рис. 3.1. Термины "плотность распределения", "плотность вероятности" становятся особенно наглядными при пользовании механической интерпретацией распределения. В этой интерпретации функция f(x) буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс, так называемую "линейную плотность". Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 3.1, а). Величина f(x)dx называется элементом вероятности. Геометрически это есть площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx (рис. 3.1, б). Вероятность попадания величины X на отрезок от А до В равна сумме элементов вероятности на всем этом участке (рис. 3.1, б), т.е. интегралу p( A  X  B)  B A  f ( x)dx (3.6) введем обозначение: f ( x)  F ( x) (3.7) Формула (3.7) выражает плотность распределения через функцию распределения F(x) случайной величины X: F ( x)  P( X  x)  P(  X  x) (3.8) 155 Функцию распределения F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Из уравнения (3.8) следует, что интегральная функция распределения F(x) определяет для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X принимает значение меньше х. Выразим функцию распределения через плотность вероятности: x F ( x)   f ( x)dx (3.9)  Геометрически F(x) есть ни что иное, как площадь кривой распределения, лежащая левее точки х (рис. 3.1 б). Функция распределения F(x) как всякая вероятность, есть величина безразмерная. Размерность плотности распределения f(x), как это видно из выражений (3.2) и (3.5), обратна размерности случайной величины. Необходимо отметить, что в основном задача статистики сводится к отысканию статистического распределения той или иной случайной величины. По мере изучения математической статистики все в большей мере должна выясняться задача нахождения распределения для достаточно широкого круга систем. Условие нормировки. Пусть дискретная случайная величина может иметь ряд различных значений А1, А2, ...An, которые появляются с вероятностями Р1, Р2, ... Рn. Тогда по аксиоме объединения вероятностей появление любого (безразлично какого) значения, из указанных выше, равна сумме всей вероятности, т.е. достоверности. Следовательно, n P i i 1 1 (3.10) Выражение (3.10) носит название условия нормировки. Если дискретная величина может принимать счетное множество значений с различными вероятностями при бесконечном числе испытаний, то условие нормировки принимает вид:  P  i 1 (3.11) Для непрерывной величины условия нормировки изменяются. Вероятность появления случайной величины в малом интервале значений координаты х - определяется уравнением (3.1). Если случайная величина лежит в интервале от: x1 до х2, то условие нормировки, как предел суммы всех вероятностей, когда dP  0, может быть представлено интегралом: P x2  f ( x)dx  1 (3.12) x1 Когда случайная величина изменяется в бесконечных пределах, то условие нормировки примет вид: 156   f ( x)dx  1 (3.12a)  Во всех рассмотренных случаях условие нормировки напоминает нам, что сумма всех вероятностей всегда равна единице. Свойства интегральной функции распределения. 1.Функция F(x) есть неубывающая функция своего аргумента х ,т.е. F ( x2 )  F ( x1 ), x2  x1 2.На концах интервала возможных значений х функция F(x) принимает значения 0 и 1, например, если концы интервала а и b (а < b), то F(a) = 0, F(b)=l; Заметим, что функция распределения F(x) является непрерывной и дифференцируемой только в случае если х будет непрерывной случайной величиной. Свойства дифференциальной функции распределения. 1.Функция f(х) неотрицательна, т.е.f(х)  0.  2.Площадь под кривой f(x) равна единице, т.е.  f ( x)dx  1   3. Определение F(x) через f(x): F ( x)   f ( x)dx  § 3.2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию, а указание этой функции полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения. Во многих практических вопросах нет необходимости характеризовать случайную величину досконально, а достаточно бывает указать только отдельные числовые параметры, до некоторой степени характеризующие существенные черты распределения случайной величины. Например, среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины, и какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего. Характеристики, назначение которых заключается в том, чтобы с их использованием выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины. 157 Характеристики положения. Среди числовых характеристик случайных величин нужно прежде всего отметить те, которые характеризуют положение случайной величины на числовой оси, т.е. указывают некоторое среднее, около которого группируются все возможные значения случайной величины. К таким характеристикам относятся математическое ожидание, мода и медиана. Из характеристик положения в теории вероятностей важнейшую роль играет математическое ожидание случайной величины, которое иногда называют просто средним значением случайной величины. Рассмотрим дискретную случайную величину X, имеющую возможные значения x1 , x2 ,...xn вероятности которых равны Pl,P2...Рn. Для определения характеристики точки положения воспользуемся так называемым "средним взвешенным" из значений xi причем каждое значение хi при осреднении должно учитываться с "весом", пропорциональным вероятности этого значения. Таким образом, среднее значение случайной величины X, которое обозначим символом M[X], будет определяться выражением: n x P  x 2 P2  ...x n Pn M[X ]  1 1  P1  P2  ...Pn x P i 1 n i  Pi i , (3.13) i 1 n т.к. P i 1 i  1, следовательно, Выражение (3.13) и называется математическим ожиданием случайной величины (центр распределения случайной величины). Таким образом, математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений. Допустим, что при большом количестве п испытаний дискретная случайная величина X принимает значения x1 , x 2 ,...x n соответственно m1 , m2 ,...mn раз. Тогда среднее значение случайной величины можно определить следующей формулой: m1 x1  m2 x2  ...mn xn m1 m m  x1  2 x2  ...  n xn (3.14) n n n n m1 m2 mn , ,... Если п велико, то относительные частоты приблизительно n n n равны вероятностям Р1, Р2, ..., Рn появления случайных величин x1, x2,..., xn, что позволяет сделать заключение: при больших значениях числа п среднее значение x случайной величины мало отличается от математического ожидания M[X]. X 158 Между М[Х] и X такая же связь, как между математической вероятностью и частотой события. Формула (3.13) для математического ожидания соответствует случаю дискретной случайной величины. Для непрерывной случайной величины X математическое ожидание выражается уже не суммой, а интегралом:  M[X ]   xf ( x)dx (3.15)  где f(х) плотность распределения величины X. Формула (3.15) получается из формулы (3.13), если в ней заменить отдельные значения xi непрерывно изменяющимся параметром х, соответствующие вероятности Pi - элементом вероятности f(x)dx, а конечную сумму - интегралом. Математическое ожидание обладает следующими свойствами: 1.Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной, т.е. М[С]=С 2.Постоянный множитель к можно вынести за знак математического ожидания, т.е. M[kX]=kM[X] 3.Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий, т.е. M[X±Y]=M[X]±M[Y] 4.Математическое ожидание х произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M[XּY]=M[X]ּM[Y]. 5.Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания всегда равно нулю, т.е. М[Х-М[Х]]=0 6. Математическое ожидание числа появлений события X в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании, т.е. М[Х]=nР. f(x) а) б) M0 x Рис. 3.2. 159 Кроме важнейшей из характеристик положения - математического ожидания, на практике применяются и другие характеристики положения случайной величины, в частности мода и медиана. Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Условно моду обозначают символом Мо (рис. 3.2 а) и записывают следующим образом: M0[X]=Xi(Pi max) Термин "наиболее вероятное значение",строго говоря, приемлем только к дискретным величинам. Для непрерывных величин модой является то значение, в котором плотность вероятности достигает максимального значения. Для непрерывной случайной величины мода определяется по формуле: df(x)/ax = 0 Медианой случайной величины X называется такое ее значение Me, для которого р(Х  Ме)=р(Х>Ме) или F{Me[X]}=0,5, т.е. равновероятны. Геометрически медиана - это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам (рис.2 б). В случае симметричной кривой распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой. Медианой обычно пользуются только в том случае, когда проводится анализ непрерывных случайных величин. Характеристики разброса. Дисперсия (D) - это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения: для дискретной случайной величины n D[ X ]   ( xi  x) 2 Pi i 1 (3.16) для непрерывной случайной величины  D[ X ]   ( x  x) 2  f ( x)dx (3.17) Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания. Само слово "дисперсия" означает "рассеивание". Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Для практических целей удобнее использовать характеристику разброса, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученную величину называют средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением случайной величины X, которое обозначают  [Х] или  . Таким образом, стандартное отклонение для серии из п измерений можно представить в виде:  [ X ]  D[ X ] 160 (3.18) Теперь представим, что данные случайной величины набираются сериями по п измерений в каждой, причем число таких серий очень велико. В каждой серии имеется свое собственное  [Х], и совокупность всех таких средних характеризуется своим распределением со среднеквадратичным отклонением  т. Величину  т называют среднеквадратичным отклонением среднего. Величины  и <  т связаны простым соотношением: m   (3.19) n т.е. среднеквадратичное отклонение среднего из n измерений в среднеквадратичного отклонения отдельного измерения. n меньше Моменты. Характеристики формы. Кроме характеристик положения, используемых в теории вероятностей и в математической статистике, употребляются и другие характеристики, которые описывают то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик используются так называемые моменты. Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статические моменты, моменты инерции и т.