BeM - MSOU

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных выражений
вида z  x  yi (x, y – действительные числа, i  некоторый символ), на котором введены
операции сложения и умножения по следующим правилам:
1) x1  y1i   x 2  y2i   x1  x 2   y1  y2 i ,
2) x 1  y1i x 2  y 2 i   x1x 2  y1y 2   x1y 2  x 2 y1 i .
Из определения следует, что i 2  1 . Множество всех комплексных чисел обозначают символом C .
Два комплексных числа z1  x1  y1i и z 2  x 2  y 2i считаются равными, если x1  x 2 , y1  y 2 .
Действительные числа x и y называют соответственно действительной и мнимой частями числа z  x  yi ,
при этом x  Re z, y  Im z . Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают всеми
свойствами этих операций на множестве действительных чисел R , являющимся подмножеством C
z  x  yi  R, если Im z  y  0 . Разностью чисел z1 и z2 называют число z  z1   1  z 2 , при этом
z  z1  z 2 . Частным от деления числа z1 на число z2 называют решение уравнения z 2  z  z1 , при этом
z  z1 z 2 . Деление возможно, если делитель z2 отличен от 0.
Комплексные числа z  x  yi могут быть отождествлены с точками Mx, y  плоскости с введённой
прямоугольной системой координат; при таком отождествлении плоскость называют
y
комплексной плоскостью. Можно сказать, что устанавливается взаимно однозначное
M
соответствие между комплексными числами z  x  yi и векторами OMx, y . Число
  OM  x 2  y 2 называют модулем числа z и обозначают |z| . Угол  между вектором

OM и положительным направлением оси 0x называют аргументом числа z и обозначают
x Arg z . Аргумент числа, в отличие от модуля, определяется неоднозначно: все аргументы
0
числа отличаются друг от друга на 2n , n  Z . Договариваются о главном значении
аргумента Arg z ; обычно берут 0  arg z  2 или   arg z   . Если z = x + yi и x  0 , то
при y  0,
0 при x  0,
 2
y
Если же x = 0 , то arg z  
Аргумент
    , где   
1
при
x

0
.


2
при
y  0.
x


числа z = 0 не определён.
Из определения z и arg z следует x   cos  , y   sin  , где   z ,   arg z . Отсюда получаем
arg z  arctg
(1)
z  cos   i sin  .
Это есть тригонометрическая форма числа z .
Число x  yi называется сопряжённым к числу z  x  yi ; при этом пишут x  yi  z . Имеет место
равенство
2
z  z  x 2  y2  z . Операция сопряжения оказывается полезной при делении чисел:


z1 z 2  z1 z 2 z 2 z 2  z1 z 2 z 2
2
.
i
Обозначим e  cos  i sin  (формула Эйлера). С помощью этой формулы из тригонометрической
формы (1) получаем показательную форму z  ei числа z. В частности, e 2i  1 , e i  1 , e i , как
функция от , является периодической с периодом 2.
Справедливы формулы
z1  z 2  z1  z 2 ,
z1 z 2  z1 z 2 ,
argz1  z 2   arg z1  arg z 2 ,
argz1 z 2   arg z1  arg z 2 .
Это делает удобным использование тригонометрической и показательной форм при умножении и
делении чисел. Из этих формул следуют формулы Муавра в тригонометрической z n   n cos n  i sin n
и показательной z n  n  ein формах.
Число w  re i называется корнем n-й степени числа z  ei , если w n  z . Любое ненулевое число
z  ei имеет ровно n различных корней n-й степени. Эти корни находятся по формулам
  2k
  2k 

w k  n   cos
 i sin
,
n
n 

где k пробегает значения 0, 1, 2, …, n-1;
n
 – арифметический корень n–ой степени из положительного
числа .
Модуль разности z1  z 2 чисел равен расстоянию между точками z1 и z2 комплексной плоскости.
Числовой последовательностью называют правило, по которому каждому натуральному числу
n  N ставится в соответствие действительное (комплексное) число x n  R
z n  C . Последовательность
обозначают символом
x n n 1 ( z n n 1 ).
Можно сказать, что последовательность является функцией
f : N  R ( f : N  Z ). Очевидным образом определяются сумма, произведение, частное двух
последовательностей. В этом разделе мы будем иметь дело лишь с последовательностями действительных
чисел.
Число a  R называется пределом последовательности x n n 1 , если для любого   0 найдётся номер
n 0  N такой, что для любого n  n 0 выполняется неравенство x n  a   . При этом пишут lim x n  a или
n 
x n  a и говорят, что последовательность
 
