Введение в мат.анализ бакалавры

1
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Множество. Числовые множества.
Множества
обычно
обозначаются
большими
буквами
А,В,Х,…Элементы множества обычно обозначаются малыми буквами: а  А
и
читается «а принадлежит множеству А». Запись а  А означает, что а не является
элементом
множества
А.
Элементы
множества
выписываются
подряд
и
заключаются в фигурные скобки А = {а,б,в}.
Если Х – некоторое множество, а Р – какое-то свойство, то запись {х  Х: Р}
обозначает совокупность элементов множества Х, обладающих свойством Р.
Числовые множества – множества, элементами которых являются числа.
В курсе математики приняты следующие стандартные обозначения:
N - множество натуральных чисел,
Z - множество целых чисел,
Q - множество рациональных чисел,
R – множество действительных чисел.
Действительные
числа
изображаются
точками координатной
прямой
(числовой оси) Ох.
Неравенства между действительными числами на координатной прямой
получают простое истолкование. Если х1 > х2, то точка с координатой х1 лежит
правее точки с координатой х2. Расстояние между точками М1 и М2 координатной
прямой равно абсолютной величине разности их координат х2 и х1: М1М2 = х2  х1 .
Опр. Множество Х называется ограниченным сверху, если существует число
М такое, что для x  X выполняется неравенство x  M . Число М называется
верхней границей множестваХ.
Опр. Множество Х называется ограниченным снизу, если существует число
т такое, что для x  X выполняется неравенство x  m . Число т называется
нижней границей множестваХ.
Опр. Множество, ограниченное и сверху и снизу называется ограниченным.
Пример. Множество N = {1,2,3…} натуральных чисел ограничено снизу
( inf N  1 N ), но не ограничено сверху.
2
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
Опр. Пусть заданы два множества Х и У. Если каждому элементу х из
множества
Х по некоторому закону у = f(х) поставлено в соответствие
единственное значение переменной у из множества У, то переменную у
называют функцией от х. Переменная х называется независимой переменной
или аргументом, множество Х называется областью определения функции.
Множество { f(х)} называют областью значений функции у = f(х).
Итак, задание функции предполагает задание множеств Х и У и закона
соответствия между элементами х и у этих множеств.
Опр. Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат. Графиком
функции у = f(х) называют множество точек М(х, f(х)) плоскости, т.е.
множество точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты –
соответствующим значениям функции.
Используются следующие способы задания функции: аналитический,
графический и табличный.
Если функция задана формулой, то говорят, что она задана аналитически. Если
при этом область определения не указана, то считают, что область определения
состоит из всех значений аргумента, при которых эта формула имеет смысл.
у
5
, х  3.
х3
Основные понятия, связанные с функцией
Опр. Функция у = f(х) называется на множестве Х
1) возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее
значение функции:
если из х2  х1  f ( x2 )  f ( x1 )x1 , x2  X
3) убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее
значение функции: если из х2  х1  f ( x2 )  f ( x1 )x1 , x2  X
Возрастающие и убывающие функции называются также строго монотонными.
Опр. Функция у = f(х) называется на множестве Х
1) ограниченной сверху, если существует такое число М, что для всех х  Х
выполняется неравенство f(х)  М. График функции ниже прямой у = М
3
2) ограниченной снизу, если существует такое число m, что для всех х  Х
выполняется неравенство f(х)  m. График функции вышее прямой у = m
3) ограниченной, если она ограничена сверху и снизу, т.е. существуют такие
числа m и М, что для всех х  Х выполняется неравенство m  f(х)  М. График
функции между прямыми у = m и у = М.
Опр. Функция у = f(х) называется на множестве Х
1) четной, если для  х  Х
2) нечетной, если для  х  Х
f(-x) = f(x)
f(-x) = -f(x)
Предполагается, что область определения четных и нечетных функций
симметрична относительно начала координат.
Из определения следует, что график четной функции симметричен
относительно оси ОУ, нечетной – относительно начала координат.
Опр. Функция у = f(х) называется периодической, если  число Т > 0 такое, что
f(х+Т) = f(х) для  х  Х .
Наименьшее из всех Т, удовлетворяющих этому условию, называется
периодом функции.
Опр. (Обратной функции)
Пусть функция
у = f(х) монотонна в своей области определения Х и имеет
область изменения У = { f(х) } . Тогда каждому значению х  Х соответствует
единственное значение у  У и наоборот. В этом случае можно построить
новую функцию , определенную на множестве У такую, что каждому
у  У ставится в соответствие х  Х , удовлетворяющее уравнению у = f(х). Эта
новая функция называется обратной по отношению к функции у = f(х).
Для нахождения функции , обратной данной у = f(х), надо выразить х через
у: х=g(у), а затем записать полученную функцию в общепринятой форме у =
g(х) = f-1(x).
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы
1-го и 3-го координатных углов( прямой у=х)
Пример. у=х2 на промежутке (-  , 0].
у=2х
Опр. (сложной функции)
4
Пусть функция z = g(x) определена на множестве Х, а функция у = f(z)
определена на множестве Z, причем {g(x)}  Z. Тем самым каждому х  Х
ставится в соответствие значение z  Z, а этому z, в свою очередь, ставится в
соответствие значение у.Таким образом каждому х  Х ставится в соответствие
у и поэтому у будет функцией от х. Такая функция называется сложной
функцией и обозначается
у=f(g(x))
Аргументом такой функции является функция g(x), и таким образом сложная
функция – это функция от функции. Сложную функцию называют также
суперпозицией функций z = g(x) и у = f(z).
Заметим, что в определении сложной функции важно, что множество
значений функции z = g(x) входит в область определения функции у = f(z).
Аналогично можно ввести суперпозицию трех и большего числа функций.
Пример1. Функция у=sin2ln(x) является суперпозицией функций у=u2, u=sin v,
v=ln x на множестве Х=(0,+  ).
Пример 2. Функция z=sin x – 2 и y=√z не определяют сложной функции, так как
множество значений функции z=sin x – 2 не принадлежит области определения
функции y=√z .
Предел функции
Понятие предела функции
Одной из основных задач математического анализа является изучение
поведения функции в достаточно малой окрестности т.х0 или при x   . В
связи с этим возникло понятие предела ф-ции при x  x0 и x   .
В зависимости от поведения функции y  f ( x) геометрически возможны
следующие ситуации, дадим для каждой из них определение предела функции с
использованием логических символов.
1. lim f ( x)  A .
x  x0
Определение означает, что для х достаточно близких к х0 значения функции
f ( x ) отличаются от А сколь угодно мало.
2. lim f ( x)  A
x 
5
Определение означает, что для х достаточно больших, значения ф-ции f ( x)
отличаются от А сколь угодно мало.
3. lim f ( x)  
x  x0
Определение означает, что для х достаточно близких к х0 значения ф-ции
f ( x ) становится сколь угодно большими.
4. lim f ( x)  
x 
Определение означает, что для х достаточно больших значения ф-ции f ( x)
становится сколь угодно большими.
Односторонние пределы функции
В тех случаях, когда возникает необходимость в изучении поведения ф-ции
y  f ( x) или только в левосторонней  x  x0  или только в правосторонней  x  x0 
полуокрестностях т. х0 используются односторонние пределы ф-ции.
lim f ( x)  A - предел слева.
x  x0 0
lim f ( x)  A - предел справа.
x  x0  0
6