д.). Для описания основных свойств распределения случайной величины используются те же приемы, что и в механике. Чаще всего на практике применяют моменты двух видов: начальные и центральные. Начальным моментом s-гo порядка дискретной случайной величины X называется сумма вида: n  [ X ]   xiS Pi (3.20) i 1 для непрерывной случайной величины [ X ]   x S f ( x)dx (3.21)  Отклонение случайной величины X от ее математического ожидания XS = Х- Х называют центрированной случайной величиной. Центрирование случайной величины равносильно переносу начала координат в среднюю (центральную) точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию. Нетрудно убедиться, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю: n n n i 1 i 1 i 1 M [ X S ]  M [ x  x]   ( xi  х) Pi   xi Pi  x  Pi  X  X  0 (3.22) Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов. Таким образом, центральным моментом порядка S случайной величины X называется математическое ожидание S-й степени соответствующей центрированной случайной величины: 161 М[Х] = M[XS] = М[(х - x )s] Для дискретной случайной величины центральный момент имеет вид: n M   ( xi  x) S Pi i 1 (3.23) а для непрерывной случайной величины:  M   ( x  x) S f ( x)dx (3.24)  Таким образом, в зависимости от значения S мы получаем: при S=l первый центральный момент Mi=0; при S=2 второй центральный момент, который называется дисперсией случайной величины M2=D[X]; при S=3 третий центральный момент, который служит для характеристики асимметрии распределения, определяемый выражениями: для дискретной случайной величины n M 3   ( xi  x) 3 Pi i 1 (3.25) для непрерывной  M3   ( x  x) 3 f ( x)dx (3.26)  при S=4 четвертый центральный момент, используемый для характеристики крутизны распределения. Момент М4 вычисляют для дискретной случайной величины по формуле: n M 4   ( xi  x) 4 Pi i 1 (3.27) для непрерывного распределения он равен  M4   ( x  x) 4 f ( x)dx (3.28)  К характеристикам формы относятся: 1.Коэффициент асимметрии (Sk), который характеризует степень не симметричности (скошенности) распределения. Он определяется через третий центральный момент М3 по формуле: M S k  33 (3.29)  Для всех симметричных распределений Sk=0. При Sk>0 мода распределения находится слева, а при Sk<0 - справа от математического ожидания. 2.Эксцесс(&)- служит характеристикой крутости, т.е. островершинности или плосковершинности распределения. Его определяют через четвертый центральный момент М4 по формуле: 162 x  M4 4 3 (3.30) При всех  x >0 распределение более острое, чем нормальное; при  x <0 распределение менее острое, чем нормальное. Пример 1. Беспроигрышная лотерея на 200 выигрышей состоит из одного выигрыша на 100 руб., 5 выигрышей по 20 руб., 10 выигрышей по 5 руб., 184 выигрыша по 2 руб. Определить справедливую цену одного билета. Решение. Определим вероятность каждого выигрыша: вероятность выигрыша 100 руб. 1 P1  200 вероятность выигрыша 20 руб. 5 1 P2   200 40 вероятность выигрыша 5 руб. 10 1 P3   200 20 вероятность выигрыша 2 руб. 184 23 P4   200 25 Справедливая цена билета равна математическому ожиданию или среднему значению, т.е. M [ X ]  x1 P1  x2 P2  x3 P3  x4 P4 Подставив численные значения в последнее выражение, получим: M [ X ]  100 1 1 1 23  20 5 2  3,09 руб 200 40 10 25 Ответ: справедливая цена билета 3,09 руб. Пример 2. Производится 3 независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Случайная величина X число попаданий. Определить характеристики величины X - математическое ожидание, дисперсию, с.к.о., асимметрию. Решение. Ряд распределения случайной величины X имеет вид: xi Pi 0 0,216 1 0,432 2 0,288 Вычислим числовые характеристики величины Х: M [ X ]  0 0,16+1 0,432+2 0,288+3 0,0,064=1,2 163 3 0,064 D[ X ]  (0  1,2) 2 0,216  (1  1,2) 2 0,432  (2  1,2) 2 0,288  (3  1,2) 2 0,064  0,72  [ X ]  D[ X ]  0,72  0,848 M 3  (0  1,2) 3 0,216  (1  1,2) 3 0,432  (2  1,2) 3 0,288  (3  1,2) 3 0,064  0,144 Sk  M3  3  0,144  0,236 0,848 3 УПРАЖНЕНИЯ. № 1. Производится один опыт, в результате которого может появиться или не появиться событие А, вероятность которого равна Р. Рассматривается случайная величина X - число появления события А. Определить ее характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение (с.к.о.). № 2. Медсестра обслуживает 4 больных. Вероятность того, что в течение часа не потребует внимания медсестры первый больной равна 0,9, второй-0,8, третий - 0,75, четвертый - 0,7. Определить математическое ожидание, диспепсию и с.к.о. числа больных, которые не потребуют внимания медсестры в течение часа. № 3. В город N в течение недели прилетает по 1 самолету из трех различных городов и доставляют лекарственные препараты. Вероятность доставки необходимого лекарственного препарата каждым из указанных рейсов равна 0,35. Случайная величина X - число привозов необходимого препарата в течение недели. Определить характеристики величины X математическое ожидание, дисперсию, с.к.о. и асимметрию. ЗАНЯТИЕ № 4. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. § 4.1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. Математические законы теории вероятностей не являются беспредметными абстракциями, лишенными физического содержания. Они представляют собой математическое выражение реальных закономерностей фактически существующих в массовых случайных явлениях природы. Каждое исследование случайных явлений, выполняемое методами теории вероятностей, прямо или косвенно опирается на экспериментальные данные. Оперируя такими понятиями как события и их вероятности, случайные величины, их законы распределения и числовые характеристики, теория вероятностей дает возможность теоретическим путем определить вероятность одних событий через вероятности других. Такие косвенные методы позволяют значительно экономить время и средства, затрачиваемые на эксперимент, но отнюдь не исключают самого эксперимента. Каждое 164 исследование в области случайных явлений, как бы отвлеченно оно ни было, своими корнями уходит в эксперимент. Целью каждой науки является, в конечном счете, познание некоторых общих закономерностей, позволяющих предвидеть течение явлений и выбирать рациональные пути поведения в типичных ситуациях. Об этом хорошо выразился Д.И. Менделеев, сказав, что у науки есть лишь две главные конечные цели - предвидение и польза. Первые работы по математической статистике начались в 18 веке, они были связаны со статистикой народонаселения и с вопросами страхования. В конце 18 века началась серьезная работа по теории ошибок измерений, приведшая в начале 19 века к созданию далеко продвинувших ее основ. Биологические исследования послужили в 19 веке толчком для постановки многочисленных вопросов, приведших в начале 20-го столетия к выделению математической статистики в особую науку, в становлении которой активное участие принимали видные зарубежные ученые (Б.Паскаль, Ферма, Х.Гюйгенс, Я.Бернулли, К.Гаусс и др.) и наши соотечественники (П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.Н. Колмагоров, Е.Е.Слуцкий, Б.В. Гнеденко и др.) Сейчас математическая статистика уже не та, что была 50-60 лет назад, и ее прогресс не прекращается. Хотелось бы обратить особое внимание на следующий момент, о котором писал А. Бредфорд Хилл в предисловии к своей книге "Основы медицинской статистики" (М. Медгиз.-1958.-с.9): "Статистика представляет собой один из немногих примеров, в которых употребление математических методов или злоупотребление ими может вызвать сильную эмоциональную реакцию в нематематических умах. Это объясняется тем, что статистики при разрешении исследуемых ими проблем пользуются непонятными врачам приемами исследования. Досадно, если изучая проблему методами, освоение которых потребовало много труда, мы узнаем, что наши заключения ставит под сомнение или даже отвергает кто-либо, кто не может самостоятельно воспроизвести наши наблюдения. Для того, чтобы признать, что вина лежит в нас самих требуется больше хладнокровия, чем у нас есть". Из изложенного выше следует, что к математической статистике необходимо подходить серьезно и с соответствующей подготовкой, поскольку она разрабатывает методы, позволяющие по результатам испытаний делать определенные выводы. Таким образом, разработка методов регистрации, описания и анализ экспериментальных данных, полученных в результате наблюдения массовых случайных явлений, составляет предмет специальной науки, называемой математической статистикой. Все задачи математической статистики касаются вопросов обработки наблюдений над массовыми случайными явлениями, но в зависимости от характера решаемого практического вопроса. Типичными практическими задачами математической статистики являются: 1. Определение закона распределения случайной величины (или системы 165 случайных величин) по статистическим данным. 2.Проверка правдоподобия гипотез. 3.Нахождение неизвестных параметров распределения. § 4.2. ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ И ВЫБОРКА. В теории вероятностей и математической статистке при рассмотрении вопроса о статистических аналогиях для характеристики случайных величин часто используется вместо понятия "статистическое среднее" термин "выборочное среднее", а статистическая дисперсия именуется выборочной дисперсией и т.д. Происхождение этих терминов следующее. В статистке, особенно в медицинской и биологической, часто приходится исследовать распределение того или иного признака для весьма большой совокупности индивидуумов, образующих статистический коллектив. Таким признаком может быть, например, содержание эритроцитов в крови, систолическое и диастолическое давление крови, вес или размер какого-либо органа и т.д. Данный признак является случайной величиной, значение которой от индивидуума к индивидууму меняется. Однако, для того, чтобы составить представление о распределении этой случайной величины или о ее основных характеристиках, нет необходимости обследовать каждый индивидуум данной обширной совокупности (множества), а можно обследовать некоторую выборку (подмножество) достаточно большого объема для того, чтобы в ней были выделены существенные признаки (черты) изучаемого распределения. Та обширная совокупность элементов, из которой производится выборка, в математической статистике носит название генеральной совокупности. При этом предполагается, что число элементов (индивидуумов) N в генеральной совокупности весьма велико, а число элементов п в выборке ограничено. При достаточно большом N оказывается, что свойства выборочных (статистических) распределений и характеристик практически не зависит от N. Отсюда, естественно, вытекает математическая идеализация, состоящая в том, что генеральная совокупность, из которой сделана выборка, имеет бесконечный объем. При этом отличают точные характеристики (закон распределения), математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение, относящиеся к генеральной совокупности от аналогичных им "выборочных" характеристик. Выборочные характеристики отличаются от соответствующих характеристик генеральной совокупности за счет ограниченного объема выборки п. При неограниченном увеличении п естественно, все выборочные характеристики приближаются (сходятся по вероятности) к соответствующим характеристикам генеральной совокупности. Из изложенного ясно, что выборка с определенной степенью точности характеризует генеральную совокупность. 