x n n 1
сходится к числу a .
Если lim x n  a , lim y n  b , то: 1) lim c x n  c a ;
n 
n 
2) lim x n  y n   a  b ;
n 
n
3) lim x n  y n   a  b ;
n
4) lim x n y n   a b при ( y n  0, b  0 ).
n 
К элементарным функциям относятся:
1) простейшие элементарные функции: постоянная с, степенная x  , показательная a x ,
логарифмическая log a x , тригонометрическая cos x , обратные тригонометрические arc cos x, arc tg x ;
2) все функции, получающиеся из простейших элементарных функций путем применения конечного числа
следующих четырех операций: сложение, умножение, деление, суперпозиция функций (сложная функция).
Пусть функция f x  определена во всех точках интервала a , b  , за исключением, быть может, точки
x 0  a, b . Число А называется пределом функции f x  в точке x 0 , если для любого   0 существует
число   0 такое, что для любого
x, удовлетворяющего неравенству 0  x  x 0   , выполняется
неравенство f x   A   , при этом пишут lim f x   A . Можно дать другое, равносильное приведенному,
xx 0
определение: число A называется пределом функции f x  в точке x0, если для любой последовательности

чисел x n n 1  a; b  , сходящейся к x 0 , x n  x 0 , lim f x n   A .
n 
Если f x  определена в интервале a,   ,то число A называется пределом f x  при x   , если для
любого   0 существует число b  a , такое, что неравенство x  b влечет за собой неравенство
f x   A   . При этом пишут lim f x   A или f     A . Аналогично определяется lim f x   A .
x 
Число A называют пределом функции f x  в точке x 0 слева (справа) и пишут
x 
lim f x   A или
x x 0 0
f x 0  0  A ( lim f x   A , или f x 0  0  A ) , если для любого   0 найдется   0 такое, что для всех
x x 0  0
x  x 0  ; x 0  (для всех x  x 0 ; x 0   ) справедливо неравенство f x   A   . Число A является
f x  в точке x 0 , если совпадают пределы f x  в этой точке слева и справа:
f x 0  0  f x 0  0  A .
Если функция f x  определена в интервале a; x 0  (в интервале x 0 ; b  ) и для любого M существует
пределом
  0 такое, что для любого x  x 0  ; x 0  (для любого x  x 0 ; x 0   справедливо неравенство
f x   M , то говорят, что левый (правый) предел функции f x  в точке x 0 равен  , и при этом пишут
lim f x    или
x x 0 0
lim f x    и
x x 0 0
f x 0  0   ( lim f x    или f x 0  0   ) . Аналогично определяются
x x 0 0
lim f x    .
x x 0  0
Предел функции обладает теми же свойствами, что и предел последовательности: если lim f x   A ,
xx 0
lim gx   B , то
x x 0
1) lim c  f x   c  A;
x x 0
2) lim f x   gx   A  B;
x x 0
3) lim f x   gx   A  B;
x x 0
4) lim f x  gx   A B
x x 0
(последнее при gx   0, B  0 ). То же верно для односторонних пределов.
f x  , определённая в некоторой окрестности
непрерывной в точке x 0 , если lim f x   f x 0  .
Функция
x 0  , x 0  
точки
x 0 , называется
x x 0
Другими словами, f x  непрерывна в точке x0, если выполнены два условия:
1) f x  определена в некотором интервале, содержащем точку x 0 , 2) бесконечно малому приращению
аргумента x  x  x 0 отвечает бесконечно малое приращение функции f  f x 0  x   f x 0  .
Функция f x  непрерывна в точке x 0 в том и только том случае, если f x 0  0  f x 0  0  f x 0  .
Если функция f x  непрерывна в каждой точке числового множества X, то говорят, что f x 
непрерывна на множестве X .
Сумма, произведение, частное (при неравенстве нулю знаменателя), суперпозиция непрерывных
функций также являются непрерывными функциями.
Функция f x  терпит разрыв в точке x 0 в одном из следующих случаев:
1) lim f x   lim f x   A , но f x 0   A , либо f x 0  не определено (рис.1); в этом случае говорят,
x x 0 0
x x 0  0
что x0 – точка устранимого разрыва;
2) f x 0  0, f x 0  0 – конечные, но не равные между собой пределы; такая точка называется точкой
разрыва первого рода (говорят, что f x  терпит в точке x 0 скачок) (рис.2);
3) по крайней мере одного из односторонних пределов f x  в точке x 0 не существует (т.е. не существует
конечного предела); в таком случае говорят, что x0 – точка разрыва второго рода (рис.3).
y
y
0
x0
Рис.1
x
0
x0
Рис.2
x
y
x0
0
x
Рис. 3
Все элементарные функции непрерывны в области их определения.
Матрицей порядка m  n называется прямоугольная таблица чисел
 a11 a12

