РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Алгебра 050201 математика

Агентство образования администрации Красноярского края
КГОУ СПО «Канский педагогический колледж»
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
дисциплины ___________________Алгебра__________________________________
для специальности _____________050201
математика_____________________
__________________________________________________________________________
(код и наименование специальности)
Канск
2006
Согласована
Заместитель директора по учебной работе
____________________ Т.М. Еремова
Утверждаю
Директор Канского
педагогического колледжа
___________________А.Л. Андреев
«______»__________________2006 г.
Заместитель директора по науке и методической работе
_______________________С.В. Науменко
Рассмотрена
на заседании кафедры математики
«____» _________________2006 г.
Заведующий
кафедрой __________________ С.В. Ларин
Составлена в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника по
специальности 050201 «Математика»
Автор: А . М . К о н д р а ш о в , преподаватель кафедры математики Канского педагогического колледжа.
Рецензенты: С . В . Л а р и н , к. ф-м. н., профессор кафедры алгебры ИМФИ КГПУ
В . С . Г о л о в к о в а , преподаватель кафедры математики Канского педагогического колледжа
2
РЕЦЕНЗИЯ
на рабочую программу по дисциплине «Алгебра»
преподавателя математики Канского педагогического колледжа
КОНДРАШОВА АНАТОЛИЯ МИХАЙЛОВИЧА
Рецензируемая рабочая программа по дисциплине «Алгебра» составлена в соответствии с требованиями двух
основных регламентирующих документов «Государственного образовательного стандарта среднего профессионального
образования» по специальности 0301 «Математика» (введен в действие в 2002 году) и «Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования» по специальности 032100 «Математика» (введен в действие в
2000 году).
В программе выделены цели и задачи изучения дисциплины «Алгебра», приведен тематический план ее с почасовой разбивкой и содержание учебной дисциплины. В пояснительной записке перечислены основные понятия и термины курса, которыми должен овладеть студент-математик. По каждой теме четко сформулированы требования к знаниям и
умениям студентов. В программе спланирована самостоятельная работа студента, приведены примерные темы курсовых
работ и экзаменационные вопросы. Рабочая программа позволяет построить курс алгебры четко и эффективно, что должно способствовать качественному усвоению материала студентами.
Предлагаемая рабочая программа отвечает требованиям, предъявляемым к работам данного вида, и может быть
рекомендована к использованию в качестве рабочей программы по дисциплине «Алгебра».
Рецензент:
профессор кафедры алгебры ИМФИ КГПУ,
кандидат физико-математических наук
С.В. Ларин
3
СОДЕРЖАНИЕ
1. Пояснительная записка ................................................................................................................................................................. 5
2. Тематический план учебной дисциплины .................................................................................................................................. 7
3. Содержание учебной дисциплины. ............................................................................................................................................ 11
4. Дополнительные вопросы. ........................................................................................................................................................ 20
5. Примерный перечень тем курсовых работ. ............................................................................................................................. 200
6. Экзаменационные вопросы по алгебре. .................................................................................................................................. 211
7. Список рекомендуемой литературы по учебной дисциплине “Алгебра”. ........................................................................... 244
4
1. Пояснительная записка
До недавнего времени на математических факультетах педагогических вузов и колледжей читался единый курс
«Алгебра и теория чисел». В соответствии с новым основным регламентирующим документом «Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования» по специальности «032100 – математика», М., 2000,
курс «Алгебра» должен читаться отдельно от курса «Теория чисел». Новый курс алгебры рассчитан на 5 семестров. В
связи с этим предлагается следующее распределение учебного материала по семестрам:
I семестр – Линейная алгебра, часть 1. (Арифметические векторные пространства, системы линейных уравнений,
матрицы и определители.)
II и III семестр – Линейная алгебра, часть 2. (Первичные сведения о группах, кольцах и полях, поле комплексных
чисел, векторные пространства, скалярное умножение и евклидовы векторные пространства, линейные операторы.)
III и IV семестр – Многочлены. (Кольцо многочленов от одной переменной, деление на х – с, корни многочлена,
деление с остатком и алгоритм Евклида, разложение многочлена на неприводимые множители, многочлены над числовыми полями, нахождение корней многочленов, кольцо многочленов от нескольких переменных, симметрические многочлены.)
V семестр – «Группы, кольца, поля» (основные понятия теории групп, кольца и идеалы, теория расширения полей.)
Учебные пособия, написанные по программе интегрированного курса «Алгебра и теория чисел», не удовлетворяют требованиям Госстандарта, требующего раздельного чтения курсов «Алгебра» и «Теория чисел». Учебники алгебры, не содержащие теории чисел, устарели не только физически, но и с точки зрения современного подхода к излагаемому материалу. Необходимо пересмотреть изложение материала в строгом соответствии с Госстандартами и с учетом современных научно-методических требований, обеспечивая профессионально-педагогическую направленность преподавания, тесную связь со школьной математикой.
В программе реализуется принцип продвижения от простого к сложному, от примеров к обобщениям, от изложения на базе интуитивного понимания к формализации, к общим понятиям и теориям.
В первом семестре «Линейная алгебра, часть1» изложение начинается с краткого вводного материала, включающего в себя начальные сведения об операциях над множествами, отношения эквивалентности и отображения, а также
элементарные сведения из комбинаторики.
Основной материал начинается с рассмотрения наглядных объектов – геометрических векторов, чтобы создать
опору для интуиции, чувственного восприятия дальнейшего материала. Затем, через координаты геометрических векторов осуществляется приход к понятию арифметического вектора.
Значительное место отводится решению и исследованию систем линейных уравнений. При этом используются
понятия арифметических векторов, ранга системы векторов и ранга матрицы. Рассматриваются три основных метода решения систем линейных уравнений: метод Гаусса, использующий технику элементарных преобразований, метод ГауссаКрамера, сочетающий в себе метод Гаусса и формулы Крамера, и метод определителей, основанный только на использовании определителей. Приводится запись и решение систем линейных уравнений в матричной форме. Тема «Подстановки» не только обслуживает следующую тему «Определители», но имеет и самостоятельное значение, поскольку позволяет в дальнейшем использовать группу подстановок.
Во втором семестре «Линейная алгебра, часть 2» изложение начинается с введения понятий группы, кольца и поля. Рассматривается поле комплексных чисел. Лишь после этого с наработанным «багажом знаний» мы переходим к построению абстрактных векторных пространств. Основными «примерами для подражания» и «полигонами для экспериментов» выступают пространства геометрических и арифметических векторов, с которыми студент знаком по первой
части. Основываясь на них, формируется общее понятие векторного пространства над данным полем. Последовательно
рассматриваются понятия базиса, координаты векторов, изоморфизм векторных пространств, скалярное произведение
векторов и евклидовы векторные пространства; линейные операторы.
Основной темой третьего и четвертого семестров являются многочлены. Построение кольца многочленов над
областью целостности. Деление многочлена на двучлен по схеме Горнера. Корни многочлена. Функциональное и алгебраическое равенство многочленов. Многочлены над полем. Деление с остатком и алгоритм Евклида. НОД двух многочленов. Теорема о факторизации в кольце многочленов над полем. Формальная производная многочлена. Алгоритм отделения кратных множителей. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Неприводимые многочлены над числовыми полями. Критерии неприводимости многочленов с целыми коэффициентами. Методы нахождения корней многочленов (решения уравнений 2-4 степеней, границы корней многочленов с действительными коэффициентами, метод
Штурма, нахождение рациональных корней многочленов с рациональными коэффициентами). Кольцо многочленов от
нескольких переменных. Лексикографическое упорядочение членов многочлена, лемма о высшем члене произведения
многочленов. Симметрические многочлены и их применения. Результант.
Материал пятого семестра подразделяется на три части: группы, кольца, поля. Содержание отличается наибольшей степенью абстракции и требует особой методической обработки с тем, чтобы избежать излишней абстрактности изложения, приблизить его к потребностям школьной математики.
Рассматривая группы, предполагается постоянно иллюстрировать теоретический материал на примерах числовых групп, групп подстановок и групп в геометрии. Содержание основного материала следующее. Группа, подгруппа.
Порядок элемента группы, порядок подгруппы. Смежные классы. Индекс подгруппы в группе. Теорема Лагранжа. Изоморфизмы групп. Описание циклических групп. Нормальные подгруппы. Гомоморфизмы групп. Теорема о гомоморфизмах. Порождающие множества и определяющие соотношения групп. Группы подстановок, орбиты, стационарные подгруппы. Теорема Кели. Группы матриц.
