Образец 1 - Высшая школа экономики

Министерство экономического
развития и торговли
Российской Федерации
Министерство
образования
Российской Федерации
Государственный университетВысшая школа экономики
Факультет
Бизнес-информатики
Программа дисциплины
Математический анализ
для направления
“Бизнес-информатика”
квалификация (степень бакалавра
бизнес-информатики)
Авторы Ф.Т. Алескеров, [email protected]
С.П. Струнков, [email protected]
Рекомендовано секцией УМС
Одобрено на заседании
Математические и статистические
кафедры высшей математики
методы в экономике
Председатель
___________А.С.Шведов
“___” __________ 200_ г.
на факультете экономики
Зав. кафедрой
___________Ф.Т.Алескеров
“___” __________
200 __г.
Утверждена УС
________________
Ученый секретарь
_______________
“___” __________ 2003 г.
1
Москва
Образец 2
Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
5
6
Название темы
Всего
часов
Аудиторные часы
Лекции
Сем. и
практ.
Занятия
Самостояте
льная
работа
1курс, 1 модуль
Элементы теории
множеств и функций.
Теория пределов и
непрерывных функций
одной переменной.
1 курс, 2 модуль
Дифференциальное
исчисление для функций
одной переменной
1 курс, 3 модуль
Дифференциальное
исчисление для функций
многих переменных.
1 курс, 4модуль
Интегральное исчисление
для функций одной
переменной. Двойные
интегралы.
2курс, 1 модуль
Числовые и
функциональные ряды.
Степенные ряды. Ряды
Фурье.
ИТОГО
56
14
14
28
32
16
16
32
28
14
14
28
56
14
14
28
56
14
14
28
Формы рубежного контроля
В каждом модуле предусмотрены или контрольная работа, или большое домашнее
задание. Во втором модуле 1 курса запланирована зачетная работа, а в четвертом –
экзаменационная. В 1 модуле второго курса запланирована экзаменационная работа.
Содержание программы
2
1. Введение. Элементы теории множеств и функций.
Понятие множества и подмножества. Операции: объединение, пересечение, дополнение.
Декартовы произведения. Бинарные отношения.
Отображения множеств (функции). Область определения, множество значений
отображения. Понятие образа и прообраза для точек и подмножеств. Инъективные,
сюръективные, биективные (взаимно однозначные) отображения. Композиция
отображений. Обратное отображение. Конечные, счетные и несчетные множества.
Элементарные функции.
Элементы математической логики. Кванторы существования и всеобщности. Построение
формулировки, отрицания.
Понятие действительного (вещественного) числа. Сравнение действительных чисел.
Ограниченные (сверху, снизу) и неограниченные множества действительных чисел.
Верхние и нижние и точные верхние и нижние грани множеств действительных чисел.
Максимальный и минимальный элемент множества Теорема о существовании точных
граней у ограниченного множества. Примеры множеств действительных чисел.
Промежутки.
2. Теория пределов и непрерывных функций одной переменной.
Числовые последовательности. Примеры.
Понятие предела последовательности.
Теорема о единственности предела сходящейся
последовательности.
Ограниченные и неограниченные последовательности. Теорема об ограниченности
сходящейся последовательности.
Теорема о переходе к пределу в неравенствах.
Теорема о вынужденном пределе.
Теорема о сходимости монотонных ограниченных последовательностей.
Определение числа е.
Бесконечно малые последовательности. Связь со сходящимися последовательностями.
Арифметические свойства бесконечно малых и сходящихся последовательностей.
Бесконечно большие последовательности, их связь с бесконечно малыми.
Арифметические свойства для последовательностей, имеющих конечные и бесконечные
пределы. Неопределенности.
Определение подпоследовательности. Теорема о пределе подпоследовательности
сходящейся последовательности.
Лемма о вложенных отрезках.
Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Критерий Коши сходимости последовательности.
Определение предела функции в точке в терминах окрестностей, неравенств (Коши) и
последовательностей (Гейне). Теорема об эквивалентности этих определений.
Односторонние пределы, их связь с двусторонними.
Пределы функции в бесконечности.
3
Арифметические свойства функций, имеющих пределы (конечные или бесконечные) в
точке или в бесконечности. Неопределенности.
Теоремы о переходе к пределу в неравенствах, о вынужденном пределе.
Теорема о пределе сложной функции.
Первый и второй замечательные пределы. Задача о начислении процентов.
Сравнение функций, о-символика, главная часть функции, порядок малости и порядок
роста функции.
Критерий Коши существования конечного предела функции.
Определения непрерывности функции в точке, их эквивалентность. Точки разрыва, их
классификация. Непрерывность основных элементарных функций.
Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной
функции.
Теоремы о локальной ограниченности и локальном сохранении знака для функций,
непрерывных в точке.
Свойства функций, непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса,
теорема Коши).
Критерий непрерывности монотонной функции на промежутке.