a 22
a
A   21
 

a
 m1 a m 2



(1)
,



состоящая из m строк и n столбцов, рассматриваемая как единый алгебраический объект, над которым могут
производиться определенные алгебраические действия. Часто пишут A  aij , 1  i  m , 1  j  n .
 a1n
 a 2n
 
 a mn
 
обозначим M mn , множество всех квадратных матриц
Множество всех матриц порядка m  n
порядка n  n
– через M n .
 
Произведением матрицы A  aij  M mn
на число  (действительное или комплексное) называют
матрицу B  (b ij )  M mn , определяемую по правилу bi j  ai j ; при этом пишут B  A .
Суммой матриц
A  (aij )  M mn ,
B  (bij )  M mn
называют
матрицу
C  (cij )  M mn ,
определяемую по правилу cij  aij  bij ; при этом пишут C  A  B . Складывать можно лишь матрицы
одинакового порядка.
Произведением
матрицы
A  (aij )  M mk
на
матрицу
B  (bij )  M kn
матрицу C  (cij )  M mn , элементы которой определяются по правилу cij 
называют

a b
il l j
; при этом пишут
l 1
C  AB .
Произведение матриц определено, если количество столбцов первого множителя А совпадает с
количеством строк второго множителя В. (Можно сказать, что элемент ci j матрицы C  AB есть результат
скалярного произведения i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В).
Введенные операции над матрицами обладают всеми известными свойствами суммы и произведения чисел
(A  B  B  A, (A  B)  A  B, ( )A  A  A,
A(B  C)  AB  AC,),
кроме одного: вообще говоря, AB  BA.
Матрицу
 a11 a21 a31  am1 


 a12 a22 a32  am2 
B
    


a

 1n a2n a3n  amn 
называют транспонированной к матрице (1) и пишут B  A ; A получается из А переменой ролей
столбцов и строк.
Каждой квадратной матрице A  M n ставится в соответствие число, называемое определителем и
обозначаемое det A (иногда A ).
Теорема 1. Назовем неупорядоченный набор из n элементов 1,  2,,  n матрицы A  (ai j )  Mn
правильным,
матрицы A.
расположить
способами и
если никакие два элемента этого набора не принадлежат одному столбцу или одной строке
Тогда, используя лишь операции перестановки столбцов и перестановки строк, можно
элементы правильного набора на главной диагонали. Более того, если сделать это двумя
k 1 – число использованных операций (перестановок столбцов и строк) при первом способе, а
k
k 2 – при втором способе, то (k1  k 2 ) является четным числом, т.е. (1) k 1  (1) 2 .
Определение. Каждому правильному набору  1 ,  2 ,  ,  n поставим в соответствие
вполне определенное число (1)k – знак набора 1,  2 ,  ,  n , где k – число операций, необходимых для
размещения элементов 1,  2 , ,  n на главной диагонали. Определителем матрицы
определителем n-го порядка) называется число
det A 
(1) k 1  2  n ,
A  M n (или

где суммирование производится по всем различным правильным наборам.
Пользуются и другим обозначением определителя матрица A  (a i j )  M n :
det A 
a11 a12  a1n
a21 a22  a2n




