Приложение. Пример 1.

Приложение.
Пример 1.
ВВОДНО-МОТИВАЦИОННЫЙ УРОК ПО АЛГЕБРЕ В 8 КЛАССЕ
(АЛГЕБРА -8. А.Г.Мордкович, по программе 3 часа в неделю).
Тема: «Квадратные уравнения».
Цели: 1) мотивация учащихся на изучение темы.
2) формирование у обучающихся умения соотносить свои возможности с
уровнем предъявляемых требований.
3) научиться среди уравнений находить квадратные, определять значения
коэффициентов, по заданным коэффициентам составлять квадратные
уравнения.
Ход урока:
I . Мотивационная часть урока.
Задание 1: Составить выражение по условию задачи и найти его значение.
а) Ширина прямоугольного участка земли 7 м, длина на 2 м больше ширины. Найти
площадь этого участка.
б) Составить обратную задачу и выражение для её решения:
Прямая задача:
Обратная задача:
7, 2, ?
?, 2 , 63.
(7+2)7=63.
х (х+2)=63
х²+2х=63
х²+2х - 63=0
Можем ли решить полученное уравнение?
( нет)
Задание 2: Сократить дробь.
х2-5х
х2-4
х2-3х+2
а) ──── ;
б)──── ; в) ─────.
х-5
х+2
х2-6х-3
Мы не сможем сократить дробь (в), так как не умеем раскладывать на
множители числитель и знаменатель данной дроби.
Задание 3: Автостоянку требуется огородить сеткой длиной 200 м. Какими должны
быть размеры стоянки прямоугольной формы, чтобы площадь стоянки была
наибольшей? Выясняется, что площадь при одинаковом периметре может быть
различной. Например: 20х80=1600 (м²), 30х70=2100 (м²). Значит и доход, получаемый
в каждом из этих случаев, различный – чем больше площадь, тем больше доход
от стоянки. По условию задачи составим выражение для нахождения площади. Пусть
ширина стоянки х м, длина : (100-х) м, площадь х(100-х)= 100х- х² м2.
Чтобы выяснить, когда значение данного выражения будет наибольшим,
необходимо научиться выделять квадрат двучлена, что вы пока не умеете делать.
Итак, чтобы выполнить каждое из этих заданий, необходимо научиться решать
уравнения, в которых х входит во второй степени. Такие уравнения называются
квадратными. При изучении следующих тем по алгебре: «Квадратичная функция» и
« Квадратные неравенства», тоже необходимо умение решать квадратные уравнения.
С квадратными уравнениями вы встретитесь, если откроете сборник заданий
для проведения письменного экзамена по алгебре в 9 классе (сборники заданий для
подготовки к итоговой аттестации на каждой парте). Одно из заданий - решить
квадратное уравнение. Поэтому для успешной сдачи экзамена по алгебре в 9 классе
необходимо научиться решать квадратные уравнения.
В физике 9 класса изучается тема «Неравномерное движение». Это движение
происходит по закону: S=vt + (at²)/2.
Переменная t входит во второй степени, то есть данное уравнение тоже является
квадратным. Для решения задач по физике также необходимо умение решать
квадратные уравнения.
Какова же история возникновения квадратных уравнений?
Задачи с квадратными уравнениями встречаются уже в 499 г. В Древней Индии
были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из
старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее:
«Как солнце своим блеском затмевает звёзды, так учёный человек затмит славу
другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они
были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого индийского математика
Х в. Бхаскары:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая ,
На поляне забавлялась.
А 12 по лианам…
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок
Ты скажи мне , в этой стае?
Решение задачи по уравнению:
( х/8)² + 12= х.
Необходимость решать квадратные уравнения в древности была вызвана
потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных
участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием
астрономии и самой математики.
Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне.
Квадратные уравнения настолько важны, что они существовали и будут существовать
вечно. Это ещё раз подтверждает справедливость высказывания А.Энштейна : « Мне
приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения,
по-моему , гораздо важнее потому, что политика существует для данного момента, а
уравнения будут существовать вечно».
Сегодня на уроке мы и прикоснёмся к этой вечности.
Задание 4: Сравните трехчлены из первого и второго задания: х²+2х – 63;
5х ²– 3х +2; 2х² – 6х -3.
Что между ними общего, и чем отличаются?
Составим общий вид трехчлена: ах² + bх + с - квадратный трехчлен.
Определение :
Уравнение вида
ах² + bх + с =0 квадратное уравнение (уравнение второй степени),
где: х – переменная, а,b,с- числа, причем а не равно 0,
а - первый или старший коэффициент,
b - второй коэффициент или коэффициент при х,
с - свободный член.