Критерий существования и непрерывности обратной функции на промежутке.
Понятие равномерной непрерывности функции на множестве. Теорема Кантора.
3. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной.
Понятие производной функции в точке. Геометрический смысл производной. Уравнение
касательной к графику функции в точке. Понятие эластичности функции и ее
интерпретация.
Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое условие
дифференцируемости, необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
Правила дифференцирования. Теорема о дифференцируемости и производной сложной
функции. Теорема о дифференцируемости и производной обратной функции. Таблица
производных основных элементарных функций.
Производные функций, графики которых заданы параметрически.
Понятие гладкой кривой, касательный вектор к гладкой кривой в точке.
Понятие дифференциала (первого) функции в точке. Геометрический смысл
дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.
Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной в точке.
Понятие об экстремумах функции одной переменной. Локальный экстремум.
Необходимое условие для внутреннего локального экстремума (теорема Ферма).
Основные теоремы о дифференцируемых функций на отрезке (теорема Ролля, формулы
Лагранжа и Коши). Правило Лопиталя.
Многочлен Тейлора и формула Тейлора для функций одной переменной с остаточным
членом в форме Пеано и Лагранжа. Формулы Тейлора-Маклорена для основных
элементарных функций. Применения для приближенных вычислений.
Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на промежутке.
Достаточные условия локального экстремума для функции одной переменной.
Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Достаточные условия выпуклости
(вогнутости).
4
Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия для точки перегиба.
Асимптоты графика функции одной переменной.
Определение глобального максимума (минимума) функции одной переменной в области
ее определения.
4. Дифференциальное исчисление для функций многих переменных.
Понятие метрического пространства, окрестностей точки, предельных и внутренних
точек, открытых и замкнутых множеств в нем. Примеры.
Понятие n-мерного евклидова пространства и метрики в нем. Неравенство КошиБуняковского, неравенство треугольника. Сферические и прямоугольные окрестности
точки, эквивалентность систем сферических и прямоугольных окрестностей. Связные,
несвязные, ограниченные, неограниченные множества. Замкнутые, открытые, компактные
множества. Примеры.
Понятие последовательности точек в метрическом пространстве и ее предела.
Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности точек в n-мерном
евклидовом пространстве. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Понятие функции многих переменных, множеств (линий) уровня. Примеры.
Определение предела функции многих переменных. Арифметические свойства пределов.
Понятие непрерывности функции многих переменных в точке. Арифметические свойства
непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Непрерывность
элементарных функций многих переменных.
Свойства непрерывных на компакте функций (теоремы Вейерштрасса). Теорема Коши о
промежуточных значениях непрерывной на связном множестве функции.
Определение частных производных функции многих переменных в точке. Определение
дифференцируемости функции в точке. Первое и второе необходимые условия
дифференцируемости функции в точке. Достаточное условие дифференцируемости
функции в точке.
Арифметические свойства дифференцируемых функций. Теорема о
дифференцируемости сложной функции.
Понятие и уравнение касательной плоскости к графику функции двух переменных в
точке.
Понятие дифференциала (первого) функции многих переменных в точке.
Геометрический смысл первого дифференциала для функции двух переменных.
Инвариантность формы первого дифференциала.
Частные производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных.
Теорема о равенстве смешанных производных.
Производная по направлению для функций двух и трех переменных.
Градиент функций двух и трех переменных в точке. Независимость градиента от выбора
системы декартовых координат. Ортогональность градиента множеству уровня функции.
Теорема Эйлера об однородных функциях. Коэффициенты эластичности функции
многих переменных в точке. Применение теоремы Эйлера в экономической теории.
Многочлен Тейлора для функции многих переменных. Формула Тейлора с остаточным
членом в форме Лагранжа и Пеано.
Понятие неявной функции, определяемой уравнением. Терема о существовании и
дифференцируемости неявной функции. Формула для производных неявной функции.
5
Понятие системы неявных функций, определяемых системой уравнений. Условия их
существования и дифференцируемости. Системы уравнений для частных производных
неявных функций.
Понятие отображения области n-мерного пространства и его матрицы Якоби. Матрица
Якоби композиции отображений. Условия обратимости отображения. Регулярные
отображения. Матрица Якоби обратного отображения. Замена переменных.
Зависимые и независимые системы функций многих переменных. Условия зависимости
и независимости системы функций.
Экстремумы функций многих переменных (абсолютный, условный, локальный,
глобальный). Необходимое условие локального абсолютного экстремума. Достаточное
условие локального абсолютного экстремума. Условия знакоопределенности и
знаконеопределенности квадратичной формы.
Выпуклые и строго выпуклые функции. Экстремум выпуклой функции.
Функция Лагранжа и множители Лагранжа для задачи на
условный экстремум, Необходимое условие локального условного экстремума, его
геометрическая интерпретация. Достаточное условие.
Задача глобальной оптимизации.