 

Из определения предела следует, что lim f ( x)  A  lim f ( x)  lim f ( x)  A .
x  x0
x  x0  0
x  x0  0
Бесконечно малые величины и их свойства
Опр. Ф-ция  ( x ) называется б.м. при x  x0 , если lim  ( x)  0 .
x  x0
Подчеркнем, что понятие б.м., как и понятие предела . локальные понятия.
например, ф-ция y 
x2
б.м. при x  2 и б.б при x  3 .
x3
Свойства бесконечно малых величин
1. Б.м. при x  x0 величина ограничена в некоторой проколотой окрестности т.х0.
2. Сумма конечного числа б.м. при x  x0 величин  ( x),  ( x) есть величина б.м.
 ( x) при x  x0 :
 ( x)   ( x)   ( x)
3. Произведение конечного числа б.м. при x  x0 величин  ( x),  ( x) есть величина
б.м.  ( x) при x  x0 :
 ( x)  ( x)   ( x)
4. Произведение б.м.  ( x ) при x  x0 величины на ф-цию f ( x) ,ограниченную в
некоторой окрестности т.х0 или на константу С есть величина б.м при x  x0 :
Если lim  ( x)  0, f ( x)  M ,то lim  ( x) f ( x)  0 .
x  x0
x  x0
1
x
1
x
Например lim x sin  0 т.к. lim x  0, 1  sin  1 , хотя lim sin
x 0
x 0
x 0
1
не существует.
x
5. Для того, чтобы  ( x ) было б.м. при x  x0 необходимо и достаточно, чтобы
1
была б.б. при x  x0 .
 ( x)
Замечание.
Отношение
двух
б.м.
величин
 ( x)
 ( x)
при
x  x0
0
неопределенное выражение вида   .
0
Бесконечно большие величины и их свойства
Опр. Ф-ция A( x ) называется б.б. при x  x0 , если lim A( x)  
x  x0
образует
7
Свойства бесконечно больших величин
1. Сумма б.б. при x  x0 величин A( x), B ( x) одного знака есть величина б.б. C ( x)
при x  x0 :
A( x)  B( x)  C ( x)
2. Произведение б.б. при x  x0 величин A( x), B ( x) есть величина б.б. C ( x) при
x  x0 :
A( x) B( x)  C ( x)
4. Произведение б.б. A( x ) при x  x0 величины на ф-цию f ( x) ,ограниченную в
некоторой окрестности т.х0 или на константу С есть величина б.б при x  x0 :
Если lim A( x)  , f ( x)  M ,то lim A( x) f ( x)   .
x  x0
x  x0
5. Для того, чтобы A( x ) было б.б. при x  x0 необходимо и достаточно, чтобы
1
A( x)
была б.м. при x  x0 .
Замечание.
Отношение
двух
б.б.
величин
A( x)
B( x)
при
x  x0
образует

неопределенное выражение вида   .

Теоремы о пределе функции
Теорема 1. ( основная теорема о пределах)
а) Прямая теорема. Если ф-ция y  f ( x) при x  x0 имеет пределом число А, то в
окрестности этой т. ее можно представить в виде суммы постоянного числа А,
равного пределу ф-ции и б.м. величины α(х),т.е.
если lim f ( x)  A , то f ( x)  A   ( x) .
x  x0
Теорема 2. (о единственности предела).
Если  предел ф-ции y  f ( x) при x  x0 , то этот предел единственный.
Теорема 3. Если ф-ция y  f ( x) имеет в т. х0 конечный предел, то она
ограничена в некоторой O( x0 ) .
выполняться условие f ( x)  B .
8
Теорема 6. (о пределе суммы, произведение и частного)
Пусть lim f ( x)  A и lim g ( x)  B , тогда и ф-ции f ( x)  g ( x) , f ( x) g ( x) ,
x  x0
x  x0
f ( x)
также
g ( x)
имеют конечные пределы при x  x0 , причем
lim  f ( x)  g ( x)   A  B
x  x0
lim  f ( x) g ( x)   A B