-Какой вид примет квадратное уравнение, если с=0 ? , если b=0 ?, если с = 0, b = 0 ?
Задание 5: Пользуясь определением квадратного уравнения, найти:
а) среди уравнений квадратные (ответ объяснить);
б) коэффициенты а,b,с в каждом из квадратных уравнений.
1) 3,7х²-5х+1= 0,
2) 48х² – х ³– 9 = 0,
3) 1 – 12х = 0,
4) 7х² – 13 = 0,
5) -х² = 0,
6) 7х – х² + 5 = 0,
7) 3х² – 5х = 0,
8) (х-1) (х+2) = 0.
Уравнения 4, 5, 7 – неполные квадратные уравнения
Задание 6: Решим обратную задачу: по данным значениям а,b,с составить квадратное
уравнение. 1) а =2, b=3, с =4,
2) а =1, b = -5, с = 0,
3) а = -1, b = 0, с = 9,
4) а = 1, b =0, с = 0.
II. Знакомство с индивидуальной программой изучения темы.
Примечание: на тему «Квадратные уравнения» отводится 21 час, поэтому тему можно
разделить на 2 части- 1) квадратные уравнения; 2)рациональные и иррациональные
уравнения, решение задач с помощью уравнений.
ИНДИВИДУАЛЬНАЯ ПРОГРАММА ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ
ТЕМА: «КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ».( АЛГЕБРА-8. А.Г.Мордкович, по программе
3 часа в неделю).
1 часть (10 часов)
Цели:
1. Научиться составлять квадратное уравнение по заданным коэффициентам.
2. Научиться находить дискриминант и определять число корней квадратного
уравнения.
3. Научиться решать квадратное уравнение по формулам.
4. Научиться применять теорему Виета.
5. Научиться составлять квадратное уравнение по его корням.
Теоретический материал.
№
Теоретические вопросы
1 Знать определения:
-квадратного уравнения (полного и неполного,
приведенного и неприведенного)
-корня квадратного уравнения.
2 Знать, как найти дискриминант квадратного
уравнения.
3 Знать, как определить число корней квадратного
уравнения по его дискриминанту.
4 Знать формулы корней квадратного уравнения.
5 Знать теорему Виета и обратное ей утверждение.
Разложение квадратного трехчлена на линейные
множители.
6 Знать формулы корней квадратного уравнения со
вторым четным коэффициентом.
«3»
Оценки
«4»
«5»
1-4
1-5
1-6
Проверка применения знаний и умений.
Оценки
№
Виды контроля
1 Самостоятельная работа №1
Основные понятия. Формулы корней
квадратного уравнения.
2 Самостоятельная работа №2
«3»
«4»
№24.3,№24.4 №24.37
№24.7№24.13 №25.19
№25.5
№ 29.2,№29.9 №29.19
«5»
№24.32
№25.39
№29.41
Теорема Виета. Разложение квадратного
трехчлена на линейные множители.
3 Зачет по теории.
4 Контрольная работа по теме.
III. Заключение контракта.
IY.Подведение итогов урока.
№28.2
№29.15
1-4
1-3
1-5
1-4
1-6
1-5
Пример2.
ИНДИВИДУАЛЬНАЯ ПРОГРАММА ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ (Л.С.Атанасян Геометрия 7-9
по программе 2 часа в неделю).
Тема: «Площадь» (14 часов).
Цели:
1. Научиться находить площади квадрата, прямоугольника, параллелограмма, ромба,
трапеции, треугольника, применяя формулы.
2. Научиться применять теорему Пифагора для решения задач.
Теоретический материал.
№
Теоретические вопросы.
Знать формулы площади квадрата, прямоугольника.
«3»
1-4
3.
Знать формулы площади параллелограмма, ромба,
треугольника.
Знать формулу площади трапеции.
4.
Знать теорему Пифагора.
5.
Знать формулу Герона.
6.
Знать теорему об отношении площадей треугольников,
имеющих по равному углу.
1.
2.
Оценки:
«4»
«5»
1-5
1-6
Проверка применения знаний и умений.
№
5.
Виды контроля.
Самостоятельная работа.
Площадь квадрата и прямоугольника.
Самостоятельная работа.
Площадь параллелограмма, треугольника, ромба.
Самостоятельная работа.
Площадь трапеции.
Самостоятельная работа.
Теорема Пифагора.
Тест по теме: « Площадь».
6.
Контрольная работа.
1.
2.
3.
4.
«3»
№453
№454
№459
№468
№480
№483
№493
1-6.