166 § 4.3. РЯДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Предположим, что изучается некоторая случайная величина X, закон распределения которой в точности неизвестен, и требуется определить этот закон из опыта или проверить экспериментально гипотезу о том, что величина X подчиняется тому или иному закону. С этой целью над случайной величиной X производится ряд независимых опытов. В каждом из этих опытов случайная величина X принимает определенное значение. Совокупность наблюдаемых значений величины и представляет собой первичный статистический материал, подлежащий обработке, осмыслению и научному анализу. Такая совокупность называется простой статистической совокупностью или простым статистическим рядом. Обычно простой статистический ряд оформляется в виде таблицы, в первом столбце которой стоит номер опыта, и во втором - наблюдаемое значение случайное величины X (таблица 1). Простой статистический ряд представляет собой первичную форму записи статистического материала и может быть обработана различными способами. Таблица 4.1 № п/п хi 1 x1 … … 2 x2 N xn Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы в точности укажем, какой вероятностью обладает каждое из событий. Этим мы установим так называемый закон распределения случайной величины. Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называют законом распределения случайной величины. Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности (таблица 2): Таблица 4.2 xi x1 x2 … xn Pi P1 P2 … Pn Такую таблицу называют рядом распределения случайной величины X. Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто используют графическое изображение. При этом по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат - вероятность этих значений. Полученные точки соединяют отрезками прямых. 167 pi p1 xi p2 p3 x2 x3 p4 p5 x4 x5 p6 x6 p7 x7 xi Рис. 4.1. Многоугольник распределения. Такая фигура называется многоугольником распределения или полигоном (рис.4.1). Многоугольник распределения, также как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину, и является одной из форм закона распределения. При большом числе наблюдений (порядка сотен) простой статистический ряд перестает быть удобной формой записи статистического материала и становится громоздким и мало наглядным. Для придания ему большей компактности и наглядности статистический материал подвергается дополнительной обработке и строится статистический ряд. Предположим, что результаты наблюдений над непрерывной случайной величиной X, оформлены в виде простого статистического ряда. Разделим весь диапазон полученных значений случайной величины Х на интервалы или разряды, число которых определяется выражением: N n (4.1) де п - число полных испытаний (или измерений). Ширина или шаг хi , каждого интервала определяется соотношением: x  хi max xi max  xi min N (4.2) xi min - границы всего диапазона случайной величины Х. Допустим что xi min = x i , тогда где и 168 x 2  x1  x, x 3  x 2  x , (4.3) ..................... x n  x n 1  x, Следовательно, границы каждого интервала (разряда) находятся как xi  xi 1  xi (4.4) Среднее значение случайной величины в каждом интервале (разряде) будет определяться выражением:  xi  Подсчитаем количество значений xi  xi 1 2 (4.5) mi , приходящихся на каждый i разряд. Это число разделим на общее число наблюдений (измерений) и найдем статистическую вероятность, соответствующую данному разряду: Pi*  mi n (4.6) Сумма статистической вероятности всех разрядов, очевидно, должна быть равна единице. Построим таблицу, в которой приведены разряды в порядке их расположения вдоль оси абсцисс и соответствующие им частоты. Эта таблица называется статистическим рядом. Таблица 4.3 xi x1  x2  x1 x2  x3  x2 Pi P1* P2* xi  xi  xi 1 … … Pi * Pn* p i* xi x x Рис. 4.2. Гистограмма случайной величины х. 169 Поскольку случайные величины в нем расположены по возрастающей линии, то такой ряд часто называют статистическим ранжированным рядом. Для большей наглядности статистический ряд часто оформляется в виде так называемой гистограммы (Рис. 4.2). Гистограмма строится следующим образом. По оси абсцисс откладываются разряды, и на каждом основании строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного разряда. Для построения гистограммы нужно частоту (статистическую вероятность) каждого разряда разделить на его длину и полученное число взять в качестве высоты прямоугольника. В случае равных по длине разрядов высота прямоугольников пропорциональна соответствующим частотам. Из способа построения гистограммы следует, что полная ее площадь равна единице. § 4.4. ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (ЗАКОН ГАУССА) Закон нормального распределения, часто называемый законом Гаусса, имеет весьма важное значение в теории вероятностей и в математической статистике и занимает среди других законов распределения особое положение. Главная особенность закона Гаусса состоит в том, что этот закон распределения наиболее часто встречается на практике; и в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях. Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида: f ( x)  Кривая распределения по 1  2 закону  e ( x x )2 2 2 симметричный 1 холмообразный вид (Рис 4.3). Максимальная ордината f ( x) max   2 соответствует точке х = x . 170 Гаусса (4.7) имеет f(x) 1  2  1 3  2 х x Рис. 4.3 Плотность распределения по закону Гаусса По мере удаления от указанной точки плотность распределения при х   асимптотически приближается к оси абсцисс. Выясним смысл числовых характеристик х и  , входящих в уравнение (4.7). Докажем, что в указанном уравнении величина х есть математическое ожидание, а величина а - среднее квадратичное отклонение случайной величины X. Используя выражение (4.7) можно записать:  M[X ]   xf ( x)dx    1  2   xe  ( x x)2 2 2 dx (4.8)  Введем новую переменную xx  2 t (4.9) получим:   t 2  2 x M[X ]  (  2 t  x ) e dt  te dt       1 t 2  t  e dt 2 (4.10)  Нетрудно убедиться, что первый интеграл в уравнении (10) равен нулю, а второй представляет собой интеграл Эйлера-Пуассона: 171   t e dt  2 e   dt   t 2 2  (4.11) 0 Следовательно, М[Х] = х , т.е. величина х представляет собой математическое ожидание случайной величины X. Величина дисперсии случайной величины X определяется выражением: D[ X ]   1  2  ( x  x) 2  e ( x x)2 2 2 dx (4.12)  Введем новую переменную (4.9), получим: D[ X ]  2 2   2 t  t  e  dt 2 (4.13)  Интегрируя по частям, придем к результату: 2   2   t 2   t 2  t 2 D[ X ]  t  2te dt  |    e dt   te (4.14)       Первое слагаемое в уравнении (4.14), находящееся в квадратных скобках, равно нулю, т.к. e при t   убывает быстрее, чем возрастает любая степень t. Второе слагаемое, как это следует из выражения (4.11), равно  , таким образом, из уравнения (4.14) следует, что t 2 D[X] =  (4.15) Следовательно, параметр  в формуле (4.7) является средним квадратичным отклонением случайной величины X. Параметр  характеризует форму кривой распределения. Так как площадь кривой распределения всегда должна оставаться равной единице, то при увеличении  кривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс (рис. 4.3) Из выражения (4.7) видно, что центром симметрии распределения является центр рассеивания x . Это ясно из того, что при изменении знака разности (х - x ) на обратный выражение (4.7) не меняется. Если изменять центр рассеивания x , то кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы. Центр рассеивания характеризует положение распределения на оси абсцисс. Размерность центра рассеивания и параметра  совпадает с размерностью случайной величины X. Для нормального закона в качестве характеристики рассеивания иногда вместо среднего квадратичного отклонения используется мера точности. Мерой точности называется величина, обратно пропорциональная  : 2 h 172 1 2 (4.16) Используя меру точности h, закон нормального распределения можно записать в виде: f ( x)  h  e h 2 ( x x)2 (4.17) Размерность меры точность обратна размерности случайной величины. Используя уравнение (4.7), интегральную функцию распределения случайной величины Х можно представить в виде:  1 ( x  x) 2 F ( x)  exp[  ]dx (4.18) 2 2  2  Интеграл (4.18) не может быть выражен через элементарные функции. Используя интегральную функцию Лапласа x 1 ( x  x) 2  ( x)  (4.19)  exp[  2 2 ]dx 2  выражение (4.18) можно привести к виду: 1 xx F ( x)  [1  ( )] (4.20) 2  Интегральная функция Лапласа нечетная: (k )  (k ) Вероятность, что полученная в измерениях величина х попадает в интервал (a,b) на основании формул (4.18-4.20) равна 1 bx ax P ( a , b )  [ ( )  ( )] 2   Рис. 4.4 173 (4.21) Геометрически выражение (4.21) отражает тот факт, что вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает значения, принадлежащие интервалу (а, b), равна площади криволинейной трапеции ограниченной осью Ох, кривой распределения f(x) и прямыми х=а, х=b. (Рис.4.4). Согласно (4.21), доверительная вероятность того, что случайная величина Х попадает в интервал ( х   , х   ), будет равна: x   x x   x   P( x    x  x   )  ( )  ( )  (1)  (1)  0,6826   или   68,26% . Функция (t )  1  (t ) , а в данном случае (1)  1  (1) определяется по таблице |11|. f(x) х -3  x  2 x  3 x x  Рис. 4.5 «Правила 3  ». x  2 x  3 x Аналогичный расчет показывает, что вероятность нахождения случайной величины в интервале ( x  2 , x  2 ) равна 0,9544 или  =95,44%, соответственно в интервале ( x  3 , x  3 ) вероятность равна 0,9972 или  =99,72%. Анализ показывает, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, практически не отклоняется от центра распределения более чем З  , поскольку вероятность нахождения ее в интервале значений ( х ± 3  ) равно 0,9972=1, т.е. нахождение случайной величины в указанном интервале есть практически достоверное событие. Таким образом, если случайная величина распределена по нормальному закону, то отклонение этой величины от среднего значения по абсолютной величине не превосходит утроенного среднего квадратичного отклонения. Это утверждение известно в статистике как "правило З  " (Рис.4.5) Для определения функции Лапласа А.