x  x0
lim
x  x0
f ( x) A
 ,B  0
g ( x) B
Теорема 7. (о предельном переходе под знаком неравенства)
Если ф-ции f ( x) и g ( x ) в O( x0 ) удовлетворяют неравенству f ( x)  g ( x) , то можно
перейти к пределу в этом неравенстве причем lim f ( x)  lim g ( x) .
x  x0
x  x0
Замечание. К пределу можно переходить под знаком любой элементарной фции в области ее определения, например:
lim ln f ( x)  ln lim f ( x)
x  x0
lim
x  x0
x  x0
f ( x)  lim f ( x)
x  x0
lim sin f ( x)  sin lim f ( x)
x  x0
x  x0
lim f ( x )
lim e f ( x )  e xx0
x  x0
Понятие непрерывности функции в точке
Подчеркнем еще раз, что в определении предела ф-ции не требуется, чтобы
она была определена в т.х0 .
Опр1. Пусть ф-ция y  f ( x) определена в т.х0 и некоторой ее окрестности.
Функция f ( x) называется непрерывной в т.х0, если
lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0
Опр. 3 (на языке приращений):
Функция f ( x) называется непрерывной в т.х0, если
lim y  0
x 0
бесконечно
малому
приращение ф-ции Δу.
приращению
аргумента
Δх
соответствует
б.м
9
Пример. Исходя из определения убедиться, что ф-ция y  x3  2 x непрерывна
на x  R .
y  y ( x  x)  y ( x)   x  x   2( x  x)  x 3  2 x  3x 2x  3xx 2  x 3  2x
3
lim y  0  функция непрерывна на x  R .
x  0
Теоремы о непрерывных функциях
Рассмотрим
несколько
основных
теорем
о
непрерывных
ф-
циях,облегчающих исследование ф-ций на непрерывность. Заметим, что все
теоремы доказываются на основании определения непрерывности ф-ции и теорем о
пределах.
Теорема 1. Если ф-ция y  f ( x) непрерывна в т.х0,то она ограничена в
некоторой окрестности этой точки.
Теорема 3. (о непрерывности суммы, произведения и частного)
Если ф-ции
y  f ( x)
и
y  g ( x)
непрерывны в т.х0,тогда их сумма,
произведение и частное тоже непрерывны в т.х0  g ( x0 )  0 .
Теорема 4. ( о непрерывности сложной ф-ции)
Пусть ф-ции y  f ( z ) и z  g ( x) определяют сложную ф-цию y  f ( g ( x)) в
т.х0 и O( x0 ) . Если ф-ция z  g ( x) непрерывна в т.х0 и ф-ция y  f ( z ) непрерывна в
т. z0 , причем z0  g ( x0 ) , тогда сложная ф-ция непрерывна в т.х0.
Теорема 5. Каждая из простейших элементарных ф-ций непрерывна в любой
т. своей области определения.
Непрерывность каждой элементарной ф-ции доказывается отдельно либо на
основании определения непрерывности, либо с использованием теорем о
непрерывных ф-циях.Докажем непрерывность ф-ции
1. y  sin x
x
x
cos( x  )
2
2
x
x
lim y  lim 2sin
cos( x  )  0
x 0
x 0
2
2
y  sin( x  x)  sin x  2sin
б . м.
огран .
10
Использование непрерывности при нахождении пределов
1.Если ф-ция y  f ( x) непрерывна в т.х0, тогда согласно определению
непрерывности
lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0
это значит, что для нахождения предела
f ( x ) при x  x0 достаточно
вычислить значение ф-ции в т.х0. Именно так и поступают при нахождении
предела элементарной ф-ции, если х0 принадлежит области определения ф-ции:
x 
 
