Примерный перечень вопросов к экзамену «АЛГЕБРА» по дисциплине

Примерный перечень вопросов к экзамену
по дисциплине «АЛГЕБРА»
1 семестр
1. Множество. Операции над множествами и их свойства.
2. Прямое произведение двух (нескольких) множеств.
3. Бинарные отношения. Виды бинарных отношений.
4. Алгебраические операции и их свойства.
5. Понятие алгебры как множества с алгебраическими операциями.
6. Метод математической индукции.
7. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр.
8. Понятие группы. Примеры групп.
9. Простейшие свойства групп.
10. Подгруппы.
11. Понятие кольца Простейшие свойства кольца. Примеры колец.
12. Подкольца.
13. Поле, его простейшие свойства, примеры.
14. Подполе. Свойство дробей.
15. Понятие алгебраической системы как множества с операциями и
отношениями.
16. Поле комплексных чисел.
17. Комплексные числа в алгебраической форме, операции над ними.
18. Сопряжённые комплексные числа и их свойства.
19. Модуль комплексного, числа и его свойства.
20. Геометрическое представление комплексных чисел и операции над
ними.
21. Тригонометрическая форма комплексного числа.
22. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.
23. Корни из комплексных чисел.
24. Корни из единицы.
25. Системы линейных уравнений, эквивалентные системы.
26. Решение систем линейных уравнений методом последовательного
исключения переменных.
27. Матрицы. Виды матриц. Элементарные преобразования.
28. Понятие определителя. Вычисление определителя порядка.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2 семестр
Операции над матрицами, их свойства.
Понятие обратной матрицы, элементарные матрицы.
Условия обратимости матрицы. Вычисление обратной матрицы.
Группа подстановок. Чётность и знак подстановки.
Определитель квадратной матрицы. Основные свойства определителя.
Миноры и алгебраические дополнения.
Разложение определителя по строкам или столбцу.
8. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
9. Определитель произведения матриц.
10.Теорема о ранге матрицы.
11.Присоединенная матрица. Обратная матрица.
12.Запись и решение n линейных уравнений с n переменными в матричной
форме.
13.Правило Крамера.
14.Условия, при которых однородная система n линейных уравнений с n
переменными имеет ненулевое решение.
15.Арифметическое векторное пространство. Векторное пространство.
Примеры. Подпространство и его свойства.
16.Линейная зависимость и независимость системы векторов. Линейная
оболочка. Эквивалентные системы векторов.
17.Базис и ранг системы векторов.
18.Координаты вектора в данном базисе. Размерность векторного
пространства.
19.Векторная форма записи системы линейных уравнений. Условия
совместимости системы линейных уравнений.
20.Система
однородных
уравнений.
Условия
существования
нетривиальных решений. Пространство решений системы однородных
уравнений.
21.Приведение матрицы к ступенчатому виду, вычисление ранта матрицы.
22.Равенство строчечного и столбцового рангов малицы.
23.Неоднородная система линейных уравнений. Критерий совместности
системы линейных уравнений.
24.Изоморфизмы векторных пространств.
25.Скалярное умножение в векторном пространстве.
26.Евклидово векторное пространство.
27.Ортогональная система векторов.
28.Процесс ортогонализации.
29.Ортогональное дополнение к подпространству.
30.Норма вектора.Ортонормированный базис евклидова пространства
31.Изоморфизмы евклидовых пространств.
3 семестр
Линейные отображения и операторы.
Связь между координатными столбцами векторов X и γ(х).
Ранг линейного оператора.
Связь между координатными столбцами вектора относительно
различных базисов.
5. Связь между матрицами линейного оператора относительно различных
базисов.
6. Собственные векторы и собственные значения.
1.
2.
3.
4.
7. Нахождение
собственных
векторов
линейного
оператора.
Характеристическое уравнение.
8. Линейные операторы с простым спектром.
9. Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице.
10.Полугруппы. Моноиды. Обобщенный закон ассоциативности.
11.Подгруппы. Смежные классы.
12.Теорема Лагранжа. Нормальные делители группы.
13.Фактор-группа. Ядро гомоморфизма.
14.Идеалы кольца. Сравнения и классы вычетов по идеалу.
15.Фактор-кольцо. Характеристика кольца.
16.Наименьшее подкольцо кольца. Поле частных области целостности.
17.Простейшие свойства делимости в коммутативном кольце.
18.Простые и составные элементы области целостности.
19.Кольца главных идеалов. Евклидовы кольца.
20.Кольцо многочленов от одной переменной. Степень
многочлена.
21.Деление на двучлен (х - а) и корни многочлена.
22.Наибольшее возможное число корней в области целостности.
23.Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
24.Теорема о делении с остатком.
25.НОД. Алгоритм Евклида.
26.НОК.
27.Неприводимые над полем многочлены.
28.Разложение
многочлена
в
произведение
нормированных
неприводимых множителей и его единственность.
29.Формальная производная многочлена и её свойства.
30.Разложение многочлена по степеням (х - а). Формула Тейлора.
31.Неприводимые кратные множители многочлена Кратные корни
многочлена.
4 семестр
1. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.
2. Следствия из алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.
3. Разложение многочленов над полем комплексных чисел в произведение
неприводимых множителей.
4. Формула Виета.
5. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными
коэффициентами.
6 Разложение многочлена ад полем действительных чисел в произведение
неприводимых множителей.
7 Уравнение 3-ей степени.
8. Уравнение 4-ой степени.
9. Целые и рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.
10. Критерий неприводимости Эйзенштейна.
11. Простое расширение поля, алгебраические и трансцендентные числа,
Строение простого алгебраического расширения поля.
12. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
13. Конечное расширение поля.
14. Составное алгебраическое расширение поля.
15. Поле алгебраических чисел и его алгебраическая замкнутость.
16. Разрешимость задач на построение циркулем и линейкой.
17. Кольцо многочленов от нескольких переменных.
17.Операции над многочленами.
18.Нормальное представление многочленов и степень многочлена.
19.Факториальность кольца многочленов.
20.Лексикографическое упорядочение членов многочлена.
21.Лемма о высшем члене произведения двух многочленов.
22.Симметрические многочлены.
24.Леммы о симметрических многочленах.
25.Основная теорема о симметрических многочленах.
27. Система Штурма. Свойства многочленов из системы Штурма.
28. Терема Штурма.
29. Метод линейной интерполяции. Геометрический смысл метода линейной
интерполяции.
30. Метод Ньютона. Сходимость метода Ньютона.