Е. Шелест предлагает следующее приближенное уравнение: 174 ( x)  1  (1  c1 x  c 2 x 2  c3 x 3  c 4 x 4  c5 x 5  c6 x 6 ) 16 (4.22) где c1  4,986735  10 2 c 4  2,11401  10 2 c 2  3,277626  10 3 c5  3,8004  10 5 c3  4,8891  10 5 c6  5,388  10 6 Используя ЭВМ в режиме непосредственного исполнения, можно быстро вычислить значение функции  (x ). § 4.5 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА. f(x) PГ PC(n=10) PC(n=2) -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 t Выборочные характеристики зависят от числа наблюдений, а следовательно, относятся к величинам случайным, хотя более устойчивым, чем отдельно взятые варианты. Так средняя арифметическая, вычисленная из 15 - 20 наблюдений, не равна средней, вычисленной из 100 или большего числа испытаний. В связи с этим возникает необходимость оценить в каждом конкретном случае, насколько точно определены средние показатели и насколько они отстоят от своего истинного значения, т.е. от соответствующих показателей генеральной совокупности. Этими вопросами занимался английский математик Вильям Госсет, который в 1908 году опубликовал свою работу о распределении под псевдонимом Стьюдент, которое в настоящее время известно как распределение Стьюдента (PC) (Рис. 4.6). Распределение Гаусса (РГ) хорошо описывает отклонение измеряемой величины в эксперименте от истинной при большом количестве повторных измерений. На практике нередко обходятся двумя-тремя измерениями. Результаты образуют очень малую выборку. Нормальное распределение при 175 анализе ошибок здесь уже не пригодно. В этом случае распределение Стьюдента (PC) гораздо лучше описывает получаемые результаты. На основе значений xi полученных при измерении, коэффициент t , n определят случайную величину: x  x x t , n   n (4.23) m  где  -доверительная вероятность, n- число измерений,  среднеквадратичная погрешность. Тогда при нормальном распределении xi плотность распределения вероятности выражается формулой Стьюдента: n ( ) n t 2 2 2 f (t ,n )  (1  ) (4.24) n 1 n 1  n  1( ) 2 где Г(х)- гамма-функция:  ( z )   e t t z 1dt (4.25) 0 Функция f (t ,n ) - четная. Вероятность, что измеряемая величина х попадет в заданный интервал, определяется интегралом: t 2 , n   f (t )dt t1 , n Если указана вероятность того, что истинное значение измеряемой величины х попадает в доверительный интервал, то по количеству измерений можно определить коэффициент Стьюдента t , n : t ,n  xx m  x  n (4.26) Исходя из этого определяют погрешность   t ,n   m n Результат измерений записывают в виде: x  t ,n (4.27) x  x  x  x  x (4.28) с указанной доверительной вероятностью  и числом измерений n. Для нахождения коэффициентов Стьюдента обычно используются таблицы, приведенные в /1.7/. В случае   0,95 и   0,99 А.Е. Шелест /13/ рекомендует для определения t , n следующую аппроксимацию: t ,n  c0  c1 (n  1) 1  c2 (n  1) c3 176 (4.29) В случае 0,95 C 0  1,96 в случае 0,99 C 0  2,576 C1  2,4 C1  5,0 C 2  5,901610 C 2  29,12178 C 3  2,372 C 3  2,591843 Таким образом, по приведенным данным коэффициент Стьюдента достаточно быстро можно определить с использованием ЭВМ в автоматическом режиме. Ниже представлен вид (графический и аналитический) и числовые характеристики основных законов распределения, используемых в задачах обработки и планирования эксперимента. а) РАВНОВЕРОЯТНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (рис. 4.7) f(x)= 0 при х<a 1 ba при a  x  b 0 при х>b ab M [ x]  2 b  a2 D[ x]  12 f(x) f(x) 2 ba 1 ba x x Рис. 4.7 Равновероятный закон распределения Рис. 4.8 Закон распределения Симпсона 177 б) ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИМПСОНА (рис.4.8) 0  4( x  a )   (b  a ) 2 f ( x)    4(b  x )  (b  a ) 2  0 xa при ab 2 ab ax 2 xb ax при при при ab (b  a) 2 M [ x]  D[ x]  2 24 в) ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (рис. 4.9) 0 f ( x)    N 0 exp(  N 0 x) M [ x]  при при x0 0 x 1 N0 D[ x]  1 N 02 f(x) f(x) x Рис. 4.9 Экспоненциальный закон распределения г) ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ  2 0 x  1  x 2 1 f ( x)   b exp( )x 2 f  2 2 ( )  2 M [ 2 ]  x  f при при x Рис. 4.10 Закон распределения 2 x0 x0 a где ( )   -функция 2 D[  2 ]   2  2 f 178 xi (i  1,2,3..n) Примечание: если нормально распределенные независимые случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и единичными дисперсиями, то сумма квадратов этих величин n Х   xi2 распределена по закону  2 с f=n степенями свободы. Если же эти i 1 n величины связаны одним линейным соотношением, например: x i 1 i  nx , то число степеней свободы f=n-1. д) БИНОМИНАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (рис.4.11) 0  f ( x  m)  cnm p m (1  p ) n m 0  при x0 при при 0 xn xn где q- вероятность появления А в одном опыте, P(x=m)- вероятность появления события А ровно m раз в n опытах. D[ x]  nq(1  q) M [ x]  nq P(x=m) x x Рис. 4.11 Биноминальное распределение Рис. 4.12 Закон распределения Пуассона е) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА (рис. 4.12) 0  f ( x)   m  exp(  )  m! M [x]   при при x0 x0 D[x]   179 При большом числе испытаний n и малой вероятности q появления события А для вычисления биноминальных вероятностей можно воспользоваться формулой Пуассона, положив   nq : nq m P( X  m)  exp( nq) при 0  x  n m! §4.6. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПРЯМЫХ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ МАЛОМ ЧИСЛЕ ОПЫТОВ Все измерения, проделанные одним методом и с одинаковой тщательностью, называются равноточечными. Для оценки точности прямых равноточечных измерений необходимо вычислить следующие критерии, перечисленные ниже: 1. Среднее значение случайной величины (выборочное) 1 n x   xi (1) n i 1 2. Дисперсия n D[ x]   (x i 1 i  x) 2 n 1 3. Средняя квадратическая ошибка (стандартное отклонение) n   (x i 1 i  x) 2 n 1 4. Среднеквадратическое отклонение среднего значения  S  n 5. Точность прямого измерения x  t ,n (2) (3) (4)  n (5) 6. Доверительный интервал x  x  x  x  x или x  x  x Задача № 1. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Построить ряд и многоугольник распределения числа выбитых очков. 180 Решение: обозначим Х число выбитых очков. Возможные значения величины Х: x1  0, x2  5, x3  10, x4  15. Вероятность этих значений находим по теореме о повторении опытов (уравнению Бернулли): P1  0,6 3  0,216 P2  c31  0,4  0,6 2  0,432 P3  c32  0,4 2  0,6  0,288 P4  0,4 3  0,064 Ряд распределения имеет вид: 0 5 xi Pi 0,216 0,432 10 0,288 15 0,064 Многоугольник распределения имеет вид: Pi 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 xi 0 5 10 15 Задача № 2. Произведено 500 измерений боковой ошибки наводки при стрельбе с самолета по наземной цели. При этом были получены следующие результаты измерений (в тысячных долях радиана): Ii -4;-3 -3;-2 -2;-1 -1;0 0;1 1;2 2;3 3;4 mi 6 25 72 133 120 88 46 10 Здесь Ii- интервалы значений ошибки наводки; mi- число наблюдений в данном интервале. Определить вероятность каждого интервала и построить статистический ряд и гистограмму для ошибки наводки. Решение: Статистическая вероятность каждого интервала ошибки наводки определим выражение Pi  mi : n 181 6  0,012 500 25 P2   0,050 500 72 P3   0,144 500 133 P4   0,266 500 P1  120  0,240 500 88 P6   0,176 500 46 P7   0,092 500 10 P8   0,020 500 P5  Ряд распределения имеет вид: Ii -4;-3 -3;-3 -2;-1 -1;0 0;1 1;2 2;3 3;4 Pi 0,012 0,050 0,144 0,266 0,240 0,176 0,092 0,020 По результатам статистического ряда гистограмма ошибки наводки будет иметь вид: Р х -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 При построении гистограммы по оси абсцисс откладываются интервалы, и на каждом интервале как на основании строится прямоугольник, площадь которого равна статистической вероятности данного интервала, следовательно, высота прямоугольника должна равняться отношению статистической вероятности интервала к его длине. При единичной длине интервала высота прямоугольника равна численно статистической вероятности. Задача №3. Случайная величина Х подчинена закону распределения, плотность которого задана графически в виде треугольника, показанного на рисунке. Найти выражение для плотности распределения, математическое ожидание, дисперсию, среднее отклонение и асимметрию распределения. 182 f(x) x 0 1 Решение: выражение плотности распределения имеет вид: ax f ( x)   0 при 0  x  1 при x  0 или x 1 Пользуясь свойством плотности распределения запишем: 1  axdx  1 0 отсюда ax 2 2 1 0  1, следовательно, а=2. Математическое ожидание величины Х: 1 mx  M [ X ]   2 x 2 dx  0 2 3 Дисперсию можно определить через второй начальный момент: 1 1 2 0 1 D x   2  m x2  . 18  2  2 2 x 3 dx  , Так как среднее квадратичное отклонение  x  x  Dx , следовательно, 1 3 2 Третий центральный момент М3 определим через третий  3 и второй  2 начальные моменты, используя уравнение: 183 1 135 Коэффициент асимметрии Sk определим выражением: M 3   3  3m x 2  2m x3   P0 P0  P1 P   1 0 P1 P1 P1 УПРАЖНЕНИЯ №1. В таблице, расположенной ниже, приведены данные 1883г. о росте взрослых мужчин в сантиметрах. Пользуясь результатами таблицы, постройте статистический ряд и гистограмму распределения роста мужчин. Определить основные характеристики положения и разброса, а также доверительный интервал в сантиметрах. Коэффициент Стьюдента t  , n при надежности 0,95 принять равным 1,96. Рост, в сантиметрах Число мужчин данного роста 143,5-146,1 2 146,1-148,6 4 148,6-151,1 14 151,1-153,7 41 153,7-156,2 83 156,2-158,8 169 158,8-161,3 394 161,3-163,8 669 163,8-166,4 990 166,4-168,9 1221 168,9-171,5 1329 171,5-174,0 1230 174,0-176,5 1063 176,5-179,1 646 179,1-181,6 392 181,6-184,2 202 184,2-186,7 79 186,7-189,2 32 189,2-191,8 16 191,8-194,3 5 194,3-196,9 2 Всего 8585 №2. В таблице, расположенной ниже, собраны результаты наблюдений над промежутками времени между последовательными прибытиями М.С.П. к месту аварии. За некоторый срок прибыло 185 машин. В 67 случаях длительность между прибытием машин к месту происшествия была меньше 4 минут, а в 43 случаях эта длительность колебалась между 4 и 8 минутами. По данным результатам построить статистический ряд и гистограмму. 184 Определить характеристики положения и разброса. Определить доверительный интервал прибытия М.С.П. Коэффициент Стьюдента t  , n при надежности 0,95 принять равным 1,96. Время 0-4 4-8 8-12 12-16 16-20 20-24 24-28 28-32 Всего между прибытиями М.С.П., в мин. число 67 43 30 18 11 7 5 4 185 М.С.П. №3. Измерение веса xi девочек в возрасте 10 лет дало следующие результаты: Вес 18- 19- 20- 21- 22- 23- 24- 25- 26- 27- 28- 29- Всего девочек, 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 в кг. Число 2 1 6 8 21 20 18 12 3 4 2 3 100 лиц По данным результатам составить статистический ряд и построить гистограмму. Определить характеристики положения и разброса. Определить характеристики положения и разброса. Определить доверительный интервал для веса девочек указанного выше возраста. Коэффициент Стьюдента t , n при надежности 0,95 принять равным 1,98. №4. Непрерывная случайная распределения с плотностью: величина f ( x)  A  e x Х подчинена закону , характер изменения которой показан на рисунке. Найти коэффициент А и определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение, асимметрию и эксцесс величины Х. f(x) x 185 №5. