Функции одной независимой переменной

Уроки 1-2
Тема: « Функции одной независимой переменной. Пределы.
Непрерывность функции.
План:
1. Определение функции. Свойства функций.
2. Способы задания функции.
3. График функции.
4. Предел функции.
5. Непрерывность функции.
1.Определение функции. Свойства функций.
Определений 1:
Если даны числовое множество Х и правило f , позволяющее поставить в
соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число у, то
говорят , что задана функция y = f(x) с областью определения Х. Пишут y =
f(x) , х € Х. Для области определения используют обозначение D(x).
Переменную х называют независимой переменной. Или аргументом, а
переменную у --- зависимой переменной. Множество всех значений функции
y = f(x) , х € Х называют областью значений функции и обозначают Е(f).
Пример
1
2
3
4
5
6
Y=2x
X
2
4
6
8
10
12
Y
Свойства функций:
Определение 1.
Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве Х, если для любых
точек х1 и х2 множества Х таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(x1)<
f(x2).
Определение 2.
Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве Х, если для любых
точек х1 и х2 множества Х таких, что х1 > х2, выполняется неравенство f(x1)>
f(x2).
возрастающая
убывающая
Термины «возрастающая» и «убывающая» объединяют одним общим
термином «Монотонная функция».
Определение 3.
Функцию y = f(x) называют ограниченной снизу на множестве Х, если все
значения этой функции на множестве Х больше некоторого числа.
Определение 4.
Функцию y = f(x) называют ограниченной сверху на множестве Х, если все
значения этой функции на множестве Х меньше некоторого числа.
Определение 5.
Функцию y = f(x) , х € Х.называют четной , если для любого значения х из
множества Х выполняется равенство f(-x) = f(x)
Пример
Доказать, что y=x4 - четная функция.
Решение: Здесь f(x)=x4 , f(-x) = (-x4) = x4 значит для любого значения х
выполняется равенство f(-x) = f(x), т. е. функция является четной.
Определение 6.
Функцию y = f(x) , х € Х.называют нечетной , если для любого значения х из
множества Х выполняется равенство f(-x) = - f(x)
Пример
Доказать, что y=x3 - нечетная функция.
Решение: Здесь f(x)=x3 , f(-x) = (-x3) = -x3 значит для любого значения х
выполняется равенство f(-x) = -f(x), т. е. функция является нечетной.
2. Способы задания функций
a. Табличный.
b. Аналитический.
с. Графический.
3. График функции
Если задана функция y = f(x), х € Х и на координатной плоскости отмечены
все точки вида ( х ; у ), где х € Х, а y = f(x), то множество этих точек
называют графиком функции
y = f(x), х € Х.
4.
a)Предел функции на бесконечности
Пусть дана функция y = f(x), в области определения которой содержится
луч [ а; +∞ ) и пусть прямая у = b является горизонтальной асимптотой
графика функции y = f(x), Для описания этой геометрической модели
используется запись:
lim f(x) = b
x
+∞
( Читают: предел функции y = f(x), при стремлении х к плюс бесконечности
равен b).
y
b
y=f(x)
а
x
0
Если же задана функция y = f(x), в области определения которой
содержится луч (-∞; а] и прямая у = b является горизонтальной асимптотой
графика функции y = f(x), Для описания этой геометрической модели
используется запись:
lim f(x) = b
x
-∞
y
b
Y=f(x)
а
x
Если одновременно выполняются соотношения lim f(x) = b lim f(x) = b ,
х→+∞
х→ - ∞
то их можно объединить одной записью lim f(x) = b ,
х→∞
Для вычисления предела функции на бесконечности используют правила:
1
0
x  x m
lim
1)
2) если
lim f ( x)  b
x
,
lim g ( x)  c , то
x
a) Предел суммы равен сумме пределов:
lim( f ( x)  g ( x))  b  c
x 
b) Предел произведения равен произведению пределов:
lim f ( x) g ( x)  bc
x 
с) Предел частного равен частному пределов, если с не равно 0:
f ( x) b

x   g ( x)
c
lim
d) Постоянный множитель выносится за знак предела:
k lim f ( x)  kb
x 
b) Предел функции в точке
lim f(x) = b
х→а
Смысл приведенной записи заключается в следующем: если значения
аргумента выбирать все ближе и ближе к а , то соответствующее значение
функции все меньше и меньше будет отличаться от предельного значения b.
Для вычисления предела функции в точке , как и для вычисления предела
функции на бесконечности используется теорема об арифметических
операциях над пределами .
Теорема:
lim f(x) = b lim g(x) = c. То
Если
х→a
х→ a
lim( f ( x)  g ( x))  b  c
x a
lim f ( x) g ( x)  bc
x 
f ( x) b
lim

x  g ( x )
c
При условии, что с≠0
k lim f ( x)  kb
x 
5. Непрерывность функции
Определение 1
Функцию y = f(x) называют непрерывной в точке х = а, если выполняется
соотношение lim f(x) = f(а)
х→ a
Определение 2
Функцию y = f(x) называют непрерывной на промежутке Х, если она
непрерывна в каждой точке этого промежутка.