5
При изучении колец базовыми примерами являются числовые кольца, кольца классов вычетов, кольца многочленов и матричные кольца. Кольцо, подкольцо. Идеалы колец. Изоморфизмы и гомоморфизмы колец. Теорема о гомоморфизмах. Делимость в кольцах. Евклидовы и факториальные кольца. Кольца главных идеалов.
Поле, подполе. Поле частных области целостности. Числовые поля. Расширения полей. Алгебраические и трансцендентные элементы над полем. Строение простого алгебраического расширения. Конечные расширения. Алгебраические и трансцендентные числа. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел. О разрешимости уравнений в
радикалах. Квадратичные расширения. Проблема разрешимости задач на построение циркулем и линейкой.
Настоящая программа соответствует требованиям «Государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования, введенного в действие 1 сентября 2002 года и согласована с Учебным планом математического факультета Канского педагогического колледжа.
Из изложенного выше вытекает цель изучения дисциплины «Алгебра:
- познакомить студентов с основными алгебраическими структурами, их свойствами и практическими приложениями.
Основная задача преподавателя алгебры в связи с поставленной целью: развивать информационнокоммуникативную компетентность будущего учителя математики.
6
2. Тематический план учебной дисциплины
Наименование
разделов и тем
1
Максимальная
учебная
нагрузка студента,
час.
2
Количество аудиторных часов
при очной форме обучения
Самостоятельная
работа студента
Лекции
Практ.
занятия
Конт.
работы
Кол-во часов
Формы
работы
Формы контроля
3
4
5
6
7
8
6
Работа со
школьными
учебниками
I семестр
I. Системы линейных уравнений.
1.1. Основные определения и
понятия, связанные с системами
уравнений.
к
о
н
т
р.
26
8
12
4
2
–
1.2. Решение и исследование
систем линейных уравнений
методом последовательного исключения переменных.
18
4
10
1.3. Однородная система линейных уравнений.
4
2
2
II. Арифметическое n-мерное
векторное пространство.
30
14
10
2.1. Определение n-мерного вектора и операции над n-мерными
векторами.
2.2. Линейная зависимость и
независимость n-мерных векторов.
2.3. Базис системы векторов.
6
4
–
10
4
4
8
2
4
2.4. Векторное подпространство,
его ранг и размерность.
8
4
2
III. Алгебра матриц.
3.1. Ранг матрицы.
3.2. Основные операции над матрицами и свойства этих операций.
27
8
8
10
4
2
10
4
2
3.3. Обратная матрица и ее
нахождение.
8
2
2
р.
2
3.4. Запись и решение квадратной системы линейных уравнений в матричной форме.
8
2
2
работа
2
ИТОГО
83
р
а
б
о
т
а
2
4
Математический диктант
Работа с
учебным
пособием
Проверочная
к/р
Работа со
школьными
учебниками геометрии
Опрос на
практ. занятии
–
№1
6
к
о
н
т
р.
р
а
б
о
т
а
2
2
2
Составление конспекта по
уч. пособию
Визуальный
контроль
–
№2
к
о
н
т
7
1
2
№3
32
32
19
7
Дополнение
конспекта лекции
Разбор
решенных
ключевых
задач
Составление алгоритма решения
Визуальный
контроль
Проверочная
письм. работа
Устные сообщения
Наименование
разделов и тем
Максимальная
учебная
нагрузка
студента,
час.
2
1
Количество аудиторных часов
при очной форме
обучения
Лекции
Практ.
Конт.
занятия
работы
3
4
II семестр
4
–
1
5
Самостоятельная
работа студента
Кол-во часов
Формы
работы
Формы контроля
6
7
8
Составление конспекта
Разбор
решенных
задач
Фронтальная
беседа
IV. Подстановки.
4.1. Перестановки.
4.2. Умножение подстановок.
16
1
4
8
1
3
4.3. Циклические подстановки.
5
2
1
4.4. Транспозиции.
6
2
2
о
2
V. Определители.
5.1. Определитель квадратной
матрицы. Определители 2-го и
3-го порядков.
24
12
6
6
8
4
2
л
ь
н
а
я
5.2. Основные свойства определителей.
5.3. Основные приложения
определителей.
6
4
2
VI. Основные алгебраические
структуры.
6.1. Бинарная операция на
множестве.
6.2. Элементы теории групп.
6.3. Кольцо.
6.4. Поле.
VII. Поле комплексных чисел.
7.1. Определение поля комплексных чисел.
7.2. Алгебраическая форма
комплексного числа.
к
о
н
т
р
4
–
–
2
Провер. раб
Составление
конспекта лекции
Беседа по вопросам
Анализ
решенных
ключ. задач
Письм. провер.
раб.
Разбор докв теорем по
уч. пособ.
Поиск
прим. по
учеб.
Док-во устно у
доски
2
Работа по
уч. пособ.:
разбор
прим.
Матем. диктант
Разбор
решенных
ключ.
прим.
Письменная
провер. раб.
2
–
работа
10
4
2
4
№4
20
10
6
3
2
1
6
3
8
2
2
4
2
1
2
22
12
5
5
4
1
8
4
2
4
к
о
н
т
р.
р
а
б
о
т
а
–
2
–
2
Беседа по вопросам
5
–
№5
7.3. Тригонометрическая форма
комплексного числа.
9
4
2
3
ИТОГО
82
42
21
19
VIII. Векторные пространства.
8.1. Векторное пространство
над произвольным полем.
16
8
4
4
2
–
8.2. Базис векторного пространства и его размерность.
4
2
2
8.3. Координаты вектора в данном базисе и в разных базисах.
4
2
2
8.4. Изоморфизм векторных
пространств.
4
2
–
III семестр
4
к
о
н
т
р
о
л
ь
н
а
я
8
2
Поиск
прим. по
уч. пособ.
Фронтальная
беседа
дополнение
конспекта
лекций
Поиск решений по
уч. пособ.
Визуальная
проверка
–
–
2
Фронтальная
беседа
Наименование
разделов и тем
1
IX. Векторные пространства
со скалярным умножением.
Максимальная
учебная
нагрузка
студента,
час.
2
13
Количество аудиторных часов
при очной форме
обучения
Лекции
Практ.
Конт.
занятия
работы
3
6
4
3
5
р
а
б
о
т
а
Самостоятельная
работа студента
Кол-во часов
Формы
работы
Формы контроля
6
4
7
8
Разбор
решенных
ключ. задач
по уч. пособ.
Работа по
уч. пособ.
конспект
Дом. к/р
9.1. Скалярное произведение
векторов.
9.2. Процесс ортогонализации.
3
2
1
–
6
2
2
9.3. Евклидово векторное пространство.
4
2
–
X. Линейные операторы.
10.1. Определение и задание
линейного оператора.
14
3
6
2
5
1
10.2. Матрица линейного оператора.
10.3. Линейные операторы с
простым спектром.
6
2
2
5
2
2
XI. Кольцо многочленов над
областью целостности.
11.1. Построение кольца многочленов.
12
8
2
2
4
2
–
2
11.2. Корни многочлена.
6
4
2
–
11.3. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
ИТОГО
2
2
–
–
55
28
XII. Кольцо многочленов над
полем.
12.1. Наибольший общий делитель двух многочленов.
12.2. Приводимые и неприводимые многочлены.
12.3. Производная многочлена.
28
10
12
10
4
4
10
4
4
8
2
4
XIII. Многочлены над числовыми полями.
13.1. Основная теорема алгебры
многочленов и следствия из
нее.
13.2. Многочлены над полем
действительных чисел.
36
14
14
4
2
1
6
2
2
13.3. Алгебраические уравнения 2-ой, 3-ей и 4-ой степеней.
8
2
4
13.4. Отделение действительных корней многочленов.
10
4
4
13.5. Многочлены над полем
рациональных чисел.
8
4
2
2
2
№6
к
о
н
т
р.
3
–
2
1
работа
№7
14
IV семестр
Разбор докв теорем по
уч. пособ.
Опрос у доски
Составление конспкта по
уч. пос.
составление прм. по
образцу
Разбор докв теорем по
уч. пособ.
Фронтальная
беседа
Беседа по составленным
прим.
Опрос у доски
13
к
о
н
т
р.
6
р
а
б.
№8
2
к
о
н
т
р.
–
р
а
б
о
т
а
2
2
2
Сам. док-во
св-в НОД
Работа по
шк. учебн.
