Об условии разрушения металла при пластической деформации

ОБ УСЛОВИИ РАЗРУШЕНИЯ МЕТАЛЛА
ПРИ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
О. Л. Швед
Объединенный институт проблем информатики НАН Беларуси, Минск, Беларусь
В геометрически нелинейных теориях упругопластичности, использующих понятие
поверхности нагружения (текучести), эта поверхность вводится обычно необоснованно и
упрощенно. Может быть поэтому при рассмотрении вопроса о макроразрушении
материала она не принимается во внимание. Поверхность текучести определяется своими
девиаторными сечениями S , которые характеризуют пластичность металла. Ранее
автором предложен способ нахождения девиаторного сечения поверхности текучести в
пространстве напряжений. В качестве его обоснования принимается естественная
гипотеза о сохранении потенциальной природы упругой деформации в процессе
нагружения, то есть существовании потенциалов упругих напряжений и их скоростей [1].
Оказалось, что начальная кривая пластичности близка к кривой пластичности введенной
А. Ю. Ишлинским. В данном случае можно попробовать связать указанные понятия. Для
изотропной среды поверхность S всегда существует, и имеются точные формулы для
вычисления девиатора внешней нормали к ней. При анизотропии среды, для
определенных сочетаний ее параметров, S может не существовать (вырождаться). Это
равносильно невозможности пластического деформирования материала и, следовательно,
в идеально пластическом состоянии означает его разрушение.
Ограничимся случаем одноосного мягкого растяжения, проведенного до момента
макроразрушения алюминиевого образца с известной ступенчатой экспериментальной
диаграммой    ([2], стр. 279), рис. 1а). При численном моделировании процесса
используем для материала (ввиду недостатка информации) данные по сплаву D54S:
  4.9 ,   2.6 , 1  38 , 2  20 , 3  8(104 MПA) , где  ,  – постоянные Ляме второго,
1 ,  2 ,  3 – третьего порядка, начальное напряжение текучести s  2.3 МПА . Пусть
c1, c2 , c3 – исходный неподвижный ортонормированный триэдр, обобщенный упругий
градиент Fe  OT  V  U  OT , собственно ортогональный тензор O  OT  E – единичный
тензор, меры G  U 2 и F  V 2 , L 3 – третий инвариант V .
Учитывая анизотропные структуры до второй степени, запишем потенциал
напряжений в форме Мурнагана [3]
3
э  эI  b C   ( i ci  C  ci ci  C  ci   3i c1  C  c 2ci  C  ci   11i c1  C  c 3c i  C  c i 
i 1
 15i c 2  C  c 3ci  C  c i )   7 (c1  C  c 2 ) 2   11 (c1  C  c 3 ) 2   15 (c 2  C  c 3 ) 2 
(1)
 8c1  C  c1c 2  C  c 2   9c 2  C  c 2c 3  C  c 3   10c1  C  c1c 3  C  c 3 
 19c 2  C  c1c1  C  c 3   20c1  C  c 2c 2  C  c 3   21c1  C  c 3c 3  C  c 2  э0 ,
где C  21 (G  E)
– тензор упругих деформаций Коши–Грина, э0 – минимальная
постоянная, обеспечивающая условие э  0 , начальные значения параметров  j  0 , тензора
остаточных напряжений b  0 , и тогда э с точностью до постоянной переходит в
изотропный потенциал эI .
При одноосном растяжения образца, например по оси c 2 , первоначально
изотропный его материал становится трансверсально-изотропным:
э(C)  э(C)  0, 
(2)
C  (E cos   (1  cos )c 2c 2  c 2  E sin )  C  (E cos   (1  cos )c 2c 2  c 2  E sin ).
Из (1), (2) находим, что ненулевыми могут быть только параметры 1 ,  2 , 3 ,  7 , 8 , 9 ,
10 , 11 , 15 , и выполняются равенства
(3)
1  3 , 9  8 , 11  21  10 , 7  15 .
Следовательно, потенциал напряжений (1), переходя к мере G , можно записать в виде
э  эI  21 b G  41 (1c1  G  c1 (c1  G  c1  2)  2c2  G  c 2 (c 2  G  c 2  2)  3c3  G  c3 (c3  G  c3  2) 
8 (c1  G  c1c 2  G  c 2  c1  G  c1  c 2  G  c 2 )  9 (c 2  G  c 2c 3  G  c 3  c 2  G  c 2  c 3  G  c 3 ) 
(4)
10 (c1  G  c1c3  G  c3  c1  G  c1  c3  G  c3 )  7 (c1  G  c 2 )  11 (c1  G  c3 )  15 (c2  G  c3 ) )  э0 .
Из (4) получаем определяющее уравнение для тензора упругих напряжений Коши
2
2
2
э T
 Fe  2 L31 (0E  1F  2F2 )  L31V  B  V    j Tj ( B  OT  b  O ).
G
Запишем для данной задачи определяющие уравнения в скоростях при течении
T  2 L31Fe 