lim lg sin 
 lg sin    lg1  0

x2
 4 
2
lim arctge x  arctge0 
x 0

4
2. При вычислении пределов широко используются теоремы о пределах и
свойства б.м. и б.б. величин.
Если функции y  f ( x) и y  g ( x) непрерывна в т.х0, то
lim  f ( x)  g ( x)   f ( x0 )  g ( x0 )
x  x0
lim  f ( x) g ( x)   f ( x0 ) g ( x0 )
x  x0
lim
x  x0
f ( x) f ( x0 )

, g ( x0 )  0
g ( x) g ( x0 )

 x

lim  tg
 cos  x   tg  cos  1  1  0
x 1
4
 4

lim esin x arccos x  e0
x 0

2


2
Но, к сожалению, эти теоремы и свойства не всегда применимы. для примера
рассмотрим функцию
y
x2  4 x  3
.
x2 1
Предел этой функции легко находится по теореме о пределе частного,
например, при x  2 :
lim
x 2
x2  4 x  3 4  8  3
1

 .
2
x 1
4 1
3
Но эта теорема не применима при x 1 (в этом случае числитель и
знаменатель стремятся к 0) и при x   (в этом случае числитель и знаменатель
11
стремятся к бесконечности). В первом случае говорят о неопределенном
0
выражении вида   , во втором о неопределенном выражении вида
0
 

 .

3. Пусть lim f ( x)  C(C  0), lim  ( x)  0, lim u( x)   .
x  x0
x  x0
x  x0
Найдем пределы:
f ( x)  C 
 
x  x0  ( x )
0
f ( x)  C 
lim
 0
x  x0 u ( x )

lim
 ( x)
0  1
     0   0 0  0
x  x0 u ( x )
  
u ( x)     1 
lim
           
x  x0  ( x )
 0   0
lim
C 
C 
0

   ,    0,    0,    
0


0
4. Перечислим неопределенные выражения, которые нужно раскрывать с
помощью специальных приемов
0 
0
0