Таблица
производных
(ШКМ)
Опрос у доски
Разбор док-в
теорем по уч.
пос.
Составл.
прим. по
образцу
Решение
заданных
упр.
Составл.
прим. по
образцу
Опрос у доски
Фронтальная
беседа
Провер. пис.
раб.
8
2
2
2
№9
9
Визуальная
проверка
Беседа по составленным
прим.
Визуальная
проверка, собесед.
Представление
составленных
прим. группе
Наименование
разделов и тем
1
XIV. Многочлены от нескольких переменных.
Максимальная
учебная
нагрузка
студента,
час.
2
19
Количество аудиторных часов
при очной форме
обучения
Лекции
Практ.
Конт.
занятия
работы
3
8
4
6
14.1. Построение кольца многочленов от нескольких переменных.
6
2
2
14.2. Симметрические многочлены и некоторые их приложения.
13
6
4
ИТОГО
5
к
о
н
т
р.
Самостоятельная
работа студента
Кол-во
часов
Формы
работы
Формы контроля
6
5
7
8
2
Составление конспекта по
плану
Разбор и
конспектирование
док-в,
лемм и
теорем
Фронтальный
опрос
3
работа №
10
83
32
32
Письм. провер.
раб.
19
V семестр
XV. Группы, кольца, поля.
50
4
13
–
26
2
15.2. Смежные классы.
15.3. Циклические группы.
15.4. Изоморфизмы и гомоморфизмы.
15.5. Кольца, подкольца. Идеалы.
15.6. Изоморфизмы и гомоморфизмы колец.
15.7. Делимость в кольце целых
чисел.
15.8. Делимость в области целостности.
15.9. Евклидовы и факториальные кольца.
15.10. Поле. Подполе.
3
3
1
1
2
2
3
1
2
5
1
2
2
1
1
7
2
4
1
3
1
2
–
2
4
1
–
1
2
15.11. Расширение полей.
3
1
2
15.12. Алгебраические и трансцендентные числа.
5
1
2
2
15.13. О разрешимости уравнений в радикалах. Проблема
разрешимости задач на построение циркулем и линейкой.
6
2
2
2
ИТОГО
50
13
26
11
ИТОГО по всему курсу
алгебры
353
147
125
81
15.1. Группа. Подгруппа.
11
2
З
А
Ч
Е
Т
Н
Ы
Й
Т
Поиск
прим.
Письм. отчет
Поиск
примеров
Опрос у доски
Поиск
примеров
Демонстрация
для группы
Разбор
ключевых
задач по
конспекту
лекции
Решение
примеров,
данных в
ходе лекции
Устный опрос
–
–
–
2
–
Е
–
2
С
–
Т
10
Опрос у доски
3. Содержание учебной дисциплины.
Введение.
История развития алгебры, современной состояние алгебры как науки и как учебной дисциплины. Роль алгебры в системе математического образования. Структура учебной дисциплины “алгебра”.
Раздел I. Системы линейных уравнений.
Тема 1.1. Основные определения и понятия, связанные с системами уравнений.
Роль систем уравнений в науке и в жизни. Определение системы линейных уравнений. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Матрица системы линейных уравнений как арифметический вектор.
Требования к знаниям: знать все основные определения понятий, связанных с системой линейных уравнений,
элементарные преобразования систем линейных уравнений, доказательство теоремы о элементарных преобразованиях
системы.
Требования к умениям: уметь выполнять все элементарные преобразования систем линейных уравнений,
определять вид систем линейных уравнений по числу решений составлять основную и расширенную матрицы систем
линейных уравнений, записывать решение систем линейных уравнений в виде арифметического вектора.
Тема 1.2. Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения переменных.
Однородные и неоднородные системы линейных уравнений. Свойства отношения “равносильности” систем. Метод Гаусса. Матрица ступенчатого вида. Матричная форма записи решения систем линейных уравнений
методом Гаусса. Системы линейных уравнений с параметрами.
Требования к знаниям: знать свойства отношения равносильности, доказательство метода Гаусса.
Требования к умениям: уметь записывать решение систем линейных уравнений как обычным способом, так и
в матричной форме и по ходу преобразований делать соответствующие выводы, уметь решать и исследовать системы
линейных уравнений с параметрами.
Тема 1.3. Однородная система линейных уравнений.
Нулевые решения однородных систем линейных уравнений. Свойства решений однородной системы линейных уравнений. Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений и решениями соответствующей ей однородной системы линейных уравнений.
Требования к знаниям: знать доказательство теоремы о ненулевых решениях однородной системы линейных
уравнений, доказательства свойств решений однородной системы линейных уравнений.
Требования к умениям: уметь по виду однородной системы линейных уравнений определять наличие ненулевых решений, с помощью метода Гаусса находить эти решения, пользуясь свойствами решений однородной системы
линейных уравнений, находить частные решения.
Раздел II. Арифметическое n-мерное векторное пространство.
Тема 2.1. Определение n-мерного вектора и операции над n-мерными векторами.
От геометрических векторов – к арифметическим. Определение арифметического n-мерного вектора. Операции над арифметическими векторами. Понятие арифметического n-мерного векторного пространства.
Требования к знаниям: знать определения n-мерного арифметического вектора и операций над ними, законы
операций, определение n-мерного векторного пространства.
Требования к умениям: уметь выполнять действия над n-мерными арифметическими векторами, приводить
конкретные примеры векторных пространств.
Тема 2.2. Линейная зависимость и независимость n-мерных векторов.
Линейная комбинация нескольких векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
Признак линейной зависимости системы векторов. Простейшие свойства линейной зависимости векторов. Примеры задач на линейную зависимость. Линейная выражаемость одной системы векторов через другую.
Требования к знаниям: знать основные определения, доказательства признака линейной зависимости системы векторов, основных свойств линейной зависимости и теоремы о линейной выражаемости одной системы векторов
через другую.
Требования к умениям: уметь находить линейные комбинации нескольких векторов, исследовать системы
векторов на линейную зависимость и в каждом случае устанавливать виды зависимостей.
Тема 2.3. Базис системы векторов.
Определение базиса системы векторов. Теорема о базисах. Базис пространства Rn. Ранг системы векторов.
Нахождение базиса данной системы векторов. Эквивалентность системы векторов.
Требования к знаниям: знать определение базиса, ранга системы векторов и эквивалентных систем векторов,
доказательства теоремы о базисах и теоремы о номерах векторов, входящих в базис, основных свойств эквивалентных
систем векторов.
Требования к умениям: уметь находить базис и ранг системы векторов и небазисные векторы выражать
через базисные, уметь устанавливать: эквивалентны ли две данные системы векторов или нет.
11
Тема 2.4. Векторное подпространство, его ранг и размерность.
Определение подпространства. Примеры подпространств. Подпространство как линейная оболочка нескольких векторов. Базис и размерность подпространства. Фундаментальный набор решений (ФНР). Способ построения ФНР.
Требования к знаниям: знать определение подпространства, доказательство признака подпространства,
обоснование построения ФНР.
Требования к умениям: уметь приводить примеры подпространств, строить подпространства как линейную
оболочку нескольких векторов, находить базис и размерность подпространства, строить ФНР для однородной системы линейных уравнений.
Раздел III. Алгебра матриц.
Тема 3.1. Ранг матрицы.
Определение строчного и столбцового рангов матрицы. Вычисление строчного ранга матрицы. Совпадение
строчного и столбцового рангов матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий определенности системы линейных уравнений.
Требования к знаниям: знать определения строчного и столбцового рангов матрицы, доказательства и формулировки основных теорем: о равенстве столбцового и строчечного рангов матрицы, критериев совместности и определенности системы линейных уравнений.
Требования к умениям: уметь вычислять ранг матрицы с помощью элементарных преобразований, исследовать системы линейных уравнений на совместность и определенность с помощью соответствующих критериев.
Тема 3.2. Основные операции над матрицами и свойства этих операций.
Сложение матриц. Законы сложения. Вычитание матриц. Умножение матрицы на число. Умножение
матрицы. Законы умножения. Транспонирование матрицы.
Требования к знаниям: знать правила выполнения операций над матрицами, основные свойства операций и
доказательства этих свойств.
Требования к умениям: уметь складывать, вычитать матрицы, умножать матрицу на число, умножать
матрицы, находить транспонированную матрицу.
Тема 3.3. Обратная матрица и ее нахождение.
Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие обратимости, матрицы n-го порядка. Единственность обратной матрицы.