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением 0  F ( x)  ax 2 1  при x0 при при 0  x 1 x 1 Найти коэффициент а и плотность распределения f(x). Найти вероятность попадания величины Х на участке от 0,25 до 0,5. №6. Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью: f ( x)  a cos x f ( x)  0  при при  2 x x   2 и x  2 2 Найти коэффициент а. Построить график плотности распределения f(x) и найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти вероятность попадания величины Х на участке от 0 до  . 4 №7. Случайная величина представлена следующим распределения: x 2 5 7 P 0,1 0,2 0,4 Найти доверительный интервал случайной величины. №8. Случайная величина задана законом распределения: x 1 3 4 5 P 0,1 0,2 0,2 0,4 Найти доверительный интервал случайной величины. законом 10 0,6 7 0,1 №9. Нормальный закон распределения задан в форме уравнения: f ( x)  1 e  ( x a )2 2 2 2 Какова вероятность того, что случайная величина принимает значения x  a? x  a? №10. В нормальном законе распределения а=2,   4. Чему равно х, если вероятность того, что случайная величина принимает значения меньше х, 3 4 равна . 186 ЗАНЯТИЕ № 5. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ § 5.1. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И ИХ ВИДЫ. Различные явления общественной жизни, изучаемые статистикой, находятся в непрерывном изменении и развитии. С течением времени от месяца к месяцу, от года к году - изменяется численность населения и его состав, объем производимой продукции, уровень производительности труда и уровень жизни населения. К тому же правильно оценить действительность протекания физических, химических, физико-химических, биологических, технических и технологических процессов оказывается возможным путем анализа основных параметров и характеристик их изменения во времени. Некоторые аспекты этих проблем решаются путем анализа временных рядов, которые часто называются рядами динамики. Исходным моментом характеристики динамики всякого явления является существующий в данное время уровень, т.е. фактор, оказывающий влияние на изучаемый признак. Множество измерений некоторой величины, т.е. ее уровня, которое упорядочено во времени, называют временным или динамическим рядом. В статистике временным или динамическим рядом называют ряд чисел, характеризующих изменение некоторого параметра в рассматриваемом явлении во времени. В результате статистического наблюдения и подсчета итогов (уровня) получаются абсолютные показатели двух видов. Один из них характеризует состояние явления на тот или иной момент времени, т.е. наличие каких-либо единиц по состоянию на определенный момент времени. К таким показателям относится численность населения, число студентов в вузе, число инвалидов в крае и т.д. Такие показатели называют моментными. Другие показатели характеризуют итоги (уровень) какого-либо процесса за тот или иной период времени (сутки, месяц, год и т.д.). Такими показателями являются, например, число родившихся, число умерших, число заразившихся СПИДом и т.д. Так как эти показатели можно определить только за какой-то период (интервал) времени, поэтому их называют периодическими или интервальными. В соответствии с различным смыслом показателей в статистике различают два основных вида рядов динамики: моментальные и периодические или интервальные. Так, в таблице 5.1 даны сведения о числе работников, занятых в системе аптекоуправления по республике N на 30 сентября каждого года. Таблица 5.1. Динамика числа работников, занятых в системе аптекоуправления по республике N на 30 сентября каждого года. t, год 1988 1989 1990 1992 1993 1994 1995 Х(t),о 20 20 22 28 32 35 36 187 Сведения о численности работающих имеют смысл только как данные на определенный момент времени (критический момент), которыми, как правило, является день представления сведений. Таким образом, временной ряд, представленный в таблице 5.1- моментальный. В таблице 5.2. показана динамика потребления реланиума в клиниках города N. Таблица 5.2. Динамика потребления реланиума в клиниках города N. t, год 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Х(t),тыс. 37 40 44 46 48 50 53 ампул Данные, представленные в таблице 5.2., называются интервальным или периодическим рядом. По характеру проявления временные ряды делят на непрерывные и дискретные. Непрерывным называют временной ряд, значение которого определено в любой произвольный момент времени. К непрерывным временным рядам относятся, например, запись электрокардиограммы; кривая атмосферного давления, вычерчиваемая барографом; изменение скорости химической реакции в технологическом процессе и т.д. К дискретным рядам относятся моментальные и интервальные ряды. Дискретные временные ряды легче подвергаются статистической обработке, поэтому непрерывные временные ряды обычно преобразуют в дискретные. Временной ряд является случайным, если значения, которые он будет принимать, могут быть описаны с помощью плотности распределения вероятностей. Все рассмотренные ранее примеры относятся к случайным временным рядам. Временной ряд называется детерминированным, если его значения в будущие моменты времени могут быть точно определены по известной функциональной зависимости. В чистом виде детерминированный временной ряд встречается очень редко. Обычно временной ряд содержит как детерминированную, так и случайную составляющие и представляется в виде следующего выражения: x(t )  x(t )   (t ), где x(t) - значение временного ряда в момент времени t; x (t) - детерминированная составляющая - основная тенденция изменения;  (t ) - случайная составляющая. При анализе дискретных временных рядов, речь идет о значениях, которые получены в определенные равноотстоящие промежутки времени: x1  x(t1 ), x2  x(t 2 ), x3  x(t 3 ),..., xn  x(t n ). Для описания временного ряда могут использоваться статистические характеристики положения и разброса: математическое ожидание, дисперсия и т.д. Эти характеристики зависят от времени, поэтому их надо обозначать как 188 функции времени: M[x(t)] - математическое ожидание, D[x(t)] = M[x(t)M(x(t))]2 - дисперсия временного ряда. Если свойства временного ряда не изменяются во времени, т.е. математическое ожидание, дисперсия и другие характеристики ряда остаются постоянными, то такой ряд называется стационарным. Поскольку характеристики стационарного ряда не зависят от времени, поэтому их характеристики можно находить путем усреднения по времени. Математическое ожидание, как характеристику временного ряда, можно определять как среднее арифметическое значение временного ряда: 1 n x (t )   xi . n i 1 Дисперсия оценивается выражением: 1 n D( x(t ))  ( xi  x(t )) 2 .  n  1 i 1 Вычисление этих характеристик обычно является первым этапом анализа временного ряда. При анализе временных рядов обычно возникают следующие задачи: 1 Определение основной тенденции развития ряда - тренд. 2 Прогнозирование (экстраполяция) значений ряда - вычисление возможных его значений в будущие моменты времени. 3 Интерполяция - вычисление неизвестных значений временного ряда в промежуточные моменты времени между соседними известными значениями. 4 Выявление связей между значениями одного или нескольких временных рядов. 5 Выявление и анализ периодических колебаний. §5.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИКИ КАК ЕДИНИЦЫ АБСОЛЮТНОГО И ОТНОСИТЕЛЬНОГО ИЗМЕРЕНИЯ. Первая задача изучения динамики процесса - сбор данных об уровнях за разные периоды. Исходя из них, можно сравнивать уровни двух периодов или производить сравнение всех уровней динамического ряда. Характеристика развития процесса основана на определении абсолютного и относительного изменения уровней динамического ряда по сравнению с другими уровнями. При постановке статистической задачи определяют, нужно ли характеризовать и абсолютные и относительные изменения или же только одно из них. Абсолютный прирост. Наиболее простым показателем анализа динамики является абсолютный прирост уровня. Абсолютный прирост показывает, насколько единиц увеличился или уменьшился уровень, по сравнению с базисным, за тот или иной период времени. При этом сравниваемый уровень называют текущим, а тот уровень, с которым производится сравнение, базисным, так как он является базой сравне189 ния. Обычно за базу сравнения принимают либо предыдущий, либо начальный (первый) уровень ряда динамики. Если каждый уровень сравнивается с предыдущим, то полученные при этом показатели называются цепными, т.к. они представляют собой как бы отдельные звенья единой «цепи», связывающей между собой уровни ряда. Если же все уровни сравниваются с одним и тем же уровнем - базой сравнения, то полученные показатели называются базисными. В нашей стране в качестве базы сравнения экономических показателей часто принимали уровень 1913 г. - последнего «мирного» дореволюционного года и уровень 1940 г. - последнего довоенного года. Абсолютный прирост равен разности между сравниваемым и базисным уровнями и выражается в тех же единицах, в которых измерены уровни ряда динамики:  i ,  xi  x , (5.1) где  i , - абсолютный прирост, x i - сравниваемый (текущий) уровень, x - базисный уровень. Если за базу сравнения в каждом случае принимается предыдущий уровень, то формула получающихся при этом цепных абсолютных приростов будет иметь вид:  i ,  xi  xi 1 , (5.2) где x i - сравниваемый (текущий) уровень, xi 1 - предыдущий (базисный) уровень. Если уровень уменьшается по сравнению с базисным, то абсолютный прирост будет отрицательным, характеризуя размер абсолютной убыли, абсолютного падения и сокращения. Вычисленные цепные и базисные абсолютные приросты по временному ряду, показанному в таблице 5.2, представлены в таблице 5.3. Таблица 5.3. Абсолютный прирост потребления реланиума в клиниках города N. t, годы Х(t), Абсолютный прирост тыс. ампул Цепочные Базисные приросты 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 35 37 40 44 46 48 50 53 приросты … 2 3 4 2 2 2 3 190 (1988г.- база) … 2 5 9 11 13 15 18 Из указанной таблицы видно, что цепочный прирост с небольшими колебаниями остается практически постоянным, в то время как базисный постоянно от уровня к уровню повышается. Абсолютный прирост выражает абсолютную скорость роста. Однако исчерпывающую и глубокую характеристику процесса роста можно получить только тогда, когда абсолютные величины дополняются величинами относительными. Относительными показателями динамики являются темпы роста и прироста, характеризующие скорость изменения уровня, т.