  ,   ,      ,  0   ,  0  ,    , 1  .
0 
Решение задач
Приступая
к решению
задач на
вычисление пределов,
предельные значения простейших элементарных функций.
посмотрим
12
13
14
15
16
17
18
1. Степенные ф-ции:
lim x n  , n  N
x 
, n  четное
lim x n  
x 
, n  нечетное
,   0
lim x  
x 
0,   0
2. Показательная ф-ция
, a  1
lim a x  
x 
0, 0  a  1
0, a  1
lim a x  
x 
, 0  a  1
3. Логарифмическая ф-ция
, a  1
lim log a x  
x 
, 0  a  1
, a  1
lim log a x  
x 0  0
, 0  a  1
19
4. Тригонометрические ф-ции:
lim tgx  
lim ctgx  

x 0
2
x 0  0
lim tgx  
lim tgx  

x 0  0
x 0
2
sin x
cos x

не существует
lim 
x  tgx

ctgx
5. Обратные тригонометрические ф-ции
lim arctgx 
x 

2
lim arctgx  
x 

2
lim arcctgx  0
x 
lim arcctgx  
x 
Примеры нахождения пределов в случае отсутствия неопределенности
1. lim
x2  5x  6  0 
 0
x 2  3x  4  6 
2. lim
x2  5x  6  2 
 
x 2  3x  4  0 
x 2
x 1
3. lim
x 0  0
ln x   
1

ln x       
  xlim

0

0
x
x
 0 
3 x  2 

0
x 1
 x   
tg
2
4. lim
5. lim
x 1
1 x  0 
1
    lim 1  x 
 0 0  0
x

1
x 
x
tg
tg
2
2
6. lim x sin
x 0
б . м.

x
0
огранич.
7. lim x arctgx  
x 
б .б .

2
20
8. lim x  2  sin x   
x 
б .б .
огранич.
1 2 sin x 3
9. lim x sin x  не  существует
x 
б .б . x  k
sin  k  0
  0

10. lim 
 lg  x  1         
x 1 0 x  1


1


x  ,  

5 4 

11. lim x

x  3  2
 x  , 4  2

2
x
Первый замечательный предел
Предел отношения синуса бесконечно малого аргумента к самому аргументу
равен 1:
sin x
1
x 0
x
lim
sin   x 
 1.
x  x0
  x
Заметим, что если lim  ( x)  0 (т.е.  ( x ) - б.м. при x  x0 ,то lim
x  x0
Это очевидно следует из первого замечательного предела, если ввести
переменную t   ( x) , которая стремится к 0 при x  x0 .
sin   x 
sin x
 1.
 1 , lim
x  x0
x 0
  x
x
Итак lim
1) lim
x 0
sin 3x  0 
sin 3x
3
3
   lim
x

0
x 0
3x
1  cos 4 x  0 
2sin 2 2 x
sin 2 x sin 2 x
 lim 2
48
Примеры: 2) lim
   lim
2
2
x 0
x

0
x

0
x
x
x
x
0


sin   x 
cos x  0 
2
1
3) lim
 lim





 2
x   2 x  0 
x
2
2 2
 x
2

Следствия первого замечательного предела
arcsin x  0 
   1.
x 0
x 0
1. lim
21
2. lim
x 0
tgx  0 
   1.
x 0
arctgx  0 
  1.
x 0
x 0
3. lim
Второй замечательный предел
Вторым замечательным пределом принято называть
x
 1
lim 1    e .
x 
 x
 1
Заметим, что при x   функция 1  
 x
x
представляет неопределенное
выражение вида 1  .
Второй замечательный предел используется при раскрытии неопределенных
выражений вида 1  .
2
1) lim 1  5 x  x  e10
x 0
2x
 3
2) lim 1    e 6
x 
 x
1
3) lim 1  sin 2 x  x  e 2
x 0
Следствия второго замечательного предела
log a 1  x   0 
   log a e
x 0
x
0
1) lim
ln 1  x   0 
  1
x 0
x
0
2) lim
ax 1
 ln a
x 0
x
ex 1
4) lim
1
x 0
x
3) lim
Сравнение б.м. величин
Пусть даны две б.м. при x  x0 (или x   ) величины  ( x ) и  ( x) :
lim  ( x)  0, lim  ( x)  0 .
x  x0
x  x0
22
Если lim
x  x0
  x
 1 , то эквивалентные б.м
  x
Опр. Если  ( x) ~ C  x  x0 
k
при x  x0 , тогда C  x  x0   k  0  называют
k
главной частью б.м.  ( x ) .
Эквивалентные б.м. величины
lim
x  x0
  x  0 
 1  ( x) ~  ( x) .
  x   0 
Теорема 2. Предел отношения 2-х б.м. величин равен пределу отношения
эквивалентных им б.м. величин.
 ( x ) ~  * ( x)
 ( x) ~  * ( x)
  x
 *  x
lim
 lim *
x x   x 
x x   x 
0
0
Таблица эквивалентных б.м. величин, которые следуют из первого и
второго замечательных пределов и их следствий
1) sin  ( x) ~  ( x)
2) arc sin  ( x) ~  ( x)
3)tg ( x) ~  ( x)
4) arctg ( x) ~  ( x)
5) ln(1   ( x)) ~  ( x)
6)e ( x )  1 ~  ( x)
Сравнение б.б. величин
Пусть даны две б.б. при x  x0 (или x   ) величины U ( x) и V ( x ) :
lim U ( x)  , lim V ( x)   .
x  x0
x  x0
U  x
 1 , то эквивалентные б.б
x  x0 V  x 
Если lim
В качестве эталонных б.б. для сравнения берут обычно простейшие, ими
являются : x при x   ,
1
при x  x0 ,
x  x0
1
при x  0 .
x
23
Опр. Если U ( x) ~
C
 x  x0 
p
 p  0  при
x  x0 , тогда
C
 x  x0 
называют
1
.
x  x0
главной частью б.б. U ( x) , а число p - ее порядком пао отношению к
Главная часть многочлена 3x5  2 x3  7 x 2
p
3x5 при x   и 7 x 2 при x  0 .
0
Раскрытие неопределенности вида   .
0
 