Требования к знаниям: знать определение обратной матрицы, формулировку и доказательство необходимого
и достаточного условия обратимости матрицы n-го порядка, доказательство единственности обратной матрицы.
Требования к умениям: уметь находить обратную матрицу и проверять правильность полученного результата.
Тема 3.4. Запись и решение квадратной системы линейных уравнений в матричной форме.
Запись системы линейных уравнений в матричной форме. Матричный способ решения систем линейных
уравнений. Матричные уравнения.
Требования к знаниям: знать, как записать систему линейных уравнений в матричной форме и сущность
матричного способа решения системы линейных уравнений.
Требования к умениям: уметь решать систему линейных уравнений матричным способом, а также различные
виды матричных уравнений.
Раздел IV. Подстановки.
Тема 4.1. Перестановки.
Понятие перестановки. Четность перестановки. Обратная перестановка.
Требования к знаниям: знать определения: подстановки, инверсии, транспозиции, четной и нечетной перестановок, свойства транспозиций.
Требования к умениям: уметь считать число инверсий, определять четность перестановки.
Тема 4.2. Умножение подстановок.
Определение подстановки. Четность подстановки. Умножение подстановок, доказательства свойств
умножения подстановок.
Требования к знаниям: знать определение подстановки четной и нечетной подстановки, умножения подстановок, доказательства свойств умножения подстановок.
Требование к умениям: уметь определять четность подстановки, находить заданное произведение подстановок и им обратных.
Тема 4.3. Циклические подстановки.
Циклическая подстановка. Разложение подстановки в произведении независимых циклов.
Требования к знаниям: знать определение циклической подстановки, доказательство теоремы о единственности разложения подстановки в произведение независимых циклов.
Требования к умениям: уметь раскладывать подстановку в произведение независимых циклов.
12
Тема 4.4. Транспозиции.
Понятие транспозиции. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Основные свойства понятия четности подстановки. Знак подстановки.
Требования к знаниям: знать определения транспозиции, определение четности подстановки через транспозиции, знака подстановки, доказательства теорем о разложении подстановки в произведение транспозиций и о знаке
произведения транспозиций.
Требования к умениям: уметь раскладывать подстановку в произведение транспозиций, находить четность и
знак подстановки.
Раздел V. Определители.
Тема 5.1. Определитель квадратной матрицы.
Определитель n-го порядка. Определители 2-го и 3-го порядков.
Требования к знаниям: знать определение определителя, определителя 2-го порядка и определителя 3-го порядка.
Требования к умениям: уметь определять с каким знаком входит тот или иной член в определитель n-го порядка, вычислять определители 2-го и 3-го порядков.
Тема 5.2. Основные свойства определителей.
Свойства определителей. Минор и алгебраическое дополнение элемента. Вычисление определителей n-го
порядка.
Требование к знаниям: знать определение минора и алгебраического дополнения элемента, формулировки и
доказательства основных свойств определителей, доказательства теоремы о разложении определителя по элементам
какой-либо строки (или столбца) и теоремы о сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (или столбца).
Требования к умениям: уметь вычислять определители любого порядка.
Тема 5.3. Основные приложения определителей.
Приложения определителей к матрицам. Приложение определителей к системам арифметических векторов. Приложение определителей к системам линейных уравнений.
Требования к знаниям: знать формулировки и доказательства теорем о приложении определителей к
нахождению обратной матрицы и ранга матрицы, к вырожденности и невырожденности матрицы, к линейной зависимости или линейной независимости систем векторов, вывод формул Крамера.
Требования к умениям: уметь с помощью определителей устанавливать вырожденность или невырожденность матрицы, находить обратную матрицу, находить ранг матрицы, решать системы линейных уравнений
методами Крамера и Гаусса - Крамера.
Раздел VI. Основные алгебраические структуры.
Тема 6.1. Бинарная операция на множестве.
Операции. Виды бинарных операций. Нейтральные элементы. Регулярные элементы. Симметричные элементы. Аддитивная и мультипликативная форма записи операций. Алгебры.
Требования к знаниям: знать определения бинарной операции, нейтрального регулярного и симметричного
элементов, алгебры, виды бинарных операций, формулировки и доказательства теорем, выражающих основные свойства нейтральных регулярных и симметричных элементов, а также свойства бинарных операций.
Требования к умениям: владеть различными формами записи алгебраических операций, уметь доказывать
является ли операция бинарной алгебраической, проверять является ли элемент нейтральным, регулярным или симметричным относительно указанной операции, уметь приводить примеры бинарных операций, обладающих заданными
свойствами.
Тема 6.2. Элементы теории групп.
Определение группы, примеры групп. Основные свойства групп. Подгруппы. Полугруппы. Порядок элемента
группы. Циклические группы.
Требования к знаниям: знать определение групп, подгруппы, полугруппы, порядка элемента группы и циклической группы, формулировки и доказательства свойств группы.
Требования к умениям: уметь приводить примеры групп, выяснять, является ли относительно указанной операции заданное множество группой, а заданное подмножество подгруппой, находить для данного элемента обратный.
Тема 6.3. Кольцо.
Понятие кольца. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо.
Требования к знаниям: знать определения кольца, подкольца, формулировка и доказательства свойств кольца
и признака подкольца.
Требования к умениям: уметь приводить примеры колец, проверять является ли множество с заданными операциями кольцом, а заданное подмножество – подкольцом.
Тема 6.4. Поле.
13
Понятие поле. Примеры полей. Простейшие свойства полей. Поле рациональных чисел. Упорядоченные
поля. Подполе.
Требования к знаниям: знать определения поля, подполя, упорядоченного поля, поля рациональных чисел, формулировки и доказательства основных свойств поля и признака подполя.
Требования к умениям: уметь приводить примеры полей и подполей, проверять, является ли множество с заданными операциями полем, а заданное подмножество – подполем.
Раздел VII. Поле комплексных чисел.
Тема 7.1. Определение поля комплексных чисел.
Необходимость расширения поля действительных чисел. Построение системы комплексных чисел. Поле
комплексных чисел.
Требования к знаниям: знать определение поля комплексных чисел и один из способов построения системы
комплексных чисел как у множества, состоящего из упорядоченных пар действительных чисел.
Требования к умениям: уметь выполнять действия над комплексными числами, записанными в виде упорядоченных пар действительных чисел.
Тема 7.2. Алгебраическая форма комплексного числа.
Запись комплексных чисел в алгебраической форме. Правила выполнения операций над комплексными числами в алгебраической форме. Сопряженные комплексные числа и их свойства. Геометрическое изображение комплексных чисел. Геометрическая интерпретация сложения и вычитания комплексных чисел.
Требования к знаниям: знать алгебраическую форму комплексного числа и правила выполнения действий над
комплексными числами в алгебраической форме, геометрическую интерпретацию сложения и вычитания, определение
сопряженных комплексных чисел и их основные свойства.
Требования к умениям: уметь выполнять действия над комплексными числами в алгебраической форме, геометрически изображать комплексные числа, находить модуль и аргумент комплексного числа.
Тема 7.3. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Представление комплексных чисел в тригонометрической форме. Умножение и деление комплексных чисел
в тригонометрической форме. Возведение комплексных чисел в степень. Извлечение корня из комплексных чисел.
Корни из единицы. Корни квадратные из комплексного числа.
Требование к знаниям: знать тригонометрическую форму комплексного числа, правила умножения, деления,
возведения в степень, извлечения корня из комплексного числа, вид корней из единицы и свойства корней из единицы.
Требования к умениям: уметь переходить от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической (и наоборот), выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме, записывать
некоторые геометрические утверждения на языке комплексных чисел.
Раздел VIII. Векторные пространства.
Тема 8.1. Векторное пространство над произвольным полем.
Определение векторного пространства. Примеры векторных пространств. Простейшие следствия из
определения векторного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Подпространства векторного пространства. Примеры подпространств. Сумма и пересечение подпространств. Векторные многообразия.
Требования к знаниям: знать определение векторного пространства над полем, векторного подпространства, линейно зависимых и линейно независимых систем векторов, формулировки и доказательства простейших следствий из определения векторного пространства над полем, формулировки и доказательства основных свойств линейной зависимости систем векторов.
Требования к умениям: уметь приводить примеры векторных пространств и подпространств, сумм подпространств, проверять данную систему векторов на линейную зависимость.
Тема 8.2. Базис векторного пространства и его размерность.