5. Интегральное исчисление для функций одной переменной.
Понятие первообразной и неопределенного интеграла функции, определенной на
промежутке. Замена переменных и формула интегрирования по частям. Таблица
интегралов.
Интегрирование рациональных функций. Основные классы функций, интегрирование
которых сводится к интегрированию рациональных функций.
Понятие интегральной суммы для функции, заданной на отрезке, и определенного
интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке.
Суммы Дарбу, их свойства. Необходимое и достаточное условие интегрируемости
функции на отрезке.
Основные классы интегрируемых функций.
Основные свойства определенного интеграла (интеграл единицы, линейность,
интегрируемость произведения интегрируемых функций, аддитивность, инерционность,
интегрируемость на подотрезках, свойства, выражаемые неравенствами, теоремы о среднем,
интегрируемость модуля интегрируемой функции, неравенство Коши-Буняковского).
Интеграл с переменным верхним пределом. Теоремы о непрерывности и
дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом. Формула НьютонаЛейбница.
Замена переменных и формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
Понятие квадрируемости и площади плоского множества. Множества площади (меры)
ноль, свойства. Необходимое и достаточное условие квадрируемости плоского множества.
Теорема о квадрируемости и площади криволинейной трапеции.
Понятие о спрямляемости и длине дуги кривой. Теорема о спрямляемости и длине дуги
гладкой кривой.
6
Понятие несобственных интегралов первого, второго и третьего рода. Критерий Коши
сходимости несобственного интеграла. Понятия абсолютной и условной сходимости
несобственного интеграла.
Замена переменных и формула интегрирования по частям для несобственных
интегралов.
Признаки сравнения в непредельной и предельной формах для несобственных
интегралов от положительных функций. Эталонные интегралы.
Признак Дирихле сходимости несобственного интеграла первого рода.
Понятие интегральной суммы для функции двух переменных, определенной на
замкнутом квадрируемом множестве. Понятие двойного интеграла для функции двух
переменных. Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных. Основные
классы интегрируемых функций. Тройные, криволинейные и поверхностные интегралы.
Основные свойства двойного интеграла.
6. Числовые и функциональные ряды. Степенные ряды.
Понятие числового ряда, сходящегося ряда и его суммы. Критерий Коши сходимости
ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Понятие абсолютной и условной сходимости
числового ряда. Необходимое и достаточное условие абсолютной сходимости ряда.
Признаки сравнения в непредельной и предельной формах для положительных рядов.
Признаки Даламбера и Коши.
Интегральный признак Коши. Эталонные положительные ряды.
Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Признак Дирихле.
Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана для условно
сходящихся рядов.
Умножение абсолютно сходящихся рядов.
Функциональные последовательности и ряды. Понятие равномерной сходимости для
них. Критерий Коши равномерной сходимости. Необходимое условие равномерной
сходимости функционального ряда.
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Признак
Дирихле.
Теорема о непрерывности предела функциональной последовательности и суммы
функционального ряда.
Теорема о почленном переходе к пределу под знаком интеграла для функциональной
последовательности и почленном интегрировании функционального ряда.
Теорема о почленном переходе к пределу под знаком производной для функциональной
последовательности и почленном дифференцировании функционального ряда.
Степенной ряд. Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара.
Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы степенного
ряда.
Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда.
Задача о представлении функции функции в виде суммы степенногоряда. Теорема о
единственности представления. Ряд Тейлора функции.
Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора для заданной функции к
заданной функции. Ряды Тейлора-Маклорена основных элементарных функций.
Комплексные числа. Последовательности комплексных чисел и комплексные ряды.
Понятие сходимости. Необходимые и достаточные условия сходимости. Понятие
7
абсолютной и условной сходимости комплексных рядов. Комплексные степенные ряды.
Радиус сходимости. Определение показательной и тригонометрических функций
комплексного переменного. Формула Эйлера. Гиперболические функции, связь с
тригонометрическими.
Евклидово пространство, норма и метрика в нем. Примеры бесконечномерных
евклидовых пространств. Ортогональные системы. Ряд Фурье по ортогональной системе,
коэффициенты Фурье. Понятие сходимости последовательности и ряда в бесконечномерном
евклидовом пространстве по норме этого пространства. Полные ортогональные системы в
евклидовых пространствах. Необходимое и достаточное условие полноты ортогональной
системы (равенство Парсеваля). Теорема о поточечной сходимости ряда Фурье.
Литература.
1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. М.: Изд-во Моск.
ун-та, 1985.
2. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. М.: «Высшая школа», 1973.
3. Демидович Б.П. Сборник задач и и упражнений по математическому анализу. М.:
«Наука», 1997.
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г., Основы математического анализа, часть I, II, М: “Наука”,
1973.
Авторы программы:
Ф.Т. Алескеров, С.П. Струнков
 Ф.Т. Алескеров, С.П. Струнков
8