Инварианты (2)

Инвариант -2.
1. Амёба делится каждую минуту на 6 частей, из которых
вырастают новые амёбы, некоторые из которых снова делятся
на 6 частей и т.д. Может ли в какой - то момент времени
оказаться ровно 2011 амеб?
2. Разменный автомат меняет 1 монету на 5 других. Можно ли с
его помощью разменять металлический рубль на 26 монет?
3. За один ход число, написанное на доске, разрешается либо
заменить на удвоенное, либо стереть у него последнюю
цифру. Вначале на доске написано 456. Можно ли из него
получить число 14?
4. На доске написано число 8 n . У него вычисляется сумма цифр,
у полученного числа снова вычисляется сумма цифр и т.д., до
тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за
число, если n=2011?
5. У каждого из чисел от 1 до 1000 000 000 подсчитывается
сумма его цифр, у каждого из получившегося миллиарда
чисел снова подсчитывается сумма его цифр и т.д., пока не
получится миллиард однозначных чисел. Каких чисел больше:
1 или 2?
6. В таблице m x n расставлены числа так, что сумма чисел в
любой строке или столбце равна 1. Докажите, что m=n.
7. В таблице 8 х 8 одна из угловых клеток покрашена в черный
цвет, все остальные – в белый. Докажите, что
перекрашиванием строк и столбцов нельзя добиться, чтобы
все клетки стали белыми.
8. Та же задача для 4 угловых клеток.
9. Та же задача для 1 черной клетки и таблицы 3 х 3.
Инвариант -2.
1. Амёба делится каждую минуту на 6 частей, из которых
вырастают новые амёбы, некоторые из которых снова делятся
на 6 частей и т.д. Может ли в какой - то момент времени
оказаться ровно 2011 амеб?
2. Разменный автомат меняет 1 монету на 5 других. Можно ли с
его помощью разменять металлический рубль на 26 монет?
3. За один ход число, написанное на доске, разрешается либо
заменить на удвоенное, либо стереть у него последнюю
цифру. Вначале на доске написано 456. Можно ли из него
получить число 14?
4. На доске написано число 8 n . У него вычисляется сумма цифр,
у полученного числа снова вычисляется сумма цифр и т.д., до
тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за
число, если n=2011?
5. У каждого из чисел от 1 до 1000 000 000 подсчитывается
сумма его цифр, у каждого из получившегося миллиарда
чисел снова подсчитывается сумма его цифр и т.д., пока не
получится миллиард однозначных чисел. Каких чисел больше:
1 или 2?
6. В таблице m x n расставлены числа так, что сумма чисел в
любой строке или столбце равна 1. Докажите, что m=n.
7. В таблице 8 х 8 одна из угловых клеток покрашена в черный
цвет, все остальные – в белый. Докажите, что
перекрашиванием строк и столбцов нельзя добиться, чтобы
все клетки стали белыми.
8. Та же задача для 4 угловых клеток.
9. Та же задача для 1 черной клетки и таблицы 3 х 3.