Базис системы векторов. Теорема о базисах. Конечномерные векторные пространства. Базис конечномерного векторного пространства и его размерность.
Требования к знаниям: знать определение базиса системы векторов, базиса и размерности конечномерного
векторного пространства, формулировку и доказательство теоремы о базисах.
Требования к умениям: уметь находить базис векторного пространства над полем P, когда Р принимает значение или С, или R, или Q.
Тема 8.3. Координаты вектора в данном базисе и в разных базисах.
Координаты вектора в данном базисе. Простейшие свойства координат. Связь между различными базисами пространства. Связь между координатами вектора в различных базисах. Множество решений систем линейных уравнений как векторное многообразие.
Требования к знаниям: знать, как вводятся координаты вектора в данном базисе, формулировки и доказательства основных свойств координат, как связаны между собой различные базисы и координаты вектора в разных
базисах.
14
Требования к умениям: уметь находить базис и размерность суммы подпространств и их пересечений, координаты данного вектора в различных базисах, записывать в векторной форме множество решений систем линейных
уравнений, проверять является ли данная система векторов базисом и выражать небазисные векторы через базисные,
находить матрицу перехода от одного базиса к другому.
Тема 8.4. Изоморфизм векторных пространств.
Изоморфизм n-мерного векторного пространства над полем Р и пространства Р n. Изоморфизм векторных
пространств. Основные свойства изоморфизмов. Основная теорема об изоморфизме векторных пространств.
Требования к знаниям: знать определение изоморфизма векторных пространств, формулировки и доказательства основных свойств изоморфизмов и основной теоремы об изоморфизме векторных пространств.
Требования к умениям: уметь приводить примеры изоморфных векторных пространств.
Раздел IX. Векторные пространства со скалярным умножением.
Тема 9.1. Скалярное произведение векторов.
Определение скалярного произведения. Задание скалярного произведения в конечномерном векторном пространстве. Выражение скалярного произведения в координатах. Модуль вектора. Угол между векторами. Ортогональность. Неравенство Коши - Буняковского.
Требования к знаниям: знать определения скалярного произведения векторов, модуля вектора. Угла между
векторами, ортогональных векторов, неравенство Коши -Буняковского, выражение скалярного произведения в координатах.
Требования к умениям: уметь приводить примеры векторных пространств со скалярным умножением, находить модуль вектора и косинус угла между векторами, скалярное произведение двух векторов.
Тема 9.2. Процесс ортогонализации.
Ортогональная система векторов. Существования ортогонального базиса. Ортогональное дополнение к
подпространству. Процесс ортогонализации.
Требования к знаниям: знать определение ортогональной системы векторов, ортогонального и ортонормированного базисов и ортогонального дополнения к подпространству, доказательства лемм о линейной независимости ортогональной системы векторов и о существовании ортогонального базиса, формулировку и доказательство теоремы о
сумме любого подпространства К и его ортогонального дополнения К 1, вывод формул процесса ортогонализации.
Требования к умениям: уметь приводить примеры ортогональных систем векторов, находить ортогональный
и ортонормированный базисы, ортогональную проекцию одного вектора на другой, ортогональную проекцию заданного
подпространства К.
Тема 9.3. Евклидово векторное пространство.
Определение евклидов векторного пространства. Основные свойства векторов евклидова векторного пространства. Изоморфизм евклидовых векторных пространств.
Требования к знаниям: знать определения евклидова векторного пространства, положительно определенного
скалярного умножения, косинуса угла между двумя векторами, формулировки и доказательства основных свойств векторов евклидова векторного пространства, определение изоморфизма двух векторных пространств и формулировку и
доказательство теоремы, об изоморфизме евклидовых векторных пространств, формулировку и доказательство теоремы о существовании и единственности скалярного умножения, относительно которого данный базис является ортонормированным.
Требования к умениям: уметь задавать скалярное произведение так, чтобы данная линейно независимая система векторов оказалась ортогональной, находить все векторы, ортогональные заданным.
Раздел X. Линейные операторы.
Тема 10.1. Определение и задание линейного оператора.
Линейные отображения и операторы. Примеры линейных операторов. Основные свойства линейного оператора. Задание линейного оператора образами базисных векторов. Ядро и образ линейного оператора.
Требования к знаниям: знать определение линейного оператора его ядра и образа, формулировки и доказательства основных свойств линейного оператора, формулировку и доказательство теоремы о связи ранга и дефекта
линейного оператора, формулировку и доказательство теоремы о связи.
Требование к умениям: уметь приводить примеры линейных операторов, проверять, является ли заданное
отображение линейным оператором, находить образ заданного вектора, если известен линейный оператор.
Тема 10.2. Матрица линейного оператора.
Определение и примеры. Задание линейного оператора с помощью матрицы. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Действия над линейными операторами. Невырожденные линейные операторы.
Требования к знаниям: знать определение матрицы линейного оператора, способ задания линейных операторов с помощью матриц, формулировку и доказательство теоремы о связи между матрицами линейного оператора в
различных базисах, формулировка и доказательства теорем, выражающих правила выполнения действий над операторами, различные определения невырожденного оператора.
15
Требования к умениям: уметь находить связь между матрицами линейного оператора в различных базисах,
результат сложения операторов, произведение операторов и умножение линейного оператора на число. Приводить
примеры матриц линейного оператора, задавать матрицей линейные операторы.
Тема 10.3. Линейные операторы с простым спектром.
Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения. Характеристические
уравнения. Собственные подпространства. Операторы с простым спектром.
Требования к знаниям: знать определение инвариантного подпространства собственного вектора и собственного значения, собственного подпространства и оператора с простым спектром, вид характеристического уравнения, формулировки и доказательства теорем о характеристическом уравнении, о линейном операторе с простым
спектром, о возможности приведения матрицы линейного оператора к диагональной форме.
Требования к умениям: уметь находить собственные векторы и собственные значения линейного оператора,
выяснять, проводится ли матрица линейного оператора к диагональной форме и находить диагональную форму.
Раздел XI. Кольцо многочленов под областью целостности.
Тема 11.1. построение кольца многочленов.
Понятие многочлена степени и коэффициентами из данной области целостности. Сумма и произведение
многочленов. Свойства суммы и произведения многочленов. Область целостности многочленов относительно
сложения и умножения.
Требования к знаниям: знать определение многочлена степени n c коэффициентами из данной области целостности, нулевого многочлена, суммы и произведения многочленов, формулировки и доказательство того, что множество всех многочленов над областью целостности относительно сложения и умножения образуют область целостности.
Требования к умениям: уметь выяснять действия над многочленами, находить значение многочлена, при данном значении переменной, выяснять равны ли многочлены и над какими областями целостности можно рассматривать
данный многочлен.
Тема 11.2. Корни многочлена.
Деление многочлена с остатком на двучлен (х - с). Схема Горнера. Число корней многочлена. Кратные корни.
Требования к знаниям: знать формулировки и доказательства теорем: о делении многочлена на двучлен (х - с),
теоремы Безу, о числе корней многочлена, определение корня многочлена, кратного корня.
Требования к умениям: уметь выполнять деление многочлена , двучлен (х - с) уголком и с помощью схемы Горнера; выяснять, является ли число с корнем многочлена, и находить кратность корня.
Тема 11.3. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
Определение многочлена как функции. Алгебраическое определение кольца многочленов. Алгебраическое и
функциональное равенство многочленов.
Требования к знаниям: знать определения многочлена как функции и алгебраическое определение многочлена,
доказательство того, что множество многочленов относительно сложения и умножения образует кольцо, доказательство теоремы об алгебраическом и функциональном равенстве многочленов.
Требования к умениям: уметь выполнять действия над многочленами.
Раздел XII. Кольцо многочленов над полем.
Тема 12.1. НОД двух многочленов.
Деление многочленов с остатком. Отношение делимости многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Линейная форма НОД. Теоремы о взаимно простых многочленах.
Требования к знаниям: знать определения: деления с остатком, отношения делимости, НОД; формулировать
и доказывать теоремы о делении с остатком, о взаимно простых многочленах, о линейной форме НОД, доказательства
Алгоритма Евклида и основных свойств отношения делимости.
Требования к умениям: уметь находить НОД многочленов с помощью алгоритма Евклида, линейную форму
НОД.
Тема 12.2. Приводимые и неприводимые многочлены.
Неприводимые многочлены и их свойства. Разложение многочлена в произведение неприводимых множителей. Кратные множители. Нахождение НОД и НОК многочленов с помощью разложения многочленов в произведение неприводимых множителей.