е. интенсивность процесса. Темп роста. Темп роста показывает, во сколько раз сравниваемый уровень больше базисного или какую часть его составляет. Исчисляется он путем деления сравниваемого (текущего) уровня на базисный: p  xi x (5.3) Если за базу сравнения каждый раз принимается предыдущий уровень, то получаются цепочные темпы роста: p  xi xi 1 (5.4) Когда текущий уровень больше базисного, темп роста больше единицы и показывает, во сколько раз увеличивается уровень, по сравнению с базисным. Если же уровень уменьшается, то темп роста будет меньше единицы и показывает, какую часть базисного уровня, принятого за единицу, составляет текущий уровень. В этом случае имеет место не рост, а снижение (падение) уровня. Как и другие относительные величины, темп роста может быть выражен не только в форме коэффициента, но и в процентах, для чего коэффициенты, полученные по формулам (5.3) и (5.4), необходимо умножить на 100. Выраженный в процентах, темп роста показывает, сколько процентов текущий уровень составляет по отношению к базисному, принятому за 100 %. В таблице 5.4. показаны цепочный и базисный относительный рост по временному ряду, представленному в таблице 5.2. 191 Таблица 5.4. Относительный рост потребления реланиума в городе N. Х(t), t, годы Относительный рост (тыс. ампул) в % тыс. ампул Цепочный рост Базисный рост (1988г.-база) 1988 35 … … 1989 37 105,7 105,7 1990 40 108,1 114,3 1991 44 110,0 125,7 1992 46 104,5 131,4 1993 48 104,3 137,1 1994 50 104,2 142,9 1995 53 106,0 151,4 Из таблицы видно, что потребление реланиума в 1989 - 1995 годах росло непрерывно и высокими темпами. Темп прироста. Темп прироста показывает относительную величину прироста, т.е. величину абсолютного прироста по отношению к базисному уровню: пр   i , x , (5.5) где пр - темп прироста,  i , - абсолютный прирост, x - базисный уровень. Выраженный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов увеличивается или уменьшается уровень по сравнению с базовым, принятым за 100%. В нашем примере (см. табл. 5.4.)в 1989 году потребление реланиума увеличилось по сравнению с 1998 годом на 2 тысячи ампул. По отношению к уровню 1988 года (35 тыс. ампул) это составляет 5,71 %: 2 пр   0,057 или 5,71%. 35 Между темпом прироста и темпом роста существует непосредственная взаимосвязь:  x x x х пр  i ,  i   i    p  1 (5.6) x x x х Таким образом, темп прироста всегда на единицу меньше соответствующего значения темпа роста, выраженного в форме коэффициента, или на 100 % меньше темпа роста, выраженного в процентах: пр (%)  р (%)  100%. (5.7) Следовательно, если уже вычислены темпы роста, то наиболее удобный путь расчета прироста дают формулы (5.6) и (5.7). Действительно, как это 192 видно из таблицы 5.4., в 1989 году прирост потребления реланиума составил 5,7 % по отношению к базовому, а в 1990 году-14,3 % и т.д. Средний уровень динамики. Метод расчета среднего уровня ряда динамики зависит от характера показателя, динамика которого изучается, т.е. от вида динамического ряда. Наиболее просто исчисляется уровень периодического ряда динамики, уровни которого можно суммировать, получая итоговые (общие) уровни за более продолжительные периоды. Вполне логично поэтому, исчислять средний уровень периодического ряда так, чтобы при замене фактических уровней их средней величиной не изменялся общий уровень за весь рассматриваемый период. Это означает, что должно иметь место следующее равенство: x1  x2  ...  xn  x  x  ...  x  n x. n средних уровней это приводит нас к простой средней арифметической: 1 n x   xi , n i 1 (5.8) где n – число фактических уровней за последовательные промежутки времени. Возьмем например, следующие данные потребления реланиума в городе N (таблица 5.5.). Таблица 5.5. Потребление реланиума в клиниках города N. t,годы 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Всего Х(t),тыс. 35 37 40 44 46 48 50 52 352 ампул Сложив восемь годовых уровней, получим количество реланиума, израсходованного за восемь лет, а разделив эту величину на 8, узнаем, сколько в среднем потреблялось реланиума с 1988 года по 1995 год ежегодно:  N (t ) 353 N (t )    44 (тыс. ампул) n 8 Нужно иметь в виду, что средний уровень периодического ряда динамики требует указания двух периодов времени: во-первых, того конкретного (календарного) периода, за который исчислен средний уровень, и, во-вторых, того периода, который принят в качестве единицы времени, в расчете на который исчислен средний уровень. В нашем случае исчислен среднегодовой уровень потребления реланиума за период с 1988 года по 1995 год. Единицей времени, в расчете на которую, рассчитан средний уровень потребления (реланиума), является год. Средние темпы роста и прироста. Средний абсолютный прирост всегда является периодическим показателем в анализе временных рядов. Средний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличивается или 193 уменьшается уровень по сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени (год, месяц и т.п.) и определяется выражением:   xn  xn1  . S n 1 В качестве основы и критерия правильности исчисления среднего темпа роста могут быть приняты различные показатели. В настоящее время в теории и практике в качестве такой основы обычно принимают произведение цепных темпов роста, равное темпу роста за весь рассматриваемый период: x x x 2 x3     n1  n , x1 x2 xn2 xn1 или 1  2    n  xn . x1 (5.9) В основу исчисления среднего темпа роста кладется также взаимосвязь цепных и базисных темпов роста. При этом ставится задача найти такой средний темп роста, чтобы при замене или фактических цепных темпов роста в формуле (5.9) остался без изменения темп роста за весь период (xп: x1). Таким образом, должны иметь место следующие равенства: x 1  2    n1   p  p    p  n , x1 следовательно, ( p )  1  2     n  xn . x1 (5.10) Из уравнения (5.10) следует, что формула для определения среднего темпа роста может быть представлена в двух видах:  p  S 1  2    n , (5.11) где s=n-1, или  p  n1 xn , x1 (5.12) который получается при замене произведения цепных темпов равным ему темпов роста за весь период. В последнем случае целесообразно сохранить нумерацию уровней значения x1 , xn и =п - 1 в выражении (5.12) которые имеют тот же смысл, что и формуле (5.11). Таким образом, средний темп роста, выраженный в форме коэффициента, показывает, во сколько раз увеличивался уровень по 194 сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени (месяц, год и т.д.). Для средних темпов роста и прироста сохраняет силу та же взаимосвязь, которая имеет место между обычными темпами роста и прироста, т.е. пр (%)   р (%)  100% (5.13) Из выражения (5.13) следует, что средний темп прироста, выраженный в процентах показывает, на сколько процентов увеличивался (или уменьшался) уровень по сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени. Для среднего темпа роста чаще используется второй, т.е. расчет по формуле (5.12). Расчет среднего темпа роста по формуле (5.11) осуществляется в тех случаях, когда уровни ряда динамики или темпа роста за весь период не известны, но имеются данные по цепным темпам роста или прироста (см. таблица 5.6.) Таблица 5.6. Рост производительности труда в РФ. Годы 1961 1962 1963 1964 1965 Производительность труда 103 107 104 107 106 в % к предыдущему году Используя формулу (5.11):  р  5 103  107  104  107  106  105,4% Средний темп роста здесь выражен в процентах, так как в процентах были выражены темпы роста в подкоренном выражении. Отсюда Т = 5,4 %, т.е. производительность труда в строительстве в 1961 - 1965 гг. в среднем ежегодно повышалась на 5,4 %. Формула (5.12) дает возможность вычислить средний темп роста в двух случаях: Если известны базисный и конечный уровни. Если известен темп роста или темп прироста за весь период. Вычислим, например, среднегодовой темп роста производства газа за период с 1966 года по 1970 год, если в 1966 году планировалось добыть газа 129 миллиардов м3, а в 1970 году 240 миллиардов м3. Используя формулу (5.12), получим:  пр  5 240  1,132 или 113,2 % 129 Следовательно, производство газа за указанный период должен был возрастать на 13,2 % ежегодно. Рассмотрим второй случай использования формулы (5.12). В 1965 году национальный доход нашей страны возрос по сравнению с 1985 годом на 59 %, т.е. в 1,59 раза. Это дает возможность исчислять среднегодовой темп роста за 7 лет (1959 - 1965 гг.). Темп роста за все 7 лет, т.е. от195 ношение конечного уровня к базисному ( y n : y1 ), составляет 1,59, а продолжительность периода роста (п-1) равна 7 годам, отсюда имеем:  p  7 1,59  1,069 или 106,9% §5.3. СУЩНОСТЬ И ФОРМЫ ТРЕНДА И ПРИЕМЫ ВЫЯВЛЕНИЯ ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ. Анализ показывает, что некоторые временные ряды обнаруживают устойчивую тенденцию к росту или снижению уровня рассматриваемого явления с течением времени. Эту тенденцию называют трендом. При классификации типов тренда исходят из абсолютного прироста или снижения. Конечно, можно различать типы тренда и в зависимости от величины относительного прироста. При снижающемся и повышающемся тренде имеется соответственно по три варианта изменения явления: А. Снижающийся или отрицательный тренд. А-1. Снижение постепенно уменьшается. А-2. Снижение остается неизменным. А-3. Снижение постоянно увеличивается. В. Повышающийся или положительный тренд. В-1. Прирост постепенно замедляется. В-2. Прирост остается постоянным. В-3. Прирост постепенно увеличивается. Математической функцией трендов типов А-2 и В-2 является рациональная функция, т.е. прямая. При других типах тренда применяются различные математические функции, соответствующие данному типу. Если темп роста остается одинаковым (типа В-2), то функцией тренда служит экспоненциальная функция f (t )  Ce t , тогда f (t  1) : f (t )  l для всех t, а это означает, что темп роста остается неизменным. Для многих статистических расчетов требуется определение математической функции тренда. Тренд можно рассчитать по среднему темпу роста. Он начинается от первого члена ряда и кончается его последним членом. Величина тренда должна соответствовать показателю среднего темпа роста. При t  t1 , f (t1 )  x1 . При t  t n , f (t n )  xn . Если использовать средний темп роста, то уравнение тренда примет вид: s f (t )  x1  p , причем  p  s xn , где s=n-1, x1 (5.14) и как видно из формулы (5.14) f (t1 )  x1 , f (t n )  xn . Эту функцию тренда можно применять лишь в 196 пределах ограниченного периода времени и при известной величине общего роста. Аналитическое выравнивание. Более современным приемом выявления общей тенденции тренда является аналитическое выравнивание. Оно заключается в следующем: 1.