.
an1 an2  ann
Определитель обладает следующими свойствами:
1) det A   det A ;
2) при перестановке двух столбцов (строк) меняется знак определителя;
3) определитель матрицы, имеющей два одинаковых столбца (две одинаковые строки), равен нулю;
4) общий множитель столбца (строки) можно вынести за знак определителя (отсюда следует, что если
один из столбцов (одна из строк) матрицы A  M n состоит из нулей, то det A  0 );
5) если к элементам некоторого столбца (строки) некоторой матрицы А прибавить соответствующие
элементы другого столбца (другой строки), предварительно умноженные на одно и то же число, то
определитель новой матрицы В будет равен det A;
6) если какой-либо столбец (какая-либо строка) является линейной комбинацией других столбцов
(других строк) матрицы А, то det A  0;
7) обозначим через M i j определитель матрицы порядка (n  1)  (n  1), получающейся из матрицы
A  (ai j )  Mn путем зачеркивания i-й строки и j-го столбца; число A i j  ( 1) i  j  M i j называется
алгебраическим дополнением элемента ai j ; для любого k, 1  k  n справедливы равенства:
аk1A k1  ak2 A k 2    akn A kn  det A ,
a1k A1k  a2k A 2k  ank A nk  det A (разложение определителя по k-му столбцу);
8) det(AB)  det A  det B.
Определитель матрицы порядка 11 A  (a) равен элементу матрицы: det A  a.
Определитель второго порядка вычисляется по формуле
a11
a12
a21 a22
 a11a22  a12 a21.
Определитель третьего порядка вычисляется по формуле
a11 a12 a13
a 21 a 22 a23  a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 21 a 32 a 13 
a31 a32 a33 a 31 a 22 a 13 a 11 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21.
Для вычисления определителя третьего порядка лучше пользоваться правилом Саррюса или правилом
«3  5».
+
–
а
б
Рис. 1
Рис. 2
Правило Саррюса использует схему, изображенную на рис. 1. Правило состоит в том, что девять чисел, составляющих
определитель, разбиваются на шесть троек по схеме (каждый элемент участвует дважды). Каждой тройке придается знак «+», если
элементы, входящие в нее, расположены на главной диагонали или в вершинах равнобедренного треугольника с основанием,
параллельным главной диагонали (рис.1, а); или «–», если элементы, входящие в тройку, расположены на побочной диагонали или
в вершинах равнобедренного треугольника с основанием, параллельным побочной диагонали (рис.1, б) (побочная диагональ
тянется справа-сверху-влево-вниз). Затем берется сумма произведений элементов троек с учетом их знаков.
Правило «3  5» использует схему (к матрице A  (ai j )  M3 добавлены первые два столбца).
Элементы матрицы соединены шестью отрезками, как показано на рис.2. Произведению элементов,
составляющих тройку и лежащих на одном отрезке, придается знак «+», если отрезок параллелен главной
диагонали, и «–», если отрезок параллелен побочной диагонали. Определитель A равен сумме произведений
элементов троек с учетом их знаков.
Определитель треугольной, в том числе и диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали:
0
a 12  a 1n
a 22  a 2n




0
0
0
a nn
a11
 a 11 a 22    a nn.
Для вычисления определителя иногда оказывается удобным приведение матрицы к треугольному виду с
использованием свойств определителя.
Выберем в матрице A  M mn k строк и k столбцов (k  m, k  n) . Из элементов, стоящих на
пересечении выделенных строк и столбцов составим определитель k-го порядка, который назовем минором
k–го порядка матрицы .
Пример 5. Найти минор 2-го порядка матрицы
v
v




2

3
1
5
4


A
0 6  2 7 3 v


8 1  4 3 9 v


(выбранные строки и столбцы отмечены знаком « v »).
Решение. Имеем
6 7
 25 .
1 3
Рангом матрицы A называется неотрицательное целое число r, удовлетворяющее двум условиям:
1) существует по крайней мере один минор порядка r матрицы A, отличный от нуля;
2) все миноры порядка (r+1) матрицы  равны нулю.
При этом пишут rank  = r. Если rank  = r, то любой отличный от нуля минор порядка r матрицы 
называется базисным минором.
Теорема 2. Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы  равно максимальному
числу линейно независимых строк матрицы . Больше того, это число равно рангу матрицы .
Не изменяют ранга матрицы нижеследующие операции:
1) перестановка столбцов или строк;
2) умножение столбца (строки) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к столбцу (строке) другого столбца (другой строки),
умноженного предварительно на некоторое число;
4) зачеркивание нулевого столбца (строки);
5) транспонирование.
Трапецеидальной матрицей называется матрица A  M mn , имеющая вид
 a11 a12

 0 a 22
A 0
0

 
 0
0

где
a11  0,
a13
a 23
a33

0
 a1m1
 a 2m1
 a3m1
 

0
a22  0, , amm  0.
a1m
a 2m
a3m

am m
 a1n 

 a 2n 
 a3n  ,

 
 a m n 
Другими словами, матрица
A  (ai j )  M mn , m  n
является
трапецеидальной, если ai j  0 при
i  j и a11a22  amm  0.
Ранг трапецеидальной матрицы A  M mn , m  n равен m. Для нахождения ранга матрицы достаточно,
пользуясь
преобразованиями
1)4), называемыми элементарными, привести матрицу к трапецеидальному виду.
Пример 6. Найти ранг матрицы
2 1
 3 1 5