Требования к знаниям: знать определения неприводимых и приводимых многочленов над полем, формулировки
и доказательства свойств неприводимых многочленов, теоремы о существовании и единственности разложения многочлена в произведение неприводимых множителей и теорем о нахождении НОД и НОК двух многочленов.
Требования к умениям: уметь находить НОД и НОК многочленов с помощью разложения многочленов в произведение неприводимых множителей, разлагать многочлены в произведение неприводимых множителей над данным
полем.
16
Тема 12.3. Производная многочлена.
Определение производной. Формула Тейлора. Неприводимые кратные множители и корни. Отделение
кратных множителей многочлена.
Требования к знаниям: знать определение производной многочлена вывод формулы Тейлора, суть отделения
кратных множителей и освобождение от кратных множителей.
Требование к умениям: уметь находить производную многочлена, решать задачи с использованием формулы
Тейлора, отделять кратные множители (или корни) многочлена.
Раздел XIII. Многочлены над числовыми полями.
Тема 13.1. Основная теорема алгебры и следствия из нее.
Основная теорема алгебры многочленов. Неприводимость многочленов над полем комплексных чисел.
Уточнение теоремы о факторизации в кольце С [х],количество корней многочлена с комплексными коэффициентами. Формулы Виета.
Требования к знаниям: знать формулировку основной теоремы алгебры многочленов, формулировки и доказательства следствий из нее (о неприводимых многочленах над полем комплексных чисел, о числе корней многочлена с комплексными коэффициентами), вывод формул Виета.
Требования к умениям: уметь многочлен с комплексными коэффициентами разложить на множители, находить многочлен наименьшей степени с данным набором корней, решать задачи на использование формул Виета.
Тема 13.2. Многочлены над полем действительных чисел.
Сопряженность мнимых корней многочленов с действительными коэффициентами. Неприводимость многочленов над полем действительных чисел. Уточнение теоремы о факторизации в кольце R[x].
Требования к знаниям: знать формулировки и доказательства следствий из основной теоремы алгебры (о сопряженности мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами, о неприводимости многочленов над
полем действительных чисел, о разложении многочленов на множители в кольце R[x]).
Требования к умениям: уметь многочлен с действительными коэффициентами разложить на множители в
кольце R[x], составлять многочлен наименьшей степени с заданным набором корней.
Тема 13.3. Алгебраические уравнения 2-ой, 3-ей и 4-ой степеней.
Квадратные уравнения. Кубические уравнения. Кубические уравнения с действительными коэффициентами. Уравнение четвертой степени. О решении уравнений в радикалах.
Требования к знаниям: знать вывод формул решения квадратных уравнений, вывод формулы Кордано. Знать
сущность метода Феррари и сведения о решении уравнений в радикалах.
Требования к умениям: уметь решать квадратные уравнения с любыми коэффициентами, кубические уравнения с помощью формулы Кордано и уравнения 4-ой степени методом Феррари. Уметь исследовать кубические уравнения
с действительными коэффициентами.
Тема 13.4. Отделение действительных корней многочленов.
Границы корней. Система многочленов Штурма. Теорема Штурма. Приближенное вычисление действительных корней.
Требования к знаниям: знать формулировку и доказательство леммы о модуле старшего члена, формулы для
вычисления границ действительных корней, определение системы многочленов Штурма и ее свойства (с доказательством их), формулировка и доказательство теоремы Штурма.
Требования к умениям: уметь находить границы действительных корней данного многочлена с действительными коэффициентами, для данного многочлена находить систему многочленов Штурма, отделять действительные
корни данного многочлена, вычислять действительный корень многочлена с заданной точностью.
Тема 13.5. многочлены над полем рациональных чисел.
Целые и рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Приводимость многочлена над полем
рациональных чисел.
Требование к знаниям: знать формулировки и доказательства – необходимого условия, при котором рациональное число может быть корнем данного многочлена и следствий из нее; знать формулировки и доказательства лемм
Гаусса, критерия Эйзенштейна.
Требования к умениям: уметь приводить примеры неприводимых над Q многочленов данной степени, находить рациональные корни многочлена с целыми и рациональными коэффициентами, с помощью критерия Эйзенштейна
доказывать неприводимость над Q данного многочлена, раскладывать на множители над Q многочлены с целыми коэффициентами или доказывать их неприводимость.
Раздел XIV. Многочлены от нескольких переменных.
Тема 14.1. Построение кольца многочленов от нескольких переменных.
Определение многочлена от нескольких переменных как функции. Нормальная форма многочлена. Другой
подход к определению многочлена от нескольких переменных. Лексикографическое упорядочение членов многочлена.
Требования к знаниям: знать, как строится кольцо многочленов от нескольких переменных, формулировку и
доказательство леммы о высшем члене многочлена, суть лексикографической записи многочлена, определение нормальной формы многочлена.
17
Требования к умениям: уметь находить нормальную форму многочлена и лексиграфическую запись многочлена
от нескольких переменных.
Тема 14.2. Симметрические многочлены и их приложения.
Основные определения. Леммы о симметрических многочленах. Основная теорема о симметрических многочленах. Теорема единственности. Дополнительные замечания к основной теореме. Практические указания. Некоторые приложения симметрических многочленов.
Требование к знаниям: знать определение симметрического многочлена, элементарных симметрических многочленов, формулировки и доказательства лемм о симметрических многочленах и основной теоремы, формулировку
теоремы единственности.
Требование к умениям: уметь приводить примеры симметрических многочленов, выражать данный симметрический многочлен через элементарные симметрические многочлены, находить сумму кубов (квадратов, четвертых
степеней) корней данного многочлена, находить значение данного симметрического многочлена от корней данного уравнения, решать системы двух симметрических уравнений с двумя неизвестными, некоторые виды иррациональных уравнений.
Раздел XV. Группы, кольца, поля.
Тема 15.1. Группа. Подгруппа.
Бинарная операция на множестве. Нейтральные и симметрические элементы. Определение группы. Примеры
групп. Свойства групп. Определение подгруппы. Примеры подгрупп. Понятие о циклических группах. Порядок элемента
группы. Свойства порядков элементов группы.
Требование к знаниям: знать определения бинарной операции на множестве, группы, подгруппы. Знать формулировки основных свойств группы, порядка элементов группы и доказательства свойств.
Требование к умениям: уметь проверять, является ли приведенная операция бинарной, приведенное множество с бинарной операцией группой или подгруппой. Уметь приводить примеры групп, подгрупп.
Тема 15.2. Смежные классы.
Определение смежных классов. Основные свойства смежных классов. Теорема Лагранжа.
Требование к знаниям: знать определение смежных классов, основные их свойства, формулировку и доказательство теоремы Лагранжа.
Требование к умениям: уметь строить смежные классы для конкретных задач, доказывать свойства смежных классов.
Тема 15.3. Циклические группы.
Определение циклической группы. Примеры циклических групп. Подгруппы циклических групп. Порождающие
элементы циклической группы.
Требование к знаниям: знать определение циклической группы, подгруппы циклической группы, порождающего
элемента.
Требование к умениям: уметь приводить примеры циклических групп, подгрупп.
Тема 15.4. Изоморфизмы и гомоморфизмы.
Определение изоморфизма и примеры. Основные свойства. Изоморфизм циклических групп. Нормальная подгруппа. Фактор-группа. Определние гомоморфизма и примеры. Основные свойства гомоморфизмов. Ядро гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах.
Требование к знаниям: знать определение упомянутых понятий, их основные свойства.
Требование к умениям: уметь приводить примеры изоморфизмов и гомоморфизмов, доказывать основные
свойства этих преобразований.
Тема 15.5. Кольца, подкольца. Идеалы.
Определение кольца. Примеры колец. Основные свойства колец. Подкольцо. Примеры подколец. Определение и
примеры идеалов.
Требование к знаниям: знать определение колца, подкольца, идеала, формулировки и доказательства основных
свойств колец.
Требование к умениям: уметь привести примеры колец, подколец, идеалов. Уметь устанавливать, является ли
заданное множество кольцом, подкольцом.
Тема 15.6. Изоморфизмы и гомоморфизмы колец.
Определение изоморфизмов и гомоморфизма кольца. Теорема о гомоморфизмах.
Требование к знаниям: знать определение изоморфизма и гомоморфизма, формулировку теоремы о гомоморфизмах.
Требование к умениям: уметь приводить примеры изоморфизмов и гомоморфизмов, уметь доказывать основные теоремы и свойства темы.