На основе анализа выделяется определенный этап развития данного явления и выявляется характер динамики явления не протяжении этого этапа. 2.Исходя из характера динамики, выбирается то или иное математическое выражение закономерности, проявляющейся в изменении явления, т.е. выбирается то или иное аналитическое уравнение, которому на графике будет соответствовать определенная линия - прямая, парабола, гипербола и т.п. 3.Способом наименьших квадратов определяются параметры аналитического уравнения выбранной линии, которая наиболее близко проходила бы к фактическим уровням ряда. Это означает, что сумма квадратов отклонений фактических уровней от выровненных, т.е. расположенных на искомой линии, должна быть наименьшей: n  (x i 1 i  xt ) 2  min (5.15) где х- фактические уровни, а x t - соответствующие им во времени (t) выровненные уровни, расположенные на искомой прямой или кривой. 4. На основе найденного аналитического уравнения рассматриваются выровненные уровни ряда динамики, соответствующие во времени фактическим уровням. Таким образом, технически выравнивание сводится к замене фактических уровней такими, которые в среднем менее всего отклонялись бы от фактических, но имели бы определенное аналитическое выражение. Выравнивание рядов динамики содержит в себе ряд условностей, однако в ряде случаев оно является полезным, облегчающим выравнивание общей тенденции и изучения характера динамики, в частности изучение сезонных колебаний. Рассмотрим технику выравнивания рядов динамики по прямой линии: x t  a0  a1t , (5.16) где t время, т.е. порядковые номера периодов или моментов времени, а 0 и а1  параметры исковой прямой. Подставив уравнение (5.16) и (5.15), получим: n  (x i 1 i  a0  a1t ) 2  min . (5.17) Взяв производные от выражения (5.17) по а0 и а1 и приравняв их к нулю, придем к следующим уравнениям: 197 a n n  a1  t   x, a0  t  a1  t 2   xt, (5.18) где x фактический уровень ряда динамики, n число уровней. Эта система уравнений значительно упрощается, если начало отсчета времени перенести в середину рассматриваемого периода. При нечетном числе уровней получаем тогда такие значения t (таблица 5.7). Таблица 5.7. Годы 1990 1991 1992 1993 1994 t 2 1 0 1 2 При четном числе уровней значения устанавливаются так, как это показано в таблице 5.7. В обоих случаях t  0, в результате чего система уравнений (5.18) упрощается и параметры прямой в рассматриваемом случае определяются выражениями: x, a0  (5.19) n  xt a1  (5.20) t2  Количество отработанных сезонными рабочими человеко-дней испытывает сезонные колебания (летние подъемы и зимние спады), которые затушевывают общую тенденцию. Переход к среднемесячным уровням за каждый год погасили бы не только сезонные колебания, но и нарастание уровня из месяца в месяц на протяжении этих двух лет. Поэтому, чтобы освободить общую тенденцию динамики от переплетающихся с ней сезонных колебаний, сохранив помесячные уровни, произведем выравнивание по прямой (см. таблицу 5.8). 198 Таблица 5.8 Выравнивание ряда динамики по прямой (данные условные) Год и месяц отработано t xt t2 хt чел.-дней 1 2 3 4 5 6 январь 8,0 -23 -184,6 529 11,4 1995г. 8,2 -21 -172,2 441 11,27 февраль 10,2 -19 -193,8 361 11,51 март 12,0 -17 -204,0 289 11,74 апрель 14,8 -15 -220,0 225 11,98 май 16,8 -13 -218,4 169 12,22 июнь 17,2 -11 -189,2 121 12,45 июль 16,4 -9 -147,6 81 12,69 август 15,2 -7 -106,4 49 12,92 сентябрь 11,6 -5 -58,0 25 13,16 октябрь 10,4 -3 -31,2 9 13,40 ноябрь 9,2 -1 -9,2 1 13,63 декабрь 10,6 +1 +10,6 1 13,87 январь 10,0 +3 +30,0 9 14,10 1996г. 11,6 +5 +58,0 25 14,34 февраль 12,8 +7 +89,6 49 14,58 март 15,8 +9 +142,2 81 14,81 апрель 19,0 +11 +209,0 121 15,05 май 19,4 +13 +252,2 169 15,28 июнь 19,8 +15 +297,0 225 15,52 июль 19,0 +17 +323,0 289 15,76 август 17,4 +19 +330,6 361 15,99 сентябрь 14,6 +21 +306,6 441 16,23 октябрь 10,0 +23 +230,0 526 16,46 ноябрь декабрь Итого 330,0 0 +542,8 4600 330,0 x(t) 1 3 5 7 9 11 12 1 3 5 7 9 11 12 t Рис. 5.1. Количество отработанных x(t) сезонными рабочими чел.-дней 199 Используя результаты таблицы 5.8. находим  x  330  13,75 ; a   xt  542,8  0,118 a0  1 n 240  t 2 4600 Следовательно, уравнение (5.16) можно представить в виде: xt  13,75  0,118  t (5.21) Подставляя в (5.21) соответствующие значения t , найдем xt . Так, например, для января 1995 г. (t=-23) получим: x1  13,75  0,118  (23)  11,04 и т.д. Рис 5.1 хорошо иллюстрирует сезонные колебания человеко-дней и линейную зависимость выравненного ряда с положительным трендом. Необходимо отметить, что при перенесении начала отсчета в середину периода параметр а0 представляет собой величину выравненного уровня, at - абсолютный прирост выравненного уровня за единицу измерения времени (в данном примере за полмесяца). Метод скользящего среднего. Одним из методов выявления общей тенденции тренда является сглаживание с помощью скользящей средней. Оно заключается в том, что вычисляется средний уровень сначала из определенного числа первых по счету уровней ряда, затем из того же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее - начиная с третьего и т.д. Таким образом,, при вычислении этим способом средних уровней (звеньев скользящей средней) происходит как бы скольжение среднего значения звена по ряду динамики от его начала к концу, при этом каждый раз отбрасывается один уровень в начале и добавляется следующий. Отсюда и название этого приема скользящая (или подвижная) средняя. При этом чем длиннее период, за который вычисляется каждое звено скользящей средней, тем сильнее будет сглажен ряд. Если уровень ряда динамики колеблется с более или менее определенной периодичностью, то период, охватываемый каждым звеном скользящей средней, целесообразно принять равным периоду колебаний исходных уровней. Так, при наличии месячных уровней, испытывающих ежегодно сезонные колебания, наиболее целесообразно использовать 12-месячную скользящую среднюю, а при наличии квартальных уровней - четырехквартальную среднюю и т.п. Число звеньев скользящей средней всегда меньше числа исходных уровней. В этом заключается один из недостатков этого способа, сужающий возможности выявления характера динамики. При использовании метода скользящего среднего удобно выбирать нечетное число значений временного ряда в интервале сглаживания, так как в этом случае сглаженное значение будет соответствовать моментам времени ti, в которые брались реальные значения xi. 200 Ряд сглаженных значений имеет дисперсию в n раз меньшую, чем дисперсия исходного временного ряда, а поэтому сглаженный ряд более точно отражает характер тренда, он может быть представлен графически и использован для дальнейшей обработки. Длину интервала сглаживания надо выбирать с учетом скорости изменения ряда и величины разброса значений. Если относительно отрезков прямых разброс небольшой, а скорость изменения тренда ряда велика, то можно ряд сглаживать по малому числу - трем - пяти соседним значениям. Если скорость изменения тренда мала, а разброс значений большой, то, не теряя информации об изменении тренда, можно усреднять по большому числу значений (7-9) временного ряда, что позволит уменьшить влияние случайной составляющей. Если велики и скорость изменения тренда, и разброс значений временного ряда, то проводить сглаживание необходимо несколько раз по небольшим интервалам, например, по трем отчетам. Результаты первого сглаживания при этом принимаются за новый временной ряд. Первое сглаживание называют сглаживанием первого порядка, второе - сглаживанием второго порядка и т.д. Рассмотрим, например, изменение товарооборота аптеки в расчете на одну душу населения (в рублях) - таблица 5.9. Таблица 5.9 T 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 x(t) 10 17 18 13 17 21 25 29 12,2 15 16 16 17 21 25 29 x(t ) Сгладим данный временной ряд по трем отсчетам и получим: x  x 2  x3 10  17  18 x2  1   15; 3 3 x  x3  x 4 17  18  13 x3  2   16; 3 3 ........................................................... x  x7  x8 21  25  29 x7  6   25. 3 3 Потерянные первое и последнее значения временного ряда можно определить из следующих соображений. Зная х0, первое значение x1 можно представить следующим образом: x  x1  x2 x1  0 3 Для вычисления х0 составим уравнение прямой тренда по значениям x1, x2, x3, затем путем обратной экстраполяции вычислим х0 . Определим значения t , a , b : 201 1 2  3  2; 3 x  x 2  x3 a 1 ; 3 x  x1 b 3 . 2 Уравнение тренда, составленное по первым трем значениям временного ряда, имеет вид: t x(t )  x1  x 2  x3 ( x3  x1 )(t  t )  . 3 2 При t=0 найдем значение уравнению: x0 , x0  Соответственно: x1  предыдущее по отношению к (5.22) x1 , по 4 x1  x2  2 x3 . 3 x 0  x1  x 2 7 x1  4 x 2  2 x3  3 9 (5.23) Формула (5.23) может быть использована и для определения последнего значения сглаженного временного ряда, только порядок нумерации необходимо вести с конца, т.е. 7 x  4 x7  2 x6 x8  8 (5.24) 9 Таким образом, приходим к результату: 7  10  4  17  2  18  12,2 9 7  29  4  25  2  21 x8   29. 9 x0  Описанное сглаживание является сглаживанием первого порядка. Сглаженный временной ряд показан в таблице 5.9, из которого хорошо просматривается положительная тенденция развития (тренд). Измерение сезонных колебаний. Многие общественные явления и процессы, в том числе и различные заболевания, связанные с явлением природных факторов, имеют периодический характер и носят название сезонных колебаний. Уровень их из года в год в определенные месяцы повышается, а в другие снижается. Изменение сезонных колебаний в статистике производится путем исчисления индексов сезонности. Индекс сезонности представляет собой отношение фактического уровня x(t ) ф за тот или иной момент времени к выров- 202 ненному уровню x(t)e за весь исследуемый период времени и выражается в x(t ) ф k   100%. процентах: c x(t ) в §5.4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ РЯДОВ ДИНАМИКИ. Иногда возникает необходимость определения величины неизвестных промежуточных уровней ряда динамики на основе известных его уровней. Эта операция называется интерполяцией. Интерполяция производится исходя из предположения о той или иной закономерности изменения уровня явления за рассматриваемый период и носит поэтому условный характер. Однако этот метод позволяет определить неизвестный уровень с приемлемой точностью. Результат получается тем точнее, чем меньше и чем короче промежуток времени между периодами или датами известных уровней. Чаще всего при интерполяции исходят из того, что уровень ряда динамики изменяется равномерно, т.