 1 2  2 0 3
A
.
1
3
1
2 7


 8  1 13  4 4 


Решение. С помощью элементарных преобразований приведем матрицу A к трапецеидальному
виду:
2 1
 3 1 5
 1 2  2 0 3





1
2

2
0
3
2 1  l 2  3l1


 3 1 5


1
1 3
3
1
2 7
1
2 7  l3  l1




 8  1 13  4 4 
 8  1 13  4 4  l  8l
1



 4
3
 1 2  2 0
1



 0 5  1 2 10 
 0


 0
0 5  1 2 10  l3  l 2



 0
 0 15  3  4 28  l  3l

4

2
2 2
5 1
0
0
0
0
3 

10 

0
0 

 10  2 
0
2
3  1 2
0
2 3 
1 2  2 0

 

  0 5 1
2
10   0 5
2
 1 10 .


 0 0 0  10  2 

  0 0  10 0  2 
Ранг последней матрицы, являющейся трапецеидальной, равен 3; следовательно, rank A = 3.
Из определения ранга следует, что матрица A  M n является невырожденной в том и только в том
случае, если rang = n.
5. Системы линейных алгебраических уравнений
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система уравнений вида
 a11x1  a12 x 2  a1n x n  b1 ,
 a x  a x  a x  b ,
 21 1
22 2
2n n
2
.

 
am1x1  am2 x 2  amn x n  bm .
(3)
Система (3) называется однородной, если свободные члены равны нулю: b1  b2    bm  0. Однородная
система всегда является совместной  она имеет решение x1  x 2  x n  0 (возможно, не единственное).
Матрицы
a12  a1n 
 a11
 a11 a12  a1n b1 




 a21 a22  a2n  ~  a21 a22  a2n b2 
A
, A
 называются матрицей системы (3) и

  
     



a

a

 m1 am2  amn 
 m1 am2  amn bm 
расширенной матрицей системы (3) соответственно; столбцы
 b1 
 x1 
 
 
b 
 x2 
X   ,
B 2


 
 
x 
b 
 n
 m
называются столбцом неизвестных и столбцом свободных членов соответственно. С учетом этих
обозначений систему (3) можно записать в матричной форме
(4)
AX  B.
Рассмотрим отдельно случай квадратной системы, когда m  n, и общий случай.
1. Квадратная система. Существует три основных метода решения совместной СЛАУ
 a11x1  a12 x 2  a1n x n  b1 ,
a x  a x  a x  b ,
 21 1 22 2
2n n
2
(5)



 an1x1  an2 x 2  ann x n  bn
а) правило Крамера;
б) матричный способ;
в) метод Гаусса.
а) Обозначим
a11 a12  a1n
b a
a
 a

2 
a21
a22

a2n




an1
an2

ann
a11 b1
a21 b2
,
a13  a11n
a23  a2n
   
an1 bn an3 

ann
1 
1
12
b2
a22
a23  a2n

bn

an2
  
an3  ann
, , n 
13
1n
,
a11 a12
a21 a22
a13  b1
a23  b2
 
an1 an2
  
an3  bn
(определитель  i получается из  заменой i-го столбца на столбец свободных членов). Правило Крамера
состоит в том, что при   0

x i  i , i  1, 2,  , n.

б) Система (5) совместна при det A  0 и имеет единственное решение – столбец X  A 1B.
В этом и состоит матричный способ решения системы (5).
~
в) При решении методом Гаусса расширенную матрицу A
системы (5) элементарными преобразованиями приводят к треугольному виду.
Вектором a называется направленный отрезок в пространстве (на плоскости). Вектор имеет две
характеристики: длину, называемую также модулем и обозначаемую a , и направление. Принято также
вектор обозначать двумя буквами, первая из которых указывает начало вектора, вторая – конец: a  AB .
Два вектора считаются равными, если они:
B
1) равны по длине, 2) лежат на параллельных
прямых, 3) сонаправлены. Вектор, имеющий
нулевую длину (т.е. у которого совпадают начало A
и конец), называется нуль-вектором или нулевым вектором и обозначается 0, нуль-вектор считается
параллельным любому вектору. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором
или ортом.
Суммой векторов a и b называется вектор c , определяемый по правилу: если путём параллельного
переноса совместить начало вектора b с
+ b
c =a
b
концом вектора a , то начало вектора c
a
совпадает с началом a , а конец c – с
Рис.а)
концом b ; при этом пишут c  a  b
(рис. а). Векторы можно складывать и по
+b
b
c =a
«правилу параллелограмма» (рис. б).
Если слагаемых больше, то используют
a
Рис.б)
правило замыкания ломаной (рис.в) .
Справедливо правило
a
a
уничтожения средней буквы:
a +
+
a
a +
AB  BC  AC .
c=
Произведением вектора a на
действительное
число

a
a
называется вектор, обозначаемый
a
(или
и
a
a )
Рис.в)
удовлетворяющий
следующим
требованиям:
1)  a    a ; 2)  a и a параллельны; 3)  a и a сонаправлены при   0 и направлены в
4
4
3
2
1
3
1
2
противоположные стороны при   0 .
Эти две операции обладают привычными для нас свойствами: a  b  b  a , a  b  c  a  b  c ,
a  b  a  b и т.д.
Единичный вектор, параллельный a и сонаправленный с ним, называется ортом вектора a и
обозначается a 0 ; a 0  a a .
Векторы a1 , a 2 называются коллинеарными, если они параллельны.
Тройка векторов a1 , a 2 , a 3 называется компланарной, если путём параллельного переноса все три
вектора удаётся поместить в одну плоскость.
Система векторов a1 , a 2 , , a n называется линейно зависимой, если существуют числа 1 ,  2 , ,  n , не
n
все равные нулю и такие, что 1a1   2 a 2     n an  0 . Если же равенство
 a
j j
 0 возможно лишь
j 0
 nj1 называется линейно независимой.
при 1   2     n  0 , то система векторов a j
Теорема 1. а) Векторы a1 , a 2
коллинеарны в том и только в том случае, если они линейно
зависимы; б) векторы a1 , a 2 , a 3 компланарны в том и только в том случае, если они линейно зависимы.
Упорядоченная тройка e1 , e 2 , e3 (двойка e1 ,e 2 ) некомпланарных (неколлинеарных) векторов
пространства (плоскости) называется базисом во множестве всех векторов пространства (плоскости). Любой
вектор a в пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса e1 , e 2 , e3 :
a  X1e1  X 2 e 2  X 3 e3 ,
более того, такое представление единственно; числа X1 , X 2 , X3 называются координатами вектора
базисе e1 , e 2 , e3 .
a в
При сложении векторов складываются их соответствующие координаты; при
умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число.
Векторы a и b коллинеарны в том и только в том случае, если координаты этих векторов (в
произвольном базисе) пропорциональны.
Если векторы e1 , e 2 , e3 единичные и взаимно перпендикулярны, то они образуют базис, который
называется ортонормированным.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a1 , a 2 , a 3 образует правую (левую) тройку, если
после совмещения их начал путём параллельного переноса, кратчайший поворот от первого вектора a1 ко
второму вектору a 2 виден из конца третьего вектора a 3 совершающимся против (по) часовой стрелки.
Для ортонормированного базиса e1 , e 2 , e3 , образующего правую тройку, приняты обозначения
e1  i, e 2  j, e3  k .
Проекцией вектора a на вектор b (или на ось, параллельную и сонаправленную b ) называют число
пр ba  a  cos  , где  – угол между векторами a и b . В ортонормированном базисе координаты X, Y , Z
вектора a совпадают с его проекциями на базисные орты i, j, k : X  прi a, Y  пр ja, Z  прk a, при этом
a  X 2  Y 2  Z2 .
Обозначим через , ,  углы между вектором a  Xi  Yj  Zk и векторами i, j, k соответственно. Числа
cos, cos, cos называются направляющими косинусами вектора a . Имеют место формулы
cos  
X
X 2  Y 2  Z2
Y
cos  
,
X 2  Y 2  Z2
Часто краткости ради вместо
, cos  
Z
X 2  Y 2  Z2
a  Xi  Yj  Zk
пишут
.
aX; Y; Z.
Аналогичные
определения приняты на множестве векторов плоскости.


Теорема 2. Тройка векторов e1 X1; Y1; Z1 ,
e2 X2 ; Y2 ; Z2 , e3 X3 ; Y3 ; Z3  образует базис в том
и только в том случае, если
X1 Y1 Z1
X2
X3
Y2
Y3
Z2  0 .
Z3
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Придадим значению
переменной x в точке x0 приращение x, при этом f(x) получит приращение f = f(x0 + x) – f(x0). Если
существует конечный предел
f x 0  x   f (x 0 )
f
,
lim
 lim
x 0 x
x 0
x
то он называется производной функции f(x) в точке x0 и обозначается
f x0  .
Общеприняты и другие обозначения производной функции
y = f(x):
dy df
,
; если же y зависит от значения переменной t (времени), то часто вместо
dx dx
yt пишут y . Если вышеуказанный предел существует в каждой точке интервала (a, b),
то f x  становится функцией, определённой на (a, b).
(Здесь и ниже C – постоянная величина.)
C   0 ;
cos x    sin x ;

tgx  12 ;
x p  px p 1 ;
cos x

ctgx   12 ;
a x  a x ln a ;
sin x
1


arc sin x   arc cos x   1 2 ;
;
log a x 
x ln a
1 x
sin x   cos x ;
arc tgx  arc ctgx  1 2 .
1 x
 