Pn ( x)  0 
 .
x  x0 Q ( x) 0
 
m
I) lim
Если x0 - корень многочлена, то этот многочлен делится без остатка на
 x  x0  . Разделим числитель и знаменатель на  x  x0  .
x2  5x  6  0 
   lim
x 2 3 x 2  4 x  4 0
  x 2
1. lim
2. lim
x 2
 x  2  x  3
1
 .
2
8

3 x  2  x  
3

 x  2   x3  x 2  2 x  2  18
x 4  x3  2 x  4  0 

lim

 
 
2
x 2  4 x  4  0  x 2
0
3 x  2
2) В числителе или(и) в знаменателе содержится иррациональность, от
которой нужно освободиться, умножая ее на сопряженное выражение, используя
формулы сокращенного умножения:
 a  b  a  b   a 2  b 2
 a  b   a 2  ab  b 2   a 3  b3
 a  b   a 2  ab  b 2   a 3  b3
lim
x 3
1.
1   x  2
1 x  2  0 
3 x
 lim

   lim
2
2
x

3
x

3
x  2x  3  0 
x

2
x

3
1

x

2
x

3
x

1
1

x

2

 



1


1
lim

x 3
8
 x  1 1  x  2


2 3 x 0
8 x
1
 lim



2
x 8 x  7 x  8 0
108
  x 8  x 2  7 x  8  4  2 3 x  3 x 2

2. lim
8 x  x 1
3. lim
x 1
x 1
 2.
2 5 x


.
24
3) Тригонометрические выражения. Используются следствия 1-го и 2-го
замечательных пределов:
sin 5 x  0 
   5.
x 0
x 0
1. lim
1  cos8 x  0 
2sin 2 4 x
2 16 x 2
 lim
 32 .
   lim
x 0
x 0
x2
x2
x2
 0  x0
2. lim
sin 6 x  sin 2 x  0 
2sin 2 x cos 4 x
2  2x
22
 lim
 lim 2  lim
.


2
2
x 0
x 0
x 0 x
x
x
x
 0  x 0
3. lim
x
x2
2
1  cos x  0 
1  cos x
1
2
4
 lim 2
 lim 2

4. lim
   lim
2
2
x 0
x

0
x

0
x

0
x
4
0
x 1  cos x
x 1  cos x
x 1  cos x
2sin 2

5. lim
x 0




sin 5 x  0  5
 
tg 2 x  0  2
7 x  arctg 2 x  0  5
 
x  0 5 x  arcsin 2 x 0
  7
6. lim
4) Введение новой переменной.
sin  5  5t 
sin 5 x  0  t    x  x    t

 lim



x  sin 6 x 0
t  0 sin  6  6t 
  x   ,t  0
lim
1.
lim
t 0
sin   5t 
sin 5t
5
 lim

sin  2  6t  t 0  sin 6t
6
 t  
  t  1
ctg   
ctg
t

x

1,
x

t

1
 2 2
2 
2
lim
 lim
 lim
x 1 x  1
t

0
t

0
x  1, t  0
t 1 1
t
ctg
2.
x
 t 
tg  
 2   
lim
t 0
t
2
 t  1 t  1  t 2  1 4
x  1  0  t  12 x  x  t12
t 4 1  0 
 lim 3    lim