е. полагают, что абсолютный прирост или темп роста за равные промежутки времени остаются неизменными. При этих условиях неизвестный уровень на основании абсолютного прироста определяется следующим выражением: xi  x1  (i  1), где x i - неизвестный уровень ряда с порядковым номером i, x1 - начальный уровень,  - средний абсолютный прирост за весь рассматриваемый период, (i - 1) - длина периода, равная разности между порядковыми (или хронологическими) номерами уровней хi и х1. При сохранении постоянных темпов с использованием среднего темпа роста неизвестный уровень определяется уравнением: xi  x1  (T p ) i 1 . Пример 1. По данным переписи населения, в январе 1959 года в нашей стране было 3,8 млн. чел., имеющих законченное высшее образование. В январе 1965 года по оценке ЦСУ численность лиц с законченным высшим образованием составила 5,6 млн. чел. Полагая, что сохраняется постоянный ежегодный прирост, определить число лиц с высшим образованием в январе каждое промежуточного года. Решение: 5,6  3,8   0,3 (млн. чел.) 6 203 Определим значения промежуточных уровней: январь 1960г.: x 2  x1    3,8  0,3  4,1 (млн. чел.) январь 1961г.: x3  x1  2  3,8  0,6  4,4 (млн. чел.) январь 1962г.: x 4  x1  3  3,8  0,9  4,7 (млн. чел.) январь 1963г.: x5  x1  4  3,8  1,2  5,0 (млн. чел.) январь 1964г.: x6  x1  5  3,8  1,5  5,3 (млн. чел) Пример 2. По данным ООН, население земного шара составляло в 1950 году 2508 млн. чел., а в 1960 году - 3010 млн. чел. Считая ежегодный темп роста постоянным, определить численность населения для 1955 и 1956 годов. Решение. Определим средний темп роста T p  10 3010  1,0184 2508 Определим значения промежуточных уровней для 1955 и 1956 годов. 5 5 1955г.: x55  x50  (T p )  2508  (1,0184)  2747 (млн. чел.) 1956г.: x56  x50  (T p ) 6  2508  (1,0184) 6  2798 (млн. чел) Операцию определения неизвестных уровней динамического ряда, лежащих за его пределами, т.е. либо будущих уровней, либо уровней, предшествующих начальному, называют экстраполяцией. Экстраполяция возможна на основе сохранения прежнего темпа роста или прироста. Например, выше было установлено, что в 1959 - 1964 годах число лиц с законченным высшим образованием в среднем увеличивалось на 0,3 млн. чел., следовательно, численность населения с высшим образованием в 1966 году можно определить уравнением: 1966г.: x  x7    5,6  0,3  5,9 (млн. чел) соответственно в 1967г. 1967г.: x  x7  2  5,6  0,6  6,2 (млн. чел.) Если население земного шара в 1957-1960 г.г. увеличивалось в среднем ежегодно на 1,84 %, а в 1960 году составило 3010 млн. чел., то при сохранении темпа роста на прежнем уровне в 1962 году, как показывает экстраполяция, должно составить: x62  x60  (T p ) 2  3010  (1,0184) 2  3122 (млн. чел.) Фактически оно равнялось 3135 млн. чел. То есть прогнозирование на основе экстраполяции на небольшие интервалы времени вполне реально. Экстраполирование на более длительные периоды может привести к значитель- 204 ным ошибкам, так как тенденции, имевшие место в прошлом, в будущем могут изменяться. Прогнозирование временных рядов. Задача прогнозирования заключается в расчете значений уровней временного ряда для момента времени tn+k, основываясь на экспериментально полученных значениях временного ряда x1 , x2 ,...xn . Прогнозирование является статистической задачей и может осуществляться путем экстраполяции сформировавшейся к настоящему моменту времени тенденции в будущее. Для решения этой задачи наиболее часто применяются полиномные модели, полученные с использованием метода наименьших квадратов - линейные, параболические, экспоненциальные и другие. Контрольные вопросы. 1. Что мы понимаем под временным или динамическим рядом? 2. Можно ли использовать временные ряды в медицине и с какой целью? 3. Какие ряды динамики вы знаете? 4. Какие ряды динамики называют периодическими или интервальны ми? 5. Какие ряды динамики называют моментальными? 6. Какие ряды динамики называют непрерывными? Дискретными? 7. Какие ряды называются стационарными? 8. Какие ряды называются случайными? 9. Какие ряды называются детерминированными? 10. Что такое уровень? 11. Какие бывают уровни? 12. Что собой представляет абсолютный прирост? 13. Что собой представляет темп роста? 14. Что такое тренд? 15. Какие существуют типы трендов? 16. Какие существуют методы определения тренда? 17. Что характеризует средний темп роста? Средний темп прироста? 18. Какие существуют приемы выявления тренда? 19. В чем заключается суть прогнозирования и какие для этого сущест вуют методы? УПРАЖНЕНИЯ. Задача 1. Постройте графическое изображение временного ряда используя метод сглаживания по аналитическим формулам, составьте линейное уравнение тренда временного ряда и постройте графическое изображение тренда на этом же графике. 205 а) Динамика потребления желчегонных препаратов в клинике: t, год 1990 1991 1992 1993 1994 x(t), тыс. 36 33 27 22 25 ампул 1995 23 б) Динамика потребления сердечно- сосудистых препаратов в клинике: t, год 1990 1991 1992 1993 1994 1995 x(t), тыс. 14 21 29 33 38 34 ампул в) Динамика числа работников, занятых в системе краевого аптекоуправления: t, год 1990 1991 1992 1993 1994 1995 x(t), число 20 22 28 32 35 36 работников г) Динамика СОЭ у больного: t, нед. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x(t), 5,6 5,8 6,0 6,5 6,3 6,8 7,0 7,5 7,2 мм/г Задача №2. Динамика поставки аспирина в республику показана в динамическом ряде: t, год 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 x(t),млн.упаковок 50 52 55 60 65 68 72 Задача №3. Реализация витамина С в городе N. t, год 1996 1997 1998 x(t),млн. 35 36 37 рублей 1999 40 2000 43 Определить средний уровень реализации витамина С за период с 1996 года по 2000год. Определить средний темп роста и средний темп прироста за указанный период. Задача №4. Составить уравнение тренда и определить коэффициенты. Вычислить прогнозируемое значение для t  2. а) Реализация витамина С по годам по аптекоуправлению (тыс. упаковок): Год 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 Т 1 2 3 4 5 6 7 8 X(t) 16 18 11 14 26 35 12 7 б) Потребление сульфаниламидных препаратов, по данным аптеки, следующие (тыс. рублей): 206 Год Т X(t) 1977 1 12 1978 2 19 1979 3 27 1980 4 30 1981 5 35 1982 6 40 1983 7 47 1984 8 46 1985 9 50 в) Оптовый товарооборот в аптеке по годам (тыс. руб.): Год 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 Т 1 2 3 4 5 6 7 X(t) 32 34 36 41 44 50 50 1983 8 53 1984 9 56 г) Потребление (по одной аптеке) антибиотиков: Год 1978 1979 1980 1981 1982 1983 Т 1 2 3 4 5 6 X(t) 30 36 48 32 44 52 1984 7 46 1985 8 56 д) Реализация аспирина по аптеке (тыс. руб.) Год 2000 2001 2002 2003 2004 Т 1 2 3 4 5 X(t) 32 36 31 20 16 2006 7 12 2007 8 10 2005 6 10 Задача № 5. Постройте спектральную диаграмму колебаний: а) Разложите в ряд Фурье периодическое колебание единичной амплитуды, имеющей вид: 2 2 cos 2t 2 cos 4t 2 cos 6t X (t )  (1     ...)  1 3 35 57 б) Разложите в ряд Фурье периодическое пилообразное колебание единичной амплитуды, имеющей вид: 2 sin 2t sin 3t sin 4t  X (t )   sin t     ...   2 3 4  в) Разложите в ряд Фурье прямоугольное периодическое колебание единичной амплитуды, имеющее вид: 4 sin 3t sin 5t sin 7t  X (t )   sin t     ...   3 5 7  207 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА. Агачев П.В. Курс высшей математики. - М: Высшая школа. - 1970. 544 с. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шушов А.С. Краткий курс высшей мате матики. - М: Высшая школа. - 1972. - 640 с. Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Элементы высшей ма тематики для школьников. - М.: Наука. - 1987. - 336 с. Ивашев-Мусатов О.С. Начала математического анализа. - М.: Наука. 1981.-159 с. Лобоцкая Н.Л., Морозов Ю.В., Дуднев А.А. Высшая математика. Минск:Вышэйшай школа. – 1987 с. 233-249. Михельсон B.C. Элементы вычислительной математики. - М.: Высшая школа.- 1966.-276 с. Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики. - Минск: Вышейшая шко ла. - 1973.-350 с. Подольский В.А., Суходский A.M. Сборник задач по высшей математи ке. - М.: Высшая школа. - 1974. - 352 с. Ремизов А.Н., Исакова Н.Х. Максина А.Г. Сборник задач по медицин ской и биологической физике. - М.: Высшая школа. - 1987. - 159 с. Поляков А.С. Руководство к решению задач по высшей математике. М.: Высшая школа. - 1975. - 125 с. Венцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука. - 1964. - 571 с. Донда А. и др. Статистика. - М.: Статистика. - 1974. - 340 с. Долгушевский и др. Общая теория статистики. - М.: Статистика. - 1967. -382 с. Гнеденко Б.В. Беседы о математической статистике. - М.: Наука. 1968.-48 с. Шелест А.Е. Микрокалькуляторы в физике. М.: Наука. - 1988. - 272 с. Орлов Р.С., Киселев Н.В. Методы обработки медико-биологической информации. - Л.: ЛСГМИ. - 1988. - 70 с. Зажигаев Л.С. и др. Методы планирования и обработки результатов физического эксперимента. - М.: Атомиздат. - 1978. - 232 с. 208 ОГЛАВЛЕНИЕ стр. Лекция №1. Вводная лекция……………………………………………………..3 Лекция №2. Системный подход и системный анализ в физике и биофизике………………………………………………………………………...11 Лекция №3. Методы численного анализа причинно-следственных связей……………………………………………………………………………...19 Лекция №4. Моделирование……………………………………………………27 ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 3анятие №1. Теория пределов…………………………………………………..32 Занятие №2. Производная функции……………………………………………42 Занятие №3. Дифференциал функции………………………………………….56 Занятие №4. Неопределенный интеграл...............................................................72 Занятие №5. Определенный интеграл…………………………………………..83 Занятие №6.Основные сведения о дифференциальных уравнения………..109 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Занятие №1. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона................................126 Занятие №2. Элементы теории вероятностей………………………………...135 Занятие №3. Случайные величины и их основные характеристики…………………………………………………………………153 Занятие №4. Законы распределения случайных величин…………................164 Занятие №5. Временные ряды ..................... …………………………………..187 Используемая литература…………………………………………………….208 209 И.И. Марков ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ СтГМА ЛР № 020326 от 30 января 2010 г. Сдано в печать . Подписано в печать . Формат 60x90 116 . Бумага типог. № 1. Печать офсетная. Гарнитура офсетная. Усл. печ 12 6 Уч.-изд. л. 12,8. Заказ 1803.Тираж 800. Ставропольская государственная медицинская академия, 355017, г. Ставрополь, ул. Мира, 310. 210

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ставропольская государственная медицинская академия

Похожие документы

Разделы

Поддержка

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ставропольская государственная медицинская академия

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib