Площади фигур по формуле Пика.

Площади фигур по формуле Пика.
Как определить площадь сложной фигуры? Если она нарисована на
клетчатой бумаге, и площадь ее ненулевая, все вершины имеют целые
координаты, а стороны не пересекают друг друга – то удобно
воспользоваться формулой Пика.
Если обозначить: В – количество целочисленных точек внутри этой
фигуры, Г - количество целочисленных точек на ее границе, S – площадь
фигуры, то
S=В+Г/2-1
Рассмотрим следующую фигуру:
Обозначим все внутренние целочисленные точки красными кружками, а те,
что на границах – синими. Целочисленные – это те, что лежат на
пересечениях сетки (в ее узлах). Считаем те и другие: В=12, Г=4. Определим
теперь площадь по формуле: S=В+Г/2-1=12+2-1=13.
Давайте проверим правильность наших расчетов, тем более, что здесь это
просто: рассчитаем площадь квадрата, обведенного красным, и вычтем
площади цветных треугольников:
Тогда площадь квадрата S кв=36, площадь голубого треугольника 6, площадь
зеленого – 2, площадь фиолетового 15.
Площадь белого треугольника тогда: S=36-6-15-2=13.
Рассмотрим такую фигуру:
Для нее S=В+Г/2-1=4+3-1=6.
Проверим:
Тогда площадь прямоугольника Sпр=20, площадь голубого треугольника 5,
площадь зеленого – 4, площадь фиолетового 5.
Площадь искомой фигуры тогда: S=20-5-4-5=6.
Третья фигура:
Для нее S=В+Г/2-1=4+4-1=7.
Проверим: площадь треугольников, составляющих нашу фигуру: голубого –
4, зеленого – 1, оранжевого – 2. Сумма их площадей S=4+1+2=7.
Еще две фигуры:
Площадь первой: S=10+2-1=11,
второй – S=10+5-1=14.
Проверить правильность расчета их площадей вы можете самостоятельно.
Теорема Пика. Пусть — число целочисленных точек внутри
многоугольника, — количество целочисленных точек на его границе,
его площадь. Тогда справедлива формула Пика:
Пример. Для многоугольника на рисунке
(желтые
точки),
(синие точки, не забудьте о вершинах!),
поэтому
квадратных единиц.
—
Вот здесь вы можете сами строить различные многоугольники, а площадь их
будет вычислена по формуле Пика (многоугольники, присутствующие в этой
статье, построены именно там).
Доказательство теоремы Пика. Сначала заметим, что формула Пика верна
для единичного квадрата. Действительно, в этом случае мы
имеем
и
.
Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки.
Пусть длины его сторон равны и . Имеем в этом
случае
и, по формуле
Пика,
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на
осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со
сторонами и , рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по
диагонали. Пусть на диагонали лежат целочисленных точек. Тогда для
этого случая
и получаем,
что
Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав
от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно,
прямоугольник (см. рисунки). Поскольку и для прямоугольника, и для
прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она
будет справедлива и для произвольного треугольника.
Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к
многоугольникам. Любой многоугольник можно разбить на треугольники
(например, диагоналями). Поэтому нужно просто доказать, что при
добавлении любого треугольника к произвольному многоугольнику формула
Пика остается верной.
Пусть многоугольник
и треугольник имеют общую сторону.
Предположим, что для
формула Пика справедлива, докажем, что она
будет верна и для многоугольника, полученного из
добавлением . Так
как
и имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на
этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового
многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число
общих точек через и получим
— число внутренних целочисленных точек нового
многоугольника,
— число граничных точек нового
многоугольника.
Из этих равенств получаем
Так как мы предположили, что теорема верна для
то
и для
по отдельности,
Тем самым, формула Пика доказана.
К сожалению, эта замечательная формула не обобщается на большие
размерности, даже на трехмерный случай. Это показал Рив. Рассмотрим
тетраэдр Рива, вершины которого имеют координаты
(Здесь — произвольное натуральное число.) При любом внутри этого
тетраэдра нет ни одной целочисленной точки, а на границе нет никаких
целочисленных точек, кроме
и . Таким образом, при различных
объемах и площадях поверхностей данных тетраэдров число целочисленных
точек, которые лежат внутри них и на их границах, остается неизменным, и
обобщения формулы Пика получить не удается.
Однако некоторое обобщение получается с помощью полиномов Эрхарта.