18
Тема 15.7. Делимость в кольце целых чисел.
Отношение делимости, его свойства. Деление с остатком. НОД и НОК, их основные свойства. Алгоритм Евклида. Простые и составные числа. Разложение составных чисел на простые множители. Бесконечность множества
простых чисел. Нахождение НОД и НОК с помощью разложения на простые множители. Решето Эратосфена.
Требование к знаниям: знать основные определения, свойства, формулы, знать доказательства основных
теорем и свойств.
Требование к умениям: уметь находить НОД и НОК чисел различными способами, устанавливать – простое
дано число или составное.
Тема. 158. Делимость в области целостности.
Определение области целостности. Примеры. Определение делмости в области целостности. Основные свойства делимости. Делители единицы. Ассоциированные элементы. Простые и составные элементы области целостности.
Делимость идеалов. Кольца главных идеалов. Разложение элементов на простые множители в кольцах главных
идеалов.
Требование к знаниям: знать определение области целостности, делимости в области целостности, простого, составного и ассоциированного элементов, формулировки и доказательства основных свойств делимости в области
целостности. Знать определение главного идеала, идеала кольца К, делимости идеалов, основные теоремы о делимости
в кольце главных идеалов.
Требование к умениям: уметь приводить примеры областей целостности, главных идеалов и примеры, характеризующие другие понятия темы.
Тема 15.9. Евклидовы и факториальные кольца.
Определение и примеры Евклидовых колец. Определение и примеры факториальных колец. Примеры нефакториальных колец и неоднозначного разложения на простые множители.
Простые элементы в евклидовом кольце.
Факториальность кольца многочленов Z [x].
Требование к знаниям: знать определение всех основных понятий темы, формулировки и доказательства основных свойств и теорем.
Требование к умениям: уметь приводить примеры евклидовых колец, факториальных колец, неоднозначного
разложения на простые множители.
Тема 15.10. Поле. Подполе.
Определение поля. Примеры полей. Основные свойства полей. Поле рациональных чисел. Упорядоченные поля.
Абсолютное значение элемента упорядоченного поля.
Подполе. Примеры подполей. Признак подполя.
Требование к знаниям: знать определение поля, подполя, поля рациональных чисел, формулировки и доказательства основных свойств полей.
Требование к умениям: уметь приводить примеры полей, подполей, уметь проверять, является ли данное
множество полем, подполем.
Тема 15.11. Расширение полей.
Расширение полей. Алгебраические и трансцендентные элементы над полем. Минимальный многочлен алгебраического элемента. Строение простого алгебраического расширения. Степень расширения, теорема о степени повторного. Конечные расширения.
Требование к знаниям: знать определения основных понятий темы, формулировки и доказательства основных
теорем.
Требование к умениям: уметь приводить примеры, подтверждающие основные определения понятий и основные свойства.
Тема 15.12. Алгебраические и трансцендентные числа.
Конечное расширение поля, его алгебраичность. Алгебраические и трансцендентные числа. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе.
Требование к знаниям: знать определение основных понятий темы, формулировки и доказательства основных
теорем и свойств.
Требование к умениям: уметь приводить примеры, подтверждающие определения и свойства и освобождаться от алгебраической иррациональности в знаменателе на конкретных примерах.
Тема 15.13. О разрешимости уравнений в радикалах. Проблема разрешимости задач на построение циркулем и
линейкой.
О разрешимости уравнений в радикалах. Квадратичные расширения. Проблема разрешимости задач на построение циркулем и линейкой.
Требование к знаниям: знать четкие формулировки задач и методы их решения.
Требование к умениям: уметь объяснить сущность решения задачи в конкретных ситуациях.
19
4.
Дополнительные вопросы.
Их можно вынести на самостоятельное изучение (а также можно предложить в качестве тем курсовых работ на
III курсе).
II семестр.
1. Трансвекции.
2. Определитель произведения квадратных матриц.
3. Нахождение ранга матрицы с помощью определителей.
4. Решение произвольных систем линейных уравнений с помощью определителей.
III семестр.
1. Матричное описание линейных операторов векторной плоскости.
2. Подобие евклидовой плоскости.
3. Классификация подобий.
4. Комплексные числа на базе понятия евклидовой плоскости.
IV семестр.
1. Доказательство основной теоремы алгебры.
2. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом.
3. Идеалы и фактор–кольца колец многочленов.
5. Примерный перечень тем курсовых работ.
1. Решение с помощью определителей произвольных систем линейных уравнений.
2. Решение алгебраических уравнений в радикалах.
3. Элементы теории групп.
4. Некоторые диофантовы уравнения.
5. Комплексные числа.
6. Применение комплексных чисел в элементарной геометрии.
7. Отделение действительных корней многочленов с целыми коэффициентами.
8. Нахождение рациональных корней многочленов с рациональными коэффициентами.
9. Линейные операторы.
10. Симметрические многочлены.
11. Приближение действительных чисел цепными дробями.
12. Разложение многочленов на множители.
13. Различные приложения матриц.
14. Метод математической индукции.
20
6. Экзаменационные вопросы по алгебре.
I семестр.
1. Линейные уравнения и системы линейных уравнений. Классификация систем линейных уравнений по количеству решений. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Теорема об элементарных преобразованиях. Равносильные системы.
2. Метод последовательного исключения неизвестных решения систем линейных уравнений.
3. Однородная система линейных уравнений. Существование ненулевого решения. Свойства решений однородной системы линейных уравнений.
4. Арифметический n-мерный вектор. Операции над арифметическими векторами. Пространство арифметических nмерных векторов, его основные свойства.
5. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Основные свойства линейной зависимости.
6. Линейная выражаемость одной системы векторов через другую.
7. Базис системы векторов. Теорема о базисах. Ранг системы векторов. Базис пространства Rn.
8. Эквивалентные системы векторов.
9. Векторное подпространство, его ранг и размерность. Примеры подпространств.
10. Фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений (ФНР). Построение ФНР. Теорема о
количестве решений фундаментального набора.
11. Матрица и ее элементы. Виды матриц. Элементарные преобразования матрицы. Строчечный и столбцовый ранги
матрицы. Леммы о строчечном и столбцовом рангах матрицы.
12. Теорема о совпадении строчечного и столбцового рангов матрицы. Ранг матрицы и его нахождение.
13. Сложение, вычитание матриц. Умножение матрицы на число. Транспонирование матрицы.
14. Умножение матриц. Законы умножения.
15. Обратная матрица. Необходимые и достаточные условия обратимости матрицы n-го порядка. Единственность обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы.
16. Матричные уравнения и способы их решения.
17. Запись системы линейных уравнений в матричной и векторной формах. Матричный способ решения систем линейных уравнений.
18. Теорема Кронекера - Капелли. Критерий определенности системы линейных уравнений.
II семестр
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Подстановки. Четность подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Циклическая подстановка. Разложение
подстановки в произведение независимых циклов.
Транспозиция. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Основные свойства понятия четности подстановки. Знак подстановки.
Определитель n-го порядка. Определители 2-го и 3-го порядков.
Основные свойства определителей.
Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о разложении определителя по элементам какой-либо строки (столбца). Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя квадратной
матрицы на алгебраическое дополнение соответствующих элементов другой строки (столбца).
Формулы Крамера.
Нахождение ранга матрицы и обратной матрицы с помощью определителей.
Бинарная операция на множестве. Виды бинарных операций. Мультипликативная и аддитивная форма записи бинарных операций. Алгебры.
Группа: определение, примеры и основные свойства.
Подгруппы: определение, примеры, признак подгруппы. Полугруппы. Порядок элемента группы. Циклические подгруппы.
Кольцо: определение, примеры и основные свойства. Подкольцо: определение. Примеры, признак подкольца.
Поле: определение, примеры и основные свойства. Подполе: определение, примеры, признак подкольца.
Поле рациональных чисел. Упорядоченные поля. Абсолютное значение элемента и свойства абсолютного значения.
Построение системы комплексных чисел. Поле комплексных чисел.
Алгебраическая форма комплексного числа. Правила выполнения операций над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическое изображение комплексных чисел. Геометрическая интерпретация сложения и вычитания комплексных чисел.
Извлечение квадратных корней из комплексных чисел в алгебраической форме. Сопряженные комплексные числа и
их основные свойства.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической
форме. Геометрическое истолкование умножения и деления комплексных чисел.