(5)

T  0, ( L31э)  (1   )T D, B   pE   N1 ,  j  k j K  N1 Tj ( Tj Tj ) 1 ,
(6)
(   0,   ( p 6)  , N1  ( 6) (c1c1  2c2c2  c3c3 )).
По (6) вычисляются параметры 1  3  10 ,  2 , 8  9 , при этом k1  k8  1, а k2  1 для
выполнения необходимого условия   0 . Из (3), (6) получаем 11  1 . Параметр 7
находим из следующих соображений. Привлечение анизотропных структур третьей степени
дает возможность численно воспроизвести важное явление увеличения пластичности
металла при растяжении в условиях всестороннего сжатия без дополнительных
предположений. На основании вычислительных экспериментов и (3) тогда полагаем
1
1
7  15  1 (   21 ).
Однако отмеченное явление без структур третьей степени не описывается.
(7)


а)
б)
Рис. 1. Ступенчатая диаграмма напряжение–деформация,
а) остаточное напряжение 10 2 b ( T   c2c 2 , B  bc 2c 2 , 0    83.4 MПA , 0    0.24 );
б) кривая пластичности в моменты нагружения, соответствующие началу ступени
диаграммы с номером 7, 14, 25, 36, 42, 43, 44, 45 и в ближайший момент,
предшествующий разрушению на 45-ой ступени
Из условия стационарности функционала вариационного принципа [4] находим
множитель Лагранжа условия несжимаемости материала p  и тензор деформации
скорости D . Дифференцируя (4)–(5) по времени с учетом (6) получаем систему линейных

алгебраических уравнений для определения V,  . Так, малыми шагами по времени t в
квазистатическом режиме рассчитывается упругопластический процесс при течении. В
0
упругом состоянии используем диаграмму    (  log y, y  c 2  R T  c 2 ) и численное
обращение закона (5).
Скаляр K  109 полагаем постоянной величиной, а функционал  можно задать,
например, следующим образом
  0 , если n  14 и    0  c((n  14) /( N  14)) 20 ( c  36(1  0 ) ), если n  14 , (8)
где 0  0.999999 , n – номер текущей ступени, N  45 – их общее число. На ступеньке с
номером 14 происходит насыщение эффекта Баушингера, конечная величина, которой на
пути нагружения «растяжение–сжатие» принята 0.8 .
Выводы. Исследованы различные режимы задания скаляра  – основного
функционала процесса (6), который вводит величину части рассеиваемой удельной
работы деформации на шаге t . Установлено, что момент разрушения можно определить
при численном моделировании процесса растяжения формальным условием, которое
заключается в том, что девиаторное сечение поверхности текучести S , содержащее точку
процесса, перестает существовать (вырождается), и замкнутую кривую пластичности с
учетом величины эффекта Баушингера построить уже невозможно. Для этого задается
специальный режим изменения  типа (8), обеспечивающий резкий, скачкообразный рост
параметров анизотропии. Важную роль при построении S играет соотношение (7). На
рис. 1б видно также, что численно описывается известный экспериментальный факт:
растяжение в направлении c 2 больше действует в смысле упрочнения на последующее
после разгрузки растяжение в поперечном направлении, в частности c1 или c3 .
Исключение составляет последняя кривая пластичности, вероятно, из-за близости
момента разрушения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Швед О.Л. О потенциальных направлениях в пространстве девиаторов // Весцi
НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2007. – № 1. – С. 83–87.
2. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел.
Ч. II. Конечные деформации. – M.: Наука, 1984. – 432 с.
3. Murnagan F.D. Finite deformation of an elastic solid. – N.Y.: Dover, 1967.  140 p.
4. Швед О.Л Определение упруго спина в нелинейной теории пластичности // Весцi
НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2009. – № 1. – С. 52–58.