1,2,3.
Оценки:
«4»
№457
№458
№461
«5»
№401,456
№403
№476
№518(а) №482
№481
№485
№495
1-7.
1,2,3,4.
1-9.
1,2,3,4,5.
Самостоятельная работа №1 по теме «Площадь квадрата и
прямоугольника».
Вариант 1.
1. Найти площадь прямоугольника, если его периметр равен 80 см, а отношение
сторон равно 2:3.
2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а одна из его сторон 9 см. Найти сторону
квадрата, имеющего такую же площадь, как этот прямоугольник.
3. На продолжении стороны АD квадрата АВСD за вершину А взята точка М,
МС=20 см, ∟СМD=30°. Найти площадь квадрата.
Вариант 2.
1. Найти периметр прямоугольника, если его площадь равна 98 см², а одна из сторон
вдвое больше другой.
2. Периметр квадрата равен 32 см, а одна сторона прямоугольника 4 см. Найти
другую сторону прямоугольника, если известно, что он имеет площадь такую же, как
квадрат.
3. Биссектриса угла В прямоугольника АВСD пересекает сторону А в точке К, АК=5
см, КD=7 см. Найти площадь прямоугольника.
Самостоятельная работа № 2 по теме: «Площадь параллелограмма,
треугольника, ромба».
Вариант 1.
1. Сторона параллелограмма равна 21 см, а высота, проведённая к ней 15см. Найти
площадь параллелограмма.
2. Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведённая к ней , в 2 раза больше
стороны. Найти площадь треугольника.
3. Две стороны треугольника равны 12 см и 9 см, а угол между ними 30°.Найти
площадь треугольника.
4. В параллелограмме АВСD угол В тупой. На продолжении стороны АD за
вершину D отмечена точка Е так, что ∟ ЕСD=60°,∟СЕD=90°, АВ=4 см, АD =10 см.
Найти площадь параллелограмма.
5. Диагонали ромба относятся как 2:3 , а их сумма равна 8 см. Найти площадь
ромба.
Вариант 2.
1. Сторона параллелограмма равна 17 см, а его площадь 187 см². Найдите высоту,
проведённую к данной стороне.
2. Сторона треугольника равна 18 см. а высота, проведённая к ней, в 3 раза меньше
стороны. Найти площадь треугольника.
3. Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 6 см и 8 см, а угол
между ними 30°.
4. В параллелограмме МРКТ на стороне МТ отмечена точка Е, ∟РМЕ=90° ,
∟ЕРТ=45°, МЕ=4 см, ЕТ=7 см. Найти площадь параллелограмма.
5. Диагонали ромба относятся как 3:5, а их сумма равна 8 см. Найти площадь
ромба.
Самостоятельная работа №3 по теме «Площадь трапеции».
Вариант 1.
1. В трапеции основания равны 6 и 10 см, а высота равна полусумме длин
оснований. Найдите площадь трапеции.
2. Периметр равнобедренной трапеции равен 32 см, боковая сторона 5 см, площадь
44 см². Найдите высоту трапеции.
3. В трапеции МКРТ меньшее основание РК равно 6 см, а высота трапеции 8 см.
Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника МКТ равна 48 см²
Вариант 2.
1. В трапеции основания равны 4 и 12 см, а высота равна полусумме длин
оснований. Найдите площадь трапеции.
2. В прямоугольной трапеции площадь равна 30 см², периметр 28 см, а меньшая
боковая сторона 3 см. Найдите большую боковую сторону.
3. В трапеции АВСD основания АD и ВС равны 10 и 8 см соответственно.
Площадь треугольника АСD равна 40 см². Найдите площадь трапеции.
Самостоятельная работа №4 по теме «Теорема Пифагора».
Вариант 1.
1. Диагонали ромба равны 14 и 48 см. Найдите сторону ромба.
2. В треугольнике два угла равны 45° и 90°, а большая сторона 20 см. Найдите две
другие стороны треугольника.
3. В прямоугольной трапеции основания равны 5 и 17 см, а большая боковая
сторона 13 см. Найти площадь трапеции.
Вариант 2.
1. Стороны прямоугольника равны 8 и 12 см. Найдите его диагональ.
2. В треугольнике АВС ∟А = 90°, ∟В=30°,АВ=6 см. Найдите стороны треугольника.
3. В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 15 и 9 см, а большее
основание 20 см. Найдите площадь трапеции.
Итоговый тест:
1. Выбрать верное утверждение:
а) площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон;
б) площадь квадрата равна квадрату его стороны;
в) площадь прямоугольника равна удвоенному произведению двух его сторон.