Возведение комплексных чисел в степень. Извлечение корня их комплексного числа. Корни из единицы и их основные свойства.
21
III семестр
1. Векторное пространство над произвольным полем: определение, примеры, простейшие свойства.
2. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Основные свойства линейной зависимости.
3. Подпространство векторного пространства: определение и примеры. Сумма и пересечение подпространств. Векторные многообразия.
4. Базис системы векторов. Теорема о базисах. Конечномерные векторные пространства. Базис конечномерного векторного пространства и его размерность.
5. Координаты вектора в данном базисе. Простейшие свойства координат.
6. Связь между различными базисами векторного пространства. Связь между координатами вектора в различных базисах.
7. Изоморфизм n-мерного векторного пространства над полем Р и пространства Р n. Изоморфизма векторных пространств. Основные свойства изоморфизма. Основная теорема об изоморфизме векторных пространств.
8. Скалярное произведение векторов: определение и задание в конечномерном векторном пространстве. Выражение скалярного произведения в координатах. Модуль вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши - Буняковского.
Ортогональность.
9. Ортогональная система векторов. Существование ортогонального базиса, ортонормированный базис. Ортогональное
дополнение к подпространству.
10. Процесс ортогонализации.
11. Евклидово векторное пространство: определения и основные свойства. Изоморфизм евклидовых векторных пространств.
12. Линейные операторы: определение, примеры и основные свойства. Задание линейного оператора образом и базисных векторов. Ядро и образ линейного оператора.
13. Матрица линейного оператора: определение и примеры, задание линейного оператора с помощью матрицы. Связь
между матрицами линейного оператора в различных базисах.
14. Действия над линейными операторами. Невырожденные линейные операторы.
15. Собственные векторы и собственные значения. Характеристическое уравнение.
16. Линейные операторы с простым спектром.
17. Построение кольца многочленов. Область целостности многочленов относительно сложения и умножения.
18. Деление многочлена с остатком на двучлен (х - с). Теорема Безу. Схема Горнера.
19. Число корней многочлена. Кратные корни.
20. Деление с остатком.
21. Алгебраическое определение кольца многочленов. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
IV семестр
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Наибольший общий делитель двух многочленов. Алгоритм Евклида. Линейная форма НОД.
Теоремы о взаимно простых многочленах.
Неприводимые над данным полем многочлены и их свойства. Разложение многочленов в произведение неприводимых множителей. Кратные множители.
Производная многочлена. Неприводимые кратные множители и корни. Отделение кратных множителей многочлена.
Основная теорема алгебры. Неприводимость многочленов над полем комплексных чисел. Количество корней многочлена с комплексными коэффициентами. Формулы Виета.
Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Неприводимость многочленов над
полем действительных чисел.
Решение уравнений третьей степени. Кубические уравнения с действительными коэффициентами.
Решение уравнений четвертой степени. О решении уравнений в радикалах.
Границы корней. Система многочленов Штурма.
Теорема Штурма.
Целые и рациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами.
Леммы Гаусса о примитивных многочленах.
Критерий Эйзенштейна.
Построение кольца многочленов от нескольких переменных. Нормальная форма многочлена от нескольких переменных.
Лексикографическое упорядочение членов многочлена от нескольких переменных.
Основные теоремы о многочленах от нескольких переменных (теорема о высшем члене произведения двух многочленов от нескольких переменных – с доказательством).
Определение симметрического многочлена. Примеры симметрических многочленов. Леммы о симметрических многочленах.
Основная теорема о симметрических многочленах. Теорема единственности.
Основные приложения симметрических многочленов.
22
V семестр
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Бинарная операция на множестве. Виды бинарных операций. Нейтральные и симметрические элементы Алгебры.
Определение группы. Примеры групп. Простейшие свойства группы. Подгруппы. Примеры подгрупп. Признак подгруппы. Полугруппы.
Порядок элемента группы. Свойства порядков элемента.
Смежные классы. Основные свойства смежных классов. Теорема Лагранжа и следствия из нее.
Циклические группы. Изоморфизм групп.
Нормальные подгруппы. Фактор-группы.
Гомоморфизм групп. Ядро гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах.
Кольцо. Примеры колец. Основные свойства колец. Подкольцо. Признак подкольца. Примеры подколец.
Идеалы. Изоморфизмы и гомоморфизмы колец.
Делимость в области целостности. Обратимые элементы области целостности.
Фактор-кольцо. Примеры факториальных колец. Примеры нефакториальных колец и неоднозначных разложений на
простые множители.
Простые и составные элементы области целостности.
Алгоритм Евклида в кольце целых чисел Z.
Евклидовы кольца. Простые элементы в евклидовом кольце. Основные свойства простых элементов в евклидовом
кольце.
Теорема о факториальности Евклидова кольца.
Понятие поля. Примеры полей. Характеристика поля. Основные свойства полей.
Упорядоченные поля. Поле рациональных чисел.
Подполе. Примеры подполей. Признак подполя.
Алгебраические и трансцендентные числа.
Минимальный многочлен алгебраического элемента.
Степень расширения. Простое алгебраическое расширение.
Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе.
О разрешимости уравнений в радикалах.
Проблема разрешимости задач на построение циркулем и линейкой.
23
7. Список рекомендуемой литературы по учебной дисциплине “Алгебра”.
Основная литература:
1. С. В. Ларин. Линейная алгебра. Часть 1. Красноярск, изд-во КГПУ, 1998.
2. С. В. Ларин. Линейная алгебра. Часть 2. Красноярск, изд-во КГПУ, 1999.
3. А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1977.
4. Л. Я. Куликов. Алгебра и теория чисел. М.: высшая школа, 1979.
5. Л. Я. Окунев. Высшая алгебра. М.: Просвещение, 1966.
6. Э. Б. Винберг. Алгебра многочленов. М.: Просвещение, 1980.
7. Ф. Л. Варнаховский, А. С. Солодовников. Алгебра. Часть 1 и 2. М.: Просвещение, 1974, 1978.
8. Под ред. Н. Я. Виленкина. Алгебра и теория чисел. Часть 3. М.: Просвещение, 1974.
9. А. И. Кострикин. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
10. М. М. Глухов, А. С. Солодовников. Задачник-практикум по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1993.
11. Л. Я. Куликов, А. И. Москаленко, А. А. Фомин. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М.: Просвещение, 1993.
12. Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.
13. В. А. Александров, С. М. Горшин. Задачник-практикум по теории чисел. М.: Просвещение, 1972.
14. Л. Я. Окунев. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1964.
15. И. В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984.
16. Е. С. Ляпин, А. Е. Евсеев. Алгебра и теория чисел. Часть 1, 2. М.: Просвещение, 1978.
17. Ф. Л. Варнаховский, А. С. Солодовников. Задачник-практикум по алгебре. М.: Просвещение, 1982.
18. И. В. Нечаев. Задачник-практикум по алгебре. М.: Просвещение, 1983.
19. А.М. Кондрашов. Сборник зачетных заданий по линейной алгебре. Часть 1. Кр-ск, РИО КГПУ, 2001 г.
Дополнительная литература:
Г. М. Гусак. Системы линейных уравнений. Минск, Высшая школа, 1983.
А. П. Мальцев. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970.
А. П. Громов. Учебное пособие по линейной алгебре. М.: Просвещение, 1971.
Н. В. Лойко. Алгебра и теория чисел. (материалы для самостоятельной работы студентов 1-го курса 1семестр и 2 семестр). Красноярск, изд-во КГПУ, 1988.
5. П. С. Александров. Введение в теорию групп. М.: Наука, 1980.
6. Е. Т. Астахов, Л. Г. Тимофеева, Г. В. Тимофеенко, Т. А. Яковлева. Методические указания для студентов 1-го курса.
Красноярск, 1991.
7. Е. Т. Астахова, Л. Т. Тимофеева, Г. В. Тимофеенко, Т. А. Яковлева. Линейные и евклидовы пространства. Линейные
операторы. Методические указания для студентов 1-го курса. Красноярск, 1983.
8. Е. Т. Астахова, Л. Г. Тимофеева, Г. В. Тимофеенко, Т. А. Яковлева. Множества, отношения, логика. Методические
указания для студентов 1-го курса. Красноярск, 1988.
9. С. Ленг. Алгебра М.: Мир, 1968.
10. Б. Л. ван дер Варден. Алгебра. М.: Наука, 1976.
11. Под ред. А. И. Кострикина. Сборник задач по алгебре.
1.
2.
3.
4.
24