3. lim 4
 
2
x 1
t 1 t  1 0
3
x  1  0  x  1, t  1
  t 1  t  1  t  t  1
3

Раскрытие неопределенностей вида  

Pn ( x)   
 .
x  x0 Q ( x) 
 
m
I) lim

25
Заменяем числитель и знаменатель эквивалентными величинами
2 x3  x  3   
2 x3
1. lim 3 2    lim 3  2 .
x 
x  x    x x
x 4  100 x   
x4

lim
0.
 
x 
x5  1    x x5
2. lim
2 x3  x  1   
2 x3

lim
  x 2   .
x  x 2  10 x
x

3. lim
4. lim
x 
x  3 x  4 x 
x 1
 .
   lim
4 x  1    x 4 x 2

x3 1
 ,
 xlim
 2 x 3
x3
x3

2

5. lim
.
   lim
3
3
6
x 
x

2x
4x  7   
 lim x   1
 x 2 x3
2
1  2  3  ...  n
1 n
1 1
 lim
n 2  .
2
x 
x  2
n
n
2
6. lim
 n  2 !  n  1!  lim  n  2 !  0 .
n 
n   n  3  !
 n  3 !
7. lim
2n  1   
2n
2

lim
  n n  lim
   0.
n  3n  1 
n

3
 
3
n
8. lim
2 x2
 4 x
9. lim  
x  5
 
2
1
lim
2 x2
2
 4  x x2 1  4  16
 
  
25
5
5
Раскрытие неопределенностей вида      и  0  
С помощью алгебраических преобразований сводим эти неопределенности к
0

неопределенностям вида   или  
0

Раскрытие неопределенностей вида 1 
1
lim 1    x    x   e
  x 0
1. lim 1  5 x 
x 0
2
x
1


 lim 1  5 x  5 x 
x 0


5 x 2
x
e
lim
x0
5 x2
x
 e10 .
26


x
3

  3 
 3
2. lim 1    lim 1      
x 
x 0 

x
x
2x



3. lim 1  sin 2 x 



3
 2 x
x

4. lim  cos x  x  lim 1   cos x  1 
x 0
x 0
1
2
1
cos x 1

2x
1

 e 6 .

1



 lim 1    sin 2 x    sin 2 x 
x 0


1
x
x 0
 x 1 
5. lim 

x  x  2


3
lim  x 2 x
 e x0



 sin 2 x
x
e
cos x 1
x2
lim
 e x0
lim
x0
cos x 1
x2
 sin 2 x
x
 e 2 .
2 sin 2
lim
 e x0
x2
x
2

1
e 2.
e 
6

 x  2   1   x   
6. lim 
    x   
x  3 x  1

 3 

2x
7. lim
x 0
ln  a  x   ln a  0 
   lim
x
 0  x 0
ln
a  x
a
x
 x
ln 1  
a 1
 lim 
 .
x 0
x
a
asin x  1  0 
sin x  ln a
 lim
 ln a .


x 0
x  0  x 0
x
8. lim


2
e x  1   cos x  1 3
e x  cos x
 lim
 .
9. lim
x 0
x 0
x2
x2
2
2
Классификация точек разрыва функции
Напомним, что ф-ция y  f ( x) называется непрерывной в т. х0, если
lim f ( x)  f ( x0 )
(1).
x  x0
Равенство (1) возможно, если выполнены следующие условия:
1. Ф-ция должна быть определена не только в окрестности т. х0 , но и в самой
т. х0.  f  x0   .
2. Должны существовать оба односторонних предела
 lim
x  x0  0