 


Если функции f(x) и g(x) имеют производные f x  и gx  , то функции C  f (x) ,
f x   gx  , f x   gx  , f x  gx  также имеют производные (последняя – при условии gx   0 ),
и при этом
C f x   C  f x  ;
f x   gx   f x   gx   f x   gx  ;
f x   gx   f x   gx  ;

 f x   f x gx   f x gx 

 
.
gx 2
 gx  
Производную от производной f x  называют второй производной от функции f(x)
и обозначают f x  : f x   f x  . Производную от f x  называют третьей производной
функции f(x) и обозначают f x  . Таким образом,



f x   f x  , f x   f x  , . . . , f n  x   f n 1 x  , . . .
Общепринятыми являются и другие обозначения производной n-го порядка функции y = f(x):
dn y
или
dx n
d n f x 
. Если функция f(x) зависит от переменного t (времени), то вторую и третью производные иногда
dx n
обозначают x, x .
Придадим
аргументу
x
в
точке
x0
приращение
x
y = f(x) получит приращение f  f x 0  x   f x 0  . Если существует число А, такое, что
,
функция
(6)
f  A  x  ox  ,
то говорят, что f(x) дифференцируемая в точке x0 ; линейная часть A  x приращения функции называется
дифференциалом функции в точке x0 и обозначается df x 0 ; x  или dyx 0 ; x  (или просто df , dy).
Если x – независимое переменное (т.е. не зависит от других переменных), то полагают dx  x .
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), заданной на числовом
множестве X, если Fx   f x  для любого x  X . Совокупность всех первообразных
функции f(x) называется неопределённым интегралом от f(x) и обозначается
 f x  dx .
Любые две первообразные для одной функции отличаются на константу (постоянную
величину).
Другими словами, имеет место равенство
 f x dx  Fx  C ,
где F(x) – некоторая
(фиксированная) первообразная для f(x), а С пробегает всевозможные числовые
значения.
Не всякая функция имеет первообразную. Однако если f(x) – непрерывная функция, то она имеет
первообразную.

x p dx 
x
dx
a
x
x p 1
 C, p  1 ,
p 1
x
 ln x  C ,
dx 
x
x

a
C,
ln a
dx
a
2
2
dx
a
2
2

1
x
arctg  C ,
a
a

1
x a
ln
C ,
2a x  a
dx
 arcsin
a x
dx
2
x a
dx
2
x a
2
2
 sin x dx   cos x  C ,

 cos x dx  sin x  C ,

 cos
 tgx  C ,
 shx  chx  C ,
 ctgx  C ,
 chx  shx  C ,
dx
 sin
2
x
dx
2
x
 sin x  ln tg 2  C ,
dx
x
x

2
2
 ln x  x 2  a 2  C ,
 ln  x  x 2  a 2

 ch x  thx  C ,
dx
2
 cos x  ln tg 2  4   C ,  sh x  cthx  C .
dx
dx
2
x
C,
a
C ,


1)
2)
3)
 df x   f x   C ;
 k f xdx  k f xdx , где k – постоянная величина;
 f x  gxdx   f x dx   gxdx .
(свойства 2 и 3 составляют так называемое свойство линейности).
Если u(x), v(x) дифференцируемы, то справедлива формула интегрирования по
частям
 udv  uv   vdu .
Эту формулу следует применять в тех случаях, когда подынтегральное выражение vdu
проще исходного выражения udv.
Ниже приведены основные типы интегралов, берущихся по частям.
I тип