2. Закончить фразу: Площадь ромба равна половине произведения…
а) его сторон;
б) его стороны и высоты, проведённой к этой стороне;
в) его диагоналей.
3. По формуле S=ah можно вычислить площадь:
а) параллелограмма;
б) треугольника;
в) прямоугольника.
4. Площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD и высотой ВН вычисляется
по формуле:
а) S=AB: 2 ∙CD∙ BH;
б) S=(AB+BC):2 ∙BH;
в) S=(AB+ CD): 2 ∙BH.
5.Выберите верное утверждение: Площадь прямоугольного треугольника равна:
а) половине произведения его сторон на какую-либо высоту;
б) половине произведения его катетов;
в) произведению его сторон на проведённую к ней высоту.
6. Гипотенуза прямоугольного треугольника находится по формуле:
а) с = а + b;
б) с² = а² - b²;
в) с² =а² + b².
7. Формула Герона:___________________________________.
8. В треугольниках АВС и МNК ∟В=∟N. Отношение площадей треугольников АВС
и МNК равно:
а) АВ∙ ВС
MN∙ NK
б)
АВ∙ АС
MN∙ MK
в) ВС∙ АС
NK∙ MK.
9. В треугольниках MNK и DOS высоты NE и OT равны. Тогда S (MNK): S(DOS)=…
а) MN: DO ;
б ) MK: DS ;
в) NK: OS.
Вариант 2.
1.Сторона треугольника равна 12 см. а высота, проведённая к ней, в 3 раза меньше
стороны. Найти площадь треугольника.
2.Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза 13 см.
Найти второй катет и площадь треугольника.
3.Диагонали ромба равны 10 и 12 см. Найдите его площадь и периметр.
4.Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой и равна 9 см. Найдите
стороны этого параллелограмма, если его площадь равна 108 см².
5.В прямоугольной трапеции АВСD большая боковая сторона равна 8 см, а угол А
равен 60°,а высота ВН делит основание АD пополам. Найдите площадь трапеции.
Вариант 2.
1. Выберите верные утверждения:
а) площадь квадрата равна произведению его сторон;
б) площадь прямоугольника равна произведению его противолежащих сторон;
в) площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон.
2. Закончите фразу: Площадь параллелограмма равна произведению…
а) двух его соседних сторон;
б) его стороны на высоту, проведённую к этой стороне;
в) двух его сторон.
3. По формуле S=(d∙ d) :2 можно найти площадь:
а) параллелограмма;
б) треугольника;
в) ромба.
4. Площадь трапеции: АВСD с основаниями ВС и АD и высотой СН вычисляется
по формуле:
а) S= CH∙ (BC+AD:2;
б) S=(AB+BC)∙ CH:2;
в) S=(BC+CD)∙ CH:2.
5. Выберите верное утверждение: Площадь треугольника равна…
а) половине произведения его сторон;
б) половине произведения двух его сторон;
в) произведению его стороны на какую-либо высоту.
6. Катет прямоугольного треугольника находится по формуле:
а) а = с - b;
б) а² = с² - b²;
в) а² = b² - с².
7. Формула Герона:______________________________
8. В треугольниках ABC и DEF ∟C=∟F.Отношение площадей треугольников ABC и
DEF равно:
а) АС ∙ АВ
б) АВ ∙ АС
в)АС∙ ВС
DE ∙ DF
DE ∙EF
DF∙ EF.
9. В треугольниках DEF и TRQ высоты DA и TB равны. Тогда S(DEF):S(TRQ)=…
а)ЕF :RQ б) DE : TR
в )EF: RT
Контрольная работа по теме: «Площадь».
Вариант 1.
площадь треугольника.
3.Найдите площадь и периметр ромба, если его диагонали равны 8 и 10 см.
4.Смежные стороны параллелограмма равны 32 см и 26 см, а один из его углов
равен 150°. Найдите площадь параллелограмма.
5.В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна 3√2 см, угол К
равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам. Найти площадь трапеции.
Вариант 2.
1.Сторона треугольника равна 12 см. а высота, проведённая к ней, в 3 раза меньше
стороны. Найти площадь треугольника.
2.Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза 13 см.
Найти второй катет и площадь треугольника.
3.Диагонали ромба равны 10 и 12 см. Найдите его площадь и периметр.
4.Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой и равна 9 см. Найдите
стороны этого параллелограмма, если его площадь равна 108 см².
5.В прямоугольной трапеции АВСD большая боковая сторона равна 8 см, а угол А
равен 60°,а высота ВН делит основание АD пополам. Найдите площадь трапеции.