f ( x),  lim f ( x) .
x  x0  0
3. Должно иметь место равенство
lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0 0
x  x0  0
27
Если хотя бы одно из этих условий нарушено, то х0 - точка разрыва ф-ции
y  f ( x) . Принята следующая классификация точек разрыва.
Опр. Точка х0 называется точкой устранимого разрыва 1-го рода ф-ции
y  f ( x) , если односторонние пределы существуют и равны между собой
lim f ( x)  lim f ( x)  A ,
x  x0 0
x  x0  0
а сама ф-ция в т. х0 либо не определена, либо имеет значение, не равное А.
 f ( x0 )  A . Разрыв устраняется, если доопределить значение ф-ции в т. х0 и
изменить его, приняв  f ( x0 )  A :
 f ( x), x  x0
y
 A, x  x0
Опр. Точка х0 называется точкой неустранимого разрыва 1-го рода
(точкой конечного скачка) ф-ции y  f ( x) , если односторонние пределы
существуют, но не равны между собой
lim f ( x)  lim f ( x) ,
x  x0 0
x  x0  0
при этом сама ф-ция в т. х0 может быть и не определена. Если lim f ( x)  A и
x  x0 0
lim f ( x)  B , то число A  B называется скачком ф-ции в т. х0 .
x  x0  0
Опр. Функция y  f ( x) , непрерывная на  a, b за исключением конечного
числа точек разрыва 1-го рода, называется кусочно-непрерывной на  a, b .
Схематично кусочно-непрерывную ф-цию можно изобразить
Опр. Точка х0 называется точкой неустранимого разрыва 2-го рода ф-ции
y  f ( x) , если хотя бы один из односторонних пределов не существуют или равен

 

бесконечности. lim f ( x)    lim f ( x)   .
x  x0  0
x  x0  0
В случае, когда односторонние пределы равны бесконечности, разрыв 2-го
рода называется бесконечным разрывом, а т. х0 – точкой бесконечного скачка фции.
Исследование функции на непрерывность
Исследование на непрерывность состоит в выявлении т. разрыва и определении их
характера.
28
Пример1. Исследовать ф-цию на непрерывность. Изобразить ее схематически.
x2  4
. ОДЗ x  2 .
y
x2
Элементарная ф-ция непрерывна в своей области определения, поэтому ф-ция
может иметь разрыв только в т. x  2 .
x2  4
 lim  x  2   4
x 2 0 x  2
x 2 0
x2  4
.
lim
 lim  x  2   4
x 2  0 x  2
x 2  0
, x  
x2  4
lim
 lim  x  2   lim x  
x  x  2
x 
x 
, x  
lim
x  2 - точка устранимого разрыва 1-го рода
 x2  4
,x  2

y   x2
 4, x  2

Пример 2. Исследовать ф-цию на непрерывность. Изобразить ее схематически.
 x3 ,   x  1
f  x  
3  x, x  1
Каждая из элементарных ф-ций непрерывна в своей области определения, поэтому
ф-ция может иметь разрыв только в точке х=1.
lim x3  1
x 1 0
lim 3  x  2
x 1 0
lim x3  
x 
lim 3  x  
x 
т. х=1 – т. неустранимого разрыва 1-го рода.
Пример 3. Исследовать ф-цию на непрерывность. Изобразить ее схематически.
f  x  e x
1
2
4
. ОДЗ x  2 .
29
1
lim e x
2
lim e x
2
1
4
x 2  0
 e 0  e   
1
1
4
x 2  0
 e 0  e   0
1
lim e x
2
1
 e 0  e   0
4
x 20
1
lim e
e
x2  4
x 2 0
1
0
 e   
1
lim e
x2  4
x 
f (0)  e

 e0  1
1
4
т.х=-2 и х=2 – точки неустранимого разрыва 2-го рода.
Свойства функции, непрерывной на замкнутом промежутке
Теорема 1. (теорема Больцано -Коши о нуле ф-ции)
Пусть ф-ция y  f ( x) непрерывна на замкнутом промежутке  a, b и на
концах этого промежутка принимает значения разных знаков. Тогда внутри
промежутка  a, b найдется по крайней мере одна т.с, в которой ф-ция обращается в
нуль f ( x)  0 .
Теорема 2. (теорема Больцано-Коши о промежуточном значении ф-ции).
Пусть ф-ция y  f ( x) непрерывна на замкнутом промежутке  a, b при этом
f  a   f  b  . Тогда какого бы ни было число C   f  a  , f  b   внутри промежутка
a, b найдется точка х = с, такая, что
f (c )  C .
Теорема 3. (теорема Вейерштрасса об ограниченности ф-ции).
Непрерывная на замкнутом промежутке ф-ция ограничена на этом
промежутке.(Ф-ция непрерывная на открытом промежутке  a, b  может быть и
неограниченной там)
Теорема 4. (теорема Вейерштрасса о наименьшем и наибольшем значениях ф-ции).
Непрерывная на замкнутом промежутке  a, b ф-ция имеет на этом
промежутке  a, b наименьшее и наибольшее значение.