sin  x 
Pn x   
dx
cos  x 
e  x 
Pn x   
dx
a  x 
II тип
m

arcsin x 


arccos x 
Pn x   
 dx
arctgx 
arcctgx 


III тип
(интегралы,
приводящиеся к себе)
sin  x 
e x  
dx
cos  x 

 sinln x dx
Pn x  ln x m dx

x

ln x 
m
dx,   1
 cosln x dx
2
2
 a  x dx
2
2
 x  a dx
За u принимаются подчёркнутые функции, за dv – остальная часть подынтегрального выражения. Pn
(x) – многочлен степени n. Интегралы I типа берутся путём интегрирования по частям n раз, II типа – m раз,
III типа (за исключением двух последних) – 2 раза (причём, в первом интеграле III типа оба раза за u можно
принять как e x , так и тригонометрические функции sin x , cosx ).
Интегрирование рациональной функции
a x n  a n 1 x n 1    a 1 x  a 0
Pn x 
, a n b m  0 , являющейся
 n m
Q m x  b m x  b m 1 x m 1    b1 x  b 0
правильной дробью (т.е. при
deg Pn x   n  deg Q m x   m ), производится путём представления этой функции в виде суммы простых
дробей. Если же дробь является неправильной ( deg Pn x   n  deg Q m x   m ), то её представляют в виде
суммы многочлена и правильной дроби, затем интегрируют эти слагаемые.
При интегрировании функций вида sin n x  cos m x лучше придерживаться следующего
правила: 1) если хотя бы одно из чисел n или m нечётное положительное число, то,
отделяя первую степень соответствующего множителя, подводим его под знак
дифференциала, а оставшуюся часть (чётную степень) этого множителя выражаем через
её ко-функцию, пользуясь тождеством sin 2 x  cos 2 x  1 , и это приведёт к интегралу от
степенной функции; 2) если n и m – чётные числа, то с помощью формул sin 2 x 
cos 2 x 
1  cos 2x
,
2
1  cos 2x
достигается упрощение вида подынтегральной функции.
2
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b]. Разобьём этот отрезок точками a =
x0
<
x1
<
x2
<
…
<
xn
=
b
на
n
частей
[xk-1;
xk],
1  k ≤ n; обозначим x n  x k  x k 1 . Число   max x k , 1  k  n, назовём диаметром
разбиения. Возьмём в каждом частичном отрезке [xk-1; xk] по точке tk и образуем
следующую сумму, называемую интегральной:
n
 f (t
k ) x k
.
k 1
Если существует конечный предел интегральных сумм при   0 , предел, не зависящий ни от способа
разбиения отрезка [a; b], ни от выбора точек t k  [a k ; b k ] , то функция f(x) называется интегрируемой на [a;
b
b], а сам предел – определённым интегралом от f(x) на [a; b] и обозначается
 f (x )dx .
a
По определению положим
a
b
a
b
a
a
 f (x )dx =   f (x )dx ,  f (x)dx  0 .
Если f(x) непрерывна на [a; b], то она интегрируема на [a; b]. К интегрируемым функциям относятся
также: 1) монотонно возрастающие (убывающие) и ограниченные на [a; b]; 2) ограниченные и имеющие
лишь конечное число точек разрыва на [a; b] .
Определённый интеграл обладает следующими свойствами:
1) если f(x) интегрируема на большем из отрезков [a; b], [b; c],
[a; c], то f(x) интегрируема и на двух других и при этом
c
b
c
a
a
b
 f (x )dx =  f (x )dx +  f (x )dx ;
2) если f(x) и g(x) интегрируемы на [a; b], то f (x)  g(x) также интегрируема на [a; b] и при этом
b

b
b


(f ( x )   g ( x )) dx =  f ( x )dx +  g ( x )dx ;
a
3) если
b

a
a
f (x) интегрируема на [a; b], то f(x) также интегрируема на [a; b] и при этом
b
f ( x )dx 
a
 f (x) dx ;
a
b
4) если f(x) и g(x) интегрируемы на [a; b] и f(x)  g(x) x  [a; b] , то

b

f ( x )dx  g ( x )dx ;
a
a
b

5) если f(x) интегрируема на [a; b] и m  f(x)  M x  [a; b] , то m(b  a )  f ( x )dx  M(b  a ) .
a
Теорема 2. Если F(x) – первообразная функции f(x), непрерывной на [a; b], то
b
 f (x)dx  F(b)  F(a)
a
(формула Ньютона-Лейбница).
b
Разность F(b)  F(a ) часто обозначают F( x ) a .
y
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций x = a, x =
b

b, y = 0, y = f(x) ( f(x)  0 при x  [a; b]), находится по формуле S  f ( x )dx
y=f(x)
a
0
a
b
x
Если фигура (D) ограничена графиками функций x = a, x = b, y = f(x), y = g(x), f(x) 
g(x), при x [a; b], то площадь S фигуры
(D) находится по формуле
b

S  (f ( x )  g( x )) dx .
a
y
y
3
y=f(x)
-1
0
a
b x
y=g(x)
1
x